GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS

• distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo

possibilidadedo espaço não ser “euclidiano”

Geometria euclidianaGeometria euclidiana

soma dos ângulos = 180o

C=2R

ESPAÇOS UNIFORMES

Espaço euclidiano uniforme = homogêneo + isotrópico (espaço plano)

geometria congruente formas espaciais invariantes a rotações e translações

Princípio cosmológico

Existem somente 2 tipos de espaços não-euclidianos que são uniformes:

•espaço esférico (geometria de Riemann)•espaço hiperbólico (geometria de Lobachevski)

espaços de comprimento intrínseco R

Se R >> região geometria local euclidiana

++=s

Se R for muito grande em comparação com regiões conhecidas em escalas cósmicas dificuldade em distinguir entre os três tipos de espaços

nossa experiência é com fenômenos em pequena escala

Universo localmente euclidiano

Postulados:

1. Em um espaço plano somente uma paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto.

2. Em um espaço esférico paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto

3. Em um espaço hiperbólico várias paralelas a uma dada linha reta que passam num dado ponto

Espaço esférico: Soma dos ângulos > 180o

C > 2r

Espaço hiperbólico:

Soma dos ângulos < 180o

C < 2r

Exemplo : Terra

arco de círculo máximo

(geodésica)

Quantidade que se quer determinar: curvatura do espaço K

relacionada com a escala intrínseca R do espaço

CURVATURA DE UMA CURVA PLANA

Definição: curvatura média entreM e M’

MM'

w(M,M')K

= ângulo formado pelas duas tangentes à curva nos pontos M e M’

'MM

= distância entre os dois pontos medida sob a curva

w

Curvatura no ponto M:

MM'

wK(M)

MM

lim

'

w = -

2/32 )'1(

'')(

Y

YxK

dx

dyy '

y

y+y

x x+x

s

y=f(x)

2/32 )'1(

'')(

Y

YxK

Aplicação de

• reta: y=ax+b K (x) = 0

• círculo: x2+y2 = R2 K (x) = 1 / R

• parábola: y=ax2 K (x)=2a/(1+4a2x2)3/2

origem K (0)=2a (dependente do sistema de coordenadas)

CURVATURA DE UMA SUPERFÍCIE

• Superfície representada por uma função Z = f (x,y)

DEFINIÇÃO: Ҝ=k1K2

• Escolhendo a orientação de x e y tal que F(x,y) ~ parabolóide: z = F(x,y) ~ ax2+bx2

x yP

onde k1=2a e k2=2b

Na vizinhança de P:F(x,y) ~ 1/2k1x2+1/2k2y2

Aplicação:

ESFERA

x2+y2+(z - R)2 = R2

X

Y

Z

R

P

z ~ (x2+y2)/2R

K1= 1/R = K2

Ҝ= 1/R2

Neste caso a curvatura independe das coordenadas esfera de raio Ré uma superfície de curvatura constante e positiva

HIPERBOLÓIDE

P

z = ax2 + by2

com a e b > 0

Ҝ= -4ab

ATENÇÃO!!! Somente a região central representa um espaço hiperbólico uniforme

Ҝ= -1/R2

fora da região central o espaço não é isotrópico nem homogêneo

Medidas intrínsecas de curvatura de uma superfície

Triângulos desenhados sobre a superfície

Teorema de gauss: Kdssobre a área do triângulo

• K=0 ++ = • K > 0 ++ > • K < 0 ++ <

Hilbert: não se pode construir num espaço plano uma superfície bidimensional que represente exatamente a geometria de um espaço UNIFORME hiperbólico

Ҝ constante e < 0