ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

7.1INTRODUCCIN

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales son aplicables a la transferencia de calor y el mtodo ms empleado es el de CrancK Nicholson, quien emplea los nodos y las diferencias hacia adelante, hacia atrs y las diferencias centrales para calcular la temperatura en un tiempo y en un punto del objeto de estudio.

Muchos sistemas que se estudian en diversas reas de la ingeniera, se modelan mediante las ecuaciones diferenciales parciales. Los modelos resultan de las abstracciones que se realizan en campos como las transferencias de cantidad de movimiento, calor y masa donde por lo general una variable dependiente depende de 2 o ms variables independientes.

Objetivos:

Al finalizar esta unidad, a partir del anlisis del problema de la trasferencia de calor en un sistema unidimensional, el estudiante estar en la capacidad de identificar y determinar la ecuacin diferencial parcial EDP y aplicar los mtodos de numricos para hallar su solucin utilizando el Excel y MatLab considerando el PVI y PVF.Contenidos ConceptualesContenidos ProcedimentalesContenidos Actitudinales

Modelacin de fenmenos fsicos.

Aproximacin de las EDP con ecuaciones de diferencias. Analiza el problema de la transmisin de calor en placas

Aplica los mtodos numricos a la solucin de las EDP con PVI y PVF. Trabaja en equipo

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Demuestra inters en el tema.

7.2 ECUACIN GENERAL DE LA CONDUCCIN DE CALOR

Supngase un cuerpo slido de conductividad trmica k, peso especfico y calor especfico independientes de la temperatura T, en el cual fluye calor en las tres dimensiones del espacio y puede generar o absorber calor debido a algn fenmeno, por ejemplo de reaccin qumica.

Al efectuar un balance de calor en un elemento diferencial como el de la figura de dimensiones se tiene, de acuerdo con la ley de la continuidad:

(7.1)

Donde puede ser positivo o negativo dependiendo de si el calor es generado o absorbido por unidad de volumen y por unidad de tiempo en el elemento diferencial.

Figura 60: Balance de Energa en un elemento diferencial.

Los flujos de calor representados por la ley de Fourier se sustituyen en la ecuacin (7.1) y se tiene:

(7.2)

Al dividir miembro a miembro entrey hacerlos muy pequeos, osea , al aplicar la definicin de derivada se obtiene:

(7.3)

Donde se ha sustituido a con, la cual se llama coeficiente de difusividad trmica.7.3 ECUACIN DE CALOR EN DIFERENCIAS FINITAS

Una de las ecuaciones diferenciales parciales ms estudiadas es:

(7.4)

Que describe la conduccin de calor en rgimen transitorio en una dimensin, la difusin unidireccional de masa en rgimen transitorio. Por ejemplo, puede describir la conduccin de calor en una barra aislada longitudinalmente durante cierto periodo, tomado a partir de t = 0. La barra se considera suficientemente delgada de longitud L muy grande en comparacin con su grosor.

Sean los extremos de la barra tomados como x = 0 y x = L. Sean adems las condiciones siguientes:

T(x, 0) = f(x)

0 < x < L

(7.5)

(7.6)

Figura 61: Barra aislada longitudinalmente.

Estas expresiones conocidas como condiciones de frontera, dan los valores de la temperatura T de la barra en sus extremos a cualquier tiempo t. La ecuacin (7.4) y las condiciones (7.5) y (7.6) constituyen un problema de valor en la frontera (PVF).

7.4MTODO DE CRANK NICHOLSON

Si se tiene la EDP (7.4):

Este mtodo consiste en combinar las aproximaciones de con diferencias hacia delante apoyndose en la fila j y la aproximacin con diferencia hacia atrs apoyndose en la fila j+1, con los que se obtiene un algoritmo implcito. Por ejemplo, al aproximarseen el nodo con diferencias hacia delante y de con diferencias centrales se obtiene:

(7.7)

Al aproximaren el nodo (i,j+1) con diferencias hacia atrs y a con diferencia centrales. Se llega a:

(7.8)

Luego de sumar las ecuaciones (7.7) y (7.8) y rearreglar resulta:

(7.9)

Donde:

Figura 62: Nodos usados en el mtodo de Cranck Nicholson.

Ejemplo de Aplicacin 7.1

Calcule la temperatura como una funcin de x y t en una barra aislada de longitud unitaria (), sujeta a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

Y con .

Solucin :El problema de condiciones en la frontera (PVF) queda establecido como sigue:

:

Como ejemplo dividiremos a la barra en cuatro subintervalos (5 puntos o nodos en la malla x), entonces . El fenmeno se estudiar durante 1 hora y se dividir este tiempo en 100 (101 nodos en la malla t), entonces .

Ntese en cuenta que en el nodo (0,0), la temperatura debera ser F atendiendo a la condicin inicial, mientras que la condicin de frontera T (0,t) establece que debera ser 100 F. Los puntos que representan stas caractersticas se llaman puntos singulares; se acostumbra tomar en ellos un valor de temperatura igual a la media aritmtica de las temperaturas sugeridas por la condicin inicial y la condicin de frontera correspondientes.

La temeperatura tomada para el nodo (0,0) es 50 F. De igual manera el punto (4,0), cuya temperatura es de F. Calculando . Se conocen tambin los nodos:

Conociendo en resumen los nodos cuando t = 0:

Resolviendo la ecuacin (7.9) para los siguientes nodos:

Los nodos (0,1); (4,1) son conocidos por las condiciones de frontera, sus valores son:

Reemplazando estos valores y los calculados en las tres ecuaciones anteriores tenemos:

Este sistema ser resuelto con el mtodo de Thomas del capitulo II, obtenindose:

Continuando de forma sucesiva se tienen como resultados finales:

Figura 63: Interfaz grfica del mtodo de Cranck Nicholson.

Ejemplo de Aplicacin 7.2

Resuelva el siguiente PVF:

Y con ,

Solucin :El problema sigue el procedimiento anterior y obtenemos los siguientes resultados para un :

Figura 63: Resultados para el ejemplo 7.2.7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS7.5.1 Resuelva el siguiente PVF por los mtodos de explcitos e implcitos para las condiciones dadas.

7.6 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

NIEVES, Antonio- METODOS NUMERICOS Aplicados a la Ingeniera Primera Edicin, Editorial CECSA, pag. 533 - 588, Mxico 1996.

CARRASCO, Luis METODOS NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERA. Segunda Edicin, Ediciones RFG, pg. 693 - 773, Per 2007.

NAGLE, SAFF, SNIDER- ECUACIONES DIFERENCIALES. Cuarta Edicin, Editorial Pearson Education, pag. 576 - 660, Lima Mxico 2005.PAGE - 7 -

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