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Chap 9. Probabilités Terminale S

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Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

Mathématicien, astronome et physicien alle-mand. Surnommé « le prince des mathémati-ciens », il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Son nom reste associé aujourd'hui à la cé-lèbre courbe en cloche représentant la densi-té de probabilité d'une variable aléatoire normale réduite.

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I. Loi uniforme sur [𝒂, 𝒃] Définition et propriété Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que 𝑎 < 𝑏 Une variable aléatoire 𝑋 suit la loi uniforme sur l’intervalle [𝒂, 𝒃] lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante égale

à 1

𝑏−𝑎 sur [𝑎, 𝑏].

L’espérance ou moyenne est

alors 𝐸(𝑋) =𝑎+𝑏

2




Exemple 1. Thomas a dit qu’il passerait voir Anita à un moment quelconque entre 18h30 et 21h00. Quelle est la probabilité qu’il arrive pen-dant son feuilleton préféré qui dure de 19h à 19h30 ?




Exemple 1.




La probabilité qu’il arrive entre 19h et 19h30 est de 1/5.




II. Loi exponentielle Définition : Soit 𝜆 > 0 un réel Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre 𝝀 sur [0;+∞[ lorsque sa densité de probabilité est la fonction

∀𝒙 ∈ [𝟎;+∞[, 𝒇(𝒙) = 𝝀 𝒆−𝝀𝒙. Propriété de durée de vie sans vieillissement : Soit 𝑇 une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, pour tous réels 𝑡 et ℎ positifs, 𝑷𝑻≥𝒕(𝑻 ≥ 𝒕 + 𝒉) = 𝑷(𝑻 ≥ 𝒉).




Interprétation : La probabilité que le phénomène dure au moins 𝑡 + ℎ heures sa-chant qu'il a déjà duré 𝑡 heures sera la même que la probabilité de durer ℎ heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant 𝒕 heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps 𝒕. (Par exemple, sachant qu’un système a atteint 𝑡 = 50 années, la pro-babilité qu’il dépasse 𝑡 + ℎ = 80 ans est égale à la probabilité d’atteindre ℎ = 30 ans). Cette loi permet de modéliser la décroissance radioactive ou le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué …




Propriété : Soit 𝑇 une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de pa-ramètre 𝜆 sur [0; +∞[, 𝑇 admet une espérance

𝑬(𝑻) =𝟏

𝝀

Exemple 2. La durée de vie, en heures, d’un composant électronique est mo-délisée par la loi exponentielle de moyenne 20. Quelle est la probabilité que l’un des composants pris au hasard, soit encore en état de marche au bout de 50 h ?




20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160-10

0,02

0,03

0,04

0,05

0 10

0,01

x

y




𝐸(𝑇) =1

𝜆= 20

⟺ 𝜆 =1

20= 0,05

𝑃(𝑇 ≥ 50) = ∫ 0,05𝑒−0,05𝑥𝑑𝑥+∞

50

𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 − ∫ 0,05𝑒−0,05𝑥𝑑𝑥50

0




𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 − [0,05 ×𝑒−0,05𝑥

−0,05]0

50

𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 − [−𝑒−0,05𝑥]0

50 𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 + [𝑒−0,05𝑥]0

50 𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 + 𝑒−0,05×50 − 𝑒0 𝑃(𝑇 ≥ 50) = 1 + 𝑒−2,5 − 1 𝑃(𝑇 ≥ 50) = 𝑒−2,5 ≈ 0,082




ROC : Soit 𝑇 une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, pour tous réels 𝑡 et ℎ positifs, 𝑷𝑻≥𝒕(𝑻 ≥ 𝒕 + 𝒉) = 𝑷(𝑻 ≥ 𝒉).

Démonstration : Calculons d’abord

𝑃(𝑇 ≥ 𝑎) = 1 − ∫ 𝜆 𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥𝑎

0

𝑃(𝑇 ≥ 𝑎) = 1 − [−𝑒−𝜆𝑥]0

𝑎

𝑃(𝑇 ≥ 𝑎) = 1 + 𝑒−𝜆𝑎 − 𝑒0 𝑃(𝑇 ≥ 𝑎) = 1 + 𝑒−𝜆𝑎 − 1 𝑃(𝑇 ≥ 𝑎) = 𝑒−𝜆𝑎




donc

𝑃𝑇≥𝑡(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) =𝑃(𝑇 ≥ 𝑡 et 𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ)

𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)

𝑃𝑇≥𝑡(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) =𝑃(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ)

𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) car h ≥ 0 donc t + h ≥ t

𝑃𝑇≥𝑡(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) =𝑒−𝜆(𝑡+ℎ)

𝑒−𝜆𝑡=

𝑒−𝜆𝑡−𝜆ℎ

𝑒−𝜆𝑡

𝑃𝑇≥𝑡(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ) =𝑒−𝜆𝑡 × 𝑒−𝜆ℎ

𝑒−𝜆𝑡= 𝑒−𝜆ℎ = 𝑃(𝑇 ≥ ℎ)




III. Loi normale centrée réduite 𝓝(𝟎; 𝟏) Théorème de Moivre-Laplace : Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑋𝑛 est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ℬ(𝑛; 𝑝). La variable centrée réduite

𝑍𝑛 =𝑋𝑛−𝑛𝑝

√𝑛𝑝(1−𝑝) vérifie pour tous

réels 𝑎 et 𝑏 : lim

𝑛→+∞𝑃(𝑍𝑛 ∈ [𝑎, 𝑏])

=∫1

√2𝜋𝑒−

𝑥2

2 𝑑𝑥𝑏

𝑎




Définition : Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée 𝒩(0; 1) lorsque pour tout réels 𝑎 et 𝑏 tel que 𝑎 < 𝑏, on a

𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫𝟏

√𝟐𝝅𝒆−

𝒙𝟐

𝟐 𝒅𝒙𝒃

𝒂

La fonction définie sur ℝ par

𝒇(𝒙) =𝟏

√𝟐𝝅𝒆−

𝒙𝟐

𝟐 est appelée den-

sité de la loi 𝒩(0; 1). On dit que la courbe représentant 𝑓 est une courbe « en cloche ».

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

-1

0 1

1

x

y




Propriétés :

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) =1

√2𝜋𝑒−

𝑥2

2

La fonction 𝑓 est continue et paire sur ℝ. La courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Soit 𝑇 une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, pour tout 𝑎 ∈ ℝ, donc

𝑃(𝑇 ≤ −𝑎) = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑎)= 1 − 𝑃(𝑇 ≤ 𝑎)




Propriété : Soit 𝑇 une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝒩(0; 1), pour tout 𝛼 ∈ ]0; 1[, il existe un unique réel positif 𝑢𝛼 > 0 tel que 𝑷(−𝒖𝜶 ≤ 𝑻 ≤ 𝒖𝜶) = 𝟏 − 𝜶 Exemple 3.

a) Déterminer 𝑢0,05 tel que 𝑃(−𝑢0,05 ≤ 𝑇 ≤ 𝑢0,05) = 95%.

𝑢0,05 ≈ 1,96




b) Déterminer 𝑢0,01 tel que 𝑃(−𝑢0,01 ≤ 𝑇 ≤ 𝑢0,01) = 99%.

𝑢0,01 ≈ 2,58

Propriété : Soit 𝑇 ↪ 𝒩(0 ; 1), 𝑇 admet une espérance et un écart type :

𝑬(𝑻) = 𝟎 « centrée » et 𝝈(𝑻) = 𝟏 « réduite »




IV. Loi normale 𝓝(𝝁; 𝝈𝟐)

Définition : Une variable aléatoire 𝑋 suit la loi normale 𝓝(𝝁; 𝝈𝟐)

lorsque 𝑋−𝜇

𝜎 suit la loi normale centrée réduite 𝒩(0; 1).

Propriété : Si 𝑋 ↪ 𝓝(𝝁; 𝝈𝟐) alors 𝑬(𝑻) = 𝝁 et 𝝈(𝑻) = 𝝈.

𝑷(𝝁 − 𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝝈) = 𝑷(−𝟏 ≤𝑿 − 𝝁

𝝈≤ 𝟏) ≈ 𝟎, 𝟔𝟖

𝑷(𝝁 − 𝟐𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟐𝝈) ≈ 𝟎, 𝟗𝟓

𝑷(𝝁 − 𝟑𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟑𝝈) ≈ 𝟎, 𝟗𝟗𝟕




V. Intervalle de fluctuation Définition : Soit 𝑋 ↪ ℬ(𝑛; 𝑝), 𝛼 ∈ ]0; 1[, 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ L’intervalle [𝑎, 𝑏] est un intervalle de fluctuation de 𝑋 au seuil de 𝟏 − 𝜶 signifie que 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) ≥ 𝟏 − 𝜶.




Propriété : 𝑝 ∈ ]0; 1[ Si 𝑋𝑛 suit la loi ℬ(𝑛; 𝑝), alors pour tout 𝛼 dans ]0; 1[, on a

lim𝑛→+∞

𝑃 (𝑋𝑛

𝑛∈ 𝐼𝑛) = 1 − 𝛼

où 𝑰𝒏 = [𝒑 − 𝒖𝜶

√𝒑(𝟏 − 𝒑)

√𝒏, 𝒑 + 𝒖𝜶

√𝒑(𝟏 − 𝒑)

√𝒏]

et 𝑢𝛼 désigne le nombre réel tel que 𝑃(−𝑢𝛼 ≤ 𝑇 ≤ 𝑢𝛼) = 1 − 𝛼 lorsque 𝑇 suit la loi 𝒩(0; 1). à 95%, 𝒖𝜶 ≈ 𝟏, 𝟗𝟔 à 99% 𝒖𝜶 ≈ 𝟐, 𝟓𝟖 Remarque : Dès que 𝑛 ≥ 30, 𝑛𝑝 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5, on peut

approcher 𝑃 (𝑋𝑛

𝑛∈ 𝐼𝑛) par 1 − 𝛼.




Définition : 𝑝 ∈ ]0; 1[ 𝑋𝑛 suit la loi ℬ(𝑛; 𝑝) et 𝛼 ∈ ]0; 1[, l’intervalle 𝐼𝑛 ci-dessus est un 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐝𝐞 𝐟𝐥𝐮𝐜𝐭𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐚𝐬𝐲𝐦𝐩𝐭𝐨𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐚𝐮 𝐬𝐞𝐮𝐢𝐥 𝟏 − 𝜶 de

la variable aléatoire fréquence 𝐹𝑛 =𝑋𝑛

𝑛 qui à tout échantillon de

taille 𝑛 associe la fréquence obtenue 𝑓. En particulier : l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est

[𝒑 − 𝟏, 𝟗𝟔√𝒑(𝟏 − 𝒑)

√𝒏, 𝒑 + 𝟏, 𝟗𝟔

√𝒑(𝟏 − 𝒑)

√𝒏]

où 𝑝 désigne la proportion dans la population.




Exemple 4. D’après les lois génétiques de Mendel, certains croi-sements de différentes variétés de pois devraient donner des pois jaunes et verts dans une proportion égale à 3 pour 1. Lors d’une expérience, on a obtenu un échantillon présentant 176 pois jaunes et 48 pois verts. Ces résultats sont-ils cohérents avec la théorie de Mendel ? 𝑛 = 224 ≥ 30

𝑛𝑝 = 224 ×3

4= 168 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑝) = 224 ×

1

4= 56 ≥ 5

L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est :




𝐼224 =

[ 3

4− 1,96

√34

×14

√224 ;

3

4+ 1,96

√34

×14

√224]

𝐼224 = [0,69; 0,81]

or 𝑓 =176

224≈ 0,785

d'où 𝑓 ∈ 𝐼224




Exemple 5. Un grossiste a acheté 50000 clés USB à un fabri-quant qui lui a certifié que 60% avait une capacité de 4 Go et 40% une capacité de 2 Go. Un technicien prélève au hasard 50 clés USB parmi lesquelles 23 ont une capacité de 4 Go. Le tech-nicien doit-il alerter son patron ? 𝑛 = 50 ≥ 30 𝑝 = 60% = 0,6 𝑛𝑝 = 50 × 0,6 = 30 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑝) = 50 × 0,4 = 20 ≥ 5 L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est :




𝐼50 = [0,6 − 1,96√0,4 × 0,6

√50 ; 0,6 + 1,96

√0,4 × 0,6

√50]

𝐼50 = [0,464 ; 0,736]

or 𝑓 =23

50= 0,46

d'où 𝑓 ∉ 𝐼50




VI. Estimation On considère une expérience aléatoire à deux issues possibles dont on ne connait pas la probabilité 𝑝 d’un succès. On cherche à estimer 𝑝 à partir d’un échantillon composé de 𝑛 réalisations in-dépendantes.

En notant 𝑋𝑛 le nombre de succès parmi 𝑛, une estimation de 𝑝 est

donnée par la fréquence 𝐹𝑛 =𝑋𝑛

𝑛.

La fréquence 𝐹𝑛 variant d’un échantillon à l’autre, l’estimation sera donnée par un intervalle se-

lon un niveau de confiance.




Propriété : Pour une valeur de 𝑝 fixée, l’intervalle

[𝑭𝒏 −𝟏

√𝒏, 𝑭𝒏 +

𝟏

√𝒏]

contient, pour 𝑛 assez grand, la proportion 𝑝 avec une probabili-té au moins égale à 0,95. Conséquence : Si 𝑓 est la fréquence observée sur un échantillon de taille 𝑛 tel que 𝑛 ≥ 30, 𝑛𝑓 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑓) ≥ 5 alors 𝑝 est

élément de l’intervalle [𝑓 −1

√𝑛, 𝑓 +

1

√𝑛] avec un niveau de con-

fiance de plus de 95 %.




Exemple 6. Document n°1 : Extrait d’un article paru dans le Nouvel Obser-vateur . « Concernant les intentions de vote, voici une enquête IFOP pu-bliée vendredi 19 avril 2002 : Au premier tour, Jacques Chirac et Lionel Jospin seraient sous la barre des 20% : 19,5% pour le président sortant et 18% pour le Premier ministre. Toujours au premier tour, Jean-Marie Le Pen arriverait en troisième position avec 14% des intentions de vote (à quatre points seulement de Lionel Jospin), devant Arlette Laguiller (7%), Jean-Pierre Chevè-nement (6,5%) et François Bayrou (6%). Noël Mamère et Robert Hue sont tous deux crédités de 5% des intentions de vote. Puis




viennent Jean Saint-Josse (4%), Alain Madelin (3,5%), Olivier Besancenot (3%), Christiane Taubira et Bruno Mégret (2,5% chacun), Corinne Lepage et Christine Boutin (1,5% chacune) et Daniel Gluckstein (0,5%). Ce sondage a été réalisé par téléphone les 17 et 18 avril auprès de 1.002 personnes. » Document n°2 : Annonce des résultats du 1er tour de la présidentielle le 21 avril

2002 à 20h sur TF1




Document n°3 : Extrait d’un article publié dans le "Nouvel Observateur" du 25 avril 2002.

« 21 avril 2002 : une France déboussolée




[…] Je sais bien que, trompée par les sondages, la majorité de l'électorat français a cru qu'il n'y aurait en place au second tour que Chirac et Jospin. Devant cette sorte de verdict fatal, cette majorité s'est permis soit de ne pas voter (l'absentéisme a été considérable, américain, c'est-à-dire incivique), soit de s'expri-mer dans des votes dits "contestataires". A gauche, puisqu'on était assuré de pouvoir voter pour Jospin au second tour, on pouvait se permettre d'aller en week-end ou de voter pour un candidat dont on savait qu'il ne serait pas élu […] » par Jean Da-niel. Et vous, qu’en pensez-vous ?




Pour M Chirac : 𝑛 = 1002 ≥ 30 𝑓 = 19,5% = 0,195 𝑛𝑓 = 1002 × 0,195 = 195,39 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑓) = 1002 ×0,805 = 806,61 ≥ 5 Avec un niveau de confiance de 95 %, un intervalle d’estimation est :

[𝑓 −1

√𝑛, 𝑓 +

1

√𝑛] = [0,163; 0,227]

Pour M Jospin : 𝑛 = 1002 ≥ 30 𝑓 = 18% = 0,18




𝑛𝑓 = 1002 × 0,18 = 180,36 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑓) = 1002 × 0,82 =821,64 ≥ 5 Avec un niveau de confiance de 95 %, un intervalle d’estimation est :

[𝑓 −1

√𝑛, 𝑓 +

1

√𝑛] = [0,148; 0,212]

Pour M Le Pen : 𝑛 = 1002 ≥ 30 𝑓 = 14% = 0,14




𝑛𝑓 = 1002 × 0,14 = 140,28 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑓) = 1002 × 0,86 =861,72 ≥ 5 Avec un niveau de confiance de 95 %, un intervalle d’estimation est :

[𝑓 −1

√𝑛, 𝑓 +

1

√𝑛] = [0,108; 0,172]

Le Pen

Jospin

Chirac

0,2 0,30 0,1 x




Ch

irac

Josp

in

LeP

en

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

2

0

y


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