SGC ライブラリ-99

現代宇宙論講義基礎からの系統的な理解を目指して

辻川 信二　著

サイエンス社

はじめに

1990年頃からの観測技術の飛躍的な発展により，宇宙論は精密科学の領域に入ったといっても過言ではない．一昔前までは，現役を引退した物理学者が趣味的に行うとまで言われていた宇宙論も，

いまや世界中で多くの若手研究者が取り組む，物理学の中でも最も活発な研究分野の一つとなって

いる．このような急速な観測の進展の中で，宇宙の進化や構造を理解するための基礎理論を深く理

解し，それを具体的な現象に幅広く応用できることが望まれている．

本書は，宇宙論を専攻する大学院修士課程および博士課程の初年級レベルを対象として，基礎的な内容から段階的なステップを踏んで，最終的に最新の宇宙論にアクセスできるようになることを

目的として執筆した．本書を読みこなすには，大学の学部で学ぶ初等的な物理学と，一般相対論と

場の理論の基礎的な知識で十分である．また，他の分野の研究者で，宇宙論の研究を本格的に始め

ようとされている方にも有用であると信じている．

現代宇宙論では，密度揺らぎの進化を理解することが，宇宙背景輻射や大規模構造などの観測と

理論模型を比較する上で重要な役割を担っており，宇宙論的摂動論に関しては特に重点をおいて執筆した．第 2章と第 3章で，背景宇宙の進化と宇宙論的摂動論の基礎事項に関して詳細に解説を行

い，それ以降の章で，インフレーション，ビッグバン元素合成，宇宙背景輻射の温度揺らぎ，宇宙

の大規模構造，暗黒エネルギー，一般相対論の拡張理論のように，活発に研究が行われている分野

の解説に進んでいく．最後の章はやや発展的な内容であるが，それ以外の章は，式の導出なども丁

寧に書いたつもりなので，最初から順序立てて読んでいけば十分にフォローできるはずである．

様々な観測によって，宇宙論パラメータや宇宙の進化が明らかになってきた一方で，それらの観測は，インフレーション，暗黒エネルギー，暗黒物質の起源のような根源的な問題を提示した．ま

た，重力と量子論を統一的に扱う量子重力理論も発展途上である．超弦理論が統一理論の有力候補

とはされているものの，いまだ未完成であり，その典型的なエネルギースケールが，地上の素粒子

実験で到達可能なスケールよりもはるかに大きいため，宇宙背景輻射の観測などから間接的にその

情報を引き出すしか現状では方法はない．超弦理論や量子重力理論に基づくインフレーション模型

の構築も精力的に行われており，今後の理論および観測の進展もあいまって，それらの兆候を探し当てることも可能になるかもしれない．本書を足がかりとして，これらの未解決問題に興味をもっ

た読者の方々が，具体的に研究に着手するようになれば，それは筆者の本望である．

本書を執筆するにあたり，時には週末も返上して仕事を行っていましたが，それに理解を示して

くれた妻と幼い子供 2人に感謝します．また，元素合成について議論させていただいた郡和範氏，

誤植の指摘や図の作成などで協力してくれた大橋純子さんに感謝の意を表します．さらに，本書の執筆を勧めてくださった，数理科学編集部の平勢耕介氏に感謝します．

2013年 4月

辻川 信二

目 次

第 1章 宇宙論の歴史 1

第 2章 宇宙進化の歴史 5

2.1 ハッブル・ルメートルの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 宇宙背景輻射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 一様等方宇宙でのフリードマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 宇宙に存在する物質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 相対論的粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 非相対論的粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.3 暗黒エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 宇宙進化と宇宙年齢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

第 3章 宇宙論的摂動論 29

3.1 一様等方時空における摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 ゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 物質密度揺らぎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 スカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 ゲージ不変量とゲージ固定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 ゲージ不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 ゲージ固定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 摂動アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1 流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.2 スカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 エントロピー摂動と音速 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

第 4章 インフレーション理論 47

4.1 平坦性問題，地平線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 インフレーションによる諸問題の解決 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 インフレーションの機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 インフレーションで生成される線形密度揺らぎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 CMBからの模型の選別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 曲率揺らぎの非ガウス性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.7 再加熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

第 5章 ビッグバン元素合成，バリオン数生成 77

5.1 バリオン，レプトン，化学ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 脱結合と弱い相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 重水素の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 軽元素合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5 バリオン数生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

第 6章 宇宙背景輻射 95

6.1 再結合と宇宙の晴れ上がり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2 摂動エネルギー運動量テンソル，ボルツマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3 光子のボルツマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 バリオン，暗黒物質，ニュートリノの摂動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5 密度揺らぎの初期条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.6 重力ポテンシャルの進化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.7 温度揺らぎの角度パワースペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.8 強結合期における光子の揺らぎの進化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.9 シルク減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.10 角度スペクトルの評価と観測との比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.11 宇宙論パラメータの制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.12 CMB偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

第 7章 宇宙の大規模構造 139

7.1 重力不安定性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2 物質揺らぎのパワースペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3 赤方偏移空間でのパワースペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4 加速膨張する宇宙での線形密度揺らぎの解析的評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.5 バリオン音響振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.6 重力レンズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

第 8章 暗黒エネルギー 159

8.1 暗黒エネルギーの観測的な制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2 宇宙項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3 クインテッセンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4 修正重力理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

iii

第 9章 一般相対論を超える理論 183

9.1 量子宇宙論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.2 超弦理論に基づくバウンス宇宙論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.3 最も一般的なスカラー・テンソル理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

参考文献 193

索 引 198

iv 目 次

第 1 章

宇宙論の歴史

人類は，古来から宇宙の創世と成り立ちに素朴な疑問を持ち，様々な宇宙観

を作り上げてきた．それらの多くは哲学的，宗教的な色彩が強く，明確な科学

的根拠に基づくものではなかった．宇宙の進化を科学的に取り扱うことが可能になったのは，1915年にアインシュタイン (Einstein)が一般相対論を構築し

た後である [1]．

一般相対論に基づくと，宇宙が膨張する解が自然に現れ，宇宙に存在する物

質によってその進化が決まる．最初，アインシュタインは宇宙が膨張する解を現

実的でないとして却下し，定常的な閉じた宇宙を作るために，宇宙項という定

数を一般相対論の基礎方程式（アインシュタイン方程式）に付け加えた．ところが，このような定常的な宇宙は山の頂点のように不安定で，少しでも摂動を与

えると，宇宙は定常的な状態を保つことができない．その後ハッブル (Hubble)

は，銀河の赤方偏移によって 1929年に宇宙の膨張を発見し，動的に変化する

宇宙論が支持されることになった [2]．

1946年にガモフ (Gamow)は，宇宙が高温・高密度のミクロの状態から膨張

を始め現在に至ったとするビッグバン理論を提唱し，膨張とともに温度が下がっていく過程で様々な元素が作られると主張した [3]．その後の研究により，重水

素やヘリウムのような軽元素が宇宙初期の元素合成で作られ，それよりも重い

元素は星の内部の核融合反応で作られることが明らかになった．ビッグバン理

論によって予言される軽元素の生成量は，遠方のクエーサーのスペクトル吸収

線による軽元素量の観測と良い一致を示している．

1964年に，ペンジャーズ (Penzias)とウィルソン (Wilson)によって，宇宙のあらゆる方向から同じ強度でやってくる電波が発見され，その強度に相当する

温度がおよそ 3 Kであった [4]．これは，宇宙が初期に高温の黒体であった名残

であり，宇宙背景輻射 (Cosmic Microwave Background, 略してCMB)

と呼ばれる黒体輻射に相当する．これにより，ビッグバン理論の正しさは決定

的なものとなった．

第 2 章

宇宙進化の歴史

本章では，宇宙膨張の最初の観測的な立証となったハッブル・ルメートルの

法則から始めて，もう 1つの重要な証拠である宇宙黒体背景輻射について解説

する．さらに，一様等方宇宙での進化を記述するフリードマン方程式を，一般相対論におけるアインシュタイン方程式から導出する．次に，現在の宇宙に存

在する物質に関する解説を行い，それらの組成によって宇宙進化がどのように

決まるのかを明らかにする．さらに，宇宙年齢が物質の組成によってどのよう

に変わるかについて議論する．

2.1 ハッブル・ルメートルの法則

我々は光という手段を用いて宇宙を観測することができる．光速 cは有限で，

光が天体を出てから地球に届くまでに時間がかかることから，我々は光を通し

て過去の天体の様子を探ることができる．つまり，宇宙を観測するということ

は過去を見るということであり，観測の技術が向上すればそれだけ遠くの世界，

つまりより昔の宇宙の様子を知ることが可能となる．1929年にハッブル (Hubble)は，宇宙が膨張していることを示す観測データ

間の関係式を導いた∗1）．これは，宇宙膨張により，遠方の銀河から来る光の波

長がドップラー効果の影響で伸びて観測されることを利用したものである．あ

る天体から出る絶対静止系での光の波長を λ，地球上の観測者が受ける同じ光

の波長を λ0 とする．宇宙が膨張すると，距離のスケールが変化するが，いま

それを宇宙時間 tに依存して変化するスケール因子 aという量で表すとすると，光の波長 λは aに比例して増加する．ここで，天体の赤方偏移 z を

*1） ハッブルが存命中には，天文学は物理学とは独立の学問とみなされており，ノーベル賞委員会が天文学を物理学の領域の 1 つとして取り扱うことを決定したのは 1953 年であった．その決定のもとで，ハッブルはノーベル賞受賞の候補に挙がったが，受賞の通知を受ける予定の直前の 1953 年 9 月 28 日に死去した．

第 3 章

宇宙論的摂動論

前章では，一様等方宇宙における進化を考えたが，現実の宇宙には一様性か

らのずれ（揺らぎ）が存在する．膨張宇宙における局所構造の進化を記述する

には，物質の密度揺らぎと時空の揺らぎを結びつける摂動アインシュタイン方程式を解く必要がある．本章では，ゲージ不変宇宙論的摂動論における基礎方

程式を導出する．この方程式は，インフレーション中に生成される曲率揺らぎ

と重力波，宇宙背景輻射の温度揺らぎ，宇宙の大規模構造の形成などに用いら

れる．なお本章以降では，光速 c，換算プランク定数 �，ボルツマン定数 kB に

関して，

c = � = kB = 1 (3.1)

とする単位系を用いる．このとき，例えば密度とエネルギー密度の違いがなく

なる．また，本章で現れるプライム記号は，共形時間による微分を表す．

3.1 一様等方時空における摂動

線素 (2.14)で記述される一様等方計量 (b)gμν を背景に持つ宇宙で，計量の

摂動 δgμν を考える．すると，この時空の計量は

gμν = (b)gμν + δgμν ,(b)gμν = a2(η)

(−1 0

0 γii

)(3.2)

と書かれる．ここで γii (i = 1, 2, 3)は，(2.15)で定義してあるように，曲率

K を持つ 3次元空間における計量 γij の対角成分であり，共形時間 ηを

η ≡∫a−1 dt (3.3)

で定義する．ηを用いると，背景時空の線素 (2.14)は，(b)ds2 = a2(η)(−dη2 +

γijdxidxj) と書ける．以下で示すように，計量摂動 δgμν は，(i) スカラー，(ii)

第 4 章

インフレーション理論

インフレーション理論はもともと，平坦性問題や地平線問題のようなビッグ

バン宇宙論の諸々の問題点を解決するために提唱された．宇宙初期の加速膨張

により，これらの問題が解決されるだけでなく，CMBの温度揺らぎや大規模構造の種となる原始密度揺らぎを生み出す．理論的に予言される揺らぎのスペ

クトルは，WMAP, Planck などの観測と整合的であり，そのスペクトルの詳

細な解析から，逆にインフレーションの模型に制限をつけることができる．本

章では，インフレーションの機構，生成される密度揺らぎと非ガウス性，模型

の選別，再加熱機構などについて解説していく．

4.1 平坦性問題，地平線問題

現在の宇宙は平坦に近く，曲率に関する密度パラメータΩK = −Kc2/(aH)2

の現在の値には，観測的に (2.89) という制限がついている（この節では，cを

省略せずに書く）．輻射優勢期や物質優勢期では，宇宙は減速膨張し，スケー

ル因子の時間変化は a ∝ tp (0 < p < 1) である．このとき，(2.2)のハッブルパラメータは H = p/tと変化するから，密度パラメータは |ΩK | ∝ t2(1−p) と

増加する．もしビッグバンから現在に至るまでのほとんどの時期で宇宙が減速

膨張をしていたとすると，宇宙初期の曲率項は極めて小さく，最初から宇宙は

非常に高い精度（プランク時期では，|ΩK | � 10−66）で平坦に近かったという

不自然な問題を生じる．この問題を平坦性問題という．なお，宇宙は z � O(1)

で暗黒エネルギーが支配する加速膨張期に入るが，z = 1の頃から現在 (z = 0)

までに，スケール因子はせいぜい 2倍程度にしか増えず，平坦性問題の解決に

はならない．

次に，ビッグバン宇宙論のもう一つの問題点について解説する．平坦な時空で

動径方向（r方向）に進む光を考えると，FLRW計量 (2.14)において ds2 = 0

として，c dt = a(t)drを得る．これを，宇宙初期のある時刻 t∗から時刻 tまで

第 5 章

ビッグバン元素合成，バリオン数生成

宇宙の温度がおよそ 1010 K程度まで下がると，中性子と陽子から重水素 2H

が生成され始め，それからさらに 4He, 7Liのようなより重い原子核ができる．

本章では，この軽元素合成に関して詳細な解説を行う．また，我々の宇宙には粒子が反粒子よりも多いが，その非対称性を生じるバリオン数生成の機構につ

いても考える．

5.1 バリオン，レプトン，化学ポテンシャル

宇宙初期に元素を合成する種となるものは，中性子 (n)と陽子 (p) というバリオンである．バリオンは，3つのクォークから構成され，中性子は 1つのアッ

プクォークと 2つのダウンクォークからなり，陽子は 2つのアップクォークと 1

つのダウンクォークからなる．中性子と陽子の質量はそれぞれ，mn = 939.565

MeV, mp = 938.272 MeVであり，その差は，

Q ≡ mn −mp = 1.293 MeV (5.1)

である．宇宙の温度が T � 100 MeVのときは，中性子も陽子も非相対論的粒

子 (T � mn,mp) として取り扱うことができる．

宇宙の温度が 1 MeVから 100 MeV程度のときに相対論的である粒子として，

光子 γ，電子 e−，陽電子 e+，3種類のニュートリノ νe, νμ, ντ と反ニュートリ

ノ νe, νμ, ντ がある．この中で，光子は質量 0のボース粒子で，それ以外はレ

プトンである．電子と陽電子の質量はともにme = 0.511 MeVであり，ニュートリノと反ニュートリノの質量の総和には，

∑mν < 0.23 eVという宇宙論か

らの制限がついている．なお，上記以外のレプトンとしてミュー粒子，タウ粒

子があり，質量はそれぞれmμ = 105.658 MeV, mτ = 1.777× 103 MeVであ

り，T � 100 MeV で非相対論的になっている．こららの粒子は不安定で，例え

ばミュー粒子は反応 μ− → e− + νμ + νe によって平均寿命 τμ = 2.2 × 10−6 s

第 6 章

宇宙背景輻射

宇宙背景輻射 (CMB)の光子の温度 T には非等方性があり，平均温度からの

ずれ（揺らぎ）を δT として，δT/T ∼ 10−5程度の値をもつ．この温度揺らぎ

の大きさの角度依存性を測定することにより，様々な宇宙論パラメータに詳細な制限を与えることができる．本章では，主に CMBの温度揺らぎと偏光が生

成される機構と，WMAP, Planckなどの観測との整合性について解説する．

6.1 再結合と宇宙の晴れ上がり

第 5章で説明したように，宇宙初期の元素合成で生成される原子核の質量の

うちの約 75 %が陽子 (p)，約 25 %がヘリウム (He)である．陽子は，電子 (e−)

との散乱によって，中性原子である水素 (H)と光子 (γ)を生成する反応

p + e− ↔ H + γ (6.1)

を起こす．ここで，水素のイオン化エネルギーは 13.6 eVであり，もし光子 1

個の持つエネルギー Eγ が 13.6 eVよりも大きいと，反応 (6.1)が主に左側に

進行し，陽子はイオン化された状態にある．それに対して，Eγ < 13.6 eVの

光子では，反応 (6.1)が主に右側に進行し，水素原子が生成され始める．(2.55)

と (2.56)から，温度 T の熱平衡状態にあるCMB光子 1個の平均エネルギーは

〈Eγ〉 =ε

n=

π4

30ζ(3)kBT � 2.7kBT (6.2)

である．〈Eγ〉が 13.6 eVと等しくなるときの温度を見積もると，T = 5.8×104

K程度となる．つまり，およその目安として，宇宙の温度が 104 K 程度まで下

がると，水素原子を作る反応が少しずつ進行を始める．ただし，図 2.2のよう

に光子のエネルギー分布は一様ではないため，上記の平均エネルギーに基づく温度評価では見積もりが粗い．

反応 (6.1)において，Hの数密度 nHと pの数密度 npが同じ値になったとき

第 7 章

宇宙の大規模構造

物質優勢期には，暗黒物質の揺らぎを主な源として大規模構造が形成され始

める．本章では，重力不安定性理論による物質揺らぎの進化とパワースペクト

ル，バリオン音響振動，3次元銀河探査による揺らぎの成長率への制限，重力レンズなどのトピックスに関して，解説を行っていく．

7.1 重力不安定性理論

流体またはスカラー場の摂動が従う摂動方程式は，第 3.5節で導出してあり，

また，暗黒物質を完全流体とみなしたときの揺らぎ δm の進化は，第 6.6節で議論している．物質優勢期で，波長がハッブル半径よりも小さい物質揺らぎは，

(6.140)で導いたように，スケール因子 aに比例して増加する．以下では，平

坦な宇宙における物質揺らぎの進化に関して，さらに詳細に調べる．

まず一般に，ニュートンゲージにおける摂動計量 (6.17)で，非等方ストレス

Πが無視できる流体を考える．流体の密度摂動 δρと速度ポテンシャル vから，

δ = δρ/ρ , θ = ∇2v/H (7.1)

という 2 つの量を定義する（ただし，H = aH）. 状態方程式 w = P/ρ と，

(3.122)で定義される音速 cs を用いると，流体の摂動の基礎方程式 (3.100)と

(3.102)は，波数 kのフーリエ空間で

δ′ + 3H(c2s − w)δ = −(1 + w)(3Φ′ + Hθ) , (7.2)

θ′ +[H(1 − 3w) +

H′

H +w′

1 + w

]θ =

k2

H(

c2s1 + w

δ + Ψ)

(7.3)

となる（プライムは η微分）．単一の流体が宇宙を支配している場合，(3.125)

より，ポアソン方程式

k2Φ = 4πGa2ρ δ (7.4)

第 8 章

暗黒エネルギー

現在の宇宙のエネルギーの約 70 %を占める暗黒エネルギーは，様々な独立

な観測からその存在が示唆されている．宇宙の加速膨張を引き起こすこのエネ

ルギーの起源は未だに解明されておらず，様々な模型が提唱されている．本章では，暗黒エネルギーの存在の最初の検証となった超新星の観測からの制限に

ついてまず解説し，さらに CMB, BAOなどの観測からどのように模型に制限

がつくかについても述べる．次に，宇宙項，クインテッセンス，修正重力理論

などのいくつかの理論模型について解説する．

8.1 暗黒エネルギーの観測的な制限

超新星までの距離の評価に使われるのは，光度距離 dL であり，光源の絶対

光度（単位時間あたりに放出されるエネルギー）を Ls，地球上で観測されるフ

ラックス（単位時間，単位面積あたりの光度）を F として，

d2L =

Ls4πF (8.1)

で定義される．一様等方宇宙での計量 (2.16)を考え，観測者の位置を χ = 0

とする．位置 χにある光源（赤方偏移 z）から，エネルギー ΔE1 の光が時間

間隔 Δt1（周期）で観測者（赤方偏移 z = 0）の方向に放射されたとき，こ

の光源の絶対光度は Ls = ΔE1/Δt1 である．観測者が，エネルギー ΔE0 の

光を時間間隔 Δt0 で受けたとすると，みかけの光度は L0 = ΔE0/Δt0 で

ある．光が光源を出たときの波長を λ1，観測者が受ける光の波長を λ0 とすると，ΔE1/ΔE0 = λ0/λ1 = 1 + z が成り立つ．また，光速を c として

c = λ1/Δt1 = λ0/Δt0 であるから，Δt0/Δt1 = 1 + z が成り立つ．よっ

て，Ls と L0の比は

Ls/L0 = (1 + z)2 (8.2)

第 9 章

一般相対論を超える理論

プランク長よりも小さなスケールでは，古典的な一般相対論が破綻し，時空

構造そのものの量子性を考慮した量子宇宙論，もしくは 4つの力の統一を目指

す超弦理論のような新たな理論が必要である．また，暗黒エネルギーの存在は，現在のハッブル半径に及ぶ大スケールでの重力理論の修正を示唆している可能

性がある．本章では，このような一般相対論を拡張する試みについて解説する．

9.1 量子宇宙論

平坦で宇宙項が 0の宇宙が，密度 ρ，状態方程式 w = P/ρ > −1の物質で占められているとする．wが一定のとき，宇宙の膨張率はH ∼ 1/t（tは宇宙時間）

と変化し，ρ ∼ H2/Gである．ハッブル半径 LH = cH−1 の内側の領域のエネ

ルギーは，E = ρc2L3H ∼ c5/(GH) である．E と tとの積は，Et ∼ (c5/G)t2

であり，この量が換算プランク定数 �と同程度になるプランク時間

tpl =√

�G/c5 = 5.3911 × 10−44 s (9.1)

まで tが小さくなると，不確定性原理による量子効果が無視できない．つまり，

プランク長 �pl = ctpl = 1.6162 × 10−35 m よりも小さいスケールでは，時空

構造の量子性を考慮した理論が必要となる．

ホイーラー (Wheeler)，ドウィット (DeWitt)，ミスナー (Misner) らは，時

空を時間一定の 3次元空間の時系列 Σ によって分解する ADM 形式 [43] に基

づいて，重力理論を力学系の理論として取り扱うことを提唱した．この手法では，一般相対論を，ハミルトニアンHc をもつ力学的な正準形式の理論に帰着

させ，それに正準量子化の手続きを行う．Σ上の 3次元リーマン計量全体が作

る空間 S は超空間と呼ばれ，S 上の量子状態を記述する波動関数を ψとして，

シュレーディンガー方程式は

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197

索 引

アアインシュタイン系, 173

アインシュタインテンソル, 14

アインシュタイン・ド・ジッター宇宙, 28

アインシュタイン・ヒルベルト作用, 52

アインシュタイン方程式, 14

アキシオン, 24, 173

アフィンパラメータ, 99

アフレック・ダイン機構, 94

暗黒エネルギー, 17, 24, 159

暗黒物質, 22, 139

CDM, 22

HDM, 22

WDM, 24

e-foldings数, 49

Eモード, 136, 158

一様密度ゲージ, 39

一般相対論, 14

インスタントン, 92

インフラトン, 52

インフレーション, 47

k, 52, 55

新しい, 51

カオティック, 53, 63

スーパー, 188

ダブル, 55

ナチュラル, 54, 63

ハイブリッド, 54, 64

古い, 51

ヴァインシュタイン機構, 182

WIMPs, 24

宇宙原理, 10

宇宙項, 24, 164

宇宙時間, 6

宇宙年齢, 28

宇宙の大規模構造, 139

宇宙の晴れ上がり, 8, 97

宇宙背景輻射, 8, 162

宇宙論的摂動論, 29

宇宙論的な分散, 128

ADM

形式, 183

計量, 65

エキピロティック模型, 189

N 体シュミレーション, 143

エネルギー運動量テンソル, 34, 36

f(R)理論, 175

エントロピー, 16, 19

エントロピー摂動, 46

オストログラドスキ不安定性, 190

音速, 45, 120

音速地平線, 121

温度, 9

カカーヴァトン, 71

カイザーの公式, 146

カイ 2乗, 161

カイラリティー, 90

ガウス・ボンネ項, 188, 190

角径距離, 13

加速膨張, 15, 47, 159

カメレオン機構, 177

ガリレオン, 182, 190

換算プランク質量, 4, 52

換算プランク定数, 4, 10

完全流体, 14

球ベッセル関数, 126

Q-ボール, 94

球面調和関数, 106

共形変換, 173

共動距離, 6, 11

共動ゲージ, 39

共変ベクトル, 13

曲率, 11

曲率揺らぎ, 39, 56

クインテッセンス, 166

グラビティーノ, 74

クリストッフェル記号, 13

クロネッカーのデルタ, 11

計量テンソル, 11

経路積分, 186

KKLT解, 165

ゲージ不変量, 38

ゲージ変換, 31

ゲージ理論, 91

減速膨張, 15

光学的厚み, 107

光子, 8, 95, 102

光子・バリオン流体, 98

光速, 4

光度距離, 159

ゴースト, 174, 191

COBE, 2, 8

黒体輻射, 1, 8

固定点, 167

小林・益川理論, 91

固有時間, 34

固有速度, 6

コンパクト化, 165

サ再イオン化, 132

再加熱, 71

再結合, 96

ザックス・ヴォルフェ効果, 127

サハの式, 96

サハロフの条件, 90

3次元空間曲率, 39

CMBシフトパラメータ, 122

シーソー機構, 94

CPの破れ, 90

C変換, 90

ジーンズ長, 140

実効的な状態方程式, 27

シフトベクトル, 65

重水素, 83

修正重力理論, 173

収束 (convergence)場, 155

自由流減衰, 22

重力定数, 4

重力波, 45, 60

重力不安定性理論, 139

重力レンズ, 153

縮約則, 11

シュレーディンガー方程式, 183

準静的近似, 179

状態方程式, 15

ジョルダン系, 173

シルク減衰, 123

真空のエネルギー, 25, 165

スカラー曲率, 14, 52

スカラー摂動, 30, 41

スカラー場, 36, 44, 52, 166, 190

スケーリング解, 167

スケール因子, 5, 11

スケール不変, 59

ストークス・パラメータ, 134

String landscape, 165

スニヤエフ・ゼルドビッチ効果, 133

スファレロン, 93

スペクトル指数, 59, 61, 118

Small-field模型, 64

スローロール, 52, 172

パラメータ, 52

整合性関係 (consistency relation), 61

正準量子化, 183

静的宇宙, 164

赤方偏移, 5

赤方偏移空間, 144

摂動アインシュタイン方程式, 40

線形近似, 34

線素, 11

199

相対論的物質, 17, 25

素粒子の標準理論, 91

タ第 5の力, 175

大統一理論, 2, 51

脱結合, 80

多様体, 31

断熱条件, 112

地平線問題, 48

チャーン・サイモン電荷, 92

中性子, 77

超弦理論, 165, 187

超新星, 8, 160

超対称性理論, 165

Dirac–Born–Infeld (DBI) 模型, 56

ディラトン, 175, 187

電子, 20, 95

テンソル, 13

テンソル・スカラー比, 61

テンソル摂動, 30, 42

等級, 160

等曲率揺らぎ, 112

Dvali–Gabadadze–Porrati (DGP)模型, 182

ド・ジッター解, 58, 165, 176

トムソン散乱, 97, 103

トラッカー, 169

トンネル効果, 184

ナ内部エネルギー, 16

ニュートリノ, 19

マヨラナ, 94

ニュートンゲージ, 39

熱平衡状態, 8, 17

ハハートリー近似, 76

パウリの排他律, 81

バウンス解, 189

ハッブルダイアグラム, 7

ハッブルパラメータ, 6

ハッブル半径, 48

場の量子論, 58

ハミルトニアン, 184

パラメータ共鳴, 75

バリオン, 3, 21, 77, 89

バリオン音響振動, 151, 163

バリオン数, 89

パワースペクトル, 59

角度, 119, 137

バンチ・デービス真空, 58

反応率, 79

反変ベクトル, 13

ビアンキ恒等式, 14

BBKS遷移関数, 118

P変換, 90

Bモード, 136, 158

非ガウス性, 65

非線形パラメータ, 68

非相対論的物質, 17, 25

ヒッグス場, 51

ビッグバン元素合成, 77

ビッグバン理論, 1

ビッグリップ, 26

非等方ストレス, 34

フェルミ結合定数, 80

フェルミ粒子, 17, 72

輻射, 18, 73

輻射優勢期, 25

Pseudo–Nambu–Goldstone–Boson (PNGB) 模型, 54, 172

物質優勢期, 25

物質揺らぎ, 34, 180

フラックス, 159

プランク時間, 4, 183

質量, 4

長, 4, 183

定数, 4, 9

分布, 9

ブランス・ディッケ理論, 173, 190

フリードマン方程式, 15

ブレーン (Brane), 189

プレヒーティング, 74

プレ・ビッグバン模型, 188

200 索 引

平坦性問題, 47

ベータ崩壊, 82

ベクトル摂動, 30, 41

ヘリウム, 85

ヘルムホルツの定理, 30

偏光, 133

ホイーラー・ドウィット方程式, 184

ボース粒子, 17, 72

ボルツマン定数, 4, 9

ボルツマン方程式, 101

ボルン近似, 72

ホルンデスキ理論, 190

マ密度パラメータ, 16, 26

ミンコフスキー計量, 11

メガパーセク, 7

ヤユークリッド空間, 11, 93, 185

歪み (shear) 場, 155

陽子, 77, 95

陽電子, 20

4元運動量, 99

4元速度, 34

ラLarge-field模型, 64

ラチスシュミレーション, 76

ラプス, 65

ΛCDM模型, 25

ランニング, 60, 61

リーマンテンソル, 13

リチウム, 86

リッチテンソル, 14

粒子的地平線, 48

流体, 34, 42

量子異常, 91

臨界密度, 16

ループ量子重力理論, 187

ルジャンドル多項式, 106, 146

レプトン, 77

レプトン数, 90

レプトン数生成, 94

連続方程式, 16

ワワゴナーコード, 87

201

著者略歴

辻つじ川かわ 信しん二じ

2001 年 早稲田大学理工学部物理学科博士後期課程修了 博士（理学）現　在 東京理科大学理学研究科教授専　門 宇宙論，相対論主要著書“DarkEnergy:TheoryandObservations”LucaAmendola,ShinjiTsujikawa（CambridgeUniversityPress,2010）『相対性理論が描く宇宙の未来』（シーアンドアール研究所，2015）“TheEncyclopediaofCosmology,Volume3:Darkenergy〈https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/9496〉”ShinjiTsujikawa（WorldScientific,2018）

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-99

『現代宇宙論講義 基礎からの系統的な理解を目指して』（電子版）

著　者　辻川 信二2020 年 3 月 10 日　初版発行　ISBN 978─4─7819─9972─2この電子書籍は 2013 年 7 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

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