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060209EFinal_HorasEstudio 1

Carrera: Año en que cursó la materia: Calificación Final:

Examen Final de Probabilidad y Estadística Cantidad de ítems correctos Menos de 5 5 6 7 8 9 10

Calificación NO APROBADO 5 6 7 8 9 10 Consigna general Lea los párrafos siguientes y conteste los ítems propuestos. Al contestar cada uno de ellos, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta de todos, excepto en aquellos que se lo indique expresamente. Tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar el examen se requiere contestar correctamente un mínimo de cinco ítems. Párrafo 1: Introducción

Interesados en el volumen de trabajo de sus estudiantes, el profesor y su equipo, desarrollaron una investigación acerca de las horas de trabajo independiente que implicaba la programación del curso propuesta. A tal fin, recopilaron las horas semanales, extra clase, que un grupo de estudiantes dedicaba a cada una de las cinco asignaturas del semestre, identificadas con los códigos A1; A2; A3; A4 y A5. Horas semanales extra clase dedicadas a la Asignatura A2 – Cuadros 1 y 2

a b c d e (1) A partir de la estadística descriptiva de la asignatura A2 (ver Cuadro 1) y de la distribución de frecuencias (ver Cuadro 2), es posible concluir que:

a) Un cuarto de los alumnos dedicó a la asignatura 9,25 horas por semana. b) La moda no existe. c) La distribución de las horas semanales extra clase de la asignatura A2 es sesgada a la

izquierda. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) Si se construyera un gráfico de caja para la variable en estudio de la asignatura A2:

a) No se observarían datos apartados (o valores extremos). b) Al menos, se observaría un dato apartado, debido a que el o los estudiantes dedicaron

mucho tiempo extra clase a la asignatura. c) Se observarían datos apartados, tanto por dedicar mucho como por dedicar poco tiempo

extra clase a la asignatura en algunas semanas. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) En principio y para la Asignatura A2, el profesor y su equipo:

(Nota: No se trata de probar la normalidad, sino de imaginar el patrón de comportamiento de los datos y compararlo con el de la distribución normal).

a) Deberían suponer que la variable en estudio se distribuye aproximadamente normal. b) Deberían descartar que la variable en estudio se distribuye aproximadamente normal. c) Deberían indicar que la información disponible en los Cuadros 1 y 2 no es suficiente como

para hacer supuestos acerca de la normalidad. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Párrafo 2. Probabilidad – Asignatura A2

a b c d e (4) En base a los resultados obtenidos en la muestra se sabe que, si el estudiante dedica semanalmente por lo menos el tiempo promedio que requiere la asignatura, la probabilidad de promocionarla es 0,800; mientras que si le dedica menos, la probabilidad de promocionarla se reduce a 0,625. También se sabe que el 38,5% de los estudiantes le dedican a la asignatura por lo menos el tiempo promedio.

a) Si se selecciona al azar un alumno cualquiera de la muestra, la probabilidad de que haya promocionado la asignatura no supera el valor 0,7.

b) Si Mauro ha sido seleccionado al azar entre los alumnos de la muestra y se sabe que ha promocionado la asignatura, la probabilidad de que haya dedicado más que el tiempo promedio es un valor comprendido entre 0,44 y 0,45, inclusive.



c) Si se selecciona al azar un alumno de la muestra, la probabilidad de que haya dedicado más del tiempo promedio y que haya promocionado la asignatura, está entre 0,30 y 0,35.

d) Todas las anteriores. e) No sé.

Párrafo 3. Estimando

A partir de la información disponible (120 datos para la asignatura A2 y 89 datos para la asignatura A3), se construyó un intervalo de confianza para la diferencia de las horas de trabajo independiente promedio de ambas asignaturas (A2 – A3). El intervalo calculado, al nivel de confianza del 95%, es el siguiente: [–3,302 ; +0,710]. a b c d e (5) De acuerdo a la información del Párrafo 3, al nivel de confianza del 95%, se debe concluir

que: a) El tiempo de trabajo independiente promedio de la asignatura A2 es mayor que el de la A3. b) El tiempo de trabajo independiente promedio de la asignatura A2 es menor que el de la A3. c) No hay diferencia significativa entre las horas de trabajo independiente medias de ambas

asignaturas. d) Ninguna de las anteriores. La interpretación correcta es la siguiente: .....................................

.................................................................................................................................................. e) No sé.

a b c d e (6) Para construir el intervalo de confianza del Párrafo 3 y teniendo en cuenta la información

de los Cuadros 1 y 2, el profesor y su equipo: a) Debieron utilizar la distribución normal. b) Debieron utilizar la distribución F. c) Debieron utilizar la distribución Ji-cuadrada. d) Ninguna de los anteriores. Debieron utilizar la distribución: .................................................. e) No sé.

a b c d e (7) Si se quiere aumentar la precisión de la estimación obtenida en el Párrafo 3, el profesor y su

equipo: a) Podrían aumentar el tamaño de las muestras. b) Podrían trabajar con un nivel de confianza del 90%. c) Deberían disminuir el error máximo en la estimación de la diferencia de horas de trabajo

independiente medias de ambas asignaturas. d) Cualquiera de las anteriores. e) No sé.

Párrafo 4. Poniendo a prueba

a b c d e (8) Si se desea probar que no hay diferencia entre las horas de trabajo independiente medias de

las asignaturas A2 y A3 mediante una prueba de hipótesis: a) La hipótesis nula apropiada es: H0: µA2 – µA3 = 1 b) Si el valor P = 0,20248, se debe concluir que, al nivel del 5%, hay evidencia suficiente

como para concluir que no hay diferencia significativa entre las horas de trabajo independiente medias de las asignaturas en cuestión.

c) Para comparar la variabilidad entre las horas de trabajo independiente de ambas asignaturas, la estadística de prueba a utilizar seguiría una distribución Ji-cuadrada.


Párrafo 5. Cambiando de tema

Era la hora 19:30 del miércoles y entró uno de los integrantes a la reunión del equipo de trabajo y dijo:

– Disculpen. Estoy preparando el examen para mañana y quiero preguntarles qué les parece este problema para incluirlo en el examen.

Después de leerlo en vos alta, todos asintieron con la cabeza. Es más, una de las personas replicó: – Me parece muy bueno. Para pensar, ¿no?

Veamos qué opinas. El enunciado es el siguiente:



a b c d e (9) El gerente de producción está revisando su política de pedidos del pegamento utilizado en la línea Nº 1. Actualmente ordena 110 unidades por semana, pero se queda sin pegamento una de cada cuatro semanas. Sabe que, en promedio, en la línea se utilizan 95 unidades por semana. También está dispuesto a suponer que la demanda de las unidades del pegamento se distribuye normalmente. En tales condiciones, la desviación estándar de la distribución:

a) Es un valor comprendido entre el primer cuartil y la mediana de la distribución. b) Es un valor mayor que el sexto decil de la distribución. c) Es un valor menor de 10 unidades. d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: ................................. Justificar en el reverso. e) No sé.

a b c d e (10) El gerente desea pedir un número de unidades de pegamento tal que la probabilidad de que

se quede sin pegamento en una semana cualquiera, no exceda el valor 0,2. En tal caso, cada semana se deberá pedir:

a) Menos unidades de las que actualmente está ordenando. b) Deberá entre 120 y 130 unidades. c) Deberá pedir entre 131 y 140 unidades. d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: .................................. Justificar en el reverso. e) No sé.

................................................................................................................................................................................... Anexo Cuadro 1. Estadística descriptiva de las horas de trabajo independiente

Asignatura A2 A3 A4 A5 A1 Todas Cantidad de datos 120 89 95 55 91 450 Promedio 6,03 7,36 2,65 3,90 7,80 5,68 Mediana 4,0 4,5 1,0 0,0 4,5 2,75 Moda 0 0 0 0 0 0 Desviación Estándar 6,34 8,39 4,16 7,76 9,50 7,56 Mínimo 0 0 0 0 0 0 Máximo 34,0 38,5 29,0 44,5 42,3 44,5 Rango 34,0 38,5 29,0 44,5 42,3 44,5 Cuartil Inferior 1,125 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Cuartil Superior 9,25 11,0 4,0 4,0 12,5 8,0 Coef. de Variación 105,16% 114,06% 157,01% 199,11% 121,74% 133,29%

Cuadro 2. Distribución de frecuencias para las horas de trabajo independiente de la asignatura A2 Límites de Clase FRECUENCIAS SIMPLES FRECUENCIAS ACUMULADAS Clase Inferior Superior Marca Absolutas Relativas Absolutas Relativas ---------------------------------------------------------------------------------- 1 0,00 4,74125 2,36563 68 0,5528 68 0,5528 2 4,74125 9,4925 7,11688 25 0,2033 93 0,7561 3 9,4925 14,2438 11,8681 17 0,1382 110 0,8943 4 14,2438 18,995 16,6194 5 0,0407 115 0,9350 5 18,995 23,7462 21,3706 5 0,0407 120 0,9756 6 23,7462 28,4975 26,1219 2 0,0163 122 0,9919 7 28,4975 33,2488 30,8731 0 0,0000 122 0,9919 8 33,2488 38,0 35,6244 1 0,0081 123 1,0000 Cuadro 3. Distribución de frecuencias para las horas de trabajo independiente de la asignatura A3 Límites de Clase FRECUENCIAS SIMPLES FRECUENCIAS ACUMULADAS Clase Inferior Superior Marca Absolutas Relativas Absolutas Relativas ---------------------------------------------------------------------------------- 1 0,00 5,99125 2,99063 46 0,5169 46 0,5169 2 5,99125 11,9925 8,99188 23 0,2584 69 0,7753 3 11,9925 17,9937 14,9931 10 0,1124 79 0,8876 4 17,9937 23,995 20,9944 4 0,0449 83 0,9326 5 23,995 29,9962 26,9956 2 0,0225 85 0,9551 6 29,9962 35,9975 32,9969 3 0,0337 88 0,9888 7 35,9975 41,9988 38,9981 1 0,0112 89 1,0000 8 41,9988 48,0 44,9994 0 0,0000 89 1,0000



Respuestas

1. d) 2. b) 3. b) 4. d) 5. c) 6. a) 7. d) 8. b) 9. d) ≈ 22,388 10. d) 113,806 ≈ 114


060223EFinal_JornadasPasantias 1

Carrera: Año en que cursó la materia: Calificación Final:

Examen Final de Probabilidad y Estadística Cantidad de ítems correctos Menos de 5 5 6 7 8 9 10

Calificación NO APROBADO 5 6 7 8 9 10 Consigna general Lea los párrafos siguientes y conteste los ítems propuestos. Al contestar cada uno de ellos, tenga en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta de todos, excepto en aquellos que se lo indique expresamente. Tampoco se descontarán puntos por ítems mal contestados. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar el examen se requiere contestar correctamente un mínimo de cinco ítems. Introducción

El próximo mes se realizarán las Jornadas de cierre de los programas de pasantías del último año, en los que participaron alumnos de la Universidad. En algunas de estas pasantías, los alumnos tuvieron que tratar con situaciones en las que necesitaron el uso de herramientas de la probabilidad y la estadística. Caso 1: La empresa de transporte urbano de pasajeros

Germán, que realizó sus prácticas en la empresa de transportes ETUP, se enfrentó con la siguiente situación. Su tutor en la empresa, le dio un informe técnico en el que hace seis meses, de una muestra aleatoria de 64 colectivos que prestan servicio en la ciudad, se obtuvo el intervalo [ 3,8011 ; 4,3989 ] como estimación de la verdadera media del número de pasajeros por kilómetro, al nivel de confianza del 95%. La consigna para Germán fue que construyera, con los datos obtenidos en la muestra de 64 colectivos, un nuevo intervalo, tal que, el error máximo de la estimación fuera de 0,2 pasajeros por kilómetro. a b c d e (1) A partir de la información disponible y la consigna recibida, Germán debe concluir que:

a) El intervalo que debe construir es de menor precisión que el construido hace seis meses. b) El error estándar de la media muestral se modificará. c) Es posible construir el nuevo intervalo con la información disponible, disminuyendo el

nivel de confianza. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) Si Germán trabaja con la información del informe técnico extenso de hace seis meses:

a) La desviación estándar para el número de pasajeros por kilómetro es menor que 1,18. b) Se tiene la certeza de que el verdadero valor de la media poblacional para el número de

pasajeros por kilómetro, nunca superará el valor 4,3989. c) La estimación puntual de la verdadera media obtenida es de 4,1 pasajeros por kilómetro. d) Todas de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (3) Para construir el intervalo de confianza del Caso 1, en el informe técnico de hace seis

meses, se aceptaría utilizar: a) La distribución F. b) La distribución normal. c) La distribución Ji-cuadrada. d) Cualquiera de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (4) Germán recibió luego la indicación de construir un nuevo intervalo de confianza, al nivel

del 95%, tal que el error máximo de la estimación no excediera de 0,2. Para obtenerlo, Germán debe informar que:

a) El tamaño de la muestra del Caso 1 es suficiente. b) Se debe incrementar el tamaño en un 20%. c) Basta con duplicar el tamaño de la muestra. d) Ninguna de las anteriores. El tamaño de la muestra debe ser ................... (Justificar en el reverso) e) No sé.



Caso 2: La industria conservera

Alejandra es una alumna que hizo su pasantía en una empresa conservera que tiene sede en Buenos Aires y varias filiales en el país. Cuando Alejandra llegó a la empresa su tutor estaba realizando un estudio para tomar la decisión de producir una nueva marca extracondimentada de salsa de tomates. El departamento de investigación de mercado de la empresa realizó una encuesta telefónica nacional de 6.000 hogares y encontró que la salsa de tomates extracondimentada sería comprada por 330 de ellos. Hace dos años, un estudio mucho más extenso mostraba que el 5% de los hogares en ese entonces habrían comprado el producto. Su tutor le preguntó si opinaba que el interés por comprar la nueva marca había crecido significativamente. Justifique su respuesta. a b c d e (5) A un nivel de significancia del 2%, Alejandra:

a) Debe plantear como hipótesis nula: H0: p = 0,055 b) Debe plantear como hipótesis alternativa: H1: p < 0,055 c) Al nivel de significancia del 2%, debe concluir que actualmente existe un mayor interés en

el sabor de la salsa de tomates extracondimentada. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (6) Continuando con la toma de decisiones del Caso 2:

a) Si el valor P calculado es igual a 0,0384, al nivel del 2%, Alejandra debe indicar que, en base a la evidencia muestral, no hay razones suficientes como para pensar que actualmente existe mayor interés por la salsa de tomares extracondimentada.

b) Con los datos disponibles, no se puede calcular la potencia de la prueba. c) Una vez tomada la decisión de no rechazar la vigencia del estudio extenso de hace dos

años, la probabilidad de cometer un error de tipo I es igual a cero. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) En función de los resultados de la encuesta actual y considerando independencia, en una

muestra aleatoria de 10 hogares, el número de hogares que está dispuesto a comprar la salsa de tomates extracondimentada:

a) Es correcto modelarlo mediante una distribución binomial de parámetros n = 10 ; p = 0,5. b) Se debe modelar utilizando la distribución geométrica de parámetro p = 10. c) La distribución de Poisson de parámetro 10 aportaría un resultado aproximado aceptable. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) En función de los resultados de la encuesta actual y considerando independencia, en una

muestra aleatoria de 10 hogares: a) Es muy probable que más de la mitad compre la salsa de tomates extracondimentada. b) Es tan probable que compren la salsa extracondimentada en dos como en tres de los diez

hogares. c) La variable que Alejandra está estudiando es una variable aleatoria continua que sigue una

distribución exponencial. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Caso 3: La empresa telefónica

Daiana fue seleccionada por la empresa Telefónica del Sur para realizar una pasantía de seis meses. Fue recibida en la empresa por Érica, su tutora. En ese momento el tema candente era la cantidad de teléfonos producidos en la empresa con auriculares defectuosos; Érica la puso al día. En promedio, 110 teléfonos por día son devueltos por este problema, con una desviación estándar de 63. Decidió que a menos que pueda estar 80% segura de que, en promedio, no se devolverán más de 120 teléfonos por día durante los próximos 49 días, ordenaría detener el proceso de producción para su revisión general. Justifique su respuesta. a b c d e (9) En base a la información disponible del Caso 3, Daiana debe concluir que:

a) Se debe detener el proceso de producción. b) No es necesario detener el proceso de producción. c) Debe ampliar la muestra para poder tomar la decisión. d) La muestra que dispone no le sirve para tomar decisiones. e) No sé.



a b c d e (10) Por las afirmaciones que enunció, Daiana sospechó que su tutora la estaba poniendo a prueba o que no tenía las cosas muy claras. Teniendo en cuenta la información del Caso 3, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones debe indicar Daiana como correctas?

a) No se puede tomar la decisión, a menos que se conozca la distribución de la población en estudio.

b) Para tomar la decisión se deben realizar cálculos que involucran a la distribución ji-cuadrada.

c) Realizados los cálculos, la probabilidad de que el promedio del número diario de teléfonos producidos con defecto de auriculares, en los próximos 49 días, no supere los 120 es un valor comprendido entre 0,86 y 0,88.

d) Son correctas todas las opciones anteriores. e) No sé.

Espacio disponible para justificaciones. ...................................................................................................................

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Respuestas

1. c) 2. c) 3. b) 4. d) 5. d) 6. d) 7. d) 8. d) 9. b) 10. c) P(X < 1,11) = 0,8665

Apellido y Nombre: Legajo:

1

Carrera: Año en que cursó la materia: DNI: Calificación Final:

Probabilidad y Estadística – Examen Final Cantidad de ítems correctos Menos de 5 5 6 7 8 9 10

Calificación NO APROBADO 5 6 7 8 9 10 Consigna general

Lea los párrafos siguientes y conteste los ítems propuestos. Al contestar cada uno de ellos, tenga en cuenta que sólo una de las cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta marcándola con una X. No es necesario justificar la respuesta de todos los ítems, sólo debe justificar aquellos en los que se lo indique expresamente. Tampoco se descontarán puntos por respuestas incorrectas. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación que usted proponga. Para aprobar el examen se requiere contestar correctamente un mínimo de cinco ítems. ¡Atención! Si el Tribunal Examinador lo considera necesario, podrá solicitar un coloquio posterior al examen escrito. El caso work in process

En muchos procesos de manufactura existe un término llamado trabajo en proceso (abreviado WIP, del inglés work in process). En una casa editorial, esto representa el tiempo que lleva doblar las hojas que salen de la prensa, juntarlas, coserlas, poner las guardas y encuadernarlas. Los datos siguientes corresponden a una muestra de 20 libros recopilados en dos plantas de producción (A y B), y se refieren al tiempo de procesamiento de este trabajo (definido como el tiempo transcurrido, en días, desde el momento que salen los libros de la prensa hasta que se empacan en cajas). En el Anexo se presentan las estadísticas de ambas plantas de producción.

1. Teniendo en cuenta sólo la información del Anexo para la Planta A, se debe concluir que el tiempo de procesamiento en la Planta A:

a) No presenta datos apartados. b) Se distribuye de un modo aproximado a la distribución normal. c) El percentil 97 no podría resultar mayor que 22 días. d) Todas las anteriores.

2. Teniendo en cuenta sólo la información del Anexo para la Planta A, se debe concluir que el tiempo de procesamiento en la Planta A:

a) En 16 libros se tardó más de 8 días, pero no se demoró más de 12 días. b) En 2 libros fue necesario un tiempo de procesamiento mayor de 16 días. c) El 10% de los expedientes fue aprobado en 16 días o menos. d) Todas las anteriores.

3. Suponga que la distribución normal interpreta bien a los tiempos de procesamiento de la Planta B, o lo que es lo mismo, debe usted aceptar que los tiempos de procesamiento de la Planta B están distribuidos normalmente. En estas condiciones se debería cumplir que:

a) Aproximadamente, 14 de los 20 libros deberían haber demorado entre 7,9 y 17,3 días. b) Aproximadamente, 19 de los 20 libros deberían haber demorado entre 3,2 y 22,1 días. c) Prácticamente todos los libros deberían haberse procesado en menos de 27 días. d) Todas las anteriores.

4. Suponga que NO dispone de la información de los Cuadros del Anexo, pero sabe que los tiempos de procesamiento de la Planta B están distribuidos normalmente, con media igual a 12,61 días y desviación estándar igual a 4,72 días. En tales condiciones se puede verificar mediante cálculos que: (Se ha redondeado al tercer decimal)

a) Aproximadamente, el 97,9% de los libros se procesaran en más de 3 días. b) Aproximadamente, el 70,9% de los libros se procesaran en entre 8 y 18 días. c) Aproximadamente, el 3% de los libros que se procesan más rápidamente, son terminados en 3,73 días

o menos. d) Todas las anteriores.


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5. Suponga que se selecciona al azar una muestra de 16 libros de los libros de la Planta B, con tiempos de procesamiento distribuidos normalmente con media igual a 12,61 días y desviación estándar igual a 4,72 días. La probabilidad de que el tiempo promedio de procesamiento de la muestra no sobrepase los 12 días es: JUSTIFICAR RESPUESTA en el reverso adjuntando cálculos realizados.

a) Menor de 0,05. b) Un valor entre 0,10 y 0,20 c) Un valor entre 0,201 y 0,35 d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es: .............................

6. Si la probabilidad de que un libro sea procesado en tres días o menos es igual a 0,02, la probabilidad de que en una muestra de 12 libros seleccionados al azar, se encuentre que por lo menos uno de ellos sea procesado en tres días o menos: (Se ha redondeado al tercer decimal) JUSTIFICAR RESPUESTA en el reverso adjuntando cálculos realizados.

a) Está entre 0,10 y 0,15 b) Está entre 0,15 y 0,20 c) Es igual a 0,2153 d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es: .............................

7. Si la probabilidad de que un libro sea procesado en tres días o menos es igual a 0,02, la probabilidad de que en los próximos tres libros que se procesen recién el tercero sea terminado en tres días o menos: (Se ha redondeado al cuarto decimal)

a) 0,0192 b) 0,0200 c) 0,0600 d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es: .............................

8. Si la probabilidad de que un libro sea procesado en tres días o menos es igual a 0,02, la probabilidad de que en una muestra de 160 libros seleccionados al azar, se encuentre que menos de 4 de ellos sean procesados en tres días o menos: JUSTIFICAR RESPUESTA en el reverso adjuntando cálculos realizados (Se ha redondeado al tercer decimal)

a) Es igual a 0,223 b) Es igual a 0,397 c) Es igual a 0,603 d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es: .....................

9. Si se sabe que históricamente el tiempo de procesamiento promedio es de 15 días, en base a la evidencia de la muestra de los 20 libros de la Planta B, aceptando que el tiempo de procesamiento está distribuido normalmente y que la desviación estándar de la población coincide con la muestral y es de 4,72 días, al nivel de significancia del 5%: JUSTIFICAR RESPUESTA en el reverso adjuntando cálculos realizados

a) No debe rechazarse la hipótesis que sostiene que el tiempo de procesamiento promedio es de 15 días. b) El valor P que corresponde a la evidencia muestral es un valor comprendido entre 0,01 y 0,02. c) La hipótesis alternativa de la prueba es: H1: μ < 12,61 días. d) Ninguna de las anteriores. La respuesta correcta es: .....................

10. Si se sabe que históricamente el tiempo de procesamiento promedio es de 15 días, en base a la evidencia de la muestra de los 20 libros de la Planta B, aceptando que el tiempo de procesamiento está distribuido normalmente y que la desviación estándar de la población coincide con la muestral y es de 4,72 días, al nivel de significancia del 1%: JUSTIFICAR RESPUESTA en el reverso adjuntando cálculos realizados

a) No debe rechazarse la hipótesis nula. b) Suponga que se cree que el tiempo de procesamiento promedio es de 15 días, pero en realidad el

verdadero tiempo de procesamiento promedio histórico es de 14 días; en tal caso la potencia de la prueba es mayor que 0,08.

c) La probabilidad de cometer un error de tipo II, es mayor de 0,90. d) Todas las anteriores.

................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................


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Anexo: Estadísticas Cuadro 1: Estadísticas descriptivas para el tiempo transcurrido, en días, desde el momento que salen los libros de la prensa hasta que se empacan en cajas.

Planta A Planta B Observaciones Cantidad 20 20 Promedio 8,585 12,61 Mediana 7,15 12,85 Varianza 21,1013 22,2946 Desviación Estándar 4,59362 4,72172 Mínimo 4,4 2,3 Máximo 21,6 22,0 Rango 17,2 19,7 Cuartil Inferior 5,35 9,85 Cuartil Superior 10,4 16,0 Coeficiente de Variación 53,5075% 37,4442% Percentil 01 4,4 2,3 Percentil 05 4,45 4,05 Percentil 10 4,75 5,9 Percentil 90 15,4 18,15 Percentil 95 19,5 20,25 Percentil 99 21,6 22,0

Cuadro 2: Distribución de frecuencias de la Planta A, correspondiente al tiempo transcurrido, en días, desde el momento que salen los libros de la prensa hasta que se empacan en cajas.

Límites de Clase FRECUENCIAS SIMPLES FRECUENCIAS ACUMULADAS Clase Inferior Superior Marca Absolutas Relativas Absolutas Relativas ---------------------------------------------------------------------------------- 1 ( 0,0 4,0] 2,0 0 0,0000 0 0,0000 2 ( 4,0 8,0] 6,0 13 0,6500 13 0,6500 3 ( 8,0 12,0] 10,0 3 0,1500 16 0,8000 4 (12,0 16,0] 14,0 2 0,1000 18 0,9000 5 (16,0 20,0] 18,0 1 0,0500 19 0,9500 6 (20,0 24,0] 22,0 1 0,0500 20 1,0000 Cuadro 3: Distribución de frecuencias de la Planta B, correspondiente al tiempo transcurrido, en días, desde el momento que salen los libros de la prensa hasta que se empacan en cajas.

Límites de Clase FRECUENCIAS SIMPLES FRECUENCIAS ACUMULADAS Clase Inferior Superior Marca Absolutas Relativas Absolutas Relativas ---------------------------------------------------------------------------------- 1 ( 0,0 4,0] 2,0 1 0,0500 1 0,0500 2 ( 4,0 8,0] 6,0 2 0,1000 3 0,1500 3 ( 8,0 12,0] 10,0 5 0,2500 8 0,4000 4 (12,0 16,0] 14,0 7 0,3500 15 0,7500 5 (16,0 20,0] 18,0 4 0,2000 19 0,9500 6 (20,0 24,0] 22,0 1 0,0500 20 1,0000


4

Respuestas: 1. c) 2. b) 3. d) 4. d) 5. c) 6. c) ( 1 – 0,7847 = 0,2153) 7. a) (0,0192) 8. c) P(X < 4) = 0,602519724 9. b) valor P = P( media muestral < 12,61 días) = P(Z < (12,61 – 15) / 4,72 * 1,055) = P( Z < –2,27) = 0,0116 Para α = 5% => Rechazar H0: μ = 15 días.

10. d) Para α = 1%, el valor crítico es igual a: 04,722,33 15 2,33 12,54 dias

20X

cxn

σμ= − = − =

β = P(media muestral > valor crítico, para μ = 14 días) = P(Z > –1,38) = 1 – 0,0838 = 0,9162 Potencia = 1 – β = 0,0838

Cátedra: Probabilidad y Estadística http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica

Examen FinalEl caso de las baterías de los instrumentos de medición.

061207EFinal 1

Apellido y Nombres:

Carrera: Año en que cursó la asignatura:

DNI: Legajo: CALIFICACIÓN:

# ítems correctos Menos de 5 5 6 7 8 9 10 Calificación No Aprobado 5 6 7 8 9 10

Consignas Al contestar cada uno de los siguientes ítems, debe tener en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones de cada

uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. Sólo debe justificar aquellos ítems en que se lo indique explícitamente. No se descontarán puntos por respuestas incorrectas. En el caso de no solicitárselo explícitamente, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación propuesta. Para aprobar, es necesario contestar correctamente por lo menos 5 ítems.

El puntaje obtenido es un indicador a tener en cuenta para la aprobación del examen. Si el tribunal examinador lo considera necesario, podrá interrogar al alumno para su eventual aprobación final.

Apartado 1.

Alejandro Marquesini está realizando mediciones en el campo para determinar la traza de un oleoducto y se ha encontrado con problemas en las baterías que alimentan los instrumentos de medición. Según el fabricante, los tiempos de vida de las baterías están distribuidos normalmente, con media 50 horas y desviación estándar de 5 horas.

a b c d e (1) Suponga que Alejandro selecciona al azar una batería y resulta que tiene una duración de 55 horas. Si lo afirmado por el fabricante es cierto:

a) La duración de la batería seleccionada debe clasificarse como un dato no apartado.

b) La probabilidad de seleccionar una batería con una duración de al menos 55 horas, es 0,1587.

c) La duración de la batería seleccionada es menor que el percentil noventa de la producción de baterías del fabricante.


a b c d e (2) Si lo afirmado por el fabricante es cierto, se debe cumplir que el cuartil inferior de

la duración de las baterías es: a) 46,65 horas. b) 53,35 horas. c) 75,00 horas d) Ninguna de las anteriores. El valor del cuartil inferior es:......................................... e) No sé.

a b c d e (3) Si lo afirmado por fabricante es cierto y el rango intercuartil es igual a 6,7 horas, la

probabilidad de seleccionar una batería de la producción del fabricante que tenga una duración que sea clasificada como dato apartado, estadísticamente hablando:

a) Es menor de 0,0001. b) Es igual a 0,0444. c) Es mayor de 0,4000. d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es: ......................................................... e) No sé.

a b c d e (4) Alejandro ha seleccionado una muestra aleatoria de diez baterías de la producción

del fabricante y si encuentra alguna que tenga una duración menor de 39,4 horas, decidirá cambiar de proveedor. En tales condiciones, la probabilidad de que Alejandro continúe con el proveedor actual es:

a) 0,0170 b) 0,1576 c) 0,8424 d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es: ......................................................... e) No sé.



061207EFinal 2

Apartado 2.

a b c d e (5) Suponga que Alejandro selecciona una muestra de 25 baterías de la producción de baterías del fabricante del Apartado 1. Si lo afirmado por el fabricante es cierto, la probabilidad de que la duración media de la muestra de 25 baterías esté por debajo de las 47,88 horas:

a) Es igual a 0,9830. b) Es igual a 0,9660. c) Es igual a 0,0170. d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es:.......................................................... e) No sé.

a b c d e (6) Si a partir de la muestra de las 25 baterías Alejandro desea estimar mediante un

intervalo de confianza: a) la verdadera varianza de la producción de baterías, debe utilizar la distribución F. b) la verdadera proporción de baterías con duración por debajo de las 47,88 horas,

debe utilizar la distribución t de Student. c) la verdadera media de la producción de baterías, si utiliza la desviación estándar

encontrada en la muestra, debe utilizar la distribución normal estándar. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Suponga que Alejandro construyó un intervalo de confianza para la verdadera

desviación estándar de la duración de las baterías del fabricante, al nivel de confianza del 90% y obtuvo el siguiente resultado: [ 4,1 horas ; 4,8 horas ]. Al nivel de confianza dado y teniendo en cuenta el intervalo encontrado, Alejandro debe concluir que la verdadera desviación estándar de la producción de baterías:

a) Es igual a cinco horas. b) Es menor de cinco horas. c) Es mayor de cinco horas. d) Ninguna de las anteriores. Alejandro debe concluir que: .......................................... e) No sé.

a b c d e (8) Suponga que en la muestra de las 25 baterías que probó Alejandro encontró una

que tiene una duración por debajo de las 47,88 horas. Para estimar la verdadera proporción de baterías que tienen una duración inferior a 47,88 horas en la producción del fabricante, al nivel de confianza del 97% y con un error de estimación que no supere el 5%, Alejandro debe seleccionar una muestra de tamaño:

a) 73 b) 124 c) 176 d) Ninguna de las anteriores. Alejandro debe tomar una muestra de tamaño: ............... e) No sé.

Apartado 3.

Recuerde que el fabricante afirma que la duración media de las baterías es de 50 horas. En una muestra de 25 baterías del fabricante en cuestión, Alejandro obtuvo una media de 48,6 horas, con una desviación estándar de 5,1 horas.

a b c d e (9) Teniendo en cuenta que la duración de las baterías está distribuida normalmente y usando sólo los datos de la muestra, al probar la duración media de las baterías:

¡Atención! No debe usar la desviación estándar dada por el fabricante.

a) Al nivel del 10%, Alejandro rechazará lo que afirma el fabricante. b) Al nivel del 5%, Alejandro aceptará lo que afirma el fabricante. c) No podría haber calculado el valor P, antes de extraer la muestra. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Tomada la decisión que corresponde al nivel de significancia del 1%:

a) La probabilidad de cometer un error de tipo II es mayor que cero. b) La probabilidad de cometer un error de tipo I es nula. c) La potencia de la prueba resultará menor que uno. d) Todas las anteriores. e) No sé.



061207EFinal 3

Respuestas

1D – 2A – 3D (0,00736) – 4C – 5C – 6D – 7B – 8A – 9D – 10D

Cátedra: Probabilidad y Estadística http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica Examen Final

El caso de las entrevistas laborales

1

Apellido y Nombres: Año que cursó la materia:

Carrera: Comisión:

Legajo: Fecha:

DNI: CALIFICACIÓN:


Consignas

Al contestar cada uno de los ítems, debe tener en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. Sólo debe justificar la respuesta de aquellos ítems en que se lo indique explícitamente. No se descontarán puntos por respuestas incorrectas. Si lo desea, puede justificar la respuesta de todos los ítems que quiera en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación propuesta. Para aprobar la evaluación es necesario tener por lo menos 5 respuestas correctas. ¡Atención! Si lo considera necesario, el tribunal examinador podrá interrogar al alumno para su eventual aprobación posterior. Apartado 1. Presentación del sistema de datos

Andrea es psicóloga y trabaja como Analista de Recursos Humanos de una importante empresa manufacturera radicada en nuestro país, que comercializa sus productos a nivel mundial. Desde hace algunos años, la principal actividad de Andrea tiene que ver con la selección del personal de la empresa. La mayoría de los profesionales requeridos por la empresa son ingenieros. La información que se analizará a continuación corresponde al resultado de más de ciento treinta entrevistas realizadas para cubrir distintos puestos en la empresa. Los datos son reales; sólo se ha simulado el valor numérico del coeficiente intelectual (CI) de los postulantes, cuidando la correspondencia entre la valoración cualitativa de la capacidad intelectual de los mismos y el CI. Los temas relevados en las entrevistas proporcionadas por Andrea tienen que ver con la puntualidad, el aspecto personal, la actitud inicial, la producción verbal, el desarrollo de la entrevista, los estudios del aspirante, el manejo de idiomas, la experiencia laboral, la motivación para el puesto, la capacidad intelectual y de razonamiento, y la adaptabilidad para otros puestos. En función de los resultados obtenidos, los evaluadores elevan un informe recomendando o no al postulante en función de la aptitud para el puesto requerido: apto, no apto, apto con reservas, (puede incluir algunos comentarios adicionales). Apartado 2. Capacidad intelectual vs. Aptitud para el puesto

Cuadro 1. Relación entre la capacidad intelectual del entrevistado y la aptitud para el puesto.

Capacidad intelectual

Apto para el puesto con

reservas Apto para el

puesto No apto para

el puesto Totales Alta 5 4 16 25 Baja 0 6 0 6 Media 14 19 11 44 No se pudo juzgar 4 10 6 20 Totales 23 39 33 95

El Cuadro 1 muestra la cantidad de personas que corresponden a cada categoría. ¡Atención! Tenga en cuenta que las probabilidades de las opciones siguientes se han redondeado al cuarto decimal.

a b c d e (1) Complete el Cuadro 1. Luego, suponga que se selecciona al azar una de las

personas del mismo. a) La probabilidad de que tenga una capacidad intelectual alta y no resulte apta para

el puesto, es 0,1684. b) Si no se puede juzgar la capacidad intelectual de la persona seleccionada, la

probabilidad de que no resulte apta para el puesto es 0,3000. c) La probabilidad de que tenga una capacidad intelectual media o resulte apta para el

puesto, es 0,6737. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 3. Puntualidad vs. Aptitud para el puesto

A partir de las estadísticas proporcionadas por la empresa, no se debe concluir que el postulante que llega tarde a la entrevista pactada, nunca será seleccionado. Pero vale la pena tener en cuenta la influencia de la puntualidad a la hora de ser seleccionado para el puesto al que aspiran los profesionales. En la ficha que llena el evaluador aparecen las opciones para evaluar la puntualidad del siguiente modo: llega antes – llega puntualmente – llega tarde.



2

Al analizar los resultados de las entrevistas de Andrea, es posible observar que el 7,88% de las personas llegan antes de hora; el 80,31% llegan puntualmente y el 11,81% llega tarde. Se sabe también que el 59,06% de los entrevistados han recibido un informe de aptitud para el puesto favorable. Cuando se considera sólo el grupo de los que recibieron un informe favorable, el 4% llegó antes de hora, mientras que el 9,33% llegó tarde.

¡Atención! Las probabilidades de las opciones siguientes se han redondeado al cuarto decimal. a b c d e (2) Teniendo en cuenta la información del Apartado 3, se debe concluir que:

a) Si el postulante llega antes de la hora indicada, la probabilidad de recibir un informe de aptitud favorable es 0,3000.

b) Si el postulante llega tarde, la probabilidad de recibir un informe de aptitud favorable es 0,4667.

c) La probabilidad de que reciba un informe favorable, si llega tarde, es mayor que la probabilidad de recibir un informe favorable, si llega antes de hora.


Apartado 4. Motivación para el puesto

Otro de los aspectos evaluados por Andrea en sus entrevistas tiene que ver con la motivación del candidato para trabajar en el puesto al que se postula. Las opciones de motivación de la ficha son: económica – profesional – personal – no puede juzgarse. Tenga presente que un candidato puede tener más de una de estas razones para estar motivado. De acuerdo a la experiencia de Andrea, la motivación principal del 45,9% de los candidatos tiene que ver con el desarrollo profesional.

¡Atención! Las probabilidades de las opciones siguientes se han redondeado al cuarto decimal.

a b c d e (3) Si se selecciona una muestra aleatoria de 5 postulantes del registro histórico de entrevistas de la empresa (imagine que son muchísimas pero no se sabe cuántas), con el perfil descrito en el Apartado 4:

a) La probabilidad de que la motivación principal de más de uno de los entrevistados de la muestra sea el desarrollo profesional, es 0,7561.

b) La probabilidad de que se encuentre el primero cuya motivación principal sea el desarrollo profesional antes del cuarto seleccionado, es 0,1343.

c) La probabilidad de encontrar más de la mitad de los postulantes de la muestra motivados profesionalmente para desempeñarse en el puesto es 0,4235.


Apartado 5. Coeficiente intelectual

El cociente intelectual, abreviado CI (en inglés IQ), es un número que resulta de la realización de un test estandarizado para medir las habilidades cognitivas de una persona, inteligencia, en relación con el grupo de los de su edad. Los tests se diseñan de tal forma que la distribución de los resultados sea aproximadamente normal, con media 100 y desviación estándar 15. Según algunos autores, al cociente intelectual se le llama coeficiente intelectual cuando se lo multiplica por la media: (Edad Mental / Edad Corpórea) x 100 = Coeficiente Intelectual. Según algunos autores, un 2% de la población son superdotados. Téngase en cuenta que una persona es superdotada cuando su capacidad intelectual es superior a la media; son personas con una excelente motivación personal y compromiso con la tarea y tienen una elevada creatividad.

a b c d e (4) Si la capacidad intelectual se mide en nuestro caso a través del CI y éste se distribuye normalmente con media 100 y desviación estándar 15, de acuerdo al Apartado 5, para que las personas sean clasificadas como superdotadas:

a) Deben tener un CI mayor de 130 puntos. b) Les debe corresponder una puntuación Z mayor de 2,05. c) Deben tener un CI superior al percentil 98. d) Todas las anteriores. e) No sé.

¡Atención! Las probabilidades de las opciones siguientes se han redondeado al cuarto decimal.

a b c d e (5) Teniendo en cuenta las consideraciones del Apartado 5, la probabilidad encontrar más de una persona superdotada en una muestra aleatoria de veinte es:



3

a) 0,9401 b) 0,2725 c) 0,0599 d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es: ………… e) No sé.

a b c d e (6) Suponga que en un grupo de 24 personas hay dos superdotadas y se seleccionan al

azar cinco de ellas para formar un equipo de trabajo. La probabilidad de que: a) En el equipo no haya personas superdotadas es 0,6196. b) En el equipo haya más de una persona superdotada es 0,0362. c) En el equipo haya sólo una persona superdotada es 0,3442. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Si el CI se distribuye normalmente, con media 100 y desviación estándar 15,

estadísticamente hablando, el CI de las personas será clasificado como dato apartado cuando:

a) Se encuentre por debajo de 89,883 o por encima de 110,117. b) Se encuentre por debajo de 85,000 o por encima de 115,000. c) Se encuentre por debajo de 59,532 o por encima de 140,468. d) Ninguna de las anteriores. Cuando se encuentre por debajo del valor ………… o

por encima del valor ………… e) No sé.

Apartado 6. Capacidad intelectual de los postulantes

Cuando Andrea evalúa la capacidad intelectual de los postulantes, las categorías que utiliza para clasificarlos son: alta; media; baja y no se pudo juzgar. A partir de la información de Andrea y a los fines de esta evaluación, hemos simulado el coeficiente intelectual de los postulantes. Es decir, se supondrá que la variable en estudio, definida como el CI de los postulantes a los puestos de trabajo de la empresa, está distribuido normalmente con parámetros: media igual a 105 y desviación estándar igual a 9. En una muestra de 27 postulantes que fueron recomendados favorablemente para el puesto de trabajo por lograr un buen desempeño en la evaluación, se observó que la media del CI de los postulantes recomendados es 109,6.

a b c d e (8) El resultado obtenido en la muestra de los 27 recomendados: a) Induce a pensar que la media del CI de los recomendados es significativamente

mayor que la media de los postulantes (todos, incluidos recomendados y no recomendados).

b) Para probar la sospecha de la opción anterior, se debe proponer una prueba unilateral, con la región crítica en el extremo izquierdo.

c) Las hipótesis que deben proponerse son: H0: μ = 105 y H1: μ < 105 d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (9) En base a la información del Apartado 6:

a) Al nivel de significancia del 4% debe rechazarse la hipótesis nula. b) El valor P que le corresponde a la estadística de la muestra es menor de 0,002. c) La probabilidad de cometer un error de tipo II es igual a 0,96. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Si se trabaja al nivel de significancia del 2% y el valor P resulta igual a 0,004:

a) Se debe tomar la decisión de no rechazar la hipótesis que sostiene que el CI medio vale 105.

b) Debe interpretarse que 4 de cada mil postulantes son muy inteligentes. c) Si se toma la decisión de rechazar la hipótesis nula, la probabilidad de cometer un

error de tipo II es nula. d) Todas las anteriores. e) No sé.

................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................



4

Respuestas

1D – 2D – 3D – 4D – 5C – 6_ – 7C – 8A – 9A – 10C Solución (abreviada)

ITEM 1: a) P25 = 27 días > Media = 31,34 días b) El valor 26,4351% es el coeficiente de variación. c) Cuartel Superior = 37 días. Interpretación: 25% de los expedientes tardó 37 o más días en lograr su aprobación ITEM 2: a) REF2 = Q1 – 1,5 RI = 27 – 1,5 x 10 = 27 – 1,5x 10 = 12 días REF2 = Q3 + 1,5 RI = 37 – 1,5 x 10 = 37 – 1,5x 10 = 52 días Mínimo = 8 días Máximo = 50 días Mínimo < REF2 � Hay datos apartados. b) Q1 = 27 días < Media = 31,34 días < Q3 = 37 días � La media queda dentro de la caja. c) Extensión derecha = Máximo – Q3 = 50 días – 37 días = 13 días ITEM 3: Interpretación de la tabla de frecuencias ITEM 4: Media 32 días. Desviación estándar = 9 días Media ± Desviación estándar: 23 días ; 40 días 34/50 = 0,68 Media ± 2 Desviación estándar: 15 días ; 48 días 48/50 = 0,96 Media ± 3 Desviación estándar: 6 días ; 56 días Todos = 1,00 b) El valor 26,4351% es el coeficiente de variación. c) Cuartel Superior = 37 días. Se debe interpretar que el 25% de los expedientes tardó 37 o más días en lograr su aprobación y firma. ITEM 7: X: cantidad de expedientes que se resuelven en más de 46 días, en la muestra de los 20 seleccionados. X ∼ binomial (x ; n = 20 ; p = 0,06) P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,2901= 0,7099 ITEM 8: X: cantidad de expedientes seleccionados hasta encontrar el primero que se resuelve en más de 46 días. X ∼ geométrica (x ; p = 0,06) En el primer intento: P(X = 1) = 0,06 En el segundo intento: P(X = 2) = 0,94 x 0,06 = 0,0564 En el tercer intento: P(X = 3) = 0,94 x 0,94 x 0,06 = 0,053016 Antes del cuarto intento: F(3) = P(X ≤ 3) = 0,06 + 0,0564 + 0,053016 = 0,1694 ITEM 9 – 10: X: tiempo que tardan los expedientes desde la fecha de inicio hasta su aprobación y firma. H0: μ = 36 días H1: μ < 36 días α = 0,04 Valor crítico de la puntuación Z � zc = – 1,75 Valor crítico de la media muestral = 36 – 1,75 x 8,28 / raíz (50) = 33,95 días Media muestral = 31,34 días < Valor crítico = 33,95 días � Rechazar H0 Valor P = P( media muestral < 31,34 días) = P( Z < –3,98) =0,000034 Para μ 1= 35 días ; α = 0,04 ; valor crítico = 33,95 días β = P( media muestral > 33,95 días, cuando μ 1= 35 días) = P( Z > –0,90) = 0,81594 Potencia = 1 – β = 1 – 0,81594 = 0,18406 < 0,20


Examen FinalCaso: Operaciones en pozos de petróleo

1

Apellido y Nombres:

Carrera: Comisión:

Legajo: Fecha:

DNI: CALIFICACIÓN:

# ítems correctos Menos de 4 4 5 6 7 8 9 10 Calificación No Aprobado 4 5 6 7 8 9 10

Consignas

Excepto el último, al contestar cada uno de los ítems, debe tener en cuenta que sólo una de las primeras cuatro opciones es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. No es necesario justificar la respuesta, tampoco se descontarán puntos por respuestas incorrectas. Si lo desea, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación propuesta. Para aprobar la evaluación es necesario tener por lo menos 6 respuestas correctas.

Apartado 1: Presentación del sistema de datos

Los ingenieros Leandro Salomone y Gerardo Tennerini trabajan para la empresa de servicios petroleros DEPRI S.A. Actualmente están ocupados en el estudio de una serie de variables relacionadas con las operaciones de los servicios que presta la empresa en pozos de petróleo. Los datos que estudian corresponden a las operaciones que se realizan una vez terminada la perforación del pozo; los mismos han sido recopilados siguiendo un meticuloso procedimiento de medición y registro de cada una de las operaciones. Los tipos de operaciones estudiadas son: cementación, prueba de admisión, fractura, bombeo y ácido, mientras que las variables relacionadas con dichas operaciones son: pozo en el que se realiza la operación, tipo de operación, distancia desde la base al pozo, cantidad de equipos movilizados para realizar la operación, total de kilómetros recorridos para realizar la operación, cantidad de personas por equipo, total de personas movilizadas para realizar la operación, cliente para el que presta el servicio, supervisor a cargo, tiempo de traslado, tiempo de armado de líneas, tiempo de espera, duración de la operación, época del año (estación) y momento del día (mañana, tarde o noche) en que se realiza la operación. El sistema de datos (reales) que analizarán corresponde a 102 operaciones realizadas para uno de los clientes (una de las empresas que fueron privatizadas en nuestro país), durante los meses de mayo, junio y julio. Leandro se ocupa de estudiar las variables relacionadas con los tiempos y Gerardo las que tienen que ver con el personal y los equipos. Apartado 2: Tiempo de traslado de base a pozo, en horas: TTH

Los 102 tiempos de traslado de base a pozo que Leandro corrió en el software, son los indicados en el diagrama de tallos y hojas del Cuadro 1: Unidad empleada = 0,1. Entiéndase que 1|2 representa 1,2 horas. El Gráfico 1 corresponde a la función de densidad ajustada al histograma de frecuencias.

Cuadro 1. Diagrama de tallos y hojas Gráfico 1. Histograma de frecuencias y ajuste de la función de densidad 4 0|5577

20 1|000000000022223440 1|55555555555555555677

(18) 2|00000000000000222344 2|555740 3|000000000000000000001218 3|5555513 4|0011 4|559 5|00005 6|003 7|000

Histogram for TTH

TTH

freq

uenc

y

0 1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

Cuadro 2: Estadísticas del tiempo de traslado de base a pozo, en horas. Mínimo = 0,5 Moda = 3 Cuartil inferior = 1,5 Máximo = 7 Varianza = 1,99689 Cuartil superior = 3

Media = 2,47225 Desv. estándar = 1,41311 Percentil 10 = 1 Mediana = 2 Coef. variación = 57,1589% Percentil 90 = 5



2

a b c d e (1) A partir de las estadísticas gráficas y numéricas del Apartado 2, Leandro debe concluir que:

a) No hay datos apartados en los tiempos de traslado de base a pozo. b) El percentil 60 es mayor de 3 horas. c) La mitad de los tiempos de traslado observados son iguales a 2 horas. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (2) Si los tiempos de traslado de base a pozo estuvieran distribuidos normalmente con

media 2,47225 horas y desviación estándar 1,41311 horas: a) En el intervalo [µ ; µ + σ ] deberían encontrarse, aproximadamente, 35 de las 102

observaciones. b) Aproximadamente, el 10% de los tiempos sobrepasaría las 4,28 horas. c) El percentil 67 sería aproximadamente igual a 3,09 horas. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 3: Tiempo de espera, en horas: TEH

La variable que Leandro estudia ahora es el tiempo de espera del equipo de trabajo, en horas. A la derecha se muestra el gráfico de caja, el histograma de las 102 operaciones en estudio y las estadísticas obtenidas son: Cantidad = 102 Media = 3,87441 h Mediana = 2 h Desviación estándar = 4,71129 h Cuartil inferior = 0,5 h

Box-and-Whisker Plot

TEH0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Cuartil superior = 5,5 h Mínimo = 0 h Máximo = 31,2 h Por los resultados obtenidos, Leandro piensa que los tiempos de espera podrían modelarse con la distribución exponencial. Suponga que Leandro hizo las verificaciones necesarias, encontró que es correcto suponer que la distribución exponencial interpreta bien los tiempos de espera y que por una cuestión de comodidad, adopta para la media un valor igual a 4 horas.

Histogram for TEH

TEH

perc

enta

ge

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 400

10

20

30

40

50

60

¡Atención! Las probabilidades del ítem 3 se han redondeado al tercer decimal.

a b c d e (3) Si los tiempos de espera del equipo, en horas, siguen una distribución exponencial con media igual a 4 horas:

a) El tercer cuartil de los tiempos de espera es mayor de cinco horas. b) La probabilidad de que un equipo deba esperar más de 12 horas, es 0,050. c) La probabilidad de que un equipo tenga que esperar entre 4 y 8 horas, es menor de

0,250. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (4) Si la probabilidad de que un equipo seleccionado al azar tenga que esperar más de

20,5 horas es igual a 0,006, la probabilidad de que en los próximos 150 equipos que salgan al pozo se encuentre que más de uno tenga que esperar más de 20,5 h:

a) Está entre 0,22 y 0,23. b) Es igual a 0,3659. c) Está entre 0,40 y 0,41. d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad solicitada es:.......................................... e) No sé.



3

Recordando que aún estamos en el Apartado 3 y que se debe tener en cuenta que Leandro hizo las verificaciones necesarias para suponer que la distribución exponencial interpreta bien los tiempos de espera, en horas, y que por una cuestión de comodidad, adoptó para la media un valor igual a 4 horas. Sigamos trabajando.

a b c d e (5) Leandro ha seleccionado aleatoriamente diez de las operaciones para un análisis particular. La probabilidad de que en dos de las diez operaciones seleccionadas el tiempo de espera del equipo haya superado las 9 horas 15 minutos:

a) Está entre 0,735 y 0,740. b) Está entre 0,190 y 0,195. c) Está entre 0,070 y 0,075. d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad solicitada es:.......................................... e) No sé.

a b c d e (6) Para la variable que se estudia en el ítem anterior:

a) El planteo para calcular el valor esperado debe ser: E(X) = E[( X – µ)²] b) La varianza de la variable en estudio viene dada por el valor esperado del cuadrado

de las desviaciones respecto de la media. c) La media es igual a 0,10. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) Si Leandro va seleccionando al azar operaciones en pozos de a una por vez y se

pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre una cuyo tiempo de espera haya superado las 9 horas 15 minutos, antes de la quinta operación seleccionada?, debería llegar a la conclusión que la probabilidad que busca es un valor:

a) Menor de 0,3. b) Entre 0,30 y 0,35. c) Entre 0,36 y 0,40. d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad solicitada es:.......................................... e) No sé.

Apartado 4: Distancia en km desde la base al pozo en el que se realiza la operación: DIST

Gerardo sabe que en los estudios económicos realizados para los trabajos que realiza la empresa, se adoptó una distancia media de base a pozo igual a 98 kilómetros. Ahora se propone poner a prueba, con los datos de la muestra de 102 pozos, si la distancia media adoptada en el estudio económico es correcta o no.

Si los datos de la muestra de 102 pozos que analiza Gerardo arrojaron una media de 101,029 kilómetros, con una desviación estándar de 62,3839 kilómetros, Gerardo se pregunta si estos resultados sugieren que la distancia media de base a pozo es significativamente mayor que la adoptada en los estudios económicos.

¡Atención! Debe justificar en el reverso de la hoja las respuestas de los ítems 8 y 9.

a b c d e (8) Para responder su pregunta, al nivel de significancia del 5%, Gerardo debe

proponer las siguientes hipótesis: a) H0: µ = 98 km ; H1: µ < 98 km b) H0: µ > 98 km ; H1: µ = 98 km c) H0: µ = 101,029 km ; H1: µ > 98 km d) Ninguna de las anteriores. El planteo correcto es: ..................................................... e) No sé.

a b c d e (9) Con los datos de la muestra y al nivel de significancia dado, Gerardo debe concluir

que: a) Hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, a favor de la alternativa. b) En base a la evidencia muestral y al nivel de significancia del 5%, la distancia

media de base a pozo, no es significativamente mayor de 98 kilómetros. c) El valor P que le corresponde a la estadística de prueba, es menor de 0,05. d) Ninguna de las anteriores. Gerardo debe concluir que: ............................................. e) No sé.



4

Apartado 6: Auditoria de las operaciones de cementación

Mañana se realizará una auditoria de las operaciones de cementación y Gerardo está preocupado. Sabe que sobre un total de 26 operaciones de este tipo, hay 9 que no cumplen un requisito de calidad importante. El procedimiento de la auditoria establece que se deben seleccionar aleatoriamente cuatro operaciones de cementación y si todas las seleccionadas cumplen ese requisito de calidad importante, el equipo de trabajo recibirá un premio estímulo en pesos; si encuentra una operación que no cumple, el equipo recibirá un llamado de atención y si encuentra más de una que no cumple, el equipo de trabajo será suspendido.

¡Atención! Las probabilidades del ítem 11 se han redondeado al cuarto decimal.

a b c d e (10) En las condiciones del Apartado 6, la probabilidad de que el equipo de trabajo: a) Reciba un premio estímulo es igual a 0,1592. b) Reciba un llamado de atención es igual a 0,4094. c) Sea suspendido, es igual a 0,4314. d) Todas las anteriores. e) No sé.

¡Atención! Si no le alcanza el espacio rayado a continuación, use el reverso de la hoja. No entregue hojas sueltas. ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... 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5

Respuestas

ítem TEMA 1 1 D 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 B 8 D 9 B

10 D


Examen FinalAlumno:

070705EFinal 1

Apellido y Nombres: Año en que cursó la asignatura:

Carrera: Calificación 1º Parte (C):

DNI: Calificación 2º Parte (P):

Legajo: CALIFICACIÓN: (Cx0,4 + Px0,6) = Es condición para aprobar el Examen Final lograr un mínimo de cuatro puntos en cada una de las partes del examen

El puntaje obtenido es un indicador a tener en cuenta para la aprobación del examen. Si el tribunal examinador loconsidera necesario, podrá interrogar al alumno para su aprobación final.

Primera Parte

Responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda

¡IMPORTANTE! Para responder la Primera Parte NO se permite el uso de tablas ni de fórmulas 1. ____ Si a la calificación lograda por Diego en un examen de Estadística le corresponde un valor z = +2 y

a la calificación lograda por Paulina en un examen de Análisis Matemático le corresponde un valor z = + 1,2, debe concluirse que la calificación de Diego es mayor que la de Paulina.

2. ____ Dado el conjunto de datos {2, 1, 3, 4} se cumple que la media es igual a la mediana y la moda es igual a cero.

3. ____ Si todos los alumnos de una comisión obtienen una calificación alta (mayor de siete en la escala del cero al diez) en una evaluación de Estadística, la desviación estándar será menor de cinco.

4. ____ Sea A el evento “el candidato A gana las elecciones el próximo domingo” y sea B el evento “la temperatura mínima del próximo domingo queda por encima de los –4 ºC”. Si P(A) = 0,48 y P(B) = 0,52, debe concluirse que los eventos A y B son complementarios.

5. ____ Si la probabilidad de ocurrencia de un evento A no modifica la probabilidad de ocurrencia de otro evento B, se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

6. ____ Dados dos eventos A y B mutuamente excluyentes e independientes con P(A) = 0,60 y P(B/A) = 0,30, se cumplirá que P(A∩B) = 0,90.

7. ____ Si X es una variable aleatoria continua definida en el intervalo [100 kg ; 200 kg] y F(x) es la función de distribución acumulada, siempre se cumple que: F(150) = 0,50.

8. ____ El teorema de Chebyshev se aplicable sólo para el caso de variables aleatorias continuas. 9. ____ Cuando el parámetro de la distribución exponencial aumenta, la distribución tiende a ser cada vez

más simétrica. 10. ____ Una de las propiedades del proceso de Poisson es que la probabilidad de que ocurra un solo

resultado durante un intervalo, es independiente de la longitud del intervalo. 11. ____ El parámetro de la distribución geométrica es el número de veces que repito el experimento hasta

lograr el primer éxito. 12. ____ Si X ∼ exponencial (x; β), se cumple que P(X ≤ Mediana) = 0,5. 13. ____ Si un conjunto de datos representado en un gráfico de caja y extensión presenta sólo un dato

apartado, el mismo puede o no coincidir con el máximo o con el mínimo observado. 14. ____ Si X es una variable aleatoria de una población que sigue una distribución exponencial, se cumple

siempre que la media de muestras aleatorias de tamaño n seleccionadas de dicha población, se distribuye normalmente.

15. ____ Para aumentar la precisión de la estimación de la media de una población mediante un intervalo de confianza, es suficiente aumentar el nivel de confianza de la estimación.

16. ____ Cuando se desconoce la varianza de una población normal y se desea efectuar una estimación por intervalos de la media poblacional a partir de una muestra pequeña de tamaño n, se debe utilizar la distribución t, con n – 1 grados de libertad.

17. ____ Cuando el tamaño de las muestras seleccionadas de dos poblaciones es pequeño, la construcción de un intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones de tales poblaciones, requiere la utilización de la distribución t.

18. ____ Cuando el ingeniero utiliza un nivel de significancia igual a 0,03 para sus experimentos en inferencia estadística, significa que el 3% de las veces rechazará la hipótesis nula.

Rtas: 1F / 2F / 3V / 4F / 5F / 6F / 7F / 8F / 9F / 10F / 11F / 12V / 13F / 14F / 15F / 16V / 17F / 18F Consignas

En la lista de arriba hay 18 afirmaciones que usted debe aceptar o rechazar colocando (V) o (F), respectivamente, a la derecha de la numeración correspondiente. La afirmación debe aceptarse o rechazarse en su totalidad. Para aprobar la evaluación debe responder correctamente por lo menos 12 afirmaciones. No es obligatorio justificar la respuesta; si tiene dudas de interpretación puede justificar su respuesta y se tomará como válida la justificación. La calificación de se obtendrá de acuerdo al siguiente cuadro:

Situación: No Aprobada Aprobada

Respuestas correctas: 0–6 7–10 11 12 13 14 15 16 17 18

Calificación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Examen FinalAlumno:

070705EFinal 2

Segunda Parte: Resolución de problemas

Consignas

Al contestar cada uno de los apartados siguientes debe tener en cuenta que en la asignación del puntaje para determinar la calificación se tendrá en la siguiente consigna general, según corresponda en cada caso:

� Definir la variable o eventos que se estudia � Identificar la distribución de la variable en estudio y sus parámetros � Justificar el uso de una aproximación mediante otra distribución � Plantear la solución del problema utilizando la notación correcta � Realizar los cálculos necesarios para arribar al resultado numérico buscado � Interpretar el resultado numérico obtenido para expresar la respuesta que responda la consigna

particular del problema

El puntaje obtenido es un indicador a tener en cuenta para la aprobación del examen. Si el tribunal examinador lo considera necesario, podrá interrogar al alumno para su aprobación final.

Puntaje entre: 0 20 40 55 61 68 75 82 89 96 19 39 54 60 67 74 81 88 95 100

Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No aprobada Aprobada

1. 20p

Paulina, una prestigiosa investigadora del medio, ha publicado que en una muestra de 64 microperforadoras, al perforar una aleación de acero con bajo contenido de carbono, el tiempo de vida promedio (expresado como el número de perforaciones realizadas antes de que falle) es de 12,6 perforaciones, con una desviación estándar de 6,0 perforaciones. Paulina ha publicado un intervalo de confianza para la media del tiempo de vida de las microperforadoras de la muestra de (11,366; 13,834), pero ha omitido el nivel de confianza que le corresponde. ¿Cuál es el nivel de confianza que le corresponde al intervalo de confianza publicado por Paulina? 2. 20p

Diego es un empresario que utiliza en sus trabajos las microperforadoras del tipo de las que investigó Paulina. Para comprarlas, Diego establece en las especificaciones que dichas microperforadoras deben tener una vida mínima de diez huecos perforados antes de fallar. Paulina, en la muestra anterior, encontró que el 94% de las microperforadoras cumple la especificación de Diego. Si se quiere estimar la verdadera proporción de microperforadoras que cumplen la especificación, al nivel de confianza del 95%, ¿es suficiente el tamaño de muestra utilizado por Paulina en la investigación mencionada en el apartado 1)? Al responder, justifique qué tamaño debería tener la muestra, si se desea que el error de estimación no supere el 5%. 3. 20p

Las microperforadoras que utiliza Diego le llegan en lotes de 20. El procedimiento del control de calidad en la empresa de Diego establece que se debe seleccionar de manera aleatoria a cinco de las herramientas y probarlas hasta que fallen. Si se encuentra alguna herramienta defectuosa en la muestra, se devuelve el lote y el proveedor debe pagar una multa. Suponga que uno de los lotes que recibe Diego tiene 3 microperforadoras que no cumplen la especificación: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado en tales condiciones? b) Teniendo en cuenta el valor calculado, ¿le parece a usted un buen control de aceptación? Justifique por qué. 4. 20p

¿Qué tan probable es que al realizar el procedimiento de control de calidad en las mismas condiciones del apartado 3), se encuentre que la primera herramienta que falle, lo haga antes de la tercera microperforadora que se pruebe? 5. 20p

Si Paulina selecciona de manera aleatoria 20 microperforadoras de la producción histórica investigada y es aceptable suponer que el 95% de la producción cumple la especificación de Diego (dichas microperforadoras deben tener una vida mínima de diez huecos perforados antes de fallar), ¿cuál es la probabilidad de encontrar en la muestra seleccionada menos de cuatro microperforadoras que no cumplen la especificación de Diego? ...................................................................................................................................................................................


Examen FinalCaso: Calificaciones II

071206EFinal 1

Apellido y Nombres:





uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. Cuando se lo indique explícitamente, es obligación justificar la respuesta para que se tome como válida su respuesta. Si no se lo indica explícitamente, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación propuesta. No se descontarán puntos por respuestas incorrectas. Para aprobar, es necesario contestar correctamente por lo menos 5 ítems.


Apartado 1.

Durante el ciclo 2007, el 18,18% de los alumnos que tomaron el curso de Estadística son de Ingeniería Civil, el 58,64% de Industrial y el 23,18% de Petróleos. De los alumnos de Ingeniería Civil, el 12,5% promocionó la asignatura, mientras que dicho porcentaje para los alumnos de Industrial y Petróleos es 19,38% y 11,76%, respectivamente.

Nota: Las probabilidades se han redondeado al cuarto decimal a b c d e (1) Suponga que se selecciona al azar un alumno del ciclo 2007, la probabilidad de

que sea alumno de Ingeniería Civil y haya promocionado la asignatura es: a) 0,1389 b) 0,0227 c) 0,1250 d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es: ......................................................... e) No sé.

¡Atención! Debe justificar la respuesta del ítem 2 Nota: Las probabilidades se han redondeado al cuarto decimal

a b c d e (2) Suponga que se selecciona al azar un alumno del ciclo 2007 y resulta que ha promocionado la asignatura:

a) La probabilidad de que sea un alumno de la carrera de Petróleos es 0,1666. b) La probabilidad de que sea un alumno de la carrera de Industrial es 0,6946. c) La probabilidad de que sea un alumno de la carrera de Civil es 0,1389. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 2.

a b c d e (3) Suponga que la probabilidad de que un alumno promocione el curso de Estadística es 0,1636 y se selecciona al azar una muestra de diez alumnos. En tales condiciones y suponiendo independencia:

Nota: Las probabilidades se han redondeado al cuarto decimal a) La probabilidad de que al menos uno de los alumnos seleccionados haya

promocionado la asignatura es 0,8325. b) La probabilidad de que el tercero seleccionado sea el primero que resulte

promocionado es 0,1144. c) La probabilidad de no encontrar promocionados en la muestra seleccionada es

0,1675. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 3.

Las investigaciones realizadas revelan que, en promedio, los alumnos necesitan 80 minutos para resolver un examen tipo de Estadística. También, se sabe que los tiempos tienen un fuerte sesgo positivo y que la distribución exponencial interpreta bien la distribución de probabilidad de dichos tiempos.



071206EFinal 2

a b c d e (4) En las condiciones descritas en el Apartado 3, se debe concluir que:

a) El percentil noventa del tiempo que necesitan los alumnos para resolver un examen tipo de Estadística es igual a 184,2 minutos.

b) La varianza del tiempo que necesitan los alumnos para resolver un examen tipo de Estadística es igual a 6400 minutos².

c) El tercer cuartil del tiempo que necesitan los alumnos para resolver un examen tipo de Estadística es mayor que el sexto decil.


¡Atención! Debe justificar la respuesta del ítem 5 a b c d e (5) Si 225 alumnos rinden un examen tipo de Estadística en las condiciones descritas

en el Apartado 3, la probabilidad de que más de 30 alumnos tarden más de 184,2 minutos en resolver el examen es:

a) Menor de 0,01 b) Igual a 0,10 c) Mayor de 0,96246 d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es: ......................................................... e) No sé.

Apartado 4.

a b c d e (6) Suponga que las calificaciones históricas de los alumnos en un examen tipo de Estadística tienen una media de 4,9 puntos y una desviación estándar de 2,2 puntos. Si 64 alumnos rinden un examen tipo de Estadística, la probabilidad de que el promedio de las calificaciones de dichos alumnos resulte mayor de 5,5 es:

Nota: Las probabilidades se han redondeado al cuarto decimal a) 0,3936 b) 0,0146 c) 0,9854 d) Ninguna de las anteriores. La probabilidad es:.......................................................... e) No sé.

Apartado 5.

a b c d e (7) Suponga que el análisis estadístico arrojó un intervalo de confianza del 95% para el cociente de las varianzas poblacionales de las calificaciones de desempeño de los alumnos de las carreras (Industrial / Petróleos) con el siguiente resultado: [0,679253 ; 1,7387]. Al nivel de confianza del 95% y de acuerdo al resultado obtenido, se debe concluir que:

a) No hay diferencia significativa entre las varianzas poblacionales. b) La varianza poblacional de los alumnos de Industrial es significativamente mayor

que la de los alumnos de Petróleo. c) La varianza poblacional de los alumnos de Industrial es significativamente menor

que la de los alumnos de Petróleo. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) Para construir el intervalo de confianza del cociente de varianzas del ítem anterior,

se debe tener en cuenta que: a) Se utiliza la distribución ji-cuadrada. b) Las muestras de alumnos de cada carrera deben tener el mismo tamaño. c) Las muestras deben provenir de poblaciones normales. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 6.

a b c d e (9) Se sabe que las calificaciones históricas de los alumnos en un examen tipo de Estadística tienen una media de 4,9 puntos. El Profesor ha cambiado las estrategias de enseñanza y desea probar que el cambio introducido mejora el promedio de calificaciones. A tal fin seleccionó una muestra representativa de 49 alumnos, fueron evaluados con el mismo examen y observó un promedio de 5,3 puntos, con una desviación estándar de 2,1 puntos. En base a la evidencia muestral y al nivel de significancia del 4%:



071206EFinal 3

¡Atención! Utilice sólo la información del Apartado 6 para responder los ítems 9 y 10.

¡Atención! Debe justificar la respuesta del ítem 9

a) El Profesor debe concluir que con el cambio introducido en las estrategias de enseñanza ha logrado un aumento significativo del promedio de calificaciones.

b) El valor P que corresponde al procedimiento de prueba es 0,09. c) La Potencia de la prueba es igual a 0,09. d) Todas las anteriores. e) No sé.

¡Atención! Debe justificar la respuesta del ítem 10 a b c d e (10) Suponga que el verdadero valor del promedio de calificaciones ha cambiado, es

decir, aunque el Profesor no lo haya advertido, ya no es más 4,9 puntos sino que ha aumentado al valor 5,8 puntos. En tal condición y teniendo en cuenta la información del ítem anterior, se debe concluir que:

a) La potencia de la prueba es mayor de 0,86. b) Para controlar las probabilidades de cometer errores en α = 0,04 y β = 0,06, el

Profesor debería evaluar a un grupo de por lo menos 60 alumnos. c) El valor P es el mismo del ítem anterior. d) Todas las anteriores. e) No sé.

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071206EFinal 4

Respuestas

1B – 2D – 3D – 4D – 5D (0,03754) – 6B – 7A – 8C – 9B – 10D


Examen FinalCaso: Tránsito: velocidad de punto

1

Apellido y Nombres:





uno de ellos es la correcta. Seleccione la opción correcta encerrando en un círculo la letra que la identifica. Cuando se lo indique explícitamente, es obligación justificar la respuesta para que se tome como válida su respuesta. Si no se lo indica explícitamente, puede justificar su respuesta en el REVERSO de la hoja, en cuyo caso se tomará como válida la justificación propuesta. No se descontarán puntos por respuestas incorrectas. Para aprobar, es necesario contestar correctamente por lo menos 5 ítems.


Introducción

Pablo, un ingeniero que trabaja en problemas relacionados con el tránsito, sabe que uno de los indicadores que más se utiliza para medir la eficiencia de un sistema vial es la velocidad de los vehículos. La mayor parte de los estudios de velocidad se refieren a la velocidad de los vehículos en determinado punto de una carretera o de una calle. Los estudios de velocidad de punto están diseñados para medir las características de la velocidad en un lugar específico, bajo condiciones prevalecientes del tránsito y del estado del tiempo en el momento de llevar a cabo el estudio. Permiten, también, obtener la distribución de velocidades por grupos de usuarios.

La estadística descriptiva y la inferencia estadística deben ser utilizadas en el análisis de los datos de velocidad de punto, debido a la incertidumbre que existe en la caracterización de la población a partir de variables basadas en una muestra y debido a que no todos los vehículos en el flujo del tránsito viajan a la misma velocidad, sino que por el contrario siguen una distribución de velocidades dentro de un amplio intervalo de comparación.

En un determinado estudio de la velocidad de punto se registraron las velocidades de 200 vehículos seleccionados al azar, redondeadas al kilómetro por hora más próximo. La Tabla 1 muestra la distribución de frecuencias para la velocidad de punto registrada en dicho estudio.

Tabla 1. Distribución de frecuencias para la velocidad de punto registrada en el estudio F R E C U E N C I A S

Clase Límites de clase Marca de S I M P L E S A C U M U L A D A S Linf LSup Clase Absoluta Relativa Absoluta Relativa fi fri Fi Fri

1 ( 32,5 37,5 ] 35 1 0,0050 1 0,0050 2 ( 37,5 42,5 ] 40 5 0,0250 6 0,0300 3 ( 42,5 47,5 ] 45 14 0,0700 20 0,1000 4 ( 47,5 52,5 ] 50 35 0,1750 55 0,2750 5 ( 52,5 57,5 ] 55 46 0,2300 101 0,5050 6 ( 57,5 62,5 ] 60 47 0,2350 148 0,7400 7 ( 62,5 67,5 ] 65 27 0,1350 175 0,8750 8 ( 67,5 72,5 ] 70 18 0,0900 193 0,9650 9 ( 72,5 77,5 ] 75 5 0,0250 198 0,9900

10 ( 77,5 82,5 ] 80 2 0,0100 200 1,0000

Utilice la información de la Tabla 1 y los ejes trazados a la izquierda para representar el histograma de frecuencias simples absolutas y superponga el polígono de frecuencias. Identifique lo que representará en cada eje. Lo solicitado aquí se tendrá en cuenta para la calificación del ítem (1). Observe la representación gráfica y piense cómo describiría el patrón de comportamiento de los datos registrados de la velocidad de puntoteniendo en cuenta, por ejemplo, la simetría o sesgo de la distribución y la presencia de una o más clases modales.

Por ahora, no necesita responder nada acerca de la observación realizada, sólo téngalo en cuenta más adelante.



2

a b c d e (1) Interpretando la distribución de frecuencias, Tabla 1, Pablo debe concluir que: a) La velocidad de punto de 14 vehículos fue de 45 km/h. b) El 23% de los vehículos registró una velocidad de punto que no superó los 57,5

km/h. c) El 12,5% de los vehículos registró una velocidad de punto mayor de 67,5 km/h. d) Todas las anteriores. e) No sé.

Apartado 1.

Tabla 2. Estadísticas descriptivas para la velocidad de punto registrada en el estudio

Mínimo = 35 km/h Máximo = 80 km/h P90 = 68 km/h Rango = 45 km/h

Media = 57,34 km/h Mediana = 56 km/h Moda = 58 km/h Varianza = 65,4617 (km/h)²

Desviación estándar = 8,09084 km/h Coeficiente de variación = 14,1103% Cuartil inferior = 52 km/h Cuartil superior = 63 km/h

a b c d e (2) Del análisis de las estadísticas de la Tabla 2, Pablo debe concluir que: a) El valor Z de la velocidad de punto correspondiente al percentil noventa es igual a

+0,90. b) Sólo una de las velocidades de punto registradas es un dato apartado. c) El séptimo decil de la velocidad de punto es mayor de 63 km/h. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

Apartado 2.

¡Atención! Debe justificar la respuesta los ítems del Apartado 2: ítems 3-4-5 a b c d e (3) Después de algunos análisis, Pablo concluyó que es aceptable modelar la

velocidad de punto registrada mediante la distribución normal, con media 57,5 km/h y desviación estándar igual a 8 km/h. Para el modelo teórico adoptado:

a) El percentil 98,5 de la velocidad de punto es igual a 74,86 km/h. b) La probabilidad de encontrar valores de la velocidad de punto que resulten datos

apartados es menor de 0,008. c) La probabilidad de encontrar valores de la velocidad de punto en el rango

intercuartil es igual a 0,5. d) Todas las anteriores. e) No sé.

a b c d e (4) Los estudios muestran que en el lugar donde se midieron las velocidades de punto

el 40% de los conductores son mujeres. En el mismo lugar, el 31,4% de los conductores son mujeres y conducen a una velocidad comprendida entre 49,5 y 65,5 km/h, mientras que el 36,9 % son hombres y conducen a una velocidad comprendida entre 49,5 y 65,5 km/h. Si se selecciona al azar uno de los vehículos que circula por el lugar:

a) la probabilidad de que circule a una velocidad comprendida entre 49,5 y 65,5 km/h es igual a 0,683.

b) y circula a una velocidad comprendida entre 49,5 y 65,5 km/h, la probabilidad de que lo conduzca un hombre es 0,5403.

c) y lo conduce una mujer, la probabilidad de que circule a una velocidad comprendida entre 49,5 y 65,5 km/h es igual a 0,785.


a b c d e (5) Si Pablo continúa trabajando con el modelo teórico adoptado, esto es, suponiendo

que la velocidad de punto se distribuye normalmente con media 57,5 km/h y desviación estándar igual a 8 km/h:

a) La probabilidad de que el promedio de la velocidad de 16 vehículos seleccionados al azar exceda los 61 km/h es 0,0401.

b) La probabilidad de que más de uno, de 16 vehículos seleccionados al azar, circulen a una velocidad que supere los 66,86 km/h es mayor de 0,58.

c) La probabilidad de seleccionar al azar un vehículo y el mismo circule a más de 66,86 km/h es 0,121.




3

Apartado 3.

¡Atención! Debe justificar la respuesta del siguiente ítem (el número 6) a b c d e (6) Pablo sabe que la velocidad de diseño de la vía de comunicación que estudia es de

50 km/h. Ahora quiere estimar, al nivel de confianza del 95%, el verdadero porcentaje de vehículos que circulan en dicho punto a más de 50 km/h. El último estudio que se realizó en el lugar revela que el 42% de los vehículos circulan a más de 50 km/h. Para realizar la estimación, con un error máximo del 6%:

a) Si le da credibilidad al último estudio que se realizó en el lugar, debería medir la velocidad de por lo menos 60 vehículos.

b) Si NO le da credibilidad al último estudio que se realizó en el lugar y no usa dicha información, debería medir la velocidad de por lo menos 267 vehículos.

c) Con tomar una muestra de más de 30 vehículos es suficiente, independientemente de utilizar o no la información del último estudio en el lugar.

d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (7) A partir de las 200 mediciones que realizó, Pablo construyó un intervalo de

confianza del 95% para estimar la verdadera media de la velocidad de punto en el lugar que estudia. El resultado fue: (56,2; 58,5), en km/h.

a) Se debe interpretar que el 95% de las mediciones que realizó Pablo son confiables. b) Si no utilizó la distribución t, el intervalo construido por Pablo no sirve. c) Se tiene una confianza del 95% de que el error máximo de la estimación es 2,3

km/h. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (8) Si Pablo quiere probar la hipótesis de que la media de la velocidad de punto es

mayor de 50 km/h: a) La hipótesis nula que debe plantear es: H0: µ ≥ 50 km/h. b) Si el valor P que corresponde a la evidencia muestral es igual a 0,005, debe

interpretar que, en promedio, cinco de cada mil veces que acepte la hipótesis nula, estará decidiendo incorrectamente.

c) Si el valor P que corresponde a la evidencia muestral es igual a 0,005, al nivel de significancia del 0,01, debe rechazar la hipótesis nula.


a b c d e (9) Pablo quiere saber cuál es la probabilidad de que la varianza de la velocidad de

punto se encuentre comprendida en el intervalo: (μ ± 2σ). Para ello debe aplicar: a) El Teorema de Chebyshev. b) El Teorema Central del Límite. c) El Teorema de Bayes. d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

a b c d e (10) Pablo no ha estudiado la distribución de probabilidad de la velocidad de punto (X)

en el lugar donde se realizaron las mediciones de la Tabla 1. Sin embargo: a) Si tuviera que proponer un modelo teórico para la distribución de probabilidad de

X, pensaría que la distribución uniforme es la que mejor la interpreta. b) Si bien no conoce la distribución de probabilidad de X, para construir un intervalo

de confianza para la varianza de la población, utilizaría la distribución F. c) A pesar de no conocer la distribución de X, la distribución de la media muestral

seguiría una distribución normal, con la misma media y la misma desviación estándar de la variable X.

d) Ninguna de las anteriores. e) No sé.

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4

Respuestas

1C – 2D – 3D – 4D – 5D – 6B – 7D – 8C – 9D – 10D


Examen FinalSituaciones Cotidianas II

1

Apellido y Nombres: Fecha:

Carrera: Calificación 1ª Parte:

Legajo: Calificación 2ª Parte:

DNI: Calificación Definitiva:

Primera Parte

Responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda

¡IMPORTANTE! Para responder la Primera Parte NO se permite consultar tablas ni fórmulas. 1. ____ El tercer cuartil de una variable aleatoria normal estándar es mayor que el percentil setenta. 2. ____ La mediana de una variable aleatoria normal estándar es igual a 0,5. 3. ____ Si una variable aleatoria continua X sigue una distribución uniforme en el intervalo [10; 50] la

probabilidad de que se presenten datos apartados es nula. 4. ____ Para aplicar el teorema de Chebychev es condición necesaria que la variable en estudio esté

distribuida normalmente. 5. ____ Dadas dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, X con media igual a 10 y

desviación estándar igual a 4, e Y con media igual a 20 y desviación estándar igual a 2, se cumple que la variable W = X – Y, se distribuye normalmente con media –10 y desviación estándar 2.

6. ____ Si X ~ binomial (x; n = 4, p = 0,05), la P(X ≤ 1) se la puede obtener, de un modo aproximado, como la P(Z ≤ 2,982).

7. ____ La probabilidad de que una variable aleatoria X que sigue una distribución gamma, de parámetros α=2 y β=4, tome valores menores que el primer cuartil, es igual a la probabilidad de que tome valores mayores que el tercer cuartil.

8. ____ La distribución normal posee la propiedad reproductiva, por lo tanto, la suma de varias variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable ji-cuadrada.

9. ____ El parámetro de la distribución de geométrica puede asumir valores entre cero y +∞. 10. ____ El ingeniero a cargo del control de calidad utiliza el criterio de seleccionar una muestra de 3 piezas

de cada lote de 20 para someterlas a un ensayo que es destructivo. Si no hay piezas defectuosas en la muestra aprueba el envío; caso contrario lo devuelve. El número de piezas defectuosas en la muestra sigue una distribución binomial.

11. ____ Si se realiza un experimento que da lugar a una variable aleatoria binomial de parámetros: n = 8 y p = 0,05, es más probable no obtener éxitos que obtener todos éxitos.

12. ____ En un experimento hipergeométrico, se selecciona con reemplazo, una muestra aleatoria de tamaño n de un lote de N artículos, donde k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y (N – k) se pueden clasificar como fracasos.

13. ____ En la distribución geométrica, la variable aleatoria es el número de éxitos en n veces que se repite el experimento estadístico.

14. ____ La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando alguna alternativa específica es verdadera.

15. ____ Al probar la media de una población con σ conocida y un tamaño de muestra dado, al pasar de un nivel de significancia de 0,01 a 0,05 aumentamos valor p y disminuimos el riesgo de cometer un error de tipo II.

16. ____ Si consideramos a la media muestral y la mediana muestral como estimadores de la media poblacional, μ, es posible demostrar que la mediana muestral es un estimador más eficiente que la media muestral.

17. ____ Para obtener una estimación por intervalos de confianza de la diferencia entre dos proporciones poblacionales, cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se debe utilizar la distribución t de Student.

18. ____ Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 4/5y P(A’) = 1/5 entonces los eventos A y B son independientes.

Consignas

En la lista de arriba hay 18 afirmaciones que usted debe aceptar o rechazar colocando (V) o (F), respectivamente, a la derecha de la numeración correspondiente. La afirmación debe aceptarse o rechazarse en su totalidad. Para aprobar la evaluación debe responder correctamente por lo menos 12 afirmaciones. No es obligatorio justificar la respuesta; si tiene dudas de interpretación puede justificar su respuesta y se tomará como válida la justificación. La calificación de se obtendrá de acuerdo al siguiente cuadro:

Situación: No Aprobada Aprobada Respuestas correctas: 0–6 7–10 11 12 13 14 15 16 17 18

Calificación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Respuestas correctas (cantidad): Calificación (ver cuadro superior):



2

Segunda Parte

¡No olvide!

Definir eventos/variables, según corresponda. Plantear la solución del problema utilizando el lenguaje simbólico apropiado. Realizar los cálculos necesarios para arribar a la solución del problema. Interpretar la solución encontrada para responder la consigna en el contexto del problema.

Escala de calificación Puntos entre 0 20 40 55 61 68 75 82 89 96 19 39 54 60 67 74 81 88 95 100 Calificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No aprobada Aprobada

1. 20p

DETECTORES S.A. es una empresa que fabrica sistemas de alarmas de humo. Federico González es uno de los proveedores de aquella empresa y siempre se ha ufanado de la confiabilidad de sus unidades de procesamiento central del Sistema FG. De hecho, la experiencia pasada ha mostrado que el tiempo improductivo mensual de las CPU del Sistema FG promedia 41 minutos, con una desviación estándar de 8 minutos y está distribuido normalmente. El centro de cómputo de DETECTORES S.A. mantiene una instalación formada por seis CPU del Sistema FG. Federico siente que se proporciona un nivel satisfactorio de servicio a la empresa si el tiempo improductivo promedio de las seis CPU es menor de 50 minutos al mes. Dado un mes cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que Federico se sienta satisfecho con el nivel del servicio?

2. 20p

Liz Luz, gerente de producción de DETECTORES S.A., está preocupada por las quejas que ha recibido de grupos de consumidores acerca de la corta vida del dispositivo. Para contrarrestar las quejas ha decidido recabar evidencia probando una muestra de las alarmas. En cuanto a la prueba, su costo es de $ 4 por unidad en la muestra. La precisión es deseable para representar evidencia estadística persuasiva a los grupos de consumidores, de tal manera que Liz considera los beneficios que recibirá para diversos tamaños de muestras vienen dados por la fórmula: Beneficios = $5.249 / EEM, donde EEM es el error estándar de la media. Si Liz desea aumentar su muestra hasta que el costo sea igual al beneficio, ¿cuántas unidades debe muestrear? La desviación estándar de la población es de 265.

3. 30p

Actualmente, Federico trabaja para mejorar la resistencia de las computadoras que construye, con respecto a las fallas en la unidad de disco y del sistema de ventilación. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas en la unidad de disco significan un tercio de las fallas del sistema de ventilación. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el sistema de ventilación es de 0,04. a) Si la computadora es 85% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el sistema de ventilación,

¿qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? b) Si el sistema de ventilación se mejoró de modo tal que sólo falla el doble de veces que la unidad de

disco (la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0,04), ¿la probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el sistema de ventilación, o en ambos, mayor o menor que 90%? Justifique su respuesta e indique el valor de dicha resistencia a fallas (probabilidad).

4. 30p

En su última reunión con Liz, Federico le ofreció cambiar los teclados de las computadoras de la empresa argumentando ventajas, entre ellas, la disminución de errores de procesamiento de palabras. De estudios previos, Liz sabe que el número diario de errores de procesamiento de palabras cometido por cada secretaria está distribuido normalmente con un promedio de 18 y una desviación estándar de 4. A los efectos de decidir el cambio de teclados Liz evalúa a 16 secretarias elegidas aleatoriamente con el nuevo modelo de teclado y encuentra que el promedio del número de errores es de 15,7. Al nivel de significancia del 3%, ¿cuál debe ser la decisión de Liz? Justifique su respuesta. Calcule, también, el valor numérico del valor p.



3

Respuestas

Segunda Parte 1. Rta.: 0,99711. 2. Rta.: Al menos 25. 3. Rta.: a) 0,0475; b) Rta.: 0,8975. 4. Rta.: No rechazar la afirmación de Federico y cambiar de teclados. Valor p = 0,01072.

carrera: año en que cursó la materia: calificación final ... · pdf...

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