ceapi - transformada de laplace e z - prof. maitelli

8/16/2019 CEAPI - Transformada de Laplace e Z - Prof. Maitelli

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Módulo Especial:

Transformada de Laplacee Transformada Z

Professor: André Laurindo Maitelli , Dsc. Eng. EletrônicaE-mail: [email protected]

Curso de Especialização em Automação de Processos IndustriaisCEAPI

UFRN-DCA-LAUT

Natal/RN, julho de 2013.


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Roteiro• Transformada de Laplace:

– Definição; – Propriedades; – Anti-transformada de Lapace; – Exercícios.

• Transformada Z: – Definição; – Propriedades; – Anti-transformada Z; –

Exercícios.


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TRANSFORMADA DELAPLACE


4/31

Seja

f(t) função do tempo t com f(t)= 0 p/ t < 0s variável complexaL operador de LaplaceF(s) transformada de Laplace de f(t)

0

)(=F(s)=[f(t)] dt et f st L

Definição


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Transformada de Algumas FunçõesParticulares :

Degrau Unitário:

f t( ) 0 t < 0

1 t 0

F ss

( ) 1

– Rampa Unitária:

f t( ) 0 t < 0

t t 0 F s

s( )

12

Definição


6/31

- Função Exponencial:

- Senóide:

f t e at( )

t 0 F ss a

( ) 1

f t t t( ) sen 0 F ss

( ) 2 2

Definição


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- Pulso Unitário

f (t) p

t

– Impulso Unitáriof (t)i

t

(t)

( ) lim ( )t f p t 0

F p sst

se s( )

1

0

11 e dt

Fi s F p s

dd e s

dd

s

s e s

s( ) lim ( ) lim

( )lim

0 0

1

01

Definição


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–

Translação no tempo

L L[ ( )] [ ( )] ( )af t a f t aF s

– Aditividade L L L[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )f t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2

L [ ( )] ( )f t a s e-as F

– Mudança de escala de tempo L [ ( )f F s1

– Translação no domínio s L eat f t F s a( ) ( )

Propriedades

– Homogeneidade


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– Valor Final:

Ld n

dt nf t snF s sn f sn f t f

n( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 0 2 0

1 ...

lim ( ) lim ( )t

f ts

sF s0

– Valor Inicial: lim ( ) lim ( )t

f ts

sF s0

– Integração:

L f t dt F ssf

s( )

( ) ( ) 1 0 f f t dt

t1 0

0( ) ( )

– Diferenciação:


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- Integral da Convolução:

L f t f dt

F s F s1 2

0

1 2( ) ( ) ( ) ( )


11/31

F s F s F s Fn

s( ) ( ) ( ) ( ) 1 2

...

L 1 1 2[ ( )] ( ) ( ) ( )F s f t f t f n t...

–

Em controle:F s

N sD s

N ss p s p s p n

( )( )( )

( )( )( ) ( )

1 2 ...

F(s)de pólos ... p 21 ) s( p , ), s( ), s( p n

Raízes de N(s) são os zeros do sistema

Expansão em Frações Parciais


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- Pólos reais e diferentes:

– Pólo com multiplicidade r:

F sC

s pC

s pCk

s p k

Cns p n

( ) 11

22

... ...

L 1 Ck s p k

Ck p tk e Ck s pk F s s p k

( ) ( )

Ckr

s p k r

Ck r

s p k r

Ck r i

s p k r i

Ck s p k

( ) ( )11

1 ... +

Ck r i id i

dsis p k

r F s

s p k

( ) !( ) , , , 1 0 1 i ... r -1

L

1

1

Ck r i

s p k r i

Ck r i

r i

p tk ( ) ( )

( )!

t r-i-1 e


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- Pólos complexos conjugados:

pk j d pk j d

1

Ck

s pk

Ck

s pk

1

1

Ck s p k F s s p Ck k ( ) ( ) C k

L

1 11

2 90Ck

s p k

Ck s p k

Ck t

d t C k o e sen( )


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Tabela de Transformadas de Laplace


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Exercício 1


16/31

Exercício 2


17/31

Exercício 3


18/31

Exercício 4

- Resolução de uma equação diferencial:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

3x5x2x 0)0(x 0)0(x

t2cose53

t2sene103

53

)t(x tt


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Funções Matlab

[r,p,k]= residue(num,den)Ex:

G(s)= 2s 3+5s2+3s+6/(s 3+6s2+11s+6)

r=[-6 -4 3]´

p=[-3 -2 -1]´

k=2

G(s)=-6/(s+3) + -4/(s+2) + 3/(s+1) + 2


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TRANSFORMADA Z


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Seja

f(k) sequência k com f(k)= 0 p/ k < 0k variável complexaZ operador de LaplaceF(z) transformada Z de f(k)

0k

k -f(k)z=F(z)=[f(k)]Z

Definição


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Transformada Z de Algumas FunçõesParticulares :

- Degrau Unitário:

0k 1

0


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- Função Exponencial:

- Senóide :

0k )( ak ek f ak e z z

z F )(

0k )( k senk f 1.cos2

.)( 2 z z z sen z F

Definição


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- Impulso unitário:

0k 0

0k 1)(k 1)( z F

Definição


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Propriedades


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Tabela de Transformadas Z

Tabela de Transformadas Z a partir das


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Tabela de Transformadas Z a partir dasTransformadas de Laplace


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Exercício

)(5)1(3)(6)1(5)2( k xk xk yk yk y

Resolver a seguinte equação a diferenças

Com condições iniciais y(-1)=11/6 e y(-2)=37/36 ex(k)=(2)-k k>0

)2(5)1(3)2(6)1(5)( k xk xk yk yk y

)()( z Y k y Z

611

)()1()()1(11

z Y z y z Y z k y Z

3637

611

)()2()1()()2( 1212 z z Y z y y z z Y z k y Z

E í i


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Exercício

5.0

1)()1()()1( 11

z z X z x z X z k x Z

)5.0(

1)()2()1()()2( 212

z z z X z x x z z X z k x Z

5.0

2)()( 1 z

z Z k x Z z X

k

655.0

5.105.93)( 2

2

z z z z z z

z Y

3

)15/18(23/7

5.0)15/26(

325.05.105.93)( 2

z z z z z z

z z

z

z Y


31/31

31518

237

5.01526

)( z

z z

z z

z z Y

k k k k y 31518

237

5.01526

)(

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