phân loại, phân tích và phương pháp giải toán khảo sát hàm số - nguyễn cam...

8/20/2019 Phân Loại, Phân Tích Và Phương Pháp Giải Toán Khảo Sát Hàm Số - Nguyễn Cam (Trích Đoạn)

1/174

TS.NGUYỄN CAM

hân loại, hân tíchi ’f : « i ẩ i H Ẳ H í ' i r i i d i r : i i ấ i n r : f ■ I i f : i i ' i

KHẢO SÁTHÀM SỐ

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/174

TS. NG UYỄN CAM

PHÂN LOẠI, PHÂN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

KHẢO SÁT HÀM SỐ(DÀNH CHO HỌC SINH 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC)

NHÀ XU ẤT BẢN Đ ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/174

LỜI NÓI ĐẦ U

Các em học sinh thân mến!

Với việc học chương ưình lớp 12 rất nặng và để chuẩn bị cho các kì thi s

ới còn nặng gấp bội phần, nhằm giúp các em học tối môn Toán, đặc biệt gi

ác em nâng cao tính tự học, tự giải quyết các vấn đề môn Toán luyện thi B ọc, chúng tôi biên soạn bộ sách “ Phân loại, phân tích và phương pháp gỉ ả

heo chủ đề.

Bộ sách gồm 4 tập:

Tập I : Khảo sát hàm số

Tập I I : Hàm scf mữ và lôgarit - Tích phân - s ố phức

Tập III: Hình học

Tập IV : Đại số và Lượng giác

Bộ sách được biên soạn theo cấu trúc:“Phân loại các nội dung theo một hệ thống hợp lí”. Điều này sẽ giúp Cỉ

m dễ dàrig sắp xếp kiến thức và ôn tập theo trình tự.

Tiếp theo ỉà phần hướng dẫn giải. Trong phần này ngoài việc nêu Cí

hương pháp giải, đồng thời cho các ví dụ áp dụna tương thích, chúng tôi CC

hú ưọng việc trao đổi, bàn bạc với độc giả về cách chọn phưưng pháp sao ch

ợp lí.

Song song các biện pháp trên, chúng tôi còn dành nhiều thời gian cho vụhận xét các sai iầm mà các em thường mắc phải và kèm theo ỉà các giải thích rõ.

Tác giả rất hi vọng với nội dung biên soạn, bộ sách sẽ rất gần gũi và thẩ

hiện với các em trong việc học Toán ở lớp 12 đồnc thời cùng các em giải quy<

hỏa đáng các vấn đề suốt năm học, nhằm chuẩn bị thật tốt cho các kì thi T(

ghiệp THPT và Tuyển sinh vào các trường ĐH, CĐ.

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng song không the tránh được các thiếu sót nhí

ịnh, rất mong các em học sinh, quý độc giả góp ý kiến thêm -để lần tái bản sa

uốn sách được hòàn thiện hơn.

Chúc các em học tốt và thành công trong các kì thi sắp tới.

Tác giả

TS. Nguyễn Cam





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/174

MỘT SỐ VẤN ĐỂ C ơ BẢN VỂ HÀM s ổ

A.Tập xác định:

Cho hàm số f : X -> R thỉ X ỉà tập xác định của hàm sổ f .Đe tìm tập xác định của một hàm số ta thường dùng các kiến thức sau đây:

1) Hàm đa thức P(x) xác định với mọi X thuộc R .

P(x)2) Hàm phân thức y - —— xác định với điêu kiện Q(x) * 0

3) Hàm sổ y = 2yjf(x) xác định với điều kiện f(x) > 0

4) Hàm số y = loga f(x) xác định với điều kiện f(x) > 0

715) Hàm sô y = tan ff(x)] các định với điêu kiện f(x) * — + kĩĩ

6) Hàm số f = cot[f(x)] xác định với điều kiện f(x) * kĩĩ

Bài ỉập:Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :

x- 1 Vx-1 , _ V l-cosxa) y = _ 2 --------- b) y = — c) y = ——

X —3x + 2 x - 4 1+ sinx

Giải

a) y xác định với điều kiện là : X2 -3X + 2?Í:0X7Í:1AX^2

Vậy tập xác định của y là R \ |l ,2 ị

.. . íx —1>0 fx > l b) y xác định vói điêu kiện là : < <

x - 4 ^ 0 x * 4

Vậy tập xác định của y là [1, +00) \ |4 j

1-COSX>0 C0SX


5/174

Giải

a) y xác định với điêu kiện là :tan X* 1 7C

X* —+ kĩĩ 4

7J 7Ĩ _ Vậy tập xác định của hàm sô y là : X —+ kn A X* —+ kTĩ (k € Z)

Hàm số y xác định với : X2 -(1 + m)x + m > 0 (*)

Ta có: X2 - ( 1 + m)x + m = 0 Xị = 1V x2 = m

Nếu m =1 : (*) X2 - 2x +1 > 0 (x - 1)2 > 0 X€ R

Lúc đó y có miền xác định là R .

N ể u m > l: ( * ) o x < I v x > m

Nên y có tập xác định là ( - 00,1] u [m, +oo)

Nếu m < 1 : (*) X< m v x > 1

Nên y có tập xác định là (-oo,m]u[l>+oo)

B . Tập giá tr ị:

Cho hàm s ố f : D —» R t h ì T = |f(x) IXe d Ị ìà tập gĩá trị cửa hàm số y.

Cách tìm tập giá trị của hàm số y :

y e T o phương trình f(x) = V có nghiệm X tròng tập xác định D .

Bài tập:Bài 1 : Tìm tập giá trị của cảc hàm số sau :

2 4

Bài 3: Cho hàm số y = -(1 + m)x + m . Tìm và biện luận theo tham số

m tập xác định của hàm số y .

Giải

a) y = X2 - 4x +1

Giải

a) y có tập xác định là R .

6





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


6/174

Tacó : y = X2- 4 x + l X2 - 4 x + 1- y =0

Phương trình trên có nghiệm k h i; A ’>04-( ĩ -y)>0y>-3 Vậy tập giá trị cần tìm là T = [-3 ,+ ) .

b) Hàm số y xác định vói x ^ 4 .

2x +1Ta có : y = —-—- yx - 4y = 2x + 1 (y - 2)x = 4y +1

x - 4

Phương trình trên có nghiệm X5Ế4 k h i: y - 2 * 0 y &2

Vậy tập giá trị của y là T = R \ {2}

Bài 2 : Tìm tập giá trị của các hàm sổ sau :

cơ sx + 2 u 2x 2 + x + 1a )y = . b)y = --------- -

s in x + c o s x - 2 X +1

Giải

a) Vì sinx + cosx = V2 sinỊ x̂ + —J < V2 => sin x + cosx -2=^0

nến hàm số y xác định với mọi Xthuộc R . Ta có :

ỵ = ---- co sX+ 2---- ^ ys inx + y co sx -2 y = cosx + 2sin X+ cos X- 2

ys inx + (y -l )c o sx = 2y + 2

Phương trình trên có nghiệm khi:

y 2 + ( y - l ) 2 > ( 2 y + 2 )2 < » 2 y 2 + 1 0 y + 3 < 0

„ - 5 - V Ĩ 9 - 5 + V ĩ 9-------1— < y < ---- —— 2 2

ỉ X *_ - 5 - % / Ĩ 9 _____- 5 + x/ Ĩ9Vậy hàm sô có tập giá trị l à : ------- — < y < ----- —-—

c . Hằm số chẵn và hàm số lẻ:

Cho hàm số f: D -ỷ R .

, , X 1 ~ i ÍVx e D=> -X e Df là hàm sô chăn nêu : <

|f( -x ) = f(x),Vx € D

p p . . X. . X ÍVx € D=> -X e D I là hàm sô lè nêu : <

[f(-x) = -f(x) ,V xeĐ





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/174

X4 + 2 lx + 11 + l x - ỉ !a ) y = - j b ) y ■ 1

X - 4 IX + 1 1—IX —1 1

; Giải: .

a) Miền xác định là: D = RA { ± 2}, .

Ta có : , Vx e D => 'Xí +2.=> -X í ±2 => -X e D

s _ (-X)4 + 2 X4 +2f(- x ) = - =■■“ — = f 00, V x e D

' (-x ) - 4 X - 4

Vậy y lá hàm số chẵn .

b) Ta có :|x+lj - !x-l I= 0 IX+1Ị = ỊX- 1 : o X= 0

nên y cótập xác định là D = R\{0}.

Do đó : Vx e D => X* Ò=>-X ;£ 0= >-X € D

s ỉ- x + 1l + l-x -1 1 l x - l l + lx + 11w _ f(-x ) = ------- —— ------- —- ————-— — - -f(x),V x e D

1-X + 1 I-1 -X -1 ! IX—11 —IX•+• 11

Vậy y là hàm số lẻ .

Bài 2 : Xét tính chằn , lẻ của các hàm số sau :

- - 2 'N IV , X+ 2a)y = x +2x b)y =

Bài tập:

Bải 1 : Xết tính chin, lẻ của các hàm số sau :

x 2 - l

Giảia) y có miền xác định là R .

Ta có : f(2) = 8 , f ( -2) = 0 ;

nên f(2) f(-2) do đó y không là hàm số chẵn .

ta lại có : f( - 2) * - f(2) nên ỷ không là hàm sổ lé .

b) y có tạp xác định là D = R \ { ±1}

Ta có : f(2) = —, f( -2) = 0 •

nên f(-2) * ,f(2) , suy ra y không là hàm sổ chẵn .lại có : f(-2) * - f(2) nên suy ra y không là hàm số ỉẻ .

Bài 3: Cho hàm số f(x) xác định trên R. Chứng minh ràng f(x) là tổng củamột hàm số chẵn và một hàm số lẻ V

Giải:

• Tacó; m = m ± í M L +m h í t ĩ i

8





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


8/174

Đặt g(x) = thì f(x) = g(x) + h(x)

= g';(x);h(-x) =

Trong đó g(x) là hàm số chẵn , còn h(x) là hàm số lè .

D. Hàm số tuần hoàn:

Cho hàm số f : D —ỉ»R . Ta nói f là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T

Trong đóị T là sổ dương nhỏ nhất thoả tính chất nói trcn.

Cân biêt: Các hàm số y = sinx , y = cosx có chu kỳ là T= 2n

Gác hàm số y = tanx , y - cotx có chu kỳ là T = 7Ĩ

■ ' ■ 2 71Các hàm sô y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) có chukỳlà T = ——

Ia I

Các hàm số y = tan(ax + b ) , y = cot(ax + b) có chu kỳ là T - — la l

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số y = COS2 X + tan(x + —). Chứng minh ràng y là một hàm

số tuần hoàn. Xác định chu kỳ của nó .

y có tập xác định là :

cos(x + 7 ĩ / 3 j # 0 o x + 7z /3^7i /2 + kn X± n ì 6 + kít (k € Z ).

(T >0) n ếu :Vx e D ̂ X±T eD

f(x + T) = f(x),Vx e D

Giải:

Ta lại có : y = — (1 + COS2x) + tan

f(x + ĩĩ) = —(l + cos[2(x + 7ĩ)]) + tan^x + 71+ — j

= —(l+ cos2 x ) +tan(x + —) = f(x),Vx € D

Vậy y là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là T = n .

9





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


9/174

Bài tập:

Bài 1 : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :

Giải:

ỉx + i i + i x - n

lx + l ỉ - l x - l l

a) Miền xác định là : D = R \ { ± 2}

Ta có : Vx 6 D => X^ ±2 =ỉ> -X # ±2 => -X e D

r/ , _ ( - x ) 4 + 2 ^ x 4 + 2f(—x) = = f(x ),V x eD

(-x ) - 4 X - 4

Vậy y ỉầ hàm số chẵn .

b). Ta có : Ịx-HỊ - jx-TỊ = 0 o ' , x +1] = 1X - ĩ ị- X= 0

nên y cỏ tập xác định ià Đ - R \ {0}.Do đó : Vx€ D=> X^ 0 = > - x ^ 0 = > - x e D

^ I-X + 1H I-X -1I I x - l l + lx + IIf(-x) = ------ —— -------- -----------— ----- = -

I - X + I I - I - X - H IX —11 —IX + 1 1

Vậy y là hàm số ỉè .

Bài 2 : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :

a). y có miền xác đinh là R .

Ta cộ : f(2) = 8 , f ( -2) = 0

nên f(2) 5*f(-2) do đó y không là hàm số chẵn .

ta lại cổ : f( - 2) s* - f(2) nên y không là hàm sổ lẻ .

b) y có tập xác định là D = R \ { ±1}

Ta có: f(2) = í , f ( -2)= 0

-nên f(-2.) * f(2) *suy ra ỵ không ìà-hàm số chẵn .

lại có : f(-2) f(2) nên suy ra y không là hàm số ỉẻ .

Bài 3: Cho hàm số f(x) xác định trên R. Chứng minh ràng f(x) ỉà tồng củamột hàm số chẵn và một hàm số lè

a )y = x2 + 2x

Giải

Ta c ó : f(x)

Giải:

f(x) + f(-x) f(x )-f (-x )

2 2

8





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


10/174

Đặt g(x) = thì f(x) = g(x) + h(x)

= g(x );h(-x) = = -h(x )

Trong đó g(x) là hàm số chẵn , còn h(x) là hàm số lc .

D. Hàm số tuần hoàn:

Cho hàm số f : D —>R . Ta nói f là hàm số tuần hoàn vớì chu kỳ T

D

Trong đó T là số dương nhỏ nhất thòả tính chất nói trên.

Cần biết: Các hàm số y ~ sinx , y = cosx có chu kỳ là T = 271

Các hàm số y =*tanx , y = cotx có chu kỳ là T = Tí

' 2ĩi Các hàm sô y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) có chu kỳ là T = ——

71Các hàm sô y = tan(ax + b ) , y = cot(ax + b) có chu kỳ ỉà T -

2Bài 1: Cho hàm sô y = COS x + tan(x + —). Chứna minh răng y là một hàm

y có tập xác định là :

còs(x + 7t/3) * 0 x + n /3 * n / 2 + kn X * 71/6 + k;r (k e Z ).

Eal

Bài tập:

số tuần hoàn. Xác định chu kỳ của nó .Gìảỉ:

\ 5 )

1 ( 71

f(x + 7ij = —(l + cos[2(x + 7t)]) + tan X. + 7Ĩ + — 2 1 3

= — (l + cos2x) + tan(x + —) = f(x), Vx € D

Vậy y là hàm số tuần hoàn vói chu kỳ là T = 71.

9





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


11/174

Bài 2: Cho hàm số y = sin

hoàn. Xác định chu kỳ .

( \ X

W

X+ cơtỊ —

2

.Giải:

\. Chứng minh y là hàm số tuần

X Xy có tập xác định là : sin(—) * 0 o —^ k.7ĩ X * k.271

Ta có:

t'(x + 47i) = sin

= sin

x + 47ĩ>1 . í x + 4tt

2 ,

' x V Y — + cot2

+ cot Ị -l 2

§ u «

—sin — + 2n 7

( x -+ COI -- + 271

. u

Vậy y ỉà hàm số tuần hoàn với chu kỳ là T = 4 tc .

MIỂN XÁC ĐỊNH - MIEN GIÁ TRỊ

Tóm tắt lý thuyết:

1. Miền xác định của hàm số:

Cho hàm số y = f(x). Miền xác định D của hàm sổ được xác định nhưsau: D = {X€R sao cho f(x) có nghĩa}

2. Miền giá trị:

Cho hàm số y = f(x) có miền xác định D. Miền giá trị T của hàm sổ đượcxác định như sau: T = |y €'R | 3 x e p : y = f(x)Ị .

Do đó ta có: T = {y e R sao cho phương trinh f(x) = y có nghiệm Xthuộc D}

Bài tập:

Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

1/ y = y j l x - i c 2 /y = %/x2+ 4x + *V ĩ 3 x - x

Giải

1/Hàm s ố y = -vMx-x2 xác định khi: 4 x -x 2 > 0 0 < X < 4

Vậy miền xác định của y là : D = [0,4].

\ / 4 - 3 x - :xác định khi:

10





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/174

( V + 4 * > 0 f x < - 4 v x > 0 .< 0 < X < 1[ 4 ~ 3 x - x 2 >0... [-4 0 o x < ] v x > 3

Vậy miền xác định của hàm số y là : D = (-o o;l Ịú [3-+ ).

2/ Ta có : X2 - x + 1> 0, Vx e R nên hàm số

X +1 xác đ ịnh k h i :

x + Vx-’ - x + l> 0

Ị x2 - x + l > 0 Íjt3- ,t + l> (-.i:)! 1 V <

{ - x < 0

« JC> 0 v ]■* - * o x > 0 v ^ < 0 o ^ e R[ * < 0

Vậy miền xác định của y là: D = R.

Nhận xét:Học sinh thường hay mắc sai lầm như sau:

vx ^ - X +1 > -X X2 - X+ 1 > X2

Làm như th ế là sai vì vế phải của bất phương trìnhta chưa biết dấu .

**• !_ r r ^ Í A > 0 Í a > b 2Cân nhớ quy tăc biên đoi như sau: VA>B 0

3) Ta có: X2 +■1 > 0 vớí mọi X thuộc R

nên hàm số: y = VX + Vx2 +1: xác định khi:

x + V x 2 + 1 > 0 Vx 2 +1 > -X \ x v | x + l ^ í - x )

\ - x < Ồ Ị - x > 0

o X > 0 v x < 0 » JceR

Vậy miền xác định là : D = R.

11





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/174

Bài 3: Tìm miền xác định của các hàm sô" sau:

1)y = y jx2 - 2 \ / x 2 - 7 + \ / x - 3 + 2 V x - 4

2) y = —— ------ + V-x2 +4X + 5X2 -3x + 2

1) Hàm sổ xác định với :1) Hàm sổ xác định với :(2)

(3)

(1)

X - 4 > 0

x - 3 + 2 y J x ^ Ị > ồ (4)

Với (1) ^ X < - 1 hay X > 1

(2) (x 2 - \ ) - 2 \/x2 -1 +1 >0 (Vx2 - ĩ - l ) 2 >0 (luôn đún g)(3) o x > 4

(4) (x -4 ) + 2 V x - 4 + l> 0 (V x '- 4 +1)2 > 0 (luônđúng)

V ậy hệ có nghiệm là : X > 4

Kết luận : Miền xác định của hàm số là: D = ị̂ 4, + 00Ị .

2) Hàm số xác định vớ i:

1; Hãm sô: y = cot — xấc định VỚI:5

sin — * 0 ^ — *kĩc ^ X * 5k (với k e Z).5 5

Vậy miền xác định của y là : D = R \ Ị sk Ik £ z j

12





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


14/174

2) Hàm sô* y - tan — + — xác định với :13 6 J

o —9Ế—+ kx o X* n + kĩt X* (3k + l)ĩt (k € Z)

Vậy miền xác định của y là : D = R \ |(3k +'1>ĨTỊk e z|

Bài 5: Tìm m để hàm sô' sau xác định với mọi X thuộc R.

y = Ậ m 2+ 2m)x2+ 2mx + 2

Giải

Hàm số y xác định với mọi giá trị của Xthuộc R k h i:

(m2 + 2m)x2 + 2mx + 2 > 0 , Vx € R (*)

X é t : m 2 + 2 m = 0 = 0 v m = - 2

Với m = 0: thì (*) ^ 2 >0 với VxeR (đúng) (1)

m = -2: thì (*) ^ -2x + 2 > 0 vóiVx e R ( điều này là sai)

ím ^ O _ íix r+ 2 m > ÒVới < thì ta có : (*) ^ í

Ịm * ” 2 [A’= m2-2 (m 2 + 2m )< 0

^ ím < - 2 v m > 0 ^ fm < - 2 v m > 0Ị - m 2 -4 m < 0 Ịm < - 4 v m > 0

m < -4 Vm > 0 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : hàm số y đã cho xác định vói mọi Xthuộc Rkhi m < - 4 v m > 0 .

Nhận xét:

Nhị thức bậc nhất - 2x + 2 > 0 đổi dâu tại X= 1 nôn không thể xảy ra- 2x + 2 > 0 với mọi X thuộc R .

Bài 6 : Tìm miền giá trị của các hàm sô":

2)y =X - 4 x + 6

X2 -4 x + 5

Giải

1) Miền xác định của y l à : D = R \ {-2}

13





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


15/174

Vxe D , ta có: ỹ = —— — — y(x+2)= x2+3x+3 x + 2

^ X2 + (3 —y)jc + 3 - 2y = "

Phương trình (*) có nghiệm. xeD. A > 0

(3-y)2 - 4 ( 3 - 2 y ) > 0 y2 + 2 y - 3 > 0 y < -3 V y > l

Vậy miền giá trị củà hàm số là: T ='. (-oc ;-3] [l‘+co)

2) Miền xác định của h à m sổ là : ữ R. ( VI X2 - 4x + 5 > 0, Vx )

(y —1)JC2 - r4 ( l-y )^ + 5 y - 6 = 0 (*)

Với y = 1: thì (*) o O x 2-rOx-1 = 0 :d o đ ó (*) vô nghiệm

Với y * 1: thì (*) có nghiệm x eD A '> 04(1 —y)2 - ( y ” ỉ)(5y - 6) > 0

o - y 2 + 3y - 2 > 0 1< y (2y)2

VxeD , ta có: y = X1 - 4 * + 6

X2- 4 x + 5y( x2 - 4x + 5) = X2- 4 x + 6

sinx + 2 2sinx.cosx + 2cos2x - 3Giải

- 1 - V ? - ì + yỈ7 3y +2y - 2 < 0 —— — -


16/174

y = — 1+ cos 2x +1

sin 2x +1 + COS2x - 3

Miền xác định của hàm số là : D = R

- y = -COS2 x + 2

sin 2 x + COS 2 x - 2

Vì sin2x + cos2x - 2 = V2sin|^2x + —|-2 < 0, Vx

Ta có: y = — cos2x + 2 y(sĩn 2 x + COS2 x - 2 ) = cos2jc + 2sin 2;c + c o s 2 ; t - 2

ysìn2* + (y - 1)cos2* ~ 2y - 2 = 0 (*)

Do đó : (*) có nghiệm X e D Cí> y2+ (y -1 )2 > (~ 2 y -2 )2

■o2y2+ 10y + 3 < 0 o- 5 - VỈ9 -5+-VĨ9-------: < y < — --- ——

2 2

-5 - \ZỈ9 _-5 + \/Ĩ9

Vậy miền giá trị của hàm số y là : T =

Nhận xét: Trong bài toán trên ta dùng kiến thức sau :

a cosx + b sinx - c có nghiệm khi a2 + b2 > c2

Bài 8: Tìm miền giá trị của các hàm số:

2) y = sin X+ COS X ,0 < X 0 = 1 (vô nghiệm).

Với y * 1: thì (*) có nghiệm X € D khi: y -1 * 0 y * 1

Vậy miền giá trị của hàm số: T= R\ {ỉ }

2/ Ta có: y = sinx + cosx = V2 sin X+ — I V

Với 0 < X < —thì —< X+ —< — => < sin2 4 4 4 2

r 71^X + —

4


17/174

B À I T Ậ P Đ Ề N G H Ị

Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

1/ y = V4X- X2 2/ y = V4x + 5x +

ĐS: I/ D=[0;4] 21 D = ,[0;V3)

Bài 2: Tìm miền xác định của các hàm số:

1/ A/log2(3x + 4) 2/ y = ̂ lo g3(V x* -3 x + 2 + 4 - x )

ĐS: l/D = [- l;+ o o ) 2/ D = (-oo;l]ư [2; + oo) ■

Bài 3: Cho hàm s ố : f(x) = t/ s ì ĩ i4 X+ COS4 X-2 m sin x .c osx

Tìm m để hàm số xác định với mọi X thuộc R .

ĐS: - —< m < —

2 2Bài 4: Tim m để hàm số:y = IgỊ(2 - m)x2 + 4mx + 6 - 2m] xác định với mọi X thuộc R .

ĐS: -6 < m < 1.

Bài 5: Tìm miền giá trị của các hàm số sau:

1/ y = X + -X

X - 12 /y= - 2 _ 7

X - X + 1

ĐS: 1/ T = (- oo;-2]u [ ;+oo) 2/T =

- 1;ỉBài 6: Tìm miền giá trị của các hàm số sau:

2 + COSX _ . . _ 2 _ . 2 / •l / y = ---------- -------- 2/y = 4cos x + 2sin x + 6sin xc osx

ĐS: 1/ T =

sinx + COSX - 2

- 5 - V Ĩ 9 - 5 + VĨ9

2 2

ax + b

2/ T = [3 - VlO;3+VĨÕj

^ — 4

16





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


18/174

HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU

Định nghĩa: Cho hàm s ố f : (a,b)--» R.

+ f là hàm số tăng (đồng biến)"trên (a, b) khi:

Xi < x2 => f(Xị) < f(X2) với Xi, x2 € (a,-b)

+ f là hàm số giảm (nghịch biến) trên (a, b) khi:Xi > X2 => f(xi) > f(x2) với X|, Xi .€ (avb) . .

+ Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.

Mở rộng định nghĩa:

+ f(x) là hàm sổ tăng trên đpan [a,b] nếu f tăng trên khoảng (a,b) và f liên tục tại X = a , X ='b .

+ f(x) là hàm số tăng trên nửa khoảng-(a,b] nếu f tăng trên (a,b) và f liên tục tại X = b . _

+ f(x) là hàm số tăng trên nửa khoảng [a,b) nếu f táng trên (a,b) và fliên tục tại X = a .

(ta có các định nghĩa tương tự cho hàm số giảm)

Định lí 1: Cho hàm số f(x) cò đạo hàm trên '(a, b) thì:

• Nếu f r(x) > 0, Vx € (á, b) thì f tăiig trên (á, b).

• Nếu f r(x) < 0, Vx € (a, b) thì f giảm ưên (â, b).

• Nếu f '(x) = 0, Vx b) thì f là hằrig số trên (a, b)

Định lí 2:

• Nếu f '(>0 > 0, Vx e (a, b) và phưcmg trình f '(x) = 0 có số nghiệmlà hữu hạn trong (a,b) thì f tăng trên (a, b).

• Nếu f'(x) < 0, Vx G (a, b) và phương trình f'(x ) = 0 có số nghiệmlà hữu hạn trong (a,b) thì f giảm trên (a, b).

Lưu ý:

Trong đị nh l í 2 ta khô ng xét trường hợp f ' (x) - 0, Vx e (a, b).

Giải Toán:

Bài 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau :l ) y - x 2 - 2 x + 4 2 )y = x3 -3 x 2 + 4

3)y = x4 - 2 x 2+ 5; 4 ) y = - x 4 + 4 x3 + 10

Giải

1) Miền xác định: D = R ^ -Đạo hàm: y’ = 2x - 2 1

17





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


19/174

y' = 0< =>2 x-2 = 0x = Ic>

Bảng biên thiên:

X -00 +CO

y ’ - ị

... y

Vậy hàm số giảm trên khoảng (- , ) và hàm số tăng trên khoảng

(i,+ » ) - ■

Nhận xét: V ìy liên tục tại x= I nên y tăng trên (-CO , l) yà giảm trên [1,+ co )

2) y = x3-3 x 2+ 4 ■

Miền xác định: D = R. Đạo hàm : y' = 3x2 - 6x

y' = 0 o 3x2 - 6x = 0 X = 0 V X = 2 ,

Bảng biến thiên

X —00 0 .

/ + +

y

Vậy hàm số y đồng biến trong các khoảng (- 20,0 ) và ( 2 ,-t-co), hàm số

nghịch biến trong khoảng (0,2) .

Nhận xét:

y tăng trên (-00, 0] hay y tăng trên [2,+ oc ) ; và y giảm trên [0,2].

3) y = X4 - 2 x 2 +5

Miền xác định: D = R.

Đạo hàm : y ’ - 4x3 - 4x

y' = 0 4 x 3 - 4 x = 0 4 x Ị x 2 - l j = 0 X = Ov X = ±1

Bảng biến th iên :

X ‐ +00

y - + - +'

y.

18





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


20/174

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng ( - 00,“ l) và (0,1), hàm số

đồng biến trong các khoảng (-1,0) và (l,-Ko) .

Nhận x é t : y giảm trên ( -co , -1 ] hay trên [0,11 vă

y tăng trên : [- 1,0] haý trên [1,+ co)XI I I + 4x3+ 10

Đạo hàm: y’ = - 4x 3+ 12 x2 = 4x2 (-X-Í'3 )y’ = 0 x = 0 V X= 3

Bảng biến thiên :

X - 00 0 3 +00

y’ + 0 + 0

y

Vậy hàm số tăng trên ( -X , 3 ) , hàm số giảm trên ( 3 . )

Nhận xét:a) vì X2 > 0 nên dâu của y’ ỉà dấu của nhị thức bậc nhất - X + 3 .

b) ỵ tăng trên (-00,3 ); y giảm trên [3,+ 0 0 ).

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau :

l)y =3x +1

1—X

3x + l

2)y =X2-2x

X—13) y = ?

X +44) y = X+ sinx

Giải

1) y =1 - X

Miền xác định: D = R \{l}

Đạo hàm : v' =

Bảng biến thiên :

X — 20 + co

y ■+ +

y

Vậy hàm số y =3 jc + }

\ - xđồng biến trên các khoảng ( - 00,1) và (1,+ 00 ).

Nhận xét : kết luận y tăng trên R\ {1 Ị là sai lầm

(vì hàm số gián đoạn tại X= 1 ).

19





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


21/174

b) Kêt luận y giảm trên (1,3) \ {2} ỉà sai lầm.

c) Kết luận y tăng trên (- 00 ,1) KJ (3. + 00) là sai lầm .

d) Vì y liên tục tại X= 1 và tại X= 3 nên có :

y tăng trên các nửa khoảng sau : ( - 00, 1.1; [3,+ 00)

y giảm trên các nửa khoảng : [1,2); (2, 3 Ị

2) Miền xác định là R. -

y, _ (2x + 4)(x2+ l)" 2x(x2+ 4x - 2) _ -4 x 2+ 6x -f 4

(x2+ (x2+ l)2

y '==0 2x - 3x - 2 = 0 X = 2, x = - - J 2

X 1 —00 ----

22 +00

y' 0 + 0 -

y - - - - -V

Các khoảng giảm là ; b ’4 ) , (2,+ ao)

Nhận xét: Có thể xảy ra sai lầm khi xét dâu y’ do căncứ vào phươngtrình 2x2 - 3x - 2 = 0 (xem dấu của y ’ là dấu của 2x2 ~ 3x - 2; đây là sai

lầm rất đáng lo ngại)

3) Miền xác định là R.

y' = 5(x + 2)4(2x + 1)4 + (x + 2)54(2x + 1)'(2x + IÝ

= 5(x + 2)4(2x + 1)4 + 8(x + 2)5(2x + 1Ý

= (X + 2)4(2x + 1)3[5(2x + I) + 8(x + 2)]

= (X + 2)4(2x + 1)2(2x + l)(18x + 21)

Vì (x + 2)4(2x + l)2 > 0 nên y' cùng dấu với (2x + 1)(18x + 21), do đó:

-1 -16 2

—00 + 0 0

y' ____________ + _ _

y Ị

Vậy khoảng giảm là j

Các khoảng tăng là - 00, - - |;( , + col 6 A 2

0 0

22





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


22/174

Nhận x é t : trên (- 00, - 7/6) thì y tăng vì y‘ > 0 trên đó và ỳ = 0 tạiX = “ 2 .

Bài 5: Tim m để y = 2x3 + 3x2 + 6(m + ] )x•+ 1 giảm trên khoảng (-2, 0).

Giải ~

Ta có: y' = 6 x2 + 6 x> 6(111 +"I) = 6 (x2 + X+ m + 1)

A = 1- 4(m +1) = -4m - 3

A > 0 » -4 m -3 >0 m < ( i)4

Để y giảm trên (-2, 0) thì y' < 0, Vx 6 (-2, 0)

X2 + X+ m + 1 < 0, Vx € (-2, 0) X] < -2 < 0 < x2

Xị < —2 1—V—4m —3 —2

3< V -4 m -3 ’ o 9 < - 4 m - 3 - 0 m < -3 (2)

x 2 > 0 - Ị - l W - 4 m - 3 j > 0 - 3 >1

- 4 m - 3 > 1m < -1 (3) •

Tứ (1),(2) và (3 ) suy r a : m~< - 3

Vậy y giảm trên (-2, G) khi.m < - 3. . .

Nhận x é t : Khi học đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số thì ta

sẽ có cách giải bài toán trên một cách nhẹ nhàng hdn.

^ mx + 4Bài 6: Cho hàm sô y = ---------

x + m

1) Tim m để y tăng trên khoẳng (2, oo)

2) Tìm m để y giảm trên khoảng ( - 00, ỉ )

Giải

l)Ta cỏ: y ' = m ~ t 2- với X* - m(x + m)

Để y tăng trên khoảng (2, co) thì y ' > 0, Vx e (2, oo)

^ -/m2 ~ t > 0, Vx e (2, co)(x + m;

ím2 - 4 > 0 f m < - 2 v m > 2 Im < - 2 Vm > 2ì . o ị o ị - m > 2- m € (2,00) |~ m < 2 . ' I'm > -2

Vậy y tăng ưên (2, co) khi m > 2.

23





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/174

Nhận x é t : trong bài toán này ta không đước phép diễn tả y’ > 0 vì nếuxảy ra y’ = 0 thì nó sẽ mãi mãi bằng 0 trên miền xác định .

2) Để y giảm trên ( - 00, 1) thì y' < 0, Vx e (- 00, 1)

Vậy y giảm ưên ( - 00.1 ) khi -2 < m < -1.

Nhận x é t : trong cả hai câu trên , ta đã xét sự ảnh hưởng của .mẫu sốtrong biểu thức của đạo h àm .

Bài 7: Tìm m để y = X3 + (m - ỉ)x2 - (2m2 + 3m + 2)x + I tăng trênkhoảng (2, oo).

Ta có: y' = 3x2 + 2(m - l)x - (2m2 + 3m + 2)

A' = (m “ l)2 + 3(2m2 + 3m + 2)

= 7(m2 + m + 1) > 0 vói mọi m .

Để y tăng trên (2, oc) thì y' >0, Vx e (2, co):

f(x) = 3x2 + 2(m - 1)x - (2m2 + 3m + 2) >0 , Vx e (2, 00)

Xi < x2 < 2 (vì đã có À' > 0)

3

Vậy y tăng trên (2, oo) khi: - - < m < 2.- .... 2 ...

Bài 8. 1) Tìm m để y = X + msinx tăng trên R.2) Tim m để y = (m - 3)x - (2m + l)cosx giảm trên R.

Giải

1-m + yỉÃ' I—

o —— ------


24/174

mt + 1 > 0, Vt = cosx, t 0 , c/ . ____ ' , X _ f - m +1 > 0 __ r ) X' (với f(t) = mt + 1) ị o -1 < m < 1

[f( l)>0 [m + 1 > 0

Vậy y tăng trên R khi -Ị < m < 1.

2) y' = m - 3 + (2m + l)sinx

Ta có y giảm ưên R o y' < 0, Vx e R.

(m - 3) + (2m + l)sinx < 0, Vx e R.

(m - 3) + (2m + l)t < 0, Vt = sinx e [-1,1Ị

ũ $ l l ° (vớ if(t) = (2m + l ) t + m -3 )

_ f - m - 4 < 0 _ J ^ 2 -4 < m < —

[3m - 2 < 0 3

, 2Vậy y giảm trên R khi -4 < m < —.3

Nhận xét : Trong bài toán trên ta đã dùng lính chất dấu của nhị thức

bậc nhất như sau: Xét nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b thì có

f(x)>0,V xe[u,v]|^Û - '^ ; f(x) < 0,Vx € [u,vỊ o ^Ịf0 |f(v ) < 0

1 .? 1 / —X' -

iTìm a để y đồng biến trên R:

Bài 9. Cho hàm số: y = - x ? — (sin a + cosa)x 2 + xsìn2a

3 2

Giải

Ta có: y' = X2 - (sina + cosa)x + sin2a

Để y đồng biến trên R thì y' > 0, Vx € R.

A < 0 (sina + cosa)2 - 4sin2a < 0 1 - sin2a < 0

sin2a > 1 o s in 2 a = Ị 2a = —+ k2n C5>a = - + k n2 4

Vậy a = — + kn là giá trị cần tìm .

B V.1A ^ _ x 2 -2m x + 3m2Bài 10 . Cho hàm sô y = -------- — --------

x-2m

1) Tìm m để y có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định.

2) Tim m để y đồng biến ưên khoảng (1,00).

25





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/174

Giải

l)Ta có: y' =X - 4mx + m

(x - 2m f , X * 2m

Để y có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định thì y' > 0, Vx * 2m

X2 *- 4mx + m 2 > 0, Vx * 2m

A' < 0 4m2 - m2 < 0cs> 3m2 < 0 o m = 0Vậy m = 0 là giá trị cần tìm .

2)y đồng biến trên (1, oo) y' > 0, Vx' e (I, oo)

jf(x) = X2 -4m x + m2 >0, V x> l

|2m£(l,oo)

rõ ràng m = 0 thì hệ thống trên thỏa mãn.

với m *■0: A' = 3m2 > 0 nên ta có:

f(x) > 0, Vx > 1 Xi < x2 < 1

2m + V3m2 < 1 V3m2 < 1~2m

3m2< 1-4m +4m 2

o |m < 2 -V 3 v m > - 2 + 7 3 c > [ n á 2 _ v5

[m < ] / 2

Vậy: m < 2 - V3 là giá trị của m cần tìm.

Nhận xét: y xác định trên (I, +00) khi

2m Ể (1,+=°) 2m < 1 m < 1/ 2

Bài 11. Cho y = asinx + bcosx + X.

Tìm điều kiện về a, b để hàm số đồng biến trôn R.

Giải

Ta có: y' = acosx - bsinx + 1

y đồng biến trên R o y ' > 0 , V x e R .o acosx - bsinx + 1 > 0, Vx 6 R (*)

Theo bất đẳng thức Schwartz thì: Iacosx - bsinx I < Va2 + b2 ., Vx

Va2 - b < acosx - bsinx < yja2 + b2 , Vx

1 - \ja2 + b 2 < acosx - bsinx + 1 < 1 + 4 ’ d2 +b2 ,"Vx

26





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


26/174

D ođó:(*) 1 - \ a2 + b2 > 0 V a2 + b2 < 1 a2 + b2 < l

Kết luận: a2 + b2 < 1

Bài 12. Cho 0 < a < b < — . Chứng minh rang btana < atanb (*)

Giải

Ta CÓ: (*) tana tanb — — < ——

a

^ T>. J~s . tanx r\ __ ^Xét hàm so f(x) = ——- vtfi 0 < X<

X 2

TC

X

Ta CÓ: — — tanx

f (X) = cos *X -sinxcosx

X2COS2X

X * fo 0 , Vx 6 0,— => f(x) là hăm số tăng trên 0,—

V 2/ ; ■ ; V ^ ), do đó:

, 7t ,„ iV x V ■ tana tanb t ,v ớ i0 < a < b < — thìf(a) < f(b) => —■- - < => btana < àtanb.

2 a b

Vậy bất đẳng thức (*) đã được chứng minh.

, m(x + l)' , .Bài 13. Tìm m đê y = ----- — ỉà hậm số đơn điộu.

Giải

X - x + 1

Miền xác định là R (vì X2 - X + 1 = 0 là vô nghiệm).

3(x + 1)2(x2 - X+ l \ - (x +-l)3(2x -1) • (x + l f (x - 2ÝTa có: y' = m. — ^ ;— — ------- = m .^ — LS— f

ịx2~ x + ÌJ Ịx2-x + lj

Khi m > 0: y' > 0, Vx => y tăng ưên R. ,

Khi m < 0: y' < 0, Vx => y giâm trên R.

Vậy y là hàm số đơn điệu khi m * 0.

27





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


27/174

BÀI TẬP ĐỀ NGH Ị

Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

1) y = -X 2 -f 4x + 5 2) y = 2x2 - 3 x + 2

3) y = Ặ x 3 - 3 x 2 + 8x 4 ) y = X3 - 5 x 2 + 7 x - 4

. 3....... ........... ............5) y = x4 - 2x2 +1 ".. 6) y = x 2|4 - X2 Ị

ĐS: 1) khoảng tăng: ,ị-;2j ; khoảng giảm: (2;+co)

2) khoảng tăng: I +00 I; khoang giảm: I -oo;-; ■ A 4 J - 1 :4 J

3) khoảng tăng: (-co;2) , ; khoảng giảm: (2;4)

4) khoảng tăng: (-co;l), —;+ooj; khoảng giảm:

5) khoảng tặng: (-1;0), (l;+co); khoảng giảm: (-oo;-l),(0;l)

6) khoảng tăng: ; khoảng giậm: |-\/2;0j,ỊV2,-K oj

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

2 + x „ x + 1 x2 - x + 2 , 2 x - x 22>y = ̂ r 3) y = - - 4)

2 - x 2 x - 4 2 - x 1 -xĐS: 1) Các khoảng tăng: , (2;+co)

2) Cấc khoảng giẩra: (-oo;2),(2;+cc)

3) Khoảng tăng: (0 ;2 ), (2;4) ; khoảng giảm: (-co;0),(4;+oo)

4) Các khoảng tăng: (-co;l),(l;+co)

Bài 3: Cho hàm số: y = X3 -m x 2 + X+ 5 . Tim ra để:

1) Hàm số tăng trên R 2) Hàm số giảm trong khoảng (1 ;2)

ĐS: 1) s < m < s ' 2) m > — 4

Bài 4: Cho hàm sô": y = mx3- 3x2 - 3x +1. Tim m để:

1) Hàm số giảm trên R

2) Hàm số tăng ưong khoảng (0;+oo)

28





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


28/174

Đ S : l ) m < - l 2) Vô nghiệm.

Bài 5: Cho hàm số: y = X3 - (m + l)x2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 1 với m là tham số.

Tìm m để hàm số tăng trên khọảng (2;+oo)_ ĐS: - 2 < m < —

Bài 6: Cho hàm số: y - -m x 3 - (m - ])x2 + 3(m -2 )x .2

Tìm tham số m để hàm số tăng trên khoảng {2;+oữj. ĐS: m > —

Bài 7: Cho hàm số: y = --X 3 + (m - l)x2 + (m + 3)x - 4 .

* - ' ' 12Tìm m đế hàm sô nghịch biến ưong khoảng (0;3). ĐS: m > —

Bài 8: Cho hàm số; y = x + m . Tìm m để:x - m

1) Hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

2) Hàm số tãng trong khoảng (-l;+oo).

ĐS:1) m > 0 2) m < -1

TJ V. , V _ 2x 4- 3x mBai 9: Cho hàm số: y -

x - 2

Tìm m để hàm số giảm trong từng khoảng xác định của nó.ĐS: m < -2

i 2x.2+ (l~ m )x + m + lti 10: Cho hàm số: y = ------- — — -----------

x - m

Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng ĐS: m < 3 - 2-JĨ

Bài 11: Cho hàm số: y = x ~ 8x8(x + m)

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (l;+oo). ĐS: -1 < m < — v • 6

Bài 12: Cho hàm số: y = (m - 3)x - (2m + l)cosx

, 2Tìm m để hàm số giảm trên R . ĐS: -4 < m < —

3

29





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/174

cực TRỊ CỦA HÀM s ố

A. LÍ THUY ẾT

Định nghĩa: Cho hàm số f: (a, b) —> R, X(I e (a, b).

• / đ ạ t c ự c đ ạ i t ạ i Xi! k h i t ồ n t ạ i m ộ t l â n c ậ n v = ( Xi) - ổ , Xo + ổ ) c ủ a Xi)

sao cho f(x) < f(xo) với mọi X e V.• f đạt cực tiểu tại X(j khi ĩồn tại một lân cận V của Xí) sao cho f(x) >

fịxo) với mọi J € V.

• Người ta gọ i chung cực đại và cực íiểu là cực ĩ r ị ; f(Xf/) là giá trị cực

trị và điểm M(X() ,f(xR có đạo hàm cấp hai

+ Nếu f'(xo) = 0 và f"(xo ) < 0 thì f đạt cực đại tại X().

+ Nếu f ' (x (>) = 0 vàf"(x 0 thì f âạ ĩ cực tiểu tại X().

B. Giải toán:

Bài 1 : Tìm cực trị của các hàm sô" sau:

1) y = X4 - 2x 2 + 1 5) y = X + \ i l x 2 + 1

2) y = x 2(2 - x )2 6) y = — + cosx (0 < X < 2x)

3) y = X ^ 4 - x 2 7) y = e x.sinx ___ _Ị ' '

4) y = X+ V -X 8) y = Xx

30





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


30/174

Giải

l)Miền xác định là R.

y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

Ta có: . y '= 0 X = 0, X = 1, X = -1

X 00 ‐ I - õo

y \ - + 0 — 0 4-y 00 CĐ

■00

-T

Vậy y đạt cực đạỉ tại X- 0, y = 1.

y đạt cực tiểu tại (x = 1, y = 0) và tại (x = -1, y = 0)

2) ỵ = x2(x - 2 ỷ = (X2 - 2x)2, D = R.

yf = 2(2x - 2)(x2 - 2x)

y' = 0 X ■= 1, X = 0, X = 2X —co . 0 1 2 00

y' - 0 + 0 . - 0 +

y. 00 ' CĐ " 0 0

* C T ^

Vậy ,y đạt cực đại tại X = 1, y = 1.

y đạt cực tiểu tại (x = 0, y = 0) và tại (x = 2, y = 0).

3) y = X V-4-X2 với miền xác định là -2 < x < 2.

/ _ Ỉ A 7 2 -X _ 4 - x -. y = V4-X +x . ■■■ - = ,V4 -X2 \ '4 - x

Ta có: y' = 0 x = ± V 2 n ên :

-2 - 4 2 4 Ĩ

4 - x 2 -X 2 , -2 x 2 + 4=>y “ -

2 . V - X

0 + 0 -

0CĐ

C T ^ '

Vậy y đạt cực đại tại X = V2 , y - 2

y đạt cực tiểu tại X = - V2 , y = -2

4) y = X + V 2 - X với miền xác định là X 0





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/174

Ta có: y' = l - V - X - - -•

y' = 0 V - X = 1


32/174

X ĩ

6

5 t ĩ — co

6

, . y ' + 0 - 0 + -

y ^ CĐ ..■V^ C T

, , s . „ . . 7Ĩ TZ V Vậy y đạt cực đại tại X = —, y = - - +6 12 2

J 5 l ^y đạt cực tiễu tại X= —-,y = “ - - -

6 12 2

Nhận xét: Ta có thể dùng đấu của y” ( dùng định lý 3 ) để tìm cực trị

của hàm số’ trong bài toán trên.

7) y = exsinx với miện xác định D = R.

Ta có: ỵ' = ex.sinx + e*cosx = e x(sinx + cosx)y' = 0 « sinx + cosx = 0

V2sin X + — = 0 X + — = kít X = - — + kĩĩ l 4 J 4 4

Ta lại có: y" = ex(sinx + cosx) + ex(cosx - sinx)

=> y" = 2excosx

Tại X = + k2n: thì cosx = COS

r ——

1= nôn y" > 0; do đó y đạt4 { 4 ) 2

■J -~+k2-!zy = —— e 4 (với k e Z)

Tí 3n V2Tại X =+ (2k + 1)tu: thì cosx = COS-—= ——- nên y" < 0; do đó y

4 4 2

71 V2 --* +(21«-*1}ttđạt cực đại tại -X= - — + (2k + 1)t ĩ ; y - - —e 4 (với k s Z )

4 22

8) y = X x với miền xác định là X > 0.

- 1Ta có: Iny = ln xx = —lnx

X

33





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


33/174

y' 1 , 1 1 ỉ , ]■ ,=> — = — -rlnx+ — = —- ( 1 - Inx) => y = X*-—- ( 1 - Inx)

y X „ X X X X2

y' = 0 Inx = 1 X = e nên ta CÓ:

X 0 e

y . ...— * S P

Vậy y đạt cực đại tại X = e, y = ec.

Nhận xét: Các bài toán này chỉ xét đến khi nào đã biết về hàm số mũ

và hàm lôgarit.

Bài 2: Tìm tham số m để:

1) y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực trị tại X= 2.

2) y = -m 2x2 + 2mx - 3m + 2 có giá trị cực đại bằng -3 .1 7Ĩ

3) y = - sin3x + msinx đạt cực đại tại X= —.3 3

4) y = alnx + bx2 + X đạt cực đại tại X = 2 và đạt cực tiểu tại X = I.

Giải

1) y' = 3mx2 + 6x + 5, y" = 6mx + 6

y đạt cực trị tại X - 2 thì y r(2) = 0

17nên I2m + 17 = 0 m =12

lúc đó y"(2) = -1 7 + 6 = -11 < 0

17Vậy m = - — thì y đạt cực trị (cực đại) tại X= 2.

Nhận x é t : Trong lời giải trên nếu chúng ta không dùng y ” để kiểm

tra sự tồn tại của cực trị là thiếu chính xác.

2) y '= -2m 2x + 2m; y" = -2m 2

Ta cổ: y' - 0 X= — (vởi m * 0)m

Để y có giá trị cực đại bằng -3 thì y ■3.

, 1 1-m . —- + 2m.------- 3m + 2 = - 3 o 3 - 3m = - 3 o m = 2

m m

34





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/174

Lúc đó: y" = -2 .2 2 = -8 < 0 (y đạt cực đại)

Vậy m = 2 thì y có giá trị cực đại bằng -3.

3) y = —sin3x + msinx3

thì y’ = cos3x + mcosx, y" = -3sipx - msìnx

7C ..Ta có: y đạt cực đại tại X= ‐7 thì y' — —03 ' v3 /

Nên -1 + m — = 0 m = 22

Lúcđó: y " f - = - 2 “ = -V3 < 0

K

Vậy: m = 2 thì y đạt cực đại tại X= —.

, ỉ a4) y = alnx + bx + Xthì: y' = a — + 2bx + rvà y" = — + 2b

X X

y đạt cực đại tại X= 2 nên y'(2) = 0

— + 4b + 1 —0 3. + 8b = —2 (1)2

y đạt cực tiểu tại X= 1 nên y'( l) = 0

a- + 2 b + l = 0 a + 2b = - l (2)

Lấy (1) trừ (2), ta có: 6b = -1 b = •6

" ^ 2The vào (2), suy ra a = — -

Lúc đó y "( l)= - > 0, y"(2) = - — < 03 6

2 IVậy a = - — , b = thì y đạt cực đại tai X = 2 và đạt cực tiêu tại X = 1.3 6 * .. •

Nhận x é t : Vì điều kiện y’ ='0 chỉ là cần mà chưa đủ cho sự tồn tại cựctrị nên trong các lời giải trên' chúng ta cần phải kết hợp với việc vận dụng

định lý 3 . . •

Bài 3: Cho hàm số y = —X3 + —X2 + (m + 1)x + m23 ' 2

35





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/174

1) Tìm tham sô'm để y có cực trị.

2) Tìm m để y có cực đại và cực tiểu tạUioành độ X> m.

: Giải

1) Ta có: y' = X2 + X+ m + 1

y có cực trị o f(x) = X2 + X+ m + I đổi dấu.. . ' . 3„•-"-o A = 1 - 4(m + 1) > 0 m <

. ; ■4 , . .

2) Ta có y có cực đại và cực tiểu tại hoành độ X> m khi phương trình

X2 + X+ m -f 1 = 0 có hai -nghiệm thỏa điều kiện:

m < X| < X (*) Ironể đó ngh iệm nhỏ Xị = —Ị - l - V Ă j

nên (*) m < —Ị - 1- >/Ãj 2 m < -1 - \ÍÃ

** 3v-4 m “ 3 < -2 m -1 ( A > 0 thì m < - — nên -2m -1 > 0 )

4

-4m - 3 < 4m 2 +4m + l 4(m 2 +2m + 1) > ó (m +1)2 > 0

o m 5* - 1 .

3Vậy giá trị m cân tìm là : m < —- (m * -1)

Bài 4: Cho hàm số: y = ax +.—x ~l~ak ..Tìm' a, b đc ỵ đạt cực trị tại X = 0 bx + a

và tại X= 4.

Giải

_ abx2 +2a2x + ab (l-b )Ta có: y' = -— - - - — ■— — với bx + a * 0

(bx + a) .

y đạt cực trị.tại X = 0 và tại X= 4 thì yf(0) = 0 và y'(4) = 0 ; do đó:

a b ( l - b ) ■ -v — ; = 0 (1) a

16ab + 8a2 + a b fl- b )-------- — = 0 . (2)

(4b +

(1) b = 0 hay b = 1 (và a * 0)

36





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


36/174

8a2Với b = 0 thì (2) cho ta: —— = 0 « a = 0 (trái vđi điều kiện a * 0)

a

n , v , 8a2 +16aA -fa = 0, a = -2Với b = 1 thì (2) cho ta: ---- — — - 0 ị

(4 + a) [a * -4

a = -2 (vì điều kiện a 0)xr - ^ , -2 x 2+8xVớí a = -2 , b = 1, ta có: y = — -—

: (x -2)

y' = 0-2x2 + 8x = 0x = 0, x = 4

X —0000

0 2 4

y' - .0 + 1 o+

y.T

CĐ. V A.

Từ đó suy ra rằng các giá trị cần tìm là : a = -2, b = I

Nhận xét: trong bài toán trên chúng ta không đùng y” để kiểm tra sựtồn tại của cực trị vì biểu thức của y” lúc đó là không thuận lợi .

' T - _ _ *1 ________ A * u x : + n rx + 2m2-5 m + 3Bài 6: Tìm tham số m > 0 đẽ cho hàm so y = ---------------- ---------------X

đạt cực tiểu tại hoành độ Xthỏa X e (0, 2 m ).

GiảiX - (2m 2-5m + 3Ì

ó : y ' = — — ------ ----------- -X2

y' = 0 => X2= 2m2 ” 5m + 3

=> X= ± V2m2-5 m + 3 (với 2m2- 5m + 3 > 0)

Để y có đạt cực trị thì y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt nên :

9 32m - 5m + 3 > 0 o 0 < m < ỉ hay m > — (vì m > 0) (1)

Ta có bảng biến thiên:

X —co - V2m2 -5 m + 3 0 V 2 m 2 - 5 m + 3 a

y' + 0 0 +

y CĐ *•CT *

37





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/174

Do đó hàm sốy đạt cực tiểu tại: X = y ịlm 2 -5 m -f 3

Để y đạt cực tiểu tại X € (0, 2m) thì:

0 < v2m 2 -5 m + 3 0)

-2m -5 m + 3< 0< => m i

(2)

_ 1 3Từ (1) và (2) cho ta : — < m < 1hay m > —

1 3 ,Kết luận : — < m < 1 hay m > — là giá ưị của m cân tìm .

Bài 7: Cho hàm sô" y = X4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 + I

Tìm tham sô'm để y chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Giải

Ta có: y' = 4 x 3 + 24m x2 + 6(1 + 2m)x = 2x[2x2 + 12mx + 3(1 +'2m)]

Xét tam thức bậc hai:

f(x) = 2x2 + 12mx + 3(1 + 2m)

A' = 36m2 - 6(1 + 2m) - 6(6m2- 2m - 1)

_Ị_

6'

00

A' = 0 6m - 2m - 1 = 0 m- Ỉ M

m

A'

—00

0 0 +

Nếu —Ịl “ V? j < m < —Ịl + yỊĨ j thì A' < 0 nên f(x) > 0, Vx 6 R và.ta có:

X —00 0

Y’-

0 +y — *-

CT

Lúc đó ỵ chỉ có cực tiểu và không có cực đại.

Nếu m = :2

38





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/174

Thì y' = 2x(2x2 - 6x) = 4x2(x - 3) theo dấu của X - 3 nên:

. X -0 0 3

y' - +

yCT

Do đó y chĩ có cực tiểu và không có cực đại.

Nếu m < — Ịl - yỊĨ j, m > — Ịl + ỹỊĨ j,m *

Thì (A' > 0, f(0) * 0) y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, do đó ta có:

X -00 Xt *2 X300 - ^ ■" ' ■ ’ ' •

y'. 1 0 + 0 1 0 +

y CĐ

Kết luận: Đ ể y chỉ có cực tiểu và không có cực đại thì:

m - hay —Ịl - V j ^ m < —Ịl + V j

Bài 8 : Cho y - (m - 3)x3- 2mx + 3. Tìm m để :

1) y không có cực trị 2) y có cực đại và cực tiểu

Giải

1) Ta có: y' = 3(m - 3)x2 - 2mVới m = 3: thì y' = -2m = -6 nên y không có cực trị (Vỉ lúc đó y giảm

trên R)

Với m * 3: thì ta có y không có cực .trị y' không đổi dâu

o 3(m - 3)x2 - 2m không đổi dấu A '- -6m(m - 3) < 0 0 < m < 3

Vậy y không có cực trị khi 0 < m < 3.

Nhận xét: kếtquả ưên là lấy từ m = 3 hay 0 < m < 3.

2) Để y có cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu 2 lầno 3(m - 3)x2 - 2m đổi dấu 2 ỉần

À' = 6m(m - 3) > 0 và m TÈ 3 m < 0 hay.m > 3

Vậy: m < 0 hay m > 3 là giá trị cần tìm.

Nhận xét: số nghiệm của phương trình y’ = 0 luôn bằng với số cực trị

của hàm sô" y.

39





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/174

Bài 10: Cho hàm sấ y =X +X + 1 .

1) Tìm a, b để hàm số có cực trị.

2) Tìm a, b để hàm số có đúng một cực trị và là cực đ ạ i .

Giải

Ta có y xác định tại mọi X( vì X+ X+ 1 > 0 với mọi X ). _ , , ...... , , - a x 2- 2 b x + a - b ...... Đạo hàm : y = -— ------- —— -—

Ịx2-+x + lj - ....... . _

1)Nếu a = b = 0 : th ìy ’ = 0, Vx € R nên y không có cực trị.

Nếu a - 0, b * 0: thì y' = -— đổi dấu mộtlần tại (x2 + x + l) ' -

X= nên y có một cực trị.2

Nếu a ^ 0: y có cực trị -ax 2 - 2bx + a - b đổi dấu

o A ’ = b2 + a(a - b) > 0 b2 - ab + a2 > 0

Điều này luôn đúng với mọi b vì:

Ồ= a2 - 4a2 - -3 a 2 < 0 ( xét dấu tam thức bậc hai theơ biến số b )

Kết lủận: Để hàm sô" có cực trị thì:

(a = 0, b * 0 ) hay (a s*0,.b E R). .

2) Theo câu 1 thì y chỉ có một cực trị khi â = 0, b * 0.

Lúc đó dấu của ỵr là theo dấu của nhị thức bậc nhất (p (x) = -2bx - b.

Do đó để có cực đại thì y' đổi dâu từ + sang - nên phải có -2 b < 0

b>0.

Vậy: y chỉ có một cực trị và là cực tiểu khi: (a = 0, b > 0). .

Bà!'11 : Cho a < b < c và hàm số y = (x - a)(x “ b)(x - c). Chứng minh

rằng y luôn có một cực đại trong (a,b) và một cực tiểu trong (b ,c ).

GiảiĐặt f(x) = (x —a)(x - b)(x - c) là hàm số bậc ba.

’ Ta có: f ’(x) - (x-b)(x-c) + ( x-c)(x-a) + (x-a)(x-b) = 3x2 +...

Lại có vì a < b < c nên:

f (a) = (a-b)(a-c) > 0, f (b) = (b-c)(b-a) < 0 , f’(c) = (c-a)(c-b) > 0

40





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


40/174

suy ra phương irình f (x) = 0 có nghiệm X| irong khỏang (a,b) và có

nghiệm X2 trong khỏang (b ,c ).

Do đó ta có :

X —00 X) x2■00

y'+ 0 - 0 +

y , - r C Đ ~ . ^ r ^ C T

Vậy y đạt cực đại tại X1 e (a, b) và đạt cực tiểu tại X2 e (b, c).

Nhận x é t : y ’ = 3x2 +... là tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt nên

ta có kết quả về dấu của nó .

Bài 12 : Cho hàm số y = X3 - 3x2 + 3mx + 1 - m với m là tham, s ố .

1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

2) Gọi M(X|, yO và N(X, y) là hai điểm cực trĩ.

Chứng minh rằng yj - Ỵ = 2(X| - X)(X|X2 - 1)

Giải

1) Ta có: y' = 3x2 - 6x + 3m = 3(x2- 2x + m)

Để hàm số y có cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu hai lần

o A’ = 9 - 9m > 0 m < 1

Vậy : m < 1 là cần tìm .

2) Tại cực trị thì y' = 0 « X2 - 2x + m = 0Ta có: X] + x2 = 2, XiX2 = m ( công thức V ie t) (*)

Ta có : y[ “ y2 = Xj - +3m xt + l - m - Ị x ỉ ~3xị +3m x2 + l- m j

= ( x f - x ỉ ) - 3 ( * ỉ - x ỉ ) + 3m(x, - x 2)

x)[x^ + Xj + x]x2 -3 (x j + x 2) + 3m]= (x

= (X] - x2) (x, + x 2)2 -XịX , -3 (x j + x2) + 3mj

= (X] - x2(4 - X1X2 - 6 + 3X|X2) (do (*))

= (X] - X2)(2X] X2 - 2 ) = 2(Xj - X2)(XiX2 - 1)

Vậy ta đã chứtig minh: (yi - Ỵ) = 2(X] - X2)(X|X2 - 1)

Bài 13 : Cho hàm sô': y =X +m x + 2

X — ỉvới m là tham số’.

41





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


41/174

1) Tim m để y đạt cực tiểu tại X = 2.

2) Tìm m để y đạt cực đại tại X = 3.

3) Tìm m để điểm cực tiểu thuộc đồ thị ( P ): y - X2 + X - 4

Giải

X2 - 2x - m - 2Đạo hàm : y' =

{ x - ì f

1) y đạt cực tiểu tại X - 2 thì y'(2) = 0

= > 4 - 4 ~ m - 2 = 0= >m = - 2 .

X2 -2 xLúc đó: y' =

( x - l ) 2

y' = 0 o x - 2 x = 0 x = 0, x = 2

Bảng biến thiên :X -00 0 1 2

00

y' + 0 — - 0 H

y CĐ^ ^C*T - ^

Nhận xét: vì y” không gọn nên ỏ trên ta dùng y* để kiểm tra sự tồn tại

của cực trị theo yêu cầu của đề bắi.

2) y đạt cực đại tại X = 3 thì y '(3) = 0. => 9 - 6 - m - 2 = 0=> m = i

Lúc đó: y' =X - 2 x - 3

( x - l )

y' = 0 o x - 2 x - 3 = 0 o x = - l , x = 3

Bảng biến thiên:

X “00 -1 1 3 co

y' + 0 + o1

y CĐ

A CT'""

Vậy với mọi giá trị của m,-y không đạt cực đại tại X = 3.

42





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


42/174

Nhận xét: mặc dù ta giải được m = 1, nhưng khi kiểm trá thì không

thỏa yêu cầu nên m = 1 bị lo ạ i.

3) y có cực trị X2 - 2x - m - 2 đổi dấu tại x'khac I

A ' = l + m + 2 > 0 ( và m khác 73 ) m > - 3

Ta có: y' = 0 Cí> X2 - 2x - m - 2 = 0 X = 1 ± y ị m + 3

Bảng biến ứiiên :X ‐0 0 l -V m + 3 1 l + Vm + 3 -3 )

Vậy điểm cực tiểu thuộc (P) khi m - - 2 .

Nhận xét: trong câu 3 ồ trên ta đã, đùng kế t quả sau :

, , . u , u V -u v ’Với y = —=> y = ------------------- —

V V

u u’Tại cực trị thì y ‘ = 0 nên : u’v = uv’ , do đó : y = -- = — .' V v '

, x2+(m >l)x + l - mBài 14: Tìm thám số m đê hàm số: y =. ------------- ------------

x - m

có hai điểm cực trị ở cùng một bên của trục hoành.

43





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


43/174

^ X2 - 2mx - m2 -1 .Đạo hàm : y = ------- ——— ;-------- , X* m

^ i : < / ■. • ’ ■y' = 0 X2 - 2mx - (m2 + 1) = 0 V

A' = m2 + m2 +1 > 0, Vm (nên y luôn có 2 cực trị)

Xi + x2 = 2m, XịX2 = -(m 2 + 1) ( công thức V ie t)

Tại cực trị thì y’ = 0 nên suy ra :V f-

(x2+(m+ l)x + l -m )y = -------------- 7------- — - 2x + m + I

( x - m )

do đó : y ] = 2x Ị + m + 1 ; y2 = 2 X2 + m + 1

Để hai điểm cực trị .ở Gùng một bên của trục hoành thì ycĐ,ycT > 0 tức là

yj .y2 > 0 (2X] + m +"1)(2X| + m + 1) > 0

4xix2 + 2(m + l)(xi.+x2) + (m + ỉ)2 > 0

-4(m 2 + 1) + 4m(m + 1) + (m + l)2 > 0

m2 + 6m - 3 > 0 m < -3 - 2 \/3 hay m > -3 + 2V3

Kết luận: m < -3 - 2 >/3 hay m > -3 + 2V i

Nhận xét: về sau khi đã học cách vẽ đề thị hàm số dạng hữu tỷ thì ta

có thể giải bài toán trên ngắn gọn hơn .

Bàl 15: Cho hàm số y = xn(x - 2)2với n là số nguyên dương. Tùy theo giátrị của n hãy tìm cực trị của hàm số.

Giải -

Ta co': y '= n x ^ x - 2)2 + xn2(x - 2)

= xn-1(x - 2)[n(x -2 ) + 2x] = xn_1(x - 2)[(n + 2)x - 2n]

i) Xét n là số’ nguyên lẻ: thì ri - 1 là chẩn nên xn“' > 0, Vx do đó y' theo dấu của (x - 2)[(n + 2)x - 2n] và ta có bảng biến thiên :

X —00

2n 2 - ‘

n + 200

y' + 0 — 0 +

y

Vậy: y đạt cực tiểu tậi X = 2, y = 0





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


44/174

Và y đạt cực đại tại X=2n

n + 2>y =

2n

n + 2

16

(n + 2j

ii) Xét n là sô" nguyên chẩn: thì n - 1 là lẻ nên X11 cùng dấu với X và

đo đó y' cùng dấíi với tích số: x(x - 2)[(n + 2)x - 2n]

Ta có: y' = 0 X= 0, X= 2, X = 2nn + 2

n ê n :

X —00 0

2n

n + 2

y' - 0 + 0 - 0 +

yCT '

CĐ

^ C T

Vậy : y đạt cực đại tại X = 2n n + 2

; y = 2n 16n + 2 ^ (n + 2)'

Và y đạt cực tiểu tại X= 0 và tại X= 2 ứng với y = 0.

Bài 16 : Cho a > 0 và hàm số’ y = xn+ (a - x)n, với n > 1, n € N.

Tùy theo giá trị của n hãy tìm cực trị của hàm so"".

Giải

Ta có: y' = nxn_1 - n(a - x)n~l = n[xn“' - (a - x)n~' ị

y' = 0 x"”1= (a - x) (*; Nếu n là sô" nguyên chẩn: thì n - 1 là lẻ nên ta có:

(*)«> x = a - x o x = — 2

phân loại, phân tích và phương pháp giải toán khảo sát hàm số - nguyễn cam...

Documents