các ph ươ ng pháp toán lý - wordpress.com · các ph ương pháp toán l ... hàm suy rộng...
TRANSCRIPT
Các Phương Pháp Toán Lý
Phần II: Hàm Suy Rộng
Th.S: Đinh Văn Tuân
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Khoa VL - VLKT
Outline� Hàm Thử.
� Hàm Delta Dirac.
� Hàm Heaviside
� Hàm Suy Rộng Và Vi Phân.
� Tính Chất Của Hàm Delta Dirac.
� Hàm Dấu
� Bài Tập
I. Hàm Thử:
Hàm Thử là hàm thỏa các tính chất sau:
� và các đạo hàm của nó tồn tại và liên tụctại tất cả các điểm.
� của và tất cả đạo hàm của nó tồn tại vàhữu hạn
* Chú ý:
� VD:
�
�
( )xφ( )xφ
∫+∞
∞−
( )xφ
( ) 0 → ±∞→xxφ
2xe
−
( ) ( )( )[ ]
≥
<<−−−
≤
=
bx
bxaxbax
ax
xf
0
/1exp
0
II. Hàm Delta Dirac:
Hàm delta Dirac :
�
�
� VD:
�
� Hàm thỏa:
( )220
1lim
xx
+=
→ ε
ε
πδ
ε
( )xf
( )xδ( ) ( ) ( ) ( )xdxxx φφδφ ∀=∫
+∞
∞−
0
( ) ( ) 1,00 =≠= ∫+∞
∞−
dxxxkhix δδ
( ) ( )xx
fthìdxxf δεεε
=
=
→
+∞
∞−
∫1
lim10
II. Hàm Delta Dirac:
CM:
Bài Tập:
CMR: :
�
� Thì
( )xG
( ) ( )xGx0
lim→
=ε
δ
( )
>
<=
ε
εε
x
xxG
02
1
Bài Tập:
CMR:
( ) ( )xx
fthìdxxf δεεε
=
=
→
+∞
∞−
∫1
lim10
CM:
III. Hàm Heaviside:
Hàm Heaviside đơn vị :
�
� Ta có:
( )xH
( ) ( )∫∞−
=x
dyyxH δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxdxxHxhayx
xxH φφφ ∀=
>
<= ∫∫
+∞+∞
∞− 001
00
IV. Hàm Suy Rộng Và Vi Phân:
Đạo hàm của hàm suy rộng được ĐN bởi:
� CMR:
� Tính:
� Có thể coi: ( )220
1lim'
xdx
dx
+=
→ ε
ε
πδ
ε
( )xG
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxxGdxxxG φφφ ∀−= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
''
( ) ( )xxH δ='
( ) ( )∫+∞
∞−
dxxx φδ '
IV. Hàm Suy Rộng Và Vi Phân:
V. Tính Chất Của Hàm Delta Dirac:
Hàm delta Dirac :
�
�
�
� Nếu
� Thì
( ) 0=xxδ( ) ( )xxgxxf =
( )xδ
( ) ( )xx δδ =−
( ) ( ) ( )xcxgxf δ+=
( ) ( )α
δαδ
xx =
V. Tính Chất Của Hàm Delta Dirac:
Hàm delta Dirac :
�
�
�
�
�
( ) ( )xxx δδ −='
( )xδ( )( )
( )( )∑−
=i i
i
xg
xxxg
'
δδ
( ) ( )( )( )( )∑∫ =
+∞
∞− i i
i
xg
xfxgxf
'δ
( ) ( ) ( ) ( )xadxaxx φφδφ ∀=−∫+∞
∞−
( ) ( ) ( ) ( )zyxr δδδδ =r
VI. Hàm Dấu:
Hàm dấu :
�
�
�
�
( ) ( ) ( )xHxHx −−=sgn
( )xsign
( ) ( )xxdx
dδ2sgn =
( )
<−
>=
01
01sgn
x
xx
( )dx
xdx =sgn
VII. Bài Tập:
� CMR: :
�
� Thì
( )xG
( ) ( )xGx0
lim→
=ε
δ
( )
>
<−
=
ε
εε
ε
x
xx
xG
0
2
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR: :
�
� Thì
( )xG
( ) ( )xGx0
lim→
=ε
δ
( ) 2
2
2
1ε
πε
x
exG−
=
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )01 nnndxxx φφδ −=∫
∞
∞−
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập: Tính đạo hàm bậc I và bậc II của các hàm:
�
�
�
�
�
�
( ) ( )( )xxHxy −= 3
( ) ( )xxHexy =
( ) ( ) xexHxy
2=
( ) ( ) ( )1−−= xHxHxy
( ) ( ) ( )( ) ( )xxHxHxy sin2/π−−=
( ) ( )21 xHxy +=
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( )( )( ) ( ) ( ){ }bxaxba
bxax −+−−
=−− δδδ1
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( )xdx
xdsgn=
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( )xdx
xdδ2
2
2
=
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� Tìm các đạo hàm của hàm suy rộng:
( )( )xC
xS
cos
sin
=
=
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( ) ( )
==∫ ∫
+∞
∞−→
+∞
∞−εεε
δε
yxfyxthendxdyyxfIf ,
1lim,1,
20
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
VII. Bài Tập:
� CMR:
( )( )yx
yx,
2
1lim
2/32220δ
ε
ε
πε=
++→
VII. Bài Tập: