Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesLamos Diaz Henry(H.Lamos) UIS,E-mail address: hlamos@uis.edu.coURL: http://www.lamos.uisDedicado a la memoria de mis hijos y Yaneth.2000 Mathematics Subject Classication. Primary 05C38, 15A15; Secondary05A15, 15A18El autor expresa su agradecimiento a la UIS.Resumen. Replace this text with your own abstract.ndice generalCaptulo 1. Introduccin 1Captulo 2. Modelacin matemtica 31. Modelos 6Captulo 3. Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales 411. Introduccin 412. Problema de busquedade valores y vectores propios 653. Mtodo de Fourier 774. Ecuaciones diferenciales parablicas 985. Ecuaciones de tipo eliptco 108Captulo 4. Solucin de problemas por diferencias nitas 1171. Introduccin 117iiiiv NDICE GENERALOperadores en diferencias1372. 141Captulo 5. Transformada de Laplace 143NDICE GENERAL vElementos nitos151Captulo 7. Teora de los Problemas Inversos y Mal Puestos 165Captulo A. El primer Anexo 203CHAPTER 1IntroduccinEn el proceso de la modelacin matemtica, lo que se hace normalmente esconstruir una descripcin de un fenmeno de la vida real en trminos matemticos,es decir crear un segundo mundo en que se considera la situacin.El proceso de construccin de un modelo matemtico requiere habilidad, imag-inacin y evaluacin objetiva. En la formulacin del problema se requiere una com-prensin del rea del problema, lo mismo que de las matemticas correspondientes.A travs de la seccin se recalca la necesidadde que el Investigador en el procesode la modelacin matemtica tenga en cuenta las siguientes cuestiones.El conjunto de hiptesis (razonables) que usar en la descripcin de su real-idad.La construccincorrecta de las dimensiones fsicas de las variablesLa consistencia del modelo en el sentido de que las ecuaciones no se contradiganentre sLa obtencin de soluciones de las ecuaciones pertinentesLa dicultad en la obtencin de las solucionesLa evaluacin de las soluciones del MM como una respuesta al problema enestudio.Se debe en cada etapa de validacin del modelo irlo renando, lo cual constituyeuna prueba de que el modelo se puede utilizar para predecir resultados. Es de anotarnuevamente que un modelo no es la descripcin total de una realidad, sino slo unarepresentacin (idealizacin) de ella. Modelos ms renados pueden proporcionaruna mejor comprensin de los procesos de la naturaleza, pero podria traer comoconsecuencia una dicultad mayor para su solucin bien sea anlitica o numrica.El primer captulo trata sobre Modelos Matemticos en Ingeniera (MMI). Seconstruyen varios modelos para describir situaciones del mundo ingenieril. En la12 1.INTRODUCCINmayora de los modelos que se construyen se usan un enfoque sco-matemticoque nos conducen a Ecuaciones Diferenciales de parmetros concentrados (EDO-Ecuaciones Diferenciales Ordinarias) y de parmetros distribuidos (EDP- Ecua-ciones Diferenciales Parciales).En el segundo captulo captulo se analizan una serie de Problemas Inversos;como, el Problema de Identicacin de coecientes, el problema de encontrar unafuente. Se estudian los mtodos de regularizacin para PMP y se resuelven variosproblemas mediante el mtodo de Tikhonov en forma nmerica.CHAPTER 2Modelacin matemticaObjetivo del captulo. El proposito de esta seccin es un acercamiento al usode Modelos Matemticos (MM) en la ingeniera. La modelizacin matemtica es utilpara el Ingeniero ya que le permite conocer, entender e interpretar EL MUNDOFSICO en el proceso de toma de decisiones.PROBLEMAS. Los problemas del mundo usualmente se resuelven, aun sila solucin consiste en ignorar el problema y esperar a que desaparezca tal comoapareci (No problem is so big or so complicated that it cant never be run awayfrom - Charlie Brown. ) algunas veces se pueden resolver los problemas ptima-mente; sin embargo, limitaciones de tiempo, talento, conocimiento, o recursos nosinclinan a encontrar soluciones que no son las mejores pero s un poco superiores alas de la actualidad.El primer paso en la solucin de un problema es denir el sistema que se in-tenta modelar. En mecnica bsica, se lleva a cabo un uso extensivo del diagramade cuerpo libre; en termodinmica se consideran sistemas cerrados o abiertos, enmecnica de uidos sistemas y volumen de control.PERO QUE ES UN SISTEMAS?Concepto de sistema. Por sistema real lo entenderemos como una fuente dedatos de comportamiento de alguna parte del mundo real por la que mostramosinters. Esa parte de la realidad estar formada por un conjunto de elementos ocomponentes o entidades que interaccionan para alcanzar un objetivo comn. Lossistemas pueden ser naturales o articiales, actuales o planicados para un fu-turo. Por ejemplo, una Universidad puede considerarse como un sistema articialque realmente existe, con profesores, secretarias, estudiantes, empleados admin-istrativos, aulas, computadores, impresoras,... como componentes. Los elementosposeen ciertas caractersticas o atributos, parmetros y variables, que toman val-ores numricos o lgicos y, al conjunto, se denominan variables descriptivas delsistema. En nuestro ejemplo, los atributos pueden ser el nmero de profesores, lostipos de secretarias. Se dan una serie de relaciones o actividades entre los elementosy, en consecuencia, los elementos interaccionan produciendo cambios en el sistema.Por ejemplo, en la Universidad se tienen estudiantes que necesitan un servicio (se34 2. MODELACINMATEMTICAles debe ensear algo) que son manejados por los profesores, por las secretarias, etc.Si no hubiera profesores, no habra atencin a los estudiantes.Consideramos relaciones internas y externas al sistema. Las primeras conectanlos elementos dentro del sistema; las segundas conectan los elementos con el mundoexterior. Por ejemplo, una relacin interna es la interaccin entre estudiantes ycomputadores, o entre secretarias y decano. Una relacin externa es la llegada depersonas (clientes) a la Universidad para solicitar asesorias. Las interrelaciones entreentidades y entre entidades y el sistema, se expresan a travs de parmetros y devariables. Cualquier proceso que cambie los atributos de una entidad se denominaactividad, como, por ejemplo, la llegada o salida de usuarios de la Universidad.DESCRIPCIN DE UN SISTEMA. Al hablar del sistema es conveniente tener en cuenta los puntos siguientes:a. Fijar los objetivos.b. Encontrar medidas de funcionamiento, desempeo o efectividad del sistema.c. Observar cules son los recursos o entradas del sistema.d. Determinar cul es el medio ambiente para localizar restricciones, pues alsistema le es difcil modicar su entorno.e. Las componentes del sistema y las actividades, el desempeo y las metasque ellos efectan.f. La administracin del sistema: es importante identicar la marcha y lacomprobacin de su buen funcionamiento.Objetivos. Existen gran variedad de objetivos en un problema; sin embargo,vale la pena recalcar que es ms importante escoger los objetivos apropiados que elsistema apropiado. En algunos casos, los objetivos no se pueden expresar numri-camente y en otros casos se pueden tener varios objetivos que entran en conicto.Entre algunos tipos de objetivos se tienen: Monetarios, Mercadeo, Costo, Calidad,etc. Al escoger los objetivos es conveniente tener claro los siguientes factores:Identicar medios y nesMirar los trminos de negociacin entre las variables (Calidad vs. Costo)Que sean preferiblemente cuantcables,Que sean factibles fsica, econmica y socialmenteEl riesgo e incertidumbre que se tiene.Se deben corregir conictos entre objetivosAislar juicios de valor.CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS. Podemos clasicar los sistemasde muchas formas. Por ejemplo, un sistema puede ser cerrado o abierto. Un sistemacerrado no se relaciona con el medio que le rodea; uno abierto recibe de su medioentradas que lo inuyen. Si el sistema tiene la capacidad de reaccionar a cambios ensu propio estado, entonces el sistema tiene retroalimentacin. Adems, los sistemaspueden ser naturales (una colonia de abejas) o articiales (un automvil); dinmicos(informacin enviada a travs de una serie de canales) o estticos (una lmpara);estables (regresan al equilibrio despus de una perturbacin) o inestables; estocs-ticos (incluyen elementos aleatorios) o determinsticos; adaptativos (responden acambios en el medio) o no adaptativos; lineales (todas las relaciones son lineales)o no lineales. Tambin, pueden tener variables independientes (no manipulables)o dependientes; no controlables (radiacin) o controlables; continuas, discretas omixtas.2. MODELACINMATEMTICA 5Estados de un sistema. Con el estudio de los sistemas se pretende aprender,disear, cambiar, conservar y, si es posible, controlar su comportamien-to. Algunas de las variables que intervienen y describen el comportamiento de unsistema se denominan no observables, ya que no son accesibles para su posibleobservacin y medicin. Por el contrario, las variables que pueden medirse se de-nominan observables y podrn ser de entrada o de salida. Por ejemplo, la destreza,la perspicacia y el nmero medio de lneas que escribe por minuto una secretariason tres variables, las dos primeras no son observables ni medibles directamentepero la tercera s.Hemos mencionado, que las componentes de un sistema estn determinadas porun conjunto de variables descriptivas. Las reglas que especican la interaccin entrelas componentes determinan la forma en que estas variables descriptivas cambiana lo largo del tiempo. Para que un ordenador sea capaz de simular un modelo debeconocer estas reglas de interaccin. Tambin puede ser que tenga que guardar losvalores pasados de las variables descriptivas para poder calcular los valores futuros,ya que las reglas de interaccin son funcin de tales valores. Pero no tienen por qualmacenarse todos los valores pasados de todas las variables descriptivas, pues enmuchos modelos resulta posible considerar un subconjunto reducido de variablesdescriptivas cuyos valores actuales permitan calcular los valores futuros de todaslas variables descriptivas. Tal subconjunto mnimo de variables que describen lasentidades, los atributos y las actividades de un sistema en un instante particulardel tiempo, y que permiten predecir su comportamiento futuro, se denomina devariables de estado. Los valores de las variables de estado en un instante de tiem-po t proporcionan el estado del sistema en ese instante. Las variables de estadorelacionan el futuro del sistema con el pasado a travs del presente. El estado delsistema puede cambiar como resultado de actividades internas o endgenas, o bienactividades externas o exgenas; por ejemplo el cambio en la tasa del dolar serauna actividad endgena para alguna empresa importadora de materias primas.Los atributos de los elementos del sistema denen su estado. Si el compor-tamiento de los elementos puede predecirse con seguridad, estamos ante un sistemadeterminstico. Si no es posible una prediccin exacta, entonces nos enfrentamoscon un sistema estocstico. Las probabilidades de transicin de un sistema de unestado a otro como respuesta a ciertas actividades caracteriza la naturaleza deter-minista o aleatoria del sistema. Si la probabilidad de que un sistema que est enun estado ol pase a un estado o2 es igual a uno (1.0), entonces tenemos un sistemadeterminstico. Por ejemplo, al enfriar agua a bajas temperaturas se obtiene hielo,o del petrleo se obtiene calor y gas. En los sistemas estocsticos, la probabilidadde que el sistema cambie de un estado ol a un estado o2,o3,..es menor que uno.Por ejemplo, que el precio del caf (en libras) sea 0.8 centavos de dolares para elsiguiente mes, o que las ventas de un nuevo producto sea mayor a 20 mil unidadesal mes.Las propiedades estticas y dinmicas describen tambin el estado del sistema.Un sistema se encuentra en equilibrio, o es estacionario si la probabilidad de encon-trarse en alguno de los estados no cambia con el tiempo: el sistema puede moversede un estado a otro pero las probabilidades de su movimiento entre los estadospermanecen jas. En el caso de un sistema evolutivo o dinmico, las probabilidadescambian con el tiempo. En trminos matemticos, la caracterizacin de los sistemas6 2. MODELACINMATEMTICAestticos se hace generalmente con ecuaciones algebraicas y la de los dinmicos conecuaciones diferenciales o en diferencias.1. ModelosLa modelacin es el proceso de reconstruccin de un proceso natural de sumedio a una forma llamada modelo, el cual puede analizarse por medio de tcnicascomprensibles y conables. El trmino modelo puede tener diferentes signicadospara distintas personas y la representacin de un modelo puede ser distinta. Unaclasicacin, de las muchas existentes, considera esencialmente tres clases de mod-elos.Clasicaciones de los modelos:1. Modelos Fsicos.2. Modelos Mentales.3. Modelos SimblicosEl decisor debe identicar cul es el tipo de modelo que mejor se adecua alproblema de decisin.Modelos fsicos: El modelo que adopta la apariencia fsica del objeto que deberepresentar se llama modelo fsico. Este tipo de modelo se usa para mostrar o pro-bar el diseo de elementos, desde nuevas construcciones hasta nuevos productos. Enla industria de la aviacin, se construyen modelos a escala de las nuevas aeronavesque se prueban en tneles de viento para registrar la aerodinmica del diseo. Elfabricante de repuestos automotrices puede tener un modelo a escala tridimensionaldel piso de la planta, completo con mquinas y equipos en miniatura, para poderanalizar un nuevo diseo de la distribucin. Las mquinas en el modelo puedenreubicarse y estudiarse nuevas distribuciones con el objeto de mejorar el ujo demateriales. Los modelos fsicos ofrecen la ventaja de que pueden usarse para exper-imentar. En el ejemplo de la aeronave, los ensayos con un diseo diferente quizsimpliquen construir un modelo completamente nuevo. Adems de la ventaja de laexperimentacin, los modelos fsicos lcidamente describen el problema o sistemaque se est estudiando; resultan tiles para generar alternativas innovadoras de dis-eo con el objeto de resolver el problema de decisin. No obstante, slo una clasede problemas relativamente pequea puede resolverse con modelos fsicos. Algunosejemplos de problemas que no pueden analizarse con modelos fsicos son la seleccinde carteras, la seleccin de medios y la planicacin de produccin, la ubicacin deun negocio, la introduccin de un nuevo producto. Bsicamente, los modelos fsicosson tiles slo para los problemas de diseo, e incluso en algunos de estos casos sepuede hacer un anlisis ms eciente y completo con Modelos Matemticos quepuedan correrse en computadora.Adems, estos modelos fsicos no contienen relaciones explcitas entre las al-ternativas de decisin y las variables y objetivos dependientes, debiendo usarsemtodos de prueba y error para resolver el problema. Si bien esto, de por s, noes una terrible desventaja, el proceso de prueba y error, sumado a la necesidad dereconstruir el modelo con cada cambio de diseo, puede demandar mucho tiempoy muchos gastos, en algunos casos.Modelos Mentales/verbales : El modelo verbal es la traduccin del modelomental. As, el modelo mental/verbal expresa todas las relaciones funcionales entrelas variables de un proceso. Sin embargo, los modelos mentales/verbales tienen1.MODELOS 7una serie de deciencias. El decisor no puede experimentar con ellos, tampocoindican especcamente cmo cambian los resultados o las medidas de su ecaciasegn la alternativa de decisin de que se trate. Otra desventaja es que no es fcilmostrar cmo cambian las relaciones segn la alternativa de decisin. No obstante,los modelos mentales/verbales juegan un papel importante en el proceso de decisin.Pueden usarse para verbalizar estrategias de decisin logradas con modelos mssosticados.Modelos Simblicos. Son aquellos que incluyen operaciones lgicas o matemti-cas que pueden utilizarse para formular una solucin de un problema. Se subdividenen Modelos Matemticos y no matemticos. A su vez, estos ltimos pueden ser:lingsticos (descripcin verbal), grcos y esquemticos, por ejemplo un grco oun diagrama de ujo.Modelos grcos. Los modelos grcos representan un paso til en el procesode simbolizacin de un modelo verbal. Algunos modelos grcos son los diagramasde ujo lgico. El diagrama de ujo lgico es una representacin visual de un pro-ceso u operacin lgica. Los cuadros del diagrama estn conectados en un patrnde ujo de secuencia y estn relacionados entre s mediante dos operaciones fun-damentales. Una de stas es la ramicacin. La ramicacin tiene lugar cuando sehace una pregunta en cierto paso del proceso y sus posibles respuestas se expresancomo ramicaciones alternativas que se alejan del cuadro. La otra operacin es elenlace. Este enlace tiene lugar si ciertas respuestas regresan el ujo a una etapaanterior. Por ejemplo, para describir los esfuerzos de una empresa para determinarcales competidores reducirn sus precios, podemos utilizar un diagrama de ujo.La compaa primero considera al competidor i y se pregunta si es probable quebaje su precio. Si la respuesta es si, este resultado se tabula y luego la compaa sepregunta si hay algn otro competidor al cual tomar en cuenta. Si la respuesta esno, la rma pasa directamente a la siguiente pregunta. Si hay ms competidores,el ujo lgico regresa al primer cuadro (es decir, se traza el lazo hacia atrs) ; delo contrario, el ujo termina. Los diagramas de ujo lgico se usan frecuentementedebido a la calidad con que ilustran un proceso lgico.En las guras se muestran algunos diagramas en particular se muestra un di-agrama de anlisis causal, que se usa para retratar las direcciones de inuencia dediversas variables sobre las otras. Este diagrama muestra que el precio tiene inuen-cia directa (negativa) sobre la demanda y una inuencia indirecta tambin a travsde sus efectos positivos, sobre los gastos en anuncios y calidad percibida. Un precioelevado conduce a una calidad percibida elevada y lleva a la compaia a gastar msen publicidad. Ambas cosas, a su vez, ejercen un efecto positivo en la demanda.El valor de los diagramas de causalidad es expresar las relaciones complejas que elIngeniero de Mercados debe tomar en cuenta y por lo tanto lo hace ver que existenrelaciones ms complejas que no pueden ser expresadas a travs de una ecuacinentre variables.Modelos de decisin. Los modelos de decisin tienen como nalidad evaluarresultados alternativos asociados con diferentes decisiones y encontrar la mejordecisin. Los modelos de decisin se subclasican en modelos de optimizacin yheursticos. Un modelo de optimizacin es aqul para el que existen programas decomputacin para encontrar la mejor solucin al problema propuesto. El modeloheurstico es aqul para el que no existen rutinas de computacin pero que ofreceotras ventajas. El modelo heurstico puede ser un planteamiento mucho ms exible8 2. MODELACINMATEMTICAPrecioDemandaCalidadpercibidaDlaresen anuncios++-++Diagrama de anlisis causalFigura 1. Figura 1IIICalidadpercibidaPrecio DemandaDiagrama de relacin funcionalFigura 2. Figura 2y complejo. Para usar este modelo, el Ingeniero aplica la heurstica, que se denecomo reglas de dedo que tienden a acortar el tiempo requerido para encontraruna solucin razonablemente buena. Por ejemplo, en un modelo para determinarbuenas ubicaciones de bodegas, el heurstico podra ser: Considerar ubicacionesnicamente en grandes ciudades. Esto quizs excluye una ubicacin perfectamentebuena en una ciudad pequea pero los ahorros al tener que vericar mucho menosciudades se espera que compensen esta omisin.Uno de los modelos de decisin que tienen particular pertinencia en algunoscampos de la Ingeniera es el modelo de decisin conocido como programacinmatemtica. La programacin matemtica exige expresar los objetivos de un en-cargado de decisiones, en forma de cierta funcin matemtica cuyo valor debeoptimizarse. Tambin se introducen varias restricciones en la forma de ecuaciny/o desigualdades. Una clase de modelos en especial importante es el modelo deprogramacin lineal, en el que las funciones matemticas que aparecen tanto en lafuncin objetivo como en las restricciones, son funciones lineales.QUE ES UN MODELO UN MODELO MATEMATICO?1.MODELOS 9El objetivo de muchos experimentos, que se realizan en diferentes ramas de laciencia y de la tcnica, consiste en el estudio de las propiedades de los objetos o pro-cesos que son del inters para el Ingeniero o Investigador, para lograr este propsitoel Ingeniero formula el problema en trminos matemticos; esto es, construye unadescripcin del fenmeno de la vida real en trminos matemticos, crea un segundomundo en que considera la situacin.Un Modelo Matemtico es una herramienta abstracta para representar aprox-imadamente un proceso real que usa una descripcin matemtica de los factoresesenciales del proceso y sus interrelaciones. Los investiagadores usan los modelos co-mo dispositivos para la predecin o explicacin del comportamiento del fenmeno,experimento o sistema.La eleccin de un modelo determinado depende del propsito del estudio. As,en un caso general, el primer paso en la formulacin matemtica de un problema esel diseo de la estructura del modelo, esto es, la descripcin cualitativa del procesousando ciertos operadores o ecuaciones. Este procedimiento se llama IDENTIFI-CACION ESTRUCTURAL.En forma general diremos que un MM puede ser denido como una formulacino una ecuacin que expresa las caractersticas esenciales del fenmeno o procesosfsico en trminos matemticos, esto es;\ ar.dcj = )(ar.i:d, jara:, )n:c.dc )ncr.a:)donde la variable dependiente es una caracterstica que generalmente reeja el com-portamiento o estado del sistema, las variables independientes son generalmentedimensiones tales como el tiempo, espacio, precio, cantidades de un producto atraves de las cuales el comportamiento ser determinado, los parmetros son ree-jos de las propiedades o la composicin del sistema, y las funciones de fuerzas lascuales son inuencias externas que actuan sobre el sistema.La determinacin de los valores adecuados que deben asignarse a los parmetrosdel modelo (un valor por parmetro) es crtica y a la vez un reto dentro del procesode construccin del modelo. As, el valor asignado a un parmetro muchas veceses, por necesidad, slo una estimacin. Debido a la incertidumbre sobre el valorreal del parmetro, es importante analizar la forma en que cambiara (si lo hace) lasolucin derivada del problema cuando el valor asignado al parmetro cambia porotros valores posibles. Este proceso se conoce como anlisis de sensibilidad.Aun cuando se hable de el modelo matemtico de un problema en la Ingeniera,los problemas reales por lo general no tienen un solo modelo correcto.1.1. Metodologa de la modelacin matemtica. La metodologa dela modelacin se reere a un conjunto de procedimientos sistemticos basados enconocimientos acumulados cuyo objetivo es abordar y resolver problemas. En reasde las ciencias e Ingeniera existe una metodologa bien desarrollada que a alcanzadocierta madurez.La modelacin es el proceso por el cual se establecen relaciones entre las enti-dades importantes de un sistema que se expresa en trminos de metas, criterios deejecucin y restricciones que en conjunto constituyen el modelo. Cada modeladortiene un modelo bsico, que constituye la visin o imagen particular que tiene sobreel sistema y a partir de la cual se construir un modelo simplicado. Mediante laexperimentacin con este modelo simplicado, se espera aumentar la comprensindel modelo bsico as como del sistema real caracterizado por l.10 2. MODELACINMATEMTICAUn primer paso en la modelacin es establecer el problema de forma clara, lgicay no ambigua, delimitando sus fronteras. Ya que es casi imposible comprendery aislar todas las interrelaciones entre los elementos del sistema, se incluye sloun subconjunto de variables e interrelaciones del sistema original. La habilidadpara seleccionar el subconjunto ms pequeo de variables que describan enforma adecuada el sistema real es una cualidad notable de un modelador, en el quetambin desempearn un papel importante su experiencia, intuicin, imaginacin.As, un rasgo importante para construir un buen modelo ser la simplicidad. Confrecuencia, no existir correspondencia biunvoca entre las variables del sistema ydel modelo, y muchos detalles se resumirn dependiendo del nivel de abstraccindel mismo. Los modelos con menor nmero de variables y datos son ms fciles deconstruir, de desarrollar, de modicar y de comprender, as como ms fcilmentetratables, y es muy probable que puedan utilizarse en situaciones prcticas para lasque se han diseado.Resumiendo podemos armar que en el proceso de construccin de un modelomatemtico requiere habilidad, imaginacin y evaluacin objetiva. En la formu-lacin del problema se requiere una comprensin del rea del problema, lo mismoque de las matemticas correspondientes; as que una posible metodologa en laconstruccin de un MM podriamos decir que es la siguiente.B Formulacin del problema.B Planteamientos de las hiptesis a usarB Formulacin matemtica; relacionar las diferentes variables mediante leyesempricas o naturalesB Solucin o Estimacin del modeloB Interpretacin de los resultadosB Vericacin de las soluciones como respuesta al problema en estudio.Es de anotar que en cada etapa de validacin del modelo lo podemos ir re-nando ya que modelos ms renados pueden proporcionar una mejor comprensinde los procesos de la naturaleza, sin embargo el renamiento puede traer comoconsecuencia una mayor dicultad para la solucin bien sea anlitica o numrica.El gura 1 se ilustra el uso de modelos para explicar los resultados de unasituacin observable.Para extensas partes del ambiente natural (el punto 1 de la gura) se da unaexpresin matemtica mediante un modelo general en el cual todos los resultadosquedan descritos por algunos principios bsicos. El punto 2 de la gura expresa latraduccin del mundo real al mundo matemtico por medio de operadores o ecua-ciones. Luego se resuelve el problema matemtico (a menudo con una simulacinen la computadora) (punto 3) y el resultado se interpreta en el entorno natural delproblema (punto 4).El proceso de modelacin es de naturaleza evolutiva, ya que pasa de unasespeculaciones iniciales a hiptesis, a modelos generales y, nalmente, a un modeloespecico simplicado.EJEMPLOS DE MM. MANZANAS Y NARANJAS. Newton y la Leyde la Gravitacin Universal1 = G' :d21.MODELOS 11Problema delmundo real (1)ModeloMatemtico (2)Solucin. Uso detcnicasanalticas,numricas,cualitativas (3)Comprobacin (4)Figura 3. Figura 3esto es, el tirn gravitatorio de la Tierra se debilita cuanto ms lejos se esta de laTierra.2.1 = :c2son ejemplos familiares.3. En forma parecida, un modelo matemtico para un problema industrial con-siste en un conjunto de ecuaciones y expresiones matemticas relacionadas quedescriben la esencia del problema. As, si deben tomarse : decisiones cuanti-cables relacionadas entre s, se representan como variables de decisin (digamos,rl, r2, ...rn) para las que se deben determinar los valores respectivos. La medidade desempeo adecuada , que corresponde a la variable dependiente (por ejemplo,la ganancia) se expresa entonces como una funcin matemtica de estas variablesde decisin (por ejemplo, G = 2rl 8r2 ..,200rn. Tambin se expresan en tr-minos matemticos todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valoresde las variables de decisin, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades(/I(rl, r2, ...rn) _ 100). Las constantes (los coecientes o el lado derecho de lasecuaciones) en las restricciones y en la funcin objetivo es lo que nosotros llamamosparmetros del modelo. EL PROBLEMA puede expresarse entonces como el prob-lema de elegir los valores de las variables de decisin de manera que se maximice lafuncin G, sujeta a las restricciones dadas (El modelo matemtico correspondientea este problema es la funcin G junto con las restricciones). Un modelo de estetipo, y algunas variaciones menores sobre l, tipican los modelos analizados en laprogramacin matemtica.12 2. MODELACINMATEMTICA5. Un Modelo de proceso de Markov. Este modelo muestra la probabilidad depasar del estado actual a cualquier estado futuro. Por ejemplo, consideremos unbuer ubicado en un nodo de una red de comunicacin de datos por donde uyenpaquetes -secuencia de bits organizados en campos bien denidos-. Para simplicarsupongamos que cada segundo (o milisegundo) puede llegar, salir o no un paqueteal nodo. Sea A(:) el nmero de paquetes en el buer en el instante : = 0, 1, 2, ...... A(:) puede tomar valores enteros desde 0 hasta la capacidad mxima del buer, nmero mximo de paquetes que caben en el buer. Cuando se alcanza estevalor se satura el buer y no se admiten ms paquetes. Es claro que A(:) es unavariable aleatoria, pues no es posible predecir con absoluta certeza el valor quetomar en un instante de tiempo determinado, dado que no tenemos control sobrelas posibles rutas seguidas por los paquetes, ni sobre la fuente de los mismos.Sea (A(0), A(1), ...A(:), ..)adems, asumamos que los paquetes llegan o salenuno a uno, vale decir, en un instante de tiempo ocurre uno y solo de los siguientescasos: o sale un paquete, o entra un paquete o no entran ni salen paquetes del nodo,la probabilidad de transicin entre los estados que dieran en ms de una unidades cero,pues equivaldra a la llegada o salida de ms de un paquete. Con estacondicin se reduce la complejidad del problema.La probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado , en el instante detiempo (:1) dado que en el instante : se encuentra en el estado i, est dada por,1(A(: 1) = ,)[A(:) = i) =_ jI, , = i, i 1, i 10 en otro casoLas probabilidades se representan por la matriz de transicin 1. Los elementosde la matriz de transicin son las probabilidades de transicin entre los diferentesestados i y ,. Asi, las las representan los estado actuales y las columnas el estadosiguiente0 1 2 8 . . 0 joojol0 0 0 0 01 jlojlljl20 02 0 j2lj22j2308 ... 0 0 0 0 0 0 jAl nodo puede llegar un paquete, salir un paquete o no entrar ni salir paquetes.X|, representa el estado del nodo: es decir, el nmero depaquetes en el nodo.Denicin: La secuencia de variables aleatorias A(1), A(2).. forma una cadenade Markov de tiempo discreto si para todo : (: = 1, 2, , .) y todos los posibles valoresde las variables aleatorias tenemos que(1.1)1(A(:) = ,)[A(1) = il, A(2) = i2, ..A(:1) = inl) = 1(A(:) = ,[A(:1) = inl)La expresin nos dice que la probabilidad de transicin hacia el estado A(:)= ,, depende nicamente del estado inmediatamente anterior A(: 1) = inl yno de los estados previos.1.MODELOS 136. Un modelo descriptivo con pertinencia a muchas situaciones de Ingeniera, esel modelo de colas. Los modelos de colas se disean para representar situaciones deturno de espera y responden a dos preguntas especcas: Qu cantidad de tiempodebe esperar un cliente en un sistema particular? Cmo cambiar este tiempode espera como resultado de determinadas alteraciones en las instalaciones? Estaspreguntas pueden ser de particular importancia en sistemas de serivicios (bien seaun banco, un hipermercado, estaciones de gasolina, una red de comunicaciones).Donde quiera que los clientes tengan que esperar, existe el peligro de que el tiempode espera se torne excesivo, lo que se traduce en prdida de algunos clientes a favorde los competidores.La teora de colas se constituye en la principal herramienta para el anlisis de lasredes de telecomunicaciones. El estudio del desempeo de las redes de comunicacinde datos implica el conocimiento del comporatmiento de las redes ante situacionesde orden aleatorio, tales como el aumento inesperado del trco de paquetes.En general, una cola se forma en todo sistema que preste un servicio y endonde la demanda por el servicio supere la prestacin del mismo en determinadosintervalos de tiempo.La caracterstica ms importante del arribo de elementos alsistema es la distribucin de probabilidad con que lo hacen. Esta distribucin tieneun parmetro muy importante, la tasa de arribos. Por ejemplo, en redes de comu-nicacin de datos es comn utilizar el bit/seg o bps como unidad para medir latasa de entrada de elementos al sistema, tambin se usa pauqtes/seg, llamadas/seg,transacciones/dia14 2. MODELACINMATEMTICA1.2. Ecuaciones Diferenciales. INTRODUCCIONCon frecuencia para la descripcin de un sistema se construyen MM (ModelosMatemticos) a travs de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (parmetros concen-trados) o bien a travs de EDDP (Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parcialesde parmetros distribuidos). Las EDDPs aparecen en diversos problemas fsicos ygeomtricos, cuando las funciones que intervienen dependen de dos o ms variablesindependientes. Estas variables pueden ser el tiempo y una o ms coordenadas enel espacio. En este captulo se presentan algunas de las ecuaciones diferenciales par-ciales ms importantes en las aplicaciones de la ingeniera centrndose el estudiopara las EDDP lineales de segundo orden.En la construccin de modelos matemticos que conducen a Ecuaciones Difer-enciales se parte de algn principio fsico conocido (leyes bsicas que gobiernanla realidad) o hiptesis razonable sobre el sistema (si r denota una magnitud deinters en el instante t, entonces la tasa de cambio puede calcularse como el caudalde entrada menos el de salida, ley de equilibrio) razonando luego lgicamente seobtienen ecuaciones donde aparecen las magnitudes de inters como sus derivadas.Esta tcnica se basa en un anlisis fsico-matemtico combinado.LEYES DE CONSERVACIONY RELACIONES AUXILIARES. Al-gunas de las leyes de conservacin que se usan en la construccin de modelos sonlas leyes de conservacin de masa, energa y momentum. El uso de estas leyes esamplia y se usan tanto en sistemas de Ingeniera qumica, como en mecnica deuidos, en procesos nucleares, y en muchas otras reas de la ciencias (IngenieraCivil, Ingeniera de petrleos).La aplicacin de estas leyes selecionadas para un proceso en particular llevaa ecuaciones que son balance de trminos. Por ejemplo, la ecuacin de balancede calor a partir de la ley de conservacin de la energa; la ecuacin de balance demasas de una especie. El balance de momentum: la razn de cambio del momentumes equivalente a las fuerzas que actuan sobre el objeto.Conservacin de Balance Trminos alternativosMasa Balance de masas Ecuacin de continuidadEnerga Balance de energa Primera ley de termodinmicaBalance de calor (formas de energa trmicas)Momentum Balance de Momentum Balance de fuerzasLey de NewtonEcuacin de Navier-StokesLa primera ley de la termodinmica es una manera de enunciar el principio deconservacin de la energa: En un intervalo de tiempo ^t la variacin de energainterna dentro de un sistema es igual al calor tarnsferido hacia el interior del sistemamas el calor generado dentro del sistema. Por ejemplo, en un sistema cerrado queconsiste de una masa solida ja tien volumen \ _c:3 y el slido tiene una densidaj_/q,:3. Se transere calor al sistema a una velocidad Q[,o|n|c,:cq[ ; dentrodel slido puede generarse calor, por ejemplo fusin nuclear o por una corrienteelctrica, a la velocidad Qu. Asumamos que los slidos son incompresibles, de modoque no hay trabajo realizado por el sistema o sobre l. Por lo tanto, segn nuestraley tenemos^l = Q^t Qu^tDespus de establecerse los balances bsicos se necesita ahora expresar lascantidades primarias en trmino de variables de estado (variables secundarias)1.MODELOS 15y parmetros.Por ejemplo, un trmino de energa que aparece originalmente comouna entalpa H usualmente se convierte en temperatura T y se especica su calorespecco c.ALGUNAS RELACIONES AUXILIARES IMPORTANTESTasas de tarnsporteTransporte de masaMolecular Interface convectiva. = 1dC.d.. = /c(C+C)Ley de FickTransporte de Energa = /dTd. = /^TLey de FourierTransporte de Momentumt = jdd. = 1j djd.tu = )j22Ley de viscocidad de Newton Ley de Darcy Tensin de ShearUna consideracin matemtica imprtante en la construccin de MM es ladenicin de variables dependientes e independientes asociadas con las ecuacionesde balance. Las variables dependientes como se discutio arriba se reeren como vari-ables de estado y logicamente tiene formas muy variadas dependiendo del procesoque se pretende modelar. Las variables independientes usuales son el tiempo, y lasvariables espaciales r, j, . o bien se usan coordenas polares, cilindricas o esfericas.UN MODELO SIMPLE. El proceso de desintegracin de un material ra-dioactivo se describe a travs de la relacin auxiliar: la velocidad de la desintegracinde una sustancia es proporcional a la cantidad de la sustancia radioactiva que setenga en el instante dado. El coeciente de proporcionalidad c, el cual es caracters-tico para cada sustancia, es constante y se denomina coeciente de desintegracin.El modelo matematico para este problema es un problema de Cauchy dado por:d:dt= c:(t) (1.2):(to) = ' (1.3)Si las constantes c y ' son conocidas, entonces, al resolver el problema deCauchy sabemos como va cambiando la cantidad de material a travs del tiempo.Un problema de inters en la ciencia consiste en determinar el coeciente c yla cantidad inicial de sustancia ' si se sabe que a travs de la experimentacin sepuede denir la cantidad de sustancia :(t) para t [tl, t2[. De esta manera se debedeterminar el coeciente c y ' si se conoce la funcin :(t) para t [tl, t2[.MODELO DE VENTAS. Se desea determinar la relacin funcional entre elnmero de individuos en una poblacin bajo la inuencia de determinado comercialpublicitario en el instante t; esto es, (t) con el objetivo de predecir futuros valoresde por razones econmicas u otras. Para cumplir con este proposito modelemosla tasa de cambio de respecto a la variable t. Se pronostica que habr un lmitede 1 individuos que vern el anuncio.HIPOTESIS A USAR: Cmo podemos determinar la relacin funcionalentre y t? Una suposicin simple es pensar que la tasa con que crece o decrecela cantidad de individuos bajo la inuencia del comercial slo depende del nmero16 2. MODELACINMATEMTICApresente de personas que ven el comercial y no de mecanismos dependientes deltiempo, esto es 0(t) = )(), donde 0(t) denota la derivada de (t) respecto altiempo. Ahora es necesario modelar la forma de la funcin )(). Como la cantidadde personas que vern el comercial es 1 entonces de la ecuacin diferencial tenemosque )(1) = 0; si se toma )(0) = r ; se pueden tener varias funciones que satisfacenestas condiciones.La hiptesis ms sencilla es que la funcin )() sea lineal; esto es )() =cl c2. O bien se asumira que la funcin )() es un polinomio de grado 2 osuperior. Cul es el polinomio ms adecuado? Generalmente se empieza con unmodelo ms bien sencillo (tomamos a )() como una funcin lineal), si el modelo noresulta satisfactorio para los nes de prediccin, se puede entonces tomar la funcincomo un polinomio de mayor grado, como por ejemplo, una funcin cuadrtica, paraobtener en este caso la siguiente ecuacin diferencialddt= (t)_r r1(t)_= r(t)_1 11(t)_; (0) = oAl resolver la ED (Ecuacin Diferencial) obtenemos el comportamiento del sistemadinmico que estamos modelando, esto es la dependencia de con respecto altiempo t. Y al variar los parmetros r, 1, o podemos observar la dependencia de(t). La solucin del problema est dada por la frmula(1.4) (t) =ror,1o (r r,1o)c:|,-2 -1 0 1 2 3 4 50.20.40.60.81.0TiempoN(t)Est frmula indica el comportamiento del sistema dinmico que se est mod-elando, esto es, que la dependencia de con respecto al tiempo; al variar losparmetros r, 1, o permite observar la dependencia de (t) respecto a los parmet-ros.A continuacin el Modelador puede preguntarse si esta formulacin es satis-factoria para la descripcin del mundo real; si este es el caso puede usar su Modelobien sea para nes predictivos o para la toma de decisiones.UN MODELO DE CONSERVACION DE MOMENTUM.1.MODELOS 17Supongamos que un objeto se deja caer desde un helicoptero otante a granaltura del suelo, es necesario predecir la altura y velocidad del objeto en cualquierinstante futuro.Observemos que la altura /(t), y la velocidad (t) pueden identicarse como lasvariables dependientes (variables que el modelo quiere explicar). Supngamos queel cuerpo se mueve solo verticalmente. As que para cambiar la posicin el cuerpohay fuerzas que actuan sobre el: Fuerzas de Propulsin- tienden a mover el cuerpoen alguna direccin.Fuerzas resistentes- tienden a retrasar el movimiento.1:tsI| = )l(arrastre,otamiento)donde la Fuerza de Arrastre- cuando el cuerpo cae a travs de la atmosfera.Fuerza de Flotamiento- sujeta al cuerpo y tiende a mantenerlo.Por lo tanto el '' puede ser expresado smbolicamente as:jo:ic = )2(fuerza de propuls,fuerz. resist)La fuerza de propulsin que actua sobre un cuerpo que cae desde una posicin dereposo se debe a la gravedad. La fuerza gravitacional depende de la masa del objetoy su distancia a la supercie de la tierra.)jrojn| = 1 = atraccio: qraitacio:a| =)(:a:a, a|tnra)Si a la fuerza hacia abjo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segundaley de Newton debidad a la gravedad como1 = :q(aqu hay que anotar que la gravedad varia con la distancia a la tierra).Con respecto a las fuerzas de arrastre y de otameinto tenemosarra:trc = 1o = )(c|, dc::id airc, arca soc cio:a|, ..))|ota:ic:to = 1b = )(dc::i aire,densid.objeto)Si hacemos la hiptesis de que el arrastre es igual a una constante por la velocidaddel objeto, esto es(1.5) 1o = cdonde c es una constante de proporcionalidad llamada coeciente de resistenciao arrastre (kg/seg). El parmetro c toma en cuenta las propiedades del objetodescendente, como la forma o aspereza de sus supercie, que afectan la resistenciadel aire. La relacin (8) no siempre es adecuada, en algunos casos puede ser unarelacin no lineal).Ahora como queremos es determinar la velocidad nal de la caida libre delobjeto, el modelo se puede construir usando la expresin de aceleracin como larazn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo ddt, por lo tanto una primeraaproximacin a nuestra realidad sera18 2. MODELACINMATEMTICA:ddt = 1 = :q cMOVIMIENTO VIBRATORIO DE SISTEMAS MECANICOS.Supnagase que tenemos un resorte ordinario de peso despreciable suspendidoverticalmente de un soporte jo.Colguemos un peso \ al resorte. Cuando el pesoesta en reposo describiremos su posicin como la posicin de equilibrio. Halemos elpeso hacia abajo una cierta distancia y luego soltemoslo, el peso empezar a oscilaralrededor de la posicin de equilibrio. Determinar el movimiento del peso.Nuevamente para construir nuestro MM consideremos las fuerzas que actuansobre el objeto:Fuerza restauradora. Es la fuerza que tiende a regresar o restaurar el pesodesplazado a su posicin de equlibrio. La ley que gobierna esta fuerza es la ley deHooke.Ley de HookeLa fuerza ejercida por un resorte, tendiente a restaurar el peso \ a la posicinde equilibrio, es proporcional a la distancia de \ a la posicin de equilibrio.Fuerza amortiguadora- Es una fuerza de friccin que actua para decrecer las am-plitudes de las oscilaciones. Podemos nuevamente considerar que para velocidadespequeas, la magnitud de la fuerza amortiguadora es paroximadamente propor-cional a la velocidad instantanea del peso en el resosrte.Fuerzas externas. Una tal fuerza puede aparecer de varias maneras:por ejemplo,procedente de vibraciones de la pared al que se halla sujeto el resorte, o sobre elefecto sobre sta de un campo magnetico externo (si el resorte es de hierro), ocuando al peso se le da un pequeo empuje cda vez que alcanza la posicin msbaja.Asumamos la direccin positiva hacia abajo como se muestra en la gura (1),de modo que r (que es la posicin de \ medidad desde la posicin de equlibrio) espositivo cuando \ est por debajo de la posicin de equilibrio y negativo cuando\ est por encima de esta posicin.Modelizacin del proceso.Segn la segunda ley de Newton tenemos:\q .d2rdt2 = 1:ts 1:tsIs| 1tr|Por lo tanto(1.6)\q .d2rdt2 = /r ,drdt )(t)donde /, , son constantes positivas; 1:ts = /r, observe que si el cuerpo estahacia abajo la fuerza esta dirigida hacia arriba y si el peso esta arriba la fuerza estadirigida hacia abajo: El mismo razonamiento hacemos con la fuerza de friccin, lacual consideramos que es proporcional a la velocidad instantanea del peso en elresorte.OBSERVACION. Vonsideremos el MMd2rdt2= /,:rr(0) = 0, r0(0) = 01.MODELOS 19cuya solucin es igual a r(t) = cl cos .ot c2 sin.ot = cos(.ot c), donde =_c2l c22, cl = cos c, c2 = sinc, .o =_/,:.Si recordamos de la fsica elemental que el trabajo realizado por uan fuerzaconstantyes a lo largo de un recorrido es igual al producto de dicha fuerza por elespacio recorrido, e imaginamos, volviendo a la gura _____, que llevamos :desde la posicin de equilibrio, dada por r = 0, hasta una posicin ., habremosrealizado un trabajo contra la fuerza de testitucun /r, con r recorriendo entre0 y ., que estar dado porl(.) =:_0(/r)dr = /.22 .Esta maginitu l(.) recibe el nombre de energa potencial en el punto . de lapartcula de masa : sometida al campo de fuerzas estacionario (no dependientede t).Supongamos ahora que una partcula de masa : est en movimiento a lo largode un eje Or. La fureza que acta sobre la partcula en el instante t, segn lasegunda ley de Newton,1 = :ddt,el trabajo realizado por dicha fuerza desde la posicin rl = r(tl) hasta la posicinr2 = r(t2) ser de nuevo,r2_r11dr = :r2_r10d = 12:[(t2)[2 12:[(tl)[2,osea igual a la variacin de la magnitudl2:[(t)[2llamada energa cintica de lapartcula en el instante t. La energa total es1 = 12:[(t)[2l(r)La energa potencial depende de la posicin y la cintica de la velocidad. En el casopresente de un movimeinto armnico regido por el modelo ( ) se cumple la leyde la conservacin de la energa, a saber, que la energa total permence constantea lo largo de cualquier movimiento.d1dt= :[[ ddt /rdrdt = 0,1 =12/2PROBLEMA SIMPLE QUE SE REDUCE A UNA ECUACION DETIPO HIPERBLICO: ECUACION DE ONDA.Una ecuacin diferencial parcial que se presenta frecuentemente en matemti-cas aplicadas, es la ecuacin de onda. Por ejemplo el estudio de ondas acsticas,ondas en el agua y las ondas electromagnticas, estn todas basadas en la ecuacinde onda.Consideremos una cuerda elstica (la cuerda de un violn, un alambre , unalnea de potencia elctrica), extendida rmemente entre soportes jos, al mismo20 2. MODELACINMATEMTICAnivel. ( Ver gura 1 ).Denotemos como 1 la longitud de la cuerda. El eje A est localizado a lo largo dela cuerda , y los extremos estn localizados en A = 0 y A = 1. Si la cuerda espuesta en movimiento en un tiempo inicial t = t0 (pulsndola por ejemplo), vibrarlibremente; el problema consistir en la determinacin de la forma de la cuerda encualquier momento, y en la determinacin de la ley del movimiento en cada puntode la cuerda en funcin del tiempo.Consideremos el problema ms sencillo; supongamos que los desplazamientos dela cuerda se hallan en el mismo plano Al , y que el vector desplazamiento l esperpendicular en cualquier momento al eje A; entonces el proceso oscilatorio sepuede describir mediante una funcin l(A, t) que caracteriza el desplazamientovertical de la cuerda.La expresin matemtica del concepto de exibilidad reside en que las tensionesque surgen en la cuerda estn dirigidas por la tangente a su perl instantneo, obien no existen fuerzas que se opongan a doblarla (Figura 2).1.MODELOS 21tomemos un pequeo elemento de la cuerda de longitud X, entre los puntos Aly A2 ( Figura 3).Despreciamos el cuadrado de lr con respecto a la unidad, esto es solo con-sideraremos desplazamientos n(r, t) pequeos. Como la cuerda no se resiste a laexin,ot =_2l_(1 l2r)dr = (A2Al) = oPor lo tanto, demostramos que en el proceso oscilatorio no hay alargamientode los segmentos de cuerda.La tensin es una funcin de (A, t). Del razonamiento anterior y de la ley deHookelvemos que la magnitud de la tensin Ten cada punto no vara con eltiempo (PORQUE?), es ms T(r) = T0 =, donde To es una constante. O sea quetampoco depende de A; demostremos esta ltima armacin. Veamos : Sea Tr, Tuproyecciones de T sobre A y l respectivamente (Figura 4).22 2. MODELACINMATEMTICAT(A, tl) = /0l0A(A, tl)T(A, t2) = /0U0X(A, t2)Tr = T(A) cos 0 =1(X)_(1 U2X= T(A)(1.7) Tu(A) T(A) sin0 = T(A) lan0 = T(A)l,Recordemos que T = /, es el alargamiento por unidad de longitud y / es elmodulo de Young, que es constante. La ltima igualdad en ecuacin ( ) se da yaque 0 es muy pequeo.Sobre el segmento [Al, A2[ actan fuerzas de tensin, fuerzas externas y fuerzas deinercia.

}ut::os :otc|oJos sob:t 1 = 0ya que se consideran solo las oscilaciones transversales. Ahora bien, las fuerzasexternas y las de inercia estn dirigidas, por hiptesis, a lo largo del eje l; entoncessobre el eje A tenemos que Tr(A2) Tr(Al) = 0, o sea Tr(A2) = Tr(Al), asi queT(A) = To.Ahora deduzcamos la ecuacin diferencial que rige el fennemo fsico. Aplicando lasegunda ley de Newton al elemento de cuerda, tenemos que la componente de lacantidad de movimiento del segmento [Al, A2[ sobre el eje l es igual a :_2ll|(:, t)j(:)d:donde j es la densidad lineal de la cuerda. Entonces,_21[l|(:, t2) l|(:, tl)[j(:)d: = _|2|1T0[l(A2, t) l(Al, t)[dt _21_|2|11(:, t)d:dt (1.8)La expresin (19) es la variacin de la cantidad de movimiento en el intervalo detiempo ^t = t2 tl , igual al impulso de las fuerzas que actan formadas por latensin T0l(A2, t) T0l(Al, t), y por la fuerza externa distribuida continua-mente con densidad 1(A, t) calculada en la unidad de longitud. Es de anotar quela ecuacin (19) es la ecuacin integral de onda, la cual se utiliza frecuentementecuando es necesario considerar soluciones generalizadas. Para pasar de la ecuacin(1) a la ecuacin diferencial, supongamos que l(A, t) C2, y apliquemos dos vecesel teorema del valor medio para obtener:l||(:+, t+)j(:+)^t^A = T0[l(:++, t++)[ 1(:, t)^t^Adonde : :+, :, :++ pertenecen al intervalo (Al, A2) y los puntos t+, t, t++ (tl, t2).1.MODELOS 23Simplicando y pasando al lmite cuando A2 Al , t2 tl, obtenemos laecuacin diferencial de las oscilaciones transversales de la cuerda:(1.9) T0l = j(A)l||1(A, t)Si la densidad es constante, j = C , entonces (20) se convierte en:(1.10) l|| = a2l 1(A, t)dondea =_(T0,j) y 1(A, t) = 1j1(r, t)Es posible identicar a como la velocidad con la cual se mueve a lo largo de la cuerda,una pequea perturbacin (onda). La velocidad de onda, a , vara directamente conla tensin de la cuerda e inversamente con la densidad del material de la cuerda.CONDICIONES DE FRONTERA Y CONDICIONES INICIALESPARA LA ECUACION DE ONDAAl describir matemticamente un fenmeno fsico, ante todo hay que plantear(colocar) el problema, es decir , enunciar las condiciones sucientes para la deter-minacin unvoca del proceso.Las ecuaciones en derivadas parciales, en general dan un conjunto innito desoluciones, por eso, en el caso en que el problema fsico se reduce a una ecuacindiferencial en derivadas parciales, para la caracterizacin unvoca del proceso esnecesario agregar a la ecuacin ciertas condiciones complementaras denominadascondiciones de frontera (contorno) y condiciones iniciales.Considerando el problema sobre oscilaciones transversales de la cuerda con ex-tremos jos, la funcin l(A, t) nos da la desviacin de la cuerda del eje A en elmomento t.Si los extremos de la cuerda estn jos entonces en cualquier momento t el valorl(0, t) = 0 y l(|, t) = 0 , nos dan las condiciones de frontera. Adems el procesode las oscilaciones de la cuerda dependen de su forma inicial y de la distribucin delas velocidades, es decir, hay que dar las condiciones iniciales :l(A, t0) = /(r),0l0t (A, t0) = q(A)Puede existir otros tipos de condiciones de frontera tales como:l(0, t) = ql(t), l(|, t) = q2(t)que nos indican el movimiento de los extremos de la cuerda segn una ley dada.Si consideramos el problema sobre las oscilaciones longitudinales de un resorte,uno de cuyos extremos est jo y el otro libre; la ley del movimiento del extremo libreno est dada y a menudo es la funcin incgnita. En el punto A = 0 , l(0, t) = 0 ;y en el extremo libre A = |, la tensin del resorte T(|, t) = 1JI(l,|)Jes igual a cero( no hay fuerzas externas); de modo que el enunciado matemtico de la condicinde un extremo libre tiene la forma :24 2. MODELACINMATEMTICA0U(l, l)0X= 0;si hay fuerza ql(t) entonces0U(l, l)0X= ql(t)/= ql(t)Es tambin tpica la condicin0l(|, t)0A= /l(|, t)que aparece cuando existe enlace elstico en alguno de los extremos.Las derivadas con respecto a t pueden gurar tambin en las condiciones de fron-tera, por ejemplo 1lr(|, t) = cl|(|, t) , que signica que el extremo del resorteexperimenta la resistencia del medio proporcional a la velocidad de su movimiento.1.2.1. Problemas de discusin. Un tubo semiacotado (r0) lleno de un gasideal tiene en el extremo (r = 0) un pistn de masa : que se mueve libremente. Enel instante t = 0 por medio de un golpe se le imprime al pistn una velocidad inicialde o. Las desviaciones iniciales y la velocidad inicial de las particulas del gas soniguales a cero. plantear un MM con el cual se pueda determinar la propagacin dela onda en el gas.ECUACION DE CALOR, ECUACION DE DIFUSION DE UNASUSTANCIAA nivel microscpico los mecanismos fsicos de la conduccin son complica-dos; abarcan fenmenos tan variados como colisiones molecualres en los gases, lasvaibraciones de la red de los cristales y el ujo de electrones libres en los met-ales.Sin embargo, el Ingeniero evita, en la medida de lo posible, la consideracin anivel microscpico y preere valerse de leyes fenomenolgicas a nivel macroscpico.La ecuacin de conduccin de calor es una ED que modela tanto el ujo de calorcomo una variedad de fenmenos scos, qumicos y biolgicos relacionados con losprocesos de difusin.LEY BASICA. La primera ley de la termodinmica es una manera de enun-ciar el principio de conservacin de la energa. Consideremos un sistema cerradoconsistente de una masa solida ja. El sistema tiene un volumen V y el solido unadensidad j. Las vibraciones moleculares del cuerpo generan energa que percibimoscomo calor, por tanto, calor es energa que se transere de un lugar a otro. Flujode calor es la transferencia de energa que se lleva a cabo como consecuencia de lasdiferencias de temperatura.OBSERVACION. La cantidad de calor que se comunica a un cuerpo se puedeexpresar en varias unidades: btu, erg, joule o calora. La calora (cal) es la ms usada,se dene como la cantidad de calor que se necesita para elevar la temperatura deun gramo de agua en 1C, desde 14.5 a 15.5 C. Una calora es igual a 4.186 J.Supongamos que se transere calor al sistema a una velocidad`Qy dentro delslido puede generarse calor, por fusin nuclear, o por una corriente elctrica a lavelocidad`Qu.1.MODELOS 25OBSERVACION. Podemos suponer que los solidos son incomprensibles de mo-do que no hay trabajo realizado por el sistema o sobre l.PRINCIPIO BASICO. El principio de conservacin de energa exigeque en elintervalo de tiempo ^tVariacin de energa interna dentro del sistema = calor transferido hacia elinetrior del sistema calor generado dentro del sistema^l =`Q^t `Qu^t^l^t=`Q `QuSi se entrega calor en la misma cantidad a masa iguales de distintas sustancias,los aumentos de temperatura son diferentes. Por ejemplo si se entrega una calora aun gramo de plata, la elevacin de temperatura ser mayor (10C) que en el caso deun gramo de agua. Se dice que las sustancias tienen diferentes calores especcos.Para un slido incomprensible dn = CudT, donde n es la energa interna es-pecca, cu es la capacidad calorca,(la capacidad calorca Cu de cualquier sustancia se dene como la cantidadde energa calrica que se requiere para elevar la temperatura de la sustancia en ungrado Celsius), T es la temperatura.La capacidad calorca de un cuerpo es proporcional a su masa. Por esto esconveniente denir la capacidad calorca por unidad de masa, c, llamada calorespecco,(1.11) c = Cu:Las unidades de medida son de C u(J/C) y c (J/kgC).Combinando estas dos expresiones se puede expresar la energa calrica trans-ferida entre un cuerpo de masa : y los alrededores para un cambio de temperaturacomo: ^l = :c^T.OBSERVACION. Algunos conceptos tiles que se manejan en teora calorcason: Calor latente. Una sustancia experimenta un cambio en su temperaturacuando se transere calor entre la sustancia y los alrededores. Pero existen situa-ciones donde el ujo de calor no tiene como resultado un cambio en la temperatura.Esto ocurre siempre que las caractersticas fsicas de la sustancia cambien de una26 2. MODELACINMATEMTICAforma a otra, lo que se conoce como cambio de fase. Algunos cambios de fase co-munes son slido a lquido (fusin), lquido a gas (ebullicin). Todos estos cambiosde fase implican un cambio en la energa interna. La energa requerida se conocecomo calor de transformacin. Cuando un sistema sufre un cambio de fase, debehaber una transferencia de calor. Si 1 es el calor latente de cambio de fase, necesariopara que una unidad de masa cambie de fase, entonces el calor absorbido durante elcambio de estado es: Q = :1, la magnitud 1 depende de la naturaleza del cambiode fase, as como de las propiedades de la sustancia. El calor de fusin 1} se usacuando el cambio de fase es de slido a lquido, y el calor de vaporizacin 1u esel calor latente correspondiente al cambio de fase de lquido a gas. En cada casopara los cambios de fase en sentido opuesto se tiene calor de solidicacin y calorde condensacin; 1 se mide en J/kg.Transferencia de calor. Es importante saber con que rapidez se transere elcalor entre el sistema y sus alrededores y conocer los mecanismos de transferenciade calor.Radiacin. Todos los cuerpos irradian energa continuamente en la forma deondas electromagnticas y la rapidez con la cual un cuerpo emite energa radianteesta dada por la ley de Stefan.Conveccin. Es un proceso de transferencia de calor en el cual la sustanciacalentada se mueve de un lugar a otro. Por ejemplo si una capa de aire o agua secalienta su densidad disminuye, se expande y se eleva, esta masa caliente transerecalor al medio circundante por conveccin. Puede ser natural o forzada (por ejemploaire caliente movido por un ventilador).Conduccin. La ley fenomenolgica que rige la conduccin de calor fue prpues-ta por J. B. Fourier (1822). En este proceso la transferencia de calor se produce aescala atmica como un intercambio de energa cintica entre las molculas, dondelas partculas menos energticas ganan energa al chocar con las ms energticas. Laconduccin de calor slo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partesdel medio conductor. Se ha demostrado empricamente que si tenemos dos placasde la misma rea cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes temperaturasTl y T2, con T2Tl y separadas por una pequea distancia /, se encuentra que elcalor ^Q transferido en un tiempo t uye del extremo caliente al fro. La rapidezde transferencia de calor ^Q,^t esta dada por^Q^t c([T2Tl[),/Si se llama H al calor transferido por unidad de tiempo (W) y se usa para repre-sentar ^Q^t , si se toma cambios innitesimales, obtenemos la que se conoce comola ley de conduccin de calor(1.12) H = 0Q0t= /0T0r/ es el coeciente de conductividad trmica del material, magnitud que representa lacapacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la consiguiente variacinde temperatura; 0T0r es el gradiente de temperatura. El signo menos indica que laconduccin de calor es en la direccin decreciente de temperatura.Un problema de Ingeniera. Se tiene un alambre homogeneo de longitud |,0 _ : _ |, el lado izquierdo (: = 0) esta aislado trmicamente, en el lado derecho1.MODELOS 27(: = |) ocurre un intercambio de calor con el medio externo y hay una fuentecalorica; conocemos la distribucin de temperatura en el momento inicial t = 0.El problema de Ingeniera consiste en controlar la temperatura del medio externoy la densidad de la fuente de calor, de tal forma que en el momento T 0 ladistribucin de temperatura se haga lo ms proximo a una temperatura deseada.Intentemos construir un MM que nos permita resolver este problema.Consideremos el alambre de seccin transversal uniforme, orientada de tal man-era que el eje r contenga el eje del alambre (ver gura); designemos los extremospor r = 0 , r = 1.Supondremos que los lados del alambre estn perfectamente aislados de talmanera que no pasa calor a travs de ellos, y que la distribucin de temperaturaT depende nicamente de la posicin sobre el eje r y del tiempo t , y no de lascoordenadas laterales j, .; esto es T(r, t) es funcin slo de las variables r, t. Enotras palabras suponemos que la temperatura permanece constante sobre cualquierseccin transversal de la barra; esta hiptesis es generalmente satisfactoria cuandolas dimensiones laterales del alambre son pequeas comparadas con su longitud.Hallemos la ecuacin que debe satisfacer la funcin T(r, t):Considrese un elemento de la barra entre las secciones transversales r = r0,r = r0 ^r. La cantidad de calor de izquierda a derecha a travs de la seccintransversal r = r0 , esQ(r0, t) = /Tr(r0, t),de la misma manera la cantidad de calor de izquierda a derecha a travs de laseccin transversal r = r0 ^r est dada porQ(r0 ^r, t) = /Tr(r0 ^r, t);y la cantidad de calor en (r0, r0 ^r) esQ = /[Tr(r0 ^r, t) Tr(r0, t)[La cantidad de calor que se acumula en un cuerpo esQ = c:^T = cj\ ^Tdonde c es el calor especco(cantidad de calor(en calorias) necesario para el-evar 1 grado la temperatura de 1 gramo de material), : la masa del cuerpo, j sudensidad y \ el volumen (area, longitud).Si la variacin de temperatura tiene una magnitud diferente en distintas partesde la barra, entoncesQ =_r0.rr0cj^TdrComo en el alambre hay una fuente (surge o se absorvee calor); la emisin decalor la podemos caracterizar por la densidad de las fuentes trmicas 1(r, t) enel punto r en el momento t. Como resultado de la accin de estas fuentes en elintervalo (r0, r0 ^r) durante un intervalo de tiempo (t, t ^t) ; se emitir una28 2. MODELACINMATEMTICAcantidad de calor dQ = 1(r, t)drdt , o en forma integralQ = _|2|l_r2rl1(r, t)drdtSegn la ecuacin del balance de calor en (rl = r0, r2 = r0 ^r) durante(tl, t2) obtenemos:_|2|l [/Tr(r0 ^r, t) /Tr(r0, t)[dt _r2rl_|2|l1(r, t)drdt= _r2rlcj[T(r, t2) T(r, tl)[drque es la ecuacin del calor en forma integral.Para obtener la ecuacin de la conduccin del calor en forma diferencial, supong-amos que T(r, t) posee derivadas continuas Trr, T|; aplicando el teorema del valormedio tenemos(1.13)00r(/0T0r) 1(r, t) = cj0T0tComo nuestro alambre es homognea entonces /, c, j se pueden considerar con-stantes y la ecuacin se escribe comunmente(1.14) n| = a2nrr )(r, t)donde a2= /,cj.( j se conoce como la difusividad del material)OBSERVACION. La densidad de las fuentes de calor pueden depender de latemperatura. En el caso de un intercambio trmico con el medio, que se somete ala ley de Newton, la cantidad de calor que pierde (osea la supercie de la barra noesta aislada) la barra es igual a.10 = /(T 0)donde 0(r, t) es la temperatura del medio, y h es el coeciente de intercambiotrmico,De esta manera, la densidad de las fuentes calorcas en el punto r en el mo-mento t es igual a1 = 1l(r, t) 10(r, t)donde 1 es la densidad de las otras fuentes de calor.Entonces obtenemos(1.15) T| = a2TrrcT )(r, t)donde c = /,cj ,)(r, t) = c0(r, t) 1l(r, t),cjPlanteamiento de las Condiciones Iniciales y de Frontera (Contorno)Para obtener una solucin nica de la ecuacin de conduccin de calor, esnecesario agregar condiciones iniciales y de frontera. La condicin inicial consisteen dar los valores de la funcin T(r, t) en el momento inicial t0. Respecto a lascondiciones de frontera, estudiaremos tres tipos:1.MODELOS 291. En el extremo del alamabre r = 0 se da la temperatura T(0, t) = ql(t),donde ql(t) es una funcin dada en cierto segmento (0, to), siendo to el intervalo detiempo durante el cual se estudia el proceso.2. En el extremo r = 1 se da el valor de la derivada0T0r(1, t) = q2(t)A esta condicin llegamos si se da el ujo trmico Q(1, t) que pasa por la seccindel extremo de la barraQ(1, t) = /0T0r(1, t)` o0T0r(1, t) = 1,/Q(1, t) = q2(t)3. En el extremo r = 1 (r = 0) est dada una relacin lineal entre la derivada y lafuncin0T0r(1, t) = `[T(1, t) 0(t)[Esta condicin de frontera corresponde a un intercambio trmico de acuerdo con laley de Newton en la supercie del cuerpo con el medio ambiente, cuya temperatura( es conocida). Utilizando las dos expresiones del ujo trmico que sale por el corter = 1(r = 0)Q = /(T 0) , Q = /0T0robtenemos/(T 0) = /0T0r,de esta forma obtenemos0T0r(1, t) = `[T(1, t) 0(t)[donde ` = /,/ es el coeciente de intercambio trmico.Para r = 0, la condicin ser0T0r(0, t) = `[T(1, t) 0(t)[Anlogamente existen otros tipos de condiciones de frontera, por ejemplo,cl0T0t = /0T0r /(T l0);donde cl es la capacidad calorca, l0 la temperatura del medio exterior.Si el medio no es homogneo, y los coecientes de la ecuacin son funcionesdiscontinuas en el intervalo (0, 1) en el cual se busca la solucin del problema, separticiona por los puntos de discontinuidad de los coecientes, de tal manera queen cada subintervalo la funcin T satisfaga la ecuacin de conduccin calor, y en lasfronteras las condiciones de conjugacin. En el caso ms simple, estas condicionesconsisten en la continuidad de la temperatura y del ujo trmico:T(r00, t) = T(r0 0, t)/(r00)0T0r(r00, t) = /(r0 0)0T0r(r0 0, t).30 2. MODELACINMATEMTICALa formulacin matemtica de nuestro problema quedara entonces de la sigu-iente forma:J(T) =_l0 [T(r, to, n) j(r)[2drT|(r, t) = a2Tss(r, t) )(r, t) Q = 0 < r < |, 0 < t _ toTs(0, t) = 0 0 < t _ toTs(|, t) = i[0(t) T(|, t)[ 0 _ r _ |T(r, 0) = c(r) 0 _ r _ |Se supone que n = (0(t), )(:, t)) es el control, el cual pertenece a cierto conjunto l.Como por ejemplo, las funciones 0(t), )(r, t) son integrables al cuadrado en [0, to[y Q respectivamente.ECUACION DE LA DIFUSIONSi el medio est lleno de gas de modo no uniforme, tiene lugar la difusin deste, de los lugares de mayor concentracin a los de menor concentracin. Estemismo fenmeno tiene lugar en las soluciones, si la concentracin de la sustanciadiluida en el volumen no es constante. El proceso de difusin en un tubo vaco, oen un tubo lleno de un medio poroso , suponiendo que en todo momento de tiempola concentracin del gas ( de la solucin) es igual en cada seccin, se describe porla ecuacin(1.16)00r(10l0r ) = c0l0tdonde 1 es el coeciente de difusin , y c(r) el coeciente de porosidad; l(r, t) esla concentracin en el corte r en el momento t.PROPAGACIN DE CALOR EN EL ESPACIOConsideremos un cuerpo formado por cierto material que ocupa un dominioacotado en tres dimensiones 1, con frontera I, tal como se ilustra en la gura1. Entendemos el calor como una forma de energa asociada a la agitacin tr-mica de las moleculas del material.Nuestro objetivo es describir matemticamenteel proceso por el que el cual se distribuye espacialmente en 1 y evoluciona a lo largodel tiempo.Concretamente, a partir de leyes fsicas, vamos a obtener una ecuacinen derivadas parciales. Para ello, durante un intervalo arbitrario de tiempo [tl, t2[,estudiaremos un elemento arbitrario en 1 con volumen \ y supercie exterior o ycuyos puntos se representan por las coordenadas (r, j, .).En este elemento suponemos que el calor es protagonista de tres procesos:produccin, almacenamiento y transporte.gura 1Estos procesos estn ligados entre s por el siguiente principio de conservacin:(1.17) Q1 = QQTdonde1.MODELOS 31Q1 = Calor producido en \ en [tl, t2[Q = Calor almacenado en \ en [tl, t2[QT = Calor transportado a trves de o en [tl, t2[Representando matemticamente cada uno de estos procesos, la ecuacin (1)nos llevar a una ecuacin en derivadas parciales, como veremos a continuacin.Produccin de calor: Suponemos la existencia de una funcin )(r, j, ., t) querepresenta el calor neto producido por unidad de volumen y unidad de tiempo. S)0 se tiene un aumento de calor (produccin propiamente dicha); ) < 0 signicadisipacin de calor. La integral _u )(r, j, ., t)drdjd. describe el calor producidopor unidad de tiempo en el instante t en el volumen \ mientras que |2_|1)(r, j, ., t)dtda cuenta del calor producido en un punto (r, j, .) por unidad de volumen en elintervalo [tl, t2[. Consecuentemente, el calor total producido en el volumen \en[tl, t2[ viene dado por:Q1 =|2_|1_u )(r, j, ., t)drdjd.dtAlmacenamiento de calor: Sea c(r; j; .; t) una funcin que representa ladensidad de calor instantnea en cada punto, es decir la cantidad de calor porunidad de volumen. La capacidad de almacenamiento est ligada a la posibilidadde variar esta densidad a lo largo del tiempo, de manera que el calor almacenadoen \ en el intervalo [tl, t2[ se expresa en la forma:Q = _u [c(r, j, ., t2) c(r, j, ., tl)[ drdjd. ==|2_|1_u0c0t(r, j, ., t)drdjd.dtTransporte de calor: El transporte supone un ujo en alguna direccin.Para cuanticarlo se introduce el vector de ujo 1 que es el campo vectorial cuyascomponentes en la base cartesiana i, ,, / son1(r, j, ., t) = 1l(r, j, ., t)i 12(r, j, ., t), 13(r, j, ., t)/Su modulo [1[ =_12l 122 123 representa la cantidad de calor que se trans-porta por unidad de rea y de tiempo. Para expresar la cantidad de calor queatraviesa la supercie o, consideremos en cualquiera de sus puntos (r, j, .), unabase de vectores unitarios formada por el vector : en la direccin normal y los vec-tores tl, t2 en el plano tangente a o, tal como se ilustra en la gura 2.Por conveniosuele darse sentido positivo a : hacia el exterior de la supercie. Con ello el ujoen cualquier punto de o puede descomponerse en la forma:1 = c: ,ltl ,2t232 2. MODELACINMATEMTICADado que ,ltl ,2t2 es un vector sobre el plano tangente, la componentec =< 1, :en la direccin normal representa la cantidad de calor por unidad derea y de tiempo que sale por cada punto a traves de la supercie o. Por tanto lacantidad de calor que atraviesa la supercie o en [tl, t2[ esQT=|2_|1_s < 1, :d:dt =|2_|1_sdi1drdjd.dt (Donde se ha utilizado elteorema de la divergencia.). Con ello la ecuacin de conservacin puede escribirseen la forma|2_|1_s_) 0c0t di1_drdjd.dt = 0Aqu \ representa un volumen arbitrario en \(Gamma) y [tl, t2[ es un segmentoarbitrario. Por tanto, en virtud de la continuidad del integrando, tenemos que) JtJ| di1 = 0 en todos los puntos de \ y en cualquier instante t > t0, siendot0 un instante inicial dado.Por tanto podemos escribir0c0t(r, j, ., t) di1(r, j, ., t) = )(r, j, ., t), \(r, j, .) \, \t > 0Esta expresin es una ecuacin en derivadas parciales, pero en ella aparecendos funciones desconocidas c y 1. Para que la ecuacin tenga utilidad practica esnecesaario reducir las dos incgnitas a una sola. Esto requiere profundizar mas enla modelacin de los procesos de almacenamiento y de transporte. En ello juegapapel esencial la temperatura.Calor almacenado y temperatura: Estudios experimentales han llevado aaceptar que la cantidad de calor almacenada depende del tipo de material, de ladistribucin de su masa y se ajusta con suciente precisin a la siguiente expresin:(1.18) c(r, j, ., t) = j(r, j, ., t)c(r, j, ., t)n(r, j, ., t)donde j0 es la densidad (masa por unidad de volumen), c0 es el calorespecico, qu reeja la capacidad del material para acumular calor, y n es la temper-atura.Consideremos que j y c no dependen de t, lo que supone que las propiedadesdel material no se alteran con el proceso a lo largo del tiempo.En tal caso, el alma-cenamiento de calor es directamente proporcional a la variacin de la temperatura,es decir(1.19)0c0t(r, j, ., t) = j(r, j, ., )c(r, j, .)0n0t(r, j, ., t)Transporte de calor(conduccin) y temperatura: Como se ha menciona-do anteriormente, el calor esta asociado a la energa del movimiento molecular. Conesta ptica, el transporte del calor puede verse como una transferencia de energaentre molculas. Existen dos mecanismos fundamentales para esta transferencia:conduccin, en que el calor se transere por el contacto entre molculas vecinas y1.MODELOS 33por conveccin, en que el calor se transporta por el movimiento de las molrculasdesde una regin a otra.Aqu vamos a considerar el transporte por conduccin. Este proceso est de-scrito por la ley de Fourier, que relaciona el vector de ujo con la temperatura enla forma1(r, j, ., t) = 1(r, j, .)\n(r, j, ., t)donde 1 es la matriz de conductividad trmica, simtrica y con coecientes /I(r, j, .) >0, y \n = (nr, n, n:)Tes el vector gradiente de temperatura.Ms explcitamente podemos escribir1 = 1\n = __ /llnr /l2n /l3n:/l2nr /22n /23n:/l3nr /23n /33n:__Los coecientes /I dan cuenta de la facilidad del material para conducir el caloeen las tres dimensiones del espacio proporcionalmente a las variaciones de temper-atura nr, n, n:. El signo negativo indica que el sentido del transporte siempreviene dado por un ujo hacia puntos de menor temperatura.Las expresiones () y () son dos ecuaciones constitutivas que nos han permitidoexpresar dos parmetros caracteristicos del material, como son el calor especic c,la densidad j y la conductividad trmica 1. De esta forma la ecuacin ( ) quedacon la temperatura como nica funcin incgnita en la forma(1.20) j(r, j, .)c(r, j, .)n|(r, j, ., t) di [1(r, j, .)\n(r, j, ., t)[ = )(r, j, ., t)Esta es la llamada ecuacin del calor. Introduciendo ciertas hiptesis, pueden obten-erse formas simplicadas de la ecuacin anterior ( ).Por ejemplo, si el material es homogneo, sus parmetros j, c, / son iguales entodo el dominio y la ecuacin ( ) se reduce a la siguiente forma con coecientesconstantes:(1.21) jcn|[/llnrr /22n /33n:: 2/l2nr 2/l3nr: 2/23n:[ = )Suponiendo que la matriz de conductividad trmica sea diagonal, la ecuacin ( )queda en la forma(1.22) jcn|[(/ll)rnr (/22)n (/33):n:[ [/llnrr /22n /33n::[ = )El carcter general diagonal corresponde a suponer que la conductividad tiene losejes r, j, . como direcciones privilegiadas, en el sentido de que el ujo en la direccinr depende nicamente de la variacin de la temperatura en esta direccin (nr) ylo mismo ocurre en las otras dos direcciones.Si el material es istropo, la conductividad es la misma en las tres direccionesy se caracteriza por una funcin escalar /. As 1(r, j, .) = /(r, j, .)1 donde 1 esla matriz identidad, y la ecuacin toma la formajcn|[/rnr /n /:n:[ / [nrr n n::[ = )34 2. MODELACINMATEMTICASi el material es istropo y homogeneo, esta ecuacin se reduce a la forma mssencilla con coecientes constantes(1.23) jcn|/\2n = ) (r, j, ., t)Condiciones iniciales y condiciones de contorno(frontera). La ecuacin ()nos da una herramienta par describir la evolucin de la temperatura en el interior\ de un cierto dominio durante un intervalo de tiempo. Al resolver la ecuacin seobtienen innitas soluciones, lo cual es inaceptable si se pretende disponer de unmodelo que describa una situacin prctica sin ambiguedades.La ecuacin diferen-cial ha sido obtenida a partir de una representacin matamtica de los procesos deproduccin, almacenamiento y conduccin del calor. Estos procesos son internosen el sistema objeto de estudio , no dependiendo de su interaccin con el medioexterior. Adems no tienen memoria, en el sentido de que no dependen de la his-toria temporal que haya tenido el sistema antes del intervalo en el que queramosestudiar su evolucin. Si se quiere determinar completamente la distribucin dela temperatura en \ a partir de un cierto instante inicial, es necesario incorporara la ecuacin diferencial ( ) dos tipos de condiciones: condiciones iniciales, queimponen un estado conocido del sistema en un instante inicial t0, y condicionesde contorno, que jan ciertas condiciones en la frontera I del dominio.Condiciones iniciales. La presencia de una derivad temporal de primer ordenen la ecuacin ( ) hace necesario especicar la distribucin inicial de la temperatura,es decir(1.24) n(r, j, ., t0) = q(r, j, .), (r, j, .) \donde q es una funcin dada.Condiciones de contorno. Existen distintas situaciones fsicas que puedentraducirse en condiciones en la frontera del dominio. Vamos a ver tres casos de losque se presentan habitualmente.Temperatura prescrita: La situacin ms sencilla consiste en mantener la tem-peratura de los puntos de la frontera en unos valores dados, lo que puede expresarseen la forman(r, j, ., t0) = /(r, j, ., t), (r, j, .) I, t > t0como caso especial puede considerarse una temperatura constante. En partic-ualar puede ser / = 0, en cuyo caso se dice que la condicin es homognea. Flujo de calor prescrito: El ujo de calor a trves de un punto de la fronteraen la direccin normal : es, segn la ley de Fourier(1.25) < 1, : = < 1\n, :) = < \n, 1: = 0n0:|donde JuJn! es la derivada direccional en la direccin denida por el vector :/ =1:.Podemos considerar la existencia de un mecanismo capaz de regular este ujoen los puntos de la frontera y mantenerlo en unos valores deseados. Esto puedeexpresarse en la forma(1.26)0n0:(r, j, ., t) = /0(r, j, ., t), (r, j, .) I, t > t0donde /0 es una funcin dada.1.MODELOS 35Si se considera el caso de una material istropo con matriz de conductividaddiagonal 1 = /|, la expresin del ujo ( ) se modica en la forma(1.27) < 1, : = / < \n, :) = /0n0:Considerando / = /0,/ la condicin () queda ahora en la forma(1.28)0n0:(r, j, ., t) = /(r, j, ., t), (r, j, .) I, t > t0En particular los casos /0 = 0 y / = 0 signican que no hay ujo a travs delcontorno, por lo que el dominio est aislado trmicamente (condicin de contornohomognea).Ejercicio. Investigar para el caso en que existe un intercambio de calor con elmedio ambiente.MODELOS MATEMTICOS PARA LOS PROCESOS DE SOR-CIN DINMICA DE UNA SOLA COMPONENTE.Demos la descripcin del modelo matemtico de sorcin dinmica de una sola com-ponente.Supongamos que a travs de una columna cilndrica de seccin transversal constante(el eje del cual lo tomamos como el eje de coordenada r), llena uniformemente degranos de un sorbente (con coeciente de porosidad igual a i (0, 1)), se hacepasar un gas con velocidad constante igual i bajo temperatura constante. La con-centracin del gas en la entrada de la columna es igual a j(t).Representemos por n(r, t) la concentracin del gas en el ujo, calculado en unvolumen unitario del espacio libre, por a(r, t) la concentracin del gas absorbido,calculado sobre el volumen unitario de la columna. Consideremos un elemento ar-bitrario de la columna acotado por las secciones transversales r = rl y r = r2. El ujo de la sustancia a travs de estas secciones se determina de acuerdo a ladifusin conveccional y longitudinal (dispersin). La cantidad de sustancia que pasaa travs de las secciones tranversales de la columna en el tiempo ^t = t2tl se dapor la siguiente expresin(1.29)_|2|1(in ,)[r=r1odt i = 1, 2,donde , = ,(r, t) es el ujo difusional longitudinal, S es la supercie de la seccinde la columna.En este mismo intervalo de tiempo ^t la variacin de la cantidad de sustancia enel volumen es igual(1.30)_r2r1(in a)[|=|2odr _r2r1(in a)[|=|1odr36 2. MODELACINMATEMTICADe (39) y (40) se desprende la ecuacin del balance de masas en forma integral_|2|1[(in ,)[r=r1 _|2|1(in ,)[r=r2[odt = _r2r1[(in a)[|=|2_r2r1(in a)[|=|1[odr (1.31)Si las funciones que aparecen en (41) y sus correspondientes derivadas estn denidasy son continuas sobre el conjunto (rl, r2)(tl, t2) entonces dividiendo ambas partespor o^t^r y luego tendiendo ^r y ^t hacia cero, obtenemos la ecuacin de balanceen forma diferencial(1.32) (in)r ,r (in a)| = 0Teniendo en cuenta la ecuacin de continuidad del ujo el cual en este tiene laforma ir = 0, obtenemos en forma denitiva(1.33) inr in| a| = ,rTanto la velocidad de sorcin de la sustancia a| por el sorbente como el ujo longi-tudinal de difusin externa , que aparecen en la ecuacin deben ser dados en formaindependiente (fenomenolgicamente) a partir de razonamientos suplementarios.El caracter de variacin de a| se determina de la ecuacin de la cintica. Si la veloci-dad de variacin de la concentracin en el sorbente se determina por las condicionesde transmisin de la masa hacia la supercie del sorbente entonces se dice que haydifusin externa de la sorcin. En este caso se supone que la nivelacin de la con-centracin a travs del grano ocurre de manera instntanea.Nosotros consideraremos la ecuacin de cinticaa| = ,(n n+), (44)donde ,0 es el coeciente cintico, n+ es la concentracin en el ujo sobre lasupercie del grano, la cual se encuentra en equilibrio con la concentracin de lasustancia absorbida, esto es(1.34) a = ,(n+)La relacin (45) se denomina la ecuacin de la isoterma de sorcin. En adelanteconsideraremos que existe ,l= 1.Igualmente con (44) consideremos tambin la ecuacin de la cinticaa|= (a+a), (1.35)a+= ,(n) (1.36)la cual condicionalmente se puede llamar difusin interna ya que en la ecuacin (46)guran solo las concentraciones en el grano del sorbente. Aqui a+ es la concentracinsupercial en el sorbente, la cual se encuentra en equilibrio con la concentracin dela sustancia en el ujo.Lo que se reere al ujo difusional longitudinal para su descripcin frecuentementese emplea una aproximacin basado en la ley de Fick.(1.37) ,(r, t) = 1nr, 10.1.MODELOS 37El signo menos indica que la difusin tiene lugar en la direccin de concentracindecreciente. El factor de proporcionalidad 1 se llama coeciente de difusin , que noes estrictamente una constante porque puede depender de la concentracin. Cuandose considera que la velocidad i es lo sucientemente grande y el proceso de difusinlongitudinal no juega un papel importante en la transmisin de masa, en este casose hace , = 0.Si no se toma en cuenta ninguno de los factores cinticos, esto es a = ,(n), entoncesse obtiene un sistema de ecuaciones, el cual corresponde a la sorcin dinmica enequilibrio.(1.38) inr in| a| = 0, a = ,(n).CORRIENTE POTENCIAL DE UN LIQUIDO, POTENCIAL DEUNA CORRIENTE ESTACIONARIA Y DE UN CAMPO ELECTRO-STATICO1. Modelo de Laplace. La ecuacin de Laplace se presenta en relacin confuerzas gravitacionales. En los cursos de clculo de varias variables se discute elproblema de la atracin de dos cuerpos: Si una partcula de masa ' est en unpunto (rl, jl, .l) y otra partcula 1 de masa: se encuentra en un punto (r, j, .),entonces atrae 1 y la fuerza gravitacional es el gradiente de la funcin escalarn(r, j, .) =cr, c = G:',r = _(r rl)2 (j jl)2 (. .l)2esta funcin de r, j, . se llama potencial del campo gravitacional y satisface laecuacin de Laplace, esto es la funcin n(r) = l: satisface ^n = 0 , en todas partesexcepto del punto r = 0 donde se vuelve innita.Si consideramos a j como la densidad de masadistribuida en toda una regin1 del espacio, entonces el potencial n en un punto (r, j, .) no ocupado por la masase puede escribir comon(r, j, .) = /___)rdrdj0d.Salvo el factor de proporcionalidad, sta coincide con el campo de una cargapuntual c, ubicada en el origen de coordenadas. El potencial de este campo es n = t:.2. Supongamos que dentro de cierto volumen T, de frontera o , tiene lugar lacorriente estacionaria de un lquido incompresible, que se caracteriza por la veloci-dad \ (r, j, .).Si la corriente del lquido es irrotacional, la velocidad \ es un vector potencial,es decir, \ = \ n siendo n una funcin escalar llamada potencial de la velocidad.Si no hay fuentes, di\ = 0 ;por lo tanto di(\n) = 0. Es decir, el potencial de lavelocidad satisface la ecuacin de Laplace.Las ecuaciones de maxwell un medio homogneo conductor est dada por:\.1 = :, \1 = jJ1J|\.H = 0,\H = J -JJJ|Demuestre que J y j deben satisfacer la ley de conservacin \.J JJ| = 0.En un medio conductor se considera con frecuencia que la corriente J y elcampo elctrico estan relacionados, por lo tanto la ley OHMJ = G.1, en dondeG es la conductividad elctrica, y se considera constante. Muestre que un medio38 2. MODELACINMATEMTICAsin carga j = 0 las tres componentes de 1 y H satisfacen la ecuacin de ondaamortiguadac2\2c = c|| c: c|, donde c = (j-)2Ejemplo: Una forma vectorial dependiente del tiempo de las ecuaciones deMaxwell para el vector de campo elctrico 1(-, t) y el vector de campo magnticoH(r, t), en un medio homogneo no conductor (J = 0) libre de fuentes (j = 0) esa) \1 = jJ1J|b) \H = -J1J|c) \.1 = \.H = 0En donde la permeabilidad magntica j y la permitividad elctrica - se con-sideran constantes.Mostremos que las tres componentes cartesianas de 1 y de H satisfacen ecua-ciones de onda;Tomemos el rotacional de la ecuacin (a)j JJ|(\H) = \(\1) = \.( \.1) = \21 en donde \2es un vector cuyascomponentes cartesianas son el Laplaciano de las componentes correspondientes de1, es decir \21 = (\21l, \212, \213); en donde 1 = (1l, 12, 13) ahora, por lasecuaciones (b) y (c), anteriores, puede escribirse as;c2\21 = J2JJ2, en donde c = (j-)12La misma ecuacin vectorial puede obtenerse para H tomando primero el rota-cional de la ecuacin (b), estas ecuaciones con ecuaciones de onda con la interesantepropiedad de que la rapidez de onda c es igual para ambas ecuaciones 1 y H.PROBLEMAS BIEN PUESTOS Y MAL PUESTOS.El concepto de Planteamiento Correcto de problemas matemticos fue formu-lado por Hadamar para el analsis de diferentes problemas de la sca matemtica.La solucin de cualquier problema consiste en la denicin del elemento . (solu-cin del problema) dado ciertos datos de entrada, y se puede describir asi:(1.39) . = ndonde es un operador que actua de los espacios 7 y l ( espacios lineales norma-dos).El problema ( ) se dice que esta BIEN PUESTO (Planteado Correctamente,bien propuesto, bien colocado) en la pareja de espacios 7 y l si se cumplen lassiguientes condiciones:1. Para cada n lla solucin del problema existe.2. Para cada n lla solucin del problema es nica.3. La solucin del problema depende continuamente de los datos de entrada(condicin de estabilidad).Los problemas que no satisfacen estas condiciones se denominan ProblemasMal Puestos (Problemas Colocados No-Correctamente, Problemas Mal Plantea-dos).UN TIP. Por lo tanto el problema dado por la ecuacin ( ) es bien puesto siemprey cuando en l este denido el operador l, el inverso de , y sea continuo en l.1.MODELOS 39EJEMPLO. Consideremos el siguiente ejemplo que describe la difusin de unuido a travs de una columna lo sucientemente delgada de longitud 1._a(r)n0(r)_0= )(r), 0 < r < 1 (1.40)a(0)n0(0) = /o, a(1)n0(1) = /l(1.41)El coeciente a(r) se llama coeciente de difusin. El problema inverso consiste enla identicacin del coeciente de difusin a(r) a travs de la informacin suplemen-taria sobre n(r); donde n(r) representa la concentracin del uido en el momentor; .la funcin )(r) es una fuente externa.CHAPTER 3Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales1. IntroduccinEl desarrollo actual de las ciencias naturales est estrechamente relacionada conla elaboracin y anlisis de modelos matemticos que describen procesos y fen-menos. Los mtodos del modelamiento matemtico permiten resolver gran variedadde problemas en diferentes campos de la ciencia y la tcnica. Con frecuencia para ladescripcin de un sistema se construyen MM (Modelos Matemticos) a travs deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (parmetros concentrados) o bien a travs deEDDP (Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales de parmetros distribui-dos). Las EDDPs aparecen en diversos problemas fsicos y geomtricos, cuando lasfunciones que intervienen dependen de dos o ms variables independientes. Estasvariables pueden ser el tiempo y una o ms coordenadas en el espacio. En este cap-tulo se presentan algunas de las ecuaciones diferenciales parciales ms importantesen las aplicaciones de la ingeniera centrndose el estudio para las EDDP linealesde segundo orden. Se consideran mtodos para resolver problemas con valor inicialy con valores en la frontera tanto analticos como numricos.1.1. Algunos conceptos bsicos. Sea o un espacio vectorial (sobre K).Sir, j, . o y `, json escalares cualesquiera, se llama producto escalar de r e ja r, j elemento de o o en K, si se satisfacen las siguientes condiciones:(1) `r jj, . = `r, . jj, . .(2) r, j = j, r.(8) r, r0, si r ,= 0,y r, r = 0 ==r = 0.El espacio vectorial provisto de un producto escalar se llama un espacio pre-hilbertiano . Veamos algunos ejemplos de conjuntos prehilbertianos:En Knespacio vectorial, para r = (rl, r2, ...rn) e j = (jl, j2, ..., jn) elemen-tos de K, la expresin r, j =n

=lr.j dene un producto escalar, que se llamaproducto escalar usual en 1n.En el espacio vectorial C [a, /[ (Dimensin innita), la expresin ), q =_bo )(t).q(t).dtdonde ), q C [a, /[ , dene un producto escalar. Es importante tener en cuenta4142 3.ECUACIONES DIFERENCIALES ENDERIVADAS PARCIALESque una funcin ) puede ser de valor complejo sobre el intervalo ( real ) [a, /[ ; estoes )(t) se puedeexpresar como )(t) = )l(t) )2(t)i para t [a, /[ , donde)l y )2son funciones de valores reales (La funcin de valores complejos ) es continua si )ly )2 son continuas); en este caso el producto interior se dene ), q =_bo )(t). q(t)dDefinicin 1. Dado un espacio vectorial ose dice que un operador x |x|deo en K, es una norma en osi para todo escalar c y para cualesquiera x, yelementos de o se tiene:(l) |x| _ 0(2) |x| = 0 =x = 0(3) |cx| = [c[ |x|(d) |x y| _ |x| |y| (Desigualdad triangular).Un espacio vectorial provisto de una norma se llama espacio normado.El espacio vectorial Rncon las operaciones suma (+) (.) usuales, proveemos lanorma usual la cual se encuentra denida por|x| = |(rl, r2, ..., rn)| =_ n

I=lr2I_12=_r2l r22 ... r2npara todo x 1n, con x = (rl, r2, ..., rn). Un hecho importante de los temastratados anteriormente es la norma proveniente del producto escalar la cual seencuentra denida por|x| = (r, r)12Teorema. Sea o un espacio prehilbertiano, entonces la expresin |x| =(r, r)12con r o dene una norma en o.(l) Sea r o, claramente r ,= 0 r = 0.Si r ,= 0, se tiene r, r0por ser o un espacio prehilbertianoluego |x| = (r, r)12 0por denicin se toma el valor positivo de la raz.Si r = 0, se tiene |x| = (r, r)12= (0, 0)12= 0.Por la tanto de lo anterior se tiene que |x| _ 0 para todo r o.(2) De esta parte de la demostracin falta demostrar que si |r| = 0, entoncesr = 0.Si tenemos que |r| = 0, por denicin se tiene (r, r)12= 0.r, r = 0, luego r = 0 por ser o un espacio prehilbertiano.(3) Sea ` cualquier escalar, entonces|`r| = (`r, `r)12=_`2r, r_12= [`[ (r, r)12= [`[ |r| .(d) Para demostrar la desigualdad del tringulo (d) es necesario recurrir ala desigualdad de Schwarz([r, j[ _ |r| |j|). Claramente Io r, j _ [r, j[y de la desigualdad de Schwarz se tiene[r, j[ _ |r| |j| luego de lo anterior setiene que Io r, j _ |r| |j| .|r j|2= r j, r j= |r|2r, j j, r |j|2= |r|2 2 Io r, j |j|2_ |r|2 2 |r| |j| |j|2= (|r| |j|)2.1.INTRODUCCIN 43y por lo tanto |r j|2_ (|r| |