celosias de maxwell-cremona

Fsica

Curso: otoo de 2002 (grupos M13 y M14)

Celosas ideales

por A. Paz

Departamento de Fsica Aplicada E.T.S.A.B.

U.P.C.

2

Celosas ideales. Las celosas ideales son unas estructuras formadas por barras rgidas, rectas y articuladas entre s por sus extremos formando, nudos en los mismos. Las articulaciones deben ser lisas (sin que transmitan fuerzas de rozamiento). Las ligaduras al igual que las fuerzas aplicadas estarn ubicadas exclusivamente en los nudos de la celosa. Los tipos de ligaduras se reducen a: articulaciones lisas, apoyos lisos (unilaterales y bilaterales)y bielas.

En las figuras 1 se muestra cuatro ejemplos de celosas ideales. En este caso se muestran con las ligaduras exteriores y las fuerzas aplicadas. El smbolo correspondiente a una articulacin lisa es el que se representa en el nudo inferior de la izquierda de la celosa para los cuatro ejemplos mostrados. El otro smbolo en el que aparecen unos pequeos crculos representa a un apoyo liso bilateral. El plano del apoyo est orientado segn la recta en contacto con los rodillos.

P P P P

P

P PP

P1

P2 P3

Figura 1 Ejemplos de celosas ideales

articulacin lisa apoyo horizontal liso apoyo vertical liso.

En las celosas ideales el estado de tensin de las barras slo puede ser de traccin o bien de compresin, luego una nica incgnita escalar se asociar a la fuerza de tensin de cada barra.

Celosas ideales pg 3

Celosas simples. Tres barras qu e se conectan entre s de dos en dos, tal como se muestra en el primer dibujo de la figura 2.1, definen un cuerpo rgido que es a su vez una celosa ideal con tres nudos y una malla. Si, partiendo de los nudos de esta celosa, vamos aadiendo pares de barras no paralelas, pero coplanarias con esta estructura, que estn conectadas entre s por el otro extremo definiendo de esta manera un nuevo nudo, generamos lo que denominamos una celosa simple.

En la figura 2 mostramos como se generan las dos celosas simples dibujadas en ltimo lugar de las respectivas series..

Figura 2 Generacin de dos celosas simples la primera con diez nudos y la segunda con ocho.

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

78

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

78

9

1

2

3

4

5

6

78

9

10Figura 2.1

1

5 3

42

6 78

1

5 3

42

6 7

1

5 3

42

6

1

5 3

42

Figura 2.2

4

1 2 3

4

5

67

8

Figura 3.1 Para la celosa representada el nmero de nudos es: n=8, el nmero de barras: b=10, y el nmero componentes independientes de las fuerzas de ligadura: e=6 2n=16, b+e=16

1 2 3

4

5

6 7

8

1 2 3

4

5

6 7

1 2 3

4

57

1 2

4

1 2

4

5

Figura 3.2 Cuando en el procedimiento seguido para la construccin de una celosa ideal simple sustituimos una de las barras, de las dos que utilizamos para generar un nuevo nudo, por una articulacin que vincula al extremo de la barra restante con el slido al que se fija la celosa de la figura 3.1, dicho slido es el suelo, la estructura que obtenemos permite el mismo tratamiento de clculo para sus tensiones que la celosa simple.

12

3

4

5

6 7

8

1 2 3

4

5

6 7

8

Figura 3.3 En la izquierda de esta figura se muestra la celosa simple convencional equivlente a la celosa de la figura 3.1. y a la derecha esta celosa simple se completa con un sistema de liigaduras estrictas. La celosa de la figura 3.1 tambin est estrictamente ligada.


La figura 3 muestra una celosa que no es simple. Para esta celosa es imposible

aplicar la generacin descrita en la figura anterior.

Figura 3 Ejemplo de celosa ideal que no es una celosa simple.

Ligaduras en las celosas. Las ligaduras son vnculos que limitan el movimiento de la celosa. El conjunto de ligaduras que acta sobre una celosa decimos que es total cuando la inmoviliza totalmente (figuras 5.2 y 5.5) y es parcial cuando stas no restringen toda su movilidad (figuras 5.1 y 5.4). Un cuerpo est propiamente ligado cuando verifica las ecuaciones de equilibrio para cualquier sistema de cargas (Figuras 5.2 y 5.5) y est estrictamente ligado (figura 5.2) cuando las ligaduras son, a su vez, las necesarias y las suficientes para ligar propiamente al cuerpo. Si todas las ligaduras que actan sobre el cuerpo no son imprescindibles para conseguir su inmovilidad decimos que son superabundantes (figura 5.4). Existen sistemas de ligaduras impropias para las celosas, stas corresponden a los casos en los que aunque impiden cualquier movimiento finito de los puntos de la estructura, existen desplazamientos infinitesimales de la misma compatibles con el sistema de ligaduras. Con el sistema de ligaduras representado en la figura 5.3 se impide todo movimiento finito de la celosa, sin embargo podemos observar que las posibles trayectorias del nudo de la derecha compatibles con cada una de estas ligaduras tienen tangente comn. Esta inmovilizacin no asegura el equilibrio del cuerpo, en la derecha de la figura 5.3 se muestra que las componentes de las fuerzas de ligadura, para este sistema, dan momento nulo respecto del nudo de la izquierda y que, por lo tanto, este sistema de ligaduras no puede equilibrar a un sistema de fuerzas aplicadas que tenga momento no nulo respecto del punto en el que est ubicado este ltimo nudo Las nicas ligaduras que incluiremos en estudio de las celosas son: los apoyos lisos (tanto los unilaterales como bilaterales), las uniones mediante bielas, y las

6

rtulas lisas (articulaciones lisas). Los apoyos lisos bilaterales obligan a que el nudo en el que se sitan permanezca siempre sobre un determinado plano (plano de deslizamiento) que contiene al nudo en cuestin. Si el apoyo es unilateral la restriccin en el desplazamiento del nudo se refiere a que no puede desplazarse a uno de los semiespacios definidos por el correspondiente plano de deslizamiento. Las bielas conectan un nudo a un punto fijo de tal forma que el nico movimiento compatible con esta ligadura del mencionado nudo es esfrico alrededor del mencionado punto fijo y con radio la distancia entre las articulaciones de la biela. Las rtulas inmovilizan al nudo sobre el que est aplicada dicha ligadura. La accin del sistema de fuerzas aplicadas sobre la celosa provoca los torsores de reaccin de las mismas que en las celosas simples se reducirn a fuerzas ubicadas en los nudos en los que se colocan dichas ligaduras. A su vez estas fuerzas pueden estar sometidas a restricciones. En el caso de las fuerzas de reaccin de los apoyos su direccin debe ser perpendicular al plano de deslizamiento correspondiente; si el apoyo es simple el sentido de dicha fuerza de reaccin est orientado desde el nudo hacia el semiespacio de desplazamiento libre. Para las bielas, si estas son rectas, la fuerza de ligadura tiene la direccin de la biela, de no ser recta, como se trata de una barra biarticulada, la fuerza de reaccin de la ligadura tendr la direccin de la recta que pasa por ambas articulaciones. Para las rtulas la fuerza de reaccin de esta ligadura slo tiene la restriccin que su punto de aplicacin sea el correspondiente al nudo que la incluye. Cuando estudiamos las celosas bidimensionales en equilibrio todas las fuerzas (aplicadas y de ligadura) estarn orientadas paralelamente al plano que contiene a la celosa.


A

A

Figura 5.1. Slo una articulacin en A no inmoviliza a la celosa (ligaduras parciales) .

Figura 5.2. Una articulacin en C y un apoyo horizontal en B constituyen un sistema de ligaduras estrictas.La inmovilizacin es total.

A

C

B

Figura 5.3. Una articulacin en A y un apoyo vertical en B constituyen un sistema de ligaduras impropias.

Figura 5.4. Un apoyo horizontal en A y una biela vertical en B no inmovilizan a la celosa (inmovilizacin parcial).

Figura 5.5 Dos articulaciones (una en B y otra en A) inmovilizan total y propiamente a la celosa pero no lo hacen estrictamente. La determinacin de las fuerzas de ligadura es un problema hiperesttico.

Figura 5 La primera columna muestra el sistema de ligaduras, la segunda los posibles movimientos y la tercera muestra las componentes de las fuerzas de ligadura que definen el sistema de incgnitas. No se han dibujado las fuerzas aplicadas.

A B

C

A

C

A

C

B

HaVa

Hb

Vb

B

A

C

B

Va Vb

A B

C

B

C

A

C

B

HaVa

Hb

A

C

B

Vb

Vc

Hc

A B

C

C'

B

C

A

C

BHa

Va

A B

C

A'

B'

C'

A B

C

8

Ejemplos de celosas empleadas en la construccin

Figura 6.1 Celosa Warren

Figura 6.2 Celosa Baltimore

Figura 6.3 Celosa Howe

Figura 6.4 Celosa Pratt

Figura 6.5 Celosa en "K".

Figura 6.6 Celosa hiperesttica "cruz de S. Andrs"

Figura 6.11 Cercha Polonceau compuesta

Figura 6.12 Armadura mansarda

Figura 6.13 Marquesina

Figura 6.14 Medio cuchillo

Figura 6.7 Armadura hiperesttica de cordn superior curvo

Figura 6.8 Cercha inglesa

Figura 6.9 Cercha americana

Figura 6.10 Cercha Swan

P P P

Figura 6.15 Viga Fink.


Existe un amplio abanico de estructuras utilizadas en la construccin que pueden analizarse trminos de celosas (simples o compuestas): vigas, cerchas, marquesinas, etc. Aunque cabe una infinidad de diseos de celosas simples, se conocen unos modelos que por sus cualidades ampliamente contrastadas son o han sido muy utilizados en la construccin en la figura 6 se muestran las ms conocidas Diagrama de Maxwell-Cremona (D.M.C.).

Es un mtodo grfico para determinar el estado de tensin de las barras de una celosa. Las celosas ideales y simples siempre permiten dibujar de manera muy directa su D. M. C. Para ilustrar el desarrollo de este mtodo utilizaremos la celosa simple representada en la figura 7.1 (celosa Warren). Las ligaduras que actan sobre la misma son un apoyo horizontal liso en el nudo 5, al que corresponder una fuerza de ligadura vertical que representamos por la magnitud escalar V5 (componente vertical de esta fuerza), y una articulacin lisa en el nudo 1 a la que corresponder una fuerza cuyas componentes representamos por H1 (horizontal) y V1 (vertical)..

La figura 7.2 representa el diagrama de slido libre de la celosa con las cargas

indicadas, en este diagrama figuran todas las fuerzas que se ejercen sobre esta celosa y que no son internas a la misma (fuerzas ejercidas entre las partes que la componen) A partir de las ecuaciones de equilibrio se deduce que es nula la componente horizontal de la fuerza de ligadura que acta sobre el nudo 1 (las restantes fuerzas no tienen componente horizontal) y que las dos componentes verticales de las fuerzas de ligadura son iguales y valen 1.5 P (ello se deduce de la anulacin de los respectivos momentos resultantes respecto de los nudos 1 y 5).

Figura 7.1 Celosa simple que utilizaremos para describir el mtodo de Maxwell-Cremona

P P

P

P P

PV1=

1.5P

V5=

1.5P

Figura 7.2 Diagrama de slido libre (D.S.L.) de la celosa representada en la figura 7.1

H1=051 2

3 4

Para comprobar que la celosa representada en la figura 7.1 es una celosa simple partimos del rgido definido por las barras que definen el tringulo de nudos 5,2,4. A partir de este tringulo definimos el nudo 3 por medio de la barra 2-3 que se articula al nudo 2 y la barra 4-3 que se articula al nudo 4. A partir de este nuevo rgido (en el plano de la figura) se genera el nudo 1 utilizando las barras 2-1 y 3-1. La secuencia seguida en la generacin

10

de los nudos de esta celosa ha sido 5-2-4-3-1. Una vez calculadas las fuerzas de ligadura, para resolver esta celosa (hallar los valores de las tensiones en las barras de la misma) mediante grupos de dos ecuaciones con dos incgnitas procede emplear las ecuaciones de equilibrio en los nudos de la misma ordenando dichos nudos en orden inversa a la secuencia utilizada en su generacin. Al tratarse de barras ligeras y rectas que slo soportan tracciones o compresiones las fuerzas que stas ejercen sobre los nudos tienen la direccin de las mismas. La figura 7.11 muestra los diagramas de slido libre de todos los nudos de esta celosa. Para que se equilibren estos nudos basta que las resultantes de las fuerzas que actan sobre cada uno de ellos tengan resultante nula, o lo que es lo mismo que los correspondientes polgonos de fuerza sean cerrados

2 5

4

52

43

51 2

3 4

Figura 7.3 Generacin de esta celosa simple. La secuencia inverza en la generacin de los nudos es: 1-3-4-2-5 Esta secuencia es la que podemos emplear para dibujar el diagrama de Maxwell-Cremona de esta celosa.

Dado que las barras de la celosa estn en equilibrio, las fuerzas que stas ejercen sobre los dos nudos en los que estn articuladas deben ser opuestas, luego conocida una de ellas queda determinada la otra. Si empezamos por el equilibrio del nudo 1 disponemos de dos ecuaciones de equilibrio con dos incgnitas que son las fuerzas (T15 y T12) que las barras 1-5 y 1-2 ejercen, respectivamente, sobre este nudo. En el D.S.L. del nudo 3 adems de la fuerza T51 ejercida por la barra 1-5 y que corresponde a un sentido opuesto a la ejercida por la misma barra en el nudo 1 pero de igual intensidad y por tanto despejada a partir del equilibrio del nudo 1, intervienen la fuerza aplicada y las dos fuerzas incgnitas que le ejercen las barras 3-2 y 3-4 . Estas dos incgnitas se pueden determinar a partir de las ecuaciones de equilibrio de este nudo. A continuacin podramos formular el equilibrio del nudo 4 y para finalizar el del nudo 2 ( o bien el nudo 5). Este procedimiento numrico se denomina mtodo de los nudos. El mtodo de Maxwell-Cremona sigue la misma secuencia pero se trata de un mtodo grfico donde la resolucin ordenada de las dos ecuaciones de equilibrio por nudo se reduce a hallar el punto de interseccin de dos rectas. Para sistematizar la construccin del diagrama de Maxwell-Cremona se recurre a la nomenclatura de Bow que consiste en lo siguiente. En un plano se dibuja la celosa ms las semirrectas soporte asociadas a las fuerzas exteriores (aplicadas y de ligadura). Dichas semirrectas, si ello es posible, se dibujan de tal forma que no corten a la celosa, en el caso de que esto sea inevitable, ms adelante se indicar la forma de proceder. Los segmentos de recta que representan a las barras y las semirrectas asociadas a las fuerzas forman una red que divide al plano en zonas poligonales. Cuando en los lmites de la zona slo intervienen los segmentos asociados a las barras la zona es un polgono de superficie finita. Si en la delimitacin de la zona intervienen tambin las semirrectas asociadas a las fuerzas


aplicadas, estas zonas pueden tener superficie infinita. En la figura 7.4 se muestran con distinto sombreado las zonas asociadas a la celosa de la figura 7.1. A cada una de estas zonas la nomenclatura de Bow le asocia una letra minscula. En la figura 7.4 el nmero de zonas es 8 y las letras asignadas son: b, c, d, e, f, g, h, i.. Observamos que cada nudo est rodeado de un cierto nmero de zonas, por ejemplo: al nudo 1 lo envuelven las zonas f, g y e. El nudo 2 est rodeado por las zonas g, h, i, d y e. A las fuerzas que actan sobre cada nudo se las representar por un segmento paralelo a la misma y cuyos extremos se representan por las letras en mayscula de las dos zonas que delimitan a dichas fuerzas. El orden de las letras en este segmento es el definido por una lectura cclica de las zonas que rodean cada nudo. El orden cclico adoptado en este captulo es el horario. Por ejemplo la fuerza aplicada en el nudo 3 vendr representada por el segmento FB ( en este orden) y dado que dicha fuerza es vertical y descendente, el punto B estar situado por debajo del punto F y a una distancia del mismo que represente a la intensidad P de esta fuerza en la escala elegida. La fuerza ejercida por la barra 3-4 sobre el nudo 3 estar representada por el segmento ordenado BH, mientras que la fuerza que la misma barra ejerce sobre el nudo 4 estar representada por el segmento HB, pues al leer de forma consecutiva y en sentido horario las zonas que rodean al nudo 4 la zona h antecede a la zona b.

Figura 7.4 Distribucin en zonas

b

de

gh

i

f cc

Una vez calculadas las fuerzas de ligadura, bien mediante clculo grfico como utilizando el clculo numrico y en el supuesto de que todas las fuerzas aplicadas lo estn sobre los nudos que definen el contorno exterior de la celosa ( los otros casos se analizarn en un apartado especfico). Procederemos a dibujar secuencialmente el polgono de estas fuerzas. En este caso podemos empezar por la fuerza aplicada al nudo 3 (segmento FB) seguir con la aplicada al nudo 4 (segmento BC) seguir con la fuerza de ligadura en el nudo 5 (segmento CD), se sigue con la fuerza aplicada al nudo 2 (segmento DE) y se finaliza con la fuerza de ligadura en el nudo 1 (segmento EF). El conjunto de estos segmentos define un polgono cerrado ( en este caso degenerado ya que todos los vrtices estn sobre la misma recta), tal como se muestra en la parte derecha de la figura 5.5 donde se muestra la secuencia seguida en el dibujo del mismo.

12

Para seguir con el dibujo del diagrama de Maxwell-Cremona nos situamos en el ltimo nudo generado en la secuencia representada en la figura 5.3. Se trata en este caso del nudo 1. Las zonas que envuelven este nudo son tres ( f, g y e) y slo una de ellas (g) no tiene asignado un punto en la parte dibujada del diagrama de Maxwell-Cremona (la correspondiente al polgono de fuerzas exteriores). La mencionada zona g tiene frontera comn con las zonas f y e. Desde el punto F del diagrama de M-C trazamos una recta paralela al segmento de recta que separa las zonas f y g, y anlogamente trazamos desde el punto E, del mismo diagrama, una recta paralela al segmento que separa las zonas e y g, en el polgono dibujado en la parte derecha de la figura 7.7 se muestra la interseccin de ambas rectas a las que le asignamos la letra G que corresponde a la mayscula de la letra asignada a la zona g cuya representacin buscamos. Una vez ubicado el punto G el diagrama M-C nos muestra las intensidades y los sentidos de las fuerzas ejercidas por las dos barras que se articulan en ese nudo. La barra 1-2 ejerce sobre el nudo 1 una fuerza que est representada por el segmento GE en el mencionado diagrama M-C. (Figura 7.7). Dicha fuerza tiene una intensidad aproximada de 0.87 P y est orientada hacia la derecha del nudo.

P P

P1.5P 1.5P

bc

de

f

Figura 7.5 Construccin del polgono de las fuerzas exteriores (P.F.E.) que actan sobre la celosa. La fuerza de ligadura que acta sobre el nudo 5 cuyas intensidad es 1.5P est representada por el segmento CD (nomenclatura de Bow) ya que la semirrecta asociada a esta fuerza est delimitada por las zonas "c" y "d". Siendo el sentido de esta fuerza ascendente, el punto D quedar encima del punto C. Al tratarse de un conjunto de fuerzas paralelas en equilibrio el polgono de fuerzas ser un polgono cerrado degenerado cuyos lados estn sobre una misma recta paralela a la direccin de las fuerzas experiores.

F

B

C

F

B

F

B

C

D

F

B

C

D

E

1 2 5

43

p


1.5P e

gf

F

EG

Figura 7.6 El polgono de fuerzas correspondiente al nudo 1 es el tringulo de vrtices EGF.

b

de

g

hif

c

F

B

D

E

C

G

Figura 7.7 Partiendo del polgono delas fuerzas exteriores (derecha) completamos sobre el mismo el polgono de las fuerzas que actan sobre el nudo 1 para ello trazamos una recta paralela a la barra 1-2 desde el punto E y otra paralela a la barra 1-3 desde el punto F. Ambas rectas se cortan en el punto G. El segmento GE representa la fuerza que la barra 1-2 ejerce sob re el nudo 1 y el segmento FG a la que ejerce sobre el mismo nudo la barra 1-3.

12

5

431,

50 P

1,73 P

0,87 P

14

P

1.5P

b

e

ghf

F

B

D

E

C

H

G

Figura 7.8 El nudo 3 es el siguiente en la secuencia indicada en la figura 2 . En la superposicin de los polgonos de fuerza (diagrama de Maxwell-Cremona) representado a la derecha de la figura 7.7 trazamos desde el Punto B una recta paralela a la barra 3-4 y desde el punto G otra paralela a la barra 3-2.. Ambas rectas se cortan en el punto H. El arco nos indica la secuencia circular en la lectira de las zonas que rodean al nudo 3, por ejemplo la fuerza ejercida por la barra 2-3 sobre el nudo 3 es la representada por el segmento HG (en este orden)

P P

1.5P

b

c

gh

i

f

F

B

D

E

C

I

H

G

l. cierre

Figura 7.9 Ahora, en la secuencia indicada en la figura 7.2, el siguiente nudo es el 4 . En la parte dibujada del diagrama de Maxwell-Cremona representado a la derecha de la figura 7.8 trazamos desde el Punto H una recta paralela a la barra 2-4 y desde el punto C otra paralela a la barra 5-4.. Ambas rectas se cortan en el punto I. Podemos apreciar que en el diagrama obtenido en el que no utilizamos para su construccin las fuerzas ejercidas por la barra 2-5 que separa las zonas {i , d}, los puntos I D forman un segmento paralelo a esta barra.


Figura 7.10 Diagrama de Maxwell-Cremona con nomenclatura de Bow; la secuencia seguida ha sido F,B,C,D,E,I,H,G . Las medidas en el diagrma de MaxWell-Cremona se dan en unidades "P". En este caso se trata de un diagrama con simetra especular siendo su eje de simetra el definido por el segmento HB. Esta simetra se corresponde a la simetra vertical de la figura que representa a la celosa con las fuerzas exteriores que actan sobre la misma.

F

B

D

E

C

I

H

G

P

PF

B

D

E

C

I

H

G

0,50

0,58

1,73

0,87

1,15

P P

P1.5P 1.5P

(-1.2P)

(0.87P) (0.87P)

(-1.7P

) (-1.7P) (0.8

7P) (0.87P)

Figura 7.12 Tensiones en las barras. El signo (-) indica que la barra sufre una compresin.

Figura 7.11 D.S.L.correspondientes a todos los nudos

1.5PP1.5P

PPT54 T45

T43

T34

T32T23

T24T25

T21T12

T15

T52T51 T42

16

En las figuras 8 se muestran dos celosas simples con nombre propio sometidas con cargas iguales en el cordn superior de las mismas y en la que se han sustituido las ligaduras (un apoyo liso y en el nudo inferior de la derecha, y una articulacin en el nudo inferior de la izquierda), por las fuerzas que estas ejercen sobre la celosa y cuyo clculo resulta inmediato al aplicar las ecuaciones de equilibrio al conjunto de sus fuerzas exteriores. Los diagramas de slido libre representados en la columna izquierda de la figura gozan de simetra respecto d un plano vertical central, eso hace que sus correspondientes D.M.C. sean simtricos respecto de la recta horizontal intermedia. Para las dos primeras celosas representadas la parte inferior de estos diagramas se dibuja a trazos y para la tercera no se ha dibujado por innecesario. Ya que el estado de tensin de las barras debe responder a esta simetra Debajo de cada D.S.L se ha representado otro similar en el que se diferencian las barras que soportan compresiones (trazo contnuo) de las que soportan tracciones (lneas a trazos). Cuando las barras no soportan tensin en la figura inferior no se ha dibujado. Para la celosa Warren que se ha dibujado en primer lugar la mxima tensin considerada en valor absoluto corresponde a la que separa las zonas l y g, es decir la del centro del cordn interior. En este caso la tensin es de traccin. Las intensidades de las tensiones en las barras horizontales son tanto mayores cuanto ms cerca estn del centro de la estructura, mientras que las barras verticales y las oblicuas son tanto ms intensas cuanto ms cerca estn de uno de los extremos de la viga. En la viga en celosa Pratt (la segunda) las barras ms largas (las oblicuas) soportan tracciones.


A

B

C

D

E

F

GH

I

JK

L

P P P P P

2,5P 2,5P

a b c d e fi k m o

j l n pg

h

P P P P P

2,5P 2,5P

a b c d e fi k m o

j l n pg

h

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L=K

M

N

O

P

Q

R

S

TU

V

P P P P P P P P P

4,5P 4,5P

b c d eo q s u

n p r tl

f g hv

ima j

k

P P P P P P P P P

4,5P 4,5P

b c d eo q s u

n p r tl

f g hv

ima j

k

Las barras que no aparecen en el duplicado de la celosa no soportan tensin, si aparecen en trazo discontnuo es que soportan tracciones y en tramo contnuo y grueso son las sometidas a compresin

Figura 8.1 Estado de tensin de una viga Warren. A una celosa con simetra respecto a una vecta vertical (en su geometra y en su distribucin de carga le corresponde un D.M.C con simetra respecto de una recta horizontal.

Figura 8.2 Estado de tensin de una viga Pratt.

18

Clculo de las fuerzas exteriores de ligadura de una celosa con el diagrama de Maxwell-Cremona

Figura 9.1 Celosa con dos articulaciones exteriores: n=7, b=10 y e=4 2n=b+e n n de nudos; b n de barras; e componentes independientes de las ligaduras exteriores

Figura 9.2 Construccin secuencial del diagrama M-C; secuencia de los nudos: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Figura 9.3. Fuerzas exteriores de ligadura: R1 y R6.

1

2

3 4

5

6

a

bc

ef hd

g

7

P

R1

R6

F=BG

HA

C D

ER9

R6

F=B G

A

F G

A

(a) (b)

F=B G

AH

(c)

F=B G

HA

C

(d)

F=B G

HA

C D

(e)

F=B G

HA

C D

E

(f)

1

2

3 4

5

6

a

bc

ef hd

g

P

P

7


1 2 3

4

5

67

8

a

b

cd

e

f

g

h

i

j

A

B C

I

H

D

G

F

J

E

A

B C

I

H

D

G

F

J

E

Figura 10.2 Fuerzas exteriores de ligadura: CD, DE y EA Los puntos donde se cruzan parejas de barras se interpretan como nudos ("ficticios"). lo cual trae consigo el desdoblamiento de los correspondientes segmentos en el D.M.C. (Hd, GJ, FE entre otros desdobles)

Figura 10.1 Podemos dibujar el D.M.C. de la celosa 10.1 sin conocer previamente los valores de las fuerzas de ligadura. Los puntos representados C, D, E y A definen a las fuerzas ejercidas por las ligaduras tal como se muestra en la figura siguiente.

Figuras 10. Empleo del diagrama de Maxwell-Cremona para el clculo de las fuerzas debidas a las ligadura exteriores para esta celosa simple no convencional.

Figura 10.1 Celosa que puede tratarse como una celosa simple.

20

P P P

e

A

B

C

D

E

G=M

I=0

F

H

J

K

L

N

A

B

C

D

E

G=M

I=0

F

H

J

K

L

N

1,00P

1,00P

0,50P

2,50P

2,50P

2,00P 1,00P

0,71P

0,71P

2,24P

2,24P

Figura 11.1 Viga Fink (compleja)

Figura 11.2 Zonas de Bow y fuerzas exteriores

Figura 11.3 Clave para su resolucin por el mtodo de Maxwell-Cremona: del nudo f-a-b-h se deduce que la fuerza h-f vale "P" , luego el segmento GI tiene altura P y la ubicacin del punto E es la indicada en la parte del D.M.C. dibujada a la derecha.

B

C

E

G

I

P

a b

f h

P P P

1.5P 1.5P

a b c d

f

gh

i j k

l

m

n

o

Figura 11.4. Diagrama de Maxwell-Cremona de la viga Fink representada en la figura 1


M[x]

Q[x]

X

Diagrama de fuerzas cortantes

Diagrama de momentos flectores

Relacin de los diagramas Q[x] y M[x] con las tensiones en las barras de la viga en "K".

Figura 12 Para la celosa en "K" de la parte superior se muestra la relacin entre su D.M.C. y su diagrama de fuerzas cortantes (parte superior). En la parte inferior se muestra la relacin entre el mencionado D.M.C. y el diagrama de momentos flectores. Estos ltimos rigen las tensiones en las barras horizontales de la celosa, mientras que las fuerzas cortantes quedan vinculadas a las tensiones en las barras verticales y oblicuas, las cuales son mayores en los extremos de la viga que en el centro de la misma. Lo contrario ocurre con las tensiones en las barras horizontales.

22

Figura 13 Otros ejemplos de celosias compuestas. En la columna de la derecha aparecen sombreadas, con somreado distinto, las dos celosas simples que forman la celosa compuesta. Para poder dibujar los D.M.C. de estas celosas previamente calculamos las tensiones en algunas de las las barras que conectan entre s a las dos celosas simples que las componen, tal como mostramos en las figuras que siguen.


Celosa compuestas resueltas.

tensiones nulas P

P/2

P/2

P

P/2

P/2

P P

P

a

b

c

dP/2 P/2

C

A

D B

Figura 14.1 Celosa compuesta y su descomposicin en dos celosias simples. Del equilibrio de la celosa simple de la derecha se deduce que la barra inclinada que la conecta con la otra celosa simple, no tiene tensin; utilizando este resultado en el D.S.L de la otra celosa simple se deduce que tampoco tiene tensin la barra de conexin vertical indicada con lnea discontnua.

Figura 14.2 En este diagrama se aprecian, a simple vista, otras barras que no estn sometidas a tensin (lneas con trazo discontnuo).

Figura 14.4 El diagrama de Maxwell-Cremona de la celosa compuesta representada en la figura 14.1 queda reducido a la figura de la derecha.

P

24

Las lneas a trazos discontnuos indican por donde se debe "seccionar" la celosa para poder calcular la tensin en alguna barra que nos permita a continuacin resolverla mediante un diagrama de Maxwell-Crermona. Las barras , cuando el caso sea dudoso, consideren que se cruzan.

Figura 15b De esta seccin se deduce que la barra horizontal, que es una de las tres que conectan a las dos celosas simples,no tiene tensin

Figura 15c En esta figura se mantienen las ligaduras. Las fuerzas representadas son las ejercidas por las barras seccionadas

Figura 15a

Figura 18. Las barras diagonales se cruzan y para evitar confusiones no dibujamos la lnea de corte y si las dos secciones resultantes

= +

L3=0

Figura 16 Una vez deducida la direccin de la fuerza de ligadura en el nudo de la derecha se puede deibujar el D.M.C

paralelas

Figura 17 La fuerza de ligadura de la articulacin situada a la derecha pasa por el punto interseccin "I".

fuerza nula

P1

P2

fuerza nula

P2

P1L1

L1

L2

L2

P

P

F1

F1

F2

F2

Fuerza de ligadura

P

direccin de la fuerza de ligadura

I

P1 P1P2 P2

L3

L1

L2


Resolucin de la celosa compuesta de la figura 18 por el mtodo de las secciones.

Figura 18.3 Una vez suprimidas las barras que sabemos que no tienen tensin, dibujamos el diagrama de M-C. En este caso hemos utilizado un sentido antihorario en la ordenacin de las zonas que rodean a los nudos. Los segmentos que representan las tensiones en las barras que se cruzan aparecen desdoblados en el diagrama M-C; por ejemplo: a la diagonal inferior de pendiente positiva le corresponden tres segmentos (JA, KG y EF).

C

H

B

ID

EF

KGJ

A

Figura 18.1 Por tratarse de una celosa intrnsecamente rgida, para el clculo de las fuerzas de ligadura podremos sustituir las dos fuerzas aplicadas ( de la misma intensidad en este caso) por una fuerza equivalente. El diagrama de la derecha es el polgono de fuerzas exteriores.

+

Figura18.2 Al aplicar el mtodo de las secciones se observa (figura de la derecha) que la barra horizontal, que conecta a las dos celosas simples, no tiene tensin, y por tanto tampoco tienen tensin las otras barras representadas con trazo discontnuo.

a

b

c

d

e

f

h

i gjk

carga

equ

ivalen

te

F1 F2

L1L2

F1

F2 L2

L1

tensin nula tensin nula

L1 L2

L2L1

F2F1

26

Figura 19.1 Armadura mansarda. La parte sombreada ha sido generada a la manera de una celosa simple.

Figura 19.2 Esta armadura de mansarda es una celosa compuesta por las dos celosas simples con sombreado distinto

Cerchas definidas por celosas compuestas por dos celosas simples.

Figura 19.3 Armadura Polonceau. Est formada por dos celosas simples con una articulacin comn; se completa la unin mediante una barra (la de trazo grueso).

Figura 19.4 En esta armadura tres barras (dibujadas con trazo grueso) conectan a las dos celosas simples; dos de estas barras son paralelas pero no lo es la tercera.

Figura 19.6 Las dos celosas simples que componen esta celosa compuesta se cruzan

Figura 19.7 Celosa compuesta de dos simples unidas entre s mediante una articulacin comn y una barra. Esta celosa admite otra descomposicin simtrica de la representada en el dibujo de la derecha.

Figura 19.5 Otras tres barras, esta vez con disposicin simtrica, conectan a las dos celosa simples que forman la celosa compuesta.

celosa simple

nudo comn

celosa simple

barra

barras

nudo comn

barra


8Tm

8Tm

8Tm

8Tm

8Tm2

0Tm

20Tm

20Tm

24Tm

4Tm

20Tm

24Tm

Figura 19.8 Determinacin grfica de las fuerzas ejercidas por la barra y el nudo comn en la descomposicin comentada en la figura 19.7, sobre la celosa simple de la derecha . La fuerza equivalente al conjunto de las cargas soportadas por esta seccin en forma de celosa simple y la de la ligadura en el apoyo en el nudo de la derecha es la fuerza de 4Tm ubicada sobre la recta indicada.

22.3 Tm

23.7 Tm

23.7 Tm

T=22.3 Tm

8Tm

8Tm

8Tm 2

0Tm

H

V

TH

V

28

8Tm

8Tm

8Tm

8Tm

8Tm20

Tm

20Tm

20Tm

23.7 Tm

T=22.3 Tma

b c d e f gh i j k

l m no p

qr s

no p

qr s

8Tm

8Tm

8Tm

B

C

D

E

F

G

A

N

M

B

C

D

E

F

G

A

N

M

B

C

D

E

F

G

A

N

O

B

C

D

E

F

G

A

N

M

O

Q

B

C

D

E

F

G

A

N

M

O

QP

B

C

D

E

F

G

A

N

M

OQP

R

B

C

D

E

F

G

A

N

M

OQPR

T=22.3 Tm

S

B

C

D

E

F

G

A

N

M

OQP

RS

Figura 19.9 Dibujo del D.M.C. de la celosa compleja representada en la figura 19.7 con las cargas indicadas en esta figura. Una vez dibujado el polgono de las fuerzas exteriores, en este caso degenerado en forma de la coleccin de segmentos verticales: A-B-C-D-E-F-G-A, proseguimos dibujando la fuerza conocida de 22.3 Tm, paralela a la barra a-n, a partir del punto A y en el sentido descendente, tal como figura en el D.S.L. de la celosa simple de la derecha (parte superior derecha de esta figura). Esta fuerza define la ubicacin del punto N. Los puntos del D.M.C. asociados a esta celosa simple se obtienen siguiendo la secuencia sealada. Una vez completado el D.M.C. de esta celosa simple, el correspondiente a la parte izquierda de la celosa debe ser simtrico en relacin a la horizontal que pasa por A.


Resolucin de las celosas complejas por el mtodo de Henneberg. A partir de una celosa compleja isosttica estrictamente ligada, es fcil encontrar una celosa simple que tenga los mismos nudos, en nmero y posicin, y las mismas ligaduras exteriores, que la celosa compleja que queremos estudiar. Las barras de ambas celosas coincidirn en nmero pero los dos conjuntos de barras que definen ambas celosas deben mostrar, obviamente, alguna diferencia. Las figuras 20.1 y 20.2 muestran sendas celosas, la primera compleja y la segunda simple. Ambas tienen los mismos nudos, el mismo nmero de barras, las mismas ligaduras exteriores. Su diferencia estriba en que la celosa compleja contiene a la barra que une los nudos 5 y 9 mientras que la celosa simple, en lugar de dicha barra, contiene a la que une los nudos 4 y 8.

1 2 3

67

10 11 12

89

4 5

Figura 20.1 Celosa compleja: n=12; b=21; e=3 2n=b+e. Las ligaduras exteriores son una articulacin lisa en el nudo 1 y un apoyo horizontal liso en el nudo 3.

1 2 3

67

10 11 12

89

4 5

Figura 20.2 Celosa simple: n=12; b=21; e=3 2n=b+e

Que la celosa de la figura 2 es una celosa simple se puede comprobar en la figura

20.3 en la que se muestra su generacin. Se parte del tringulo con vrtices en los nudos 1-2-4 y se van aadiendo de manera sucesiva los pares de barras que generan los nudos: 6,8,7,5,3,10,11,9 y 12. Estos son los nudos de la celosa compleja.

30

Figura 20.3 Generacion de la celosa simple por triangulacin.

La celosa simple mostrada no es la nica que se puede disear a partir de la celosa compleja y con los requisitos mencionados, en la figura 20.4 se muestran otras posibilidades.

Figura 20.4 Celosas simples con los mismos nudos y el mismo nmero de barras que la celosa compleja representada en la figura 20.1.

Para la resolucin de la celosa compleja con las cargas indicadas en la figura 20.5 recurriremos a la superposicin de cargas sobre la celosa simple mostrada en la figura 20.6. El valor de la intensidad y los sentidos de las fuerzas Q se determinan por la condicin de que anulen la tensin en la barra situada entre los nudos 4 y 8 de la celosa simple, la cual no aparece en la celosa compleja.


Figura 20.5 Celosa compleja con su estado de carga y su correspondiente "diagrama de slido libre"

1 2 3

67

10 11 12

89

4 5

af

i

c

g

e

h j

d b

P

P

mn

o

2PP2

1 23

67

10 11 12

8 9

4 5

af

i

c

g

e

h j

d b

P

P

Figura 20.6. El valor que Q es el que hace nula la tensin en la barra f-k y en este caso el valor de Q representar la tensin en la barra

2

ak

i

c

g

e

h j

d b

P

P

1

akf

i

c

g

e

h j

d b

P

P

akf

i

c

g

e

h j

d b

P

P

akf

i

c

g

e

h j

d b

Q

Q+ Q 1

1

mn

a'

mn n m

oo o o

Las tensiones en las barras de la celosa simple sometida a los dos sistemas de carga que se muestran en las dos celosas de la derecha en la figura 20.6 pueden calcularse mediante los correspondientes diagramas de Maxwell-Cremona ( figuras 20.7 y 20.8) y a partir de ellos calcularemos las correspondientes tensiones en la barra f-k (la situada entre los nudos 4 y 8), barra que no est presente en la celosa compleja..

El valor de Q que hace que sea nula la tensin en la barra 4-8 de la celosa simple con las cargas indicadas en la segunda celosa (empezando por la izquierda) de las representadas en la figura 20.6 es Q = - T1fk / T2fk = 0. En este caso el estado de

32

tensin de las barras de la celosa compleja es el mismo que tienen las barras coincidentes en la celosa simple y la tensin en la barra 5-9 es nula ya que Q = 0.


Figura 20.7 Con ayuda del Diagrama de Maxwell-Cremona (derecha) de la celosa simple con sus corrspondientes cargas y ligaduras (izquierda) se calcula la tensin en la barra 4-8 que es nula dado que coinciden en el correspondiente diagreama de Maxwell-Cremona los puntos F y K: T1fk= 0

O A=J=I=H

M=B

NG=C=D=E=F=K

1,00 P

1,00 P

1,41 P

1,00 P

1 23

67

10 11 12

89

4 5

akf

i

c

g

e

h j

d b

P

P

mn

o

2PP2

A

O=B=J=K

C I

H

G=F

1,00

1,41

0,71

9

5

akf

i

c

g

e

h j

d b

1

1

o

Figura 20.8 Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosa simple sometida a dos fuerzas unitaopuestas en los nudos 5 y 9 tal como se indica en la figura de la izquierda. Para cargas las fuerzas de ligadura son nulas. En este caso la tensin en la barra 4-8 T2(f-k) = -1

34

Figura 21.1 Celosa compleja

P

P

PFuerza R

equivalente al

sistema aplicado

f1

f4

Figura 21.2 Determinacin grfica de la direccin de la fuerza ejercida por la ligadura exterior en el nudo 1

F4

F1

R

Pb

P

P

11 10 9 87

12 13 14 15

16 17 18 6

2 34

5

1

ac

de

U

BA

G

C

D

E

Figura 21.3 Diagramas de las fuerzas exteriores ,aplicadas y de ligadura. En el de la izquierda aparece la resultante R de las fuerzas aplicadas y en el de la derecha figuran todas las fuerzas aplicadas en el orden correspondiente al D.M.C. nEn este ltimo tambin aparecen los polgonos de fuerza de los nudos 1 y 7

Clculo grfico de las fuerzas de ligadura exteriores en la celosa compleja representada en la figura 21.1.

u

g


P

P

P

P

P

jj n q u

i k p t

j

m r vh

g l o s

e

d

cf

a

b

(2P/3) (P/3) (P/3)

3P

D.M.C. completo

Figura 21.7 En la celosa se han sustituido tres de las barras inferiores por las fuerzas que estas ejercen sobre los correspondientes nudos y que han sido previamente calculadas por el mtodo de las secciones

Resolucin de la celosa representada en la figura 1 por el mtodo de las secciones

Figura 21.4 Las lneas onduladas representan las secciones utilizadas en el clculo de las tensiones de las barras horizontales afectadas

P

P

P

PP/3

P/3

T12

T13

T14

2P/3P

P

P2P/3

T3T4

T5

P

P

P

PP/3

P/3

T7

T8

T9

P

P

P

P

P

3Pfigura 21.5 Fuerzas exteriores: aplicadas y de ligadura

Figura 21.6 Tensiones en las barras horizontales seccionadas

C

D

L

O

S

V

T

Q

R

K

J

H

NB=U=F

E

P=M

A

I

G

36

Resolucin de la celosa representada en la figura 21.1 por el mtodo de Henneberg

Figura 21.8 Celosa compleja

Figura 21.9 El estado de tensin de la celosa compleja representada en la figura 21.8 es equivalente al de esta celosa simple, siempre y cuando los valores de las fuerzas Q,R y S sean tales que las tensiones en las barras, representadas con lneas discontnuas, resulten nulas.

Figura 21.11 Diagramas de slido libre de tres de los sistemas de carga en la celosia simple que aparecen en la descomposicin anterior. Las lneas discontnuas de las figuras inferiores corresponden a barras para las que se aprecia a simple vista que su tensin es nula.

Figura 21.10 Descomposicin del estado de carga de la celosa simple representada en la figura 21.9

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

+ Q +R +S

P

P

P

P

P

P

Q R SQ R

S

P

P

P

1

1

1

1

1

1


H

G

F

E

D

A

B

C

1,0

T11=-3,0

11

ab

cd

e

f

gh

T11=-3; T12=0; T13=0

H

L

G

KJ

I=C=B

E

A

1,0

T22=-3,0

T21=-3,0

T21=-3; T22= -3; T23=0

H

P

L

O N

M=J=I=C=B

A

E

T31=T32=-3,0

T33=-3,0T31=T32=T33=-3

ab

c

e

h

i j

l

m

o

n

p1

1

ab

c

e g

h

i j

kl

11

Columna con las celosas simples con parejas de cargas unitarias

Columna con los correspondientes D.M.C.

Tensiones T1

Tensiones T2

Tensiones T3

Figura 21.12 Diagramas de M.C. de la celosa simple sometida a las parejas de cargas unitarias representadas en la figura anterior. Las lneas a trazos corresponden a barras que a primera vista se aprecia que no soportan tensiones.

38

P

P

P

3P

P

P

ab

c

e

h

i jm

n

q

d

f

gk

r

stuw

U=RH

Q

S

T

N

M

G

K J

I

F W

E

D CA

B

4,0

8,0

1,0

T1=-4P ; T2=-8P; T3=-P

Figura 21.13 Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosa simple con las cargas y ligaduras exteriores de la celosa compleja medidas en la unidad "P".

Sistema de ecuaciones para determinar las tensiones Q R y S

-3Q - 3R -3S - 4P = 0 -3R -3S - 8P = 0 -3S - P = 0 Q= 4P/3 ; R= -7P/3; S= -P/3 Ta=Q T1a + R T2a + S T3a


Figura 21.14. Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosa compleja referido a la unidad "P".

P

P

P

P

P

jj n q ui k p t

j

m r vhg l o s

e d

c

f

a

b

3P

C

D

L

O

S

V

T

Q

R

K

J

H

NB=U=F

E

P=M

A

I

G

1,33

2,33

0,33

0,33

0,33

0,67

3,00

1,00

1,00

1,00

40

Celosa compleja resuelta con ayuda del mtodo de las secciones.

Figura 22.1 Celosa compleja en la que se indica la seccin utilizada para su clculo.

Figura 22.1 Diagrama de slido libre de la celosa compleja

P P P

P

P

2,5P0,

5P2P

P P P

P

P

polo de momentos

P P P

P

2,2P

0,8P

Figura 22.5 Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosa estudiada.

Figura 22.3 Anulando el momento resultante respecto del polo sealado de este D.S.L se callcula el valor 2.2P de la tensin de la barra vertical g-v

Figura 22.4 En la celosa , la barra vertical g-v se ha sustituido por las dos fuerzas opuestas representadas de intensidad aproximada 2,2P cada una.

P P P

P

P

2,5P

0,5P

2Poq

2,2Ps t u

a b c

h i j

d e f g

k l m n

r

w

v

g v

g v

R

W

O=N

Q

C

G=I

S

U

V

T

JML

A

H

B

E DK

F0

P

P0

escala

esca

la


Figura 23.2 Celosa hiperesttica n=9, b=16, e=3 El nmero de ecuaciones independientes (2n=18) es inferior al de incgnitas: b+e=19

a

b

cd

ef

g

a

b

cd

ef

g

a

b

cd

ef

g

Figura 23.3 n=8, b=13, e=3 2 n = b + e. Esta celosa en ausencia de fuerzas exteriores no puede tener tensiones en sus barras. Se trata de una celosa compleja no crtica ya que no admite tensiones en las barras en ausencia de fuerzas aplicadas

B=L A=K

C

M

E=H

F

G

J

I

Figura 24.1. Celosa no rgida (Crtica) n=16, b=39, e=3 2 n = b + e En ausencia de fuerzas aplicadas las fuerzas de ligadura sern nulas. Sustituimos una de sus barras por sendas fuerzas opuestas (BA y AB) con la direccin de esta y aplicadas en los nudos en los que se articulaba la barra suprimida (D.S.L. de la derecha). Mediante un D.M.C. se comprueba que en este caso la celosa analizada puede soportar tensiones en ausencia de fuerzas exteriores, luego la celosa es crtica.

a

bc

de

fg

h i

jk l

m

Diagrama de Maxwell-Cremona

Figura 23.1 Celosas ideales y simples. En las tres celosas representadas a la izuierda, el nmero de ecuaciones independientes (2n=16) coincide con el de sus incgnitas b+e=13+3. En ausencia de fuerzas exteriores las tensiones en las barras son necesariamente nulas. Dos barras cuyas rectas se cortan pueden sustituirse por las cuatro definidas por el nudo ficticio de su interseccin sin que se modifique el estado de tensin de las barras (las barras alineadas debidas al desdoble que se articulan en el nudo aadido tienen la misma tensin que la barra que sustituyen.

42

Figura 24.2 Otra demostracin del carcter crtico de la celosa representada.

Figura 24.3 Celosa simple que slo difiere de la eanterior en una barra aadida y en otra eliminada

Figura 24.4 Se han colocado sendas fuerzas opuestas en los extremos de la barra suprimida

F

- F

a

b

c

de

f

gh

i

jk l

m

c'

K=A

M=D

L=B

I

E=H

J

G

F

C=C'- F

F

Figura 24.5 En este caso las fuerzas de ligadura son nulas.

Figura 24.6 La tensin (CC) en la barra aadida es nula, luego la celosa original es crtica.


a

b

cd

ef

a

b

cd

ef

Figura 26 Esta celosa con nueve barras, siendo sus diagonales cruzadas. En esta celosa ausencia de fuerzas exteriores las tensiones en las barras son necesariamente nulas. Para comprobar esto ltimo se puede empezar por el equilibrio del nudo central inferior del que se deriva la anulacin de la tensin de la barra vertical central, (en el concurren tres barras dos alineadas y la tercera vertical). Si ahora pasamos al equilibrio del nudo superior se ve que no pueden tener tensin las barras superiores inclinadas. De forma sucesiva se deduce que ltodas las barras tendrn tensin nula.

a bc

d

e

f

Figura 25. La celosa hexagonal con diagonales cruzadas es crtica , Si sustituimos una de sus barras, en este caso la diagonal vertical, por sendas fuerzas opuestas de intensidad T, mediante un D.M.C. comprobamos que dicha tensin no es necesariamente nula.

T

T

A=C

B=E

F DT

44

a

b

c de

A=E B

C

D

a

b

d

e

f

c

AB

D

F

EC

Figura 27. Esta celosa es crtica ya que, sin ser hipersttica, en ausencia de fuerzas aplicadas admite tensiones internas

T T

L1 L2 L3 L4

T

ab

c d e

C

A BD

EFigura 28. Con el mismo argumento deducimos que esta celosa tambin es crtica.

Figura 29. Mostramos una nueva celosa crtica. Aprecien que las tres celosas representadas en esta pgina son simtricas.


Otros ejemplos de celosas crticas

Figura 30.1 Celosa en forma de hexgono regular en la que las barras diagonales se cruzan

Figura 30.2 Laelosa con siete barras, por tener las dos superiores alineadas es una celosa crtica.

Figura 30.4 Comprobamos quees crtica esta celosa ya que tambin admite un estado de tensin no nulo en ausencia de fuerzas exteriores sin ser una estructura hiperesttica. En esta comprobacin se ha sustituido una barra vertical de esta celosa presuntamente crtica por dos fuerzas opuestas aplicadas a los nudos en los que se articulaba dicha barra. En esta situacin, las fuerzas debidas a las ligaduras exteriores son nulas.

Figura 30.3 Esta celosa es crtica ya que, no siendo hiperesttica, en ausencia de fuerzas exteriores admite tensiones en sus barras

b

c d

e

a

A B

C

D

E

B

C

D

E=H

F

Gabc

de

f

gh

ij

k

l

m

nudo

46

a

b

c d

ee'

A B

C

E

E'

D

1,00 P

0,53P

Figura 31.2 Analizamos ahora por el mtodo de Henneberg la celosa representada en la figura 31.1. Vemos que no es nula la tensin en la barra aadida EE de la celosa simple equivalente, luego la celosa estudiada no es crtica.

a

b

c

d

eA B

C

D

E

Figura 30.5 Celosa no rgida (crtica)

a

b

c d

e A B

C

E

Eincompatibilidad

Figura 31.1 Esta celosa no es crtica. En ausencia de fuerzas exteriores no atmite tensiones internas. Hemos supuesto un valor no nulo para la tensin en la barra horizontal superior y al dibujar el correspondiente D.M.C. han aparecido incompatibilidades.

celosias de maxwell-cremona

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