真理の度合理論は適切か？〜ファジイ論理と真理理論〜

真理の度合理論は適切か?

-ファジイ論理と真理理論 -

矢田部俊介

要旨

問題の背景例：ファジイ論理の真理値問題 1: 「真理値」の意味問題 2: ファジイ論理の特徴付け

公理的真理理論によるアプローチ真理概念と「真理の度合」の関係公理的真理理論とはPALTrで真理の度合理論を形式化する

度合理論の基本仮定への反例ω-矛盾性と（病的な）反例の構成証明異論反論

結論と今後の課題

真理の度合理論は適切か?-ファジイ論理と真理理論 -

矢田部俊介

産業技術総合研究所組込みシステム検証連携研究体

2010年 5月 14日

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要旨

• 目標• 大目標: 真理に関する意味論的な見方と、公理的見方が対立する例を紹介する。

• 小目標: ファジイ論理における真理概念を、「真理の度合」を形式化することによって、分析を加える

• 背景: 伝統的には、ファジイ論理における真理概念は、「真理の度合」によって説明されてきた• 分析の枠組み: 「真理の度合」を、公理的真理理論

PAŁTr2 の枠組みで形式化する• 議論: PAŁTr2 は ω-矛盾であり、形式化された真理の度合理論の基本仮定は成立しない

• 結論: 公理的真理理論で表現される真理概念と度合理論は整合的ではない

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ファジイ論理の例

Łukasiewicz無限値述語論理 ∀Łは、以下のようにモデルによって定義される: 任意のモデルMにおいて(1) 「真理値」は [0, 1]の実数をとる(2) ‖ϕ0 → ϕ1‖M = min{1, 1 − ‖ϕ0‖M + ‖ϕ1‖M}, ‖⊥‖M = 0,

• ¬A ≡ A → ⊥, etc.

(3) ‖(∀x)ϕ(x)‖M = inf{‖ϕ(a)‖M : a ∈ |M|}.

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論理的真理と designated values

• ∀Ł上の証明関係 `は以下のように定義される• D = {1} : Set of Designated values• ϕは ∀Łで証明可能（`∀Ł ϕ）

⇐⇒ ‖ϕ‖M ∈ Dが任意のモデルMで成立• 注意:

• ∀Łは古典論理の部分論理である (i.e. `∀Ł ϕならば `CL ϕ).• ∀Łは、帰納的に公理化不可能であることが知られている

• Designated valueの集合Dのメンバーを変えると、論理も変わる

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ファジイ論理の真理概念に関する意味論的見方

• しばしば: [0, 1]は「真理値」であるといわれる• 命題が意味論において指示するものだから• 歴史的理由による (e.g. Łukasiewicz, Zadeh)

• 「真理値」から「真理の度合」を構成できる• メタ理論の立場から、任意の（代数的）意味論M上の任意の文の「度合」を以下のように定義できる任意の文 A, Bについて、

A ≤ B ⇔ ‖A → B‖M = 1

• この文の間の関係を「真理の度合」と呼び、この度合が「文の真理さの度合い」を表現していると考える

• 例：「この PCは赤い」≤「この郵便ポストは赤い」

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意味論における値と真理値の区別 (1)

• 素朴な疑問:• 二つの「真理値」 {0, 1}なら意味は想像できる• 無限個の「真理値」が何を表現しているのか、よくわからない

• 意味論において命題が指示する対象（値）が、すべて真理値と呼ばれうるとは限らない！• 例: 可能世界の集合、状況、etc.• 例: Hartley Fieldは、Kleene 3値論理、Lukasiewicz無限値述語論理の両方において、意味論における値（「真理値」）は通常の意味での真理値ではないと主張した [Fl08]

• 意味論における値を「真理値」と呼ぶためには、何らかの真理の性質に関する仮定が必要

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意味論における値と真理値の区別 (2)

• 多くのファジイ論理は代数的な意味論によって特徴付けられる。• 代数的な意味論は、非常に抽象的である• 代数的値が何を表現しているかは決して自明ではない

• アナロジー: 直観主義論理の場合• 直観主義論理は「真理値」{0, 1}をとるタルスキ意味論に関して完全ではない（その意味で二つの「真理値」は直観主義論理に解釈を与えるのには不十分）

• だからといって、「ハイティング代数の値は直観主義の真理値だ」という言い方は非常に議論の余地がある（構成主義者は絶対に同意しない！）

• 以下、代数的値は真正な真理値ではなく、他に真に真理値と呼ぶにふさわしい値が存在する、という議論を二つ紹介する（ダメット・スシュコ）

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例 1: ダメットと三値論理

ダメットの例：3値論理について議論を展開• To grasp the sense or use of these forms of statement, the

twofold classification is quite sufficient; the threefoldclassification with which we started is entirely beside thepoint. [Dm59,p12]

• The sense of a sentence is determined wholly by knowingthe case in which it has a designated value and the casein which it has an undesignated one.[Dm59, p14 (i)]

• この意味で、文の意義の把握に関して言えば、多値論理でも結局は”designated/undesignated”の二つの真理値の分類のみが重要

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例 2: スシュコのテーゼ

スシュコ (Suszko)[S77]は以下のように主張• 以下の概念は、よく混同されるが、区別されるべき:

• 論理的真理値: 二つの値「真」と「偽」のみを持つ• 代数的値: 代数的意味論における意味論的値（多値）

• スシュコのテーゼ：すべての論理は（論理的真理値に関し）二値論理である• 任意の代数的意味論において、すべての命題は

designated valueであるか、そうでないか、どちらか• （スシュコ還元）ϕが designated valueであるとき、ϕが論理的に真である（そうでなければ論理的に偽）と見なす

• スシュコ還元により、すべての多値論理の（代数的）意味論は二値の（論理的真理値二関する）意味論に変換可能

• 定理: 多くの多値論理は、二値論理のモデルのクラスででも特徴付けをすることができる [S77]

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真理値と完全性 (1)

• 論理 Lについて「Xが真理値である」というためには、Xが真理値であるモデルが Lについて完全であってほしい• 例：「直観主義論理の真理値は {0, 1}の二値のみ」という主張は、同意する人が少ない

• 例: 「ファジイ論理の真理値は {0, 1}のみ」という主張に同意する人はいない

• 問題: [0, 1]をファジイ論理一般の真理値とみなすやり方は、ファジイ論理の解釈を与えるのには不十分である• 一部のファジイ述語論理（BL∀など）は、[0, 1]を「真理値」とするモデルには完全ではない（代数的なモデルを持つ）

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真理値と完全性 (2)

• [0, 1]がファジイ論理一般の真理値であるとする立場に固執すると、以下の問題が生じる• 一部のファジイ論理の代数的モデルで表現されている意味を十全に表現できない

• つまり、ファジイ論理一般に関する、統一的な真理観をあきらめなければならない！

• 提案:• ファジイ論理一般に関する統一的な真理観を持つことを優先

• それが無理な場合は、意味論的真理観を、別の手段によって補完すべき

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「真理値」の意味についての疑問

• ファジイ論理の「真理値」こと [0, 1]は何を表現しているのか？

• それらの意味論的値は、真理とどのような関係あるのか？

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真理概念と「真理の度合」の関係 (1)

「真理値」[0, 1]の意味を正面から尋ねる前に · · ·• 疑問: 真理概念といわゆる「真理の度合」って、どういう関係にあるのか？• もし [0, 1]が真理値であれば、「真理の度合」の意味は自明

• そうでない場合: 「真理の度合」は、単に代数的意味論内部の順序構造を抽象化したもの (e.g. Paoli)• しかしハイティング代数中の鎖を「真理の度合」と呼んだりはしない

• 「真理の度合」は、何らかの仕方で真理と関係しているはずだが、両者の間の関係は決して自明ではない

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真理概念と「真理の度合」の関係 (2)

• 「真理の度合」の意味について尋ねることは、「真理値」の意味について（遠回りな仕方で）尋ねることである

• 次の目標:• 真理の度合理論に対し、真理値を使用する以外の方法で、分析を加えるための枠組みを案出する

• 真理の度合理論を、その枠組みの中で形式化する

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公理的真理理論と T -図式

• 「真理値」に頼らないで真理概念について語る方法：公理的真理理論

• タルスキによる真理の定義「T-図式」 (T-schemata）:

Tr(dϕe) ≡ ϕ

が任意の論理式 ϕについて成立する。,• ただし dϕeは ϕの名前（ゲーデル数）である。• 文「雪が白い」が真であることと、雪が白いことは同値である。

• 文の名前を呼ぶ機能を持ち（通常は算術を含む）、T-図式を公理として含む、真理についての理論を、「公理的真理理論」とよぶ（通常は算術+真理述語）

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嘘つきのパラドックス

• “この文は偽である”

L ≡ ¬Tr(dLe)

• Lは、無制限な T-図式を持つ場合、算術上、対角化定理により定義可能である。

• 古典論理上では、以下が成立する。• 無制限な T-図式は矛盾を導く• 公理的真理理論では、T-図式に制限が必要

L ∨ ¬L[v : L]

[v : L]L ↔ ¬LL → ¬L¬L

⊥[w : ¬L]

[w : ¬L]L ↔ ¬L¬L → L

L⊥

⊥ ∨−P LC

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二つの解決法

• ソリューションその 1: 古典論理を保持する• T-図式を制限する（嘘つき文を排除するため）e.g.

(McGee [M85])Tr(dϕe) 6→ ϕ

• この制限が、嘘つき文に関する T-図式が真理理論の定理となることを防ぐ。

• ソリューションその 2: T-図式（のフル・バージョン）を保持する• その代わり、古典論理をあきらめる• 非古典論理を採用する

• パラコンプリート論理（[Fl08]）• 矛盾許容論理（[BG08]）• ファジイ論理（[HPS00][R93]）、etc.

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ファジイ論理上の公理的真理理論 PAŁTr2

• 枠組み: ∀Ł上の算術 PAŁTr2 [HPS00]• 全ての PAの公理は PAŁTr2 の公理であり、• T-図式（のフルバージョン）が任意の論理式に関して成立する（ただし dϕeは ϕのゲーデル数）

ϕ ≡ Tr(dϕe)

• 数学的帰納法は、Trを含むものも含め、全ての論理式に適用可能

• PAŁTr2 は無矛盾である• 嘘つき文 L ≡ ¬Tr(dLe)は、矛盾を導かず、ただ‖L‖ = 0.5となるだけ

• 論理式の循環的な定義を許す！

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真理概念の透明性

• 非古典論理上の、全域的な、制限のない真理述語を含む理論が表現する真理概念は「透明」 (transparent)である[BG08]。• Trの値域や、T-図式の適用対象に関し、理論的な制約が一切存在しない

• 「理論的制約」の一例：「嘘つき文は T-図式の適用対象とならない」

• 「透明な真理観」(transparent view of truth)

• これは、Quineの「引用的真理観」(disquotational view oftruth)の非古典論理版といえる

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「真理の度合」を公理的真理理論の枠内で形式化する

• 論理式（のゲーデル数）間の順序関係 ≤を以下のように定義する（「度合理論的順序」と呼ぶ）

dϕe ≤ dψe ≡ ϕ → ψ

• 同じく順序関係 ≺を以下のように定義する（「真理さの順序」と呼ぶ）

dϕe ≺ dψe ≡ Tr(dϕe) → Tr(dψe)

• ≺は、「ϕの真理が ψの真理を導出する」という条件文により定義される

• これらの条件文は、真理理論の意味での「真さの度合」を、確かに表現している [Fl08]

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度合理論を公理的真理理論の枠内で形式化する

• 真理の度合理論は、二つの順序が同型であることを主張していると解釈できる: 任意の論理式 ϕ, ψに対し

dϕe ≤ dψe ≡ dϕe ≺ dψe

• 注意:• ≤,≺ともに crispな順序にはならない（A ≤ Bがファジイな真理値になることもある）

• ≤,≺ともに線形順序になる必然性はない（e.g. Paoliによる “really fuzzy”な真理の度合）

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度合理論を PAŁTr2の枠内で形式化する

• PAŁTr2において、その論理式（を表現するゲーデル数）の間の順序関係 ≤, ≺を以下のように定義する• 度合理論的順序:

(∀x, y)(Form(x)&Form(y) → [x ≤ y ≡ (Tr(x→y))],• 真理さの順序:

(∀x, y)(Form(x)&Form(y) → [x ≺ y ≡ (Tr(x) → Tr(y))],ただし Form(x)は、「xはある論理式のゲーデル数である」を表現する述語である。

• 「形式化された度合理論」は、上記の度合理論的順序 (≤)と真理さの順序 (≺)を同一視する

(∀x, y)(Form(x)&Form(y) → [x ≤ y ≡ x ≺ y])

これを「真理の度合理論の基本仮定」と呼ぼう

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（病的な）反例の構成

• 以後、PAŁTr2を対象理論かつメタ理論とする

• PAŁTr2 は、≤と ≺が実は同型ではないことを証明してしまう！

(∀x, y)(Form(x)&Form(y) → [x ≤ y ≡ x ≺ y]) → ⊥

• もし Tr(x→y) ≡ (Tr(x) → Tr(y))ならば、数学的帰納法を仮定すると矛盾が導かれる [HPS00][R93]

• PAŁTr2 は数学的帰納法を含むため、Tr(x→y) ≡ (Tr(x) → Tr(y))が成立しないことがある。

この意味において、真理の度合理論の基本仮定は、成立しないことがありうる

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証明のアウトライン

(1) 「つつましい嘘つき」文 λを構成し、それがどのモデルM上でも ‖λ‖M = 1となることを示す

(2) しかし、以下の「形式化された可換性」を仮定すると、数学的帰納法により、‖λ‖M = 0が証明されてしまう

(∗) (∀x, y)(Form(x)&Form(y) →[Tr(x→y) → (Tr(x) → Tr(y))])

(3) 従って、(∗)は PAŁTr2では仮定できない。

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証明 (1): オペレーター ↑の定義

新しいオペレーター ↑を、PAŁTr2において再帰的に定義する:

• 0 ↑ ϕ ≡ ϕ,

• (n + 1) ↑ ϕ ≡ ¬ϕ → (n ↑ ϕ),• 任意の標準的自然数 nに対し、‖n ↑ ϕ‖ = min{(n + 1) × ‖ϕ‖, 1}が成立

オペレーター ↑は、全域的真理述語により定義可能である• PAŁTr2で、ゲーデル数上の関数を f を、以下のように再帰的に定義する(a) f (0, x) = x,(b) f (n + 1, x) = ¬x → f (n, x).

• n ↑ Aは、Tr( f (n, dAe))の単なる略記である

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証明 (1): 「つつましい嘘つき」のパラドックス

つつましい嘘つき文: 「この文はちょっとだけ嘘である」• λ ≡ (∃n)Tr(dn ↑ ¬λe),• もし ‖λ‖ < 1ならば、ある自然数 mが存在し

Tr(dm ↑ ¬λe) > 1　となるはずである。したがって‖λ‖ = 1となり、矛盾。

• 従って ‖λ‖ = 1.

注意： PAŁTr2 は ω-矛盾: ‖(∃n)Tr(dn ↑ ¬λe)‖ = 1だが、任意の標準的自然数 nに関しては ‖Tr(dn ↑ ¬λe)‖ = 0が成立する

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証明 (2): 帰納法による矛盾の導出

• 前述のように ‖λ‖ = ‖(∃n)n ↑ (¬λ)‖ = 1• 一方で、‖¬λ‖ = 1が証明できる

• ‖0 ↑ ¬λ‖ = 0,• ‖n ↑ (¬λ)‖ = 0と仮定する。

(n + 1) ↑ λ ≡ Tr( f (n + 1, d¬λe))≡ Tr(d¬¬λe→ f (n, d¬λe))≡ Tr(dλe) → Tr( f (n, d¬λe)) · · · (∗)を使用≡ λ → (n ↑ (¬λ))

従って ‖(n + 1) ↑ (¬λ)‖ = ‖λ → (n ↑ λ)‖ = 0• 言い換えると

• ‖¬(0 ↑ (¬λ))‖ = 1• ‖¬(n ↑ (¬λ))‖ = 1ならば ‖¬((n + 1) ↑ (¬λ))‖ = 1

• ‖(∀n)¬(n ↑ (¬λ))‖ = 1が数学的帰納法により成立。

これは矛盾である �27 / 37



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補足: ω-矛盾性について

• 任意の論理式 ϕ, ψに関しては、前記のような問題は起きない: PAŁTr2 配下を証明する

dϕe ≤ dψe ≡ dϕe ≺ dψe

• しかし、以下の「形式化された可換性」は矛盾を導く

(∀x, y)(Form(x)&Form(y) → [Tr(x→y) ≡ (Tr(x) → Tr(y))])

問題は、xと yが超準的自然数のときにおこる（PAŁTr2は ω-矛盾![R93]）

• PAŁTr2がω-矛盾であるという結果は、Formが必ず超準的自然数を含むと言うことを示している！

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異論反論 (1): 異論「PAŁTr2の病的さ」

「つつましい嘘つき」文による反例は、単に、PAŁTr2が欠陥のある真理理論であって、真理の度合の分析のための枠組みとしては不十分であることを示しているだけではないのか？

• ω-矛盾な真理理論への非難• Vann McGee [M85]は、ω-矛盾な真理理論 Γは欠陥品だと排斥した。

• Hartry Field [Fl08]は、PAŁTr2 は ω-矛盾であり、人間の持つ自然な自然数概念をねじ曲げるため、真理理論として採用できないと宣告した。

• 「この結果は、度合理論の失敗ではなく、公理的真理理論の失敗を示している」(Petr Hajek)

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異論反論 (1): 反論

• 防衛的反論:例え PAŁTr2 が病的であるにしても、これは「度合論的順序」と「真理さの順序」という異なる二つの概念の区別を与えてくれる• 例：古典論理上で同値な概念が、直観主義数学の枠組みで区別できるようになるという現象は、しばしば起こる

• そのような反例は、しばしば病的に見える

• 積極的反論:T-文は真理概念の中核にあり、数学的帰納法は算術の中核概念である。従って、PAŁTr2における結論は、シリアスに受け止められるべきである• 真理に関するデフレ主義・非古典論理を採用した「透明な真理観」アプローチを採る場合、こちらの反論の方が受け入れやすい

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異論反論 (2):「超準的自然数の意味」

• 異論:Formが超準的自然数を含むと言うが、そういう超準的なゲーデル数は、何を表現しているのか？

• 反論:• Halbachは、古典論理上の ω-矛盾な真理理論では、「真理の改訂理論」(Gupta & Belnap [GB93]）における真理の改訂列 (revision sequence)を表現できるため、有用であると論じた [H96]。

• 発表者は、ω-矛盾な真理理論は、（見かけ上）無限的な（余帰納的な）プロセスを表現できるため、これは利点と言えると論じた [Y09]。

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異論反論 (2): 真理述語と無限的プロセス

• 真理述語は、論理式上の操作の定義可能性を拡大する• 論理式に関する一連の操作の結果を論理式で表現可能• A, ¬A → A, ¬A → (¬A → A), · · · の極限をとる

• PAŁTr2では、論理式に関する無限的な操作を、論理式によって表現することができる• 算術的関数として、ゲーデル数に関する無限的な操作を定義することが出来る

• Trにより、実際の論理式にそれが変換される• このことにより、PAŁTr2 において無限的操作が対象として扱える。

• （少なくとも一部の）超準的自然数は、それらを表しているものと解釈できる。

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異論反論 (2): 無限的プロセスの実例

• 例:「真理の改訂理論」での真理値の改訂プロセス [GB93]• 例: 計算機科学では、無限的操作は頻繁に登場

• 余帰納的定義を使用したオートマトンの「入力待ち」の表現 [MT91]

• 例: ファジイ理論における無限的プロセス• ファジイ・コントロール理論での「ファジイ・チューニング」[H99]

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結論

• 目標: ファジイ論理における真理概念を、「真理の度合」を形式化することによって、分析を加えた

• 背景: 伝統的には、ファジイ論理における真理概念は、「真理の度合」によって説明されてきた• 分析の枠組み: 「真理の度合」を、公理的真理理論

PAŁTr2 の枠組みで形式化した• 議論: PAŁTr2 は ω-矛盾であり、形式化された真理の度合理論の基本仮定は成立しない

• 結論:• 公理的真理理論で表現される真理概念と度合理論が整合的とならない事例が示された

• 真理に関する意味論的な見方と、公理的見方が対立する事例が示された

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今後の課題

• 公理的真理理論による真理概念の意味論的見方の分析を、ファジイ論理だけではなく、他の論理へも適用する（G. Priestの示唆による）• 特に無制限の T-図式を許す矛盾許容論理や部分構造論理に適用する

• 「論理的真理値とはメタ理論の真理値」(Font)• メタ理論をファジイ化（矛盾許容論理化）することで「ファジイ論理の真理概念のファジイ化」「矛盾許容論理の真理概念の矛盾許容論理化」を実現する

• 「ファジイ論理一般に対する統一的な真理観」の探求• 一部のファジイ論理（例: ゲーデル論理 G∀）では、無制限の T-図式を持つ真理理論は矛盾を導く

• その意味で、相補的ではあるが、統一的とは言い難い• 統一的な真理観は可能か？

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Reference

Jc Beal, Michael Glanzberg. “Where the paths meet:remarks on truth and paradox” In S. French, ed., MidwestStudies: Truth, Notre Dame University Press (2008)

Hartry Field. “Saving Truth From Paradox” Oxford (2008)

Anil Gupta, Nuel Belnap “The revision theory of truth”MITPress (1993)

Petr H ajek.“ Ten questions and one problem on fuzzylogic”Annals of Pure and Applied Logic. 96 (1999), pp.157-165.

Petr Hajek, Jeff B. Paris, John C. Shepherdson. “ The LiarParadox and Fuzzy Logic” Journal of Symbolic Logic, 65(1)(2000) 339-346.

Volker Halbach “ Axiomatische Wahrheitstheorien”Wiley-VCH (1996)

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Reference

Vann McGee. “How truthlike can a predicate be? Anegative result” Journal of Philosophical Logic, 17 (1985):399-410.

Robin Milner, Mads Tofte. “Co-induction in relationalsemantics” Theoretical computer science 87 (1991)209-220.

Greg Restall “Arithmetic and Truth in Łukasiewicz’sInfinitely Valued Logic” Logique et Analyse 36 (1993)25-38.

R. Suszko. “The Fregean axiom and Polish mathematicallogic in the 1920s” Studia Logica 36 (1977) pp.377-380.

Shunsuke Yatabe “The revenge of the modest liar” in June17, at Non-Classical Mathematics 2009

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