UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

INDOAMERICA

INVESTIGACION OPERATIVA

(ANEXOS)

Docente: Ing. Nikolay Artieda

Quito - Ecuador

2011

PROBLEMA #1 Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y - 1 0 ; 0 x 3 ; 0 y 2. ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?

PROBLEMA #2 Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades

a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.

b) Maximizar la función Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto.

PROBLEMA #3 Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8 ; x + y 4 ; x + 2y 6 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor.

PROBLEMA #4 a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y 10 ; x + y 2 ;x 8; x 0; y 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x - 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior.

PROBLEMA #5 Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x - 4y - 4 ; x + 2y - 4 0; x 0 ; y 0 Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vértices. b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y)= x + 2y . c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza.

PROBLEMA #6 La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos

hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes,

HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia

informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo

puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se

pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Utilizando el método

gráfico, determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa.

Aderezo Ingredientes (Onzas/Bot) Demanda Precio de

Venta

HB1 HB2 (Botellas) por botella ($)

Curry 5 3 1500 2750

Pimentón 2 3 Ilimitada 1300

Disponibilidad (Onzas) 10000 8500

PROBLEMA #7 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 bolívares por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Aplicando el método gráfico, cuantos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

PROBLEMA #8 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 día de la hora. Su ganancia es £4 por la bolsa para el cemento granulado y £3 por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el Método Gráfico.

PROBLEMA #9 SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es

determinar utilizando el Método Gráfico, la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio.

PROBLEMA #10 Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea

trigo o cebada.

Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada,

su gasto es de US$ 40 por hectárea.

El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones

en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:

Mes Consumo m3 /

Hcta Consumo m3 /

Hcta Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre 900 650 57.900

Noviembre 1.200 850 115.200

Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.

los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada.

Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que

debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.

PROBLEMA #11 Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Utilizando el Método Gráfico, cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 Bs/Km y el B a 40 Bs/Km?

PROBLEMA #12 Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 40.000 libras, y 5 camiones de 30.000 libras. Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una semana debe transportar la empresa 400.000 libras en un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes.

Utilizando el Método Gráfico, ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas?

PROBLEMA #13 La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de químico

en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL Bs. 1.000 y cada unidad de químico le cuesta Bs. 1.500. Se tiene una disponibilidad máxima de 20.000 unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este período de planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 onzas de perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo famosa a quien se le pagará Bs. 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas. Cada onza de Versay se vende a Bs. 60.500. Utilizando el método Gráfico, determine el volumen óptimo de la producción y venta del perfume.

PROBLEMA #14 Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 Bs. en salarios y 1.800.000 Bs. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 Bs. y 50 Bs. por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A B

Costo 200 100

Costo energético 100 300

Utilizando el método gráfico, se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.

PROBLEMA #15 La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones

trimestral sobre la fabricación de su me zcla de productos. Mientras toda sus líneas

productivas incluyen una gran variedad de artículos de computación, solamente se

considerará un problema más simple con sólo dos productos: las computadoras portátiles

y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos de dichos

productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre del

2003. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la

computadora portátil como la de escritorio:

1.- Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la

escasez de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000

unidades trimestrales..

2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16MB por tarjeta.

Una computadora portátil requiere 16MB de memoria instalada (es decir, necesita 1

tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2

tarjetas RAM). COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo

trimestre.

3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas

tolerancias para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos

contra 3 minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de

tiempo de ensamblaje para el próximo trimestre

Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo,

la venta de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora

de escritorio produce $1000 ganancia.

Hay muchas preguntas que COMPAQ podría hacer. Por ello, aplicando el método

Gráfico, determinar la respuesta desde la más obvia que es ¿Cuántos computadoras de

cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus

beneficios?, hasta las otras preguntas, menos obvias, pero de interés para la Gerencia de

la Empresa, entre ellas, ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria

RAM adicional? ¿Qué efecto tiene sobre la ganancia , la perdida de 1,000 minutos de

tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus máquinas? ¿Que ganancia se requiere

para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB de RAM?

PROBLEMA #16 Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

Marca K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

¿Utilizando el método gráfico, en qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?

PROBLEMA #17 Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse

este lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años.

PROBLEMA #18 La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: 0,20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's.

PROBLEMA #19 Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 Bs. y el de cada uno de los pequeños, 6000 Bs. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?

PROBLEMA #20 A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX: a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) ¿Y el más pobre en calorías?

PROBLEMA #21 Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio.

PROBLEMA #22 Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm

de petróleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compañía tiene dos

refinerías. La refinería A produce diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta,

media y baja respectivamente. La refinería B produce 2 Tm de cada una de las tres

calidades. El coste diario de cada una de las refinerías es de 20.000.000 de Bs.

¿Utilizando el método SIMPLEX, cuántos días debe de trabajar cada refinería para que

el costo sea mínimo?.

PROBLEMA #23 Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de

manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de

vitamina B y 6 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M

que cuesta 100 Bs. el gramo, el cual contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y

un aditivo H a un costo de 160 Bs. por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de

B y 6 de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de cada aditivo se deben

incluir en cada frasco para minimizar el costo?

PROBLEMA #24 Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para

hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de

cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la

tienda Bs. 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa,

y le cuesta Bs. 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un

kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el métdo

SIMPLEX, ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para

preparar un kilo de hamburguesas a fin de minimizar los costos?.

PROBLEMA #25 Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre.

Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de

centeno por hectárea y 9 meses/hombre.

El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos

respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20

la de trigo y $30 la de centeno.

El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270

meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un

campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por

otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50

por meses/hombre, sin limitación.

a) Formule el problema en términos de programación lineal.

b) Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y

el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades.

c) Formule el programa dual correspondiente y luego, haciendo uso del programa de

factibilidad, establezca la primera solución básica.

PROBLEMA #26 Una ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus

ratos domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al

supermercado de la zona. La primera salsa, requiere utilizar 3 Kg de tomates y 4 tazas de

vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere 5 Kg de tomates y 2 tazas de vinagre. La

primera salsa le produce un beneficio de 40 Bolívares por jarra y la segunda 50 bolívares.

El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no

sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes

condiciones:

• Que produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la

semana.

• Que le compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la

semana.

Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado

monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región, Utilizando el método SIMPLEX,

determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el vinagre la ama

de casa a otro comerciante de la economía informal, para minimizar sus costos.

PROBLEMA #27 La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el

mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria

de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes:

Mineral de Grado alto

ton/día

Mineral de grado bajo

Ton/día

Costo de operación

miles/día

Mina I 4 4 20

Mina II 6 4 22

Mina III 1 6 18

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65

toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene

contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por

cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX,

determínar el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana,

si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo.

PROBLEMA #28 La empresa Batisa S.A. fabrica camisas para ejes, estando

especializada en dos productos: Camisas con endurecimiento superficial mediante

tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas con recubrimiento cerámico (Camisa tipo

2), productos de alta aceptación en el mercado por su alto rendimiento a la abrasión.

Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada

Inconel, siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de

aleación para las camisas tipo 2.

Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico, las

camisas tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las

camisas tipo 2 se mecanizan en 2 horas.

Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo

departamento (Departamento de Acabado), siendo necesarias 3 y 2 horas

respectivamente.

El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el

aprovisionamiento de 50 kg de material a la semana.

La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92

horas semanales. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60

en el departamento de Acabado. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su

contrato en función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la

empresa

Conociendo que el kg de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1,25 €) y que los precios de venta de las camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide, utilizando el programa SOLVER:

a) Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la compañía.

b) Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal.

c) Justificar adecuadamente el valor del “coste de oportunidad” de las horas de mecanizado.

d) Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción, si el precio de las camisas tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €.

PROBLEMA #29 La empresa Polipen S.A. tiene como objeto la fabricación de material de oficina, destacando su división de útiles de escritura.

Su línea de fabricación contempla tres productos : Lápices, Bolígrafos y Plumas.

El esquema de fabricación se indica a continuación:

La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios

a media jornada, cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. Todo el

personal de este departamento tiene un contrato de trabajo fijo.

Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la

plantilla de forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en

función de la carga de trabajo. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas

de trabajo contratadas por semana.

El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a

18:00 por la tarde.

La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar

cada uno de los productos:

Lápices Bolígrafos Plumas

Ensamblaje 300 240 120

Empaquetado 60 240 180

El precio de venta de los lápices, bolígrafos y plumas es respectivamente de 506

€/unidad, 2010 €/unidad y 1505 €/unidad respectivamente

1.- Plantear y resolver con el Programa SOLVER, el problema de Programación Lineal

que optimice la producción de la compañía

2.- Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de

550 horas a la semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese

caso? ¿Cuál sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar?

3.- ¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos

en fabricar plumas?

4.- Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe

el punto óptimo.

PROBLEMA #30 La Refineria Isla C.A., produce gasolina tipos regular y primera. La refinería fabrica los productos mezclando 3 componentes de petróleo. La empresa utilizando el programa SOLVER, quiere determinar cómo mezclar los 3 componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias. La gasolina regular se vende a $0.50 por el galón y la de primera se vende a $0.54 por el galón. Cinco mil galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0.25 por el galón, 10,000 galones están disponibles de Componente 2 con costo de $0.30 por el galón, y 10,000 galones están disponibles de Componente 3 que cuesta $0.42 por el galón. Los compromisos actuales a distribuidores exigen a la compañía producir 10,000 galones de gasolina regular por lo menos. Además, las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular - a lo sumo 30% de Componente 1, por lo menos 40% de Componente 2, y a lo sumo 20% de Componente 3; la de primera - por lo menos 25% de Componente 1, a lo sumo 40% de Componente 2, y por lo menos 30% de Componente 3.

PROBLEMA #31 Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales.

En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:

CONTENIDO PRODUCTO

DE: 1 2 3

FIBRAS 20% 30% 5%

PROTEÍNAS 60% 50% 38%

MINERALES 9% 8% 8%

PRECIO POR KG. $10 $15 $8

Utilizando el programa SOLVER, determine:

a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ?

b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales

PROBLEMA #32 La empresa MADERAS C,.A. es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y pintura. MADERAS C.A., puede vender todas las unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos indicados, aplicando SOLVER de Excel, determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.

Requerimiento de Horas Hombre por mesa

Modelo Utilidad por mesa Corte Ensamblado Pintura

A $ 17.500 1 2 4

B $ 20.000 2 4 4 B sin pintar $ 10.000 2 4 0 C $ 25.000 3 7 5

Disponibilidad mensual de HH 200 298 148

PROBLEMA #33 Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La producción da cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Aplicando el método SOLVER de Excel, la máxima utilidad que puede obtener la empresa.

Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)

Producto Máquina Demanda

1 2 3 4 Máxima

A 10 5 3 6 100

B 6 3 8 4 400

C 5 4 3 3 500

D 2 4 2 1 150

PROBLEMA #34 DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras

portátiles de su Cliente Corporativo (PDVSA), así como de sus Clientes del Sector

Educativo (USM), para los próximos cuatro trimestres. DELL COMPUTER dispone en

inventario de 5,000 computadoras portátiles. La demanda esperada de computadoras

portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente, 7,000; 15,000; 10,000; y 8,000

respectivamente. DELL COMPUTER tiene la capacidad productiva y los componentes

requeridos para fabricar 10,000 computadoras portátiles en cada trimestre, a un costo

unitario de $2000 por el computadora ensamblada. Usando horas extras de sobretiempo,

DELL COMPUTER , pudiera fabricar adicionalmente hasta 2,500 computadoras portátiles

trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de

computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre ,

manteniendo las mismas en inventario . Cada computadora portátil en inventario genera

un sobre costo de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada.

Aplicando el programa SOLVER, indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la

demanda de sus clientes al mínimo costo.

2 PROBLEMA #35 Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular

su política de préstamos para el próximo mes. Para este fin, se asigna un máximo de $12.000.000. Siendo una institución de servicios integrales, debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no cubiertos estimado por experiencia.

TIPO DE PRÉSTAMO TASA DE INTERÉS PORCENTAJE DE PAGOS NO CUBIERTOS

Personal 14% 10%

Automóvil 13% 7%

Casa 12% 3%

Agrícola 12,5% 5%

Comercial 10% 2%

Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco tiene, así mismo, una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe exceder el 4%. Aplicando el método SOLVER de Excel, determine las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la institución bancaria.

PROBLEMA #36 Un restaurante de autoservicio, está abierto los siete días de la

semana. Basado en la experiencia del pasado, el número de empleados requeridos en un

día particular se da como sigue:

DIA LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM.

No. OBREROS 14 13 15 16 19 18 11

De acuerdo a la norma laboral, cada obrero trabaja cinco días consecutivos, con dos días de descanso, repitiéndose este proceso para todos los obreros.

Aplicando el programa SOLVER indicar como se puede minimizar el número de obreros requeridos por el restaurante?

PROBLEMA #37 Una firma financiera tiene $500,000 disponible para invertir y aplicando

el programa SOLVER, busca determinar cuánto de esa cantidad debe ser invertida en

cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X y bonos Y, en

el lapso de un año. Un máximo de $105,000 puede ser invertido en bonos de tipo X y un

máximo de $100,000 puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe que

existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. Por lo tanto, ha

determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X.

También la cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad

invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al

menos tan grande como la mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos

anuales son:

Bolsa X 20%

Bolsa Y 10% Bonos X 9% Bonos Y 11%

PROBLEMA #38 Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos

que compiten por un presupuesto de inversión fijo de US$1,500,000. En la la tabla anexa,

se muestran la inversión neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. A cada uno

de estos proyectos se le pueden asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o

igual al 100%. La compañía requiere de un rendimiento mínimo del 25% y desea

minimizar el riesgo.

Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites

al 20% y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9) + (0,5)(4) = 3,8. Elabore y resuelva

utilizando el programa WINQSB, un modelo de PL donde las variables de decisión sean

las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo.

Proyectos de inversión

Proyecto Monto de la

inversión (US$) Retorno

estimado

(US$)

Riesgo

Centros Comerciales 550.000 700.000 6

Aceite 400.000 900.000 9

Edificios de Oficinas 450.000 550.000 4

Viviendas para Bajos Ingresos 500.000 600.000 2

PROBLEMA #39 En la empresa PROLINEAL C.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una

producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión.

El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.

En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14.

Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que, aplicando la herramienta WINQSB, dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes.

PROBLEMA #40 La empresa avicola PROTINAL, desea alimentar a sus animales en

forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. PROTINAL está

estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa, cuya información dietética se muestra en

la Tabla anexa, en miligramo por libra de oleaginosa. (por ejemplo, 1 libra de maíz

proporciona 15 miligramos de proteína). Utilizando el programa WINQSB, resuelva el

modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los

requisitos diarios a un costo mínimo.

Nutriente Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades

diarias

Proteína (mg) 15 30 15 7 Mínimo 50 mg

Calcio (mg) 40 10 40 45 Mínimo 150 mg

Grasas (mg) 20 50 8 25 Mínimo 25 mg

Máximo 120 mg

Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo 5000 calorías

Costo por Libra ($) 70 45 40 90

2. PROBLEMA #41 Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido

invertir $1.000.000 en un gran fondo de pensiones. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuales con estrategias

de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente.

FONDOS

1 2 3 4 5 6

Retorno

(%)

30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo

Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

La administración ha especificado las siguientes pautas:

· La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la cartera.

· La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de la cartera.

· La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera.

· La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 debe estar en relación proporcional de 1:2.

· La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2.

Aplicando el método SOLVER de Excel, determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período

PROBLEMA #42 Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y super, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 Bs/litro respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes especificaciones:

Presión de Octanaje Demanda Despachos

Vapor Mínimo Máxima Mínimos

Máxima (Lts/semana) (Lts/semana)

NORMAL 23 88 100.000 50.000

SUPER 23 93 20.000 5.000

Las características del combustible disponible en el almacén son:

Presión de Octanaje Almacén Costo

Vapor Mínimo (litros) (Bs/Lit)

NACIONAL 25 86 40.000 80

IMPORTADA 15 98 60.000 150

Utilizando el Programa WINQSB, determinar:

¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse

para producir las dos gasolinas y obtener los máximos beneficios

semanales?

NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdos a su porcentaje en la mezcla.

PROBLEMA #43 Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los siguientes ingredientes: maíz, piedra caliza, soja y harina de pescado. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteína, calcio y grasa. Los contenidos de los nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla:

Nutriente

Ingrediente Vitamina Proteína Calcio Grasa

Maíz 8 10 6 8

Piedra caliza 6 5 10 6

Soja 10 12 6 6

Harina de

Pescado 4 8 6 9

El industrial es contratado para producir 10,6 y 8 tons métricas de los tres tipos de alimentos. Debido a escasez, una cantidad limitada de los ingredientes está disponoble, concretamente: 6 tons de maíz, 10 tons de piedra caliza, 4 tons de soja y 5 tons de harina de pescado. El precio por kilogramo de estos ingredientes es, respectivamente, $0,20, $0,12, $0,24 y $0,12. Las unidades máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla:

Nutriente

VITAMINA PROTEÍNA CALCIO GRASA

PRODUCTO min max min max min max min max

Al. vaca 6 6 7 4 8

Al. oveja 6 6 6 4 6

Al. pollo 4 6 6 6 4 6

Utilizando el programa SOLVER determinar la composición del alimento que minimice su costo total.

PROBLEMA #44 Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía.

Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo

tipo Precio de

Venta

($/metro)

Demanda

(metros)

Tiempo de

Máquina

(min/metro)

Material

para soldar

(kg/metro)

Costo de

Producción

($/metro)

Costo de

compra a

Japón

($/metro)

A 10 2,000 0.50 1 3 6

B 12 4,000 0.45 1 4 6

C 9 5,000 0.60 1 4 7

A. Formule el modelo de PL

B. Desarrollar el modelo Matemático y resuelvalo por medio del programa WINQSB

PROBLEMA #45 La empresa REPSOL-YPF, obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina, Norte de África, Indonesia y Oriente Medio. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre y fósforo, según se muestra en la tabla adjunta:

Argentina Indonesia África Oriente Aditivo A Aditivo B

AZUFRE (%) 0,07 0,08 0,1 0,06 - -

FÓSFORO (%) - - - - 0,025 0.020

COSTO (US$/galon) 0,55 0,47 0,33 0,45 0,08 0,15

Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de producto final, cada galón de Norte de Africa da lugar a 0.3 galón de producto final, cada galón de Indonesia da lugar a 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a 0.45 galón de producto final. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina:

* Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre.

* Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gr. de fósforo.

* La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla.

1. Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.

2. Utilizando el programa WINQSB, resuelva el modelo planteado por Usted.

PROBLEMA #46 La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE MANTEQUILLA QUESO

DESCREMADA

MAQUINA #1 (min/galón) 0,2 0,5 1,5

MAQUINA #2 (min/galón) 0,3 0,7 1.2

GANANCIA NETA (US$/Galon) 0,22 0,38 0,72

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del Departamento de Administración , utilizando el programa WINQSB, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.

PROBLEMA #47 Considere un presupuesto de publicidad de $30,000 para un nuevo producto ligeramente caro. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión, y por lo menos deben localizarse 50,000 compradores potenciales durante la campaña. También, un máximo de $18,000 pueden gastarse los anuncios en la televisión. ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa, utilizando el programa WINQSB, determinar el plan de medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas?

Tipo de

medio

Familias

Encuestadas

Costo

Por aviso

Maximo

disponible

Expectativa

de compra

TV-de dia

(1 min.)

1,000 $1,500 15 65

TV-tarde.

(30 sec.)

2,000 $3,000 10 90

periodico

semanal

1,500 $400 25 40

periodico

domingo

2,500 $1,000 4 60

Radio

(30 sec.)

300 $100 30 20

PROBLEMA #48 La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina son 7.000 Bolívares y 6.000 bolívares, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo son de 4.500 bolívares y 3.500 bolívares por barril, respectivamente. Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su indice de octano y en su contenido en azufre. La mezcla

del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de crudo son

Crudo LIVIANO: Octano=12 Azufre=0.5%

Crudo PESADO: Octano=6 Azufre=2%

La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400 Bolívares, y larefinería de Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo que cadabolívar invertido en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 pesetas en la gasolina Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema de programación lineal que permita a Sunco maximizar sus ganancias diarias y resolver el mismo aplicando el programa WINQSB.

PROBLEMA #49 Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además, las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes:

1. por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños.

2. por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños.

3. el número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total de entrevistas del día.

4. por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde.

5. por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde.

Los costes de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún niño-día, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿Utilizando el programa WINQSB, determinar cuántas entrevista de cada tipo debe hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado?

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