ch3 mgc-800
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CHAPITRE 3CHAPITRE 3OPTIMISATIONOPTIMISATION
Concepts de base: recherche opérationnelle Programmation linéaire Programmation en nombre entier Logiciel LINDO
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É CONCEPTS DE BASECONCEPTS DE BASE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
Définitions Origines Applications Méthodes Modèles
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
DÉFINITIONS• Application de méthodes, techniques, instruments
scientifiques pour modéliser et résoudre les problèmes dans tous les domaines
• Application de la méthode scientifique pour modeler et résoudre les problèmes dans tous les domaines
• Art de donner des mauvaises réponses à des problèmes auxquels autrement de pires réponses seraient données
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
ORIGINES• Développement durant la seconde guerre mondiale
applications aux opérations militaires• répartition des troupes, du matériel, des ressources• approvisionnement en vivres, en pièces, en armement
• Scientifiques et ingénieurs: applications civiles programmation linéaire (1ère publication en 1939) développement du simplexe par G. Dantzig (1947) développement des techniques classiques en
programmation linéaire, non-linéaire, dynamique, théorie des files d’attente, etc.
ralentissement des recherches généré par le manque d’outils de calcul
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
APPLICATIONS• Applications aux problèmes réels de grande envergure
arrivée des processeurs rapides développement des bases de données techniques d ’optimisation appliquées à de nombreux domaines
• Domaines d’utilisation militaire transport
• aéroport• route, trajet, livraison• horaire
contrôle des réseaux• infrastructures, distribution
etc.
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
2 importants centres de recherche à Montréal• CRT: Centre de Recherche sur les
Transports• GÉRAD: Groupe d’Étude et de Recherche en
Analyse des Décisions
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
CONCEPT DE SYSTÈME• Système
Agrégat ou assemblage d’objets joints par des interactions ou interdépendances régulières
• Activité Processus qui crée un changement de l’état du système
• Entité Objet d’intérêt dans un système
• Attribut Propriétés relatives à une entité
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
EXEMPLE DE SYSTÈME
SYSTÈME ACTIVITÉ ENTITÉ ATTRIBUT
circulation mouvements véhicules vitessetrajets routes distances
banque dépôts clients état de crédit
communications transmission message priorité
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
MÉTHODES• Techniques mathématiques• Techniques statistiques• Modèles de gestion des stocks• Modèles d’affectation• Modèles de programmation dynamique• Modèles de files d’attente• Modèles séquentiels• Modèles de remplacement• Modèles de compétition• Techniques de simulation• Méthodes heuristiques
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
MODÈLE• Moyen pour mieux comprendre la réalité utilisée pour
représenter les propriétés fondamentales d’un certain phénomène
• Problèmes de gestion souvent complexes• Nécessité fréquente d’ignorer certains paramètres pour
tirer une version idéale, épurée: c’est un modèle
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
CLASSIFICATION DES MODÈLES• Modèles physiques
Modèles iconiques• Pour visualiser une solution pratique• Modèles réduits, maquettes
Modèles analogiques• Phénomène qu’on étudie pour représenter un autre• Analogie électrique en hydraulique
• Modèles symboliques Modèles mathématiques
• Déterministiques• Probabilistes ou stochastiques
Modèles verbaux
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
Modèles mathématiques• Modèles déterministiques
Incertitude négligeable Résultats du phénomène prévu avec certitude
• Modèles probabilistes ou stochastiques Incertitude considérée comme facteur important du
phénomène ou système analysé
Classe de modèles déterministiques• Modèles de programmation linéaire
Équations ou inéquations du premier degré représentant les contraintes du problème
Fonction économique qui traduit l’objectif de l’entreprise
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
Méthode scientifique1. Expériences vécues
2. Critères qui permettent de juger si le problème est résolu
3. Principaux aspects de la réalité
4. Paramètres du modèle
5. Méthodes appropriées
6. Conclusions obtenues versus opinions des personnes
7. Implantation de la décision
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RECHERCHE OPÉRATIONNELLERECHERCHE OPÉRATIONNELLE
Formulation du modèle mathématique• Définir le problème
Quelle est la nature exacte du problème? Quel est l’objectif recherché? Quelles sont les conditions d’opération? Quels sont les paramètres à considérer? Quelle
influence? Quel est le degré de précision requis?
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PROGRAMME LINÉAIREPROGRAMME LINÉAIRE
PL• problème d’optimisation consistant à• maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire• de n variables de décision• soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous
forme d’équations ou d’inéquations linéaires
La terminologie est due à George B. Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe (1947)
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PROGRAMMATION LINÉAIREPROGRAMMATION LINÉAIRE
Hypothèses:• La linéarité des contraintes et de la fonction objectif• La proportionnalité des gains/coûts et des
consommation de ressources• La divisibilité des variables• Le déterminisme des données
Lors de la modélisation d'un problème réel, l'impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié
Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique, ...) et est essentielle pour la phase d'interprétation des résultats fournis par le modèle
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MISE EN FORME MATHÉMATIQUEMISE EN FORME MATHÉMATIQUE
Définir les variables de décision• ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser• variables réelles, entières, binaires
Préciser la fonction objectif• fonction mathématique composée des variables de décision qui
représente le modèle physique modélisé• fonction linéaire, non-linéaire
Préciser les contraintes du problème• ensemble des paramètres qui limitent le modèle réalisable• équations ou inéquations composées des variables de décision
Préciser les paramètres du modèle• constantes associées aux contraintes et à la fonction objective
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PROGRAMMATION LINÉAIREPROGRAMMATION LINÉAIRE
Validation du modèle et des résultats• S’assurer
que le modèle développé est conforme à la réalité que les résultats sont valides dans toutes les conditions
Conception du système d’application• Possibilité d’utiliser des logiciels spécialisés
Implantation
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É FORMULATION MATHÉMATIQUE FORMULATION MATHÉMATIQUE D’UN PROGRAMME LINÉAIRED’UN PROGRAMME LINÉAIRE
FONCTION OBJECTIF• Maximiser ou minimiser • z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + + cnxn
Contraintes• a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn (, =, ) b1
• a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn (, =, ) b2
• am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn (, =, ) bm
Contraintes de non-négativité• xj 0 ; j = 1, 2, 3, … n
avec• xj variables de décision (inconnues)• aij, bi, cj paramètres du programme linéaire
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TERMINOLOGIE DU MODÈLETERMINOLOGIE DU MODÈLE
Activités• Ensemble des actes et opérations à effectuer• j = 1,…n activités
Ressources• Moyens disponibles pour effectuer les activités• bi, i = 1,…m ressources
Quantité requise de ressource• Quantité unitaire de ressources consommées pour chaque activité
aij Niveau activation
• Quantité de ressources affectée à une activité• xj = niveau d’activation de l’activité j
Coût ou profit• Mesure de performance de l’allocation des ressources aux activités
cj
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TERMINOLOGIE DE LA SOLUTIONTERMINOLOGIE DE LA SOLUTION
Solution réalisable• Solution où toutes les contraintes du modèle sont
satisfaites Zone de solution
• Ensemble de toutes les solutions réalisables Solution optimale
• Solution réalisable où la fonction objectif atteint la meilleure valeur, maximum ou minimum
• Plusieurs solutions optimales possibles
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É EXEMPLE: PROBLÈME EXEMPLE: PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCESD'ALLOCATION DE RESSOURCES
Vous disposez de• 8 kg de pommes• 2,5 kg de pâte• 6 plaques
pour confectionner des chaussons et des tartesPour faire un chausson, il vous faut:
• 150 g de pommes• et 75 g de pâte
Chaque chausson est vendu 3 $Pour faire une tarte, il vous faut
• 1 kg de pommes• 200 g de pâte • et 1 plaque
Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 $Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d'affaires de la vente ?
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É PROBLÈME D'ALLOCATION DE PROBLÈME D'ALLOCATION DE RESSOURCESRESSOURCES
Définissons 2 variables de décision• x1 : le nombre de chaussons confectionnés
• x2 : le nombre de tartes confectionnées
Le chiffre d’affaires associé à une production (x1; x2) est
z = 3x1 + (6 x 2)x2 = 3x1 + 12x2
Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles• 150x1 + 1000x2 8000 (pommes)
• 75x1 + 200x2 2500 (pâte)
• x2 6 (plaques)
On ne peut pas cuisiner des quantités négatives :x1 et x2 0
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É MODÈLE: PROBLÈMEMODÈLE: PROBLÈMED'ALLOCATION DE RESSOURCESD'ALLOCATION DE RESSOURCES
Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x1 et x2 de chaussons et de tartes a cuisiner, solution du problème
Max z = 3x1 + 12x2
Sujet à 150x1 + 1000x2 8000
75x1 + 200x2 2500
x2 6
x1 ; x2 0
En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2 de ne prendre que des valeurs entières
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É EXEMPLE: PROBLÈME DE EXEMPLE: PROBLÈME DE RECOUVREMENTRECOUVREMENT
DONNÉES : Les demandes journalières en chauffeurs dans une entreprise de transport
Lu Ma Me Je Ve Sa Di
13 18 21 16 12 25 9
Les chauffeurs travaillent 5 jours d'affilée (et peuvent donc avoir leurs 2 jours adjacents de congé n'importe quand dans la semaine)
OBJECTIFS : Déterminer les effectifs formant les 7 équipes possibles de chauffeurs de manière à:
• couvrir tous les besoins• engager un nombre minimum de chauffeurs
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É PROBLÈME DE RECOUVREMENTPROBLÈME DE RECOUVREMENTMODÉLISATIONMODÉLISATION
Variables de décision : On associe une variable de décision à chacune des 7 équipes possibles
• x1 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du lundi (repos le samedi et le dimanche),
• x2 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du mardi, ...
• x7 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du dimanche.
Fonction objectif : On veut minimiser le nombre total de chauffeurs engagés
z = x1 + … + x7
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É PROBLÈME DE RECOUVREMENTPROBLÈME DE RECOUVREMENTCONTRAINTESCONTRAINTES
Contraintes : Le nombre de chauffeurs présents chaque jour doit être suffisant
• x1 + x4 + x5 + x6 + x7 13 (lundi)
• x1 + x2 + x5 + x6 + x7 18 (mardi)
• …
• x3 + x4 + x5 + x6 + x7 9 (dimanche)
Contraintes de bornes : Le nombre de chauffeurs dans chaque équipe doit non seulement être non négatif mais également entier
• xi 0 et entier; i = 1; …; 7
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É PROBLÈME DE RECOUVREMENT : PROBLÈME DE RECOUVREMENT : FORMULATIONFORMULATION
Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
Sujet à:• x1 + x4 + x5 + x6 + x7 13• x1 + x2 + x5 + x6 + x7 18• x1 + x2 + x3 + x6 + x7 21• x1 + x2 + x3 + x4 + x7 16• x1 + x2 + x3 + x4 + x5 12• x2 + x3 + x4 + x5 + x6 25• x3 + x4 + x5 + x6 + x7 9• x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 0 entiers
Ce problème n'est pas un PL mais un programme linéaire en nombres entiers (PLNE)
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MODÉLISATIONMODÉLISATION
Exemple: production de portes et fenêtres• 3 usines:
#1 cadres d ’aluminium #2 cadres de bois #3 vitres et assemblages des produits
• 2 produits A portes vitrées avec cadrage d ’aluminium B fenêtres avec cadrage en bois
• demande illimitée pour les produits• profits par lot: A: 3000$ B: 5000$• temps de production pour chaque lot produit par heure
#1 A: 1 B: 0 #2 A: 0 B: 2 #3 A: 3 B: 2
• temps de production disponible par semaine #1: 4% #2: 12% #3: 18%
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FORMULATION DU PROBLÈMEFORMULATION DU PROBLÈME
PRODUCTION DE PORTES ET FENÊTRES
Temps de production
Usine 1 2 Temps disponible par semaine
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Profit 3000 5000
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FORMULATION DU PROBLÈMEFORMULATION DU PROBLÈME
Objectif• Maximiser les profits
Variables de décision• x1: quantité du produit A fabriquée
• x2: quantité du produit B fabriquée
Fonction objectif• MAXIMISER z = 3x1 + 5x2
Contraintes• usine 1:1x1 + 0x2 4
• usine 2:0x1 + 2x2 12
• usine 3:3x1 + 2x2 18
Contraintes de non-négativité• x1 0
• x2 0
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PROGRAMMATION LINÉAIREPROGRAMMATION LINÉAIRE
Résolution selon les techniques appropriées• Exemple
MAXIMISER z = 3x1 + 5x2
SUJET À• x1 4• 2x2 12• 3x1 + 2x2 18• x1 0 ; x2 0
• Solutions optimales programmation linéaire: simplexe programmation en nombre entier: branch-and-bound programmation dynamique
• Solutions sous-optimales: heuristiques
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ZONE DE SOLUTION RÉALISABLEZONE DE SOLUTION RÉALISABLE
Zone limitée par l’ensemble des équations de contraintes du problème et par les limites des variables de décision
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x10
18x2x3 21
12x2 2
4x1
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FONCTION OBJECTIVEFONCTION OBJECTIVE
Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum
2 4 6 8 10
2
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6
8
x2
x10
21 x5x336z
21 x5x310z
21 x5x320z
Solutionx1 = 2x2 = 6z = 36
(2,6)
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PROGRAMMATION LINÉAIREPROGRAMMATION LINÉAIRE
PHASES D’UNE ÉTUDE DE R.O.• Formulation du problème• Construction du modèle mathématique
Identification des variables associées au problème Formulation des contraintes qui délimitent les valeurs que
peuvent prendre les variables Formulation de la mesure d’efficacité associée aux
variables (fonction linéaire dite fonction objectif)
• Obtention d’une solution optimale à partir du modèle• Vérification du modèle et de la solution• Établissement de contrôles sur la solution• Mise en œuvre de la solution
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É RÉSULTAT D’UNERÉSULTAT D’UNEOPTIMISATION LINÉAIREOPTIMISATION LINÉAIRE
Le domaine admissible d’un PL peut être• vide: dans un tel cas, le problème est sans solution
admissible (pas de solution optimale)• borné (et non vide): le problème possède toujours au
moins une solution optimale• non borné: dans ce cas, selon la fonction objectif
le problème peut posséder des solutions optimales il peut exister des solutions admissibles de valeur
arbitrairement grande (ou petite) dans un tel cas, le PL n'admet pas de solution optimale
finie et est dit non borné
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FORMULATION DU PROBLÈMEFORMULATION DU PROBLÈME
PROGRAMMATION LINÉAIRE
Ressources par activité
Activités
Ressources 1 2 … n Ressource disponible
1 a11 a12 … a1n b1
2 a21 a22 … a2n b2
… … … …. … .
m am1 am2 … amn bm
Contribution c1 c2 … cn
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PROBLÈME DE MAXIMISATIONPROBLÈME DE MAXIMISATION
MaximiserZ = x1 + 2x2
Sujet à2x1 + x2 4
x1 + x2 8
-x1 + x2 4
x1 5
x1 0, x2 0
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PROBLÈME DE MAXIMISATIONPROBLÈME DE MAXIMISATION
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x2
x102x1 + x2 = 4
x1 = 5
x1 + x2 = 8
-x1 + x2 = 4 X1 = 2
X2 = 6
Z = 14
OP
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LY
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ÉO
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É
PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION
MinimiserZ = x1 - x2
Sujet à½x1 + x2 8
-x1 + 8x2 40
x1 8
x2 8
x1 0, x2 0
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É
PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x10
x1 = 8
-x1 + 8x2 = 40
½x1 + x2 = 8
X1 = 8
X2 = 6
Z = 2
12 14 16 18
x2 = 8
20
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
INTRODUCTION• développée initialement par George Dantzig en 1947• seule méthode exacte pour solutionner des problèmes
linéaires de grande taille• méthode itérative algébrique où l’on circule
séquentiellement sur les sommets à l’intérieur de la zone de solution jusqu’à l’obtention de la solution optimale
OP
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É
PROPRIÉTÉS DU SIMPLEXEPROPRIÉTÉS DU SIMPLEXE
Zone de solution du problème linéaire toujours convexe• une surface est convexe si elle est située toute entière du
même coté d ’un plan tangent S’il existe une seule solution optimale au problème
linéaire, elle est obligatoirement localisée sur un sommet de la zone de solution
S’il existe de multiples solutions optimales, au moins deux d’entre elles doivent être localisées sur des sommets adjacents
Le nombre de sommets de la zone de solution est fini Si la solution réalisable localisée à un sommet donné
n’a pas de voisin adjacent dont la solution est supérieure, ce sommet est la solution optimale
OP
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PTIM
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ILIT
É
ALGORITHME DU SIMPLEXEALGORITHME DU SIMPLEXE
1. Déterminer une solution de base réalisable
2. Vérifier si la solution actuelle est optimale
3. Déterminer la variable hors base qui va devenir variable de base
4. Déterminer la variable de base qui sortira de la solution
5. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon la technique de Gauss-Jordan
ALGORITHME ALGORITHME DU SIMPLEXEDU SIMPLEXE
OP
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LY
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AIS
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É MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONSDÉFINITIONS
Systèmes d’équations équivalents• Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions
Variable de base• Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations
du système et un coefficient nul partout ailleurs
Opérations pivot• Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système
d’équations équivalent dans lequel une variable devient de base
Système canonique• Système d’équations où il y a une variable de base par équation
Solution de base• Système d’équations où les variables hors base sont fixées à zéro
résolu pour les variables de base
OP
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ÉO
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É
FORME CANONIQUEFORME CANONIQUE
PROBLÈME DE MAXIMISATION
PROBLÈME DE MINIMISATION
,...,n j x
, ...,m i b xa
xc
j
i
n
jjij
n
jjj
10
1àsujet
Max
1
1
,...,n j x
, ...,m i b xa
xc
j
i
n
jjij
n
jjj
10
1 àsujet
Min
1
1
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ÉO
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É
FORME NORMALISÉEFORME NORMALISÉE
PROBLÈME DE MAXIMISATION
PROBLÈME DE MINIMISATION
,...,n j x
, ...,m i b xa
xc
j
i
n
jjij
n
jjj
10
1 àsujet
Max
1
1
,...,n j x
, ...,m i b xa
xc
j
i
n
jjij
n
jjj
10
1 àsujet
Min
1
1
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
FORME CANONIQUE
Max Z = 3 x1 + 5 x2
sujet à
x1 4
2 x2 12
3 x1 + 2 x2 18
et
x1 0, x2 0
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
FORME NORMALISÉE
Max ZZ - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0)
x1 + x3 = 4 (1)
2 x2 + x4 = 12 (2)
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)
avec
xj 0, pour j =1, 2, 3, 4, 5
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
ÉTAPE D’INITIALISATION• Déterminer une solution de base réalisable• Porter les variables hors base à zéro• Solutionner les variables de base• Exemple:
z, x3, x4 et x5 sont les variables de base
x1 et x2 sont les variables hors base
• On obtient: x1 = 0 et x2 = 0
x3 = 4, x4 = 12 et x5 = 18 z = 0
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
VARIABLE ENTRANT DANS LA BASE• Variable hors base entrant dans la base• Celle qui sera choisie fera augmenter la valeur de la
fonction objective le plus rapidement possible• Variable ayant le plus grand coefficient négatif (cas de
maximisation)de l’équation (0)• Exemple:
X2 devient variable de base
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
VARIABLE SORTANT DE LA BASE• Variable qui limitera le plus rapidement la progression
de la nouvelle variable de base• Exemple
si x2 entre dans la base équation (2)
• 2 x2 + x4 = 12
• x2 max = 6
équation (3) • 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
• x2 max = 9
limite maximale de x2 égale 6 sinon x4 devient négatif
OP
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
OPÉRATIONS PIVOT• Système d’équations original (variables de base en gras)
Z - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0) x1 + x3 = 4 (1)
2 x2 + x4 = 12 (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)
• Pour revenir à la forme canonique, il faut que les variables de base aient un coefficient unitaire dans une équation et nul dans les autres
• Équation (2) multipliée par ½ 2 x2/2 + x4/2 = 12 /2 (2)
x2 + ½ x4= 6 (2)
• Il faut éliminer les termes x2 des autres équations
OP
TIM
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
OPÉRATIONS PIVOT (suite)• Équation (0) = ancienne (0) + 5 équation (2)
Z - 3 x1 - 5 x2 = 0 (0)
5 x2 + 5/2 x4 = 30 (2)
Z - 3 x1 + 5/2 x4 = 30 (0)
• Équation (3) = ancienne (3) – 2 équation (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3)
- 2 x2 - x4 = -12 (2) 3 x1 - x4 + x5 = 6 (3)
OP
TIM
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ÉO
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ISA
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ILIT
É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
OPÉRATIONS PIVOT (suite)• Nouveau système équivalent d’équations
Z - 3 x1 - 5/2 x4 = 30 (0) x1 + x3 = 4 (1)
x2 + ½ x4 = 6 (2) 3 x1 - x4 + x5 = 6 (3)
OP
TIM
ISA
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LY
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ÉO
PTIM
ISA
TIO
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LY
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AIS
AB
ILIT
É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
CRITÈRE D’OPTIMALITÉ• Optimalité assurée lorsqu’il est impossible de faire
augmenter (cas de maximisation) la valeur de z• Exemple:
x1 peut faire augmenter z
Variable entrante x1
Variable sortante x5
• équation (1) • x1 + x3 = 4
• x1 max = 4
• équation (3) • 3 x1 – x4 + x5 = 6
• x1 max = 2
OP
TIM
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PTIM
ISA
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É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
SOLUTION OPTIMALE• Système équivalent d’équations
Z + 3/2 x4 + x5 = 36 (0) x3 + 1/3 x4 - 1/3 x5 = 2 (1)
x2 + ½ x4 = 6 (2) x1 - 1/3 x4 +1/3 x5 = 2 (3)
• Variables hors base x4 = 0, x5 = 0
• Variables de base x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2
• Fonction objective z = 36
OP
TIM
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ÉO
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LY
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É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Méthode essentiellement identique Informations
• Coefficients des variables• Constantes des équations• Variables de base de chaque équation
OP
TIM
ISA
TIO
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AIS
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ILIT
ÉO
PTIM
ISA
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AIS
AB
ILIT
É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Initialisation Critère d’optimalité
• Coefficients de l’équation (0) non négatifs ? Itération # 1
• Variable entrante x2
Entourer la colonne pivot• Variable sortante x4
Entourer la ligne pivot Point pivot à l’intersection
• Transformation de Gauss-Jordan
OP
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ÉO
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ISA
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AIS
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ILIT
É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Itération #1 (suite)• Diviser la ligne pivot par le nombre pivot
OP
TIM
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TIO
N E
T A
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LY
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ISA
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LY
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AIS
AB
ILIT
É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Itération #1 (suite) Appliquer les transformations
Nouvelle solution
z = 30
Solution (0, 6, 4, 0, 6)
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
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LY
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TIO
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LY
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AIS
AB
ILIT
É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Itération # 2 Solution
• (2, 6, 2, 0, 0)• z = 36
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
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LY
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ÉO
PTIM
ISA
TIO
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LY
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AIS
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É
SIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRESIMPLEXE SOUS FORME TABULAIRE
Ensemble complet
OP
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ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
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NA
LY
SE D
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AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
mnmm
n
n
mn
aaa
aaa
aaa
b
b
b
x
x
x
Z
.....
....................
.....
.....
0
...
0
0
......
où
àsujet
Max
21
22221
11211
2
1
2
1
A
0bx
0x
bAx
cx Forme canonique
OP
TIM
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LY
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AIS
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ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
mn
n
n
s
x
x
x
Z
...
mm identitée matrice
où
,
àsujet
Max
2
1
x
I
0x
x
bx
xIA
cx
s
s
Forme normalisée
OP
TIM
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TIO
N E
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NA
LY
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ÉO
PTIM
ISA
TIO
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NA
LY
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E F
AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
Problème
5
4
3
2
1
18
12
4
10023
01020
00101
,
53
x
x
x
x
xsxxb
IA
c
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
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E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
Itération 0
X2 entre
X4 sort
0
18
12
4
000000
18
12
4
18
12
4
100
010
001
x
x
x
100
010
001
100
010
001
x
x
x
5
4
3
1
5
4
3
ZB
B
B
c
x
BBx
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
Itération 1
X1 entre
X5 sort
30
6
6
4
050050
6
6
4
18
12
4
110
05,00
001
x
x
x
110
05,00
001
120
020
001
x
x
x
5
2
3
1
5
2
3
ZB
B
B
c
x
BBx
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É SIMPLEXESIMPLEXESOUS FORME MATRICIELLESOUS FORME MATRICIELLE
Itération 2
36
2
6
2
350350
2
6
2
18
12
4
33,033,00
050,00
33,033,01
x
x
x
33,033,00
050,00
33,033,01
320
020
101
x
x
x
1
2
3
1
1
2
3
ZB
B
B
c
x
BBx
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É RÉSOLUTION AVECRÉSOLUTION AVECMICROSOFT EXCELMICROSOFT EXCEL
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
RÉSOLUTION AVEC LINDORÉSOLUTION AVEC LINDO
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
SITUATIONS PARTICULIÈRES• Égalité des profits relatifs
Choix aléatoire de la variable
• Égalité des ratios Choix aléatoire Situation de dégénérescence: remonter à l’étape des
ratios identiques
• Solution non bornée En pratique, une contrainte est absente
• Solutions multiples Variables hors base avec des coefficients nuls dans la
fonction objective
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
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AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
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AIS
AB
ILIT
É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
VARIABLES ARTIFICIELLES• Cas
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn bi
Ajout d’une variable d’écart ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm = bi
Coefficient de la variable d’écart négatif ne peut servir comme variable de base
Ajout d’une variable artificielle ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + … + ain xn – xm + xa = bi
OP
TIM
ISA
TIO
N E
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LY
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AB
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ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
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AIS
AB
ILIT
É
MÉTHODE DU SIMPLEXEMÉTHODE DU SIMPLEXE
VARIABLES ARTIFICIELLES• Cas =
L’ajout d’une variable artificielle permet l’insertion d’une variable de base dans la solution de départ
Les variables artificielles sont éliminées de la solution en leur assignant une pénalité importante dans la fonction objective
RÉSOLUTION• Méthode du grand M• Méthode des deux phases
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
DUALITÉDUALITÉ
PROBLÈME PRIMAL PROBLÈME DUAL
,...,n j x
et
, ...,m i b xa
xc Z
j
i
n
jjij
n
jjj
10
1
àsujet
Max
1
1
,...,m i y
et
, ...,n cj j yia
yb Y
i
m
iij
m
iii
10
1
àsujet
Min
1
10
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
EXEMPLE DE DUALITÉEXEMPLE DE DUALITÉ
Le problème dual du programmeMax z = x1 + 4x2
Sujet à : x1 – x2 2 2x1 + x2 5 x2 3 x1, x2 0
est Min w = 2y1 + 5y2 + 3y3
Sujet à : y1 + 2y2 1 -y1 + y2 + y3 4 y1, y2 , y3 0
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
DUALITÉDUALITÉ
OP
TIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
ÉO
PTIM
ISA
TIO
N E
T A
NA
LY
SE D
E F
AIS
AB
ILIT
É
EXERCICEEXERCICE
Utiliser la méthode du simplexe• Max Z = 4 x1 + 3 x2 + 6 x3
• Sujet à 3 x1 + x2 + 3 x3 30
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 40
• et x1 0, x2 0, x3 0
OP
TIM
ISA
TIO
N E
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LY
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ILIT
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PTIM
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É
PROBLÈME DE TRANSPORTPROBLÈME DE TRANSPORT
EXEMPLE• Une municipalité possède 3 serres pour fournir 4 parcs• Capacité de production des serres C1, C2 et C3
• Demande hebdomadaire D1, D2 et D3
• Coût unitaire de transport Cij
OP
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É
PROBLÈME DE TRANSPORTPROBLÈME DE TRANSPORT
FORMULATION DU PROBLÈME
41310
et
31
41
àsujet
Min
4
1
3
1
3
1
4
1
,..., j ,..., i x
, ..., i C x
, ..., j D x
xc Z
ij
ij
j
ji
ij
i jijij
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EXERCICEEXERCICE
3 serres:• S1 = 3
• S2 = 7
• S3 = 5
4 parcs:• P1 = 4
• P2 = 3
• P3 = 4
• P4 = 4
Coûts d’expédition:
8667
45810
1222
ijc
OP
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EXERCICEEXERCICE
4 usines et 3 centres de distribution
Distribution
UsinesM1 M2 M3 Disponibilité
W1 4 3 7 140
W2 5 2 10 100
W3 13 8 17 60
W4 9 3 11 40
Demande 120 20 200
OP
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É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER
Max Z = 10 x1 + 50 x2
• Sujet à -x1 + 2 x2 5
x1 + 2 x2 14
x1 8
• et x1 0, x2 0
x1, x2 entiers
OP
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É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER
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É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER
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É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER
Méthode de séparation et d’évaluation progressive (Branch-and-Bound Technique)
• Choix de la variable de séparation Critère de la variable la plus distante Critère du meilleur cj
Critère de la variable la plus distante
Séparation selon x1
Critère de la variable la plus distante
Séparation à partir de P2
Critère de la variable la plus distante
Séparation à partir de P1
Critère du meilleur cj
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É PROGRAMMATION LINÉAIRE EN PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRE ENTIERNOMBRE ENTIER