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3 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
CAPÍTULO 1
CARACTERÍSTICAS DEL NIOBATO DE LITIO
INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se mencionan las características y propiedades del Niobato de Litio
(LiNbO3), ya que es un cristal que modifica sus características ópticas cuando se le aplica
un campo eléctrico, dando lugar a la realización de dispositivos en tecnología de óptica
integrada (p. ej. moduladores).
Se define la propagación de una onda en un medio dieléctrico, además de estudiar la
ecuación de Fresnel obtenida cuando dicha onda incide en un cristal de Niobato de Litio, la
cual permite calcular el índice de refracción en cualquier dirección de propagación dentro
del LiNbO3.
Además, se describe cómo los ejes del Niobato de Litio dependen de la simetría y
del arreglo atómico de dicho cristal y que sus índices de refracción definen dos tipos de
propagación para una onda luminosa que incide en el LiNbO3.
4 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Se presenta la forma en que se efectúa la modulación de luz (fase, amplitud e
intensidad) utilizando el efecto electro-óptico del cristal Niobato de Litio, mediante una
variación en los índices de refracción al aplicar un voltaje.
1.1. ANISOTROPÍA DEL LiNbO3.
La principal característica en este tipo de cristal es la anisotropía. Las propiedades
ópticas del Niobato de Litio no son las mismas en cualquier dirección, por lo tanto, este
material es un cristal anisotrópico. Su permitividad relativa y su índice de refracción
dependen de las direcciones asociadas a los ejes del cristal. Los cristales anisotrópicos, en
base a su tipo de simetría, se dividen en uniaxiales y biaxiales, es decir, pueden tener uno o
dos ejes ópticos. En los cristales uniaxiales se observa el fenómeno de doble refracción o
birrefringencia. El LiNbO3 es un cristal uniaxial presentando en consecuencia
birrefringencia.
La birrefringencia se manifiesta cuando un rayo de luz incide sobre la superficie de
un cristal anisotrópico desdoblándose en dos rayos refractados, como se muestra en la
Figura 1.1.
Figura 1.1. Dos rayos refractados en un cristal anisotrópico.
X
Y
Z Rayo de Luz
Rayos Refractados
5 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
El eje óptico de un cristal uniaxial, es la dirección a lo largo de la cual se propaga la
luz sin experimentar el efecto de birrefringencia. Dicho eje define la dirección privilegiada
del cristal.
Los cristales uniaxiales se clasifican en dos tipos, positivos y negativos. También en
estos cristales uniaxiales, los rayos que conforman la doble refracción, no obedecen a las
leyes ordinarias de la refracción de la luz [1]. El primer rayo se encuentra en el plano de
incidencia, se le denomina rayo ordinario y se designa con la letra o. El segundo rayo se
designa con la letra e, y se llama extraordinario, porque no se encuentra en el plano de
incidencia, como se observa en la Figura 1.2.
Figura 1.2. Propagación de los rayos ordinarios y extraordinarios dentro de un cristal uniaxial .
La ecuación de Fresnel para el Niobato de Litio presenta dos índices de refracción
con la misma magnitud y un tercero diferente ( zyx nnn ≠= ). En este caso, la ecuación de
Fresnel se convierte en una elipsoide con simetría de revolución alrededor del eje óptico.
Analizando la orientación del campo eléctrico E en el cristal, se puede determinar la
velocidad con que las ondas se propagan en este material.
Eje Óptico del Cristal
Rayo Extraordinario (e) Rayo Ordinario (0)
6 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Al aplicar un campo eléctrico al cristal de LiNbO3 se presenta un cambio de índices
de refracción que a su vez, modifica las características de la propagación luminosa a través
del material. Si la variación del índice de refracción es proporcional al voltaje aplicado
representa un efecto lineal o efecto Pockels.
El Niobato de Litio es un cristal uniaxial con índices de refracción definidos de la
forma zyx nnn ≠= . Se define como el índice de refracción ordinario xyo nnn == , y como
el índice de refracción extraordinario ze nn = . Estos índices dependen de la longitud de
onda incidente en el cristal de LiNbO 3. Por ejemplo, cuando se hace incidir en un cristal de
LiNbO3 luz láser de HeNe con una longitud de onda de ?=0.633 µm, se obtienen los
siguientes valores para los índices ordinario y extraordinario [2]:
,200.2
,286.2
=
=
e
o
n
n
dado que oe nn < , el Niobato de Litio es un cristal uniaxial negativo.
1.2. ELIPSOIDE DE ÍNDICES DE REFRACCIÓN.
Los medios anisótropos se caracterizan por presentar propiedades ópticas diferentes
según la dirección considerada, típico de los materiales cristalinos. En general, el vector
campo eléctrico ?v
y el vector desplazamiento Dv
tienen la relación EDvv
ε= , donde ε es el
(1.1)
(1.2)
7 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
tensor de permitividad dieléctrica. Es posible demostrar que este tensor es simétrico, y por
lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectores ortogonales [3]. Para determinar la
elipsoide de índices de refracción, que muestra como el índice de refracción de un material
transparente varía de acuerdo a la dirección de vibración de la onda luminosa, se parte de la
simetría de los tensores dieléctricos y se escogen los ejes principales. De esta forma, todas
las componentes que no están en la diagonal son cero y se tiene que [2]:
[ ] .
0 0
0 00 0
33
22
11
=
ε
εε
ε ii
Podemos definir el tensor de índices como:
,
0 0
0 0
0 0
0 0
0 00 0
=
z
y
x
x
y
x
n
nn
ε
ε
ε
así como las velocidades principales:
. z
zy
yx
x
cv
cv
cv
εεε===
(1.3)
(1.4)
(1.5)
8 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
La polarización inducida Pv es la respuesta física del material en el campo eléctrico
Ev de la luz y no se encuentran en la misma dirección en medios anisotrópicos, ésta relación
queda como,
ExPvv
0ε= ,
donde x es un tensor y 0ε es la permitividad dieléctrica del vacío .
La relación entre el vector E de campo eléctrico y el vector D de flujo eléctrico en
una onda electromagnétic a está dada por la expresión siguiente:
( ),
1 0
00
0
jiij ED
ExD
ExED
PED
ε
ε
εε
ε
=
+=
+=
+=
vv
vvvvvv
donde ( ) 01 εε xii += es el tensor de permitividad die léctrica dada en la ecuación (1.3) y
0εDv
es el campo que podría existir si no hubiera un medio.
La energía almacenada uv en el eje principal del cristal es:
,21
DEuvvv ⋅=
(1.7)
(1.8)
(1.6)
9 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
sustituyendo las ecuaciones (1.3) y (1.7) en (1.8), se tiene:
++=
z
j
y
j
x
j
o
DDDu
εεεεε 222
0
2v ,
donde la relación 0
0ε
ε se escribe por conveniencia para obtener la elipse de los índices de
refracción.
Si j=x, y, z y sustituyendo para j=x tenemos que [2]:
,2
22
xu
D
o
x =ε
para j=y,
,2
22
yu
D
o
y =ε
para j=z,
,2
22
zu
D
o
z =ε
sustituyendo y normalizando las ecuaciones (1.10), (1.11) y (1.12) en (1.9) se obtiene que:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
10 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
, 133
2
22
2
11
2
=++
ooo
zyx
εε
εε
εε
donde zyx εεε , , se sustituye n por 11ε , 22ε y 33ε .
De la relación 2ioii n=εε , la ecuación (1.13) queda como:
. 12
2
2
2
2
2
=++eoo n
zny
nx
A la ecuación (1.14) se le llama elipsoide de índices de refracción. Las longitudes
respectivas a los ejes mayor y menor, paralelos a los ejes x, y, z son 22 y eo nn [4].
En la Figura 1.3, se puede observar el origen O normal a la dirección de
propagación OS. Esta elipse presenta dos ejes: el mayor y el menor, los cuales
corresponden a las dos polarizaciones que se observan en las direcciones OA y OB.
También se muestra una proyección del vector de onda S, con objeto de polarizar el haz de
luz que incide en el cristal; por consiguiente, existirán dos casos de luz, polarizada
linealmente y ortogonal al plano de proyección.
(1.13)
(1.14)
11 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Figura 1.3. Elipsoide de índices de refracción de un cristal uniaxial negativo (ne<no),
donde S denota un vector normal de onda.
1.3. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO LINEAL O EFECTO POCKELS.
El Niobato de Litio es un cristal que cambia sus índices de refracción conforme se
le aplica un campo eléctrico E. Si los índices de refracción cambian de manera lineal con el
campo eléctrico aplicado, se manifiesta el efecto electro-óptico lineal o efecto Pockels. Esta
función es representada como [2]:
( ) ( ) ...21
0 22
2
+++= EdE
ndE
dEdn
nEn ,
donde el índice de refracción n está en función del campo eléctrico aplicado. En forma
tensorial la ecuación (1.15) se representa como:
( ) ( ) ...0 +∂∂
∂+
∂
∂+= ∑∑ lk
kl lk
ijk
k k
ijijij EE
EE
nE
E
nnEn ,
1.15
(1.16)
Y
Z S θ
0 B
A
12 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
en la ecuación (1.16) se observa que el primer y segundo término de derecha a izquierda
determinan el efecto Pockels, de esta forma reduciendo los términos de esta ecuación, se
obtiene:
( ) ( ) ...0 +++= ∑∑ lkkl
ijklkk
ijkijij EEsErnEn ,
y el efecto lineal está representado por:
( ) ( ) kk
ijkijij ErnEn ∑+= 0 ,
donde ijkr , representa el coeficiente electro-óptico lineal o coeficiente Pockels. Tiene
valores aplicados para cristales anisotrópicos en intervalos de 10-12 a 10-10 m/V [2].
Siguiendo el procedimiento sobre la ecuación (1.18) con la resta en ambos lados del
término ( )0ijn , se observa:
( ) ( ) kk
ijkijij ErnEn ∑=− 0 .
Cuando se conoce ijn , se puede determinar la elipsoide de índices de refracción y
las propiedades ópticas mediante la aplicación de un campo eléctrico externo E.
Simplificando la ecuación (1.19) y resolviendo para x=1, y=2, z=3, se tiene :
(1.17)
(1.18)
(1.19)
13 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
∑=
=
∆
3
12
1
jjij
i
Ern
.
La variación del índice de refracción ( )En∆ en las direcciones (x, y, z) es una
función del campo eléctrico E aplicado, reescribiendo la ecuación (1.20) se tiene:
( ) EnrEn ij3
21
−≈∆ ,
donde r es el coeficiente de Pockels y n es el índice de refracción inicial. Esta expresión
representa una variación lineal del índice de refracción en función del campo eléctrico
aplicado.
La ecuación (1.20) se representa en forma matricial con 6=i y 3=j de la
siguiente manera:
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
3
2
1
636261
535251
434241
333231
232221
131211
62
52
42
32
22
12
r r r
r r rr r r
r r rr r r
r r r
1
1
1
1
1
1
EE
E
n
n
n
n
n
n
.
(1.20)
(1.22)
(1.21)
14 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Para cristales que poseen inversión de simetría 0=ijr , la forma del tensor ijr se
deriva de las consideraciones de simetría de los cristales. El valor de cada coefic iente
electro-óptico se determina de la estructura cristalina.
1.4. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO CUADRÁTICO O EFECTO KERR.
El índice de refracción también presenta una alteración cuadrática cuando se le
aplica un campo eléctrico E, a este efecto se le conoce como efecto electro-óptico
cuadrático o efecto Kerr. Este efecto lo presentan los materiales que tienen inversión de
simetría, y por lo tanto, no es de aplicación en el análisis del Niobato de Litio que tiene por
propósito la modulación lineal de la luz.
De la ecuación (1.17) se omite el segundo término de derecha a izquierda, quedando
de la siguiente forma [2]:
( ) ( ) lkkl
ijklijij EEsnEn ∑+= 0 .
El parámetro ijkls de la ecuación (1.23) es conocido como coeficiente Kerr. Las
unidades del coeficiente Kerr están dados en m2/V2 y el intervalo de valores para cristales
varía de 10-18 a 10-14 m2/V2.
(1.23)
15 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
1.5. EFECTO ELECTRO-ÓPTICO EN EL NIOBATO DE LITIO.
El tensor electro-óptico para el Niobato de Litio está dado como [5]:
−
−
0 0
0 0
0 0 0 0
0
0
22
51
51
33
1322
1322
r
r
rr
rr
rr
.
Los valores de los coeficientes electro-ópticos para diferentes longitudes de onda en
el LiNbO3, se encuentran en la Tabla 1.1.
Para encontrar la elipsoide de índices de refracción se considera el caso particular
en donde se aplica un campo eléctrico al cristal de LiNbO3 a lo largo del eje óptico. Por lo
tanto, 0y 0 ≠== zyx EEE propagándose la luz a lo largo del eje x, donde se observa la
dirección de la onda normal al eje óptico.
(1.24)
16 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Tabla 1.1. Coeficientes electro-ópticos para el LiNbO3 [1].
Surge una deformación de la elipsoide de índices de refracción con la aplicación del
campo eléctrico sobre la sección de cruce en el plano normal y-z al eje x. De las ecuaciones
(1.14), (1.21) y (1.24) se obtiene la ecuación de la elipsoide de índices de refracción en
presencia de un campo eléctrico ),0,0( zEE dada como:
1233
213
2132
2
2
2
2
2
=+++++ zrEyrExrEnz
ny
nx
zzzeoo
.
Se observa que la ecuación (1.25) no contiene términos cruzados y los ejes x, y, z
coinciden con el eje principal, de esta forma, reduciendo y agrupando términos en la
ecuación (1.25), resulta:
( ) 111 2
33222
132=
+++
+ zrE
nyxrE
n ze
zo
.
(1.25)
(1.26)
17 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Esta ecuación (1.26) representa la elipsoide de índices de refracción cuando se le
aplica un campo eléctrico en la dirección z. Los coeficientes electro-ópticos principales
para el Niobato de Litio son 3313 y rr que se representan en dicha ecuación. Donde las
variaciones de índice por el campo eléctrico son:
( )
( ) .21
,21
333
133
00
zeze
zz
ErnEn
ErnEn
−=∆
−=∆
Los índices ordinario y extraordinario determinan la fase de la propagación dentro
de la guía de onda óptica, por lo que un campo eléctrico puede imprimir una modulación de
fase a la luz. Además, el estudio del efecto electro-óptico en el Niobato de Litio
proporciona las bases para la realización de dispositivos moduladores de luz [6].
1.6. MODULACIÓN ELECTRO-ÓPTICA Y TÉCNICAS DE
MODULACIÓN.
Para realizar la modulación electro-óptica de la luz es necesario tener en cuenta los
conceptos de elipsoide de índices de refracción y efecto electro-óptico, que fueron descritos
con anterioridad (Secciones 1.2 y 1.5).
(1.27)
18 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Cabe mencionar que la elipsoide de índices de refracción determina las condiciones
de propagación electromagnética en el Niobato de Litio, así como las velocidades de fase
de las ondas en el interior del cristal.
Por otro lado, el efecto e lectro-óptico es el proceso por el cual es posible realizar un
cambio en los índices de refracción del LiNbO3, mediante la aplicació n de un campo
eléctrico externo, a través de un par de electrodos colocados según la orientación del cristal.
La dirección más favorable es a lo largo del eje z, en razón de que el coeficiente r33 es
superior a r13. Para un substrato en corte x, la guía óptica se coloca entre los electrodos a
manera de que el campo eléctrico vea el coeficiente r33.
La dependencia de los índices de refracción con respecto al campo eléctrico
aplicado toma dos formas, es decir, el efecto electro-óptico puede clasificarse como Efecto
Pockels y Efecto Kerr, como ya se mencionó con anterioridad (Secciones 1.3 y 1.4)
Una ventaja al usar el efecto electro-óptico en los moduladores es que son
dispositivos ópticos compactos con pequeños electrodos metálicos que reducen
significativamente el voltaje de alimentación y que además presentan un ancho de banda de
modulación relativamente grande (rango GHz.)
19 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
1.6.1. TÉCNICAS DE MODULACIÓN ELECTRO-ÓPTICA.
La información puede ser enviada a través de un canal de transmisión en forma
alterada o modulada por una señal banda base que asigna un significado específico o
explotando las propiedades electro-ópticas de los cristales al aplicar un campo eléctrico. En
comunicaciones, por ejemplo, nuestra voz es considerada la señal banda base que modula la
luz alrededor de una frecuencia central llamada frecuencia portadora. La amplitud, la
frecuencia y la fase son los tres parámetros que se utilizan para modular un haz de ondas,
colocando la información en una frecuencia portadora óptica.
Las principales técnicas de modulación electro-óptica son, la modulación de
amplitud o de intensidad (AM, IM), que se utiliza en actuadores para sostener de forma
constante la intensidad de un láser, y la modulación de fase (PM, FM) utilizada para
estabilizar la frecuencia en un láser, cada una con sus propias ventajas y desventajas, pero
su selección depende de la frecuencia de ancho de banda, robustez contra distorsión y
ruido, así como un mejor uso de la energía.
Se utiliza el Niobato de Litio (LiNbO3) en la construcción de este tipo de
moduladores debido a que presenta los coeficientes electro-ópticos más altos, bajas
pérdidas de transmisión y por sus buenas propiedades eléctricas, en comparación con el
segundo material en uso llamado Tantalato de Litio (LiTaO3), [7] además de que este tipo
de cristales pueden ser incluidos en arreglos sin utilizar algún encapsulado.
20 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
1.6.1.A. MODULACIÓN DE FASE.
Los moduladores de fase son más fáciles de construir, es decir, sólo se aplica un
campo eléctrico al eje principal del cristal y al inyectar luz polarizada sobre este eje se
experimentará un cambio en el índice de refracción, por lo tanto, la fase del campo óptico
excitado del cristal dependerá del campo eléctrico aplicado.
En la Figura 1.4 se presenta un modulador de fase en tecnología de óptica integrada,
que consiste sólo de una guía de onda monomodo rectilínea, al cual se le aplica un campo
eléctrico V(t ), a través de dos electrodos con longitud l separados por una distancia S. Al
incidir el haz de onda en el plano x-z a la entrada de la guía de onda, la propagación del haz
luminoso se realiza en dirección y.
Figura 1.4. Diseño del modulador de fase utilizando una guía de onda óptica [7].
La señal óptica a la entrada tiene la forma de:
( ) ( )kytiEtEin −= 00 exp ω .
(1.28)
[ ]{ }φθω ++tiE 00 exp ( )kytiE −00 exp ω
onda de Guía
3LiNbO
21 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Al aplicar un campo eléctrico por medio del par de electrodos a la señal óptica de
salida inE se observa una modificación de la siguiente forma:
( ) ( ){ }φθω ∆++= tiEtEout 00 exp ,
donde, 0E y 0ω definen la amplitud y la frecuencia de la señal óptica a la salida
respectivamente, φ∆ es el cambio de fase óptico, θ es una fase constante (estática) igual a
nkL=θ siendo n el índice de refracción extraordinario u ordinario, k=2p/? es el número de
onda, ? es la longitud de onda y L es la longitud de la guía de onda óptica. La ventaja de
este modulador de fase óptica integrada es que al utilizar bajos voltajes en los electrodos da
como resultado una modulación lineal de fase considerable.
La fase se ha convertido en una función del campo eléctrico aplicado en este
modulador de fase, este cambio de fase óptico φ∆ se expresa como:
( ) knLlEkn +=∆φ ,
donde n(E) es el índice de refracción en función del campo eléctrico aplicado.
Considerando el efecto Pockels en la anterior ecuación (1.30) se tiene,
lrEnnL Γ−=∆ 3
2122
λπ
λπ
φ .
(1.29)
(1.30)
(1.31)
22 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
donde, Γ es el coeficiente de superposición y r es el coeficiente electro-óptico del Niobato
de Litio (en la dirección z, x).
De la ecuación (1.31) se sustituye nLλπ
φ2
= y el campo eléctrico se expresa como
E=V/d, donde V representa una señal de información (audio, video, datos, etc.) y d es la
separación entre los electrodos. Por consiguiente la ecuación (1.31) se reescribe,
Vrndl
Γ
−=∆ 3
λπ
φφ .
Para este tipo de moduladores de fase en óptica integrada el voltaje de media onda,
es decir, el voltaje requerido para inducir un cambio de fase de 90º (p radianes), el cual
define la figura de mérito para los moduladores electro-ópticos, se deduce cuando
( )( ) πλπ =ΓVrndl 3// y se escribe con corte en z y propagación y como:
lrnS
VTMe Γ
=33
3
λπ ,
donde S es la separación de los electrodos y TMΓ es el coeficiente de superposición
transversal magnético, es decir, indica la posición óptima de los electrodos con respecto a la
posición de la guía de onda óptica que determina el máximo recubrimiento espacial entre el
campo eléctrico y los modos ópticos dentro de la guía . Con esta posición se asegura la
máxima interacción electro-óptica definiendo una variación máxima de los índices de
(1.32)
(1.33)
23 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
refracción. Para estructuras de electrodos coplanares este parámetro es muy bajo TMΓ = 0.5.
Hay que notar que cuando los electrodos son paralelos la configuración es semejante a
capacitares paralelos y, por lo tanto, el campo eléctrico es una constante V0/S,
independiente de x, z.
Sustituyendo la ecuación (1.33) en la ecuación (1.32) se obtiene:
π
πφφVV
−=∆ ,
por lo tanto, se observa que el cambio de fase es una función lineal del voltaje aplicado con
dirección perpendicular a la dirección de propagación de la luz en el modulador de fase,
como se presenta en la Figura 1.5.
Figura 1.5. Variación lineal de fase en función del voltaje aplicado.
(1.34)
24 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
Además, como se mencionó anteriormente (Secciones 1.3 y 1.4), si los índices de
refracción cambian de manera lineal cuando se aplica un campo eléctrico al modulador, el
efecto es llamado Efecto Pockels y si varían de forma cuadrática Efecto Kerr. Es muy
importante mencionar que las propiedades de este modulador de fase óptico no difieren de
las encontradas en cualquier otro sistema que module señales en fase.
El beneficio de esta técnica de modulación sobre la modulación de intensidad, es la
mejoría en la discriminación en contra del ruido y la interferencia, además, de contar con
un mejor ancho de banda (aprox. 15GHz.). El método para demodular la señal óptica utiliza
la misma fase (modulación) para la recuperación del haz de ondas inicial. En este caso, la
fase no depende de la amplitud en la señal de luz, evitando cualquier tipo de interferencia y
ruido. El sistema conocido como Detección de Coherencia se utiliza para la demodulación
de fase, este método inserta la señal recibida en un diodo mezclador donde es sobrepuesta
en un oscilador de luz para generar una señal de frecuencia intermedia (IF). La señal de PM
es demodulada de la señal IF por un selector de fase [4].
1.6.1.B. MODULACIÓN DE AMPLITUD O INTENSIDAD.
Para comprender el principio de funcionamiento de este tipo de moduladores se
debe suponer un rayo óptico polarizado a 45° con respecto el eje principal del cristal y que
viaja de forma paralela al tercer eje (x, y dependiendo del corte del cristal) del cristal
electro-óptico. Sin aplicar un campo eléctrico, el cris tal es un arbitrario retardador de haces
de onda. Cuando se aplica un campo eléctrico, el efecto electro-óptico modifica los índices
25 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
de refracción del cristal a un grado diferente, dando como resultado un cambio en el retardo
de los haces de onda. La geometría de un modulador de amplitud se muestra en la Figura
1.6, que consiste de dos polarizadores, un cristal electro-óptico (Niobato de Litio) cortado
para un retardo cero y un analizador. El polarizador de entrada garantiza que el haz se
polarice a 45° y el cristal cambia la polarización del haz de ondas de salida conforme el
voltaje aplicado se incremente.
Figura 1.6 . Diseño del modulador de amplitud, que consiste en un cristal electro-óptico entre dos
polarizadores cruzados [8].
Esta estructura cris talina (Figura 1.6) descompone el rayo luminoso de entrada en
los modos ordinario y extraordinario linealmente polarizados a lo largo de los ejes del
cristal (x, z) como consecuencia de la birrefringencia del material. Debido a que polarizador
de salida se encuentra rotado 90° con respecto al polarizador de entrada (polarización
cruzada), permite convertir la modulación de fase en variación de intensidad.
La variación de fase estática se representa en función de la longitud del cristal L, por
lo que se puede expresar como:
26 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
( )Lnn xz −=∆λπ
φ2
Para este modulador de amplitud el voltaje de media onda está dado por:
lrnlrnSV
e Γ−Γ=
133
0333
λπ
También se puede utilizar la modulación de fase producida por el efecto electro-
óptico para crear modulación de intensidad, tal es el caso del interferómetro Mach-Zehnder
como se observa en la Figura 1.7. El haz luminoso de entrada se divide en los brazos en
forma de Y, uno de estos haces viaja sin alteración (A-B-C-D) y el otro (A-F-E-D)
experimenta una variación de fase, debido a la aplicación de un campo eléctrico [9].
Figura 1.7. Modulador interferométrico Mach-Zehnder.
Al llegar estos dos haces al punto D se realiza una superposición de las ondas
obteniendo la siguiente expresión:
(1.36)
(1.35)
Pin Pout
27 MODELADO TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL FSK UTILIZANDO LA TÉCNICA DE MODULACIÓN DE COHERENCIA LUMINOSA
φ∆+= cos21
21
ininout PPP
donde, Pin es la potencia óptica de entrada, Pout es la potencia óptica de salida y φ∆ es la
diferencia de fase de las ondas que viajan por los brazos del modulador [9].
Cuando 0=∆φ la recombinación de las señales provocará una máxima
transmisión, y cuando πφ =∆ debido a que la guía de onda es angosta en la región de
recombinación, la luz es acoplada dentro del substrato resultando en una transmisión cero.
(1.37)