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Capıtulo 2

Sistemas de raıces abstractas

En este capıtulo se presenta el concepto de sistema de raıces de maneraabstracta e independiente de la Teorıa de algebras de Lie. Se recolectan variaspropiedades tanto geometricas como algebraicas de los sistemas de raıces ydesarrollaremos herramientas que reduciran nuestro interes en sistemas deraıces irreducibles, de lo que nos encargaremos en el proximo capıtulo.

2.1 Nociones basicas

Antes de comenzar en forma el estudio de sistemas de raıces, es pertinenterecordar algunos hechos sobre reflexiones en espacios euclidianos.

Reflexiones en un espacio euclidiano

En todo este capıtulo, trabajaremos con un espacio euclidiano E y denotare-mos por 〈, 〉 al producto euclidiano de tal espacio. Recuerde que un hiperplanoes un subespacio de codimension 1.

Definicion 2.1. Una reflexion en un espacio euclidiano E es un operadorlineal R : E × E → E el cual tiene asociado un hiperplano P ⊂ E, llamadohiperplano reflectante, que satisfacen las siguientes propiedades:

(Rf1) Para cada vector w ∈ P, tenemos R(w) = w;

(Rf2) si v es un vector ortogonal a P, entonces R(v) = −v.

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8 Sistemas de raıces abstractas

Es claro que si dos reflexiones tienen asociado el mismo hiperplano, en-tonces son las mismas reflexiones. Cada vector no nulo v determina un unicohiperplano Pv

def={w ∈ V : 〈w,v〉 = 0} y la reflexion a la que se asocia tal

hiperplano sera denotada por Rv. La formula explıcita para las reflexioneses

Rv(w) = w − 2〈w,v〉〈v,v〉 v, (2.1)

pues la imagen de v bajo Rv es −v y fija a todo vector w ∈ Pv. Es claroque un vector proporcional a v da origen a la misma reflexion ya que si a escualquier escalar diferente de cero, tenemos que para todo vector w ∈ E

Rav(w) = w − 2〈w, av〉〈av, av〉(av) = w − 2

〈w,v〉〈v,v〉 v = Rv(w).

Como el numero 2 〈w,v〉〈v,v〉 aparecera frecuentemente, lo abreviaremos por el

sımbolo |w,v|. Note que |, | es lineal solo en la primera componente y sia 6= 0, entonces |v, aw| = 1

a|v,w|.

Es importante recordar en este momento algunas propiedades importantesde las reflexiones.

• La matriz que representa una reflexion es similar a la matriz diagonaldiag(1, 1, . . . , 1,−1), esto es claro ya que basta con tomar cualquier basedel hiperplano reflectante y acompletar tal base a una base del espacioagregando un vector ortogonal a tal hiperplano. Se sigue entonces queel determinante de una reflexion es igual a −1.

• Las reflexiones son involuciones, es decir, R2v

= id.

• Las reflexion preservan el producto interior del espacio E, es decir, parav ∈ E y cualesquiera dos vectores u,w ∈ E,

〈Rv(u),Rv(w)〉 = 〈u,w〉 .

• Tambien es importante tener en cuenta que las reflexiones son funcionescontinuas, con respecto a la topologıa inducida por el producto interior.

2.1 Nociones basicas 9

Un operador T deja invariante a un subconjunto A del espacio E, si T(A) ⊂A. Un hecho util que caracteriza a las reflexiones es el siguiente:

Proposicion 2.1. Sea Φ un conjunto finito que genera al espacio E y supongaque todas las reflexiones Rv, con v ∈ Φ, dejan invariante a Φ. Si S es unoperador lineal invertible en E que cumple con las siguientes tres propiedades

• deja invariante a Φ,

• fija a todos los puntos de un hiperplano P ⊂ E,

• la imagen de un vector no nulo u ∈ Φ bajo S es −u,

entonces S = Ru y P = Pu.

Demostracion. Definamos T = SR−1u

, entonces tenemos T(Φ) = SR−1u

(Φ) =S(Φ) = Φ y T(u) = SR

−1u

(u) = S(u) = u. Si Span{u} es el subespaciogenerado por el vector u, existe un isomorfismo ϕ : E/ Span{u} → P y

definase T(v + Span{u}) = ϕ−1Tϕ(v + Span{u}). En consecuencia, se tieneel siguiente diagrama conmutativo

E/〈u〉

ϕ

²²

T // E/〈u〉

ϕ

²²P

T

// P

Como T = id en P, concluimos que T = id, es decir, T actua como la identi-dad en el cociente. Es claro que T actua como la identidad en el subespacio〈u〉 y por tanto, todos los valores propios de T son iguales a 1 y el polinomiomınimo de T divide a p1(x) = (x − 1)ℓ, con ℓ = dimE. Por otro lado, comoΦ es finito, no todos los vectores w,T(w),T2(w), . . . pueden ser distintos,ası que debe de existir un entero positivo k para el cual Tk(w) = w. Se-leccionemos k suficientemente grande para que Tk fije a todos los vectoresen Φ. Como Φ genera a E, forzosamente tendremos que Tk = id ası que elpolinomio mınimo de T divide a p2(x) = xk − 1. Combinado con lo anterior,se muestra que el polinomio mınimo es el maximo comun divisor de p1 y p2,es decir, p(x) = x − 1. Se concluye que T = id.

El conjunto de todos los operadores lineales invertibles de un espaciovectorial E, denotado como GL(E), se llama grupo general lineal de E. Sepuede verificar que, efectivamente, GL(E) tiene estructura de grupo.


Sistema de raıces

Ahora se dara la definicion del objeto de estudio de este capıtulo.

Definicion 2.2. Un subconjunto Φ de un espacio euclidiano E es llamadoun sistema de raıces en E si los siguientes axiomas se satisfacen:

(R1) Φ es finito, genera a E y no contiene al vector nulo.

(R2) Si α ∈ Φ, los unicos multiplos de α en Φ son ±α.

(R3) Si α ∈ Φ, la reflexion Rα deja invariante a Φ.

(R4) Si α, β ∈ Φ, entonces |β, α| ∈ Z.

A los elementos de Φ se les llaman raıces. Es claro que (R2) y (R3) im-plican que Φ = −Φ.

El axioma (R1) no es tan severo, pues si Φ es un conjunto finito que nocontiene al cero y satisface (R2), (R3) y (R4), entonces Φ es un sistema deraıces en el subespacio que genera.

Sea Φ un subconjunto de E que satisface (R1), (R3) y (R4); suponga queα ∈ Φ tal que kα ∈ Φ con k ∈ R, entonces el hecho de que los numeros|α, kα| y |kα, α| son enteros implica que 2

k, k

2∈ Z y esto sucede si y solo si

k ∈ {±12,±1,±2}. La informacion que nos proporcionan los multiplos ex-

tras, se puede obtener de ±α. Ası, al incluir como axioma (R2), estamoseconomizando el estudio. En algunos textos (ver [7], p. 103) se abordan lossistemas de raıces excluyendo (R2) y a lo que nosotros presentamos con elnombre de sistema de raıces se nombra como “sistema reducido de raıces”.

El axioma (R3), sugiere una accion del grupo generado por las reflexionescuyos hiperplanos reflectantes son los hiperplanos ortogonales a una raız.Este grupo juega un papel importante en el estudio de sistemas de raıces ytiene propiedades especiales cuando el sistema de raıces sea irreducible.

El axioma (R4) tiene consecuencias geometricas muy fuertes, pues elangulo que pueden formar una pareja arbitraria de raıces es bastante limi-tado, de hecho, existen pocos angulos diferentes (mod 2π) como se muestraen la Tabla 2.1.


Ahora, veremos algunos ejemplos que nos seran de utilidad. Primero,

definimos el rango de un sistema de raıces Φ en E como rank Φdef= dimE.

Ejemplo 2.1.1. Sea E = R y tomemos un numero α 6= 0, entonces Φ ={α,−α} es evidentemente un sistema de raıces. A tal sistema se le denotacomo A1 y graficamente se verıa como indica la figura siguiente:

α

Figura 2.1: Sistema de raıces de rango 1.

El rango 2 ofrece mas posibilidades, cuatro de las cuales son presentadosen los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.1.2. En R2, considere Φ = {α = (0, 1), β = (1, 0),−α,−β}, loque se representa en la siguiente figura:

α

β

Figura 2.2: Sistema de rango 2 con 4 raıces.

Los axiomas (R1) y (R2) son evidentes. El axioma (R3) se puede verificardirectamente de la figura 2.2, pues las reflexiones

Rα :α 7→ −αβ 7→ β

y

Rβ :α 7→ αβ 7→ −β

dejan invariante a Φ. Un calculo breve muestra que los productos |γ, δ| tomanlos valores ±2 o cero, con lo que se satisface (R4). A este sistema lo deno-taremos como A1 × A1.


Ejemplo 2.1.3. Ahora, tomemos α = (1, 0) y β =(−1

2,√

32

)para formar el

conjunto Φ = {±α,±β,±(α + β)}.

α

β


Nuevamente, los axiomas (R1) y (R2) son claros. Con la ayuda de lafigura 2.3, podemos verificar facilmente que (R3) se cumple para Φ. Comotodos los vectores de Φ tienen norma 1, |, | es lineal en las dos componentesy ası, es facil ver que los valores |γ, δ| son ±1 o ±2. A este sistema de raıceslo denotaremos por A2.

Ejemplo 2.1.4. Tomemos α = (1, 0) y β = (−1, 1). Definimos

Φ = {±α,±β,±Rβ(α),±Rα(β)} ,

y por la formula (2.1), es facil verificar que

Rβ(α) = α + β = (0, 1) Rα(β) = β + 2α = (1, 1).

Es evidente que Φ satisface los axiomas (R1) y (R2). Con ayuda de la figurasiguiente

α

β


podemos verificar el axioma (R3) mientras que el axioma (R4) necesita unpequeno calculo elemental para verificar que los productos |γ, δ| toman losvalores ±1,±2 o cero. A este sistema de raıces lo denotaremos como B2.


Ejemplo 2.1.5. Sean α = (1, 0) y β =(−3

2,√

32

), ahora recolectemos los

siguientes vectores:

Rα(β) = β + 3α =

(3

2,

√3

2

), Rβ(α) = α + β =

(−1

2,

√3

2

),

RαRβ(α) = β + 2α =

(1

2,

√3

2

), RβRα(β) = 2β + 3α =

(0,√

3)

y sus negativos para formar el conjunto

Φ = {±α,±β,±(α + β),±(2α + β),±(3α + β),±(3α + 2β)} ,

que graficamente, se ve como indica la siguiente figura:

α

β


Nuevamente, los axiomas (R1) y (R2) son claros, mientras que la figura nosayuda a verificar manualmente el axioma (R3). Los productos |γ, δ| puedentomar los valores ±1,±3 o cero. Este sistema de raices se denota como G2.

Mas adelante veremos que la eleccion que hacemos para las raıces α y βes altamente conveniente. Notese que la cantidad de raıces en cada ejemploes diferente; cuando vinculemos los sistemsa de raıces con las algebras de Liepresentaremos una formula que relaciona el rango de un sistema de raıces yla cardinalidad de este con la dimension de un algebra de Lie semisimple.

Tambien, podemos ver que cada sistema de raıces se puede ver comocopias de A1 colocadas de una determinada manera, es decir, satisfaciendociertas relaciones dependientes de los algunlos y las longitudes relativas delas raıces.


Isomorfismos

Ahora, presentaremos una relacion de equivalencia entre sistemas de raıcesque es bien conocida en toda estructura algebraica. En cierto sentido, estarelacion nos permite discernir cuando dos sistemas de raıces son escencial-mente el mismo y claro esta que nos interesaremos en estudiar sistemas deraıces salvo isomorfismos.

Comenzaremos presentando un resultado que nos dice como actua undeterminado subgrupo de operadores lineales de E que dejan invariante a Φsobre las reflexiones correspondientes a raıces en Φ.

Proposicion 2.2. Sea Φ un sistema de raıces en E. Si S ∈ GL(E) dejainvariante a Φ, entonces SRαS−1 = RS(α) para todo α ∈ Φ y ademas |β, α| =|S(β), S(α)| para todo α, β ∈ Φ .

Demostracion. Para cada β ∈ Φ y toda α ∈ Φ tenemos que Rα(β) ∈ Φ, asıque (SRαS−1) (S(β)) = SRα(β) ∈ Φ, pero por linealidad se observa que

(SRαS

−1)(S(β)) = S(β − |β, α|α) = S(β) − |β, α|S(α). (2.2)

Como S es biyectiva, concluimos que SRαS−1 deja invariante a Φ, mientrasfija a todo punto del hiperplano S(Pα) y manda a S(α) en −S(α). Por laProposicion 2.1, tenemos que SRαS−1 = RS(α). Finalmente, es claro que

RS(α)(S(β)) = S(β) − |S(β), S(α)|S(α), (2.3)

y comparando (2.2) con (2.3), se tiene la segunda aseveracion.

Ahora, veremos en que sentido depende un sistema de raıces con respectodel producto interior del espacio.

Proposicion 2.3. Sean E un espacio vectorial real de dimension finita y(, )1, (, )2 dos productos euclidianos en E. Suponga que Φ es un sistema deraıces en (E, (, )1) y ϕ : (E, (, )1) → (E, (, )2) es una transformacion linealinvertible. Una condicion necesaria y suficiente para que ϕ(Φ) sea un sistemade raıces en (E, (, )2) es

|α, β|1 = |ϕ(α), ϕ(β)|2

para toda pareja de raıces α y β en Φ.


Demostracion. Para la necesidad, supongamos que ϕ(Φ) es un sistema deraıces en (E, (, )2), entonces cada Rϕ(α) deja invariante a ϕ(Φ), es decir,

Rϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ(β) − |ϕ(β), ϕ(α)|2ϕ(α) ∈ ϕ(Φ),

para cualquier eleccion de α y β en Φ. Ahora, cada raız en Φ se puede escribircomo Rα(β), para algunos α, β ∈ Φ y ası,

ϕ(Rα(β)) = ϕ(β) − |β, α|1ϕ(α) ∈ ϕ(Φ).

Como ϕ es biyectiva, se sigue que ϕ−1Rϕ(α)ϕ(β) ∈ Φ para todo par deraıces α y β. Ademas, ϕ−1Rϕ(α)ϕ deja invariante a Φ, manda a α en sunegativo y deja fijos a todos los puntos en el hiperplano ϕ−1

(Pϕ(α)

). Por la

Proposicion 2.1, tenemos que ϕ−1Rϕ(α)ϕ = Rα para toda α ∈ Φ y se infierela igualdad

|β, α|1 = |ϕ(β), ϕ(α)|2. (2.4)

Para la suficiencia, si ϕ satisface la condicion (2.4), entonces ϕ(Φ) cumple(R4); por ser ϕ lineal y biyectiva, ϕ(Φ) cumple (R1) y (R2); y por ultimo, siϕ(α) es una raız en ϕ(Φ) y tomamos cualquier ϕ(β) ∈ ϕ(Φ), tenemos que

Rϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ(β) − |ϕ(β), ϕ(α)|2ϕ(α)

= ϕ(β) − |β, α|1ϕ(α)

= ϕ (β − |β, α|1α)

= ϕ (Rα(β)) ∈ ϕ(Φ),

con lo que ϕ(Φ) cumple con (R3) y es un sistema de raıces en (E, (, )2).

Una conclusion importante de esta discucion es la siguiente.

Teorema 2.4. Sean (E1, (, )1) y (E2, (, )2) dos espacios euclidianos de di-mension finita sobre un campo F. Si dimE1 = dimE2, entonces existe unacorrespondencia uno-a-uno entre los sistemas de raıces de E1 y los sistemasde raıces de E2.

Demostracion. Si {e1, . . . ,en} es una base ortonormal de E1 y {f 1, . . . ,fn}es una base ortonormal de E2, definimos T :

∑xiei 7→ ∑

xif i. Es facilver que T es un isomorfismo que preserva los productos interiores. Por laProposicion 2.3, a cada sistema de raıces Φ en E1, le hacemos corresponderT(Φ) en E2.


Esto nos lleva a la definicion de isomorfismo de dos sistemas de raıces Φy Φ′ en los espacios E y E′, respectivamente:

Definicion 2.3. Diremos que (Φ,E) y (Φ′,E′) son isomorfos, que denota-mos por el sımbolo Φ ∼= Φ′, si existe un isomorfismo de espacios vectorialesϕ : E → E′ que mande a Φ sobre Φ′ tal que |ϕ(β), ϕ(α)|′ = |β, α| para cadapar de raıces α, β ∈ Φ.

Ejemplo 2.1.6. Cualquier sistema de raıces Ψ en R es isomorfo a A1, yaque por (R2) Ψ tiene dos raıces β y −β. El isomorfismo es β 7→ α.

Sea E un espacio euclidiano de dimension ℓ. En la familia de sistemas deraıces en E podemos definir la siguiente relacion:

Diremos que Φ esta relacionado con Φ′, que denotamos Φ ∼ Φ′, si lossistemas Φ y Φ′ son isomorfos.

El siguiente resultado establece que esta es, de hecho, una relacion deequivalencia. La demostracion es inmediata de las definiciones y por talmotivo, no se presentara.

Proposicion 2.5. La relacion de isomorfismo es una relacion de equivalenciaen la familia de sistemas de raıces.

Como una concecuencia inmediata, se tiene que si dos sistemas de raıcesson isomorfos, entonces tienen el mismo numero de raıces y los espacios quegeneran tienen la misma dimension.

Propiedades geometricas y cadenas de raıces

En esta subseccion, discutiremos un poco de cuestiones geometricas de lossistemas de raıces y un resultado muy importante que obtendremos es laTabla 2.1, donde se presentan los angulos permisibles entre cualesquiera dosraıces no proporcionales, ası como los posibles valores de los numeros |α, β|.Tambien, presentamos un el concepto de cadenas de raıces y mostraremosuna manera alternativa de intoducir los sistemas de raıces en terminos deestos objetos.


El axioma (R4) limita severamente los posibles angulos que hay entre unapareja de raıces. Recordando que el coseno del angulo θ entre los vectoresno nulos α y β en E esta dado por la formula

‖α‖ ‖β‖ cos θ = (α, β),

podemos ver que

|β, α| = 2(β, α)

(α, α)= 2

‖β‖‖α‖ cos θ

y ası, |α, β||β, α| = 4 cos2 θ. Sabemos que 0 ≤ cos2 θ ≤ 1 y es claro que |α, β|tiene el mismo signo que |β, α|, por lo que tenemos

|α, β||β, α| =

0 si y solo si θ = π2

1 si y solo si θ ∈{

π3, 2π

3, 4π

3, 5π

3

}


π4, 3π

4, 5π

4, 7π

4

}


π6, 5π

6, 7π

6, 11π

6

}

4 si y solo si θ ∈ {0, π}

Concluimos que las siguientes posibilidades son las unicas cuando α no esproporcional a β y ‖β‖ ≥ ‖α‖:

Tabla 2.1: Los valores de |α, β|, los angulos y las longitudes relativas.

|α, β| |β, α| θ ‖β‖2

‖α‖2

0 0 π2

−1 1 π

31

−1 −1 2π3

11 2 π

42

−1 −2 3π4

21 3 π

63

−1 −3 5π6

3

A continuacion, veremos un resultado que nos sera de utilidad mas adelante.

Proposicion 2.6. Sean α y β dos raıces no proporcionales. Si (α, β) > 0,entonces α − β es raız. Si (α, β) < 0, entonces α + β es raız.

Demostracion. La segunda aseveracion se sigue de la primera reemplazandoβ por −β.


Ahora, como (α, β) es positivo si y solo si |α, β| lo es, la Tabla 2.1 muestraque uno de los dos numeros, |α, β| o |β, α|, es igual a 1. Si |α, β| = 1, entonces

Rβ(α) = α − |α, β|β = α − β ∈ Φ por (R3);

similarmente, si |β, α| = 1, tenemos que Rα(β) = β − α ∈ Φ y por tanto,Rβ−α(β − α) = α − β ∈ Φ.

Considere un par de raıces no proporcionales α y β. Observe a todas lasraıces de la forma β + kα con k ∈ Z, llamada la α-cadena a traves de β obien α-cadena por β. Sean r y q los enteros positivos mas grandes para loscuales β − rα y β + qα son raıces. Como una aplicacion de la Proposicion2.6 tenemos el siguiente:

Corolario 2.7. La α-cadena a traves de β es irrompible desde β − rα hastaβ + qα, es decir, β + iα ∈ Φ para todo entero −r ≤ i ≤ q.

Demostracion. Si alguno de los β + iα no es raız, podemos encontrar enteros−r ≤ p < s ≤ q tales que

β + pα ∈ Φ, β + (p + 1)α /∈ Φ, β + (s − 1)α /∈ Φ y β + sα ∈ Φ.

Si (α, β + sα) > 0, por la Proposicion 2.6 tendrıamos que β + (s − 1)α ∈ Φ,lo que es absurdo. Similarmente, 0 ≤ (α, β + pα). Se concluye que

s(α, α) ≤ p(α, α),

pero esto es absurdo pues p < s y α 6= 0.

Ahora, veamos como actuan las reflexiones en las cadenas. Si α ∈ Φ, Rα

solo suma o resta un multiplo de α a cualquier raız. Ası, estas cadenas soninvariantes bajo Rα. Geometricamente, es claro que el numero de raıces dela α-cadena que quedan de un lado del hiperplano Pα es el mismo que elnumero de raıces que quedan del otro, es decir, Rα invierte el sentido de lacadena; en particular, Rα(β + qα) = β − rα. Por otro lado, tenemos

Rα(β + qα) = Rα(β) + qRα(α) = β − |β, α|α − qα,

ası que r − q = |β, α|. De esta discucion se sigue el siguiente resultado.

Proposicion 2.8. Las cadenas de raıces son de longitud a lo mas 4.


A continuacion, se presenta una figura donde se encuentra una cadena enG2. Como se puede ver, esta cadena esta saturada.

α

β + 2αβ + α β + 3αβ

Figura 2.6: La α-cadena que pasa por β en G2.

Una presentacion alternativa de los sistemas de raıces es a traves de lascadenas. A continuacion, veremos como podemos reemplazar los axiomas(R3) y (R4) en terminos de las propiedades que hemos desarrollado para lascadenas de raıces.

Teorema 2.9. Sea Φ un conjunto finito de generadores del espacio euclidianoE que satisface (R2). Una condicion necesaria y suficiente para que Φ seaun sistema de raıces en E es la siguiente

(C) Para dos vectores α y β en Φ que sean linealmente independientes,existen dos enteros no negativos r y q, maximales tales que β +kα ∈ Φpara todo entero −r ≤ k ≤ q y tambien satisfacen |β, α| = r − q.

Demostracion. La necesidad es clara en este momento por el Corolario 2.7y la discusion previa a la Proposicion 2.8. Para la suiciencia, como Φ esun conjunto de generadores, (R1) se satisface. Por (C), los productos |γ, δ|son r − q o bien ±2, que son enteros y se tiene ası (R4); ademas que −r ≤−(r−q) ≤ q ası que Rα(β) = β−(r−q)α ∈ Φ por lo que (R3) se cumple.

Gracias a este resultado, ahora tenemos una manera equivalente de veri-ficar si un determinado subconjunto de un espacio euclidiano es un sistema deraıces. Cuando estudiemos algebras de Lie semisimples y sus raıces, haremosuso de este Teorema para demostrar que el conjunto de raıces de un algebrade Lie semisimple es un sistema de raıces como se estudia en este capıtulo.


Sistema de raıces de rango 2

El proposito de esta subseccion es presentar la clasificacion completa de lossistemas de raıces de rango 2. Los argumentos que presentaremos ilustranel manejo de los axiomas de sistemas de raıces y el uso de la Tabla 2.1.Procederemos por casos:

(i) Sean α y β dos raıces ortogonales en Φ. Por (R2), sabemos que{±α,±β} ⊂ Φ y si no hay mas elementos en Φ, es claro que es unsistema de raıces isomorfo a A1 × A1.

(ii) Sea α una raız y supongamos que β es otra raız que forma un angulode 5π

6con α. Por el axioma (R3), tenemos que Rα(β),Rβ(α) ∈ Φ.

Luego, RαRβ(α) y RβRα(β) tambien deben de ser raıces. Agregandolos negativos de estos vectores, tenemos un subconjunto de Φ que esisomorfo a G2.

α

β Rα(β)Rβ(α)

RβRα(β)

RαRβ(α)

Si existiera un vector mas en Φ, digamos γ, tendrıamos que γ es unmultiplo no valido de alguna otra raız α o bien, que el angulo que formacon α no se encuentra en la Tabla 2.1, lo que es absurdo en cualquierade los dos casos.

(iii) Ahora, tomemos dos raıces α y β que formen un angulo de 3π4

. Nueva-mente, por (R3), tenemos que Rα(β) y Rβ(α) son raıces y el subcon-junto de Φ conformado por estos vectores y sus negativos es un sistemade raıces isomorfo a B2.


α

Rβ(α) Rα(β)β

De nueva cuenta, por la restriccion en los angulos y (R2), no hay ningunotro vector en Φ.

(iv) Finalmente, si tenemos dos raıces α y β a un angulo de 2π3

, entonces elsubconjunto de Φ que consta de los vectores ±α,±β y ±Rα(β) es unsistema de raıces isomorfo a A2.

α

β Rα(β)

Si existiera un vector δ que forme un angulo de π6

con α, tendrıamosque Rα(δ) forma un angulo de 5π

6con α y ası (Rα(δ), δ) < 0. Por la

Proposicion 2.6, Rα(δ) + δ es una raız y es ortogonal a α. Todo estonos genera un sistema de raıces isomorfo a G2.

Es claro, por la Tabla 2.1, que no podemos tener un vector δ que tengaun angulo de π

4o de 3π

4con α.

Esta es la clasificacion completa de sistemas de raıces de rango 2. Noteseque el sistema A1 ×A1 puede ser descompuesto como la union de dos subsis-temas mutuamente ortogonales, mientras que A2, B2 y G2 no gozan de dichapropiedad.

Analizando el sistema G2, podemos ver que solo existen dos longitudesdiferentes de raıces y mas adelante, veremos que tan comun es este hechoen sistemas de raıces irreducibles. Ademas, podemos ver a A2 como el sub-sistema de G2 que consta de todas las raıces de longitud corta; tambienpodemos encontrar tres copias isomorfas de A1 ×A1 en G2 y dos mas en B2.Es decir, los sistemas G2 y B2 contienen a todos los sistemas de rango 2 comosubsistemas.


2.2 Bases y Raıces simples

En esta seccion, concentraremos nuestra atencion a un subconjunto del sis-tema de raıces que nos describa de manera adecuada el comportamiento delresto de las raıces. Tambien presentaremos algunas propiedades de las raıcessimples que nos ceran de utilidad posteriormente.

Bases

Uno de los conceptos importantes del Algebra Lineal es el de base de unespacio vectorial. Entre otras aplicaciones, las bases facilitan muchos de losresultados del algebra lineal en el estudio de un numero finito de vectoresque representan de manera adecuada la estructura lineal del espacio.

En el caso de las bases para los sistemas de raıces, sera necesario estableceruna condicion que nos ayude a estudiar la estructura de los sistemas de raıces,en particular, la integridad de los numeros |γ, δ|.

Definicion 2.4. Sea E un espacio euclidiano de dimension ℓ y Φ un sistemade raıces en E. Un subconjunto ∆ de Φ se llama una base de Φ si satisfacelas siguientes dos condiciones:

(B1) ∆ es una base de E,

(B2) cada raız β puede ser escrita como

β =∑

α∈∆

kαα (2.5)

con coeficientes enteros kα, todos no negativos o bien, todos no posi-tivos.

Es un hecho elemental del algebra lineal que el numero de elementos deuna base ∆, que denotaremos por |∆|, es ℓ. Ademas, si fijamos una base ∆de Φ, se tiene que la expresion (2.5) es unica para cada raız β ∈ Φ, salvo elorden en que aparecen los sumandos.

En lo que resta de esta seccion, trabajaremos en un espacio euclidiano E

de dimension ℓ y Φ sera un sistema de raıces en E.

2.2 Bases y Raıces simples 23

Ejemplo 2.2.1. En R2, considere el sistema de raıces A2. Tomemos α =

(1, 0) y β =(

12,√

32

)para formar el subconjunto {α, β} ⊂ A2. De la siguiente

figura se observa que {α, β} es una base para A2.

α−α

α + β

−α − β

β

−β

Figura 2.7: Una base para A2.

Ahora, el conjunto {−α, β} satisface claramente (B1), sin embaro, nopuede ser una base de A2 ya que se tiene la raız (−α)−β que no satisface lacondicion (B2). Este hecho muestra la independencia de los axiomas (B1) y(B2).

A continuacion, definiremos una funcion que a cada raız de Φ le asig-nara un numero entero que nos ayudara para la demostracion de resultadosposteriores.

Definicion 2.5. Sea Φ un sistema de raıces en E y ∆ una base de Φ. Sedefine la altura de una raız β =

∑α∈∆ kαα con respecto a la base ∆ como

alt(β) =∑

α∈∆

kα.

Por el axioma (B2), la altura de cualquier raız es un numero entero yalt(β) = 1 si y solo si β ∈ ∆. Notese que la altura de una raız siempre esdiferente de cero.

Ejemplo 2.2.2. Considere el sistema de raıces G2 y sea

∆ =

{α = (1, 0), β =

(−3

2,

√3

2

)}.

Se puede verificar sin complicaciones que ∆ es una base para G2. Si γ =(0,

√3) ∈ G2, entonces γ = 3α + 2β y se tiene alt(γ) = 5.


Definicion 2.6. Sea Φ un sistema de raıces en E y ∆ una base de Φ. Siβ es una raız para la cual todos los coeficiontes kα en la expresion (2.5) sonno negativos, diremos que β es una raız positiva con respecto a ∆ y lodenotaremos por el sımbolo β ≻ 0. Analogamente, si β es una raız para lacual los coeficientes kα de la expresion (2.5) son todos no positivos, diremosque β es un raız negativa con respecto a ∆ y se denota por β ≺ 0.

Al conjunto de raıces positivas con respecto a ∆ lo denotaremos por Φ+

y al conjunto de raıces negativas con respecto a ∆ por Φ−.

Ejemplo 2.2.3. Considere el ejemplo 2.2.1. Claramente, Φ+ = {α, β, α+β}.

Claramente se tiene Φ− = −Φ+, ası que solo bastara con estudiar lasraıces positivas de un sistema de raıces. Otro hecho evidente es que si α y βson raıces positivas con respecto a ∆ y ademas α + β es una raız, entoncesα + β tambien sera una raız positiva con respecto a ∆.

Hasta este momento, no es evidente que todo sistema de raıces posee unabase, pero en lo que sigue, mostraremos que en efecto, las bases para unsistema de raıces existen. Para esto, necesitamos algunas definiciones.

Definicion 2.7. Sea Φ un sistema de raıces en E. Para cada vector v ∈ E,se define el conjunto

Φ+(v)def= {α ∈ Φ : (v, α) > 0} .

Verbalmente, el conjunto Φ+(v) es el conjunto de todas las raıces queestan en la parte positiva del hiperplano Pv.

Ejemplo 2.2.4. Considere el sistema de raıces A1×A1 con la siguiente base{(1, 0), (0, 1)}. Si v = (1,−1), entonces el conjunto Φ+(v) es el conjunto{(1, 0), (0,−1)}.

Es claro que la union finita de hiperplanos no cubre a todo el espacio E,ası que tiene sentido hacer la siguiente definicion.

Definicion 2.8. Sea Φ un sistema de raıces en E. Diremos que un vector v

de E es regular con respecto a Φ si v no esta en ningun hiperplano ortogonala alguna raız en Φ, es decir, v ∈ E−⋃

α∈Φ Pα; diremos que es singular conrespecto a Φ en otro caso.


Ejemplo 2.2.5. Considere el sistema de raıces A2 con base{

α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

)}.

Recuerde que Pγ = P−γ para cualquer vector γ ∈ E. En la siguiente figura,las lineal punteadas denotan los conjuntos de vectores singulares de A2 ycualquier otro vector es regular.

α

β

Pα

Pβ

Pα+β

Figura 2.8: Vectores regulares y singulares de A2.

En este caso, todas las raıces son vectores regulares con respecto a A2.Si consideramos el sistema A1 × A1 con la base {α = (1, 0), β = (0, 1)}, elconjunto de vectores singulares es Span{α}∪Span{β} y aquı, todas las raıcesson singulares.

β

α

Figura 2.9: Vectores singulares y regulares de A1 × A1.

Cuando v es regular con respecto a Φ, es claro que Φ se puede escribircomo Φ+(v) ∪ [−Φ+(v)], ya que v no es ortogonal a ninguna raız, es decir,(v, α) 6= 0 para toda α ∈ Φ.


Definicion 2.9. Sea Φ un sistema de raıces en E y v un vector regular conrespecto a Φ. Diremos que α ∈ Φ+(v) es una raız descomponible si sepuede escribir como suma de dos raıces en Φ+(v), es decir, si existen β, γ ∈Φ+(v) tales que α = β + γ; diremos que α es una raız indescomponible enotro caso.

Como Φ+(v) es un conjunto finito, no todas sus raıces pueden ser des-componibles y ası, siempre existen raıces indescomponibles en un sistemade raıces. Al conjunto de todas las raıces indescomponibles en Φ+(v) lodenotaremos por ∆(v).

Ejemplo 2.2.6. Considere el sistema de raıces G2 y sea v = (1, 1). Clara-mente, v es un vector regular con respecto a G2. Las raıces indescomponibles

en Φ+(v) son α = (1, 0) y β =(−3

2,√

32

)y se tiene

Φ+(v) = {α, β, γ1, γ2, γ3, γ4},

como se muestra en la siguiente figura

γ2γ1

γ4

γ3

α

β v

Figura 2.10: Raıces descomponibles e indescomponibles en G2.

El conjunto de raıces descomponibles en este caso consta de los vectoresγ1 = α + β, γ2 = α + γ1, γ3 = α + γ2 y γ4 = β + γ3.

Ahora, presentamos un criterio que usaremos para saber si un subcon-junto de raıces de Φ es una base para Φ.


Proposicion 2.10. Si ∆ es una base de Φ, entonces (α, β) ≤ 0 para cuales-quiera dos raıces diferentes α y β en ∆ y ademas, α − β no es raız.

Demostracion. Supongamos que (α, β) > 0. Como α 6= β, es evidente queα 6= ±β y la Proposicion 2.6 implica que α−β es raız, lo que es absurdo porel axioma (B2).

Con estos conceptos, probaremos el siguiente resultado.

Teorema 2.11. Todo sistema de raıces Φ en un espacio euclidiano E tieneuna base.

La prueba nos dara un metodo para construir todas las posibles bases deΦ y el algoritmo se encuentra en el siguiente Lema.

Lema 2.12. Sea v un vector regular, entonces el conjunto ∆(v) de todas lasraıces indescomponibles en Φ+(v) es una base para Φ y toda base se obtienende este modo.

Demostracion. Procederemos por pasos:

(1) Cada raız en Φ+(v) es una combinacion Z-lineal de elementos en ∆(v)con coeficientes no negativos.

Si suponemos lo contrario, algun α ∈ Φ+(v) no puede ser escritacomo una combinacion lineal con coeficientes enteros de raıces inde-scomponibles; escojamos α tal que (v, α) sea lo mas pequena posible.Obviamente, α /∈ ∆(v), ası que α = β + γ con β, γ ∈ Φ+(v) y portanto, (v, α) = (v, β)+ (v, γ). Pero (v, β) y (v, γ) son ambos positivosy menores que (v, α) lo que es absurdo.

(2) Si α, β ∈ ∆(v), entonces (α, β) ≤ 0, a menos que α = β.

Tomemos α 6= β y supongamos que (α, β) > 0, por la Proposicion 2.6,α − β ∈ Φ y como α 6= −β, se concluye que α − β, o bien β − α, debeser una raız en Φ+(v). Si α − β ∈ Φ+(v), entonces α = β + (α − β)lo que hace a α descomponible. Analogamente, si β − α ∈ Φ+(v),tendremos que β es descomponible. De cualquier modo, llegamos auna contradiccion con la eleccion de α y β.


(3) ∆(v) es linealmente independiente.

Supongamos que∑

α∈∆(v) rαα = 0; separemos los ındices para los que

rα ≥ 0 (denotemoslos sα) y los que rα < 0 (denotemoslos −tβ). De estamanera tendremos

∑α sαα−∑

β tββ = 0, es decir,∑

α sαα =∑

β tββ.Sea w =

∑α sαα, entonces

0 ≤ (w,w) =

(∑

α

sαα,∑

β

tββ

)=

∑

α,β

sαtβ(α, β) ≤ 0,

donde la ultima desigualdad se tiene por el paso (2) y sα, tβ ≥ 0.Podemos inferir ahora que w = 0 y 0 = (v,w) =

∑α sα(v, α), lo que

implica que sα = 0. Similarmente, tenemos que tβ = 0 y ası, todos losrα son cero.

(4) ∆(v) es una base para Φ.

El paso (1) nos dice que ∆(v) genera a Φ+(v) y como v es regular,tenemos que Φ = Φ+(v) ∪ [−Φ+(v)]. Ası, ∆(v) satisface la condicion(B2). Se sigue que ∆(v) genera a todo E, pues Φ lo hace, y por el paso(3) tenemos que ∆(v) satisface la condicion (B1).

(5) Cada base ∆ de Φ es de la forma ∆(v) para algun v ∈ V regular.

Dada una base ∆, escojamos v ∈ E tal que (v, α) > 0 para todo αsimple, lo que siempre es posible (tomese la suma de todos los elementosde la base). Si β ∈ Φ escribimos β =

∑α∈∆ bαα, donde bα son todos

no negativos o todos no positivos pero no todos son cero, lo que impideque se anule el numero

(v, β) =∑

α

bα(v, α).

Ası, para todo α ∈ Φ el vector v no esta en Pα, y se concluye que v esregular. Ahora, si β ∈ Φ+, entonces β =

∑α bαα con bα ≥ 0 y por la

forma en que elegimos v, se tiene que

(v, β) =∑

α

bα(v, α) ≥ 0,


de lo cual inferimos la contecion Φ+ ⊂ Φ+(v) y tambien Φ− = −Φ+ ⊂−Φ+(v). Por la eleccion de v, se sigue la igualdad. Como Φ+ =Φ+(v), ∆ debe de consistir unicamente de elementos indescomponibles,en otras palabras, tenemos que ∆ ⊂ ∆(v). Pero |∆| = |∆(v)|, puesambos conjuntos son bases de E, y se tiene entonces que ∆ = ∆(v).

El siguiente resultado sera de utilidad en la siguiente subseccion.

Corolario 2.13. Un subconjunto finito {v1,v2, . . . ,vk} de un espacio eu-clidiano E que satisface (vi,vj) ≤ 0 para todo i 6= j es un subconjuntolinealmente independiente.

Demostracion. Este resultado es lo que se muestra en el paso (3) de la de-mostracion del Lema 2.12.

Ejemplo 2.2.7. Consideremos el sistema de raıces B2 y sea v = (1, 2).

α

β

v

w

Figura 2.11: La base ∆(v) = {α, β} para B2.

Claramente, v es un vector regular con respecto a B2 y las raıces enΦ+(v) son (1, 0), (1, 1), (0, 1) y (−1, 1). Si α = (1, 0) y β = (−1, 1), podemosverificar mediante un calculo rutinario las relaciones

(0, 1) = β + α, (1, 1) = (0, 1) + α,

por lo que ∆(v) = {α, β}. Ahora, si w =(−1

2,−1

)es claro que tambien es

un vector regular para B2 y el conjunto

Φ+(w) = {(−1, 0), (−1,−1), (0,−1), (1,−1)}.

Ası, la base que se obtiene es ∆(w) = {−α,−β}.


Propiedades de las raıces simples

En esta subseccion estudiaremos un poco sobre el comportamiento de lasraıces que forman una base de un sistema de raıces. Primero que nada,daremos la siguiente definicion.

Definicion 2.10. Sea ∆ una base de Φ. Diremos que α es una raız simple

de Φ con respecto a ∆ si α ∈ ∆.

En esta seccion, dejaremos fija una base ∆ de un sistema de raıces Φ yal decir raız simple significara raız simple con respecto a esta base. Comen-zaremos con dos resultados algebraicos que usaremos mas adelante.

Proposicion 2.14. Si α es una raız positiva pero no es simple, entoncesα − β es una raız, necesariamente positiva, para alguna raız simple β.

Demostracion. Si (α, β) ≤ 0 para todo β ∈ ∆, podemos aplicar el Corolario2.13 al conjunto ∆∪{α} y concluir que es un conjunto linealmente indepen-diente, lo que es absurdo ya que ∆ es una base de E. Ası, existe β ∈ ∆ talque (α, β) > 0; como β ∈ ∆ y α /∈ ∆, es claro que β 6= α y si α = −βtendrıamos que (α, β) < 0. Por tanto, α y β no son proporcionales y apli-camos la Proposicion 2.6 para obtener α − β ∈ Φ.

Escribamos α =∑

γ∈∆ kγγ, donde kγ ≥ 0 y algun kδ > 0 con δ 6= β, loque es posible pues α 6= β. Restando β a α tenemos una combinacion Z-lineal de raıces simples con al menos un coeficiente positivo, a saber, kδ. Estoforza a que todos los coeficientes de la representacion de α − β en terminosde raıces simples sean no negativos.

Ejemplo 2.2.8. En el sistema A2 con la base

∆ =

{α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

)},

se tiene la raız positiva γ =(

12,√

32

). Es evidente que γ puede escribirse

como α + β de donde se concluye que γ no es simple ya que alt(γ) = 2 6= 1.En este caso, tanto el vector γ − α = β como γ − β = α son raıces positivascon respecto a ∆.


Corolario 2.15. Cada raız positiva β puede ser escrita en la forma∑k

i=1 αi,con αi ∈ ∆ no necesariamente distintos, de tal manera que cada suma parcial∑s

i=1 αi es una raız, con 1 ≤ s ≤ k.

Demostracion. Procederemos por induccion sobre alt(β). Cuando alt(β) =1, se tiene que β es simple y se sigue la conclusion del corolario. Supongamosque toda raız positiva de altura menor que k cumple la conclusion del coro-lario y tomemos una raız β ∈ Φ+ de altura k > 1. Claramente β no es simple.Por la Proposicion 2.14, existe γ ∈ ∆ tal que β − γ ∈ Φ+ y evidentementealt(β − γ) = k − 1. Por hipotesis inductiva, tenemos que

β − γ =k−1∑

i=1

αi,

donde cada raız αi es simple y cada suma parcial es raız. Si hacemos αk = γ,se tiene el resultado.

Ahora, veremos algunos resultados geometricos relacionados con las re-flexiones determinadas por los hiperplanos ortogonales a las raıces simples.

Proposicion 2.16. Sea α una raız simple y Rα la reflexion determinadapor el hiperplano ortogonal a α, entonces Rα permuta las raıces positivasdiferentes de α.

Demostracion. Sea β una raız positiva diferente de α y escribamos

β =∑

γ∈∆

kγγ,

con kγ enteros no negativos. Es claro que β no es proporcional a α, pues−α ∈ Φ−, ası, kδ 6= 0 para algun δ 6= α. Notese que el coeficiente de δ enRα(β) sigue siendo kδ > 0 y forzosamente se tiene Rα(β) ∈ Φ+. Mas aun,Rα(β) 6= α pues la imagen de α bajo Rα es −α.

Corolario 2.17. Si δ = 12

∑β≻0

β, entonces Rα(δ) = δ − α para toda α ∈ ∆.

Demostracion. Por linealidad de las reflexiones,

Rα(δ) =1

2

∑

β≻0

Rα(β).


Supongamos que hay s raıces positivas, es decir, Φ+ = {β1, . . . , βs−1, α}.Por la Proposicion 2.16, sabemos que para i ∈ {1, 2, . . . , s − 1} existe un jen el mismo conjunto de ındices tal que Rα(βi) = βj; ademas, es claro queRα(α) = −α. Ası, obtenemos

Rα(δ) =1

2

(s−1∑

i=1

βi − α

)

=1

2

(s−1∑

i=1

βi − α + α − α

)

=1

2

(∑

β≻0

β − 2α

)

= δ − α.

Note tambien que esto implica la igualdad |δ, α| = 1 para toda α ∈ ∆.

Proposicion 2.18. Sean α1, . . . , αt ∈ ∆, no necesariamente distintas, yescribamos Ri = Rαi

. Si R1 ◦ R2 ◦ · · · ◦ Rt−1(αt) es negativa, entonces

R1 ◦ R2 ◦ · · · ◦ Rt = R1 ◦ · · · ◦ Rs−1 ◦ Rs+1 ◦ · · · ◦ Rt−1,

para algun ındice 1 ≤ s < t.

Demostracion. Escribamos βi = Ri+1 ◦ · · · ◦ Rt−1(αt), para 0 ≤ i ≤ t − 2y βt−1 = αt. Como β0 es negativo y βt−1 es positivo, podemos encontrar elındice s mas pequeno para el cual βs ≻ 0, entonces Rs(βs) = βs−1 ≺ 0 y porla Proposicion 2.16, βs = αs. Tenemos que Rβs

= RRs+1◦···◦Rt−1(αt) y por laProposicion 2.2,

Rs = (Rs+1 ◦ · · · ◦ Rt−1) ◦ Rt ◦ (Rt−1 ◦ · · · ◦ Rs+1).

Ahora, vemos que

R1 ◦ · · · ◦Rs−1◦Rs ◦ Rs+1 ◦ · · · ◦ Rt−1 ◦ Rt =

R1 ◦ · · · ◦ Rs−1 ◦ [(Rs+1 ◦ · · · ◦ Rt−1) ◦ Rt ◦ (Rt−1 ◦ · · · ◦ Rs+1)]

◦Rs+1 ◦ · · · ◦ Rt−1 ◦ Rt;

como R2i = id, se tiene el resultado.

Corolario 2.19. Si S = R1 ◦ R2 ◦ · · · ◦ Rt es una expresion en terminos dereflexiones correspondientes a raıces simples para S, con t tan pequeno comosea posible, entonces S(αt) ≺ 0.

2.3 Camaras de Weyl y el grupo de Weyl 33

2.3 Camaras de Weyl y el grupo de Weyl

En esta seccion, presentamos dos conceptos que nos auxiliaran en el estudiode los sistemas de raıces. Los conceptos presentados aquı lleban el nombre deuno de los matematicos que mas contribuyeron a la simplificacion del trabajode Killing y Cartan.

Camaras de Weyl

En esta subseccion, estudiaremos algunos subconjuntos que se relacionannaturalmente con los conceptos de vectores regulares e hiperplanos ortogo-nales a las raıces de un sistema de raıces. Primero, recordaremos un poco deTopologıa.

El espacio euclidiano E posee una estructura topologica inducida por elproducto interior. La topologıa de E es la confomada por los conjuntos quepueden ser escritos como uniones de conjuntos de la forma

{w ∈ E : 〈v − w,v − w〉1/2 < r},

para algun vector v ∈ E y un numero positivo r. A cada subconjunto de E,se le puede dotar de la topologıa relativa, es decir, si A es un subconjuntode E, entonces los abiertos de A seran abiertos de E intersectados con A.Tambien, es importante dar la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Un subconjunto A de el espacio euclidiano E es llamadoun conjunto conexo si es imposible expresarlo como la union disjunta de dossubconjuntos abiertos y no vacıos de E.

Los hiperplanos Pα, con α ∈ Φ, parten al espacio en un numero finito deregiones, las cuales estudiaremos a continuacion.

Definicion 2.12. Sea Φ un sistema de raıces en E. Una camara de Weyl

(abierta) de Φ es un subconjunto abierto y conexo maximal del espacio E −⋃α∈Φ Pα, donde E − ⋃

α∈Φ

Pα se concidera con la topologıa relativa de E.

Si un vector v ∈ E pertenece a una camara de Weyl de Φ, denotaremosa tal camara de Weyl por el sımbolo C(v).


Notese que la union disjunta de las camaras de Weyl y los hiperplanosortogonales a las raıces cubren a todo el espacio E. Ademas, los vectoresen las camaras de Weyl son regulares y cada vector regular esta en algunacamara de Weyl.

Ejemplo 2.3.1. Considere el sistema de raıces A2. En la siguiente figura,se muestran las regiones de R2 que conforman las camaras de Weyl de A2 yobservan dos vectores regulares, v y w, en sus correspondientes camaras deWeyl C(v) y C(w), respectivamente.

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

QQ

QQQ

QQQ

QQQ

´´

´´

´

´´

´´

´´

´ ´´

´ ´´´

-¾

Á

À

JJ

JJ

JJJ]

JJ

JJ

JJJ

BBBBNv

C(v)

££

£££°

w

C(w)

Figura 2.12: Camaras de Weyl en A2.

El siguiente resultado, nos muestra la relacion tan estrecha que hay entrelas camaras de Weyl de un sistema de raıces y las bases de tal sistema.

Teorema 2.20. Existe una correspondencia uno-a-uno entre las camaras deWeyl de un sistema de raıces Φ y sus bases.

Demostracion. Si C(v) = C(w), entonces v y w estan del mismo lado decada hiperplano Pα para cada α ∈ Φ. Esto implica que los numeros 〈v, α〉 y〈w, α〉 tienen el mismo signo para toda raız α ∈ Φ, es decir, Φ+(v) = Φ+(w).Ahora es claro que ∆(v) = ∆(w).


Por el algoritmo presentado en el Lema 2.12, sabemos que cada vectorregular v con respecto a Φ determina una base ∆(v) del sistema de raıces Φ.Ahora, daremos la definicion de una camara de Weyl importante que tendraasociada una base del sistema de raıces.

Definicion 2.13. Sean Φ un sistema de raıces en E, v un vector regularpara Φ y ∆(v) la base de Φ que se construye en el Lema 2.12. La camara

fundamental de Weyl para Φ con respecto a ∆(v) es la camara C(v) y sedenotara por el sımbolo C(∆).

Podemos describir C(∆) como el conjunto convexo abierto que consistede todos los vectores w ∈ E que satisfacen (w, α) > 0 para todo α ∈ ∆.

Ejemplo 2.3.2. Consideremos el sistema de raıces B2 con la base ∆((1, 2)) ={α = (1, 0), β = (−1, 1)} construida en el ejemplo 2.2.7. Claramente, lacamara fundamental de B2 con respecto a esta base es

C(∆) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, x < y},

como se muestra en la siguiente figura:

α

βC(∆)


Nota. Si consideramos a E−⋃α∈Φ Pα como espacio topologico y definimos

la relacion de equivalencia

v ∼ w si y solo si (v, α)(w, α) > 0 para todo α ∈ Φ,

entonces las camaras de Weyl son los elementos del espacio cociente, esdecir,

[(E − ⋃

α∈Φ Pα

)/ ∼

]= {C(v) : v es regular con respecto a Φ}.


El grupo de Weyl

A cada sistema de raıces Φ en el espacio euclidiano E, le asociaremos ungrupo, cuya accion en el sistema de raıces sera de mucha ayuda en el tratamientode los sistemas irreducibles.

Definicion 2.14. Sea Φ un sistema de raıces en un espacio euclidiano E. Elgrupo de Weyl de Φ es el subgrupo de GL(E) generado por las reflexionesRα, llamadas reflexiones de Weyl, donde α ∈ Φ, y es denotado por W .

Por el axioma (R1), sabemos que Φ es un conjunto finito y genera a E,por lo que W es un grupo finito.

Por el axioma (R3), cada elemento del grupo de Weyl deja invariante aΦ, y por la invertibilidad de los elementos del grupo de Weyl, se tiene que W

permuta al conjunto Φ, es decir, se identifica con un subgrupo de permuta-ciones en Φ.

Como cada elemento de W es un producto de reflexiones de Weyl, y cadareflexion de Weyl es una isometrıa de E, se sigue que los elementos del grupode Weyl son isometrıas de E. En particular, los elementos del grupo de Weylpreservan los numeros |γ, δ| para cualesquier pareja de raıces γ, δ ∈ Φ. Acontinuacion, presentaremos los grupos de Weyl para los sistemas de raıcesde rango 2 y podremos darnos cuenta de que no son grupos desconocidos, enestos casos.

Ejemplo 2.3.3. Considere el sistema de raıces A1 × A1. Las reflexiones deWeyl estan representadas por las matrices

(−1 0

0 1

)y

(1 00 −1

),

las cuales conmutan, son de orden 2 (involuciones) y generan un grupo deorden 4. A este grupo se le conoce con el nombre de cuatro-grupo de Klein

y es usualmente denotado por V (pues en aleman, cuatro-grupo se escribevier-gruppe).

Ejemplo 2.3.4. En el sistema de raıces A2 tomemos α = (1, 0) y β =(−1

2,√

22

). Las matrices que representan a las reflexiones Rα y RαRβ son

(−1 0

0 1

)y

(−1

2

√3

2

−√

32

−12

).


Se puede mostrar que las reflexiones de estas dos matrices generan el grupo deWeyl de A2. Sabemos que la matriz de Rα es de orden 2 y se puede verificarque la matriz de RαRβ es de orden 3; ademas, podemos verificar medianteun calculo matricial la relacion

(−1 0

0 1

) (−1

2

√3

2

−√

32

−12

)(−1 0

0 1

)=

(−1

2

√3

2

−√

32

−12

)−1

.

De la Teorıa de Grupos, sabemos que este es un grupo isomorfo al grupodiedro de 6 elementos (grupo de simetrıas del triangulo equilatero), queusualmente es denotado por D3.

Ejemplo 2.3.5. Para el sistema de raıces B2, tomemos α = (1, 0) y β =(−1, 1). El procedimiento para encontrar una presentacion para el grupode Weyl de B2 sera el mismo que en el ejemplo 2.3.4. El grupo de Weylesta generado por la reflexion Rα y la rotacion RαRβ que tiene como matrizrepresentante a (

0 1−1 0

).

Las relaciones que satisfacen estos operadores son R2α = (RαRβ)4 = id y

(Rα)(RαRβ)(Rα)−1 = (RαRβ)−1 por lo que el grupo de Weyl de B2 es iso-morfo al grupo diedro de 8 elementos (el grupo de simetrıas del cuadrado)que se denota usualmente por D4.

Ejemplo 2.3.6. Para el caso de G2, tomemos α = (1, 0) (como antes) y

γ =(−3

2,√

32

). El grupo de Weyl de G2 esta generado por la reflexion Rα y

la rotacion RαRγ que esta representada por la matriz

(12

√3

2

−√

32

12

),

que satisfacen las relaciones R2α = (RαRγ)

6 = id y (R2α)(RαRγ)(Rα)−1 =

(RαRγ)−1. Por tanto, el grupo de Weyl de G2 es isomorfo al grupo diedro

de 12 elementos (el grupo de simetrıas del hexagono) que usualmente sedenota por D6.


Sea ϕ : E → E′ un isomorfismo entre los sistemas de raices Φ y Φ′, porla Proposicion 2.3 tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

E

ϕ

²²

Rα // E

ϕ

²²E′

Rϕ(α)

// E′

Ası, para cada α ∈ Φ se satisface la igualdad ϕRα = Rϕ(α)ϕ, por lo que unisomorfismo de sistemas de raıces induce de manera natural un isomorfismoS′ 7→ ϕSϕ−1 de los grupos de Weyl W y W ′.

Tambien, por la Proposicion 2.2, un automorfismo de Φ es lo mismo queun automorfismo de E que deja invariante a Φ. En particular, podemos con-siderar a W como subgrupo normal de Aut Φ (grupo de automorfismos de Φ).

El siguiente resultado, muestra como actua el grupo de Weyl en lascamaras de Weyl.

Proposicion 2.21. Si S ∈ W , entonces S (C(v)) = C (S(v)), es decir, elgrupo de Weyl manda a una camara de Weyl sobre otra.

Demostracion. Supongamos que S(C(v)) no esta contenido en E−⋃α∈Φ Pα,

entonces existe w ∈ C(v) con S(w) ∈ ⋃α∈Φ Pα y ası, existe α0 ∈ Φ tal que

0 = (S(w), α0) = (w, S−1(α0)). Por tanto, w es ortogonal a la raız S−1(α0),lo que es imposible. Se concluye ahora que S (C(v)) ⊂ E − ⋃

α∈Φ Pα.

Claramente, C (S(v)) es una camara de Weyl y cualqueir w ∈ C(S(v)) secaracteriza por satisfacer la ecuacion (w, α)(S(v), α) > 0 para toda α ∈ Φ.Ası, tenemos que probar que S (C(v)) es abierto, conexo y contiene a C(S(v)).

Para probar que S (C(v)) es un conjunto abierto y conexo, recordemosque la imagen continua de un conjunto conexo es conexo y como todos loselementos del grupo de Weyl son funciones continuas, se tiene que S (C(v))es conexo. Luego, se puede demostrar sin complicaciones que las reflexionestransforman conjuntos abiertos en abiertos, de hecho, la imagen del con-junto {w ∈ E : 〈v − w,v − w〉1/2 < r} bajo una reflexion R es el conjunto

{w ∈ E : 〈(Rv) − w,R(v) − w〉1/2 < r}.


Para probar C (S(v)) ⊂ S (C(v)), sea w ∈ C (S(v)) y α ∈ Φ, entonces(S−1(w), α) = (w, S(α)) y ası

(S−1(w), α)(v, α) = (w, S(α))(S(v), S(α)) > 0,

por lo que S−1(w) ∈ C(v), pero esto sucede si y solo si w ∈ S(C(v)), que eslo que deseamos.

Por otro lado, W permuta las bases de Φ: S manda a ∆ sobre S(∆) quees una base pues W deja invariante a Φ y consiste de operadores linealesinvertibles que preservan el producto interior.

La manera en que actua el grupo de Weyl de un sistema de raıces Φ ensus camaras de Weyl y en sus bases son compatibles con la correspondenciamencionada anteriormente entre camaras de Weyl y bases en el Teorema 2.20.Explicitamente, tenemos S(∆(v)) = ∆(S(v)), ya que (S(v), S(α)) = (v, α).

En el siguiente resultado, se presentan algunas de las propiedades impor-tantes del grupo de Weyl.

Teorema 2.22. Sea ∆ una base de Φ.

(a) Si v es regular, existe S ∈ W tal que (S(v), α) > 0 para toda α ∈ ∆.(W actua transitivamente en las camaras de Weyl).

(b) Si ∆′ es otra base de Φ, entonces S(∆′) = ∆ para algun S ∈ W .(W actua transitivamente en las bases).

(c) Si α ∈ Φ, existe S ∈ W tal que S(α) ∈ ∆.(Cada raız pertenece a alguna base).

(d) W esta generado por las reflexiones Rα, con α ∈ ∆, las cuales sonllamadas reflexiones simples.

(e) Si S ∈ W tal que S(∆) = ∆, entonces S = 1.(W actua simplemente transitivamente en las bases).

Demostracion. Sea W ′ el subgrupo de W generado por las reflexiones sim-ples. Probaremos (a)-(c) para W ′ y luego probaremos que W = W ′.


(a) Escribamos δ = 12

∑α≻0 α y escojamos S ∈ W ′ para el cual (S(v), δ)

sea tan grande como sea posible. Si α ∈ ∆, entonces RαS ∈ W ′ ası quela eleccion de S implica que

(S(v), δ) ≥ (RαS(v), δ)

= (S(v),Rα(δ))

= (S(v), δ − α) por el Corolario 2.17

= (S(v), δ) − (S(v), α).

Esto fuerza a que (S(v), α) ≥ 0 para toda α ∈ ∆. Como v es regular,(R(v), α) > 0 para toda raız simple α. Por tanto, S(v) esta en lacamara fundamental de Weyl y S manda a C(v) en C(∆).

(b) Como W ′ permuta las camaras de Weyl, tambien lo hace con las bases.

(c) Por (b), es suficiente probar que cada raız pertenece a alguna base.Como las unicas raıces proporcionales a α son ±α, los hiperplanosPβ son distintos a Pα, cuando β 6= ±α. Ası, existe v ∈ Pα tal quev /∈ Pβ para toda β 6= ±α; escojamos w suficientemente cerca de v

tal que (w, α) = c > 0 mientras que |(w, β)| > c para toda β 6= ±α.Evidentemente, α ∈ ∆(w).

(d) Para mostrar que W = W ′, es suficiente ver que cada reflexion deWeyl esta en W ′. Usando (c), para α ∈ Φ existe S ∈ W ′ tal queβ = S(α) ∈ ∆, entonces Rβ = RS(α) = SRαS−1, por la Proposicion 2.2.Por tanto, Rα = S−1RβS ∈ W ′.

(e) Supongamos que S(∆) = ∆ y S 6= 1. Si S se escribe minimalmente comoun producto de una o mas reflexiones simples, entonces se contradiceel Corolario 2.19.

Ejemplo 2.3.7. En el sistema de rapices A2 con la base

∆ =

{α = (1, 0), β =

(−1

2,

√3

2

)},

considere la camara de Weyl C(β). Es claro que la relfexion Rα transformaa C(β) en la camara fundamental C(∆) ya que Rα(β) = α+β y sabemos que〈α + β, α〉 y 〈α + β, β〉 son positivos.


Por el inciso (d) del Teorema 2.22, podemos escribir a cada elemento S

del grupo de Weyl W de Φ como S = Rα1 ◦ · · · ◦Rαt, con αi ∈ ∆ y t minimal.

Esto nos determina la siguiente descomposicion de los elementos del grupode Weyl como producto de reflexiones simples.

Definicion 2.15. Sea Φ un sistema de raıces en E con base ∆ y grupo deWeyl W . Si S ∈ W se escribe como Rα1 ◦ · · · ◦Rαt

, con αi ∈ ∆ y t minimal,diremos que S esta en su expresion reducida y definimos la longitud de S

relativa a ∆ como t = l(S). Por definicion, l(id) = 0.

Ejemplo 2.3.8. En el sistema de raıces B2 con base

∆ = {α = (1, 0), β = (−1, 1)},

consideremos la reflexion Rα+β. Al aplicar Rα+β a las raıces simples α y βse obtienen las relaciones

Rα+β(α) = α y Rα+β(β) = −β − 2α.

Realizando un calculo elemental, podemos verificar que Rβ ◦ Rα ◦ Rβ aplicadel mismo modo que Rα+β en las rapices simples y ası, Rα+β = Rβ ◦Rα ◦Rβ.Ademas, esta es la expresion reducida para Rα+β, pues Rα+β 6= Rβ y Rα ◦Rβ

no es una reflexion. Por tanto, l(Rα+β) = 3.

Podemos caracterizar la longitud de un operador en el grupo de Weylcomo sigue: Sea n(S) el numero de raıces positivas α para las cuales S(α) ≺ 0.

Proposicion 2.23. Sea Φ un sistema de raıces en E con base ∆ y grupo deWeyl W . Si S ∈ W , entonces l(S) = n(S).

Demostracion. Procederemos por induccion sobre l(S). El caso l(S) = 0es claro; supongamos que la proposicion se cumple para todo T ∈ W conlongitud menor que la longitud de S. Escribamos a S en su expresion reducida∏t

i=1 Rαiy sea α = αt. Por el Corolario 2.19, S(α) ≺ 0 y la Proposicion

2.16 implica que n(SRα) = n(S) − 1. Por otro lado, l(SRα) = l(S) − 1 y porhipotesis inductiva se tiene que l(SRα) = n(SRα). Por tanto, l(S) = n(S).

Ejemplo 2.3.9. En el ejemplo 2.3.8, podemos verificar que la longitud deRα+β es 3 usando la Proposicion 2.23. Se puede ver que Rα+β transforma alas raıces β, β + α y β + 2α en las raıces −β − 2α,−β − α y −β, respectiva-mente; ademas, Rα+β deja fija a la raız positiva α. Por tanto, n(Rα+β) = 3.


Sea Φ un sistema de raıces con una base fija ∆. Recordemos que la camarafundamental de Weyl con respecto a ∆ es la camara C(∆) que contiene a todoslos vectores v que satisfacen 〈v, α〉 > 0 para toda raız simple α. Concluimosesta subseccion con un resultado que nos dice como actua el grupo de Weylen la cerradura de C(∆), que denotaremos por clC(∆).

Proposicion 2.24. Sean Φ un sistema de raıces con base ∆, grupo de WeylW y u,w ∈ cl C(∆). Si S(u) = w para algun S ∈ W , entonces S es unproducto de reflexiones simples que fijan a u; en particular u = w.

Demostracion. Procederemos por induccion en l(S). El caso l(S) = 0 es claro;sea l(S) > 0, por la Proposicion 2.23, S debe mandar alguna raız positiva enuna negativa. Ası, S no puede mandar todas las raıces simples a positivas.Supongamos que S(α) ≺ 0 para algun α ∈ ∆, entonces

0 ≤ (u, α) = (S−1(w), α) = (w, S(α)) ≤ 0

porque u,w ∈ cl C(∆). Por tanto (u, α) = 0, lo que implica Rα(u) = u ySRα(u) = w. Gracias a las Proposiciones 2.16 y 2.23, l(SRα) = l(S) − 1y por hipotesis inductiva, SRα = Rβ1 ◦ Rβ2 ◦ · · · ◦ Rβt−1 , donde Rβi

sonreflexiones simples que fijan a u. Multiplicando ambos lados por Rα, se tieneel resultado.

cap´ıtulo 2 sistemas de ra´ıces...

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