様相論理と時相論理

Kripke構造

• K = ⟨S, R, L⟩K ⟨S, R, L⟩S: 状態の集合（無限かもしれない）

R: 状態間の遷移関係

R ⊆ S×SR ⊆ S×SL: 状態から命題記号の集合への写像

L(s) は、状態 s∈S において成り立つ

命題記号の集合を与える命題記号の集合を与える。

Kripke構造

• K = ⟨S, R, L⟩K ⟨S, R, L⟩• G = ⟨S, R⟩⟨ , ⟩

有向グラフ

Kripke構造

• K = ⟨S, R, L⟩ QK ⟨S, R, L⟩• L : S→2Atom

Q

Q

Atom : 命題記号の

全体全体P

Q

P QAtom = {P, Q}

P, Q P

様相論理式

ϕ, ψ ::= P 命題記号ϕ, ψ| ¬ϕ 否定

| ϕ∧ψ 連言

| ϕ∨ψ 選言

| □ 必然| □ϕ 必然

| ◇ϕ 可能| ◇ϕ 可能

意味論

s |= P iff P ∈ L(s)s |= ¬ϕ iff not s |= ϕs |= ϕ∧ψ iff s |= ϕ and s |= ψs |= ϕ∧ψ iff s |= ϕ and s |= ψs |= ϕ∨ψ iff s |= ϕ or s |= ψs |= □ϕ iff t |= ϕ for any t s.t. R(s, t)

| ◇ iff t | f t t R( t)s |= ◇ϕ iff t |= ϕ for some t s.t. R(s, t)

◇ 値◇ϕ は ¬□¬ϕ に同値。

意味論

□Q Q¬P∨□Q◇P

Q

Q◇P□◇P

PQ

P QP, Q P

様々な様相論理様々な様相論理

• 以上は最小様相論理 K以上は最小様相論理 K• 遷移関係を限定

反射的 T / 推移的 K4– 反射的 T / 推移的 K4• 再帰的な命題

– 計算木論理・様相μ計算

• 多重の様相・様相（遷移関係）の演算多重の様相 様相（遷移関係）の演算– ブール論理・動的論理

• グラフ上の経路による解釈• グラフ上の経路による解釈– 線形時間時相論理

グ を木 限定• グラフを木に限定

時相論理（Temporal Logic）時相論理（ p g ）• 状態の遷移や時間の経過の観点より

システムの性質を記述するための論理体系

• 線形時間時相論理• 線形時間時相論理

– LTL（Linear Time Temporal Logic)• 分岐時間時相論理

– CTL（Computation Tree Logic）CTL（Computation Tree Logic）– μ計算（μ-Ｃａｌｃｕｌｕｓ）モデル検査• モデル検査

– 時相論理で表現された性質を

システムが満たすかどうかを検査すること

例：Petersonのアルゴリズム例：Petersonのアルゴリズム

me = 0, 1you = 1, 0for (;;) {( ) {

flags[me] = true;turn = you;y ;while (flags[you] == true) {

if (turn != you) break;( y ) ;}// the critical section// the critical sectionflags[me] = false;// the idle part// the idle part

}

PetersonのアルゴリズムPetersonのアルゴリズム

0: flags[me] = true;0: flags[me] = true;1: turn = you;2: if (flags[you] != true) goto 4;2: if (flags[you] != true) goto 4;3: if (turn != you) goto 4; else goto 2;4: critical section;4: critical section;5: flags[me] = false;6: either goto 6 or goto 0;6: either goto 6 or goto 0;

状態 ( 0 1 fl [0] fl [1] t )• 状態：(pc0, pc1, flags[0], flags[1], turn)– pc0, pc1: 0..6– flags[0] flags[1]: {true false}flags[0], flags[1]: {true, false}– turn: {0, 1}

Petersonのアルゴリズムの正当性リ 性• 安全性

二 のプロセスが同時には i i l i に入らない二つのプロセスが同時にはcritical sectionに入らない。

pc0=pc1=4にはならない。

性 飢餓が起きな• 活性（飢餓が起きないこと）

プロセスがヘッダ部に入ったら、

必ずいつかはcritical sectionに入ることができる。

• 活性が成り立つためには公平性が必要

どちらのプロセスも必ず進んでいなければならない。

ここでは，critical sectionで無限ループに陥らないと仮定。， 無限 陥らな 仮定。

• 公平性（fairness）の仮定

どちらのプロセスも無限回実行されるどちらのプロセスも無限回実行される。

（unconditional fairness）

Petersonのアルゴリズムの正当性の時相論理による表現

安全性• 安全性

– LTL（Linear Time Temporal Logic)( ( ))G(¬(pc0=4 ∧ pc1=4))

– CTL（Computation Tree Logic）AG(¬(pc0=4 ∧ pc1=4))

• 活性（飢餓が起きないこと）

– LTL G(pc0=0 ⊃ F(pc0=4))– CTL AG(pc0=0 ⊃ AF(pc0=4))

• 公平性（fairness）の仮定

– LTL G(pc0=0 ⊃ F(pc0=1)) ∧ ...G(pc0 0 (pc0 )) ...– LTLならば書けるが、CTLでは書けない。

計算木論理（分岐時間時相論理）

ϕ, ψ ::= ...ϕ, ψ| AGϕ globally on any path

| AFϕ finally on any path

| EGϕ globally on some path

| EF| EFϕ finally on some path

□はAX、◇はEXと書く。

意味論

s |= AGϕ iffs から到達できる任意の状態 t において

t |= ϕt |= ϕs |= AFϕ iff

s から始まる任意の経路上に、

t | を満たす状態 t が存在するt |= ϕ を満たす状態 t が存在する。

様相μ計算様相μ計算

• 命題変数に対する再帰的定義が可能。命題変数に対する再帰的定義が可能。

X = ϕ∨◇X最 動点か最大 動点か最小不動点か最大不動点か？

• 最小不動点の場合最小不動点の場合

μX. ϕ∨◇X EFϕ に一致

• 最小不動点の場合

恒真になってしまう恒真になってしまう。

• 最大不動点の例

νX. ϕ∧□X AGϕ に一致

線形時間時相論理

• Kripke構造上の経路において

論理式を解釈する。

• 計算木論理においても 部分的に• 計算木論理においても、部分的に

経路の概念が入っている。

Kripke構造

• K = ⟨S, R, L⟩K ⟨S, R, L⟩S: 状態の集合

R: 状態間の遷移関係

R ⊆ S×SR ⊆ S×SL: 状態から原子論理式の集合への写像

L(s) は、状態 s∈S において成り立つ

原子論理式の集合を与える原子論理式の集合を与える。

状態の無限列 --- 実行経路

• π=π0,π1,π2,…π π0,π1,π2,πi ∈ S (∀i≥0)i ( )R(πi, πi+1) (∀i≥0)( i i+1) ( )

• suffixπi =πi,πi+1,πi+2,…

論理式論理式

ϕ ψ ::= P 命題記号ϕ, ψ ::= P 命題記号

| ¬ϕ 否定| ϕ 否定

| ϕ∧ψ 連言

| ϕ∨ψ 選言

| ○ϕ （Xϕ）| □ （G ）| □ϕ （Gϕ）| ◇ϕ （Fϕ）

untilは、ここでは| ◇ϕ （Fϕ） ここでは、考えない。

意味論意味論

π |= P iff P ∈ L(π0)| ( 0)π |= ¬ϕ iff not π |= ϕ

| iff | d |π |= ϕ∧ψ iff π |= ϕ and π |= ψπ |= ϕ∨ψ iff π |= ϕ or π |= ψ| ϕ ψ | ϕ | ψπ |= ○ϕ iff π1 |= ϕπ |= □ϕ iff πi |= ϕ for any i≥0π |= ◇ϕ iff πi |= ϕ for some i≥0π | ◇ϕ iff π | ϕ for some i≥0

ϕ は π において成り立つ。π |= ϕ --- π は ϕ のモデルである。

ϕ

論理式（正形式）論理式（正形式）

ϕ ψ ::= Pϕ, ψ ::= P| ¬P|| ϕ∧ψ| ϕ∨ψ| ○ϕ| □| □ϕ| ◇ϕ

任意の論理式に対して、それと同値な正形式が| ◇ϕ それと同値な正形式が存在する。

重要な性質

π |= □ϕ iff π |= ϕ∧○□ϕπ | □ϕ iff π | ϕ∧○□ϕπ |= ◇ϕ iff π |= ϕ∨○◇ϕ| ◇ϕ | ϕ ◇ϕ

の閉包cl(ϕ0): ϕ0の閉包

以下の性質を満たす最小の（論理式の）集合

• ϕ0∈cl(ϕ0)• ϕ1∧ϕ2∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ1∈cl(ϕ0) かつ ϕ2∈ cl(ϕ0)ϕ1∧ϕ2∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ1∈cl(ϕ0) かつ ϕ2∈ cl(ϕ0)• ϕ1∨ϕ2∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ1∈cl(ϕ0) かつ ϕ2∈ cl(ϕ0)

ば• ○ϕ∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ∈cl(ϕ0)• □ϕ∈cl(ϕ0) ならば ϕ∧○□ϕ∈cl(ϕ0)□ϕ∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ∧○□ϕ∈cl(ϕ0)• ◇ϕ∈cl(ϕ0) ならば、 ϕ∨○◇ϕ∈cl(ϕ0)

「 ¬P∈cl(ϕ0) ならば、 P∈cl(ϕ0)」はなくてよい。

• ϕ0 = ◇(a ∧ □¬b)• cl(ϕ0) :

◇(a ∧ □ b)◇(a ∧ □¬b)(a ∧ □¬b) ∨ ○◇(a ∧ □¬b)a ∧ □¬b○◇( □ b)○◇(a ∧ □¬b)a□¬b

b ○□ b¬b ∧ ○□¬b¬b○□¬b

モデルの「記号」化モデルの「記号」化

• cl(ϕ0): ϕ0 の閉包

Γ( ) { l( ) | | } l( )• Γ(π) = {ϕ∈cl(ϕ0) | π |= ϕ} ⊆ cl(ϕ0) • π=π0,π1,π2,… を ϕ0 のモデルとしたとき、π π0,π1,π2,… を ϕ0 のモデルとしたとき、

Γi=Γ(πi) とおいて、

Π =Γ0,Γ1,Γ2, … という無限列が

満たす性質を調べる満たす性質を調べる。

πi =π π 1 π 2π =πi,πi+1,πi+2,…

Γ Γ の満たす性質Γ=Γi の満たす性質

• ϕ1∧ϕ2∈Γ ならば、 ϕ1∈Γ かつ ϕ2∈Γ• ϕ1∨ϕ2∈Γ ならば、 ϕ1∈Γ または ϕ2∈Γ

P Γ かつ P Γ となることはない• P∈Γ かつ ¬P∈Γ となることはない

• □ϕ∈Γ ならば、 ϕ∧○□ϕ∈Γ□ϕ∈Γ ならば、 ϕ∧○□ϕ∈Γ• ◇ϕ∈Γ ならば、 ϕ∨○◇ϕ∈Γ

このような を「 型 というこのような Γ を「ϕ0型」という。

• Γア :◇(a ∧ □ b)◇(a ∧ □¬b)(a ∧ □¬b) ∨ ○◇(a ∧ □¬b)

a ∧ □¬ba ∧ □¬ba□¬b¬b ∧ ○□¬b¬b ∧ ○□¬b¬b

• Γウ :○□¬b• Γイ :

◇(a ∧ □¬b)

Γウ :□¬b

○(a ∧ □¬b) ∨ ○◇(a ∧ □¬b)

○◇(a ∧ □¬b)¬b ∧ ○□¬b¬b○□¬b

Γi と Γi+1 の満たす性質

• 任意の○ϕ∈Γi に対して、 ϕ∈Γi+1ϕ i ϕ i+1

この関係を「Γi → Γi+1」と書く。

◇ϕ に関する性質

• ◇ϕ∈Γi ならば、ϕ i

ある j≥i が存在して ϕ∈Γj

逆に逆に…

Γ l(ϕ ) から成る無限列Γi ⊆ cl(ϕ0) から成る無限列

Π=Γ0,Γ1,Γ2,… が以上の性質を持ち、Π Γ0,Γ1,Γ2,… が以上の性質を持ち、

さらに以下の条件を満たせば、

任意の ϕ∈Γi に対して πi |= ϕ が成り立つ。

P Γ ならば P L( ) である• P∈Γi ならば P∈L(πi) である

• ¬P∈Γi ならば P∈L(πi) でない¬P∈Γi ならば P∈L(πi) でない

このとき、 Γi ⊆ Γ(πi) が成り立つが、き、 i ⊆ ( ) 成り 、必ずしも Γi = Γ(πi) ではない。

オ トマトンωオートマトン

• 以上のような無限列を特徴付けるため、

ϕ0型 Γ⊆cl(ϕ0) を状態とする

オ トマトンを構成するωオートマトンを構成する。

• 遷移は Γ → Γ′ によって定義。

状態と遷移の制限状態と遷移の制限

• すべてのϕ0型を網羅する必要はない。

– ϕ0 を含む極小のϕ0型をすべて選ぶ。

– ϕ0型 Γ⊆cl(ϕ0) が選ばれたら、ϕ0型 Γ⊆cl(ϕ0) が選ばれたら、

{ϕ∈cl(ϕ0) | ○ϕ∈Γ} を含む極小のϕ0型を

すべて選ぶすべて選ぶ。

– 以上の繰り返し。

• 遷移関係も以下のように限定してよい。

ϕ 型 Γ⊆cl(ϕ ) から– ϕ0型 Γ⊆cl(ϕ0) から

{ϕ∈cl(ϕ0) | ○ϕ∈Γ} を含む極小のϕ0型へ

遷移する遷移する。

ア a ¬b

イ ウ

¬b

経路の条件

• すると、このωオートマトン上の

無限経路 Π=Γ0,Γ1,Γ2,… で、

以下の条件を満たすものを以下の条件を満たすものを

特徴付ければよい。

◇ϕ∈Γi ならば、

ある j≥i が存在して Γある j≥i が存在して ϕ∈Γｊ

経路の条件経路の条件

• 以上の無限経路の条件は、次のように

言い換えることができる言い換えることができる。

Π=Γ0,Γ1,Γ2,…は、

各◇ϕ∈cl(ϕ0) に対して、

F(◇ϕ) の要素を無限回含むF(◇ϕ) の要素を無限回含む。

• ここで、

F(◇ϕ) = {Γ | ◇ϕ∈Γ または ϕ∈Γ}有限グラフ上のある種のル プの存在• 有限グラフ上のある種のループの存在

ア a ¬b

イ ウ

¬bF(◇(a ∧ □¬b)) = {ア, ウ}

モデル検査モデル検査

構造 態• Kripke構造 K=⟨S, R, L⟩、状態 s0∈S、論理式ϕ0 に対して、論理式ϕ0 に対して、

ϕ0 のモデル π=π0,π1,π2,… が存在するか？

• ωオートマトンと K との「同期積」を作る。

状態: ⟨s Γ⟩ where {P | P∈Γ} ⊆ L(s)状態: ⟨s, Γ⟩ where {P | P∈Γ} ⊆ L(s){P | ¬P∈Γ}∩ L(s) = ∅

遷移: ⟨s, Γ⟩ → ⟨s′, Γ′⟩ iff R(s, s′) and Γ→ Γ′

モデルが存在するための条件

• ϕ0 のモデル π=π0,π1,π2,…が存在するための

必要十分条件必要十分条件：

同期積において、同期積において、

ϕ0∈Γ0 を満たす無限列

⟨π0, Γ0⟩ → ⟨π1, Γ1⟩ → . . . で、各◇ϕ∈cl(ϕ0) に対して、で、各◇ϕ∈cl(ϕ0) に対して、

F(◇ϕ) の要素を無限回含むものが

存在する。 ⇔ある種のループの存在

ア a ¬b

イ ウ

¬bF(◇(a ∧ □¬b)) = {ア, ウ}

同期積

a b a

a ¬b

a b a

¬b

同期積

a b

a ¬b

a b

¬b