centrum wiskunde & informatica - probability, networks and ...centrum voor wiskunde en...

20
Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance Routing for Train Units: the Transition Model G. Maróti, L.G. Kroon REPORT PNA-E0415 AUGUST 2004

Upload: others

Post on 30-Jul-2021

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

C e n t r u m v o o r W i s k u n d e e n I n f o r m a t i c a

PNAProbability, Networks and Algorithms

Probability, Networks and Algorithms

Maintenance Routing for Train Units: the Transition Model

G. Maróti, L.G. Kroon

REPORT PNA-E0415 AUGUST 2004

Page 2: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

CWI is the National Research Institute for Mathematics and Computer Science. It is sponsored by the Netherlands Organization for Scientific Research (NWO).CWI is a founding member of ERCIM, the European Research Consortium for Informatics and Mathematics.

CWI's research has a theme-oriented structure and is grouped into four clusters. Listed below are the names of the clusters and in parentheses their acronyms.

Probability, Networks and Algorithms (PNA)

Software Engineering (SEN)

Modelling, Analysis and Simulation (MAS)

Information Systems (INS)

Copyright © 2004, Stichting Centrum voor Wiskunde en InformaticaP.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam (NL)Kruislaan 413, 1098 SJ Amsterdam (NL)Telephone +31 20 592 9333Telefax +31 20 592 4199

ISSN 1386-3711

Page 3: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

Maintenance Routing for Train Units: the TransitionModel

ABSTRACTTrain units need regular preventive maintenance. Given the train units that require maintenancein the forthcoming 1-3 days, the rolling stock schedule must be adjusted so that these urgentunits reach the maintenance facility in time. In an earlier paper Maroti and Kroon propose amodel that requires a large amount of input data. In this paper we describe a less involvedmulticommodity flow type model for this maintenance routing problem. We study the complexityof the problem. It turns out that the feasibility problem for a single urgent train unit ispolynomially solvable but the optimisation version is NP-hard. Finally, we report ourcomputational experiments on practical instances of NS Reizigers, the main Dutch operator ofpassenger trains.

2000 Mathematics Subject Classification: 90B06; 90B10; 90C35Keywords and Phrases: Railway transportation; Maintenance routing

Page 4: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

����������� ����� ��� ���� ������

��� ��������� �����

������ �������

���� ������� �� � ��������� ������

������� ������ ��� !� �������� "�� ����#���

$%���#& �������������

� �����

� ��������� ������ ��$���'� ���(����)� �������

������� �*+� *��� ,� �������� "�� ����#���

$%���#& �����������������

��������

"��� '���� ��� ��'#� -�(����(� ������������ !�(�� ��� ���� '�������� �.'�� ����������� �� ��� /��������� 0* �)�� ��� �##��� ����1����'#� �'�� 2� �3'��� �� ���� ����� '���� '���� ���� ��� ����%������� /���#��) �� ����� 4�5��� �� 6��� 7 8 -�-��� � ���# �����.'��� � #��� ���'�� �/ ��-'� ���� �� ���� -�-� 9� ����2� � #�����(�#(� �'#���������) :�9 �)-� ���# /� ���� ����������� �'����-�2#��� �� ��') ��� ���-#����) �/ ��� -�2#��� �� �'�� �'� ���� ���/����2�#��) -�2#�� /� � ����#� '���� ���� '��� �� -�#)�����##) ��#(�2#�2'� ��� �-���������� (����� �� �%��� ;���##)� 9� �-�� �' ���-'��%�����# ��-������� �� -������# ��������� �/ �� ���������� ��� ���� ,'����-���� �/ -������� ������

��� ����� ����� ���� ��� ����<� ��� �� ���*=��������� ���#9�) ����-�������� ����������� �'�����

� �����������

��� ����� ������ �� ���� �������� �� ��������� �� � ����� �� ���

� �� ��� � � ��� ������� ������ �� �� ����� ������ ��� ����� �����

������ ��� � � ���� ��������� ���� � ���� ��� �� �� ��� �� �����

��� � ��� ��� �� � ��� ���� � ���� ������� �� �� �� ��� ��� � ���� ���

�

Page 5: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

� �� ���� ��� �� ������ ��� �� � �� �� � �� ����� ��� � �� �� ��

� �� �� � �������� ��� � ������� ��� ��� ��� !" #� $ ��� ��� �� �� �

��� � ������ ���� ��� �� ����� ���� �� %� ��� ���� �� �� �������

�� ���� �� �������� ��� �������� � ����� �� ���� � ������ ���� ��

���� � �� ��� ��� � ��� � ������ �����

&��'�� �� (��� )��* ���� �� � ����� �������� � ����� ��� �� ��+

��� ���� �� ��� �� ���� � �������� ��� ������ ��� ����� ��� �� �

����� ��������� ��� �� ���� � ��,� �� ��� ���� � ����� ��� ��� �

�� � � � �- ���� � ���� ��� ,� �� � ���� �� ���� ����� ��� ��������� ��

����� �� ����� � ����� ���� ��,� �� �� ��� ����� ������� � �

� � ������� ���� ���� ��� �� ��� ��� ���� � ���� ��� ����� �� ������� �����

������

.� ���� �� ��� �� ����� ���� � ������� "��� � /� 0�� �� �����

�������� � ����� ������� "��� � �� % "��� � 1 �� ����� ���

������2 �� ������ 0�� �������� ��� ����� ��� "��� � 3�

�� ���� ���� ������ ����� �

��� ���������� ������� �� ����

��� 4�� � � ��������� �� !" #� $ ��� ������ � ��� ���� � ���� ��������

.� ���� �� ��� ����� �� � %� ���� ��� ���� � ���� ������� ������

� 5���� ��� � ��� ��� �� ����� ������� �� ��� �� ���� ���

���� ��� �� ��� � ��� ������� �� ����� ��� � ����� ������ � +

� ��� ������� ��� ������� ��� �� �� ���� �� ��� �� � ��� ��� � �

������ � ����� "�� � ������� ���� �� ��� �� � ��� � �� ���� ��� �� � �

�������� �� ������ ���� ��� ��� ���� � ����� ��� ����� � � ��� � �

���� � ���� ��� ������ ���� ��� ������� ����

"��� �� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� �� � �� ������ %� � ���

� � ���� � ��� ��� � ���� � ������� � �� ����� ������ 6&� �����

����� �� ��� ���� ����� �� ��� �� �� ��� ��7 ��� ������� ��� � �

�� ����� ��� ��� ���� ��� ������� �� �� �� �� � � ��� �� �� �� �� ��

�� ���� ��� ������ �� ����� ���� � ������ ������ ������ �2���� ��

!" #� $ ��� �� � �2�� ��� � ��� $� ��� �� ����� ���� �� ������ �

���� %��� ��� ������� ��� �� � � � �� ��� � ��� � �8 ���� ���� ���

� �� ����� ����� � �� ��� ��� � ��� $�� ���� ��� ���� � 5����

����� �� �2����� �� � ����� � 6��� ���� �� � ���� ��� � � �����

/

Page 6: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

�� �� �� �� � �� / ���7� ��� ���� �� ��� ������� ��� ���� � � � ��

��� ��� � ��� $� ��� �� ��9���� � ���� ���� ����� � � ������ �� �

�� ����� ��� � �� �� �� ����� � ��� � ������� ��� ��� �� �� �����

��� � ����� ���� �� ��� �� ��� � �� � ���� � ��� $��

��� �� ����� ����� ���� � ������� ���� �� ��� � 6����7 �����

�� ��� � � ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ��� ��� � �� ������� ��� �

������� ��� � � �� �� ��� � �� ��� ������ �� ���� ����� �� ����

��� ����� � � � �� �� � �� ����� ���� � ���� � ��� � ���� �2������

�� �� � � ������� ���� ����� � � ������� ��� � �� �� ����� ��

��� � �� ��� �� ���� �� ��� ����� � � ���� � �� ����� ����

�����

�� �����

� ���� �

:���� ��� ��,� �� ��� � �� ��� ��� �� ��� �� ����� ����� ��

�� ���� � ���� ���� �� ��� � ��� �� ��������� ���� ����� � �� ��� �����

��� � ���� � ��� ��������� ����� �� �� ��������� ����� ��� %� ���

�� ����� ����� ��� ���� �� � �� ����� ����� �� ����� ���� ��� �

:���� ��� � ������ ��� �� ����� ����� �� ��� ����� ��� � ����

���� � ��� � ��� �� ����� ���� � ����� ���� ��� ��� ��� �� +

� � � �� ��������� ���� ��� ������ �� ��� � �� ��� ��� ���������� ���� �

�����

��� � ������ �� �

"������ ������� ����� �� �� ���� ��� � ��������� 4 ���� �� ��� )��* ���� ��

� ����� ��� ������ ��� �������� �� ������� ��+������ �� ���� ���� ����

��� ��� � ��2 ��� �2������ ����� ������� ���� �� �� ��� �� ����� ��

���� ���� ��� �� ����� ��,� ������

"��� ����� ����� ���� � � ������ �� ����� ���� �� ��� �2������

;������ �� ��� )/*� :����� �� ��� )3*� ��� �� ;��� )<*� =����� �� ������ )>*

�� ������ )��* ���� � �� �� �������� ������ �� ��� )�* ���� �� ����� ���

�� ���� ���� ��� � ���� ��� � ��� �� ��� � ������ ���� � ������

�

Page 7: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

���� ����� ���� �� ���� �� � ������ �� ��� �� ����� ���� � �� !"

#� $ ���� ��� ����� �� ��� �� ����� ���� � � � ���� �� ��� ��� ��+

�� ���+���� ��� ��� ������ � �������� �� ��� �� ��� ��� �� ��� � � ����

��� ��� ��� � ��� �� �� ��� � ��� ��� ��� ����� ����� ������ ��� ��� ���

������� ���� ������� � ����� ��� � ��� � �� �� ������� ���������

��� �� ���� ���� ��� � ����� � �������� ���� ��� ������ �� ���� �����

�� �� ���� �� ��� ����� ���

������������ � ������� �� ����� ���� � �� ���� ���� ��� ���� � ����

������� �� �� ���� �� ��� �2����� � ����� � ��� �� ����� ��� � ������ ��

���� 0 ��� ����� ���� ��� ����� �� ���� ������ ���� � ����� ����� ��

���,����� �������� ����� ���� ���� ��� � �� �� ���� �� ��� �2���� �

�� � � � � ��� ��� ��� � �� ��������� � ������ �� ��� ����� ����� ��

����� � ����� ��� � � �� � �� ����� ��� � ��� �� �2��� ��� ���

�� ����� ����� �� ��� ��� � ��� �� �� ����� �?� ���� �� ��� �

���� ����� �� ��� � � �� �� �������

��� �� � ���

��� ��������� �� ����� ���� � ��� �8 ����� ����� ���� ���

���� ��� �� ��� �� ��� � � �� ���� �� ���� �� ���� ��� � ������

���� ��� �� ����� ���� � ����� �� ���� �� 9���� ��� � ����� �� ���

�� ����� ���� �� @������� ������ � ��� � ��� � ����� ��� ���

9�� � ��� � ����+ $�� ��� �� ��� �� ���� ����� ����� � � �� ���

�� ����� ��� ��� ��� � ������ � ������ � �� � ������ .��� �� �� ��

�� ���� ��� � ����

.� ��� ���� ��� ������� ��� ����� � ��� � ���� ��������� � �� �����

��� � ���� ����� �� ������ ��� ��� ��� ��� � �� �� ���� �� ��� �������

��� �� �� ��� ���� ���� ��� ����� ��� � ���� � �� �� ���� �� ����� ��� ���

�� ����

&��'�� �� (��� )��* ������ ��� A"���� � &����B ��� ��� �� �����

���� � �������� %� ���� � ���� �- � ���� � � ����� �� ��� � �

��� �� �� ��� ����� ��� � ����� �� �� ���� �� ���� ��� "���� � &����

��,� �� ��� ���� � � ��� �� ���� ��� � ���� �� �� ��� ����� ����� ���

��������� �� ���� �� ���� ������ ������ ��� A��� � � &����B� %� �

��� �� �� ��� ���� +����� ��� ��� ���� � �������� ��� �� ���� � ����

���� �� �� ��� )C* �� ���� �� D �� )�1*� 0�� ����� �� ������ ���

������� �� ���� :������ �� =���� )1* �� ;���� �� ��� )�*�

1

Page 8: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

��� ��� � � &���� ��������� � ����� ������ � � ��� � �� +

� � � � ��� � ���� �� � �� �� �� �� ��� � � ��� �������- ��� ��� �� ��� �

��� ���� ������� ����� ����� � �� �� ����� ��� ��� ��� � ������ �

������ � �� ��� ���� ����� ��� � � � ����� ��� � ������ .� ��� � �

� ��� ����� �� ����� ������� �� ��� � � �� ���� ��� ��� �� � ���� �

� � ���� ���� � �� ��� ��� �� ��� �� ��� � � ��� ���� �� ���

��� � � &���� �� ������ ��� ��� "���� � &����� � ��� ������� ��

���������� ���� �� @������� � ��� ���� ��� � ��� �� �� �� ���� ��

��� ��� � �� � ������ �� ��� � ������ ���� ��� ��� ���� � �� ��

���� ���� � ��9��� � �� �������� �� ����� ��� � ����� #����� ���� ����+

���� ������ ��� �� ����� ��� � ���� ���� ���� � ��� �������� ��

��� ��� � ���� ������ � �� �� ��������� ������

� �� �������� ��� �

��� ��� ����� ���������� ������ � ���

.� ������ � ��� ��� ��� ��� ������ �������� � �� � �� ����� ��������

� �� ���� ����� ������ ���� � ��� �������67� �������67���� ����67 ��

����67 � � ��� ���� ��� ����6�7 � ����6�7 ��� ���� � � � � �����

��� � �,���� 6��� � � � � ��7 �� ��� � �� �������6��7 E ��� �������6����7

�� ����6��7 � ��� ����6����7 ��� ���� � E �� � � � � � � �� ����� �� �

���� � � �� � �� ������� ��� �� F��� �� � �� ���,��� ��� ��� � �������

��� � ����� ��� ����� � % � �� ���� ���� ��� �� ��� ������� ��� � ��� ���

�,���� �� ��� � ��� �� � ���� ����� ��� � �� �� ������ ��� �����

� �� � �� ��� 6�� �7 ��� ���� � �� � ������� ��� � �� �� ��� ����

�������6�7 E ��� �������6�7 �� ��� ����6�7 � ����6�7 G � �� ����

����� � �� ���� � � �� ������

�� ����� �� ����� ��� � ������� ����� � ����� � ��� � �� �

+�� � ��� �� � �� � � ��� � �� � ���+�� � ���� ��� �� �� ��� � �� �

� ������� �� ��� �� �� ������� �� ��� ���� ��� � � ���� � ����� � ������

6 ����� ����� � � � ��� �� ���� � ������ ������7 � ����� ���� ��

�� ���� �� �� ��� ������ � ��� �� � �� ���� � ����� 6�� ��������7�

��� �� � &#+����� � E 6��7 � ���� � � � ���� � ��

��� �� �� ����� � � �� 6�7 � � ��� ���� � � � - ������ �� � ���

��� � ����� % � �� ����� ���� � ���� ��� � � ��� ����� � � ���

���� �� ��� �� �� �� ��� ��� � � ���� ��� ����� � �� ����� ��� � ��

3

Page 9: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

��� ��� � ��� ��- ��� � � � � 6�7 ��� �� �� �� ����� ��� ����

�� �� � ��� �� � ����� �� �� �� ��� �� ����� ��,� ����� �� ���

�������� � ��� � ��

% ���� ����� �� ����� ���� �� �� ��� ����� ��� ��5�� � �� �� ����

���� ��� �� ���� ��� ���� � &#+����� ����� �� � � ���� ��5�� � ��� %� ���

����� ���� ����� �� ����� ���� � ���� ��� ����� ��� ���� ��

��� �� ����� ��� ����� � �+�������� ��� ������� � ����� ���+

���� %� �� ��� �� �� ����� ��� ������� �� ��� � � ������ ��� ����

��� �� �� ������ �� � 5���� ��� �� @������� ��� ���� ������ ��� � �

��� �� ���� �� ��� ��� � � �� &#+������

��� ��� �����

���� ��� � ������� �� � �� ���� �� ������� ��� �������� � &#+������

��� �,���� �� ��� ���� �� �� � ��� �� � ��� ��� � � ���� �

����� ��� � ��� �� ��� ���� ��� ��� � ������ ���� ��� �������� �

&#+����� ���� ����� � ����� �� � �� ���� ����� � ����� � �����

� E 6��7 � �� �� ��� ���� ���� � ������� � �� ��� � 9� � ���� ���

���� ��� ���� ����� � �� ���� ���� ���� ����� � ����� �� � � �� � �

�� �- ��� ������� ��� � � � �� ����� ���� � ����� ���� � ���� ������

"�� ��� �� ����� ���� � ������� ����� �� �� � � ���� ����� ��� ����

��� ���� ��� ���� ����� ���� ���� �� ����� ��� � ���� � ��� 6�7�

% ����� �� �������� ��� � �5���� �� ��������� ��� ���� ��� � � � ���

����� �� ��� � ��� � ���� � �� �� � ��� � ��� � � 6�� "��� � 3�� ��� �

���� � �� � � ��� �� ��������� ���� �� �����7 .� ������ ��� �������

��� � � ����� �� � ���� � �� ��� �� �� ��� � � ���� ��� � � ����

. �� ���� ����� ��� �� ����� ���� � ������� ������ ��� ������ �

����� ���� ������ �� H�� �����- �� ���� � ��� ������ ����� � ����� ���

����� ���������

���������� ���� ���� � ������ ����� � E 6��7� � ��� � �� ������ � �

� ��� �� � � � �� �� �� � ���� � ���� 8 � �� � � � � ���� ����� �

�� ����� � ����

6�7

��� ���� ��� ���� � � � � ��� ���� ������ � �� � �� ��� � � ������ �� 6�7�

I

Page 10: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

.� ��������� �� � � � ��� � ��� �������� ��� ��� ���� ���8

� 8 � ��� ��� �� ��� ���� � � � � �� 8 � ��� ��� 6�7

��� ���� � �� ��� ������ H�� � ��� � ��� ���� �� ��� ����� � ��

�� �� � ��� ��������� � � ���� � �� � ���� ������

��� ����� � ���8

�� H�� ������� � ��� � �� ����� ��� � �2���� ��� ��� ����� �� �-

���� ��� �� ���������� � � 6�� �� ��� ����� ��� �� �� ���� �

�� ���� � ���� ������ ����78

����6�7

�E �

����6�7

�E �- 6/7

/� H�� ������� � ��� ���� H�� �� �� ����� ��� � �2���� � � E � ��

� �6�78

�����6�7

�E ��

����6�7

�- 6�7

�� ��� H�� �� ��� ���� � ������ �� ��� H�� �8

��� ����� ��� �8����

��6�7 � �6�7- 617

1� ����� ��� � � � �� ���+H�� � ��- ����� ����� �� �� ���+H�� �

�8

������6�7

�E �- �

����6��7

�E �- 637

3� � �� ����� ��� � �� � ���� �� ���+�� � H�� �� �� ��� H��

��� �� �� +�� � H�� � H�� � �� ������� ���8

����

��6���6�77 E �-

���� � ������

�����6�7

�E �� 6I7

��� ��9��� �� ���� � 8

� � ����

6�7 � �6�7� 6C7

C

Page 11: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

����� �� ������ ���

��� � ����� � ������ � � �� �� ������� � � �� ���� �� ���� �����

�� �� &�� ��� � � � �� ����� ���� � ������� � �� ���� � ���� ���

� �� ��- ��� ��� � � � �� ��� ����� �� �� ������� ��� �������� �

&#+������ � ���� ���� ��� ����� ������ ��� ������� .� ���� � ����� �

����� ������ � ���� ��� �������� � � � � ���� ����� �� ������ �

�� �� ��� ��� ������� ��� ������ H�� �������� � �� �� ������ � �����

������ �� � ��� ������� ��� � ���� ����� � ��� � ��� ��� &#+

������ �� �� ������ � ��� ������� ��� � ��� � ��� % � �� �� ��� ����

���� �� ������ ������ H�� ������ 6��� ���� � �� ���� "��� 9��� )�/*7� ��

�2��� � � �� ��� ��� ������� � ������ = �� � ����� � ����� � E 6��7

� �� � ���� ����� �� ������� � ��2 � ��� ����� �� E 6�� � �7 � ������8 ������� � � � ����� ��� ��� � � �� ��� ���� �� ��� �� � ��� ���� ��� ������� � � �� � � ����� � ��� ������� �� �� ��� ���� ������� ��� � ��� � � ����� � ��� ������� �� ���� �2����� � �� � ���� /� !��� ��� � ������� � �� ��� � � � ���� � �� ��� �������� � ���

�� � � ������ � ��� �� ��������� ��� �� � ��� ������� ��� ����� ���� � ��� ���� ������� �� �� �� �� �� �� ��� � ��� � ��� �����

� ��� ���� / 8 ��� ��2 � ��� ������ 6��� ����� ��� ��� ��������7

� ����� ��� � �����

% �� ��� � �� ��� �� ������2 �� ����� ��� ��� ��� � � &����� .� �����

���� ��� ��� � � �� ������� !J+�������� ��� ��� ����� ��� � ���

����� ���� .�� ��� ����� �� ����� �2��� � ��� ��� ���� � �� ���

��� � � &���� �� �� ���� ������ �� � �� � �� ���� � �������� �

������� �� ��� ����� �� ����� ���� ��� &#+����� � �� �� ����� ����

��� ��� � � �� ��� � ������ ���� �������� ��� ��� ��� � $�� � �������

���� !J+����� ��� ������ � ����� ����� $� ���� ����� �� �� ��� ��

<

Page 12: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

:�����2 �� �� ��� ��� � � &���� ��� � � �� 0�� � �

�� ����� ����� � ������ �� � E � !J+���� !J+����

�� ����� ����� � ������ �2�� ����� �� ����� J J

&#+������ �� � E � J !J+����

��� ����� ����� �� � ��� � � �� � ���

����� �� � �� �� �������� �� ������ �� � ������ ����� ��� � ���� �����

��� ���� � � �� ��� ����� �� ���� � ���� ����� ���� � ���� �� ��

!����� .� ������ ��� �� ��� � �� ������� �� ��� �������� 4�� ��� � � � � � ��

;����� ��� ����� ��� � � ���� �� �����

��� E

��� � � E G��

�� � � E ���

:� ��� ��� � 9��� �� ����� ����

� E

���

�������

������

� � � �������

�����

�%� ����+��� ���� � !J+�������� �� ��� �� ������� �� �� �� �� � �

����� �� ��� ��� ���� ���� ���� � ���� 6:��� )I*7� .� ���� � �� � �����

������ .� ��� ��� ��� �� � �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� � ��� ���� �

��� ���� � E �� � � � � �� �� ������ ����� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� ����

���� �� ���� &�������� �� ��� ��� ��� ��� 4�� � E � �� � E � �

�

�

�

�

� �

� �

� ���� �

��� ��� ��������� �� � ��� ���� �� 6� ���� � �� �� � ��7 ����� �� ��

������ � A��2B � ��� � ���� �� .� ������ < �� ��� �� �� �� �� �� �� �� �

�� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� .� ��� ��� ��� ������

&�������� �� ���� ��� ��� ��� � ��� �+������ �� ����� ����� �� �� ��

���� ��� ��� ��� � �� ����� ����� ��

.� ����� ��� ��������� �� �� �� ���� � ����� ��2� .� ���� � ���

���� �� �� ��� �+��� �� ��� ��� �� +��2� .� ��� � ��� ���� ��� �+��� ��

>

Page 13: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

�� �� +��2 �� ��� �+��� �� ��� �2� ��+��2� � ����� �� 9� ��� �+��� �� ���

��� �� +��2 �� �� � ��� �� ���� � � ����� � � ���� 1� !��� ���� ��� ���

���� � ���� ����� ��� ��� ��� ��� ��� �� ���� � ���� ������

��

��

��

��

����

�� �����

���

� ���� 1

.� ��� � ���� � ���� ����� ����� � � � �� � �2 � �� ����� � ��

��� � � �� ������

"����� ����� �2 � ��� � ���� ������ 0����� ���� ��� �� �� � �� �����+

���� �� �� � ��� ���� �� ���� ��2� � ���� ��� ��+��� �� ��� ��+���� ��

������ �� �� ��� ��� ������ �� ��������� 6 ��� ��� ���� ���� ��� 9� � �� �

��+���7 � � ��� ���� ���� ��� �+��� �� ��� �+��� ���� �2����� ��� ����+

� ��� �� �� ��� �+��� �� ��� �+��� ���� �2����� ��� ���� � ���� "��

�� ���� � ��� ��+��� ��� ��� ��� �� +��2�� ������ � �� � ����� 0�����

���� ����� �� � ���� ��� ����� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� �+����

����� ���� ����� ����� �� ����

:�������� ����� ���� ��� ��� ���� ���� � � ���� �� �� � �� ���

�� ����� �� ����� �� �� ��� � ����� ���� ���� � �����

%� �� �� ����� ����� ����� ��� ��� ���� � � ���� � ��� ��� ��� �� �� ��

��� �� ��� ��� ��+��2�� %� � ��������� �� �� �������� ��� ����� �� ����� ���

������ ��� �� ��+��� �� �� ��2� ������ � ����� ��� �� �� ��+����

%� �� �� ����� ����� ����� ��� ��� �� �� ��+��� �� ��� ��+��2�� ��� ��+

��� ������ ��� �� +��2� � ���� � ��� ��� ����� � ��� ��� �� �� �� ��

��� �� +��2�� %� ��� ��������� �������� ��� ����� �� ����� ��� ��� ������ ���

�� �� �� �� +��2� ������ � ����� ��� ��� �� �� ���

� ����� ����� ��� ��� ��� ��� � E �� � � � � � � � �� ��� ��� ��� ��� ���

��

Page 14: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

������� ��� ���� � ���� ����� ����� � � � �� ��

��� !������ ����� �" � ��� �����

% ��� �� ����� ���� � ���� ��� �� ��� ����� �� ����� �,��� ��� ��+

��� �� ��� � � �� ��� � �� ����� .� �� �� ��� � � � ������ �� �� ���

����� �� ��� ��� � ��� �� 6��������� ��� ����� �� ��� �� ��� ���

�����7 ��� ���� � ���������� ��� ��� ��� � � &���� �� �� �����

������ �� � ���

����� �� "�� � � ������ ����� � E 6��7� ��� ����������� ������ #$%

& #'% �� �� ����� � �6�� ���7���

����� ����� � �� ��� ���� �� �������

!����� 4�� ! E �� �� " E ��� �� ��� � E �� �� .� ���� ���� ��� �����

��� # E ��� � � � � �� �� ���� � E ��� � � � � ��� ��� ��� � �� � ������� �� ��

������� �� � ������ ���� ������� � ����� � ����� �� E 6� �� �7 � �� ��

��� 6/"!7� ��� �� �� ��� 6/"!7�� ���� ��� ����� �� ��� ������� �

� �������

.� ������ ��� ��� �� � ���� ;� ��� � � � ���� �� �� ������� � ��

� ����� ����� ��� ��� �� ���� � ��� �� � 9��� ���� ��� � � � � �� ���

���� ���� ��� � ����� �� �� ���� ��� ��� ��2 �� .� ��� ���� ���� ���

��� ������ �� �� �� ���� � ����� � �� $� �� ��� ������� ����� �� ��

��� "! ��� �� �� ��� "! ���� .� ������ ��� ���� ������� ��� ������

��� � ���� ����� ��� �� � �� ����� �������� �� � ���� �� ���� ���

������� ����� ����� � ��� ��� ��� ����

.� ������ � ������ �� � � ��� ����� 6�G�7+����� �� E 6��� � � � � ��� ��� � � � � � 7

����� 6�7 ��� ��� �� � � ������ ��� ���� ���� �� �� ��� ��� ��2 �� 6��7

��� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��� ���� � ��� �� 6���7 �� � ��� �� ��� ����

$ E �� � � � � �� ��� ��� �� � ���� ��� ����� �� ��� ��� � � ������� ���

������� �� �� �� ����� ������� ����� � � $ �� ��� �� �� �� � ����

4�� �� �� ��� ��� � � � �� ��� �� ������ �� �� �� �� � �� �� E � � � E

� E �� 4�� %� ���� ��� ��� �� � � � ��� ���� ��� ��� �� � � �

� ������

��� ���� ���� �� ��� �� ��� ���� �� E � ��� ���� $�

4�� �� E 6��� � � � � ��� ��� � � � � � 7 �� �� E 6��� � � � � ��� &�� � � � � & 7 ��� �� �

��

4�� � �� � 6��� ��7 �� � ��� �� �

� ��� ����� �� ��� ���� �� ��� ��� �� ��� �� � �� ��� ��� ��-

� ��� ���� 6��� ��7 ��� � E �� � � � � � ��� ��� � 9� �-

��

Page 15: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

� ��� ����� $ E �� � � � � �� &� E � � �� ��� � �� E � �� � ��� ���� �� ��� ���

�� � ������� �� ����� ��� ��� ����� � � $�

.� ���� ��� ��� �� ��� ��� 6��� ��7 ���

�� 6��7�

��� � ���� �� � � 9� � ���� � ����� � ��� ��� ��� ��� �� ��+

�� � ��� ��� �� ����� ��,� ����� �������� �� � �� � % �+���� ��

� �� ��� ��� ��� ������ �� � �� �����

��� �#�� ��� ���� ��� � ���� ����

.� ���� �� "��� � 1�� ���� ��� ��� � � �� ������� � �� � ��� �����

��� !J+�������� ��� �� ���� ��������� ������ %� � �������� ��� ��

���� &#+������

����� �� (�� � E 6��7 �� � �������� � � �� � �� ��� ��� �� �������

����� ��������� �� �� � � � � � ������ ���� � �� � �� ������ � �� E 6���7

���� � ���� ���� �� ��� ��� ���� )�� ����� �*���� � ���� ����� �� ��� � �

� �

!����� 4�� � ����� ��� �� �� ������� ��� � �� :� ��� ��� ��2 � ��� ������� �� � � ����� "��� � ��/� 4�� ' �� ��� �� �� ��� ���� � �� � �

�� � E �� �� ��� '� �� ��� �� �� ��� ���� �' � �� �� � � ���

.� ��� ���� � �� � �� � 5���� ��� ���� � '� �� ����� � ' � � ���

��� ���� ������� �� ���"����� ��� �������� 4�� �� �� ���� �� ��� ���� � � .� ��� ����

���� �� � � � � ������ � �� �� ��� ����� ��� �� � �������� 4�� ( �� ���

���� ������� �� �� ���� ���� ���� �� ������ ��� ��� � ( �� �������

����� �� � � ������ � ��� � ��� &�������� � ���� � ������� ��� � �� �������� ���� � �

�

���+���� ���� ��� ��� ��

�� �� ��

����

��� ��� ��� ��� ����

���� ������ %�� �������� ���� � ��� ���� ��� � �� ��� ������

�

�� ���� ��

� � ��� � �� ��� % ���� ��� �� ���� ���� � (� % ���� ������ �� ���� �

���� � ����+������ �

��� ����� ��� ����)�� � �� �� ���� �������6�7 E ��� �������6)7� ��

��� ����� ��� ���)��� � �� �� ���� ��� �������6�7 E �������6)7� ���������

�������6�7 E ��� �������6��7� &��������

����6�7 � ��� ����6�7 � � �� ���� � ��� ����6��7� � �� �����

��� ��� � ���� � ������� ��� � � 6�� ��� � �������7 �� � ��� ����

��� � �� % ��� ������ ���� �� � �������

��� � � ��� � ��� ��������� ���

�/

Page 16: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

�������� �� ������ �� ��� � ��� �� �� ��� ���� � � ��������� ���� �� ��

���

���� � � ��� ��� ���� ������� �� ������ ����� ��� �� � � ��� �2 � � ������ � ��� � *��� �� ���� � ��� ���

�������� 4�� * �� ��� �� �� ���� ���� � ���� �������� �� �� � ����

�*��� 8 �� � � ���� ��� ��� � ��� � *��� ��� ��� � 9� �� ���������

6� �*7� 6* ��7 � ���� ����� �� �� &�������� � ��� � �� ����� �� *�

��������� 6� � *7 � 6* ��7 ���� � �

�� ��� �

��������� �� )�� ���������� ������ �� ��� )�� ����� ���� � � ��������

���� � � ��� � ��� #���� ��% �� �� ����� � ��� ���� �����

��� !J+����� �� ��� ��� � � �� ������� ��� ����� ����� � �����

������ ����� �� ��� �� �� ����� � ����� ���� ��� �� &#+������ ��� �����

����� ���� � ��� �������� �� &#+����� ���� ��� �2 ���� �� � ����� �� �

�� ��� �� �� ���� ��� � ��� �2 ���� �� ��� ��� ����

��� ����� ��� ��� ��� ��� � � �� ������� ��� �� �2��� �� ��� ��� � �� �

��� � �� ��� ��� ����� � � ���� #��� ���� ��� ��� �� � ���� ��� �

��� ����� � � ��� �� ��H��� ��� ��� �� � �������� � ���� �� � ���

�+����� � � � �� �� �� ��� � �� �� ���� �� ���� ���� �� ��� ���

�� ��� ���� � � ����� �������� �� � � ��� ��� ���� � �� ��� ��� � �

&���� � �� �� ����� ��� ��� !J+���� &#+������

����� �� � �� �!����� �� � � � ������ ����� �� ��� ��� ����� ����

� ��������� ���� � � ��� � ���� ��� � � ��� �� � �� ���� � � ��� ���

���� ���� � ���� �

!����� � �� �� ��� ���� ���� ����� � � ������ ����� � � �� � ���� ����� �

�� �� �2����� �� � &#+����� ��� %����� ����� ��� �� ��� �� �� ���

��� � ��� ��� ������� ��� � �� .� ���� ��������� �� ��� ��� � �� �

������� :� ��� � ������� ��� ����� �� �� ���� � � ����� � � E ���� � � � � ��

��� ���� ���� � ��� � � � $� 4�� ��� ����6��7 E /�� �� ����6��7 E /��

�� ��� � �� ���� E �� ��� ����� ��� �� � � ������� �� ��� ����

��� � �� .� ��� � ��� ��� ��� ��� ����� �� � 6�� �7 ���� ���� � ��� ����

��� � � ������ � �� ��� ��� � � "��� � ���� ��� ���� �� ����� ��

� &#+������

.� ����� �� �� ��� ����� � ��������� ��� ����� �� ������� �� .� ��

��� ��� ����� � ��� ��� �� � �� ��� �� �� �� ��� ��� ����� � ��� ��� ����

��

Page 17: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

����� ���� ��� ��� � � ������� �� �� ��� ��� � �� � ������� ���

�2����� ����� �� �� ��� ��� ����� $��� ����� �� ��� � ��� ��� � � ��

������� ��

� ������������ � �����

$�� ��� ��� ������

��� ���� �� ��� ����� ����� ��� ���� ��� � � ���� ����� � ��� ��� ��

�� ��� ��� ���� �� .� ���� ���� ��� ������� ��� �� � �������� �

��� � ��� ���� �� �� ���� �� ��� ����� ��� ��� ��� ����� ������

��� ���� ��� ������� ��� �� �� �� ��� ��� ����� �� ����� ��� ��� � ��

��� � �� .� ������ �� ���� ��� � � ��� ���� ��� � ������� ����� ��

��� � ��� ������ � ������ �� ������8

� ��� �� � � �� ��� � � ��� ��� ����� � �-

� ��� � �� � 5����� ������ ��� ���-

� ������ � ����� ��� ����������� � �� ��� ��� � ���� ������ ���

��� ��� �� ��������� �����-

� ��� ��� � ����� ��� ��� � � ���� �����- ��� � � �� ����� ����

���� �� �� ���� � �� � � � �-

� ��� � �� ���� ��� ��� � � ���� �� ���- ����� ��� � ��� ���� ���

����� �� �� ����� �� ��� ��� ��� ����� ����

$�� %&� ������

.� ��� ��� ��� � � �� ���� K"�� ���L � ��� �2������ !" #� $ ��� �� 1C

��� � � �� �� ����� ��� � �� � �� ��� ������� ��� � �� ����� �� .�

�� �� ���� ��� ������ � ��� ���� ��� "��� � � ����� ������ � ���

����� �� ��� ������ ������ . ����� �� ������ �� ��� � ��� � ��� �������

����� �� �� ��� �� ���� ����� ��� ��� �� ����� ��� � ����� ���� ���

��� � ��� �� �� � �� ���� � ������ �� �� � ���� ���� � � �� � � ��

��� ������

.� �� ����� ��� � ��� $� �� / �� �� 3 ���� .� �������� ����

���� ��� ��� � ��� $�� .� ������� ����� ��� � � �������8 ����

� �� � �2�� �� ����� ���� / ����� � � ��� ��� ��� ��� � ��� ���

�1

Page 18: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

J�� � ��� �� / ��� � ��� 1 ��� 3 ���M �� ��� ���>I ��CI/ /��/I /�C�>M �� ��� � � ><���3 �><�I�1 ��/���� 3�<�<3�M �� ������� ��� � � ����>1 �C��IC //�<�� /<�3C�

����� �

J�� � ��� �� / ��� � ��� 1 ��� 3 ���M ����� � � 1 I < ��M ��� ���� %J /<�13� 3���>� C>�C<I ��1��>IM ����� � %J �3���C /��<�I �/�>1C 1/�IC/ ������ ��� � � �� 1��� <�>/ �>�I> 1���� &�2� ��� � � �� I �/ ��< 1<I

����� /

" �� ��� �� ����� ��� ���� �� ��� ��� � �� �� ��� ��� ����� � � �����

���� ��� ����� ������� ��,� �� ��� �� H�� �� ��� ����� �� ��� ����� ��

��� ��� �������� � �� ��� ��� ������ � ������� %40= 0J4 "��� � ��C

�� ��� ����� ������� ����� %40= :J4FN >�� � � J: � �� � %��� J1 ���

=@$ ������� �� 3�/ &; ����� ������� 0�� ����� ��� ����� ��

����� /�

��� �� ��� ����� $� �� ��� ����� � ��� �������� ��� ��� ���� � �����

�� ���� �������� ���� � ��� %� � ���� ����� �������� �� �� ������

� ���� ����� ��� ������ �������� �� ��� ������� ����� � � ��� � ���

�������� � ���� �� � ��� ��� ��� ����� ���� ����� � ���� ����� ��

����� �� :J4FN �� ���� �� ������� � ��� ��� ����� ���� ��

% ����� �� ������� ��� ��� � � &���� �� ��� ���� ������ "���� �

&���� ���� ���� ��� )��*� �� ��� ��� ��� ��� � � ��� ���� ��� "���� �

&���� �� ��� ��� � ����� ��� ��9��� �� ���� �� ��� ��� ��� � � &����

������ � ����2�� � �� ��� "���� � &����� .�� ��� � ��� ��� ����

���� ������ ��� � 5����� ������ ��� ��9��� �� ����� ����� ��� �� �� ����8

��� ��� �� ��� ��� ��� �� 9�� �� �� ������� �2�� �� ���� ���� �

��� ���� � �� ���� ����� ������ � 5��� �������� ��� ��� � � &���� ����

���� �� �2�� � � ���� � ����� ��� � �� �������

��� ����� ��� ����� �� ��� ���� �� �������� ���� �� ��������� �� ���

���� ����� �� �2����� �� ��� � ���� � �� ��� �� ����� ������

���� ���� ��� ���� � �� �������� �������� �� ��� �� ��� ���� ���

�3

Page 19: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

����� ��� � ���� ����� ������ ��� ���� ���� �� % �� ������� ��� ���+

� � �������� �� ��� ����� ��� ���������� �� ��� ���� � �������� �� ���

�� ����� ����� ���������

� �������

% �� ����� �� ���� ��� ��� ��� � � &���� ��� ���� � ������ ��� � �

������ � �� ����� ��� � ��� .� ������ ��� �������� ��� ������2 �� ��

�� �� ����� ���� � �������� % ��� �������� ��� ���� ��� ��� ���� �

����� �� ���� �������� ���� �� � � �� �� ��� ������� �� &%J �����

:J4FN�

��� ��� � � &���� ���� ��� � �� ������ � � ��� ��� ��� ������

����� � � �� � �� ����� �� �� ���� �� ������ ��� ��� "���� �

&���� ���� ��� �� &��'�� �� (��� )��*� �������� �� ��� ��� � �

&���� ��� ���� ���� ��� ��,� ��� ���� �� �� ��������� ���� �� �� ���

��� ��� �� ��� "���� � &����� � �������� ��� �� ���� ��� ������ � ��

�� ���� � ���� � ���� ��� ��� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ����� ��

������� � ����� 0�� �������� ��� �2��� ��� ����� ���� ��� ���� �

���� �� ���� ��� ��� ����� �� �� � 5�� ����� ;��� � � �� � � ��

��� �� ����� ����� ����� ��� �� ��� ��� ���� ��� ��� � � &����

� ������� ��� �� ��� � ��� � ������ ���� ��� �� ����� ��� ��

����� � �� � ��

�� ������� �� �������� �� ��� @��� J���� �� J�������� �� ��� F���+

��� � � ���� ������� �� @J#!+:�+�>>>+����1 6 &0#F7�

.� ����� � �� �� ���� ;��� =����� �� 4�2 "��� 9��� ��� ��� � ��������

������ � �� ������

! " � �� �

)�* 4� ������� "� F ����$� &� =����� � :�� "����� ��"� ���+

���� ;� .����� J� . ������� ��� ���� � ����� ���8 :������ ��+

� ��� ��� �� ����� ��� �� ����� �� !������� �� �� +(,�,-./0�

������������������� ��������������������������

�I

Page 20: Centrum Wiskunde & Informatica - Probability, Networks and ...Centrum voor Wiskunde en Informatica PNA Probability, Networks and Algorithms Probability, Networks and Algorithms Maintenance

)/* :� ;������� !�4� ;����� 4�.� :������ F� O���� =�4� !��������

#�=� "��� � �� ��� �� � ����� ��� � ������ H��� � �� ���� �� )�� ��

�������� ���� �� �/ !�� � 6�>><7� ��� /�<?//��

)�* � � ;���� � J� :������ � =� =����� 0 ��� ����� � ������� �� �

��� ��� ������ � ������ �������� �C 6�><C7� ��� /C�?/<��

)1* J� :������ � =� =����� !������ ����� ��� ��� ��� �� ���� ������ ��

,����� 1�� � �� 2������� � �������� �I 6�><17� ��� ��>?�3��

)3* 4� :������ F� O���� =� !�������� P� P��� ��� � ������ ����� � ����+

���� + �� �� 2������� � �������� I> 6�>>C7� ��� ��?1I�

)I* "� � :���� ��� ������2 �� �� �������+���� � ���������� 8 3� ���� ��

������ �� )���� + � +3� �������� � )����� �� 3����� � ���

�� �� � ��� :����� � &��� ���� !�� Q���� �>C�� �� �3�?�3<�

)C* O� ���� ��� Q� ����� &�&� "������ �� "��� � � �� ����� ��

���� � �� ������ �� %8 4� ������ � 2� � � ��� ���� <� ��� �3?��>�

F��� ��� �>>3�

)<* �� � ���� O��� ;���� �� ��� ������ � �� �� ����� ��� ��� ��

�� ����� � ���� �� �3 !�� �/ 6�><>7� ��� �3�1?�3�/�

)>* #� =������ (��� ������ � ��� � ������ �� ����� ���� � �������� 2��

������ � �������� 1I !�� / 6�>><7� ��� /I�?/C��

)��* !� 4 ����� O��� :������� =� ����� ��� O� ���� ��� �� "��� � 0���+

�� ��� ��� � ���� �� D% #� � :����� )�� ��������� �������� !���

5 �I 6/��/7 ��� C33?CC<�

)��* =� &��'�� � 4�=� (���� &� ����� ���� � ��� ��� � �8 ��� "���� �

&����� :.% #������ #������ /��1

)�/* � "��� 9���� :��� ���� �� 0�� � $�� �8 J�������� �� �� ���� "�� +

��� D������ ;��� � @� �������� /����

)��* (��� ������ � ��� ����+��� � ������ �� ����� ���� � �������� )�� ��

�������� ���� �� �/ !�� � 6�>><7� ��� 1�?3��

)�1* J� ����� �� D ��� ��� ��� ��� ���� � �������� � +� �� ������� � 6���

����� ����������� � � +�������� �� /��/�

�C