capítulo 4 - uncor · en los cursos de estática se tratan problemas que involucran estructuras...
TRANSCRIPT
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-
Capítulo 4
Método de las Fuerzas
4.1- Introducción
Los procedimientos de Análisis Estructural pueden clasificarse en dos grandes métodos
esencialmente diferentes:
a) Método de las Fuerzas
b) Método de Rigidez (o de los Desplazamientos) También existen métodos mixtos en los que las incógnitas son simultáneamente fuerzas y
desplazamientos, pero no serán tratados en este curso.
En muchos casos de aplicación corriente, el Método de las Fuerzas conduce a un sistema
de ecuaciones con un número menor de incógnitas que el de Rigidez y por eso en el pasado se lo
prefería para cálculos manuales. En la actualidad, la mayoría de los programas de computadora
se basan en el Método de Rigidez por ser más sistemático y, por ende, más fácil de programar.
El Análisis Estructural basado en el Método de Rigidez se estudia detalladamente más
adelante en el desarrollo del curso.
Sistemas hiperestáticos
En los cursos de Estática se tratan problemas que involucran estructuras isostáticas, en los
cuales las fuerzas incógnitas se pueden obtener a partir de ecuaciones de equilibrio estático.
El Capítulo 3 se dedicó al cálculo de desplazamientos en sistemas isostáticos a través del
Principio de Trabajos Virtuales. En este caso, la secuencia usada consiste en calcular primero las
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-
fuerzas y luego los desplazamientos a partir de los diagramas de solicitaciones (M, Mt, Q y N).
En este capítulo se estudia el análisis de sistemas hiperestáticos por el Método de las Fuerzas.
Una estructura resulta hiperestática desde el punto de vista de las reacciones externas
cuando posee más apoyos que los estrictamente necesarios para garantizar las condiciones de
equilibrio. Tal es el caso de las siguientes vigas continuas.
Figura 4.1
Un reticulado con más barras que las estrictamente necesarias para hacerlo indeformable
representa un ejemplo de estructura internamente hiperestática, tal como las ilustradas en la
Figura 4.2.
Figura 4.2
Los dos casos antes presentados pueden combinarse para producir estructuras que resultan
simultáneamente interna y externamente hiperestáticas.
Figura 4.3
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-
Las siguientes son estructuras inestables, en el sentido que sus vínculos internos y/o
externos son insuficientes para garantizar las condiciones de equilibrio para cualquier sistema de
cargas exteriores.
Figura 4.4
4.2-Método de las Fuerzas
Los fundamentos del Método de las Fuerzas se presentan utilizando como ejemplo el
reticulado hiperestático de la Figura 4.5.
Figura 4.5
Fuerzas incógnitas: 18 fuerzas en barras + 4 reacciones de apoyo = 22
Ecuaciones de equilibrio: 2 ecuaciones por cada uno de los 10 nudos = 20
Por lo tanto, faltan dos ecuaciones para resolver este sistema hiperestático de 2° grado.
Se introduce un “corte” que desconecta el apoyo central del resto de la estructura y se
colocan dos fuerzas 1X (incógnitas) iguales y opuestas, actuando una sobre el apoyo y otra sobre
el reticulado. Si 1X tiene el valor de la reacción de apoyo y el sentido correcto no se producirá
ningún desplazamiento relativo entre la estructura y el apoyo.
Similarmente, se “corta” una de las diagonales del segundo tramo y en su reemplazo se
colocan dos fuerzas 2X (incógnitas) iguales y opuestas actuando sobre las caras del corte. Si el
iP
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-
valor 2X coincide con el valor de la fuerza en la barra cortada no se producirá desplazamiento
relativo entre las caras del corte.
Figura 4.6
A la estructura isostática resultante (con la barra y el apoyo cortados) se la designará
“estructura isostática fundamental”. Esta estructura con las cargas iP , 1X y 2X se comporta
exactamente igual que el sistema real, y por lo tanto se la denomina “sistema equivalente”. De
esta forma, en lugar de resolver el problema hiperestático real se analiza el sistema isostático
equivalente con las cargas iP , 1X y 2X .
Utilizando el principio de superposición, válido para problemas lineales, se descompone
el sistema equivalente en tres estados de carga:
Figura 4.7
Estos tres estados de carga actuando sobre una estructura isostática pueden analizarse a
través de consideraciones puramente estáticas, tal como se ha hecho en los capítulos anteriores.
Nótese que la barra cortada sólo tiene esfuerzo en el tercer estado.
Dado que las fuerzas 1X y 2X son inicialmente desconocidas, se considera al sistema
equivalente como una superposición, por un lado, del estado que contiene sólo las cargas
iP 1X1X
2X2X
iP1X
2X2X
1X
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-
exteriores (estado “0”) y, por otro lado, de dos estados con cargas unitarias (estados “1” y “2”
según la Figura 4.8) cuyos esfuerzos deben “escalarse” precisamente por 1X y 2X .
1 2Sistema Equivalente = Estado "0" + X .Estado "1" + X .Estado "2"
Figura 4.8
De esta forma, las deformaciones, reacciones y solicitaciones del sistema
equivalente se obtienen a través de una combinación lineal de las deformaciones,
reacciones y solicitaciones de los estados “0”, “1” y “2”. Debe reconocerse que existe total libertad para la elección de la estructura isostática
fundamental, siendo sólo necesario que sea isostática y estable. Como ilustración de posibles
alternativas, se podría haber elegido alguna de las siguientes:
Figura 4.9
Asimismo debe tenerse presente que si se efectuaran los dos cortes en forma totalmente
arbitraria, la estructura podría resultar inestable, lo cual es inadmisible.
iP1X1X
2X
2XiP
1.X 2 .X
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-
Supóngase que se han calculado de alguna manera los desplazamientos relativos en los
cortes en los tres estados, por ejemplo, a través del Principio de Trabajos Virtuales.
Figura 4.10
10 : desplazamiento relativo en el apoyo central causado por las fuerzas externas.
20 : desplazamiento relativo entre las caras del corte causado por las fuerzas externas.
11 : desplazamiento relativo en el apoyo central causado exclusivamente por la acción de
las cargas unitarias verticales.
En general:
:ij desplazamiento relativo en el corte “i” causado por las fuerzas unitarias actuando en
el corte “j”.
El primer índice se refiere al corte donde se mide el desplazamiento y el segundo se
refiere al estado de carga que lo produce. Como se demuestra más adelante, los desplazamientos
relativos ij resultan siempre positivos cuando “i = j”. Si las fuerzas unitarias colocadas en un
corte tienden a acercar las caras donde se introdujo el corte, entonces se consideran positivos los
desplazamientos relativos que tienden a acercar dichas caras, y negativos los que las alejan.
Ecuaciones de compatibilidad
Resulta importante observar que se pueden resolver cada uno de los tres estados, en
cuanto al cálculo de las solicitaciones, reacciones y desplazamientos, con los procedimientos
normales de la estática por tratarse de un sistema isostático, y una vez determinadas las
incógnitas hiperestáticas (fuerzas o momentos), el sistema hiperestático se calcula por simple
superposición de los estados básicos mencionados.
10
20
iP
2111
22
12
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-
Las incógnitas deben resultar tales que aseguren que la combinación lineal de los tres
estados isostáticos reproduzca exactamente al sistema hiperestático. Por ejemplo:
1 2. ."0" "1" "2"
Un desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento DesplazamientoX X
en el hiperestático en el estado en el estado en el estado
Una condición que debe garantizarse es que el nudo sobre el apoyo cortado no se desplace
respecto a dicho apoyo en la dirección vertical, es decir que:
10 11 1 12 2. . 0X X (Ec. 4.1)
Otra condición es que las caras del corte de la barra diagonal en la estructura hiperestática
(donde no está cortada) no tengan desplazamientos relativos:
20 21 1 22 2. . 0X X (Ec. 4.2)
Las ecuaciones (Ec. 4.1) y (Ec. 4.2) establecen que los desplazamientos relativos en los
cortes del sistema equivalente isostático son compatibles con lo que ocurre en la estructura real
hiperestática, por lo que se conocen como “ecuaciones de compatibilidad”.
Estas ecuaciones pueden expresarse en forma matricial de la siguiente manera:
1011 12 1
2021 22 2
0.
0XX
(Ec. 4.3)
0. 0F X (Ec. 4.4)
donde “ F ” recibe el nombre de matriz de flexibilidad. Los coeficientes ij son
desplazamientos relativos producidos por fuerzas unitarias: en general, son dimensionalmente
una longitud dividida por una fuerza. Debe reconocerse que la matriz de flexibilidad no es única
para una cierta estructura hiperestática, dado que depende de la selección de las incógnitas
hiperestáticas. La matriz “ F ” se asocia entonces a la elección de las incógnitas hiperestáticas y,
en definitiva, a los “cortes” que se efectúan para obtener el sistema isostático equivalente.
El procedimiento general que se utiliza en el curso para el cálculo de los elementos de la
matriz de flexibilidad ij y los términos independientes 0i consiste en la aplicación del
Principio de Trabajos Virtuales visto en el capítulo anterior.
El cálculo de todos los coeficientes no es necesario dado que el teorema de reciprocidad,
que ya ha sido demostrado, indica que el desplazamiento relativo en el corte “i” producido por
cargas unitarias en el corte “j” es igual al desplazamiento relativo en el corte “j” producido por
cargas unitarias en el corte “i”, y por lo tanto la matriz de flexibilidad F es siempre simétrica.
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-
De esta forma: ij ji
Además, puede comprobarse analizando las expresiones de trabajos virtuales que todos
los elementos de la diagonal principal de F son “positivos”.
De una manera formal, puede decirse que las 2 ecuaciones de compatibilidad sumadas a
las 20 ecuaciones de equilibrio de fuerzas (dos ecuaciones de proyección por cada nudo)
permiten el cálculo de las 22 incógnitas.
Forma práctica de operar con el Método de las Fuerzas: 1) Se obtiene una estructura isostática fundamental efectuando los cortes necesarios de
acuerdo al grado de hiperestaticidad (esta estructura fundamental debe resultar estable).
2) Se resuelven los estados auxiliares (determinando las solicitaciones).
3) Se calculan los coeficientes de la matriz de flexibilidad ij junto con los términos
independientes 0i por trabajos virtuales, utilizando los diagramas de las solicitaciones y
aprovechando la condición de simetría.
4) Se resuelven las ecuaciones de compatibilidad (Ec. 4.4) y luego se obtiene la
“solución” como combinación lineal de los estados isostáticos auxiliares ya resueltos.
1 2. ."0" "1" "2"
Solución Problema Solución Solución SoluciónX X
hiperestático estado estado estado
La solución puede expresarse como un vector que contiene las reacciones de apoyo, las
solicitaciones y los desplazamientos. La aplicación del Método de la Fuerzas requiere el cálculo
en primera instancia de "fuerzas", mientras que los desplazamientos se calculan a posteriori en
los puntos específicos de interés. Naturalmente, la superposición lineal también resulta válida
para los desplazamientos asociados a los distintos estados básicos considerados.
4.3- Efectos térmicos y defectos constructivos
La aplicación del Método de las Fuerzas para efectos térmicos y defectos de fabricación o
montaje se ilustra analizando el mismo reticulado de 18 barras de la Figura 4.5:
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-
Figura 4.11
Los esfuerzos en las barras para los tres estados se designan 0 1 2, ,N N N , respectivamente.
Los desplazamientos relativos se calculan por trabajos virtuales, siendo los siguientes los que
constituyen el término independiente del sistema de ecuaciones de compatibilidad: 18
010 1
1
./k k
NNAE l
; 18
020 2
1
./k k
NNAE l
(Ec. 4.5)
Los elementos de la matriz de flexibilidad se obtienen como:
111 1. / k
NNAE l
; 212 21 1. / k
NNAE l
; 222 2.
/ k
NNAE l
(Ec. 4.6)
Supóngase que interesa determinar los efectos que se producen en la estructura por
variaciones térmicas t respecto a la temperatura de montaje. El cambio de temperatura sólo
modifica el estado “0”; vale decir, un nuevo estado de carga no modifica la matriz de flexibilidad
ya desarrollada en el apartado anterior.
10 11
. . .n
kk
N t l
; 20 21
. . .n
kk
N t l
(Ec. 4.7)
La sumatoria para calcular 10 se extiende rigurosamente a todas las barras, y en esta
sumatoria, algunos términos pueden resultar nulos en correspondencia con las barras en las que
los esfuerzos 1N son nulos o no tienen cambio de temperatura.
Si se consideran errores dimensionales de montaje "e" en cada una de las barras, los
términos independientes resultan:
iP
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-
10 11
.n
kk
N e
; 20 21
.n
kk
N e
(Ec. 4.8)
Los signos deben garantizar consistencia: la barra cuya longitud en el estado "0" es mayor
que la longitud teórica posee signo positivo de “e”.
0Barra traccionada N positivoAumento de temperatura t positivoBarra "larga" "e" positivo
Las variaciones térmicas y los errores constructivos constituyen estados de carga
que no requieren cambiar la matriz de flexibilidad. Una vez calculados los términos de
carga 0i , las incógnitas hiperestáticas se calculan en la forma habitual resolviendo las
ecuaciones de compatibilidad, y la solución completa se obtiene por superposición.
4.4- Método de las Fuerzas en sistemas de alma llena
En las secciones anteriores se presentó el Método de las Fuerzas a través de un reticulado,
pero los conceptos generales pueden fácilmente extenderse al caso de sistemas de alma llena
(elementos resistentes en flexión).
Por ejemplo, considérese el caso de la viga continua de tres tramos de la Figura 4.12, que
resulta hiperestática de segundo grado.
Figura 4.12
El grado de hiperestaticidad constituye un aspecto esencial en el Método de las Fuerzas
dado que determina la cantidad de incógnitas involucradas en la solución.
El número de incógnitas hiperestáticas coincide con el grado de hiperestaticidad, y por lo
tanto determina el tamaño del sistema de ecuaciones (de compatibilidad) a resolver y el número
de coeficientes de flexibilidad involucrados.
Se puede adoptar como estructura isostática fundamental alguna de las variantes indicadas
en la siguiente figura:
iP
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-
Figura 4.13
Adoptándose como isostática fundamental una viga Gerber, como en los casos e) y f) de
la Figura 4.13, se están eligiendo como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores en los
puntos donde se colocan las articulaciones.
En el caso )g las ecuaciones de compatibilidad deben expresar que el punto B (sobre el
apoyo) tiene desplazamiento vertical nulo y que el giro relativo entre los extremos que concurren
a la articulación B es nulo.
El caso )h resulta tal vez el menos intuitivo. Se eligen como incógnitas hiperestáticas a la
reacción de apoyo C y al esfuerzo de corte en la sección donde se colocan las bielas paralelas.
Debe reconocerse que la Figura 4.13 no agota todas las posibilidades. En las secciones
siguientes se verá que el caso )e resulta el más adecuado para analizar vigas continuas.
Otro caso hiperestático típico lo constituyen los marcos cerrados como el mostrado en la
Figura 4.14. Las solicitaciones no pueden determinarse sólo por consideraciones de equilibrio,
por lo que se adopta como estructura isostática fundamental el marco al cual se le practica un
corte en el punto C.
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-
Figura 4.14
Figura 4.15
Esta manera de generar el sistema isostático fundamental implica elegir como incógnitas
hiperestáticas a las solicitaciones (corte, normal, flector) en el punto C. El sistema isostático
equivalente puede descomponerse en una combinación lineal de estados unitarios.
Figura 4.16
A los efectos de asegurar que el sistema isostático resulta equivalente al hiperestático
debe garantizarse simultáneamente que:
1) El desplazamiento vertical relativo entre C' y C'' sea nulo
2) El desplazamiento horizontal relativo entre C' y C'' sea nulo.
3) El giro relativo entre las secciones extremas C' y C'' sea nulo.
iP iP
1.X
2.X 3.X
iP
iP
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-
Este conjunto de tres condiciones de continuidad de la elástica constituyen las ecuaciones
de compatibilidad que permiten determinar el valor de las incógnitas hiperestáticas.
10 1 11 2 12 3 13
20 1 21 2 22 3 23
30 1 31 2 32 3 33
. . . 0
. . . 0
. . . 0
X X XX X XX X X
(Ec. 4.9)
donde, por ejemplo, 30 es el giro relativo entre las secciones C' y C'' causado por las
cargas datos del problema (estado "0") que se calcula usando el principio de trabajos virtuales:
0 0 030 3 3 3. . . . . .
. . .c
M Q NM dx Q dx N dxE I A G A E
(Ec. 4.10)
Los subíndices en las solicitaciones indican el estado de carga que los define, y la integral
se supone extendida a todos los tramos del marco.
De la misma manera, 12 es el desplazamiento horizontal relativo entre los extremos C' y
C'' causado por el estado de carga "2" que se calcula usando trabajos virtuales:
2 2 212 1 1 1. . . . . .
. . .c
M Q NM dx Q dx N dxE I A G A E
(Ec. 4.11)
Recuérdese que intervienen las solicitaciones del sistema auxiliar y las distorsiones
, , del estado en el cual se requiere el cálculo del desplazamiento.
La resolución analítica de las integrales en las expresiones (Ec. 4.10) y (Ec. 4.11) para el
cálculo de los valores ij requiere expresar las solicitaciones analíticamente en función de x.
También puede utilizarse diagramas y tablas que proveen el valor explícito de la integral
por tramos para casos habituales. Por ejemplo, el caso “triángulo-trapecio” produce:
Figura 4.17
1 21 26
si k k
1( ) xM x is
2 1 2 1( ) xM x k k ks
1k 2kx
s
1k2k
is
s
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-
2 121 11 2 1 2 12
0 0 2 3
s s i k k sik ik sx x ii k k k dx x k k x dxs s s s
(Ec. 4.12)
Estas tablas permiten, con cierta práctica, obtener los valores ij que habitualmente se
presentan en la mayoría de los casos. No obstante, debe evitarse trabajar en forma excesivamente
“mecánica” y descuidar cuestiones tales como la elección correcta del tipo de diagrama, o los
signos de los términos cuyo producto se está integrando.
Una vez determinado el valor de las incógnitas hiperestáticas, las solicitaciones se
obtienen por superposición de los estados isostáticos ya conocidos.
0 1 1 2 2 3 3
0 1 1 2 2 3 3
0 1 1 2 2 3 3
( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )
M x M x X M x X M x X M xQ x Q x X Q x X Q x X Q xN x N x X N x X N x X N x
(Ec. 4.13)
Debe tenerse presente que existen otras alternativas para la elección de la estructura
isostática fundamental, por ejemplo:
Figura 4.18
En el caso )a se ha elegido como incógnita hiperestática el momento flector en tres
puntos. Notar que el caso )c no es válido por resultar inestable. En el caso de la viga Vierendell
de la Figura 4.19.a, se obtiene una estructura isostática efectuando un "corte" en cada cuadro.
Figura 4.19
is
21
0
1s MM dxEI EI
s
1k 2k 1 2
1 1 26
si k kEI
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-
Nótese que al efectuar un corte en cualquier sección de la Figura 4.19.b quedan definidas
dos partes perfectamente separadas, y por lo tanto se pueden establecer las solicitaciones en
cualquier sección.
Este tipo de viga puede darse en muchas estructuras mecánicas, tales como la carrocería
de vagones de pasajeros, pero su tratamiento por el Método de las Fuerzas resulta desalentador
debido al elevado número de incógnitas. Para el caso de la Figura 4.19, se tienen 5 cortes y por
lo tanto 15 incógnitas hiperestáticas.
El Método de las Fuerzas utilizando cálculos manuales resulta totalmente inadecuado en
casos como el anterior con un elevado grado de hiperestaticidad. En la segunda parte del curso se
verá la formulación de procedimientos (y programas) de cálculos computacionales muy eficaces,
que son independientes del grado de hiperestaticidad y están basados en el Método de Rigidez.
Un caso similar al anterior se presenta cuando se quiere tratar un reticulado con nudos
rígidos (no articulados) como el de la Figura 4.20.a.
Figura 4.20
En un caso como éste correspondería efectuar tantos cortes como triángulos tenga el
reticulado. Aún en este caso tan simple, el número de incógnitas hiperestáticas es excesivamente
elevado (3 incógnitas por cada uno de los cinco cortes total 15 incógnitas). Esto se plantea
sólo a los efectos de ilustrar las limitaciones prácticas del Método de las Fuerzas, ya que su
aplicación al caso de la Figura 4.20 no resulta práctico y es poco conducente.
A esta altura se torna obvia la razón por la que se consideran los nudos perfectamente
articulados. Cuando las cargas están aplicadas en los nudos, el reticulado ideal produce buenos
resultados a pesar de tratarse de una simplificación del caso real, considerando que resulta
impracticable analizar un reticulado a nudos rígidos por el Método de las Fuerzas. Para el caso
de la Figura 4.20 se pasa de un problema isostático a un problema hiperestático de grado 15.
Para el mismo reticulado, pero analizado por el Método de Rigidez, se pasa de un
problema de dos incógnitas de desplazamiento por nudo en el caso del reticulado ideal, a tres
incógnitas por nudo en el caso de nudos rígidos, ya que se agrega el giro de cada nudo como
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-
nueva incógnita. Esto se analiza en detalle al estudiar el Método de Rigidez en la segunda parte
del curso.
El procedimiento completo desarrollado en las secciones anteriores para reticulados es
válido para el análisis de sistemas de alma llena tanto en la determinación de las incógnitas
hiperestáticas como en el cálculo de desplazamientos. Sólo es necesario considerar en el cálculo
de los desplazamientos las deformaciones por efecto axial, corte, flexión y torsión.
En tramos donde hay flexión o torsión, la contribución del corte generalmente puede
despreciarse. En el caso de variaciones térmicas a lo largo de un tramo de barra deben tenerse en
cuenta las deformaciones térmicas.
4.5- Desplazamientos prefijados En el caso de una estructura isostática, el movimiento de un apoyo implica sólo un
cambio en la geometría sin que se produzcan esfuerzos asociados a dicha condición.
Figura 4.21
En el caso general de estructuras isostáticas o hiperestáticas, al prefijar un desplazamiento
en un punto que no sea un apoyo, se está introduciendo un grado adicional de hiperestaticidad.
Resulta importante notar entonces que un desplazamiento prefijado en un punto implica
que en ese punto, de alguna manera, se aplica una fuerza incógnita capaz de asegurar dicho valor
del desplazamiento. Por lo tanto:
Un desplazamiento prefijado equivale estructuralmente a agregar un apoyo
El desplazamiento prefijado de un punto representa una restricción al desplazamiento
de dicho punto, y por lo tanto constituye para la estructura un apoyo, que debe considerarse
actuando en la posición final de este desplazamiento. La imposición de un desplazamiento
prefijado en un punto que originalmente no era un apoyo implica, más que la consideración de
un estado particular de carga, una "modificación" de la estructura.
st
it. s it t
h
. mt
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-
Una forma conveniente de calcular los esfuerzos que producen los desplazamientos
prefijados consiste en definir las ecuaciones de compatibilidad con la siguiente forma genérica:
01
N
i j ij ij
X
donde N representa al número de incógnitas hiperestáticas. El término independiente Δi
sólo resulta no-nulo cuando se elige como incógnita hiperestática Xi a la reacción de un apoyo
sometido a un desplazamiento prefijado. Por otra parte, el término δi0, para un estado de carga
que sólo involucre desplazamientos prefijados, resulta igual al desplazamiento en la dirección de
la incógnita hiperestática Xi producido por el movimiento de "cuerpo rígido" de los apoyos de la
estructura isostática fundamental.
Considérese el ejemplo de la Figura 4.22, donde el extremo C tiene un desplazamiento
prefijado Δ hacia arriba.
Figura 4.22
La estructura adquiere un grado de hiperestaticidad 1 (uno). Eligiendo como incógnita
hiperestática la reacción en C, la única ecuación de compatibilidad adquiere la siguiente forma:
1 11X
donde δ10 = 0 dado que los apoyos de la estructura isostática fundamental no se mueven,
mientras que Δ1 = Δ. En el sistema isostático equivalente (Figura 4.23), el "corte" no se aprecia
por la acción restitutiva de la fuerza 1X aplicada sobre la viga que garantiza el desplazamiento
impuesto sobre la estructura. En el Estado "0", la estructura permanece recta mientras que el
apoyo C pasa a la posición C'. El sentido asignado a la fuerza unitaria en el Estado "1" es tal que
la fuerza aplicada en la viga tiende a subir el extremo C hacia C'. El valor de 11 siempre resulta
positivo (recuérdese que todos los elementos de la diagonal de la matriz de flexibilidad son
positivos). El signo de Δ surge de comparar el sentido del desplazamiento del apoyo en el Estado
"0" con el sentido de la fuerza unitaria aplicada sobre la viga en el Estado "1" (en este caso
resulta positivo).
l l
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-
Figura 4.23
Alternativamente, la estructura isostática equivalente puede definirse eligiendo como
incógnita hiperestática a la reacción del apoyo B. En este caso, Δ1 resulta nulo (el apoyo B no se
mueve) mientras que el término δ10 adquiere un valor igual al desplazamiento de cuerpo rígido
de la estructura isostática, en la sección del apoyo B y en la dirección de su reacción, producido
por el desplazamiento prescripto Δ:
10 1 11 0X
Figura 4.24
El signo de δ10 surge de comparar el sentido del desplazamiento de la viga sobre el apoyo
B con el sentido de la fuerza unitaria aplicada sobre la viga en el Estado "1" (en este caso resulta
negativo).
En las siguientes secciones se demuestra que una elección conveniente de la estructura
isostática fundamental en vigas continuas consiste en introducir articulaciones sobre los apoyos.
En el caso de la Figura 4.24, esto equivale a articular la viga sobre el apoyo B, y de esta forma
los coeficientes Δi resultan siempre nulos, mientras los coeficientes δi0 se calculan como giros
relativos de cuerpo rígido de las barras que concurren a las articulaciones introducidas.
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-
4.6- Método de Tres Momentos
Este método constituye un caso particular del Método de las Fuerzas, especialmente útil
para estructuras de desarrollo unidimensional tales como vigas continuas.
Cuando se enfrenta por primera vez la solución de una viga continua por el Método de las
Fuerzas, el analista tiende intuitivamente a asociar la hiperestaticidad al exceso de apoyos, por lo
que elige como estructura isostática fundamental a una viga simplemente apoyada suprimiendo
los apoyos redundantes y considerando a las reacciones como las incógnitas hiperestáticas.
11 12 1 1 1 10
21 22 2 2 2 20
1 2 0
1 2 0
00
.0
0
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n n
XX
X
X
Figura 4.25
donde:
. ..
iij j
M M dxE I
:ij Es el desplazamiento en el nudo "i" debido a una carga unitaria actuando en "j".
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-
La ecuación de compatibilidad "i" establece que el desplazamiento del punto sobre el
apoyo suprimido "i" es nulo.
Figura 4.26
En general, se verifica que 0ij , y por lo tanto la matriz de flexibilidad resulta
"llena”, es decir que es necesario calcular la totalidad de los coeficientes. La resolución de las ecuaciones de compatibilidad del Método de las Fuerzas para vigas
continuas se simplifica notoriamente eligiendo como la estructura isostática fundamental al
conjunto de vigas simplemente apoyadas obtenidas introduciendo articulaciones sobre los
apoyos. De esta forma, se obtiene una secuencia repetitiva que facilita el cálculo de coeficientes
de la matriz de flexibilidad, ya que es posible deducir una forma general de los mismos no
requiriendo resolver explícitamente las integrales involucradas en su formulación.
Eligiendo como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos, las
ecuaciones de compatibilidad establecen que el "giro relativo" entre los extremos de las barras
que concurren a la articulación introducida es nulo (para mantener la continuidad de la elástica).
ij
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-
Figura 4.27
Observando los dos últimos diagramas de momentos iM y jM puede apreciarse que:
0ij si y solo si 1
1
ij i
i
Si "j" es distinto de (i1), (i), (i1); luego ij resulta nulo (de aquí surge la designación
"Tres Momentos"). En consecuencia, la matriz de flexibilidad posee como máximo 3
coeficientes no nulos por cada fila, lo que produce una matriz de tipo “bandeada” con
importantes ventajas numéricas en la resolución de las ecuaciones de compatibilidad.
Figura 4.28
Los únicos elementos no nulos se encuentran sobre la diagonal principal y sus dos
diagonales contiguas. La matriz de flexibilidad F resulta una matriz tridiagonal. A continuación se demuestra que los tres coeficientes no nulos de cada fila de la matriz de
flexibilidad pueden calcularse fácilmente a través de una "expresión genérica" para cada uno de
ellos.
0M
iM
jM
( 1)i i ii ( 1)i i
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-
Figura 4.29 (invertir diagramas)
:ii giro relativo entre los extremos de las barras que concurren a la articulación "i"
causado por los momentos unitarios colocados en dichos extremos de barra.
:ij giro relativo entre los extremos de las barras que concurren a la articulación "i"
causado por los momentos unitarios colocados en los extremos de las barras que concurren a la
articulación "j". 2 2
0 0
1 1. . . 1 .. .
i dl l
iii i d d
x xdx dxE I l E I l
3. . 3. .
i dii
i d
l lE I E I
,( 1)0
1 . 1 . ..
dl
i id d d
x x dxE I l l
,( 1) 6. .
di i
d
lE I
,( 1)0
1 . . 1 ..
il
i ii i i
x x dxE I l l
,( 1) 6. .
ii i
i
lE I
Los coeficientes de flexibilidad no necesitan deducirse en cada caso particular, y
sólo se requiere utilizar estas expresiones genéricas para armar la matriz de
flexibilidad indicada en la Figura 4.28. Los términos independientes se obtienen integrando a lo largo de toda la viga.
00
0 0 0
. . ( ) ( ).
i dl ll
i i i dM M dxE I
iM sólo es distinto de cero en dos tramos, de modo que la integral se reduce a estos
dos tramos. Los valores i y d son giros de los extremos de dos vigas simplemente apoyadas
que se encuentran tabulados para los casos habituales. La utilidad de las tablas se amplía cuando
un estado complejo de carga se descompone como combinación de estados más simples.
iM
il
1iM
1iM
dl
i
xMl
1
d
xMl
1i
xMl
d
xMl
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-
4.7- Ventajas del Método de Tres Momentos
Resulta importante remarcar que este método es una forma particular del Método de las
Fuerzas, donde las ecuaciones de compatibilidad se plantean de una manera sistemática eligiendo
como incógnitas hiperestáticas iM a los momentos flectores sobre los apoyos. La ecuación de
compatibilidad para el giro en el apoyo "i" resulta:
0
1 1. . . 06. . 3. . 3. . 6. .
i
i i d di i i i d
i i d d
l l l lM M ME I E I E I E I
Figura 4.30
Las ventajas de este procedimiento respecto a otras alternativas de elegir las incógnitas
propias del Método de las Fuerzas se enuncian a continuación.
1- No hace falta deducir los coeficientes de la matriz de flexibilidad en cada caso. La
forma explícita de dichos coeficientes se conoce para tramos de momento de inercia constante.
2- La matriz de flexibilidad tiene un ancho de banda igual a 3 y puede triangularizarse en
pocos pasos, por lo que se facilita la resolución del sistema de ecuaciones de compatibilidad.
3- Los términos independientes se calculan fácilmente combinando el diagrama debido a
un momento unitario en el extremo de la viga con el diagrama de momento flector de una viga
simplemente apoyada. Esto se realiza sólo para 2 tramos adyacentes a cada nudo con incógnita, o
bien los giros i y d se obtienen de tablas.
La matriz de flexibilidad es independiente del estado de cargas que se analice.
Por lo tanto, para solicitaciones externas consistentes en efectos térmicos o
desplazamientos prefijados de los apoyos, la matriz de flexibilidad es la misma que
para cualquier otro tipo de estado de cargas conocidas. Sólo resulta necesario tener en
cuenta su incidencia en el cálculo de los términos independientes 0i .
1iM
il
iM1iM
dl
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-
4.8- Efectos térmicos y desplazamientos prefijados
Se considera un efecto térmico t que representa un descenso de temperatura en la
fibra superior del tramo il , que se superpone con las cargas exteriores iP y dP .
Figura 4.31
Sólo resulta necesario agregar la curvatura térmica t (asumiendo una variación lineal en
altura de la variación térmica) a la curvatura producida por las cargas exteriores.
00 0
. . . .. .
i d
i d
l l
i t i i ti i di dP P
M MM dx M dxE I E I
Siendo:
0
. .il
ti ti
x dxl
1 . .2ti t il
En el caso de un desplazamiento prefijado Δ debido al descenso del apoyo "i" debe
considerarse su incidencia en ( 1),0i , ,0i y ( 1),0i .
Figura 4.32
Los giros se calculan "geométricamente" como la tangente de la elástica que resulta de la
deformación de cuerpo rígido de la estructura, en correspondencia con los apoyos sobre los
cuales se introdujeron las articulaciones.
Los giros relativos son positivos cuando tienen el sentido elegido como positivo
para la incógnita actuante en ese apoyo.
il
dl
il
iP
dl
dP
( )t
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -25-
( )i ( )d
Figura 4.33
En este caso, los giros producidos por el descenso de apoyo en la estructura isostática de
la Figura 4.32 son contrarios al sentido de giro de los momentos indicados en los nudos que se
adoptan como positivos para el nudo "i", pero del mismo signo para los nudos "i–1" e "i+1". De
esta forma, se tiene:
( 1),0iil ,0i
i dl l
( 1),0idl
En definitiva, mover un apoyo en una cantidad prefijada no implica un cambio
de la estructura, sino simplemente la introducción de un estado de carga adicional que
no afecta a la matriz de flexibilidad.
4.9- Cálculo de reacciones y trazado de diagramas: Repitiendo un esquema similar a las Figura 4.30 y Figura 4.31 se tiene:
Figura 4.34
1 1i i i ii Pi Pd
i i d d
M M M MR R Rl l l l
Los momentos 1iM , iM y 1iM llevarán el signo que resulta de resolver el
sistema de ecuaciones de compatibilidad. El trazado del diagrama de momentos flectores requiere la superposición de los diagramas
0M multiplicados por las incógnitas hiperestáticas iM (con su signo). A veces resulta más
simple desplazar la línea de referencia del diagrama 0M según los valores obtenidos para las
incógnitas. De esta manera resulta una línea de referencia de forma poligonal.
Ejemplo:
il
iP
dl
dP1iM 1iM iM
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -26-
Figura 4.35
El Método de Tres Momentos también puede aplicarse a estructuras en forma de
poligonal no ramificada cuyos nudos están restringidos de desplazarse. Por ejemplo:
Figura 4.36
Ejercicio Nº 1:
Determinar el esfuerzo en todas las barras del reticulado del croquis. Material: acero
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -27-
Barra
Nº A
[cm²]
l [cm]
.A El
0N 1N 2N 21
.NA El
2
2
.NA El
1 2..
N NA E
l
0 1..
N NA E
l
0 2..
N NA E
l
fN
1 3 375 16800 166,7 0 0 --- --- --- --- --- 166,7
2 4 300 28000 -133,3 0 0 --- --- --- --- --- -133,3
3 4 225 37333 -100 0 -0,6 --- 9,64e-06 --- --- 1,60e-03 -118,5
4 3 300 21000 133,3 0 -0,8 --- 30,47e-06 --- --- -5,08e-03 108,6
5 3 300 21000 -266,7 1,33 -0,8 8,47e-05 10,47e-06 -5,02e-05 -1,69e-02 10,15e-03 -88,2
6 3 375 16800 166,7 -1,67 1 16,53e-05 59,52e-06 -9,92e-05 -1,65e-02 9,92e-03 -56,4
7 3 375 16800 0 0 1 --- 59,52e-06 --- --- --- 30,9
8 3 225 28000 0 0 -0,6 --- 12,86e-06 --- --- --- -18,5
2,50e-04
11
2,025e-04
22
-1,50e-04
12
-3,34e-02
10
1,66e-02
20
Ecuaciones de compatibilidad:
22 3 4A A cm
21 4 5 6 7 8 3A A A A A A cm
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -28-
1
2
2,5 1,5 334,6.
1,5 2,025 166,1XX
1 152,4X
2 30,9X
Los esfuerzos en el hiperestático se obtienen por superposición
0 1 2152, 4 30,9fN N N N
Ejercicio Nº 2:
La fibra inferior del segundo tramo de la viga continua de dos tramos sufre un aumento de
temperatura ΔTI. Asumiendo una variación lineal de temperatura en la altura de la viga, se pide
resolver el problema hiperestático y trazar los diagramas de solicitaciones.
IT
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -29-
Cálculo de 10 :
2
100
.1. . .2
lt
tlx dx
Nótese que el primer tramo gira como cuerpo rígido alrededor de B.
Cálculo de 11 : (despreciando deformación por corte)
2 3
110
1. 2.2. .. 3. .
l x ldxE I E I
La ecuación de compatibilidad establece que el extremo de la viga no debe separarse del
apoyo.
10 11. 0X 10
11
. .3 .4
tE IXl
El estado final se obtiene por superposición:
1Estado Final = Estado "0" + X .Estado "1"
IT
10
11
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -30-
Ejercicio Nº 3:
Calcular los diagramas , ,f tQ M M para el emparrillado plano de sección circular hueca y
forma de triángulo isósceles cargado perpendicularmente en el centro de la base del triángulo.
2.0, 4.
. 0,8. .
J IG EG J E I
Por la simetría respecto al eje “y” se analiza sólo la mitad de la estructura, colocando
sobre el plano de simetría empotramientos deslizantes que restringen el giro alrededor del eje y.
1 .4 t
3 .4 t
t
3 . . .4 tE I
t
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -31-
Se trata de un cuerpo plano con cuatro condiciones de apoyo. Se elige como incógnita
hiperestática el momento flector (momento alrededor del eje y) en el punto de aplicación de la
carga.
2 2 211
1 1 1 88.30. 1 .50. 0,6 .50. 0,8. . . .
Flexión en AC Flexión en AB Torsión en AB
E I E I G J E I
101 1 1 1095..30. 1 . 15. .50. 0,6 . 9. .50. 0,8 . 12.. . . .
Flexión en AC Flexión en AB Torsión en AB
PP P PE I E I G J E I
Se plantea la ecuación de compatibilidad: el giro en C alrededor del eje y es nulo.
10 11. 0X 1095.
.88.
PE IX
E I
12, 44.X P
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -32-
Nótese que la viga AC se encuentra en una situación intermedia entre simplemente
apoyada y biempotrada.
Ejercicio Nº 4:
Resolver el estado de cargas finales en la estructura de la figura y obtener los diagramas
de esfuerzos.
30ºt C 6
4 62
2 62
2 2
130º 11 10 .º
1000 2,1 10
10,0 0,84 10
1,0 0,5c tensor
t CC
KgI cm Ecm
KgA cm Gcm
A cm A cm
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -33-
2 2 2
111 0 0
. . .. . .
i il lni i
i c
N l M Qdx dxA E E I A G
3 3 6 3 511 0,269 10 0, 266 10 4,76 10 0,317 10 5,95 10
Tensores Normal Momento Flector Corte
411 9,1677 10
001
1
. . . ..
n
ii i
N l t l NA E
6 601 6
223,6 447, 2 330 10 447, 2 . 0,790 330 10 282,8 . 10,5 2,1 10
6 2 2 26
200 200 330 10 200 . 0,707 4,1352 10 9,3324 10 4,80 1010 2,1 10
201 9,9981 10
11 01. 0X 01
11
X
109,06X Kg
6. 330 10t
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -34-
Ejercicio Nº 5:
Determinar las reacciones de apoyo en el caso genérico de la viga biempotrada con un
momento concentrado, eligiendo como isostático fundamental al voladizo empotrado en A.
.l
.l .l
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -35-
10 . ..
MlE I
; 20.. . .
. 2M l llE I
; 2
11
1 ..
lE I
; 121 1. ..2 .
l lE I
221 . ... 3
l l lE I
Las ecuaciones de compatibilidad garantizan que el extremo no rota ni se desplaza.
10 1 11 2 12
20 1 21 2 22
. . 0
. . 0X XX X
2
2 3
. . .1.. 2. . .
.. . .. 22. . 3. .
B
B
Ml l M lE IE I E I
M l ll l lR E IE I E I
Resolviendo el sistema resultan los siguientes valores para las incógnitas hiperestáticas
. 3. 1 .BM M 6. . .BMRl
Por superposición de los Estados "0" más BM veces el estado "1" más BR veces el estado
"2", se obtienen las reacciones en A.
. 3. 1 1 .AM M 6. . .BMRl
Recordar el sentido positivo de las fuerzas y momentos
Por ejemplo, sea 0,3 (se invierte el sentido del momento aplicado):
Momentos positivos son antihorarios (+)
Fuerzas positivas hacia arriba
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -36-
Ejercicio Nº 6:
Resolver por el Método de Tres Momentos los casos siguientes:
a)
La incógnita es AM , y se considera como carga exterior al momento en B: .BM P a
10 A (Debido a .BM P a )
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -37-
. . .6. . 6. .Al M l P aE I E I
El momento en B produce en A un giro antihorario que es de signo opuesto al sentido
horario adoptado por la incógnita AM .
La ecuación de compatibilidad es:
. .. 03. . 6. .A
l l P aME I E I
.2A
P aM , es decir que AM resulta positivo.
b) De tablas:
3.24. .Bd
q lE I
3.
24. .Ciq l
E I
2.16. .Cd
P lE I
3
10.
24. .q l
E I
3 2
20. .
24. . 16. .q l P l
E I E I
El sistema de ecuaciones de compatibilidad será:
( )M
.2
P a
3 ..2
P al
3 ..2
P al
.2
P a
3 ..2
P al
3. 1 .2
aPl
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -38-
3
3 2
. 03. . 3. . 6. . 24. ..
. . 06. . 3. . 3. . 24. . 16. .
B
C
l l l q lME I E I E I E I
l l l q l P lME I E I E I E I E I
2. .20 40Bq l P lM
; 2. .
20 10Cq l P lM
Suponiendo: 2. . 0BP q l M
O bien referido a la línea de referencia a horizontal:
.20 40Aq l PR ;
11 21. . .20 40CR q l P
11 3. . .20 20BR q l P ;
1 2. . .20 5DR q l P
Ejercicio Nº 7:
En la viga continua del croquis se pide resolver los siguientes estados de carga usando el
Método de Tres Momentos.
1 1. . .20 10
q l P
1 1. . .2 8
q l P
1 1. . .2 8
q l P
1 3. . .20 5
q l P
1 2. . .20 5
q l P
23 3. . . .40 80
q l P l
2. .5 40
P l q l
BM CM
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -39-
a) Descenso Δ del apoyo “C”.
b) Descenso ΔTI de la temperatura de la fibra inferior del tramo AB.
a) La estructura es hiperestática de primer grado, y se plantea la ecuación de compatibilidad
de giro en el punto B.
11 1 10. 0M
. 03. . 3. . B
l l ME I E I l
2
3 .. .2B
E IMl
Cálculo de reacciones:
3
3. . .2.AE IR
l
; 3
3. . .B
E IRl
; 3
3. . .2.CE IR
l
3
3. . .2.E I
l
3
3. . .2.E I
l
3
3. . .2.E I
l
3
3. . .2.E I
l
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -40-
b)
La flexibilidad es la misma que en el caso a), y sólo cambia 10 .
.. 03. . 3. . 2B
l l lME I E I
3 . . .4BM E I
La incógnita resulta positiva, luego el momento flector es:
Cálculo de las reacciones:
( )M
10
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -41-
Ejercicio Nº 8:
Resolver la viga continua por el Método de Tres Momentos.
4
62
2,00 800
2,1 10 1000
2 12A
l m I cmKg KgE qcm m
cm h cm
La estructura es un sistema hiperestático de segundo grado. Se adopta como incógnitas
hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos B y C.
3 . ..4
E Il
3 . ..4
E Il
3 . ..4
E Il
3 . ..4
E Il
t
. tME I
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -42-
0,01ABi l
; 3
3. 1,984 1024. .Bd
q lE I
; 3
3. 1,984 1024. .Ci
q lE I
Las ecuaciones de compatibilidad establecen que no hay giro relativo entre los extremos
de barras que concurren en B y C.
03. . 3. . 6. . .
06. . 3. . 3. .
B Bi Bd
C Ci
l l l ME I E I E I
l l lM
E I E I E I
8 8
8 8
0,0119847,9365 10 1,9841 10.
0,0019841,9841 10 7,9365 10
B
C
M
M
154400BM ; 13600CM
Ad
Bi
Bd Ci
2. 500008
q l
BM CM
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -43-
La máxima tensión por flexión resulta:
2
154400 1158800
6
Kgcm
Ejercicio Nº 9
Calcular las reacciones y trazar los diagramas de esfuerzos de la siguiente viga continua
usando el Método de Tres Momentos y despreciando las deformaciones cortantes.
7 2
4 4
3 10 kN m8 10 m (0.15 0.40)12 kN m10000 kN m2.5 m
EIqkl
Estructura Isostática Equivalente
q
k
X1 X2
q
k
l l
A B C
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -44-
Estado “0”
Estado “1”
q
k
15 kN2q l
Reacciones 15 kN2q l
fM2
9.375 kN.m8
q l
k
1
1 0.4 kNl Reacciones 1 0.4 kN
l
Q0.4
N(compresión en resorte)15( )
N0.4 (tracción en resorte)( )
fM1
Q15
15
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -45-
Estado “2”
Determinación de condiciones de compatibilidad
4 4 410
1 15 0.49.375 1 2.5 3.255 10 6.000 10 9.255 10 rad3EI k
4 4 420
1 15 0.89.375 1 2.5 3.255 10 12.000 10 8.745 10 rad3EI k
25 5 5
112.5 0.4 3.472 10 1.600 10 5.072 10 rad3EI k
25 5 5
222.5 0.82 6.944 10 6.400 10 13.344 10 rad3EI k
5 5 512 21
2.5 0.4 0.8 1.736 10 3.200 10 1.464 10 rad6EI k
1011 12 1 1
2021 22 2 2
16.8904.700
X XX X
Cálculo de reacciones
0 1 1 2 2R R X R X R
15 16.890 0.4 ( 4.700) ( 0.4) 23.636 kN15 16.890 ( 0.4) ( 4.700) 0.8 4.484 kN0 16.890 0 ( 4.700) ( 0.4) 1.880 kN
A
B
C
RRR
N0.8 (compresión en resorte)( )
k
1
0.4 kN Reacciones 0.8 kN 0.4 kN
fM1
Q0.4
0.4
CAPITULO 4 METODO DE LAS FUERZAS _____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -46-
0 23.636 4.484 1.880 12 2.5VF
Trazado de diagramas de esfuerzos
9.375 16.890 ( 0.5) ( 4.700) ( 0.5) 3.28 kN.mA BM
Q
23.64
6.361.88
fM
3.28 4.70
16.89