相対論的ＰＩＣコード

永田 健太郎

東京大学（大阪大学） Ｄ１

もくじ

• PICの全体像• １次元・静電コード• １次元・電磁コード• 相対論的無衝突衝撃波のシミュレーション

ＰＩＣ(Particle in Cell)とは？

• 粒子のもつ物理量（座標・速度）は、個々の粒子について運動方程式で解く。

• 電磁場は空間をメッシュで分割したグリッド上で定義され、Ｍａｘｗｅｌｌ方程式で解く。

• 粒子の持つ物理量をグリッドに分配し、グリッド上の物理量を粒子へ分配する。

PICの特徴

利点

• 非熱的な現象や波と粒子の相互作用を見れる。• 粒子間の相互作用を直接解くよりも、計算量がはるかに少ない。

欠点

• 粒子の運動についての固有なスケールを持つため、長時間・広範囲の計算は無理。

基礎方程式

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+= B

cuEq

dtdum

γ0相対論的運動方程式

0

41

14Maxwell

=⋅∇

+∂∂

=×∇

∂∂

−=×∇

=⋅∇

B

Jct

Ec

B

tB

cE

E

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　　

　方程式　

π

πρ

計算の流れ

運動方程式の積分Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ

電荷密度・電流密度の計算（ｘ，ｖ）ｋ → （ρ，J）ｉ

粒子に働く力の計算（Ｅ，Ｂ）ｉ → Ｆｋ

Ｍａｘｗｅｌｌ方程式の積分（ρ，J）ｉ → （Ｅ，Ｂ）ｉ

k: 粒子番号i : グリッド番号

物理量の配置

粒子の物理量

x

v

x

i i+1/2 i+1

n

n+1/2

n+1E Bρ

E Bρ

E Bρ

E Bρ

J

時間

空間

次元によって異なる電荷の形状

z

２次元z方向に伸びた棒状電荷

x

x

x

y

y

１次元y-z方向に伸びた板状電荷

３次元球状電荷

１次元・静電コード

１次元・静電コード

• 空間１次元（ｘ）磁場なしの場合。⇒ x=(x,0,0), v=(vx,0,0), E=(Ex,0,0), B=(0,0,0)

• 解くべき方程式

xx qE

dtdumB

cuEq

dtdum =⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+= 00 γ

相対論的運動方程式

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂∂

=⇒+∂∂

=×∇

=∂∂

⇒=⋅∇

xx

x

Jct

Ec

Jct

Ec

B

xEE

ππ

πρπρ

41041

44Maxwell

　　　　　　　

　　　　　方程式　

m0静止質量, u ４元速度, γローレンツ因子, q 電荷,ρ電荷密度

手順

1. 粒子の座標xと速度vxが既知であるとする。

2. xからグリッド上の電荷密度ρを求める。3. ρからグリッド上の電場Ex を求める。

4. 粒子が受けるExを求める。

5. 運動方程式を解き、vxを更新し 、さらにxを更新する 。

運動方程式の積分Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ

電荷密度の計算ｘｋ → ρｉ

粒子に働く力の計算Ｅｉ → Ｆｋ

divEの積分ρｉ → Ｅｉ

k: 粒子番号i : グリッド番号

粒子からグリッドへの物理量の受け渡し

粒子位置グリッド位置

( ) ( )( ) xtxiSqnim

kkk ∆−=∑

=1,ρ電荷密度

Maxwell方程式 (divE)

xEExEE

xE

iixix

iixixx

∆+=

=∆−

⇒=∂∂

−+

−+

πρ

πρπρ

4

44

2/1,2/1,

2/1,2/1,

・・・・・・・・・・（１）

セルフフォース（自分自身の電場によって受ける力）を回避するため、補完によって電場を電荷密度ρが定義されたグリッドに定義しなおす。

22/1,2/1,

,−+ +

= ixixix

EEE ・・・・・・・・・・（２）

セルフフォースa 1-a

)1( aqi −=ρ qai =+1ρ

qEi π22/1 −=−

i ii+1/2 +1 i+3/2i-1/2

)21(22/1 aqEi −=+ π qEi π22/3 =+

qaEi π2−= )1(2 aqEi −= π

i ii+1/2 +1 i+3/2i-1/2

E

0=E 0214 ≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= aqaE π

理論値

グリッドから粒子への物理量の受け渡し

粒子位置 グリッド位置

( )∑=

−=m

ikik xiSEE

1

電場　

運動方程式

( )tvxx

cu

uuv

tEmquu

Emq

tuuqE

dtdum

nx

nn

nx

nx

n

nxn

x

nx

nx

nx

nx

nx

nx

xx

∆+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+==

∆+=

=∆−

⇒=

++

+

+

+

++

−+

−+

2/11

22/1

2/1

2/1

2/12/1

0

2/12/1

0

2/12/1

0

1γ

・・・・・・・・・・（１）

・・・・・・・・・・（２）

（４元速度から３元速度へ変換）

１次元・静電コードのまとめ

• 物理変数 x=(x,0,0), v=(vx,0,0), E=(Ex,0,0)

xEE iixix ∆+= −+ πρ42/1,2/1,

πρπρ 44Maxwell =∂∂

⇒=⋅∇x

EE x　　方程式　

22/1,2/1,

,−+ +

= ixixix

EEE

xx qE

dtdumB

cuEq

dtdum =⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+= 00 γ

相対論的運動方程式

( )tvxx

cu

uuvtEmquu

nx

nn

nx

nx

n

nxn

xnx

nx

nx

∆+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+==∆+=

++

+

+

+

++−+

2/11

22/1

2/1

2/1

2/12/1

0

2/12/1

1,

γ

１次元・静電コードのまとめ

粒子の物理量

x

v

x

時間

i i+1/2 i+1

n

n+1/2

n+1

Exρ 空間

Exρ

Exρ

Exρ

(Ex)

(Ex)

グリッド及び時間ステップ幅の拘束条件

• Δx～デバイ長(λD=vth/ ωp)Δx> λDとなると粒子は数値的な熱化を起こす

（運動エネルギーが増加し、エネルギーが保存しない）

• 特徴的な現象を十分に分解できる大きさにとる例）プラズマ振動ωpΔt<<1ジャイロ運動Δt << ジャイロ周期

(Δx << ジャイロ半径)

計算例：プラズマ振動

• 計算空間に熱速度が小さい同数の電子-陽電子を一様に分配し、静電場による振動を見る。

• 運動方程式・連続の式・divE

を速度v・電場Eは１次の量、密度nは０次+１次の量として線形化し分散関係式を得る。

( )

( )

πρ4

0

=⋅∇

=⋅∇+∂∂

±=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∇⋅+∂∂

±±±±

±±±±

±

E

vvnt

nm

Eenvvt

vmn

pωω =

計算条件

• グリッド数 １０２４

• 時間ステップ １０２４

• 粒子数 ５１，２００×２ 個

（５０×２ 個/グリッド）• グリッド幅 ５０×デバイ長

（数値的な熱化が起こる）

• 時間ステップ幅 プラズマ振動周期/１３• 境界条件 周期境界

プラズマ振動（静電場のk-ω図）

pωω =

１次元・電磁コード（垂直磁場）

１次元・電磁コード（垂直磁場）• 空間１次元（ｘ）垂直磁場（Bz)の場合。⇒ x=(x,0,0), v=(vx,vy,0), E=(Ex,Ey,0), B=(0,0,Bz)• 解くべき方程式

( ) ( ) ( )zyxyx BBEEEuuu

BcuEq

dtdum

,0,0,0,,,0,,

0

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+=

　　　　　　　　　　　　

相対論的運動方程式γ

yyz

zy

x

Jct

Ecx

BJct

Ec

B

tB

cxE

tB

cE

xEE

ππ

πρπρ

4141

11Maxwell

44

+∂

∂=

∂∂

−⇒+∂∂

=×∇

∂∂

−=∂

∂⇒

∂∂

−=×∇

=∂∂

⇒=⋅∇

　　　　　　　

　　　方程式　

　　　　　　　　　　　　

手順1. 粒子の座標x，速度(vx , vy)，電磁場(Ey,Bz)が既知であるとする。

2. xからグリッド上の電荷密度ρを、 x ,vyからグリッド上の電流密度Jyを求める。

3. ρからグリッド上の電場Exを求める。Jyを使ってグリッド上の電磁場(Ey,Bz)を時間更新する。

4. 粒子が受ける(Ex,,Ey,Bz)を求める。5. 運動方程式を解き、(vx , vy)を更新し、さらにxを更新する。 運動方程式の積分

Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ

電荷密度・電流密度の計算（ｘ，ｖ）ｋ → （ρ，J）ｉ

粒子に働く力の計算（Ｅ，Ｂ）ｉ → Ｆｋ

Ｍａｘｗｅｌｌ方程式の積分（ρ，J）ｉ → （Ｅ，Ｂ）ｉ

k: 粒子番号i : グリッド番号

粒子からグリッドへの物理量の受け渡し

粒子位置グリッド位置

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) xttxiSttvqniJ

xtxiSqni

m

kkkk

m

kkk

∆∆+−∆+=+

∆−=

∑

∑

=

=

1

1

2221,

,

電流密度

電荷密度 ρ

電磁場の解法

と定義して２式の和と差をとると

⇒

yyzzy J

ctE

cxB

tB

cxE π41,1

+∂

∂=

∂∂

−∂∂

−=∂

∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

,4

4

2/12/112/1

2/12/12/1

11

2/12/1

11

++

++

+

+

+

−+

−−+−

+

−−

+++++

+=−=

∆−

−∆−

−=∆−

+∆−

niy

niyn

iyniy

ni

ni

ni

ni

niy

ni

ni

ni

ni

JJJJ

xFFc

tFF

JxFFc

tFF

π

π

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) tJFF

tJFFniy

ni

ni

niy

ni

ni

∆−=

∆−=+

++−+−

+

−−+++

2/12/11

1

2/12/11

1

4

4

π

π

電磁場の解法: +x方向へ伝播

: -x方向へ伝播Δx=cΔtとして

グリッドから粒子への物理量の受け渡し

粒子位置 グリッド位置

( )

( )∑

∑

=

=

−=

−=

m

ikik

m

ikik

xiSBB

xiSEE

1

1

磁場　

電場　

運動方程式

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

++=

∆−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+=

−+−+n

n

nnn

nn

BcuuE

mq

tuuB

cuEq

dtdum

γγ 2

2/12/1

0

2/12/1

0

• Buneman-Boris法電場による加速と磁場による回転を別に扱うことにより、磁場が仕事をしないことを保障する。

Buneman-Boris法

• 電場による加速

• 磁場による回転(|u+|=|u-|)

2

2

0

2/1

0

2/1

tEmquu

tEmquu

nn

nn

∆+≡

∆+≡

++

−−

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=∆+≡

××++

+=

−−−

−

−−−+

2

0

2

1,2

1

cutcm

qBuT

TTuuTquu

n

γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

++=

∆− −+−+

nn

nnn

nn

BcuuE

mq

tuu

γ2

2/12/1

0

2/12/1

2/12/1 )()()( ++−− →−→−→− nn uEuBuEu 加速回転加速

１次元・電磁コード（垂直磁場）のまとめ

• 物理変数x=(x,0,0),v=(vx,vy,0),E=(Ex,Ey,0),B=(0,0,Bz)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+= B

cuEq

dtdum

γ0

相対論的運動方程式

yyz

zy

x

Jct

Ecx

Bt

Bcx

Ex

E

π

πρ

41

1

4

Maxwell

+∂

∂=

∂∂

−

∂∂

−=∂

∂

=∂∂

方程式

粒子の物理量

x

v, (x)

xi i+1/2 i+1

n

n+1/2

n+1

Ex EyBz ρ

Jy

時間

空間

Ex EyBz ρ

Ex EyBz ρ

Ex EyBz ρ

(Jy) (Jy)

(Ex)

(Ex)

１次元・電磁コード（斜め磁場）

• Bxがある場合は、垂直磁場の場合の(Ey,Bz,Jy,(vy))に対して分離された(Ez,By,Jz,(vz))を加えて計算すればよい。

zzy

yyz

yzzy

x

Jct

Ecx

BJ

ctE

cxB

tB

cxE

tB

cxEx

E

ππ

πρ

41,41

1,1

4

Maxwell

+∂∂

=∂

∂+

∂

∂=

∂∂

−

∂

∂−=

∂∂

−∂∂

−=∂

∂

=∂∂

　　　

　　　　　

方程式

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+= B

cuEq

dtdum

γ0

相対論的運動方程式

計算例：電磁波のカットオフ

• 電子-陽電子プラズマ中に電磁波を入射する。• 電磁場が１次の量であるとして、Maxwell方程式

を解くことで分散関係式を得る。

ω<ωpではkが虚数になり、伝播方向に対して振幅は指数関数的に減衰する。

yyz

zy

Jct

Ecx

BJct

Ec

B

tB

cxE

tB

cE

ππ 4141

11

+∂

∂=

∂∂

−⇒+∂∂

=×∇

∂∂

−=∂

∂⇒

∂∂

−=×∇ 　　　

2222 kcp +=ωω

計算条件

• グリッド数 １０００

• 時間ステップ ８００

• 粒子数 ２５，０００×２ 個

（５０×２ 個/グリッド）• グリッド幅 ０．０１×ジャイロ半径

（２０×デバイ長)• 時間ステップ幅 ０．０１６×プラズマ振動周期

• 境界条件 右端で反射境界

カットオフ

( )pp ωωωω 2=>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =< pp ωωωω

21

pωω =

真空 プラズマ電磁波入射空間/ジャイロ半径

エネルギー保存

時間・ジャイロ振動数

エネルギー

/Nm

c2

電磁波到達

相対論的無衝突衝撃波

研究の動機かに星雲のⅩ線画像

(chandra)かに星雲のスペクトル(Aharonian et al 1998)

γ=106 γ=109

インナーリング

電波

可視光Ｘ線

γ:電子・陽電子のローレンツ因子•粒子の運動エネルギーは約１０００倍まで増加

これが衝撃波で、粒子の加速が起こっている

パルサー風のバルクな運動 加速されている

衝撃波によってどのように粒子の加速が起こっているのか

無衝突衝撃波の形成

パルサー

磁場Ｂ～ １０-4[G]

超新星残骸

パルサー風e+ & e-

γ～１０６

reverse shock forward shock

•磁場に凍結されたe＋& e-はγ

～１０６に達する。•パルサー風と超新星残骸との相互作用により、衝撃波が発生。ただし、数密度は非常に低く、無衝突系である。•パルサーは高速回転していて、磁場はスパイラル状に巻かれている。よって粒子の流れに対して磁場は垂直（垂直衝撃波）である。•流れが相対論的で、垂直衝撃波に近い場合はFermi加速が有効に働かない可能性がある。•そのほかの加速メカニズムを考える必要がある。

衝撃波付近の模式図

0.1pc程度

計算条件

•一様でcold な電子-陽電子を左側(-x方向)から入射•電磁場(Ey,Bz)は、粒子のバルクな速度に対して働くローレンツ力が相殺するように与える

•右側境界で粒子と電磁場は反射させる。

•初期の磁場のエネルギー密度と粒子の運動エネルギー密度の比

を変化させて現象を見る。（かに星雲の衝撃波面付近ではσ～10-3）

zxy BvE =

ｙ

ｚ BｚEｙ

e+,e-

injectionreflection

200

20

24/

cmNB

e

z

γπσ =

ｘ

計算結果 (σ=10-1)

γ/γ0

相対論的Maxwell分布

log(

N)

1

0

1

3

0.6

3

入射 壁

上流 下流

磁場 Bz/Bz0

電子の運動エネルギーγ/γ0

静電場 Ex/Ey0

x/(上流のジャイロ半径)0 50

• 衝撃波面が生成（電磁場の平均値はジャンプコンディションを満たす。)

• スペクトルは相対論的Maxwell分布に近くなっている。⇒熱化

衝撃波面

計算結果 (σ=10-4)

1

0

0

20

30

0

80

20

γ/γ0

log(

N) 加速された粒子

• 電磁場の振幅が（初期の値に対して）非常に大きい。

• 衝撃波面で高エネルギー粒子が生成されている。

入射 壁

上流 下流

衝撃波面

磁場 Bz/Bz0

電子の運動エネルギーγ/γ0

静電場 Ex/Ey0

x/(上流のジャイロ半径)

相対論的Maxwell分布

Particle trajectory and time variation of energy

BAspace ⇒

time ⇒

energy (γ/γ0)→

shock front ~ c/2

(electrostatic field Ex)

BA

upstream

downstream

•particle A：not trapped by the shock front and not accelerated•particle B：trapped by the shock front and acceleratedThe particles are accelerated at the shock front

1 14

The average of accelerating electric field〈Ey/Ey0〉~1.7 > 0

Past studies for the shock surfing acceleration in electron-positron plasma

M.Hoshino (2001) showed that• this phenomenon is characterized by σ,• when σ<<1 particle energy spectrum is nonthermal,• accelerated particles are trapped at the shock

surface, where a magnetic neutral sheet (MNS)exists.

M.Hoshino, 2001, Prog. Phys. Sup. 143, 149

Trapping by a magnetic neutral sheet• Particles are trapped because their

gyro motions change its direction through the MNS.

• All that time, motional electric field Ey accelerates the particles along the MNS.

• In the shock transition region, Eyhas a finite value. On the other hand, in the down stream Ey is almost zero. This is the reason why the particle acceleration occurs only at the shock front.

magnetic neutral sheet(MNS)

Bz

x

x

yelectron

Bz Bz

Relation between σ and MNS

x

xy

Bz

currentelectron

～Bz0

～Bz0

generated magneticfield (B)

MNS

•The reflected particles begin to gyrate and induce an additional magnetic field. •By definition of , when σ is small, the initial magnetic field is small and the particle kinetic energy is large. Then

initial magnetic field＜

generated magnetic field,and a MNS is generated.

•We focus on the shock transition region in case σ = 10-4 << 1.

200

20 8/ cmNB ez γπσ =

Enlargement of the shock transition regioninjection wall

upstream downstream

shock transition region

velocity ux/ux0

shock front

Shock transition region

• The injected particles go through the shock front and some of them return to the front.

• Trapping and acceleration occur at the shock front, not the whole shock transition region.

ux/ux0

Ey/Ey0 Bz/Bz0

accelerated particles

MNS

thermalize

injection shock front

ーEy ーBz +The position of accelerated particle

space⇒

time⇒

upstream

downstream

Electromagnetic fieldsaround the trapped particle

Enlargement of the shock front

Ey/Ey0Bz/Bz0

particle energyγ/γ0

inertia length (c/ωp)×２

The structure of the shock front(in downstream frame)

•The acceleration by Ey is unclear, because Ey has a large positive and negative amplitude around the MNS.•The MNS propagate upstream with velocity ~ c/2, so we should discuss in the MNS frame (= shock frame).

x/（gyro radius）9.86 9.96

Ey/Ey0Bz/Bz0

0

60

particleenergyγ/γ0

0

20

0,4=

∂

∂−=

∂∂

xE

Jcx

B yy

z πsteady stateMaxwell eqs ⇒evaluate Ey

accelerated particles

inertia length (c/ωp)×２

15.1)1(,2/1

)(),(2/12 ≈−=−=

−=′−=′−

sss

yszszzsysy

velocityshock

EBBBEE

βγβ

βγβγ

•Averaged Ey’ is constantly positive in the acceleration region, 〈Ey’/Ey0〉～ 0－7.•The averaged Ey’ which accelerate particles in this frame 〈Ey’/Ey0〉～2 ⇒ consistent with the above estimate.

the Lorentz transformation of the shock frame

x/（gyro radius）9.86 9.960

20Ey’/Ey0Bz’/Bz0

0

50

particleenergyγ/γ0

accelerated particles

inertia length (c/ωp)×２

The structure of shock front(in shock frame)

Summary• The acceleration phenomenon is characterized by σ

which is defined as the ratio of the magnetic field energy density and the particle kinetic energy density.

• The additional magnetic field induced by gyrating particles overcome the initial magnetic field when σis small, and then a magnetic neutral sheet is generated. Therefore this acceleration process works effectively in the Crab nebula, σ ~ 10-3.

• Some particles are accelerated by motional electric field Ey while the magnetic neutral sheet traps them.

• The magnetic neutral sheet is kept stationary at the shock front. We confirmed that the averaged Ey is positive in the shock frame and that the particle acceleration occurs at the shock frame.

To go further• The condition of trapping and detrapping for

accelerated particles⇒ Spectrum form (maximum energy, power-low or

thermal)• 2-D simulation⇒Weibel instability

• Magnetic field consisting of opposing two regions (sector structure)⇒ coupling with reconnection, etc.