capitulo 1 - primera parte

PROYECTO

INCORPORACIÓN DE NUEVAS TECNOLOGÍASAL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS

DE LA EDUCACIÓN MEDIA DE COLOMBIA

FASE PILOTO

Memorias del Seminario Nacional

Formación de Docentessobre el Uso de Nuevas Tecnologías

en el Aula de Matemáticas

R epública de Colombia

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL

DIRECCIÓN DE CALIDAD DE LA EDUCACIÓNPREESCOLAR, BÁSICA Y MEDIA

FRANCISCO JOSÉ LLOREDA MERAMinistro de Educación Nacional

MARGARITA MARÍA PEÑA BORREROViceministra de Educación

BERNARDO RECAMÁN SANTOSDirector de Calidad de la Educación

Preescolar, Básica y Media

PROYECTO

INCORPORACIÓN DE NUEVAS TECNOLOGÍAS AL CURRÍCULO DE MATEMÁTICASDE LA EDUCACIÓN MEDIA DE COLOMBIA

EDITOR

Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media

Grupo responsable

Ana Celia Castiblanco PaibaLuis Enrique Moreno Armella

Fabiola Rodríguez GarcíaMartín Eduardo Acosta Gempeler

Leonor Camargo UribeErnesto Acosta Gempeler

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA

Coordinadora General del Proyecto

LUIS MORENO ARMELLA

Asesor Internacional

CINVESTAV – IPN, México

Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y Terminados:

ENLACE EDITORES LTDA.

Primera Edición: 5.000 ejemplares

ISBN: 958-97013

Prohibida su Reproducción total o parcial sin autorización escrita del

Ministerio de Educación Nacional – MEN

Derechos Reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA. PROHIBIDA SU VENTA.

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., Colombia

Diciembre 2001 – Enero 2002

Instituciones participantes

Departamentos, Universidades, Municipios y Colegios participantes en la Fase Piloto

Departamento/Unidad coordinadora Institución educativa. Municipio

Antioquia

Universidad de Antioquia

Escuela Normal Superior. EnvigadoNormal Superior María Auxiliadora. CopacabanaColegio Santa Teresa. MedellínLiceo Comercial Pacho Luis Álvarez Correa. Caldas

AtlánticoUniversidad del Norte

Secretaría de EducaciónDepartamental

Escuela Normal Superior de Santa Ana. BaranoaNormal Superior La Hacienda. BarranquillaEscuela Normal Superior Mixta. ManatíNormal Superior de Nuestra Señora de Fátima. SabanagrandeInstituto Pestalozzi. Barranquilla

BogotáUniversidad Distrital Francisco José deCaldas

Universidad Pedagógica Nacional

Ministerio de Educación Nacional

Unidad Básica Rafael Uribe Uribe, J.M.Externado Nacional Camilo Torres, J.M.Colegio Distrital Heladia Mejía, J.M.Colegio Distrital Rodrigo Lara, J.T.Colegio Distrital República de Costa Rica, J.M.Colegio Distrital Benjamín Herrera, J.M.Instituto Pedagógico NacionalColegio Distrital General Santander, J.T.

Boyacá

Universidad Pedagógica y Tecnológicade Colombia. Tunja

Escuela Normal Superior Santiago de Tunja. TunjaInstituto Integrado Nacionalizado Silvino Rodríguez. TunjaInstituto Técnico Rafael Reyes. DuitamaColegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso

CaquetáUniversidad de la Amazonia

Colegio Nacional La Salle. FlorenciaColegio Departamental Juan Bautista de la Salle. Florencia

CesarUniversidad Popular del CesarSecretaría de Educación Departamental

Escuela Normal Superior María Inmaculada. ManaureColegio Manuel Germán Cuello Gutiérrez. ValleduparColegio Nacional Loperena. Valledupar

CórdobaUniversidad de Córdoba

Escuela Normal Superior. MonteríaNormal Superior Lácides Iriarte. SahagúnColegio Marcelino Polo. Cereté

VII

Departamento/Unidad coordinadora Institución educativa. Municipio

CundinamarcaMinisterio de Educación Nacional

Instituto Técnico Industrial. Tocancipá

GuajiraSecretaría de Educación Departamental

Colegio Nacionalizado Helión Pinedo Ríos. RiohachaColegio Departamental Livio Reginaldo Fishioni. RiohachaEscuela Normal Superior. San Juan del Cesar

MagdalenaUniversidad del Magdalena

Normal Nacional Mixta. Santa MartaNormal de Señoritas. Santa MartaLiceo Antonio Nariño. Santa MartaColegio de Bachillerato de Bonda. Santa Marta

NariñoUniversidad de Nariño

INEM Mariano Ospina Rodríguez. PastoColegio Ciudad de Pasto. PastoLiceo Central Femenino. Pasto

PutumayoSecretaría de Educación Departamental

Colegio Alvernia. Puerto AsísColegio Pio XII. Mocoa

QuindíoUniversidad del Quindío

Instituto Técnico Industrial. ArmeniaInstituto Circasia. CircasiaColegio Los Fundadores. MontenegroLiceo Universitario. Armenia

RisaraldaUniversidad Tecnológica de Pereira

Instituto Técnico Superior. PereiraNormal Superior de Risaralda. Pereira

SantanderUniversidad Industrial de Santander

INEM Custodio García Rovira. BucaramangaCentro Educativo Las Américas. Bucaramanga

SucreUniversidad de Sucre

Colegio Departamental de Bachillerato Antonio Lenis. SincelejoLiceo Carmelo Percy Vergara. Corozal

TolimaUniversidad del Tolima

Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. LíbanoColegio Nuestra Señora de las Mercedes. IcononzoColegio Nacional San Simón. IbaguéEscuela Normal Integrada. Ibagué

ValleUniversidad del Valle

Colegio Joaquín de Caicedo y Cuero. CaliNormal Superior Farallones. CaliColegio Mayor de Yumbo. YumboColegio Manuel María Mallarino. Cali

VIII

Instituciones participantes

Agradecimientos

La Dirección de la Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media del Ministerio deEducación expresa sinceros agradecimientos a:

• Las Universidades, Instituciones Educativas y Docentes participantes en la Fase Piloto delProyecto, por:

♦ el compromiso con el que han asumido sus responsabilidades en los distintosdepartamentos

♦ el apoyo académico y acompañamiento permanente

♦ las acciones que han emprendido a favor de la diseminación de la cultura informáticaen el ámbito educativo

♦ la apropiación del proyecto, liderando acciones regionales que amplían la coberturadel mismo

♦ la adecuación de la infraestructura física, administrativa y académica para ponerlo enmarcha

♦ el tiempo, la dedicación, el trabajo y la experiencia dedicados, rebasando lasexpectativas del mismo

• Los estudiantes de las instituciones piloto por su entusiasmo e interés y por reflejar con susactuaciones la pertinencia e importancia del Proyecto

• Los doctores Luis Moreno Armella y Luz Manuel Santos Trigo, investigadores del CINVESTAV

– IPN, México, por sus aportes y colaboración para hacer realidad estas memorias.

• El doctor Alejandro Otálora Galvis, asesor del Ministro de Educación en el Programa Ley21, por su gestión y apoyo al proyecto.

Contenido

Instituciones participantes · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · VII

Agradecimientos · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · IX

Introducción· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · XIX

Presentación· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · XXIV

Capítulo 1Primer Seminario Nacional de Formación de Docentes

en el Uso de la Tecnología

Manual introductorio de la calculadora TI-92Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3

Introducción al programa de geometría Cabri GéomètreMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6

Lugares geométricosMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometríaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13

Construcciones dinámicas en el programa Cabri GéomètreMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17

Modelación en geometríaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19

¿Qué es el número e?Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23

Solución de un sistema de ecuaciones en el programa de álgebra y cálculoMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 26

Regresión linealMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29

Actividades en sistemas numéricosHugo Martín Cuéllar García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32

Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadísticaEdwin Alfredo Carranza Vargas · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35

XI

Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticasLuis Moreno Armella, Guillermina Waldegg · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40

Evolución y tecnologíaLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67

Instrumentos matemáticos computacionalesLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 81

Cognición y computación: el caso de la geometría y la visualizaciónLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87

Calculadoras algebraicas y aprendizaje de las matemáticasLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 93

La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-críticoLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 99

Graficación de funcionesLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 110

Ideas geométricas del currículum presentadas mediante el Cabri GéomètreLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 141

Problematizar el estudio de las matemáticas: un aspecto esencial en laorganización del currículum y en el aprendizaje de los estudiantesLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151

Problematizar el estudio de las matemáticas: un aspecto esencialen la organización del currículum y en el aprendizaje de los estudiantesLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151

Cualidades y procesos matemáticos importantes en la resolución de problemas:un caso hipotético de suministro de medicamentoFernando Barrera Mora y Luz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 166

Un problema de variaciónLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 186

Capítulo 2Artículos sobre tecnología

Educación matemática: investigación y tecnología en el nuevo sigloTeresa Rojano C. y Luis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 194

La epistemología genética: una interpretaciónLuis E. Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 203

Weierstrass: cien años despuésLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 222

La epistemología constructivista y la didáctica de las ciencias:¿coincidencia o complementariedad?Luis E. Moreno Armella, Guillermina Waldegg · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 234

XII

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

Tecnología y representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticasJose Luis Lupiáñez y Luis E. Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 248

La demostración en perspectivaLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 257

Proceso de transformación del uso de tecnología en herramientapara solucionar problemas de matemáticas por los estudiantesLuis Moreno Armella y Manuel Santos Trigo

Traducido por Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 263

La nueva matemática experimental

Luis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 269

Capítulo 3Talleres para apoyar el seguimiento

Guía para el análisis de actividades con calculadoraAna Celia Castiblanco Paiba, Fabiola Rodríguez García y Martín Eduardo Acosta Gempeler 282

Guía para una actividad con el CBLMartín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez García· · · · · · · · · · · · · · · · · 283

Exploraciones numéricasLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 288

Modelos de regresiónLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 297

Capítulo 4Curso de profundización en el manejo didáctico de la tecnología

y diseño de actividades

Problemas de exploración geométricaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 312

Simulación de un problema geométrico: volumen de un prismaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 314

Simulación de un problema geométrico: la hoja dobladaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 317

Simulación de movimiento. El problema de los avionesMartín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez García· · · · · · · · · · · · · · · · · 319

Medición de ángulos y simulaciónMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 323

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólicoMartín Eduardo Acosta Gempeler, Ernesto Acosta Gempelery Juan Pablo Acosta Arreaza · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 326

XIII

Contenido

Geometría lógica o construcciones condicionales, una idea de Yves MartinMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 330

Exploración de la composición de transformaciones isométricasMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 333

Taller con el CBR - Caída libreFabiola Rodríguez García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 334

Sucesiones y seriesFabiola Rodríguez García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 336

XIV


Presentación

Las sociedades contemporáneas dependen,para su desarrollo, de sus capacidades paraproducir, aplicar y transmitir el conocimientocientífico y tecnológico. Estar en posesión detales capacidades conlleva la producción derecursos humanos con una amplia y variadaformación científica y humanística, pues es-tas capacidades no son trasladables de unasociedad a otra, como sí lo son los bienes deconsumo materiales.

En nuestro país esta meta no será posiblesino a través del diseño y la articulación deun nuevo proyecto educativo nacional. El sis-tema educativo colombiano tiene entre susgrandes desafíos modificar las estructuras cu-rriculares, organizadas hoy en día a partir decontenidos temáticos y centradas en el traba-jo de papel y lápiz, hacia la búsqueda del de-sarrollo intelectual que incorpore las tecnolo-gías informáticas con miras a fortalecer lasactividades cognitivas.

Los educadores de hoy tenemos que pro-porcionar a las futuras generaciones herra-mientas que le permitan enfrentarse a la re-solución de problemas, no sólo en el ámbitoescolar sino en sus posibles lugares de tra-bajo, en donde la creatividad y la innova-ción serán la moneda de cambio. Tenemosel reto de proporcionarles instrumentos deaprendizaje, es decir, estructuras cognitivascon alto grado de adaptación a lo nuevo.

La sociedad del conocimiento reclama delsistema educativo personas creativas, conespíritu crítico, con capacidad para pensar,

para aprender a aprender y para trabajar enequipo, conscientes de sus propias capacida-des y que además de tener unos profundosconocimientos en un área determinada ten-gan una visión general de los diferentes pro-blemas que afectan a la sociedad actual.

Para tener éxito en esta empresa es funda-mental el compromiso de los educadorescon la autoformación, pues los cambios aque nos vemos abocados requieren rompercon las formas como posiblemente fuimoseducados y comencemos a buscar alternati-vas diferentes, que hagan uso de las nuevastecnologías. Los profesionales de la educa-ción tenemos una gran responsabilidad fren-te a las expectativas de cambio social, debe-mos afrontar nuevas políticas educativas,diversas realidades curriculares y diferentesrealidades sociales y culturales para entrar enconsonancia con los retos que la sociedadnos demanda

En este sentido el Ministerio de EducaciónNacional ha venido aunando esfuerzos con lacomunidad educativa para impulsar proyec-tos de formación de docentes que apuntan ala construcción de un nuevo currículo escolar.El proyecto “Incorporación de Nuevas Tecno-logías al Currículo de Matemáticas de la Edu-cación Media de Colombia” responde a estasexpectativas al formular entre sus objetivos laconsolidación de una comunidad educativacomprometida con la diseminación de la cul-tura informática en la escuela como una estra-tegia para el mejoramiento de la calidad de laeducación matemática en el país.

XV

El presente trabajo contiene las Memoriasdel fruto del proceso de formación de docen-tes realizado en la fase piloto del proyecto yse constituye en una fuente bibliográfica va-liosa, no sólo para quienes están comprome-tidos con la formación de docentes sino paratodos aquellos interesados en la fundamen-tación conceptual y práctica del uso de latecnología en el aula de matemáticas.

Con esta propuesta estamos abriendo las po-sibilidades de innovación curricular y detransformación del ambiente de la escuelapara que se asegure a todos los estudiantesla oportunidad de poseer una cultura mate-mática que permita la formación de ciudada-nos adecuada a los nuevos tiempos.

FRANCISCO JOSÉ LLOREDA MERAMinistro de Educación Nacional

XVI

Introducción

La matemática es un campo del conocimientoen el cual el reto de dirigir el aprendizaje haciala búsqueda de estructuras cognitivas prepara-das para la indagación genuina es fundamen-tal. Para ello ha resultado de la mayor impor-tancia la mediación de las nuevas tecnologías.La tecnología informática ha empezado a revo-lucionar el conocimiento matemático abrien-do nuevos caminos a la investigación matemá-tica. Véanse, por ejemplo, los trabajos que sedesarrollan bajo el título de matemática experi-mental: Peitgen, H. et. al. (1992); Davis, P. J.(1993); Bayley, D. & Borwein, J. (2001). Su im-pacto alcanza también a la educación mate-mática. No puede dejarse de lado que ese im-pacto se refleja a nivel epistemológico. Enefecto, las posibilidades de manipulación so-bre el espacio de representación de un com-putador o de una calculadora con capacidadesde graficación, induce una reificación de losobjetos matemáticos que se estudian en lasinstituciones educativas. Hay evidencias deque esta reificación genera desarrollos cogniti-vos nada desdeñables en los procesos deaprendizaje escolar.

Consciente de la necesidad de estudiar el fe-nómeno para comprenderlo, de hacer pro-puestas en pro de la calidad de la enseñanzade las matemáticas y de generar estrategiasdidácticas para incorporar los recursos quela tecnología pone al alcance de las institu-ciones educativas, la Dirección de Calidadde la Educación Preescolar, Básica y Mediadel Ministerio de Educación Nacional, inicióen marzo de 2000, el desarrollo de la FasePiloto Proyecto Incorporación de Nuevas

Tecnologías al Currículo de Matemáticas de laEducación Media de Colombia en 60 institu-ciones educativas de 17 departamentos y 3distritos capitales de Colombia.

El proyecto está dirigido por educadores ma-temáticos del Ministerio de Educación, aseso-rado por el doctor Luis Moreno Armella in-vestigador del CINVESTAV (Centro de Investi-gaciones y Estudios Avanzados) de México ycoordinado en cada departamento o distritocapital por educadores matemáticos de Facul-tades de Educación o Facultades de Cienciasde 17 universidades públicas y una universi-dad privada y por profesionales de algunasSecretarías de Educación.

Una componente fundamental del proyectoes la formación de docentes, a través de lacual se esperan cambios en las prácticas edu-cativas usuales que permitan modificar sus-tancialmente el currículo. Desde su inicio, hahabido una preocupación permanente porconstruir un marco teórico que proporcionea los docentes elementos conceptuales úti-les en su proceso de formación y que suscitela reflexión sobre el papel de la tecnologíacomo agente fundamental para tener unanueva visión del conocimiento y de la activi-dad matemática en la escuela. Asumir el retode incorporar la tecnología en el aula, condu-ce a los docentes a profundizar en sus cono-cimientos matemáticos y a cuestionar supráctica educativa.

Para atender estos propósitos, el Ministeriode Educación inició la implementación de un

XVII

programa de desarrollo de docentes a travésde cursos intensivos y graduales de forma-ción, actividades regulares de seguimiento yacompañamiento y apoyo permanente víaInternet, que los han involucrado activamen-te en su aprendizaje. Además, la conforma-ción de grupos de estudio regionales y loca-les en los que el trabajo conjunto deprofesores universitarios y profesores de co-legio, ha contribuido a instaurar hábitos dereflexión permanente sobre el quehacer enel aula y a impulsar la fundamentación teóri-ca y la validación práctica.

Otra componente que este proyecto consi-dera vital para la implementación de la tec-nología en el aula, es la producción de ma-teriales de apoyo basados en el uso de latecnología, en este caso en la integraciónde las calculadoras gráficas y algebraicas,en los diferentes aspectos del currículo,cuya recopilación nos ha permitido la ela-boración de este documento.

Cumplida la Fase Piloto, queremos com-partir con la comunidad de educadoresmatemáticos, algunos materiales que hanmarcado el desarrollo de esta aventura deexploración e indagación en educación ma-temática. Hemos escogido un conjunto deartículos y talleres que ilustran el procesode formación llevado a cabo con los profe-sores del proyecto y que dan cuenta de lafundamentación conceptual y técnica quese trabajó.

En el primer capítulo se presentan los talle-res, documentos de trabajo y artículos rele-vantes que sirvieron de base para la realiza-ción del Primer Seminario de Formación deDocentes, con el cual se inició formalmentela Fase Piloto.

En el capítulo dos, se presenta una recopila-ción de artículos elaborados por el doctorLuis Moreno, que fueron la base para adelan-tar la discusión académica. La discusión secentró en la construcción de un marco con-ceptual elaborado y compartido por todos losparticipantes del proyecto, que enfatiza en elproceso de articulación del currículo de mate-máticas con las tecnologías informáticas.

En el tercer capítulo se encuentran algunostalleres elaborados por el equipo de educa-dores matemáticos del Ministerio de Educa-ción, para apoyar el seguimiento, orientar eldiseño de actividades de clase y propiciar ladiscusión en los diversos seminarios. Adicio-nalmente se incluyen algunos talleres que serealizan con dispositivos que se articulan a lacalculadora, como el CBR (Calculator BasedRanger) y el CBL (Calculator Based Labora-tory) que permiten el registro de datos exter-nos para estudiar la modelación de situacio-nes de variación y cambio.

Para finalizar, en el cuarto capítulo se presen-tan los documentos y talleres elaborados porel grupo del Ministerio y por docentes vincu-lados al proyecto, para orientar el curso deprofundización en el uso de la tecnología ysu impacto pedagógico.

Esperamos contribuir al desarrollo de la Edu-cación Matemática en Colombia aportandoelementos para la reflexión y la discusión so-bre el mejoramiento de la práctica educati-va en matemáticas y la incorporación de latecnología informática al currículo. Este do-cumento será muy importante para la for-mación de profesores de matemáticas quequieran introducir la tecnología informáticaen sus clases y para difundir y afianzar la ex-periencia en todas las regiones del país.


XVIII

En el Proyecto de Incorporación de NuevasTecnologías al Currículo de Matemáticas de laEducación Media de Colombia, la formaciónde docentes en el uso de la tecnología se rea-liza a través de dos modalidades: presencialy virtual. La modalidad presencial se lleva acabo en seminarios nacionales, regionales ylocales con la participación de todos los do-centes vinculados a la fase piloto. La modali-dad virtual se realiza a través de la lista de inte-rés, creada para el proyecto por la Hemerote-ca Nacional del ICFES.

En este capítulo se recopilan los materialesque sirvieron de base para la realización delprimer seminario, llevado a cabo entre el 27de marzo y el 11 de abril del año 2000 enBogotá y Santa Marta simultáneamente,con la participación de los docentes del pro-yecto.

Como uno de los aspectos fundamentalesde la formación es el dominio del recursotecnológico, el seminario comenzó con uncurso sobre el manejo técnico de la calcula-dora TI 92+, diseñado y orientado por el pro-fesor Martín Acosta Gempeler, a través detalleres que se presentan en la primera sec-ción, cuyo objeto es la adquisición de un do-minio técnico de la calculadora TI92+ y de lasdemás herramientas computacionales del

proyecto. Sin pretender agotar todo el po-tencial técnico de la calculadora algebraicaTI92+, los talleres muestran una panorámicade posibilidades frente a su uso en diversastemáticas del currículo de matemáticas desecundaria, como los sistemas numéricos,los sistemas geométricos y los sistemas dedatos, entre otros. Pretenden constituirse enuna plataforma de lanzamiento para que loseducadores se motiven a ampliar el dominiotécnico del instrumento por sí solos o en susgrupos locales de trabajo.

Los talleres están diseñados para que losprofesores de matemáticas los trabajen enforma individual o colectiva y a su vez con-tienen sugerencias e ideas para el diseño delas actividades con los estudiantes. Algunosde ellos requieren el uso de archivos pregra-bados en la calculadora, porque el interésno siempre es llegar a una construcción sinopartir de ella para hacer exploraciones e in-clusive descubrir cómo se hicieron éstas.

Otro aspecto esencial de la Formación Docen-te es la fundamentación pedagógica, episte-mológica y didáctica del uso de la tecnología,sin la cual es imposible que el proyecto cumplalos objetivos propuestos pues la incorporaciónque se pretende no es meramente instrumen-tal. En la segunda sección se presentan algu-

1

Capítulo

1Primer Seminario Nacionalde Formación de Docentesen el Uso de la Tecnología

nos documentos que sirvieron de base a lasdiscusiones orientadas por el doctor Luis Mo-reno, con las cuales se dio inicio a la funda-mentación conceptual. Cada uno de los ar-tículos publicados y los talleres recopiladospor el doctor Moreno en apuntes para los se-minarios, se constituyen en sí mismo en unafuente de reflexión acerca de ideas centralesdel marco teórico: la estrecha relación entrela evolución de la cultura, la tecnología y lacognición, el principio de mediación instru-mental, la cognición situada, la ejecutabilidadde las representaciones computacionales y ladinámica entre la exploración y la sistematiza-ción como base para la construcción de co-nocimiento matemático, entre otras.

Como el contexto metodológico que en-marca las acciones didácticas del proyecto

es la resolución de problemas con tecnolo-gía, en el primer seminario de formación seabordó también esta temática. En la últimasección del capítulo 1 se recogen los docu-mentos que sirvieron para apoyar la discu-sión acerca del aprendizaje de las matemáti-cas con énfasis en la resolución deproblemas. Este trabajo fue orientado por eldoctor Luz Manuel Santos Trigo, investiga-dor del CINVESTAV– IPN, invitado como ex-perto en el área, quien centró su actividad enmostrar el uso de la tecnología como herra-mienta poderosa para que los estudiantes leden sentido a la información, proponganconjeturas, examinen estrategias de resolu-ción de problemas y trabajen como una co-munidad en la que se valoran las contribucio-nes personales y grupales.

2


Manual introductorio de lacalculadora TI-92

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo Coordinador


La calculadora TI-92 es un minicomputadorde mano, con seis programas diferentes:

• Un programa de álgebra y cálculo(HOME) para realizar todas las operacio-nes de una calculadora científica, másoperaciones de álgebra (factorización,solución de ecuaciones, ...) y cálculo (in-tegración, derivación, ...).

• Un programa de geometría dinámicaplana (CABRI GÉOMÈTRE), en el que pue-den construirse figuras geométricas deacuerdo con las reglas de la geometríaeuclidiana (puntos, segmentos, circunfe-rencias...), y la geometría analítica (ejesde coordenadas, ecuaciones, ...).

• Un programa de edición y graficación defunciones (Y = , GRAPH, TABLE, WINDOW).

• Un editor de texto (Text Editor).

• Un editor de programas (Program Edi-

tor).

• Una hoja de cálculo (Data/MatrixEditor).

Cada uno de esos programas tiene sus pro-pios comandos y funciones. Esta introducción

sólo se propone explicar procedimientos ge-nerales.

Teclas especiales

La tecla ENTER sirve para validarcualquier expresión o selección.Observe que hay tres de estas te-clas en la calculadora, para mayor

comodidad.

La tecla del cursor sirve paradesplazarse por la pantalla opor los menús desplegables.Tiene movimientos en ocho di-recciones. Su función es equi-

valente a la que desempeña el ratón en elcomputador.

La tecla de aplicaciones APPS sirvepara desplegar el menú de aplicacio-nes y dar acceso a los diferentesprogramas de la calculadora.

La tecla MODE da acceso a la confi-guración de la calculadora y permi-te cambiar los formatos de las op-ciones de gráficas, cálculos, etc.

3

La tecla MANO, representada poruna mano, se utiliza en el progra-ma CABRI GÉOMÈTRE y es el equiva-

lente al botón izquierdo del ratón del com-putador. Manteniéndola oprimida se pue-den escoger objetos para arrastrarlos.

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Teclas de funciónTecla del

cursor

Teclado QWERTYCalculadora

científica

Teclas decontrol

Teclas de modificación

Hay teclas que dan acceso a diferentes fun-ciones, escritas en tres colores diferentes:blanco, amarillo o verde.

• A las funciones de color blanco se acce-de oprimiendo directamente la tecla.

• A las funciones de color amarillo se ac-cede con la combinación 2nd+TECLA. Porejemplo, para escribir en la pantallaHOME la expresión x se debe oprimir

y luego la tecla x en el tecladoqwerty. (Nota: es importante no con-

fundir la letra x con el signo de multipli-cación).

• A las funciones de color verde se accedecon la combinación ♦ +TECLA. Por ejem-plo, para mostrar la gráfica de una fun-ción, se debe oprimir y la tecla W

del teclado qwerty.

Es importante diferenciar entre la tecla (-),para escribir el signo negativo, (por ejemploen la expresión y = -3x) y la tecla – para escri-bir la operación resta (por ejemplo en la ex-presión y = x – 5).

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Manual introductorio de la calculadora TI-92

Combinaciones de teclas importantes

♦ +Q Entra a la pantalla HOME (aritmética, álgebra, cálculo)

♦ +W Edita ecuaciones (para definir funciones)

♦ +EDefine los rangos en la ventana de graficación.Pantalla WINDOW

♦ +YPresenta la tabla de valores de las funcionesseleccionadas

♦ +R Presenta la gráfica de las funciones seleccionadas

♦ +ENTER Presenta el resultado aproximado de una operación

♦ + “+” Aumenta el contraste

♦ + “-” Disminuye el contraste

2nd + ESC Sale del programa al que se entró por accidente

2nd + “-”Presenta el listado de archivos. Es equivalente alexplorador de windows

2nd + MANO + ON Resetea el sistema cuando se bloquea

♦ +ON Apaga la calculadora y guarda la última pantalla

2nd +ON Apaga la calculadora

Introducción al programa degeometría Cabri Géomètre



El programa de geometría incluido en la calcu-ladora TI-92, es una adaptación del programaCABRI GÉOMÈTRE de geometría dinámica.

Abrir el programa

Para iniciar el programa de geometría debeoprimir la tecla APPS+8, o APPS+1 si la calcula-dora tiene Aplicaciones Flash. Se presenta unmenú con tres opciones:

– Current sirve para abrir el último archivoque se trabajó

– Open sirve para seleccionar el archivo quese desea abrir

– New sirve para abrir un archivo nuevo.

Seleccione New. Aparece una ventana comola de figura 1, en donde debe escribir el nom-bre que quiere dar al archivo. Escríbalo y valí-delo con ENTER. Oprima nuevamente ENTER

para iniciar.

Uso de los menús

Este es un programa de geometría dinámicaque permite hacer construcciones e investi-

gar sobre las propiedades de muchas figurasgeométricas.

Al entrar al programa aparece la siguientepantalla:

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Figura 1

Figura 2

Con las teclas F1 a F8 se despliegan los diferen-tes menús que permiten seleccionar las herra-mientas para trabajar.

Oprima F2+1 para dibujar un punto. Ahora elcursor toma forma de lápiz. Con la tecla delratón puede mover el cursor por la pantalla.Al oprimir ENTER se dibujará un punto.

Explore las diferentes herramientas de cons-trucción de los menús F2 y F3 (Line, Seg-

ment, Ray, Circle, Triangle).

Desplazamiento de objetos

Los objetos construidos en CABRI GÉOMÈTRE

no son estáticos, sino que pueden ser despla-zados a cualquier parte del plano. Para ex-plorar esta posibilidad efectúe los siguientespasos:

– borre todo lo que dibujó anteriormente(F8 + 8)

– dibuje un triángulo (F3 + 3)

– seleccione la herramienta Pointer (F1 + 1)y acerque el cursor a uno de los vérticesdel triángulo hasta que aparezca el letreroTHIS POINT

– oprima la tecla MANO (verá aparecer unamano que agarra el punto para moverlo)

– manteniendo oprimida la tecla MANO,

utilice la tecla del cursor para mover esepunto.

Observe que con una sola construcción us-ted puede obtener, por desplazamiento,cualquier clase de triángulo.

Construcciones geométricas

Las opciones presentadas en el menú F4, per-miten hacer otras construcciones. Siga las

instrucciones para construir rectas perpendi-culares y paralelas:

– borre sus construcciones

– dibuje cualquier recta y un punto

– seleccione la herramienta Perpendicu-

lar Line (F4 + 1)

– acerque el cursor al punto hasta que apa-rezca THRU THIS POINT

– oprima ENTER

– acerque el cursor a la recta hasta que apa-rezca PERPENDICULAR TO THIS LINE

– oprima ENTER

– seleccione la herramienta Pointer

– desplace el punto por el plano y observequé sucede con la recta perpendicular.

Repita el procedimiento anterior, pero selec-cionando la herramienta Parallel Line.

Etiquetas

Para dar nombre a un objeto se procedecomo en el siguiente ejemplo:

– borre sus construcciones

– dibuje un segmento

– seleccione la herramienta Label (F7 + 4)

– acerque el cursor a uno de los extremosdel segmento y oprima ENTER

– escriba A

– acerque el cursor al otro extremo y lláme-lo B

– seleccione la herramienta Midpoint (F4 + 3)

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Introducción al programa de geometría Cabri Géomètre

– acerque el cursor al segmento hasta queaparezca MIDPOINT OF THIS SEGMENT

– oprima ENTER

– seleccione la herramienta Pointer

– desplace el punto A y observe qué sucedecon el punto medio del segmento

– seleccione la herramienta mediatriz, Per-pendicular Bisector (F4 + 4)

– acerque el cursor al segmento AB y oprimaENTER

– desplace los puntos A y B observando quésucede con la mediatriz.

Borrar un objeto

El siguiente procedimiento muestra cómoborrar un objeto y lo que sucede cuando seborra un objeto del cual dependen otros.

– Seleccione la herramienta Pointer (F1 + 1)

– acerque el cursor a la mediatriz de AB has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER para seleccionar la media-triz (observe que la mediatriz cambia deapariencia)

– oprima la tecla DEL (flecha que está a la de-recha del “=” en el teclado qwerty)

– construya un segmento BC concatenadocon el segmento AB pero no colineal con él

– seleccione la herramienta Angle Bisec-

tor (bisectriz F4 + 5) y señale el ánguloABC. Para señalar el ángulo ABC deben se-ñalarse los puntos en ese orden. (Recuer-de, debe aparecer THIS POINT y oprimirENTER)

– desplace los puntos A, B y C observandoqué sucede con la bisectriz

– construya la mediatriz de BC

– seleccione la herramienta Intersec-

tion Point (F2 + 3)

– acerque el cursor a la bisectriz de ABC has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER

– acerque el cursor a la mediatriz de BC has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER

– llame P al punto de intersección creado

– señale el segmento BC y oprima DEL

– observe qué pasa con el punto P y los de-más objetos de la construcción.

Solución de ambigüedades

Algunas veces hay varios objetos en el mis-mo sitio y para seleccionar alguno de ellosel programa debe saber cuál de todos se in-tenta señalar. Por eso al acercar el cursoraparece la pregunta ¿Cuál objeto? (WHICH

OBJECT?). Al oprimir ENTER se despliega unalista con todos los objetos que están allí, ensu orden de construcción. Así puede selec-cionarse uno de ellos, como en el siguienteejemplo:

– dibuje una recta

– dibuje un segmento sobre la recta

– seleccione Pointer

– acerque el cursor al segmento hasta ver elmensaje WHICH OBJECT?


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– oprima ENTER y verá aparecer la lista: THIS

LINE, THIS SEGMENT

– seleccione el segmento con la opción THIS

SEGMENT y bórrelo.

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Introducción al programa de geometría Cabri Géomètre

Resumen de comandos

Entrar al programa Cabri Géomètre APPS 8

Señalar y seleccionar un objeto F1 + 1 (Pointer)

Desplazar un objeto F1 + 1, mantener oprimida la MANO y mover el cursor

Borrar un objeto F1+1, seleccionar el objeto y oprimir la tecla ¬

Borrar toda la pantalla F8 + 8

Dar nombre a un objeto F7 + 4 (Label)

Configurar (ejes, cuadrícula, ...) F7 + 9 (Format)

Lugares geométricos



Un tema muy interesante y llamativo para losalumnos, pero difícil de trabajar con regla ycompás, es el de lugares geométricos. Lageometría dinámica abre nuevas posibilida-des de exploración en este campo.

Un lugar geométrico es el conjunto de todoslos puntos que cumplen una cierta condi-ción. Comencemos el taller con la pregunta:

¿Cuál es el lugar geométrico de todos lospuntos que están a igual distancia de dospuntos dados?

En CABRI GÉOMÈTRE podemos construir dospuntos A y B de base y medir la distancia deun punto P, a cada uno de esos puntos.

Con un poco de paciencia puede mover elpunto P hasta colocarlo en una posiciónaproximadamente equidistante de A y B

Si quiere visualizar todos los puntos equidis-tantes de A y B, puede hacer que el punto P

deje una huella (Trace) y moverlo de mane-ra que cumpla la condición. Oprima F7+2

para activar la traza y señale el punto P

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Ahora mueva el punto P poco a poco procu-rando que las distancias de P a A y a B seaniguales:

¿Qué forma tiene la huella de P? ¿Podría des-cribir exactamente su posición? Ahora pode-mos responder a la pregunta inicial.

El lugar geométrico de los puntos equidistan-tes a dos puntos dados se llama MEDIATRIZ, yes la recta perpendicular al segmento defini-do por los dos puntos dados y que pasa porsu punto medio.

Vamos a utilizar esta definición para explorarun nuevo lugar geométrico.

¿Cuál es el lugar geométrico de todos lospuntos equidistantes de un punto dado y deuna recta dada?

Comencemos dibujando un punto F, una rec-ta d y un punto P tal que P quede a la mismadistancia de F y d. (Recuerde que la distanciade un punto a una recta es la longitud delsegmento perpendicular a la recta con extre-mos en el punto y en la recta).

Con un poco de paciencia podemos encon-trar algunas posiciones en las que P es equi-distante de F y d.

Notará que no es fácil mover el punto P demanera que se mantenga a igual distancia deF y d. Pero analizando la situación, puedeverse que P es equidistante de dos puntos:de F y de un punto sobre la recta d. Si llama-mos Q al punto de intersección de d y la rec-ta perpendicular a d que pasa por P, puedeverse que P es la intersección de la mediatrizdel segmento FQ con la recta perpendicular ad que pasa por Q.

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Lugares geométricos

Figura 4

Figura 6

Figura 5

Ahora podemos mirar la huella del punto P

de intersección. Para ello, construya F y d enun archivo nuevo y defina Q como punto so-bre d. Luego trace la perpendicular a d quepasa por Q y la mediatriz (Perpendicular

Bisector) del segmento FQ.

CABRI GÉOMÈTRE también puede calcular ytrazar automáticamente el lugar geométrico

de un punto que deja huella con respecto aotro que se mueve. En este caso, el lugar de P

con respecto a Q. Para ello, oprima F4+A (Lo-cus).

Señale sucesivamente el punto P (que defineel lugar de puntos) y el punto Q (que determi-na las posiciones de P).

Otros ejemplos:

a) Construya una circunferencia de centro A

y radio AB. Construya el segmento AB, unpunto F sobre él y un punto M sobre la circun-ferencia. Construya la mediatriz del segmen-to FM y llámela m. Llame P la intersección dela recta m y el segmento AM. ¿Cuál es el lugardefinido por P cuando M se mueve sobre lacircunferencia?

b) Construya una circunferencia de centro O

y un punto M sobre la circunferencia. Dibujeun punto A en cualquier parte. Construya latangente t a la circunferencia en el punto M.Construya la perpendicular a t que pasa porA y llámela r. Llame Q la intersección de t y r.¿Cuál es el lugar definido por Q cuando M semueve sobre la circunferencia?

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Figura 9

Figura 7

Figura 10

Figura 8

Macro construcciones y cajas negrasen el programa de geometría



El programa CABRI GÉOMÈTRE permite auto-matizar construcciones, de manera que noes necesario repetir todos los pasos.

Macro construcciones

Para definir una macro o construcción auto-matizada, es necesario definir los OBJETOS

INICIALES (objetos en los que se basa la cons-trucción) y los OBJETOS FINALES (el resultadofinal de la construcción). A continuación seejemplifica esta función del programa.

Macro: cuadrado

Se trata de automatizar la construcción de uncuadrado con base en un segmento dado:

– construya un segmento AB

– construya la recta r1 perpendicular a AB yque pase por A

– construya la recta r2 perpendicular a AB yque pase por B

– construya la circunferencia C1 con centroA y radio AB

– construya la intersección de C1 y r1

– llame D a uno de los puntos de esa inter-sección

– construya la recta r3 perpendicular a r1 yque pase por D

– llame C la intersección de r3 y r2

– construya el polígono ABCD

– oculte las construcciones intermedias.

Vamos ahora a ilustrar cómo se automatizaesta construcción.

Al oprimir F4+6 obtendrá la siguiente pantalla(figura 1):

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Figura 1

Seleccione la opción 2: Initial Objects, yproceda a señalar los puntos A y B, extremosdel segmento que sirvió de base para la cons-trucción del cuadrado.

Oprima nuevamente F4+6, seleccione FinalObjects y señale el polígono ABCD.

Nuevamente oprima F4+6 y seleccione De-

fine Macro. Obtendrá una pantalla comola siguiente, donde debe especificar el nom-bre de la macro:

Para terminar, guarde la macro en un archivoal cual le debe asignar un nombre.

Para ejecutar la macro, oprima F4+6 y selec-cione Execute Macro. Luego seleccione lamacro 1: cuadrado y señale cualquier par depuntos en la pantalla ¿Qué sucede? (figura 6).

Cajas Negras

Una aplicación pedagógica interesante de lasmacros es la producción de CAJAS NEGRAS,

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Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 2

macros que producen un determinado resul-tado en la pantalla, que se debe analizar paradescubrir y reconstruir el proceso de cons-trucción de la macro, e identificar relacionesinvariantes en la figura.

El ejercicio con CAJAS NEGRAS requiere unapreparación previa del profesor quien realizauna construcción y luego oculta todos losobjetos, menos los iniciales. El alumno abrela MACRO CONSTRUCCIÓN y la ejecuta.

Para cada uno de los siguientes ejemplos, elprofesor debe construir previamente la macroque va a utilizar con sus estudiantes. Las indi-caciones correspondientes a cada construc-ción se precisarán al final del taller.

Para abrir cualquier macro, debe estar ubica-do en la pantalla de CABRI GÉOMÈTRE, oprimirF8 + 1 (Open) y seleccionar la macro que de-sea abrir.

Ejercicio 1. Abra la macro Caja 1* . Para estodebe seguir las siguientes instrucciones:

• oprima F8 + 1 (Open)

• seleccione Type: Macro

Folder: main

Variable: caja1

• oprima F4 + 6 y seleccione Execute Ma-

cro.

Señale dos puntos en la pantalla. ¿Qué apa-rece?Mueva los dos puntos y descubra las relacio-nes invariantes en la figuraAbra un archivo nuevo e intente reproducirla macro.

Ejercicio 2. Construya un segmento cual-quiera y un punto sobre ese segmento. Abrala macro Caja 2** y señale el segmento y elpunto. ¿Qué aparece? Mueva los objetos yestudie las relaciones invariantes. Abra un ar-chivo nuevo e intente reproducir la macro.

Ejercicio 3. Construya un paralelogramo. Lue-go abra la macro Caja 3*** y señálelo. ¿Quéaparece? Estudie los invariantes. Abra un ar-chivo nuevo e intente reproducir la macro.

Nota para el profesor

A continuación se transcriben los archi-vos correspondientes. Al momento detrabajar el taller deben suprimirse estasinstrucciones para no dañar el sentido delos ejercicios.

*La macro Caja 1 se construye de la si-guiente manera:

• se ubican dos puntos en la pantalla

• se construye el simétrico de uno delos puntos con respecto al otro

• se construye una recta que pase porlos tres puntos

• se construye una perpendicular a larecta por el punto que resultó al rea-lizar la simetría

• se ocultan (F7+1) la recta que pasapor los tres puntos y el punto que re-sultó al efectuar la simetría

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Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometría

Figura 6

• se automatiza la construcción to-mando como objetos iniciales losdos primeros puntos y como objetofinal la recta perpendicular.

**La macro Caja 2 se construye de la si-guiente manera:

• se construye un segmento y un pun-to sobre él

• se construye la perpendicular al seg-mento por el punto

• se construye el punto medio del seg-mento

• se construye una circunferencia concentro en el punto medio y radio lamitad del segmento

• se construye el punto de intersec-ción de la circunferencia con la per-pendicular

• se traza el segmento que une el piede la perpendicular y el punto deintersección de la circunferenciacon la perpendicular.

• se ocultan todos los objetos exceptoel segmento, el punto sobre el seg-mento y la altura

• se automatiza la construcción to-mando como objetos iniciales el seg-mento y el punto sobre él y comoobjeto final la altura del triángulo.

***La macro Caja 3 se construye de la si-guiente manera:

• se construye un paralelogramo

• se construyen las bisectrices de losángulos interiores

• se construyen los puntos de corte delas bisectrices

• se construye el cuadrilátero cuyosvértices son los puntos de corte delas bisectrices

• se ocultan las bisectrices

• se automatiza la construcción to-mando como objeto inicial el para-lelogramo y como objeto final elcuadrilátero.

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Construcciones dinámicas en elprograma Cabri Géomètre



El dinamismo de las construcciones en CABRI

GÉOMÈTRE nos introduce naturalmente en elmundo de los invariantes. Todo dibujo en lapantalla no es definitivo, sino que puede sermanipulado y transformado. Por eso es im-portante descubrir las propiedades que per-manecen constantes durante el desplaza-miento. Toda imagen en la pantalla esprovisional y sus características son sólo apa-rentes. Es necesario DUDAR de lo que se ve ymover la figura para ver si sus propiedades semantienen en TODOS los casos.

Al construir figuras dinámicas, debemos te-ner en cuenta que sólo las propiedades cons-truidas explícitamente (por una orden delprograma) resistirán el desplazamiento. Así,

la geometría se convierte en el arte de descu-brir relaciones y ponerlas a prueba.

Ejercicios

1. Explore sucesivamente los archivosDUDAR1A, DUDAR1B, DUDAR2A, DUDAR2B,

DUDAR3A, DUDAR3B. ¿Qué relaciones geo-métricas observa? ¿Resisten el desplaza-miento? (las instrucciones de los archivoscorrespondientes se encuentran al finaldel taller)

2. Construya un cuadrado que resista eldesplazamiento (con sus lados con-gruentes y sus ángulos rectos).

3. Haga las siguientes construcciones1:

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Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción apartir de ese segmento.

Cuando termine desplace A y B. Su figura no debe deformarse.

1 Tomadas de la revista CABRIOLE www.cabri.net/cabriole

Ejercicio de desafío

Nota para el profesor

A continuación se presentan las instruc-ciones para construir los archivos. No de-ben entregarse a los alumnos para no da-ñar los ejercicios.

Archivo DUDAR1a. Construya un seg-mento y un punto A en cualquier lugar dela pantalla. Desplace A hasta que parezcaser un objeto sobre el segmento

Archivo DUDAR1b. Construya un seg-mento y un punto A sobre el segmento.

Archivo DUDAR2a. Construya dos rectasaparentemente perpendiculares.

Archivo DUDAR2b. Construya dos rectasperpendiculares (F4+1)

Archivo DUDAR3a. Construya una cir-cunferencia, un punto sobre ella y unarecta. Desplace la recta hasta que parez-ca ser la tangente a la circunferencia enel punto.

Archivo DUDAR3b. Construya una circun-ferencia, un punto sobre ella y una tan-gente a la circunferencia por el punto.

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Oculte los trazos de construcción.





Oculte los trazos de construcción.

Cuando termine, desplace A y B. Su figura no debe deformarse.

Trate de encontrar un método diferente (el más corto posible).

Modelación en geometría

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo de coordinación


Una importante posibilidad de la geometríadinámica es la de modelar situaciones realespara experimentar con los modelos y obte-ner información sobre el fenómeno en estu-dio. En este taller se ejemplifica esta posibili-dad con el problema de la caja, un conocidoproblema de cálculo que dice así:

Se desea construir una caja sin tapa con un

pedazo rectangular de material, recortan-

do cuadrados de igual tamaño de sus es-

quinas y doblando. ¿Para qué tamaño de

cuadrado recortado es máximo el volumen

de la caja?

La dificultad de muchos estudiantes anteeste problema, radica en la incapacidad pararepresentar mentalmente las relaciones queentran en juego (la relación entre el lado delcuadrado y el volumen de la caja). La realiza-ción de un modelo donde pueda explicitarseesta relación será de beneficio para la com-prensión del problema y la búsqueda de es-trategias de solución.

1. Estudio de la situación.

• El modelo debe basarse en un rectán-gulo de un tamaño arbitrario que re-presentará el pedazo de material.

• Para representar los cortes debemosconstruir cuadrados congruentes en las

esquinas del rectángulo (bastará conconstruir uno y hacer sus simétricos).

• El tamaño de esos cuadrados tiene quevariar, por lo que debe haber un puntomóvil sobre uno de los lados del rectán-gulo, punto que determina el tamañodel cuadrado.

• Existe un tamaño límite del cuadrado: sulado no puede sobrepasar la mitad dellado más corto del rectángulo.

2. Construcción.

Construya un rectángulo de 2 cm x 3 cm.

Construya el punto medio de uno de los la-dos más cortos.

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Figura 1

Construya un segmento desde el extremodel lado corto hasta el punto medio y dibujeun punto sobre ese segmento.

Construya un cuadrado utilizando la esquinadel rectángulo y el punto móvil sobre el seg-mento (use la opción polígono).

Construya las mediatrices de los lados delrectángulo.

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Figura 3

Figura 2Figura 4

Figura 5

Construya la simetría axial del cuadrado usan-do las mediatrices como ejes de simetría.

Oculte las construcciones intermedias.

Ya tiene un modelo del pedazo rectangularcon cuadrados recortados de las esquinas. Elpunto móvil le da la posibilidad de explorartodos los posibles tamaños de cuadrados.Ahora construya segmentos que representenlas tres dimensiones de la caja y mídalos.

Utilizando la opción Comment (F7+5) organi-ce la información en la pantalla.

Ahora calcule el volumen de la caja con laopción Calculate (F6+6) y señale sucesiva-mente los valores de los lados de la caja.

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Modelación en geometría

Figura 8

Figura 7

Figura 6

En este momento ya puede mover el puntoque determina el tamaño del cuadrado y ob-servar cómo varía el volumen de la caja.

Opcional. Si desea hacer una representa-ción tridimensional del modelo construyatres rectas intersecantes que simulen un sis-tema de coordenadas, transfiera la medidade los segmentos (F4 + 9) que representan las

dimensiones de la caja, en cada uno de losejes. Luego construya tres vectores del mis-mo tamaño de los segmentos y haga las tras-laciones necesarias para hacer la caja. Mue-va el punto que determina el tamaño delcuadrado y observe cómo varía la forma y elvolumen de la caja.

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Figura 10

Figura 9 Figura 11

Figura 12

¿Qué es el número e?2



El crecimiento exponencial ocurre en mu-chos campos. Al investigar matemáticamen-te este tipo de crecimiento, se encuentra elnúmero e, base de los logaritmos naturales.Vamos a estudiar el área bajo la curva conecuación y x= 1/ (integral definida de lafunción ƒ(x) = 1/x sobre algún intervalo),para llegar a las nociones de función logarit-mo natural y de número e.

La calculadora TI-92 puede usarse para repre-sentar y calcular el área bajo la curva de unafunción. La siguiente gráfica, por ejemplo,muestra el área bajo la curva y x= 1/ desde1 hasta 4.

1. Área debajo de la curva. Entre al editor defunciones (♦ W) y borre las funciones existen-tes presionando F1+8 (Clear Functions) +

ENTER.

Escriba la función y x1 1= / .

Oprima ♦ E (WINDOW) para modificar los valo-res mostrados en la gráfica por los dados acontinuación:

xmin = 0xmax = 6xscl = 1ymin = -1ymax = 3yscl = 1xres = 2

Presione ♦ R (GRAPH) para mostrar la gráficade la función.

Para representar la región bajo la curva des-de 1 hasta 4 seleccione ƒ( )x x∫ d presionando

F5+7. La calculadora pregunta por el límite in-ferior (Lower Limit): presione 1+ENTER.Para el límite superior (Upper Limit) pre-sione 4+ENTER.

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Figura 1

2 Adaptación de un taller de DISCOVERING MATH ON THE TI-92

2. Experimentando con el límite superior.Entre a HOME (♦ Q) y calcule la integral

1

1 xxd

b

∫

para diferentes valores de b. Para esto, presio-ne 2nd+7, escriba (1/t,t,1,1.5) y presione ENTER.La calculadora halla

1

1

1 5

tdt

.

∫

Repita el mismo cálculo cambiando 1.5 por2, 2.5, 3, 3.5, etc.

Como puede ver, al cambiar el límite supe-rior b, cambia el valor de la integral. Consig-ne los valores obtenidos de las integrales enuna tabla y grafíquelos. Esto lo puede haceroprimiendo APPS+6+3, para ingresar a una ta-bla de datos.

3. La gráfica de F. Nos hemos encontradocon la función que a cada límite superior leasigna el valor de la integral correspondien-te. Explícitamente,

Ftdt( ) .x

x

= ∫1

1

En la pantalla HOME defina la función F presio-nando F4+1+ENTER, escribiendo F(x) =, opri-miendo 2nd+7 y escribiendo (1/t, t, 1,x).

En la pantalla WINDOW especifique los siguien-tes parámetros:

xmin = 0xmax = 25xscl = 1ymin = -1ymax = 4

yscl = 1xres = 2

En el editor de funciones (♦ W), introduzca lafunción y x1 = F( ).

Ahora presione ¨R para ver la gráfica de F.¡Tenga paciencia! Las funciones definidaspor integrales se dibujan muy lentamente.Compare la gráfica obtenida con la de los da-tos del punto 2.

4. Progresiones geométricas. Una progre-sión geométrica es una sucesión de núme-ros reales que se genera multiplicando suce-sivamente por un número real fijo r.Explícitamente, si multiplicamos a por r obte-nemos ar. Si multiplicamos ar por r obtene-mos ar2. Si multiplicamos ar2 por r obtene-mos ar3 y así sucesivamente. Se obtiene deesta manera la progresión geométrica a, ar,ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7,...

Construya la progresión geométrica a partirde a = 2 y r = 3. Entre a HOME, escriba 2 y opri-ma ENTER; oprima ×, escriba 3 y oprimaENTER; oprima ×, escriba 3 y oprima ENTER;oprima ×, escriba 3 y oprima ENTER,... En lapantalla se va formando la lista de números2, 6, 18, 54, 162, ... Construya otras progre-siones geométricas a su gusto.

¿Cómo saber si una sucesión es una progre-sión geométrica? Si x1, x2, x3, x4, x5,... es unaprogresión geométrica, cualquier término xn

se debe obtener del anterior xn-1 multiplicandopor un número r. Es decir, xn = r xn-1, o, lo quees lo mismo, xn /xn-1 = r. Por ejemplo, para lasucesión x1 = 2, x2 = 6, x3 = 18, x4 = 54, ... se tie-ne que x2/x1 = x3/x2 = x4/x3 = ... = 3.

5. Una progresión geométrica muy espe-cial. Estudiemos ahora la sucesión xn defini-da por n = F(xn) donde F es la función definidaen eel punto 3. Explícitamente,


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1 = F(x1)

2 = F(x2)

3 = F(x3)

4 = F(x4)

.

.

.

¿Será ésta una progresión geométrica?Para encontrar explícitamente los valoresde x1, x2, x3, x4, x5,... procedemos de la si-guiente manera. En el editor de funciones(♦ W), introduzca las funciones:y1= F(x), y2 = 1, y3 = 2, y4 = 3, y5 = 4,... Ahorapresione ♦ R (GRAPH) para ver la gráfica delas funciones.

¿Dónde corta la gráfica de F las líneas hori-zontales y2 = 1, y3 = 2, y4 = 3, y5 = 4? Para ha-llar la intersección de y = F(x) y de y = 1, pre-sione F5+5 y seleccione intersection. Elcursor se coloca sobre la curva y1. PresioneENTER para seleccionar y1 como primera fun-ción. El cursor se coloca sobre y2. OprimaENTER para seleccionarla como segunda fun-ción. Ahora la calculadora pide determinarun intervalo en el cual se quiere buscar la in-tersección; mueva el cursor a la izquierda delpunto de intersección y oprima ENTER, luego

mueva el cursor a la derecha del punto de in-tersección y oprima ENTER.

Almacene ese valor en la variable SYSDATA

presionando ♦ D. Debe aparecer el mensajeDATA PLACED IN VARIABLE SYSDATA. Encuen-tre y almacene los otros tres puntos de inter-sección. Para ver los valores almacenados,presione APPS+6 (Data editor) y seleccio-ne la variable SYSDATA. Luego presione ENTER

dos veces.

Note que los valores en la columna y crecen li-nealmente, mientras que los de la columna x

crecen más rápidamente. Calcule x2/x1, x3/x2, ...¿Qué valores encontró? Podrá darse cuentaque todos los cocientes coinciden con el valoraproximado e = 2.7183, y que por lo tanto lasucesión x1, x2, x3, x4, x5,.. es una progresióngeométrica. Explícitamente,

x1 = e1, x2 = e2, x3 = e3, x4 = e4, ...

Si calculamos el logaritmo en base e en cadauna de estas igualdades obtenemos

Rog e (x1) = 1, Rog e (x2) = 2, Rog e (x3) = 3,Rog e (x4) = 4, ...

Se deduce de aquí que

Rog e (xn) =1

1 tdt

n

n=∫ Rnx

x( ).

¿Qué es el número e?

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Solución de un sistema de ecuacionesen el programa de álgebra y cálculo3



En este taller se ejemplifican los métodos deeliminación, sustitución y matricial para re-solver un sistema de ecuaciones.

1. Método de eliminación

Problema. Un entrenador de tenis compracomida para su equipo en un restaurante.Ordena ocho hamburguesas y cinco por-ciones de papas a un costo de $47.500.oo.Como algunos de los jugadores quedancon hambre, el entrenador compra seishamburguesas más y otras dos porcionesde papas por $33.000.oo. ¿Cuál es el pre-cio de una hamburguesa y de una porciónde papas?

El planteamiento del problema puede hacer-se mediante un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas. Cada compra se expresacomo una ecuación lineal con incógnitas x ey, donde x representa el precio de una ham-burguesa e y representa el precio de una por-ción de papas:

8 x + 5 y = 47.5006 x + 2 y = 33.000

Veamos cómo resolver el sistema.

Antes de comenzar asegúrese de que noexistan valores asignados para las variables.Si desea borrarlos, ubíquese en la pantallaHOME y seleccione en el menú F6 la opción 1

(Clear a-z).

En la pantalla HOME escriba la primera ecua-ción, oprima la tecla STO (almacenar) y escri-ba ecua1. Presione ENTER para almacenar laecuación. Repita el procedimiento para la se-gunda ecuación y llámela ecua2.

Para eliminar una variable los coeficientesde una de las variables deben ser opuestos oinversos aditivos. Vamos a eliminar x multipli-cando la primera ecuación por 3. Para ello:

• Presione F2+3 (expand = distribuir)

• Escriba 3*ecua1, oprima STO y escribaecua1 para almacenar la ecuación multi-plicada por 3.

26


• Repita el procedimiento para la segundaecuación, eligiendo el factor adecuadopor el cual multiplicar.

• Sume las ecuaciones escribiendo ecua1+ ecua2. Presione ENTER. El resultado esuna ecuación en términos de y.

Para solucionar esta ecuación presione F2+1

(solve = resolver). Presione la tecla del cur-sor hacia arriba para seleccionar la ecuacióna resolver y oprima ENTER para pegarla en lalínea de comandos. Luego escriba, y) y opri-ma ENTER.

Escriba el valor obtenido para y, y oprima STO

y para almacenarlo en la variable y.

Presione F2+1. Escriba ecua1, x) y oprimaENTER para obtener el valor de x (precio de lahamburguesa).

2. Método de sustitución

Considere el siguiente sistema de tres ecua-ciones

-3 x + 2 y + z = 275 x – y + 9 z = 454 x + 3 y – 6 z = -62.

Presione F6+1+ENTER para borrar los valoresalmacenados en las variables. Introduzca lasecuaciones y almacénelas con STO en ecua1,ecua2 y ecua3. (Recuerde que en la calcula-dora hay una tecla especial para el signo -, di-ferente de la operación resta).

• Para despejar z de la primera ecuación,presione F2+1 (solve) teclee ecua1,z) yoprima ENTER.

• Al sustituir este valor en las ecuaciones 2y 3 se obtiene un sistema de dos ecua-ciones con dos incógnitas.

• Para hacer la sustitución se usa el ope-rador con de la TI-92 ô(2nd K) que sustitu-ye la expresión que le sigue en laexpresión que le precede.

• Escriba ecua2 y presione 2nd K. Luegooprima el cursor hacia arriba para selec-cionar la ecuación de z y presione ENTER

para pegarla en la línea de comandos.Almacene el resultado en ecua2.

• Escriba ecua3 y presione 2nd K. Luegooprima el cursor hacia arriba para selec-cionar la ecuación de z y presione ENTER

para pegarla en la línea de comandos.Almacene el resultado en ecua3.

Solucione la ecuación 2 para x y sustitúyalaen la ecuación 3. El resultado obtenido paray almacénelo en y. Solucione ahora nueva-mente la ecuación 2 para x y almacene estevalor en x. Finalmente solucione la ecuación1 para z.

3. Método de matrices

La TI-92 tiene una función para resolver siste-mas de ecuaciones simultáneas (simult).Este método es especialmente útil para siste-mas de más de dos ecuaciones. Los coeficien-tes se escriben como una matriz y los resulta-dos en otra matriz. La calculadora devuelveuna matriz columna con las soluciones.

En el siguiente ejemplo se muestra cómo seintroducen los valores para el sistema

6 x – 2 y = 2

3 x + 4 y = -19.

Nota. Los elementos en la fila se separan concomas y las filas con punto y coma. La matrizde coeficientes se separa con coma de la ma-triz de constantes.

27

Solución de un sistema de ecuaciones en el programa de álgebra y cálculo

Utilice este método para solucionar el sistema

10 x – 3 y + 7 z = -55- x – 4 y + 2 z = -296 x + 3 y – 5 z = 55.

28


Figura 1

Regresión lineal4



Una regresión es un intento de modelar conuna ecuación datos obtenidos experimental-mente. En este taller vamos a crear unas listasde datos e intentaremos determinar la ecua-ción lineal que mejor se ajuste a dichos datos.

Problema. Encuentre la ecuación lineal quemejor se ajusta a los datos (1, 6), (2, 10), (3, 13),(4, 12), (5, 17).

Encienda la calculadora y en la pantalla prin-cipal (HOME) borre el área de registro conF1+8. Borre la línea de comandos con CLEAR.

1. Creación de las listas. Las listas se escri-ben en la línea de comandos entre llaves { }.Para crear la lista de las abscisas teclee2nd(1,2,3,4,5 2nd)STO listax ENTER. Repita elprocedimiento para la lista de las ordenadasy almacénela en listay.

2. Graficación. Para graficar los datos presio-ne ♦ W y así entrar al editor de funciones. Siya hay algún gráfico estadístico (Plot) defi-nido, presione F5+1 y seleccione All off

para des-seleccionarlos todos. Presione la te-cla del cursor hacia arriba para seleccionar elprimer gráfico (Plot) libre y presione ENTER.Aparecerá la siguiente pantalla:

Escriba listax y listay en las casillas respecti-vas. Luego oprima dos veces ENTER

Para dividir la pantalla en dos regrese a lapantalla principal oprimiendo ♦ HOME. Lue-go oprima MODE F2 y con el cursor seleccio-ne Split Screen y 3: Left- Right.Oprima ENTER para confirmar. La pantallaaparecerá dividida, con la gráfica a la dere-cha.

Oprima ♦ R (GRAPH) para mostrar la gráficade los datos. Para ajustar los datos a la panta-lla presione F2 (Zoom) y seleccione 9: Zoom-

Data. Debe obtener una pantalla como la si-guiente:

29

Figura 1


Fíjese que la parte derecha tiene un bordegrueso. Esto significa que es la parte de lapantalla activa. Para activar la otra parte dela pantalla oprima 2nd APPS.

3. Búsqueda de la ecuación que modelalos datos. Ahora se quiere definir una ecua-ción que modele los datos. Como en la grá-fica parece que la mayoría de los puntos es-tán en una recta, buscaremos una ecuaciónlineal de la forma y = m * x + k. Podría hacer-se en el editor de datos Data/Matrix Edi-

tor, si los datos se hubiesen capturado enuna tabla. En este caso vamos a hacerlo des-de la pantalla HOME. Para hacerlo:

Escriba m * x + k STO y1(x) y oprima ENTER. Ve-rifique la exactitud de su ecuación escribien-do y1(x) ENTER. Si ve expresiones numéricasen lugar de m x + k es porque tiene almacena-do algún valor para las variables. En ese casooprima F6+1 y repita este procedimiento.

Ahora necesitamos definir un criterio numé-rico para saber qué tan ajustada está la ecua-ción con relación a los datos. Si la línea estábien ajustada, la distancia de cada uno de lospuntos a la línea debe ser mínima. Esta dis-tancia se toma como la diferencia entre laordenada del punto dado y el valor de lafunción aplicada en la abscisa de ese puntoen la línea; pero, para evitar que las diferen-

cias positivas (de los puntos que están enci-ma de la línea) se anulen con las diferenciasnegativas (de los puntos que están debajode la línea), se toma el cuadrado de la dife-rencia. Por eso este es el método de los mí-nimos cuadrados.

Sumamos entonces los cuadrados de las di-ferencias, suponiendo que la línea que mejorse ajusta a los datos será aquella tal que lasuma de los cuadrados de sus distancias sea lamás pequeña. Para ello:

– presione F4+1 y seleccione Define

– escriba ss=sum((listay-y1 (listax))^2) y opri-ma ENTER

– verifique la exactitud de la fórmula te-cleando ss y oprimiendo ENTER

– debe obtener 5 k2 + k (30 m - 116) + 55 m2

- 396 m + 738

– si no obtiene este valor, revise su ecuación.

Llegó el momento de ensayar los valores dem y k para ajustar la línea a los datos. Para co-menzar tomemos m = 2, k = 2. PresioneENTER y CLEAR.

– 2 STO m ENTER

– 2 STO k ENTER

– ♦ GRAPH

Debe obtener una pantalla como la que apa-rece en la página siguiente (figura 3).

Esta no es una buena aproximación. Presio-ne 2nd APPS para activar la pantalla HOME y es-criba ss para ver el coeficiente de ajuste.

Con m = 2 y k = 2, la línea y = 2 x + 2 tiene unasuma de cuadrados de 74.

Intente encontrar una buena aproximacióncon valores diferentes para m y k. Verifique

30


Figura 2

mirando la gráfica y calculando el coefi-ciente ss.

La TI-92 utiliza el método de los mínimoscuadrados para calcular la ecuación quemejor se ajusta a los datos. Desde la panta-lla HOME presione 2nd MATH y seleccione 6:Statistics, 3: Regression y 1: Lin-Reg. Luego escriba listax, listay ENTER.Para ver los resultados escriba showstat yoprima ENTER.

31

Regresión lineal

Figura 3

Actividades en sistemas numéricos

Hugo Martín Cuéllar GarcíaGrupo Coordinador


1. Los cuatro cuatros

Una de las primeras dificultades a la que nosenfrentamos cuando trabajamos con la cal-culadora TI-92, consiste en determinar la for-ma de escribir las operaciones en ella. Al con-siderar el clásico problema de los cuatrocuatros se genera algún tipo de dificultad ini-cial al transcribir en la calculadora las expre-siones obtenidas a lápiz y papel.

• Empleando cada vez cuatro cuatrosobtenga expresiones aritméticas cuyosresultados sean los números naturalesmenores que 20.

• Compruebe los resultados obtenidoscon la calculadora.

Al escribir las expresiones para cada unode los números dados en la tabla, se tieneque la escritura lineal (en el área de regis-tro) puede alterar los resultados, si no setiene en cuenta el orden en que la calcula-dora efectúa las operaciones. Sin esta pre-caución, donde debería ser 3 puede apare-cer 9, en lugar de 12 puede aparecer 45 yel 5 se podría cambiar por 17.

En cada uno de estos casos vale la penapreguntar a los estudiantes sobre lo quepiensan acerca de las operaciones que rea-

liza la calculadora. ¿Se equivocó la calcula-dora? ¿La expresión que dimos no eracorrecta? Además, se puede generar unadiscusión en cuanto a las modificacionesnecesarias (uso de paréntesis y signos deagrupación) que se deben hacer en cadauna de las expresiones halladas, para obte-ner la respuesta correcta en cada caso.

32

1 = 11 =

2 = 12 =44 4

4

+

3 =4 4 4

4

+ +13 =

4 = 14 =

5 =4 4 4

4

× +15 =

6 = 16 =

7 = 17 =

8 = 18 =

9 = 19 =

10 = 20 =

2. Problema con los años

Evaristo Galois nació en 1811 y murió en1832, luego de una corta vida, dejando unlegado en matemáticas que ha perduradohasta nuestros días.

• Con los dígitos del año de nacimientode Galois podemos crear expresionesaritméticas cuyos resultados son los dígi-tos del 0 al 9. ¡Compruébelo con ayudade la calculadora! Determine a qué nú-mero corresponde cada dígito.

1 8 1 1× + + 1 8 1 1× × ×

18 1 1×( – ) 1 8 1 1× – – 1 8 1 1+ + +

1 8 1 1× ×– 1 8 1 1× + – 1 81 1× ×

1 8 1 1+ +–( ) 1 8 1 1+ × ÷( )

• Utilizando los dígitos del año de la muer-te de Galois, cree expresiones aritméti-cas cuyos resultados sean los númerosdígitos.

1 8 3 2 = 0 1 8 3 2 = 5

1 8 3 2 = 1 1 8 3 2 = 6

1 8 3 2 = 2 1 8 3 2 = 7

1 8 3 2 = 3 1 8 3 2 = 8

1 8 3 2 = 4 1 8 3 2 = 9

• ¡GRAN DESAFÍO!

Intercale signos de operaciones aritméti-cas entre los dígitos y, en caso de ser ne-cesario, signos de agrupación, de talmanera que el resultado de cada expre-sión sea el indicado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1811

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1832

Observación. Este mismo tipo de ejerciciopuede motivar más a los estudiantes si se lespide encontrar expresiones aritméticas conlos dígitos de un año significativo para ellos,como la fecha de su nacimiento.

3. Patrones (1)

Los renglones que siguen, pertenecen a unmismo patrón. Obsérvelos cuidadosamente:

a) Escriba los datos que faltan y comprue-be el patrón.

33

Actividades en sistemas numéricos

... + ... = ...

... + ... + ... = ...

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (...)2

4 + 5 + ... + ... + ... + 9 + 10 = (...)2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

b) Escriba dos renglones anteriores y dosposteriores de los que están.

c) Complete las expresiones siguiendo elmismo patrón.

(i) 25 + 26 + 27 + ... + 71 + 72 +73 = ( ) 2

(ii) ..................................................... = 812

4. Patrones (2)

Los renglones que siguen, pertenecen a otropatrón. Obsérvelos cuidadosamente.

a) Escriba los datos que faltan y comprue-be el patrón.

b) Escriba dos renglones anteriores y dosposteriores.

c) Complete las expresiones siguiendo elpatrón:

(i) 81 + ... ... … = ...

(ii) ... + ... ... ... = ... + 225

(iii) ... + = ... = 1150

d) Describa, en forma general, este patrón.

e) Si n representa la fila enésima, determi-ne una expresión para calcular la suma Sen función de n.

34


... + ... + ... = ... + ...

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = ... + ... + ... + ...

... ... ... ... + ... + ... = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

...

Datos agrupados. Trabajo con elpaquete de estadística

Edwin Alfredo Carranza VargasInstituto Pedagógico Nacional

Tomaremos un conjunto numeroso de datospara hacer un análisis estadístico, a partir dela técnica de datos agrupados.

1. Introducción de los datos

Oprima la tecla APPS, seleccione 6: Data/Matrix Editor y en el menú elija 3: New.Coloque nombre a la variable, oprimaENTER para aceptar el nombre de la variabley nuevamente ENTER para obtener la pantalladel Editor que se muestra a continuación:

– Introduzca los datos en la columna c1.Cada vez que introduzca un dato oprimaENTER.

2. Ordenamiento de los datos

– Es posible ordenar los datos de menor amayor. Para ello, seleccione F6+3: Sort

Column.

– ¿Cuál es el menor de los datos? ¿Cuál es elmayor de los datos? ¿Cuál es la diferenciaentre el mayor y el menor de los datos?A la diferencia entre el menor y el mayorde los datos se le conoce como el rangodel conjunto.

3. Cálculo de algunos valoresrepresentativos del conjunto

– Al oprimir F5 se obtiene una pantallacomo la siguiente, a través de la cual es

35

Figura 2

Figura 1

posible hallar diferentes medidas para elconjunto.

– En el menú Calculation Type, selec-cione 1: Onevar ya que vamos a hacercálculos con una sola variable. Indiquepara la variable x que los datos han sidointroducidos en la columna c1, oprimaENTER para aceptar. Como por ahora noharemos cálculos con frecuencias, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda NO. Ahora oprima ENTER.

– Observe los valores de la media, la desvia-ción estándar de la muestra, los cuartilesQ1 y Q3 y la mediana. Justifique por qué lamediana es el mismo cuartil Q2. Interpretelos resultados obtenidos.

– Compare la media y la desviación están-dar de la muestra con los valores obteni-dos para otros conjuntos introducidos porlos demás compañeros.

– Oprima ENTER para regresar al Editor.

4. Histograma

– A continuación representaremos gráfica-mente los datos por medio de un histogra-ma. Para tal efecto, oprima F2, borre pormedio de F3 cada una de las gráficas

(Plot) que aparecen en el listado e iniciela definición de la gráfica Plot1 por me-dio de F1, para lo cual aparece una panta-lla como la anterior (figura 3).

– En la opción Plot Type seleccione 4:Histogram. Indique que los datos de lavariable x se introdujeron en la columnac1 y oprima ENTER.

– Decida de cuántas barras construirá el his-tograma. Esto significa que se requiere elcálculo del ancho de la barra, teniendo encuenta el rango. Escriba este valor del an-cho en Hist. Bucket Width y oprimaENTER.

– Puesto que por ahora no estamos traba-jando con frecuencias predeterminadas,a la pregunta Use Freq and Catego-

ries?, responda NO y oprima ENTER.

– Para ver la gráfica, oprima ♦ R (GRAPH). Sino observa la gráfica como la esperaba,oprima F2 y seleccione 9: ZoomData.Realice los ajustes necesarios para losejes de la gráfica por medio de ♦ E

(WINDOW), teniendo en cuenta el menorde los datos para empezar el histogramay que las barras se observen completasen la pantalla. Observe nuevamente lagráfica con ♦ R (GRAPH).

5. Distribución de frecuencias

– Por medio de F3 (Trace), determine paracada barra del histograma los límites infe-rior y superior y la frecuencia, esto es, elnúmero de datos que son mayores oiguales que el límite inferior y menoresque el límite superior. Es posible pasar deuna barra hacia otra con las flechas dere-cha - izquierda del cursor. Llene una tablacomo la siguiente:

36


Figura 3

37

Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadística

Intervalo Frecuencia

6. Diagrama de cajas

Al final de esta página se muestra un diagra-ma de cajas. Observe la información que sepuede obtener a partir de él.

– Para construir el diagrama de cajas de losdatos con los que está trabajando, regreseal editor de datos (APPS, 6: Data/MatrixEditor, 1: Current) ¡Elija Current y noNew!

– Nuevamente seleccione F2 y defina Plot2por medio de F1. Seleccione en Plot

Type 3: Box Plot. Indique que los datosde la variable x se introdujeron en la co-lumna c1. Oprima ENTER.

– Puesto que por ahora no estamos trabajan-do con frecuencias predeterminadas, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda NO y oprima ENTER.

– Con ♦ R (GRAPH) observe el diagrama decajas. Oprima F3 y con las flechas del cur-sor arriba - abajo ubíquese en el diagramade cajas. Con las flechas derecha - izquier-da del cursor puede observar los valoresmin, Q1, med, Q3 y máx.

– Relacione el diagrama de cajas con el his-tograma.

7. Presentación de los datosagrupados en el editor de datos

– Regrese al editor de datos (APPS, 6:Data/Matrix Editor 1: Current) ¡ElijaCurrent y no New!

– Digite los datos en las siguientes columnas. Acada intervalo haga corresponder una fila.c2: Límite inferior de cada clase. c3: Límite

Q1 Q2 Q3| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

|

Caja menor Caja mayor

Figura 4

superior de cada clase. c4: Frecuencia decada clase. c5: Frecuencia acumulada.

La frecuencia acumulada de cada clase in-dica el número de datos que son menoresque el limite superior de la misma. Para en-contrar la frecuencia acumulada de cadaclase ubíquese sobre la celda marcada conc5 y oprima 2nd +5 (MATH), seleccione3:List y luego 7:cumSum(, y escriba c4.

7. Ojiva

– La ojiva es una representación gráfica enla cual se hace corresponder a los límitessuperiores de cada intervalo la respectivafrecuencia acumulada. Prediga la formade la gráfica.

– En el editor de datos (Data/MatrixEditor), seleccione F2, desactive el dia-grama de cajas con F4 y con F1 definaPlot 3. Seleccione en Plot Type, 2:xyline. Para la variable x, indique los lí-mites superiores (c3) y para la variable y

las frecuencias acumuladas (c5). Por aho-ra no incluimos trabajo con el uso de fre-cuencias y categorías. Oprima ENTER dosveces consecutivas.

– Observe la gráfica con ♦ R (GRAPH) y ajustelos valores con ♦ E (WINDOW); asigne comovalor xmin el mismo que utilizó para elhistograma.

– Relacione la ojiva con el histograma. Obser-ve cómo varia la ojiva cuando la barra esmás alta y cuando la barra es más baja.

– A partir de la ojiva, moviendo el cursor, sepuede interpolar para determinar cuántosdatos del conjunto son menores que al-gún valor determinado. Si desea mayorprecisión, en F2, seleccione 1: ZoomBox, e

indique el tramo de la ojiva al que le va aaumentar el tamaño.

8. Algunos ejercicios

– Marcas de clase. La marca de clase decada intervalo es el valor que se encuen-tra exactamente en la mitad entre el lími-te inferior y el superior. Ubíquese sobrela celda marcada con c6 para que en di-cha columna registre la marca de clasede cada clase. ¿Cómo puede hallar lamarca de clase a partir de los límites dela misma?

– Polígono de frecuencias. El polígono defrecuencias es una representación gráficaque hace corresponder a cada marca declase la frecuencia de la respectiva clase.Construya la gráfica y compárela con elhistograma. Determine cuál es el valor delque se puede afirmar que se repite conmayor frecuencia, esto es, la moda delconjunto.

– Frecuencia relativa. La frecuencia relativade cada clase es el porcentaje de datoscon respecto al total que corresponde acada intervalo. ¿Cómo podría calcularloen la tabla del editor? Hágalo en c7.

– Frecuencia relativa acumulada. La fre-cuencia relativa acumulada de un interva-lo es el porcentaje de datos que es menorque el respectivo límite superior. ¿Cómopodría calcular en la tabla del editor dichafrecuencia? Hágalo en c8.

– Ojiva porcentual. Construya una gráficaque haga corresponder a cada límite su-perior la frecuencia relativa acumulada dela respectiva clase.

– Percentiles. ¿Cómo podría determinar apartir de la ojiva porcentual, el porcentaje

38


de datos que supera al 70%? A esto se lellama el percentil 70, Pt,. Intente con otrospercentiles, calcúlelos e interprételos.

9. Cálculo de algunos valoresrepresentativos del conjuntocon el uso de las frecuencias

– Como ya vimos, al oprimir F5 se obtieneuna pantalla a través de la cual es posiblehallar diferentes medidas para el conjun-to.

– En el menú Calculation Type seleccio-ne 1: Onevar, ya que vamos a hacercálculos con una sola variable. Indiquepara la variable x que los datos, en estecaso las marcas de clase que son los re-presentantes de cada clase, han sido intro-ducidos en la columna c6. Oprima ENTER

para aceptar. Como ahora tendremos encuenta las frecuencias de las clases, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda SI e indique que las frecuenciasse han ingresado en la columna c4. Ahoraoprima ENTER.

– Observe los valores de la media, la desvia-ción estándar de la muestra, los cuartiles Q1

y Q3 y la mediana. Justifique por qué la me-diana es el mismo cuartil Q2. Interprete losresultados obtenidos. Compare la media y ladesviación estándar de la muestra con los va-lores obtenidos para otros conjuntos por losdemás compañeros.

Compare los valores obtenidos de la muestracon los valores obtenidos para el mismo con-junto cuando no se utilizaron datos agrupa-dos. ¿Qué ventajas y qué desventajas tienetrabajar con datos agrupados?

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Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadística

Fundamentación cognitiva delcurrículo de matemáticas5

Luis Moreno Armella, Guillermina WaldeggCINVESTAV – IPN, México

1. Introducción

Las expectativas de cambio en las sociedadescontemporáneas se han visto afectadas, enmayor o menor medida, por la apertura haciaun nuevo siglo, y es la educación el campo endonde confluyen mayormente estas expectati-vas. Las sociedades han comprendido que elfuturo está íntimamente ligado a la educación.Ya escuchamos de manera reiterada las vocesque nos invitan a imaginar la sociedad de la in-formación y del conocimiento.

Si se quiere que estas expectativas se veancolmadas, los sistemas educativos tendránque entrar en resonancia con los inmensosdesarrollos científicos y tecnológicos de lasúltimas décadas y así, prepararse para darrespuesta a las necesidades educativas in-mediatas y abrirse a lo nuevo e inesperado.Por lo tanto, los sistemas educativos tienenun gran desafío: lograr la transformaciónde sus estructuras curriculares, entendien-do que éstas ya no pueden depender total-mente de los contenidos temáticos, comoha sido tradicional, sino de un desarrollocognitivo en sus individuos que incorporeel fortalecimiento de actividades como la

generalización, la sistematización y la abs-tracción. Los estudiantes, cada vez más,tienen necesidad de enfrentarse a la resolu-ción de problemas, no sólo en el ámbito es-colar sino en sus futuros lugares de trabajo,en donde la creatividad y la innovación se-rán la moneda de cambio. Los estudiantesnecesitan instrumentos de aprendizaje, esdecir, estructuras cognitivas con alto gradode adaptabilidad a lo nuevo. Esta necesi-dad refleja una dimensión central del pro-ceso de educación continua en el que cadadía estaremos inmersos.

Cuando la sociedad discute los fines de laeducación, incluye entre sus propósitos ac-ciones que conducen a modelar las con-ductas, vocaciones, conocimientos y valo-res de sus miembros, en función de lascapacidades individuales. Desde luego,esto lo hace a partir de sus propios objeti-vos: si una sociedad se propone educarsólo a sus élites, el profesor, como único re-curso, puede bastar para la consecución deestos fines. Empero, el problema se hacemás complejo cuando una sociedad se ve así misma como una sociedad en desarrollo

40

5 Capítulo 3 del libro Didáctica de las Matemáticas, Editorial Síntesis, Madrid, Luis Rico (ed).

que busca dotar a todos sus miembros deuna educación que privilegie los valores de-mocráticos y la confianza en un bienestarsalido del progreso científico y tecnológico.

Es en este último caso en el que la psicolo-gía ha tenido un papel principal en el cursodel siglo veinte. La psicología ha puesto elénfasis en la necesidad de conocer las capa-cidades intelectuales, tanto individualescomo compartidas de los estudiantes para,a partir de ese conocimiento, garantizar lascondiciones mínimas de acceso a la educa-ción a todos los miembros de la sociedad.Con ello se hace manifiesto el compromisode esta disciplina con las sociedades demo-cráticas y con los avances científicos y tec-nológicos.

La psicología hace su aparición en el cam-po de la educación por la vía de los tests.Su propósito, en aquel momento, era de-tectar a los niños que no estaban en posibi-lidades de seguir una escolaridad “nor-mal”, para proponerles una formaciónespecífica alternativa. La base teórica delos tests era restringida: se trataba de esca-las esencialmente descriptivas que permi-tían ubicar al individuo entre otros seme-jantes en función de su nivel de desarrollo.La evaluación diagnóstica se proponía, adi-cionalmente, hacer una predicción delcomportamiento y del éxito individual, va-lorando la medida en la que un niño o unadolescente podría alcanzar tal o cual nivelde ejecución. Estos tests diagnósticos toda-vía juegan un papel importante al interiorde la institución escolar, aunque su impac-to disminuye progresivamente.

Los instrumentos elaborados con fines diag-nósticos dieron un gran espacio a los conoci-mientos culturales y a la adaptación a la vidacotidiana, surgiendo de allí aplicaciones más

directamente relacionadas con el desempe-ño escolar y con el currículo.

Hacia mediados del presente siglo, surgie-ron, en el panorama internacional, los pri-meros encuentros que se proponían discutirresultados de la investigación psicológicaen el campo de la enseñanza y el aprendiza-je de las matemáticas, dando lugar con elloa un nuevo campo de investigación. Inicial-mente, esta nueva investigación se orientóhacia los llamados errores de comprensión.Siguiendo la antigua tradición normativa dela didáctica, estos resultados condujeron ala decisión de tratar de modificar, no las es-trategias de aprendizaje, sino las estrategiasde enseñanza que permitieran superar lasdeficiencias.

En este caso, el enfoque tenía como hipóte-sis de base una concepción del conocimien-to matemático según la cual, el significadode un enunciado es único y, en consecuen-cia, lo importante es saber transmitirlo paraque un estudiante lo comprenda. Sin embar-go, el hecho de que los estudiantes desarro-llen formas de conocimiento que no coinci-den con los contenidos escolares oficialesestá en abierto contraste con aquella supues-ta transparencia del conocimiento.

El reconocimiento de que el problema no esexclusivamente atribuible a la enseñanza in-clinó el interés investigativo hacia el estudiode las construcciones intelectuales del estu-diante, es decir, de las maneras en las que elestudiante recoge, procesa e interpreta la in-formación que recibe por diversas vías, enparticular, dentro de un contexto escolar. Elmovimiento constructivista en la educaciónfue ganando terreno, en buena medida, por-que encontró una base de sustentación teóri-ca en las tesis epistemológicas constructivis-tas de la escuela piagetiana.

41

Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas

Como veremos más tarde, la psicología de laeducación se encuentra hoy en una posiciónmuy distinta a la que le dio origen, e incluso ala que floreció dentro del paradigma piage-tiano. Tanto las investigaciones como la prác-tica docente han puesto en evidencia que:

i) Los estadios del desarrollo individual,propuestos por la teoría de Piaget, con-tienen una parte muy importante de re-sultados que apelan a conocimientosculturales. Por ello, no pueden evaluarselos logros cognitivos de los alumnos almargen de las influencias del medio.

ii) Ciertas actividades escolares pueden pre-sentar dificultades específicas, por ejem-plo, el aprendizaje de la lectura, que confrecuencia da lugar a un tipo de fracaso enalumnos intelectualmente muy dotados.

iii) El nivel intelectual medido por los testsaumenta regularmente cada cincuentaaños, lo que conduce a preguntarse porlos orígenes de este crecimiento y, dehecho, por las relaciones entre las capa-cidades que se pueden definir con inde-pendencia de las influencias del medio yde sus demandas, aportes y sanciones.

Estos hechos se encuentran entre los quehan conducido a la psicología cognitiva a es-tudiar un cierto número de actividades com-plejas, como la lectura, la composición detextos, la numeración, la resolución de pro-blemas, y otras, menos conocidas en estecampo, como la música o el dibujo. Estos es-tudios han puesto en evidencia hechos queproporcionan resultados nuevos y funda-mentales para los aprendizajes escolares.Así, la investigación en psicología cognitivano sólo ha contribuido a acrecentar nuestracomprensión de las dificultades de ciertosaprendizajes escolares, sino que ha permiti-do concebir actividades e instrumentos que

pueden —de manera modesta pero real—prevenir el fracaso escolar.

Gracias a las competencias técnicas que haelaborado durante las últimas décadas, la psi-cología puede contribuir a diagnosticar difi-cultades y a proponer actividades, pero tam-bién puede ayudar a concebir situaciones yherramientas pedagógicas nuevas, adaptan-do los resultados de la investigación y po-niéndolos a disposición de los profesores.Más aún, el cuerpo de conocimientos desa-rrollado por la psicología cognitiva permiteextender el papel de los equipos pedagógi-cos, al proporcionar elementos teóricos ymetodológicos para la elaboración de planesy programas de estudio y de secuencias di-dácticas.

A continuación, proponemos una revisiónde las principales teorías que han explicadoel aprendizaje durante el último siglo. Conello no intentamos agotar el tema, sino dar allector un mapa que le permita reconocer elpanorama teórico en el que se sitúa la defini-ción y el desarrollo de los contenidos escola-res que debe enseñar.

2. Aprendizaje y conducta

Las diversas teorías de la cognición están deacuerdo en atribuir al individuo una capaci-dad esencial: la capacidad de aprender. Lospuntos de vista divergen, empero, en lo querespecta a la naturaleza del aprendizaje.

Para los conductistas, los aprendizajes estánregidos por una serie de leyes generales quepueden ser descubiertas a partir de hechosobservables. El aprendizaje está definidocomo la modificación de la conducta por laexperiencia y el estudio del aprendizaje,como la ciencia del comportamiento. Noobstante, gradualmente los psicólogos han

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reconocido la necesidad de ir más allá de losfenómenos observables y de ocuparse de losprocesos mentales que subyacen a los com-portamientos. El concepto de conducta sevio entonces cuestionado, acotando las teo-rías conductistas clásicas.

2.1 El conductismo

El conductismo se instauró, hacia los añoscincuenta del siglo veinte, como una pro-puesta metodológica y como una teoríadel aprendizaje. Inspirado en el paradigmapositivista de la física clásica, el conductis-mo propuso un modelo de aprendizaje detipo asociativo: E → R. Los Estímulos (exter-nos) llegan al individuo quien produce lasRespuestas (internas o conductuales). Lainstalación de nuevas conductas por repeti-ción de asociaciones E → R define el apren-dizaje por condicionamiento. Éste es unproceso mecánico en el que el repertoriode comportamientos del aprendiz está de-terminado por los reforzamientos que elmedio proporciona: se recompensan y re-producen las “buenas” respuestas y las“malas” se castigan y son abandonadas.Bajo esta perspectiva, el proceso constitu-ye una forma elemental de aprendizajecuyo campo de aplicación se vincula tantocon el desarrollo de hábitos y conductas re-lacionadas con las emociones, como conaprendizajes complejos.

El condicionamiento instrumental (Skinner,1904-1990) se distingue del condiciona-miento clásico pues incorpora la actividaddel individuo. El aprendiz establece, él mis-mo, la relación entre dos sucesos, entre uncomportamiento y una respuesta. Si elcomportamiento da lugar a una satisfac-ción, será reproducido. En caso contrario,será abandonado. Esta concepción del

aprendizaje proporcionó a Skinner los princi-pios de la enseñanza programada.

2.2 Aportaciones y límites delconductismo

El esquema E → R permitió hacer progresosen el conocimiento de las leyes funcionales yelementales que rigen los aprendizajes sim-ples, pero se constituyó en un reduccionis-mo de la realidad psicológica. El hecho dehaber sido puesto a prueba en el comporta-miento animal y, principalmente, en conduc-tas motrices, limita la aportación de la teoríaconductista. Al excluir del análisis los proce-sos mentales de los individuos, y al excluir desu interés los procesos mentales internosque les da sustento, el conductismo no per-mite dar cuenta de aprendizajes complejos,como la adquisición del lenguaje o del razo-namiento lógico–matemático.

El conductismo puso el acento en la dimen-sión cuantitativa de los saberes; de ahí queprivilegió la fragmentación de los contenidosy de las tareas, y la jerarquización de los co-nocimientos, que debían ser adquiridos enun orden lineal y acumulativo, a menudo ca-rente de una visión de conjunto.

El punto más débil de este enfoque radicabaen el hecho de que se desatendía de las con-diciones en las cuales se realizan las adquisi-ciones. Sin embargo, las nuevas tendenciasdel conductismo, conocidas como neocon-ductismo, aunque mantienen las tesis bási-cas que les dieron origen, conceden que sedebe otorgar un peso en las explicaciones alpapel de los factores emotivos y mentalesdel individuo; de esta manera, buscan nosólo comprender el patrón E → R, sino expli-car también los factores de mediación queintervienen entre el estímulo y la respuesta.

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3. El niño como centro del procesode aprendizaje: el enfoquePiagetiano

Los trabajos de Piaget y de sus seguidores inau-guraron una perspectiva para el estudio delaprendizaje radicalmente nueva. Desde esemomento el niño pasó a ocupar el centro delas preocupaciones de los psicólogos de laeducación y aun del sistema educativo en suconjunto. Se puso el acento en las capacida-des cognitivas del niño que le permiten com-prender las situaciones y sacar provecho de lasenseñanzas. Sin embargo, todo sucedía comosi el desarrollo del niño siguiera un curso autó-nomo, poco o nada sensible a las influenciasdel lenguaje, de la sociedad y de la cultura.Desde la perspectiva piagetiana, la determina-ción del nivel de desarrollo del niño se volviócrucial, en tanto que este nivel condicionaba laposibilidad del niño para aprovechar tal o cualaporte de conocimientos y para operacionali-zar tal o cual modo de funcionar.

3.1 Antecedentes

Para entender la presencia de la teoría piage-tiana como una nueva manera de mirar losfenómenos de la cognición (y eventualmen-te de la educación), que reacciona ante el re-duccionismo conductista, conviene ubicar-nos en una perspectiva histórica.

En su Crítica de la Razón Pura, Kant afirmaque, al entrar en contacto con su objeto deconocimiento, el sujeto recibe impresionessensibles que somete a un proceso organiza-dor. Esto lo hace, según Kant, mediante susestructuras cognitivas innatas. Así como unlíquido adopta la forma del recipiente que locontiene, así también las impresiones senso-riales adoptan las formas que les son impues-tas por las estructuras cognitivas que las pro-

cesan; el resultado de este procesamiento esel conocimiento. La capacidad cognoscitiva(lo que es capaz de aprender y comprender)del sujeto tiene como límites aquellos que leson impuestos por el dominio de su expe-riencia.

De manera muy abreviada, podemos decirque hay dos consecuencias fundamentalesdel enfoque kantiano que incumben al pro-ceso educativo. La primera es que el cono-cimiento deja de ser concebido como re-presentación, como copia de una realidadexterna y, en su lugar, el conocimiento seconcibe como resultado de la interacciónentre el sujeto (provisto de sus estructuraso instrumentos cognitivos) y sus experien-cias sensoriales. La segunda consecuenciaes que el sujeto ya no es pasivo frente al ob-jeto de su conocimiento. A esta soluciónkantiana le hacía falta contestar a la pre-gunta: ¿de dónde provienen los instrumen-tos cognitivos que sirven para transformaren conocimiento las experiencias del suje-to?

La epistemología constructivista piagetianaha sido una de las respuestas más elaboradasa este interrogante. Sin proponérselo explíci-tamente, dicha epistemología se constituyóen una base de sustentación para el cons-tructivismo desde la perspectiva de la educa-ción. Sin embargo, las tesis epistemológicasde este constructivismo fueron, con frecuen-cia, trasladadas mecánicamente al campoeducativo dando como resultado una espe-cie de “deslizamiento” desde la epistemolo-gía hacia la didáctica.

En su versión constructivista, la epistemologíaviene provista de una base experimental cons-tituida por la historia de la ciencia y ciertos ex-perimentos psicológicos, que quedan enmar-cados en la llamada psicología genética.

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Es muy importante diferenciar con precisiónesta doble naturaleza del soporte experi-mental propio de esta versión de la episte-mología, que surgió con pretensiones de sa-car a la epistemología del terreno de laespeculación filosófica y colocarla en el cam-po de la reflexión científica.

La epistemología piagetiana está construidaalrededor de categorías básicas de la ciencia:espacio, tiempo, causalidad, principio deconservación de la materia, el número, etc.Piaget realizó investigaciones decisivas so-bre estas categorías, desde la perspectiva dela historia de las ideas, que lo llevaron a unaexplicación de la racionalidad científica concaracterísticas identificables por lo menos enel pensamiento occidental.

Sin embargo, Piaget siempre consideró nece-sario dar una sustentación experimental asus aseveraciones de orden epistemológico.Entonces, su “laboratorio epistemológico”,constituido por la historia de la ciencia se vioampliado con las investigaciones psicológi-cas que le dieron un lugar en la historia de lapsicología infantil. En este campo, Piaget diola demostración empírica de que la mente in-fantil tiene su propia lógica y no es, como sepensaba, una versión a escala de la menteadulta. Por el papel evolutivo que Piagetotorga al desarrollo cognitivo del niño, suteoría psicológica fue bautizada como psico-genética.

Uno de los resultados más conocidos de esteacercamiento teórico, que tuvo mayores re-percusiones en la enseñanza de las matemá-ticas, se refiere a la evolución del conceptode número en el niño: el acceso a la llamadaconservación parecía determinante para lacomprensión de la cardinalidad y de las ope-raciones aritméticas. Se concluía entoncesque los usos anteriores de conteo y numera-

ción sólo eran manifestaciones verbales, sininterés y sin repercusión para el aprendizaje.Con ejemplos como éste, la psicología se en-contró así, durante un breve periodo, en po-sición de determinar, al menos para ciertossectores disciplinarios, los contenidos y la or-ganización curricular de aquello que se de-bía enseñar.

La psicología piagetiana surgió en oposi-ción a la concepción conductista, buscan-do construir una ciencia de la cognición apartir del estudio empírico de la estructuray funcionamiento del sistema cognitivo.Este acercamiento se presenta, ante todo,como una psicología del conocimiento. Po-demos pasar la psicología piagetiana por elcristal de la epistemología correspondien-te. Dicha psicología, como hemos visto,responde a las necesidades del programaepistemológico como parte sustancial de sumetodología. Lo que vemos, una vez pasadala psicología por ese cristal, son las compo-nentes estructuralista, constructivista e inte-raccionista de dicha teoría psicológica.

3.2 La componente estructuralista

Para Piaget, el aprendizaje consiste en el pa-saje de un estado de menor conocimiento aun estado de mayor conocimiento. Piagetpostula la existencia de una serie de organi-zaciones internas de la experiencia y de la in-formación previa del sujeto (sus estructurascognitivas), que son cada vez más poderosasy permiten integrar la información de modoscrecientemente complejos. Las estructurascognitivas evolucionan hacia un pensamien-to cada vez más estable, que es capaz de in-corporar en sus explicaciones un númerocreciente de situaciones del mundo físico ydel entorno cognitivo. Piaget intenta explicarlos mecanismos de adquisición y de utiliza-

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ción de los conocimientos a partir de la géne-sis de las operaciones lógico–matemáticassubyacentes a toda actividad intelectual.

Las etapas sucesivas del desarrollo cognitivodel niño, son el resultado –según Piaget– dela experiencia y de la acción del sujeto queactúan como motores de la construcción, eincluso de la reconstrucción, de las represen-taciones internas que el niño se hace del me-dio físico, inicialmente percibido y compren-dido de manera intuitiva.

Piaget sostiene que, en lo esencial, el desa-rrollo cognitivo parte de la puesta en marchade conocimientos concretos, sostenidos pri-mero en representaciones inmediatas y pos-teriormente en hipótesis (construcción de lainteligencia abstracta). Se trata de un largoproceso de organización del mundo marca-do por adquisiciones relacionadas con losconocimientos y con la utilización de siste-mas de relaciones entre los objetos (clasifica-ciones, seriaciones), entre los objetos y el su-jeto (el tiempo y el espacio), y finalmenteentre los objetos, el sujeto, el tiempo y el es-pacio.

3.3 La componente interaccionista

Los progresos en la adquisición del conoci-miento resultan, en realidad, de una cons-trucción en la que el sujeto es responsable di-recto de su aprendizaje. Actuando sobre elmedio, el sujeto reconstruye el mundo físicoy social que le rodea, lo representa y lo obje-tiviza. En uno de sus primeros libros (1923),Piaget logró expresar esta posición de mane-ra muy elocuente:

(...) el conocimiento del mundo exteriorcomienza por una utilización inmediatade las cosas (...) la inteligencia no co-mienza así ni por el conocimiento del

yo ni por las cosas en cuanto tales sinopor su interacción y orientándose simul-táneamente hacia los dos polos de esainteracción, la inteligencia organiza almundo organizándose a sí misma (Pia-get, 1983).

El conocimiento se define entonces como elproducto de la elaboración de la experiencia ala que se confronta el sujeto.

El ser humano está condicionado por su en-torno físico y social. Las perturbaciones queresultan de la interacción con su entorno,tanto social como material, le plantean la ne-cesidad de construir estructuras cognosciti-vas, que cada vez respondan mejor a los pro-blemas que le plantea su medio.

La adaptación del sujeto al medio (social ymaterial) pone en juego dos mecanismosfundamentales: la asimilación y la acomoda-ción. La asimilación consiste en una familiari-zación de los datos del mundo exterior conel fin de hacerlos integrables a la estructurapropia del sujeto; el entorno entonces “tien-de a conformar” la estructura del niño. A lainversa, la acomodación corresponde a unajuste del sujeto a los datos del entorno.

Los dos procesos, asimilación y acomoda-ción, son indispensables e interactuantes a lolargo de todo el desarrollo pues van contri-buyendo al logro de estructuras cognosciti-vas que progresivamente permiten al sujetouna mejor interacción con su mundo mate-rial y sociocultural.

3.4 La componente constructivista

Al señalar el lugar de la actividad como fac-tor determinante del incremento en los co-nocimientos, Piaget recuerda que la madura-ción y la influencia social no son ajenas a esteproceso. El desarrollo de los aprendizajes es

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igualmente la consecuencia de un cuarto fac-tor: la equilibración.

La equilibración de las estructuras cognitivastraduce el pasaje de un estado de menorequilibrio que resulta de respuestas del suje-to a las perturbaciones exteriores, hacia unestado de equilibrio superior que correspon-de a posibilidades nuevas derivadas de unaestructura cognitiva más poderosa. Así, en eldominio del desarrollo lógico-matemático,ilustrado por la adquisición de las conserva-ciones, Piaget muestra que, en el curso deldesarrollo, el niño pasa por tres momentosclaves: las perturbaciones (en el caso de laconservación de la sustancia, constata el alar-gamiento de una salchicha de arcilla y suadelgazamiento, pero no conecta todavía es-tos dos fenómenos); las compensaciones (elniño puede ahora asociar o coordinar los dosdatos: alargamiento y adelgazamiento), final-mente, la puesta en correspondencia mate-mática (no se quita ni se agrega nada, el alar-gamiento de la salchicha proviene de lo queha perdido de espesor). En el conjunto del de-sarrollo, los progresos en el conocimiento re-sultan de una construcción en la que el sujetoes actor de sus aprendizajes en interaccióncon el mundo. La concepción del aprendiza-je es resueltamente constructivista. Actuandosobre el medio, el sujeto reconstruye el mun-do físico y social que le rodea, lo objetiviza ylo representa.

3.5 Aportes de la teoría piagetiana ala educación

Aunque Piaget se haya interesado mucho enla educación, su trabajo no contempla explí-citamente este campo de acción. No obstan-te, el modelo de desarrollo intelectual quepropone, ofrece un cuadro de reflexión útilpara la educación. Tan es así que la puesta en

evidencia, que logra Piaget, del papel delconflicto cognitivo confiere al acercamientopiagetiano una dimensión educativa consi-derable. El conflicto cognitivo expresa la ideasegún la cual la toma de conciencia por partedel individuo de que existe una respuesta di-ferente a la suya en una situación particularprovoca una tensión interna de naturalezacognitiva.

Piaget proporciona un ejemplo de esta si-tuación con el concepto de conservación.Las conservaciones ponen al descubiertola existencia de algo invariante bajo el efec-to de alguna transformación. En la práctica,se presenta al sujeto dos entidades A y B,perceptualmente iguales (por ejemplo, dosrecipientes idénticos que contienen la mis-ma cantidad de líquido). Se obtiene elacuerdo del niño sobre esta igualdad. Des-pués se mantiene A sin cambio mientrasque B se transforma en B’ por una modifica-ción que sólo afecta la apariencia percep-tual (por ejemplo se trasvasa el líquido de B

a B’ que es un recipiente más largo y másestrecho). Se le pregunta al niño si B’ esigual a A. Las respuestas varían en funcióndel estadio de desarrollo: en un primer es-tadio (estadio pre–operatorio), el niño secentra en una sola de las dos dimensionessin coordinarlas entre sí (por ejemplo, tomaen cuenta la altura del recipiente, pero “ol-vida” constatar que lo más alto es tambiénmás estrecho). A partir de cierto momentoen su desarrollo, el niño se centra en dos di-mensiones a la vez y logra coordinarlas. Deeste modo logra vencer al conflicto cogniti-vo suscitado por la situación que se le hapresentado.

Piaget definió a la escuela como un entornoque debe estimular y favorecer el proceso deauto–construcción; el profesor, convertidoen un mediador entre los conocimientos y el

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aprendiz, debe facilitar el descubrimiento denociones y la elaboración del saber y del sa-ber–hacer, más que presentarlos bajo unaforma preestablecida. El maestro tradicio-nal pone el acento en los aspectos figurati-vos del pensamiento y considera el desa-rrollo cognitivo como una acumulaciónlineal de conocimientos o técnicas enciclo-pédicas. La concepción heredada del mo-delo piagetiano es muy diferente: se refierea aprender a pensar y a valorar los aspectosoperativos del pensamiento (procesos in-ternos, operaciones mentales), a hacer ex-perimentar al niño, a favorecer la manipula-ción con el fin de hacer surgir leyesgenerales. Según esta concepción, la sim-ple observación de la realidad es insuficien-te para la estructuración de los conoci-mientos. La actividad desplegada por elaprendiz se convierte así en una poderosafuente de motivación, necesaria para laconstrucción del conocimiento.

3.6 Los límites del modelo piagetiano

El modelo piagetiano tiene sus límites. Unode ellos, que surge cuando se trata de tras-ladar sus aportes al campo educativo, con-siste en que no es una teoría de la construc-ción escolar. La teoría piagetiana esesencialmente una teoría epistemológica,y como tal minimiza el papel de la culturaen la cognición. Muchos de sus resultadoscognitivos son presentados como indepen-dientes de la cultura a la cual pertenezcanlas personas. Se supone que el pensamien-to es algo que ocurre exclusivamente en lacabeza de los individuos, que la compren-sión del mundo depende sólo de las estruc-turas lógicas dentro de las cuales se integratoda la experiencia. Esta posición es alta-mente reminiscente de la posición kantia-na según la cual toda la experiencia se pasa

por el molde de las estructuras cognitivasque son intrínsecas a los individuos. Al sub-ordinar de este modo el aprendizaje, Pia-get desestima el papel de los sistemas derepresentación (lenguaje, memoria,...).Ahora bien, un sujeto que busca adaptarsea situaciones del entorno debe, ante todo,manipular la información simbólica. De allíla importancia del lenguaje y de los demássistemas semióticos de representación. Porotra parte, al dar un lugar predominante ala actividad del sujeto Piaget no concedetoda la importancia al papel que juegan lasdiferencias entre individuos y que son re-sultado de las influencias sociales.

Las teorías educativas actuales sostienenque las personas han de ser concebidasdentro del marco de una relación dialécticacon sus tradiciones, bajo la influencia de va-lores e ideas y, al tiempo, como modelado-ras de esas tradiciones. Quizá pueda decir-se que la cultura es resultado de lasinteracciones dialécticas entre la cognicióny las tradiciones. Una persona no alcanza sumayor grado de desarrollo cognitivo si noexiste una dinámica externa a ella que la es-timula a lograrlo. No puede explicarse el de-sarrollo cognitivo sólo desde la perspectivade una dinámica que proviene de la intimi-dad del individuo.

4. Aspectos sociocognitivos delaprendizaje: la teoría deVygotsky

Comprender el papel del entorno social enel aprendizaje del individuo es una de lasambiciones mayores de la psicología de laeducación.

Las corrientes de investigación que compar-ten la tesis de que la interacción del indivi-

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duo con el medio social es determinante desus adquisiciones cognitivas, se apartan delos acercamientos que privilegian la dimen-sión intra–individual del aprendizaje (comola teoría piagetiana). Al hacer explícita la in-fluencia de variables sociales y culturales enel funcionamiento cognitivo del individuo,las corrientes sociocognitivas renuevan la re-flexión sobre la organización de las situacio-nes escolares.

4.1 El modelo sociocultural

Las tesis desarrolladas por Vygotsky sobre laconstrucción social de las funciones cogniti-vas tienen hoy día una repercusión importan-te en la psicología del desarrollo. Igualmente,inspiran el campo de la educación por el pa-pel relevante que atribuyen a la intervencióndel adulto en la progresión de los aprendiza-jes del estudiante.

Vygotsky inscribe la pregunta sobre el de-sarrollo cognitivo en una perspectiva a lavez histórica y cultural. La tesis de la inter-nalización de las capacidades humanas in-siste en el hecho de que, en el origen deldesarrollo, los conocimientos que se van aadquirir son exteriores al individuo y estánmaterializados en las obras humanas: la li-teratura, las obras de arte, el lenguaje y de-más sistemas semióticos de representa-ción. El desarrollo cognitivo se concibeentonces como la apropiación, por partedel individuo, de las actividades humanasdepositadas en el mundo de la cultura. Elmundo social influye en el sujeto a travésde otros sujetos, de los objetos sociocultu-rales, de las prácticas que han sido creadaspor generaciones anteriores. Dos compo-nentes tienen un papel primordial en esteproceso: los sistemas semióticos de repre-sentación y la interacción social.

4.2 Los sistemas semióticos derepresentación

Para Vygotsky, el desarrollo de las funcionesmentales superiores –la memoria, el lenguaje,la conciencia– sólo es posible a través de lossistemas semióticos, por ejemplo, la escritura,los números, el habla. Verdaderos instrumen-tos de la construcción psicológica, los siste-mas de signos tienen, en el tratamiento del co-nocimiento, un papel análogo al de lasherramientas técnicas en la manipulación delmundo físico. En la perspectiva Vygotskyana,el aprendizaje de los sistemas de signos esuna apuesta capital del desarrollo individual.El papel de los signos es fundamental, en lamedida en que hacen posible la “duplicación”interna del mundo. Es necesario el recurso deun sistema semiótico de representación (ellenguaje natural es el ejemplo prototípico)para pensar en las representaciones mentalesde la persona. Las representaciones mentales,pues, no son independientes de la asistenciade un sistema de representación externa.Tampoco es posible la comunicación sin di-chos sistemas. Tomemos como ejemplo típi-co la escritura, cuya apropiación y dominiono sólo permite expresar el pensamiento sino,sobretodo, organizarlo y regularlo.

4.3 De lo inter-individual a lointra-individual

Vygotsky subraya que las actividades lleva-das a cabo bajo la tutela del adulto son lasque, en primer lugar, permiten los aprendiza-jes del niño. Los individuos progresan porapropiación de la cultura en las interaccionessociales. El descubrimiento del entorno, la ac-ción sobre los objetos, pero también y sobre-todo, la apropiación de los sistemas semióti-cos dependen de la mediación del otro.También las interacciones con los pares más

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competentes, lejos de frenar el desarrollo deun pensamiento autónomo, le son necesarias.

Para el conjunto de estas dimensiones, el de-sarrollo cognitivo resulta de una doble for-mación: primero externa y después interna,en un movimiento que va de lo social a lo in-dividual. Las capacidades del niño se mani-fiestan primero en una relación inter-indivi-dual donde el entorno social asegura latutela sobre el niño descrita por Bruner(1983) como “un proceso de asistencia o decolaboración entre el niño y el adulto”. Ladetonación y el control individual (autorre-gulación) de las actividades sólo aparecenen un segundo tiempo, como resultado deun proceso de internalización favorecido porla repetición de las interacciones sociales.Así, “cada función aparece dos veces en el de-sarrollo cultural del niño […]: primero entre in-dividuos (inter–psicológico) y, después, den-tro del niño (intra–psicológico)” (Vygotsky,1986).

El lenguaje es el instrumento psicológico deprimer orden que ocupa un lugar de privile-gio en este esquema de desarrollo. Las pri-meras conductas y formas lingüísticas surgeny se desarrollan en el marco de situacionesiniciales de comunicación del niño con suentorno. Por medio de la interacción con losotros, el lenguaje cumple una función exter-na, que será progresivamente perfecciona-da. Por ejemplo, en el desarrollo de los niños,el lenguaje exterior es internalizado transfor-mándose entonces en lenguaje llamado ego-céntrico. De este modo, se convierte para elniño en un modo de organizar sus propiasacciones sobre el mundo. A medida que evo-luciona el lenguaje internalizado, se va tor-nando una herramienta intelectual, un instru-mento de planificación y de regulación de lasactividades mentales.

La naturaleza del lenguaje egocéntrico en eldesarrollo es un punto de divergencia entrePiaget y Vygotsky: para Piaget, es un signode inmadurez destinado a evolucionar; paraVygotsky, es el instrumento de pensamientodestinado a progresar. Deben mencionarse,empero, los comentarios de Piaget en res-puesta a las críticas de Vygotsky (véase lanota a pie de página, pp. 214-215, enVygotsky, 1986), en los cuales modifica susposiciones originales de la década de losveinte, expuestas en su obra El Lenguaje y elPensamiento en el Niño, de 1923.

4.4 Desarrollo cognitivo y educación

El acercamiento Vygotskyano invierte el or-den de las relaciones entre desarrollo, apren-dizaje y educación, propuesto por Piaget. Enla concepción piagetiana, las capacidades deaprendizaje dependen del nivel de desarro-llo del individuo. En otras palabras, el desa-rrollo cognitivo condiciona las capacidadesde aprendizaje. Vygotsky sostiene, por suparte, la causalidad inversa: “La característicapredominante de nuestra hipótesis es la no-ción de que los procesos de desarrollo nocoinciden con los de aprendizaje sino que si-guen a estos últimos” (Vygotsky, 1986).

En la edad escolar, los aprendizajes de ordensuperior, forman la substancia del desarrollocognitivo. Este último es una consecuenciatributaria de los aportes de la enseñanza: eldesarrollo en la edad escolar sólo es posiblegracias a la enseñanza, las funciones psíqui-cas sólo pueden desarrollarse gracias a ella.A partir de aquí, la atención a las necesida-des del niño debe identificarse con la satis-facción de sus necesidades cognitivas. Enesta lógica, Schneuwly (1995) traza tres lí-neas directrices para la enseñanza escolar: laruptura con la experiencia común del sujeto;

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la descontextualización de los contenidos yla diferenciación de las disciplinas. Por unaparte, sólo las situaciones de ruptura con laexperiencia cotidiana pueden dar las condi-ciones de acceso a las formas superiores delsaber y del saber–hacer; por otra parte, la ge-neralización de las nociones y su descontex-tualización sólo pueden ser verdaderamenteaprendidas dentro del marco de las discipli-nas formales que organizan los conocimien-tos en sistemas lógicos.

Son los procesos de ruptura con la experienciacotidiana y los procesos de descontextualiza-ción los que aseguran el acceso a los concep-tos científicos. En la manipulación cotidiana delos objetos, el niño construye nociones sobreel mundo, los conceptos llamados espontá-neos reflejan un conocimiento concreto, unapráctica ateórica, con validez sólo local. La ac-tividad escolar, en el marco de las disciplinas,permite al alumno la construcción de los con-ceptos científicos y su manipulación teórica.

4.5 La zona de desarrollo próximo

Considerar que el aprendizaje es la condi-ción del desarrollo no significa que cualquieraprendizaje es posible en cualquier momen-to. La tesis de Vygotsky significa sobre todoque las capacidades de aprendizaje de unniño no deben ser confundidas con el nivelcognitivo que tiene en un momento dado. Enun dominio cualquiera, existe un espacio po-tencial de progreso en el que las capacida-des individuales pueden ser sobrepasadas sise reúnen ciertas condiciones. La asistenciadel otro es una de estas condiciones. Este po-tencial de aprendizaje que se actualiza en lainteracción social, define uno de los concep-tos centrales de la teoría de Vygotsky: la zonade desarrollo próximo. La zona de desarrollopróximo es una componente crucial del pro-

ceso de desarrollo porque “presagia” y pre-para lo que el niño más tarde realizará por sísolo: “lo que un niño puede hacer hoy en co-laboración con otro, lo podrá hacer solo ma-ñana” (Vygotsky, 1986). El aprendizaje ante-cede al desarrollo: la zona de desarrollopróximo asegura la vinculación entre ambos.

Favorecer las adquisiciones en el niño signifi-ca para el adulto llevar a cabo una transiciónde la actividad tutelar (o de conducción ex-terna) a la actividad autónoma (de auto–con-ducción). Para hacer esto, debe ajustar loscontenidos y las condiciones de instrucción,no a las capacidades actuales del niño, sino asu potencial de progreso. Así, para el conjun-to de las adquisiciones, el adulto (en particu-lar, el maestro) tiene la tarea compleja de tra-bajar sobre la base de la experiencia y de lasposibilidades del niño. Relacionadas con laenseñanza escolar, estas orientaciones de-signan las interacciones maestro–alumnocomo el eje esencial de la organización pe-dagógica del aula.

4.6 Preguntas para la Educación

La tesis Vygotskyana tiene el interés princi-pal de considerar la intervención socialcomo el factor predominante del progresocognitivo. Es necesario medir las implica-ciones de tal posición para la educación es-colar. La organización sociocognitiva delas situaciones escolares es una de las preo-cupaciones centrales de los autores que seinspiran hoy en Vygotsky e intentan prolon-gar sus tesis. Por ejemplo, para autorescomo Wertsch (1993) y Cole (1999), la psi-cología cultural tiene entre sus ejes articu-ladores el que las personas son agentes ac-tivos pero actúan en contextos que no sonsiempre de su elección –como la escuela,por ejemplo.

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Los investigadores tienen la tarea de com-prender cómo se articulan las dinámicas so-ciales e individuales en el desarrollo cogni-tivo. Particularmente, en relación a la proble-mática de la enseñanza y el aprendizaje en elaula, hay dos temas que merecen particularatención. El primero es la interacción tutelarmaestro–alumno(s), situación de enseñanzay aprendizaje muy difícil de operacionalizar.Los ejemplos suministrados por la orienta-ción de los aprendizajes iniciales del niño pe-queño en el ambiente familiar se puedentransponer sólo parcialmente al aula; las mo-dalidades de organización de la tutela esco-lar requieren de investigaciones específicasen profundidad. El segundo tema que es ne-cesario estudiar en detalle es el de la zona dedesarrollo próximo como “espacio de inter-vención didáctica”. La evaluación del poten-cial de aprendizaje del alumno, es decir, laestimación del progreso del que es capaz enuna situación tutorial, es una de las dimensio-nes críticas de la puesta en funcionamientoescolar de esta noción.

La influencia del contexto escolar sobre losdesempeños cognitivos del alumno ha sidoanalizada, en el pasado reciente, sólo enfunción de las condiciones de trabajo delalumno. Hoy en día, la atención se dirigehacia las características sociales de las si-tuaciones escolares y hacia los significadosque tienen estas situaciones para el alum-no. Los trabajos de la psicología social de lacognición proponen un análisis relevantede esta problemática.

La actividad cognitiva no depende sólo delas propiedades intrínsecas del objeto de co-nocimiento, sino también de las condicionessociales en las que tiene lugar. Pero la dimen-sión epistémica y la dimensión social no es-tán desvinculadas: los objetos de nuestrosaprendizajes siempre están social y cultural-

mente definidos. Se aprende en contextos so-ciales en donde no hay “objetos intrínsecos”,sino objetos que tienen funciones y significa-ciones atribuidas por la sociedad. Además, lacognición necesita un fuerte soporte de losinstrumentos de representación y mediación,como lo son el lenguaje natural y los sistemassemióticos de representación. Desde estaperspectiva, hay que ampliar la noción decognición y no verla tan sólo como “algo queocurre en la cabeza del individuo” sino comoalgo que tiene una indudable connotación so-ciocultural. La cognición de un individuo searticula dialécticamente con la cognición delos demás, dando lugar a aquello que pode-mos llamar la mentalidad de una sociedad.

5. Las interacciones cognitivasen el aprendizaje escolar

Las teorías seminales de Piaget y Vygotskyhan dado lugar a una serie de variantes teóri-cas, ya clásicas, que buscan resolver las insu-ficiencias de los acercamientos iniciales paraexplicar, sobre todo, los procesos escolares.

La influencia benéfica de las interaccionessociales para las adquisiciones cognitivas hasido demostrada experimentalmente por lascorrientes de la psicología social del desarro-llo cognitivo. El aporte principal de este pun-to de vista, es haber puesto en primer planoel papel que tiene el conflicto cognitivo parala construcción del conocimiento. En el pla-no de la educación escolar, la demostraciónde la efectividad de las confrontaciones en-tre los alumnos abre perspectivas de gran in-terés didáctico.

5.1 El conflicto sociocognitivo

El acercamiento social del desarrollo cogniti-vo considera las interacciones sociales como

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centrales para las adquisiciones cognitivas.En ciertos momentos claves para el desarro-llo, se sostiene, las adquisiciones encuentransu origen principalmente en la confrontaciónde las acciones o de las ideas entre personas.Las adquisiciones engendradas socialmente enlas interacciones, serán interiorizadas para suposterior movilización individual (de lo inter alo intra–individual).

Los estudios experimentales realizados en estemarco teórico (por ejemplo, los trabajos de Pe-rret-Clermont, 1996) han mostrado que, paraalcanzar el progreso cognitivo, las interaccio-nes sociales deben dar lugar al conflicto socio-cognitivo. Ante una situación problema por re-solver, los participantes en una interaccióndeben, por una parte, presentar diferentes cen-traciones cognitivas (puntos de vista, métodos,respuestas,…) y, por otra parte, buscar una res-puesta común al problema. La oposición socialde puntos de vista caracteriza al conflicto so-ciocognitivo y es el pivote de la interacción.

El conflicto sociocognitivo integra dos con-flictos:

a) Por una parte, un conflicto inter–indivi-dual (y por lo tanto social) generado porla oposición de respuestas al problemaplanteado, y por otra parte,

b) Un conflicto intra–individual, de natura-leza cognitiva, resultante de la toma deconciencia por el individuo de una res-puesta contradictoria, que le incita a du-dar de la suya.

La dimensión social del conflicto es funda-mental. La expresión y la confrontación direc-ta de los argumentos en la interacción socialvuelven más tangible y más dinámico al con-flicto cognitivo intra–individual. Adicional-mente, la superación del desequilibrio cogniti-vo intra–individual, probablemente se facilita

por la búsqueda de una respuesta común queresuelva el conflicto interindividual. En suma,el conflicto sociocognitivo favorece la activi-dad cognitiva.

Las condiciones del conflictosociocognitivo

Para que el conflicto sociocognitivo sea efi-caz y dé lugar a progresos individuales, sufuncionamiento debe cumplir otras condi-ciones además de la heterogeneidad inicialde respuestas y la coordinación final de losparticipantes. Las investigaciones han puestoen evidencia la importancia de dos gruposde restricciones, uno relacionado con las ca-pacidades individuales de los protagonistas,y el otro con el desarrollo de la interacción.

En cuanto a las capacidades individuales, elconflicto sociocognitivo sólo puede ser fuen-te de progreso a partir del momento en elcual se dispone de capacidades mínimas,unas de orden cognitivo, necesarias para to-mar conciencia de las diferentes respuestas ypara establecer la naturaleza de la contradic-ción; y otras de orden sociocognitivo que lepermitan insertarse en una interacción socio-cognitiva.

El conflicto sociocognitivo no implica, comosolución, la adopción mimética o compla-ciente de un punto de vista diferente. La in-teracción debe dar lugar a un compromisoactivo de cada uno de los participantes enla confrontación de argumentos y su coor-dinación en una respuesta única. La nego-ciación debe desarrollarse bajo la forma deintercambios que permita una co–elabora-ción real de la respuesta final. Ciertas mo-dalidades relacionales pueden obstaculizarla expresión del conflicto sociocognitivo ysu efectividad: trabas en la comunicación,acuerdos por complacencia o por sumi-

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sión, etc. Estas formas de regulación del in-tercambio reducen la confrontación inte-rindividual y resultan ineficaces. De ahí laimportancia de organizar las interaccionesde acuerdo a una relación de simetría entrelos participantes, es decir, sobre la base deuna igualdad de roles en los intercambios,una disposición que puede ser difícil de ob-tener cuando hay algún participante muyaventajado. En este último caso, se produ-ce una colonización del universo mentaldel estudiante menos aventajado a manosdel más aventajado.

En suma, si la heterogeneidad de respues-tas de los participantes es una condiciónineludible para la instalación de un conflic-to sociocognitivo, ésta no garantiza suefectividad. En el marco experimental, al-gunas veces el adulto se ve obligado a in-tervenir para suscitar una dinámica de con-flicto, hacer explícitas las oposiciones,impulsar los intercambios, etc. Es decir, laexistencia de un conflicto no genera auto-máticamente la dinámica que conduce a susuperación.

Los progresos cognitivos

Cuando se satisfacen las condiciones de de-sarrollo de un conflicto sociocognitivo, las in-teracciones entre los alumnos permiten acada uno de los participantes progresar másallá que los sujetos del mismo nivel inicialque actúan solos. Los efectos de la interac-ción se ponen de manifiesto en el progresoindividual y no en la mejoría en la actuacióncolectiva, que podría buscarse en ciertas si-tuaciones de trabajo en grupo. La solidez delos progresos se aprecia en función de trescriterios:

a) la generalización de la adquisición denociones similares

b) la estabilidad de la adquisición en eltiempo

c) el perfeccionamiento de los argumentosy de las justificaciones (la producción deargumentos nuevos representa un pro-greso cognitivo auténtico).

5.2 Interacciones sociocognitivassimétricas

La utilización del término “interacciones si-métricas” corresponde esencialmente a lassituaciones cognitivas en donde los roles yestatus de los participantes se conciben demanera equitativa. La igualdad de los roles,sin embargo, no implica necesariamenteque los individuos pongan en acción fun-cionamientos cognitivos similares.

La cooperación

Esta interacción es parecida al conflicto socio-cognitivo por la semejanza de objetivos entrelos participantes, pero se diferencia por la au-sencia de conflicto en la interacción. La situa-ción de cooperación se manifiesta como unfactor de progreso si equivale a una combina-ción real de esfuerzos y no una simple yuxta-posición de acciones individuales. Si una inte-racción colaborativa parece a priori más fácilde lograr que una interacción con conflicto,alcanzar una colaboración auténtica, es deciruna coacción coordinada, concertada y noconflictiva, plantea a menudo serios proble-mas, tanto a niños como a adultos. La colabo-ración no se impone desde el exterior; es po-sible reducir las divergencias cognitivas osociales, y hacer necesarias las estrategias co-laborativas entre los participantes, en funciónde lo que está en juego y de la naturaleza dela tarea. En el marco escolar, la edad de los su-jetos puede representar el obstáculo princi-pal. Los estudios del desarrollo social del niño

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indican, en efecto, que habría que esperar elprincipio de la adolescencia para observaruna predominancia de conductas colaborati-vas sobre las conductas egocéntricas.

El aprendizaje en grupo

De manera general, los resultados de las in-vestigaciones favorecen la conclusión segúnla cual el trabajo colectivo es un factor deprogreso cognitivo. Sin embargo, en ciertassituaciones de co–acción, los aportes decada uno de los miembros del grupo son me-nores que las de los sujetos cuando trabajansolos. Esto ocurre cuando en situaciones decooperación, la acción colectiva correspon-de a la adición de las contribuciones aisladasde los participantes. Con cierta frecuenciaaparecen condiciones de orden social queson difíciles de trasladar a los contextos esco-larizados tradicionales. En el plano cognitivo,por ejemplo, son raras las nociones que pue-den provocar una oposición de puntos devista. Esto se debe, en parte, a los estrictoscontroles que se ejercen durante el desarro-llo de las actividades consideradas como“educativas”. Enfaticemos que esto, más queuna limitación del enfoque articulado alrede-dor de la presencia de un conflicto cognitivo,es resultado de la inercia del sistema educati-vo más tradicional, que no favorece la discre-pancia (véanse por ejemplo los estudios rea-lizados por Cobb y Yackel, PME Brasil, 19,sobre las normas “sociomatemáticas” del sa-lón de clase).

En suma, si bien numerosos resultados reve-lan el interés del trabajo colectivo para mejo-rar las competencias cognitivas individuales,no hay que idealizar su papel y sus efectos enel contexto escolar cotidiano, por lo menosmientras estos contextos no sufran modifica-ciones de fondo. Sería ilusorio, en las actua-les condiciones, considerar que el simple he-

cho de “poner a trabajar” juntos a los alum-nos garantiza automáticamente un progreso,si no se modifican sustancialmente las rela-ciones y los acuerdos de trabajo en el salónde clases.

Los límites de la eficacia del trabajo en grupono deben alejar al maestro del interés queofrece el tratamiento social de los conoci-mientos y de las tareas escolares. La organi-zación de situaciones tutoriales puede per-mitir a los alumnos poco aventajados,beneficiarse del trabajo con los alumnos másavanzados. Dado el interés de los maestrospor el trabajo en grupo, es deseable tenermayor investigación sobre el tema, que reto-me los estudios psicológicos, para trazar losmarcos de adecuación de las interaccionessociocognitivas en el aula. Estas investigacio-nes son tanto más necesarias cuanto que unaorientación sociocognitiva de la enseñanzaimplica una evolución bastante radical delmodo de aproximarse al alumno y de la con-cepción de la clase.

5.3 Las interacciones sociocognitivasasimétricas

A diferencia de las anteriores, las interaccio-nes asimétricas corresponden a circunstan-cias cognitivas en donde se pone el énfasisen la imitación o la tutela que reproduce unasituación experto-novicio o maestro-apren-diz. Este tipo de situaciones están ancladasen el concepto vygotskyano de zona de de-sarrollo próximo.

La interacción tutorial

Este tipo de interacción se caracteriza poruna asimetría del estatus y de los roles entrelos participantes: un tutor (el experto) se en-cuentra en interacción sociocognitiva con unaprendiz (el novicio) para ayudarle a realizar

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una tarea o a adquirir una noción. Las dife-rencias en el saber y en el poder entre losparticipantes puede ser de una importanciavariable. Así por ejemplo, en una interacciónentre alumnos, los participantes pueden pro-venir de niveles escolares sucesivos o muyalejados.

Las situaciones tutoriales reúnen procesos detransmisión y de adquisición de saber y de sa-ber–hacer. Si bien el objetivo prioritario deesta interacción es el “efecto novicio”, es de-cir el progreso del aprendiz, un beneficio se-cundario que se alcanza es el “efecto tutor”,es decir un mejoramiento de las capacidadescognitivas del tutor. Los progresos del tutor seexplican por la movilización de procesos cog-nitivos subyacentes a actividades sociocogni-tivas (de interacción con el aprendiz) y meta-cognitivas (explicaciones, reformulaciones)requeridas por una situación tutorial.

5.4 La teoría de las situacionesdidácticas

Con una clara influencia piagetiana, G. Brous-seau (1986) desarrolló una teoría del aprendi-zaje matemático fuertemente anclada en loscontenidos y la estructura lógica de la mate-mática, pero que recoge algunas de las ca-racterísticas de los acercamientos interaccio-nistas mencionados arriba.

Para Brousseau, desde la concepción másgeneral de la enseñanza, el saber es una aso-ciación entre buenas preguntas y buenas res-puestas. Sobre esta base, el énfasis del acer-camiento radica en la identificación y eldiseño de las “buenas preguntas” que gene-ren los conflictos cognitivos y sociocogniti-vos detonadores del aprendizaje; estas “bue-nas preguntas” constituyen las situacionesdidácticas.

La teoría de las situaciones didácticas pone alprofesor en una interacción asimétrica conrespecto a los estudiantes puesto que es élquien conoce los propósitos y efectos didác-ticos de la situación presentada. Sin embar-go, en el desarrollo de la actividad cognitiva,los participantes desarrollan una interacciónsimétrica en la búsqueda de soluciones a lasituación planteada.

La teoría se completa con un estudio minu-cioso de los distintos factores que determi-nan el sistema educativo en su conjunto: elobstáculo didáctico, la situación-problema,el contrato didáctico, las paradojas de la in-teracción didáctica, la situación adidáctica,etc.

La situación problema

La situación-problema constituye el punto departida de las situaciones didácticas. Definidacomo una situación didáctica fundamental,pone en juego, como instrumento implícito,los conocimientos que el alumno debe apren-der. La situación-problema es el detonador dela actividad cognitiva; para que esto sucedadebe tener las siguientes características:

a) Debe involucrar implícitamente los con-ceptos que se van a aprender.

b) Debe representar un verdadero proble-ma para el estudiante, pero a la vez,debe ser accesible a él.

c) Debe permitir al alumno utilizar conoci-mientos anteriores

d) Debe ofrecer una resistencia suficientepara llevar al alumno a poner en dudasus conocimientos y a proponer nuevassoluciones

e) Debe contener su propia validación.

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La resolución de la situación-problema supo-ne una serie de interacciones simétricas en-tre estudiantes y de interacciones asimétri-cas entre los estudiantes y el profesor, perotambién supone la superación de un conflic-to cognitivo interno del sujeto entre sus co-nocimientos anteriores y los que resuelven lasituación planteada.

6. Cognición y educaciónmatemática

Es difícil analizar, por su profusión, todas lascorrientes teóricas sobre el aprendizaje quehan tomado cuerpo en la educación mate-mática; describiremos someramente algunasde las más significativas.

6.1 La Mediación Instrumental

La especie humana elabora herramientas conpropósitos deliberados. Mediante la produc-ción de herramientas hemos alterado nuestraestructura cognitiva y adquirido, por así decir-lo, nuevos órganos para la adaptación al mun-do exterior. Existen evidencias sólidas quemuestran cómo, el desarrollo del cerebro ennuestra especie constituye una adquisicióntardía, posterior al bipedalismo y en conso-nancia con el empleo de herramientas. A par-tir de la fabricación y empleo de herramien-tas, el tamaño del cerebro se triplicó (Brunner1995, p. 46). Puede decirse que el cambiomás importante ocurrido al hombre duranteel último medio millón de años ha sido alo-plástico, es decir, ha sido un cambio produci-do por sus relaciones con sistemas externosde ejecución, herramientas materiales prime-ro, y posteriormente signos y sistemas de re-presentación orales y de registro escrito.

En la actualidad, las teorías de la cogniciónde mayor impacto en los contextos educati-

vos, han reconocido la pertinencia del princi-pio de mediación instrumental que podemosexpresar de la siguiente manera: todo actocognitivo está mediado por un instrumentoque puede ser material o simbólico.

En este principio (Wertsch, 1993) convergentanto la naturaleza mediada de la actividadcognitiva, como la inevitabilidad de los recur-sos representacionales para el desarrollo dela cognición. No hay actividad cognitiva almargen de la actividad representacional.

La fuerza de este principio puede ilustrarsede diversos modos. Por ejemplo, en términosfilogenéticos (desarrollo de la especie) sepuede describir ampliamente toda la historiade construcción de instrumentos y utensiliosen las culturas que solemos llamar primitivas;puede ilustrarse fehacientemente la insepa-rabilidad de la actividad cognitiva y el desa-rrollo de una forma de tecnología.

En términos más cercanos a nosotros, el desa-rrollo de las ciencias naturales y de las matemá-ticas constituye un escenario rico en ilustracio-nes del principio. Pensemos, por ejemplo, en eldesarrollo de la biología. ¿Sería concebible eneste momento imaginar el estado actual de es-tas disciplinas sin los recursos tecnológicos quese han desarrollado simultáneamente con suscuerpos conceptuales? El microscopio no sola-mente es un instrumento que “ayuda” al pató-logo experimental, digamos, sino que le da ac-ceso a un nivel de estructuración de la realidadimposible de alcanzar sin dicho instrumento.Entonces, su acción cognitiva (la del patólogo,en nuestro ejemplo) está mediada por el mi-croscopio y el conocimiento producido estáafectado de modo sustancial por el menciona-do instrumento.

Conviene recalcar que el instrumento a quese refiere este principio puede ser un instru-mento material o simbólico.

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En el caso de las matemáticas, la mediaciónse ha dado esencialmente a través de los sis-temas semióticos de representación. La his-toria de dichos sistemas va exhibiendo lastransformaciones conceptuales a que handado lugar en el desarrollo de las matemáti-cas (Duval, 1998). El proceso de articulaciónentre el concepto matemático (el “objeto”matemático) y sus representaciones es unproceso de mutua constitución. Podría decir-se que la evolución de los sistemas semióti-cos de representación, en el caso de las ma-temáticas, han pasado por diversas etapasentre las cuales vale la pena señalar la si-guiente: la separación entre las representa-ciones mentales y las representaciones se-mióticas. Hay entonces una predominan-cia de las representaciones semióticas encuanto a las relaciones con el objeto. Porejemplo, enfrentados al estudio de las rec-tas tangentes, los matemáticos del sigloXVII tuvieron que abandonar la idea de larecta tangente como ese objeto ideal que“sólo toca en un punto a la curva” ante losejemplos de puntos de inflexión en los cua-les la tangente atraviesa a la curva. Huboque tomar una decisión entre el objetomental (ideal) y lo que las representacionesalgebraicas imponían como necesario.Otro momento significativo en el desarro-llo de los sistemas de representación mate-máticos, se da cuando se logra trabajar conlas representaciones como si fueran el obje-to. La manera de trabajar con los númerosreales mediante su sistema de representa-ción decimal, es un ejemplo paradigmáticode esta etapa.

Los sistemas de representación no cumplentan solo una función de comunicación sinoque también ofrecen un medio para el trata-miento de la información y son fuente de ge-neración de significados.

6.2 La cognición situada

En los años recientes, la investigación eneducación matemática ha tenido como unode sus intereses principales demostrar que elaprendizaje y la práctica de las matemáticasno son actividades individuales, aisladas delos contextos socioculturales en los que tie-nen lugar. Que la enseñanza y el aprendizajesiempre han tenido lugar dentro de contex-tos sociales que no sólo tienen una influenciasino que determinan la naturaleza del cono-cimiento construido. Los estudios que se hanorganizado alrededor de estas ideas sobre lacontextualidad del conocimiento y su impor-tancia para los estudios del acto cognitivo sehan denominado, genéricamente, estudiossobre la cognición situada.

Las investigaciones realizadas desde la pers-pectiva situada sostienen que los factores so-ciales y lingüísticos son básicos para el estudiode los procesos de aprendizaje. En particulardel aprendizaje de las matemáticas.

Añadiremos que tales investigaciones hanpermitido llevar los estudios sobre la cogni-ción a un ámbito más rico que el tradicional—que ha visto la cognición como un fenóme-no que sólo involucra los procesos internosdel sujeto.

Hemos pasado pues de concebir la cogni-ción como un fenómeno íntimo del sujeto averla como un producto eminentemente so-ciocultural.

6.3 Nuevos sistemas derepresentación

En la actualidad, los instrumentos computacio-nales (calculadoras algebraicas como la TI-92,las computadoras) encarnan sistemas de repre-sentación que presentan características nove-

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dosas: son sistemas ejecutables de representa-ción, que virtualmente ejecutan funcionescognitivas que anteriormente eran privativasde los seres humanos. Por ejemplo, graficaruna función. Es un proceso que el estudianteve desplegándose en la pantalla de su calcula-dora, sin su intervención directa. Desde luegoesto no convierte al estudiante en un “desem-pleado” pues ahora, su trabajo consiste más eninterpretar matemáticamente los fenómenosnuevos que aparecen en la pantalla.

Estos nuevos sistemas de representación(ejecutables) permiten al estudiante trabajarun problema desde diferentes enfoques cog-nitivos, por ejemplo, tomar un punto de vistaconcreto al analizar una función (digamos elcomportamiento de una función continuasin derivada) o un punto de vista general: enlugar de analizar el comportamiento de unpolinomio puede analizarse el comporta-miento de una familia de polinomios.

Esto quizá nos esté indicando que un cambiocentral dentro de la educación consistirá enabandonar el objetivo tradicional de fluidez al-gorítmica y sustituírlo por el objetivo de fluidezrepresentacional. Esto es, que el estudiantepueda representar un problema en diversossistemas de representación y sea capaz de in-terpretar los resultados del tratamiento que sedé a tales sistemas mediante el instrumentoejecutor del que disponga.

Los nuevos sistemas de representación ha-cen posible también un campo de experien-cia que no estaba antes a disposición del es-tudiante.

Pensemos por ejemplo en los sensores (CBL,

CBR) que pueden articularse a las calculado-ras. El estudiante puede representar gráfica-mente fenómenos naturales como las varia-ciones de temperatura, de intensidad sonoraetc. Es decir, todo un mundo de variación y

cambio queda a su disposición como partede su campo de experiencias. Estas nocionesde variación y cambio no tienen que ser estu-diadas de modo abstracto (en el sentido enque son extrañas a las experiencias del estu-diante) sino que puede tejerse alrededor deellas y con ellas, una red entre ideas y con-ceptos que dé como resultado una mayor fa-miliaridad con este complejo conceptual.

Las matemáticas, como toda otra actividadintelectual, sufren la profunda influencia delas tecnologías existentes. Con el correr deltiempo, las tecnologías se tornan “invisibles”y las actividades que se generan a partir deellas se conciben como actividades matemá-ticas independientes de aquella tecnología.Surge así, por ejemplo, la noción de una acti-vidad matemática “pura”, al margen de suentorno sociocultural. En la escuela las des-trezas con los cálculos logarítmicos se conci-ben como independientes de la herramientay son “confundidos” con capacidades mate-máticas puras. Como si el funcionamientodel sistema cognitivo fuera inmune a las he-rramientas mediante las cuales se despliegala actividad intelectual.

Los sistemas de representación clásicos (ál-gebra, cálculo, ecuaciones diferenciales,etc.) tienen una característica central: son sis-temas de representación diseñados para po-der actuar sobre ellos mediante reglas detransformación bien definidas. Un caso ele-mental lo constituye la aritmética. Allí estánclaras las reglas mediante las cuales realiza-mos operaciones sobre los números. Son sis-temas de representación construidos paraoperar con ellos.

En cambio, las representaciones ejecutablesnecesitan la mediación de un procesador sin-táctico, como es un lenguaje de programa-ción. Allí se transforma el trabajo cognitivo

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del estudiante: la actividad de construcciónde significados se torna central.

6.4 El significado de las situacionesescolares

Centradas en el funcionamiento interno delalumno o en el papel de las variables exterioresa la escuela, las investigaciones de psicologíaeducativa han evitado, por mucho tiempo, lainfluencia de las variables intra– escolares.

Sin embargo, hoy día, bajo la influencia de lateoría de la cognición situada, se han realiza-do muchas investigaciones relativas a los sig-nificados que los alumnos dan a las situacio-nes escolares. Algunas investigaciones sehan interesado en la influencia del prestigiosocial de la disciplina sobre los desempeñosde los alumnos. Se pidió a los alumnos quereprodujeran una misma figura geométricaen un contexto de dibujo y en otro de geo-metría. Los resultados mostraron que los de-sempeños varían de acuerdo al soporte disci-plinario. Mientras que en el contexto de uncurso de dibujo alumnos buenos y malos ob-tienen resultados idénticos, en el marco me-jor valorado de un curso de geometría, losbuenos alumnos tienen mejores resultados.Los buenos alumnos prestan mayor atención ala tarea cuando se ubica en un contexto máselevado. El significado atribuido por los alum-nos a la situación escolar interviene como re-gulador de su funcionamiento cognitivo.

La cognición situada defiende la idea segúnla cual las conductas cognitivas de un indivi-duo no podrían comprenderse sin tomar encuenta el entorno en el cual interviene. Losejemplos anteriores pueden conducir a re-considerar la interpretación de las dificulta-des que se encuentran en ciertos alumnos.Un alumno en dificultades no es necesaria-

mente un individuo cuyas capacidades soninsuficientes; por el contrario, es quizás unalumno que no percibe el sentido del trabajoescolar o que atribuye a la escuela, a la tarea,o a las expectativas del profesor, otros signifi-cados diferentes a los valorados por la institu-ción. El concepto de claridad cognitiva, porejemplo, se ha propuesto en el dominio de lalectura para señalar qué tan importante parael logro del aprendizaje es que los alumnoscomprendan la finalidad de las situaciones yde las tareas que les son propuestas. La diso-nancia entre las expectativas de la escuela ylas del alumno puede ser una de las expresio-nes de la distancia cultural entre el alumno yla escuela, noción lanzada por los sociólogospara dar cuenta de las dificultades que tienenalumnos normales provenientes de mediossociales desfavorecidos. Si se sigue esta tesis,se debería dar la mayor atención a la clarifi-cación de los contextos escolares y, particu-larmente, a la naturaleza de los acuerdos im-plícitos y explícitos entre maestro y alumnos.

6.5 A modo de síntesis:el aprendizaje como unfenómeno individual y social

A grandes rasgos, los enfoques sobre elaprendizaje se pueden ubicar entre los acer-camientos cognitivos que parten del cons-tructivismo piagetiano y los acercamientossocioculturales desarrollados a partir de laobra de Vygotsky. Si bien ambos aceptan, almenos implícitamente, la existencia de pro-cesos intra–individuales y de influencias so-ciales, difieren considerablemente en la im-portancia que cada uno atribuye a estasdimensiones en el desarrollo de los conoci-mientos y del aprendizaje.

Los acercamientos socioconstructivistas atri-buyen a las intervenciones sociales un papel

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preponderante en el desarrollo cognitivo delniño y cuestionan las explicaciones intra–in-dividuales del desarrollo. Un nivel de análisisestrictamente intra–individual se muestrainsuficiente para dar cuenta de adquisicio-nes y de desempeños cognitivos. Ciertamen-te, todo aprendiz es un sujeto confrontadoindividualmente a un cierto número de ta-reas pero, la mayoría de ellas comprende co-nocimientos que son fruto de una interven-ción social. Centrados en el análisis delfuncionamiento cognitivo en un contexto so-cial, los acercamientos sociocognitivos pue-den parecer más apropiados para la com-prensión de los fenómenos educativos.

Por otro lado, el aprendizaje es también unarelación entre un sujeto y un objeto o una ta-rea. De ahí que para comprender el aprendi-zaje, hace falta también estudiar los mecanis-mos que el individuo pone en marcha y conello, ocuparse de los componentes y restric-ciones del sistema cognitivo. En este nivel in-terviene la psicología cognitiva para situar lasbases del aprendizaje en el tratamiento cogni-tivo de la información, los procedimientos, lasestrategias y los conocimientos del individuo.

En definitiva, el campo de la psicología delaprendizaje está dividido en acercamientoscomplementarios, no incompatibles. El apren-dizaje puede entenderse, al mismo tiempo,como un fenómeno individual y social. El de-safío para la psicología es explicar la articula-ción de los procesos de adquisición indivi-duales y socioculturales. En el plano de laeducación, es razonable pensar que la com-binación de situaciones individuales y de in-teracción social puede ofrece las condicio-nes de aprendizaje más favorables si toma encuenta tanto los estilos cognitivos de los es-tudiantes como la naturaleza de las relacio-nes que se establezcan entre ellos.

7. Matemáticas y cognición:una visión clásica e informática

La enseñanza tradicional induce en los estu-diantes la idea de que las matemáticas estánreferidas a un conjunto de expresiones sim-bólicas desprovistas de conexión con cual-quier fragmento de su conocimiento. La con-secuencia natural de esta idea es que elconocimiento matemático se reduce a unconjunto de destrezas para manipular símbo-los que, a su vez, permiten la transformaciónde una expresión simbólica en otra. Y eso estodo. Desde luego, esta es una concepciónmuy pobre de las matemáticas, que hay quemodificar a través de los procesos educati-vos. Nos proponemos mostrar cómo un en-torno computacional puede servir comoprincipio orientador para lograr las modifica-ciones deseadas en relación a las concepcio-nes matemáticas de los estudiantes.

7.1 Generalización y Contextualidad

Los procesos psicológicos básicos caracte-rísticos de las matemáticas (por ejemplo, laabstracción, la generalización y la inferen-cia) son universales, comunes a toda la hu-manidad. Pero, su organización funcionalpuede variar sustancialmente dependiendodel entorno sociocultural, de las herramien-tas que suministra este entorno como me-diadores de la acción cognitiva. No olvide-mos que la acción cognitiva necesita delsoporte instrumental.

La enseñanza de las matemáticas nos plan-tea un problema delicado: ¿cómo tratar conla naturaleza descontextualizada de las pro-posiciones matemáticas que forman parte deuna cultura matemática universal y, al mismotiempo, con la necesidad de admitir que elconocimiento que un estudiante construye,

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produce, asimila, se da siempre mediado porun contexto?

La tradición científica ha mostrado que alavanzar en la organización de una ciencia, lasproposiciones del cuerpo teórico que se vaproduciendo tienen como rasgo característi-co el de ser enunciados generales, descontex-tualizados. Basta recordar algunos ejemplos:la ley universal de la gravitación, en la física; elteorema de Pitágoras; la fórmula general pararesolver cualquier ecuación de segundo gra-do; etc. Esto se vincula de modo íntimo (Du-val, 1998) con la evolución de los sistemas se-mióticos de representación que se esténempleando.

En la introducción de sus Fundamentos de laGeometría (1899) Hilbert fue muy claro aldecir que el significado de los puntos, de laslíneas y de los planos es algo que está deter-minado por las relaciones que podemos esta-blecer entre ellos. De esta manera, los postu-lados de la geometría pueden interpretarsecomo definiciones implícitas de los objetosgeométricos. Este punto de vista ha tenido, ysigue teniendo, un éxito enorme en el desa-rrollo de las matemáticas.

Desde el punto de vista educativo, las dificul-tades surgen cuando identificamos ese pro-pósito de la matemática, con un principio di-dáctico. Es decir, cuando confundimos lamatemática del matemático con las matemá-ticas escolares.

La demanda cognitiva que estaríamos ha-ciendo a un estudiante, si de entrada lo en-frentamos al aprendizaje de la geometría, in-troduciendo la materia con un nivel deformalización elevado, es enorme. Estaría-mos suponiendo (aunque de esto no fuése-mos conscientes) que la cognición del estu-diante se adapta de modo natural, al caminoya organizado de una disciplina. Esto ha sido

una tentación permanente pues, de ser facti-ble, representaría un ahorro considerable deesfuerzo: los problemas curriculares, porejemplo, estarían resueltos a través de la for-malización de la matemática.

Pensemos en las circunstancias del aprendi-zaje en un salón de clases. Para los estudian-tes es un obstáculo poder pasar de los dibu-jos de triángulos particulares a el triángulocomo objeto geométrico al cual se refierenlos teoremas de la geometría. Si la enseñan-za de las matemática pretende partir de losenunciados generales, entonces ¿cómo in-

yectar significado en estos enunciados gene-rales, para beneficio de los estudiantes?

La experiencia ha mostrado que el caminode lo general a lo particular está plagado dedificultades. Pero tampoco es posible acce-der a los enunciados generales, a los concep-tos de una ciencia siguiendo un camino es-trictamente inductivo. La construcción delconocimiento participa de ambos enfoques.A veces, se favorece un enfoque inductivo,heurístico, sobre todo cuando se inicia la ex-ploración de un campo de investigación. His-tóricamente, el trabajo de Euler ha sido pues-to como un ejemplo del papel que puedejugar un enfoque heurístico en el desarrollodel conocimiento matemático. Más reciente-mente, Lakatos (1976) en su célebre libro,Conjetures and Refutations (Conjeturas y Re-futaciones), ha profundizado sobre la impor-tancia esencial que juega este enfoque. En ladidáctica de las matemáticas, estas conside-raciones han dado lugar a un amplio campode investigaciones sobre la resolución deproblemas (Santos, L.M., 1997). Desde lue-go, la sistematización del conocimiento, enúltima instancia, queda puesta de manifiestoen las re-elaboraciones formales del campo.La didáctica tiene que respetar la epistemolo-gía de las matemáticas, es decir, tiene que to-

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mar en cuenta los mecanismos de produc-ción del conocimiento que siempre van aoscilar entre lo heurístico y lo formal, lo rigu-roso.

En resumen: porque la cognición tiene unanaturaleza situada, la didáctica no puede ele-gir el camino de lo general a lo particular, ensentido estricto, como estrategia didáctica, yporque la ciencia no es resultado de un estric-to proceso inductivo, tampoco puede adop-tarse el camino de lo particular a lo generalcomo estrategia didáctica. Entonces, ¿qué ca-mino elegir? La construcción de una respues-ta a este interrogante pasa por un análisis delo particular y lo general, de lo concreto y loabstracto. Iniciaremos la construcción de larespuesta en la siguiente sección.

7.2 Reflexión sobre la abstracción

La breve referencia al ideal formalista de Hil-bert puede reformularse así: el significado delos enunciados y de los conceptos del cuer-po teórico, surge de las relaciones entre ellosy no ya de las relaciones entre un concepto,digamos, y la realidad que refleja. Sólo im-porta la lógica interna del sistema al margende los significados “intuitivos” que podamosasociar a los términos.

La manera usual como entendemos la natura-leza abstracta de la matemática proviene deeste enfoque. La didáctica tiene que hacer po-sible que los estudiantes puedan acceder a es-tos niveles de complejidad sin descuidar la na-turaleza situada del conocimiento. La claveparece estar en imaginar una forma de abstrac-ción que esté más cerca de lo que ocurre real-mente en términos cognitivos y que no contra-diga, sino que complemente, la noción clásicade abstracción. La noción clásica incorpora laidea de extracción pero también la idea de

re-organización a un nivel superior de aque-llo que ya se había aprendido.

Los significados extra-matemáticos de una si-tuación se derivan de un escenario que inclu-ye la experiencia previa de quien aprende.Entonces, los recursos que el medio pone adisposición de un estudiante estimulan laconstrucción de significados. El medio fun-ciona como un soporte para el estableci-miento de conexiones entre fragmentos deconocimiento. Desde esta perspectiva, setrata entonces de conectar el conocimientoinformal del estudiante con sus fragmentosde conocimiento matemático. En un sentidoque puede hacerse más preciso, el mediofunciona como una especie de dominio deabstracción.

El trabajo de Carraher et al (1991), sobre lasestrategias aritméticas de los oficios, muestracómo lo general puede existir dentro de loparticular. Cómo las prácticas de las matemá-ticas de los oficios pueden servir para expre-sar relaciones matemáticas más generales.Esas relaciones matemáticas más generalesque todavía dependen del medio de expre-sión empleado, son ejemplos de abstraccio-nes situadas (Noss y Hoyles, 1996).

Utilizando los recursos estructurantes delmedio, se abre la posibilidad de que puedanestablecerse conexiones entre distintos frag-mentos de conocimiento y así producir ver-siones más generales, objetos abstractos enel sentido clásico del término. Objetos queson síntesis de múltiples determinaciones.Para un topólogo, un espacio de Hausdorff,que evidentemente es abstracto, puede seral mismo tiempo, tan concreto como unaguayaba.

Lo abstracto y lo concreto no son, en conse-cuencia, propiedades del objeto de conoci-

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miento sino de la relación que uno logra es-tablecer con el objeto de conocimiento.

7.3 Los recursos computacionalesen la educación

Cuando se usa la tecnología en la escuela,hay que reconocer que no es esa tecnologíaen sí misma el objeto central de nuestro inte-rés sino el pensamiento matemático quepueden desarrollar los estudiantes bajo lamediación de dicha tecnología.

La importancia de las herramientas computa-cionales para la educación matemática estáasociada a su capacidad para ofrecernos me-dios alternativos de expresión matemática. Asu capacidad para ofrecer formas innovadorasde manipulación de los objetos matemáticos.

Tomemos como ejemplo el universo virtualde la geometría dinámica (Cabri). Allí pode-mos transformar un triángulo en otro, me-diante el desplazamiento (dragging) de la fi-gura geométrica. Este acto, que puedeparecer trivial, conlleva una gran potenciali-dad. Nos permite desplazarnos dentro deuna familia de triángulos (virtuales) a la quepertenece el triángulo original, cerrando conello la brecha entre un dibujo (representa-ción estática de un triángulo) y el objeto geo-métrico triángulo compuesto por la familiade triángulos a los que se puede llegar me-diante las deformaciones que permite el Ca-bri. Desde este punto de vista conviene pen-sar en un teorema como una propiedad queno puede destruirse mediante los desplaza-mientos del entorno. Esta manera de conce-bir un teorema tiene una ventaja: favorece suconceptualización como la expresión de unapropiedad invariante bajo deformacionesdentro del entorno. Se abre un camino paralas formas de argumentación, dentro del uni-

verso virtual del Cabri, y ello permitedistinguir estas formas de argumentación deaquellas a las que estamos más o menosacostumbrados dentro de los entornos depapel y lápiz.

En el fondo, el problema educativo reside encómo se construye el significado matemáti-co. Los medios computacionales estimulanla dialéctica entre el proceso de dar sentido alas prácticas cotidianas mediante la organiza-ción y la matematización, por una parte y lacomprensión de situaciones matemáticasmediante el recurso de darles sentido impor-tándolas de una práctica extra–matemática.Podríamos decir que parte importante de laesencia del pensamiento matemático consis-te en establecer conexiones entre distintosfragmentos de conocimiento.

Un medio computacional permite generaruna especie de realidad (virtual) matemática.Trabajar en un medio computacional permi-te comprender cómo los recursos de ese me-dio estructuran la exploración y cómo los re-cursos expresivos del medio favorecen lasistematización (Noss y Hoyles, op. cit.).

Un medio computacional es un dominio deabstracción: allí el estudiante puede expresarla generalidad matemática pero en depen-dencia del medio aunque sus expresionesapuntan más allá, hacia las descripcionesabstractas de las estructuras matemáticas.Se hace posible explorar ideas dentro deámbitos particulares, concretos y manipu-lables pero que contienen la semilla de logeneral, lo abstracto y lo virtual.

Los medios computacionales funcionancomo recursos estructurantes de la explora-ción matemática de los estudiantes. Pue-den generar ideas que se expresan a travésdel medio, que están íntimamente vincula-das al medio y articuladas a él. Es en ese

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sentido que el medio constituye un domi-nio de abstracción. Dentro de un dominiode abstracción es posible desencadenaruna exploración sistemática y construir ar-gumentos a favor de una proposición quesi bien no constituyen una demostraciónformal, sí constituyen, en el interior del do-minio de abstracción correspondiente, unaargumentación para resultados locales, esdecir, expresados en el lenguaje del medioy cuyo sentido proviene de él, aunque pue-dan tener un nivel de generalidad mayor.Estas argumentaciones las llamaremos de-mostraciones situadas. En cierta manerason argumentaciones que respetan la eco-logía del entorno que les da soporte expre-sivo.

Los estudiantes son capaces de articular losresultados de sus exploraciones de maneratal que éstos puedan ser llevados más alládel medio computacional o puedan dar lu-gar a nuevas versiones de un resultado quehacen clara la visibilidad del medio compu-tacional.

Daremos ahora un ejemplo de ello: el casode las funciones continuas sin derivadas. Laserie de potencias,

F(x) =2

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∑

n

ncos ( )x

define una función continua sin derivadas.Este es un resultado clásico de Weierstrass.Graficando los polinomios correspondientes(haciendo variar n entre 0 y 5, después entre0 y 7 etc.) el estudiante empieza a descubrirel grado de complejidad de la función, aun-que sea sólo desde un punto de vista visual alapreciar cómo se va graficando sobre la pan-talla de su instrumento computacional. Ha-ciendo uso del zoom que viene incorporado,

por ejemplo a la calculadora TI-92, puede des-cubrirse más sobre la complejidad de lafunción y la imposibilidad de un plano de re-presentación (la pantalla) cuya resolución esfinita, para exhibir la gráfica como es en reali-dad. De nuevo, aquí surge la posibilidad deenunciar una versión virtual del teorema. Esdecir, un enunciado situado, que tome enconsideración la naturaleza del medio expre-sivo que estamos empleando. Los recursosestructurantes que suministra el medio con-tribuyen al proceso de construcción de signi-ficado para este resultado fundamental de lateoría del cálculo.

Es innecesario decir que para obtener los ma-yores beneficios de estos ejemplos, es funda-mental tener a mano una calculadora comola TI-92 con el propósito de ir comprobandolas afirmaciones hechas sobre la fenomeno-logía del entorno informático dentro del cualse trabaja.

A modo de conclusión

Para terminar, nos parece pertinente intentaruna síntesis de las ideas centrales y de sus in-tenciones, que hemos discutido en el cuerpoprincipal del texto precedente. Todo el traba-jo desarrollado en el campo de la educaciónmatemática, durante las últimas décadas, haconducido a la consolidación de una discipli-na en la cual pueden distinguirse con nitidezun cuerpo teórico y una práctica orientadapor los resultados de la investigación. Estapráctica es lo que muchos investigadores de-nominan una ingeniería.

El cuerpo teórico de este campo de investi-gación, inició su articulación observando alfenómeno educativo desde la perspectiva dela cognición. La didáctica ha ido poniendo aprueba las diversas teorías de la cognición,con el propósito, desde luego, de generar ex-

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plicaciones a los resultados que produce eltrabajo de campo. Esto se ha hecho partien-do desde las teorías más simples del conduc-tismo, pasando luego por la psicología gené-tica de Piaget y su escuela de Ginebra, hastalas teorías socioculturales que ya no ven lacognición como “algo que ocurre en el crá-neo” de las personas y que, de allí, se proyec-ta hacia su entorno social sino, más bien,como algo distribuido socialmente. Esto últi-mo puede ilustrarse mediante la observa-ción: uno aprende más de un tema cuandolo estudia en medio de una comunidad deexpertos en ese tema.

La presencia de los instrumentos de com-putación, computadoras (ordenadores) ycalculadoras de todo tipo, en los sistemaseducativos, ha traído al primer plano, parala investigación en didáctica de las mate-máticas, la noción de mediación instrumen-tal. El estudiante establece una sociedadcognitiva con la máquina, como antes la haestablecido con la escritura y con el siste-ma decimal. Esta es una idea de la mayorimportancia.

De esta mirada sobre el fenómeno educati-vo, esperamos extraer, mediante la investiga-ción, suficiente información que permita latransformación de los sistemas educativosde cara a los nuevos tiempos que ya estánentre nosotros.

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Evolución y tecnología

Luis Moreno ArmellaCINVESTAV – IPN, México

1. Introducción

El ser humano ha construido un mundo arti-ficial para vivir. Desde el martillo más simplehasta la computadora más compleja, sonejemplos de instrumentos con los que hapoblado al mundo y que le han permitidorealizar la tarea que se ha propuesto: dise-ñar un mundo a la medida de sus necesida-des y aspiraciones. En esto ha consistido suadaptación al mundo natural, desde los mis-mos inicios del proceso evolutivo de la es-pecie Homo.

Construir herramientas con propósitos deli-berados constituye pues, un rasgo distintivode nuestra especie a tal grado que la historiade su evolución puede identificarse con ladel desarrollo de sus órganos artificiales: lasherramientas.

La toma de conciencia sobre la importanciade la relación entre el cerebro y las herra-mientas mediadoras de la actividad humana,nos compromete a analizar esta situacióndesde una perspectiva más amplia. Tan am-plia que abarca desde los orígenes de nues-tra especie hasta el mundo de la comunica-ción por Internet.

Al Homo erectus6 (que vivió en el periodoque va desde hace un millón y medio deaños hasta hace 300 mil años aproximada-mente) se le reconoce como la primera espe-cie genuinamente humana. Su cerebro al-canzó un tamaño de aproximadamente 80%de un cerebro actual. Esto fue suficiente paraque el erectus desarrollara capacidades inte-lectuales considerables. Por ejemplo, memo-ria voluntaria (Donald, 1992). La memoria vo-luntaria permite la reproducción de un gestoo de una secuencia de gestos articuladosque conducen a la fabricación de una herra-mienta (un hacha, por ejemplo). Durante lareproducción del proceso pueden ocurrirdos cosas: una, que quien realice la repro-ducción del proceso lo haga para revisarlo yeventualmente mejorarlo. Dos, que quienrealice la reproducción lo haga para enseñara otros el proceso de construcción de unaherramienta. En ambos casos, la intencióncomunicativa es clara. Podemos concluir en-tonces que estar en posesión de una memo-ria voluntaria genera un nivel de comunica-ción comunitario. El registro fósil nos enseñael alto grado de uniformidad en las herra-mientas de esta etapa en la evolución, con locual cobra fuerza la tesis sobre la existencia

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6 Por razones de espacio no podremos hacer una presentación exhaustiva de cada uno de los argumentos que apoyan nuestras afirma-ciones. Referimos al lector interesado en profundizar temas específicos, a la bibliografía.

de un modo de comunicación, seguramentegestual, en ausencia todavía, de un lenguajearticulado.

La investigación ha revelado que las partes delcerebro que más han evolucionado son lasque están en relación con funciones cogniti-vas. Por ejemplo, el hipocampo, relacionadocon la memoria y la espacialidad; el cerebelo,relacionado con la coordinación y finura de losmovimientos (Rubia, 2000). La coordinaciónrefinada entre el ojo y la mano, sin duda fuecentral para la cultura de los homínidos. Dichacoordinación jugó un papel muy importanteen la construcción de herramientas.

De lo anterior puede inferirse que las herra-mientas no resultaron ser meros apéndicespara aumentar una capacidad física deficien-te. En realidad, la cantidad de manipulacio-nes que una y otra vez tuvo que realizar elHomo Erectus cuando construía una herra-mienta, se fueron sistematizando y fueronmodificando sus patrones mentales.

2. Transición cognitiva

Los registros fósiles disponibles, muestranque hace aproximadamente 400 mil años seprodujo un crecimiento encefálico mayor,dando lugar a un nuevo miembro de la espe-cie Homo. Las ventajas adaptativas que po-seía el nuevo miembro de la especie debíanser muy superiores a las del Erectus, pueséste último desapareció de los registros fósi-les desde hace 300 mil años.

El periodo de transición comprendido entre300 mil y 50 mil años, sirvió para que el Sa-piens Arcaico se asentara en el planeta.

El periodo siguiente, es decir los últimos 50mil años, resulta particularmente interesante

para analizar las relaciones entre evolución,tecnología y desarrollo del lenguaje.

El sapiens-sapiens llegó a Europa, provenien-te de África, hace unos 40 mil años (Strin-ger&McKie, 1997). Del periodo comprendi-do entre su llegada y hasta hace unos 10 milaños se tienen en el registro fósil, herramien-tas que sugieren que la especie había accedi-do a una etapa cognitiva y comunicativa másavanzada. En cierto momento, la producciónde herramientas pudo ir más allá del nivel uti-litario asociado a ellas (por ejemplo, de haceunos 27 mil años se tienen esculturas realiza-das sobre hueso).

El lenguaje oral es característico del Homosapiens–sapiens, especie a la cual pertenece-mos los humanos modernos. Poseemos ha-bla y otras destrezas semióticas que puedendefinirse como la capacidad para inventar yusar signos para comunicar el pensamiento.

Debe decirse que no está totalmente esclare-cido cómo el habla y otros recursos semió-ticos aparecieron en escena. Pero su usointenso durante los últimos 40 mil años esincontestable. El habla añade la posibilidad decompartir información especializada y comu-nicarla a alta velocidad. Con el habla, añadidaa la comunicación gestual, muchos aspectosde esta cultura pueden ser reelaborados, des-de las organizaciones sociales hasta las manu-facturas. El habla toma el lugar central dentrode los instrumentos de mediación.

¿Cuál es el camino que otorga centralidad alhabla como organizador social? El empleo máselaborado del habla en las sociedades tribalesse encuentra en la invención de modelos con-ceptuales del universo humano. Todas las so-ciedades primitivas tienen mitos que se refie-ren a la creación del mundo y que sirven paraencapsular ideas compartidas.

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El lenguaje es, sobretodo, un dispositivo so-cial. Su función está vinculada, desde sus co-mienzos, al desarrollo del pensamiento inte-grador. Es un recurso de modelación de larealidad y de las experiencias vividas por unacolectividad.

Es probable que las primeras manifestacio-nes del lenguaje oral se hayan presentadobajo la forma de sistemas de sonidos articula-dos y sólo después se hayan tornado lenguashabladas. Sea como haya sido, vale la penaresaltar una característica privativa de los len-guajes humanos: la referencia simbólica. Lasespecies que poseen sistemas de códigos deseñales que sirven para alertar sobre la pre-sencia cercana de un depredador, por ejem-plo, sólo usan estos sistemas en presenciadel depredador. Jamás en ausencia de él.Esto significa que la referencia se hace siem-pre a un sujeto presente. En cambio, en loslenguajes humanos, puede uno referirse aalgo presente pero también a algo ausente,abriéndose así, la posibilidad de duplicar,simbólicamente, el mundo.

3. Cultura y Oralidad

La fase de la oralidad abrió la puerta a la con-solidación y profundización de la vida colec-tiva. Es fácil imaginar el redimensionamientode los procesos sociales de producción,aprendizaje y enseñanza, en una colectivi-dad que posee ya un instrumento de comu-nicación como es la lengua hablada.

El trabajo con los instrumentos de piedra enesta etapa, va haciéndose cada vez más so-fisticado y se prolonga hasta el llamado pe-riodo neolítico. Por fortuna, no es el trabajocon la piedra lo único que puede mostrarsede este periodo. Por ejemplo, las estructurasde ladrillos y las embarcaciones para la nave-

gación acuática, son una muestra dedesarrollos realizados a partir de habilidadesmás finas desarrolladas en un entorno de ma-yor comunicación, gracias al lenguaje oral.

Quizá los dos logros principales de la fase de laoralidad sean la agricultura y el desarrollo de lavida urbana. Desde sus comienzos, la urbani-zación permitió una alta concentración de re-cursos tecnológicos. La competencia econó-mica entre ciudades, produjo un desarrolloexplosivo en el comercio. Unas ciudades pro-veían alimentos y hospedaje a los viajeros quie-nes intercambiaban estos servicios por herra-mientas, que solían traer de sus destinosanteriores. Se fue generando un comerciocada vez más desarrollado que puso en red aciudades alejadas entre si más de 20 mil kiló-metros (Bloom, 2000). Es inevitable suponerque tales intercambios no fueron culturalmen-te neutros. Se hizo presente un fuego cruzadode ideas, métodos y estilos que enriquecieronlas tecnologías propias de cada ciudad. Las di-ferencias y conformidades en los modos de ha-cer, presentes en las redes de intercambio,abrieron paso a una modernidad, hace 6 milaños, que puede verse como una célula de for-mas futuras de interactividad.

Las funciones del lenguaje están vinculadasal desarrollo de un pensamiento integrador,es decir, a una síntesis de información que sehalla dispersa en determinado momento y lu-gar. Queremos insistir en que, sin duda, unade las principales razones de la importanciade la oralidad es haber suministrado un me-dio para la elaboración de modelos simbóli-cos del universo humano.

4. Sistemas artificiales de memoria

Las organizaciones sociales, al alcanzar nive-les de complejidad cada vez más elevados,

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Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

dependen de la producción de registros ex-ternos, es decir, de sistemas artificiales de me-moria. Esto se debe, sin duda, al aumento delos conocimientos, a la necesidad de com-partirlos y a las exigencias correspondientesque todo ello impone sobre la memoria bio-lógica. Este razonamiento es aplicable a losconglomerados sociales existentes durantelos últimos 30 mil años. En efecto, es muy lar-ga la lista de creaciones tecnológicas queprecedieron a la escritura. Por ejemplo, la ce-rámica aparece en lo que hoy es territoriocheco, hace unos 27 mil años; el boomerangapareció hace unos 17 mil años, junto con laaguja de coser, con el arco y la flecha y losprimeros usos de la cuerda. En Mesopota-mia, hace 12 mil años, se dio la domestica-ción del perro y casi al mismo tiempo la do-mesticación del carnero y la oveja en Persia.Podríamos continuar alargando esta lista. Enlugar de ello, observemos que se estabandando cada vez más, las condiciones para elsurgimiento de los recursos de memoria ex-terna necesarios para registrar todo el cono-cimiento producido.

El ser humano alcanzó un alto grado de espe-cialización cognitiva no sólo mediante el em-pleo de recursos tecnológicos materiales,sino también, mediante los recursos semióti-cos, que hacen parte de una tecnología sim-bólica. Así, por ejemplo, un pescador inter-preta ciertos movimientos en el agua, comouna señal de la presencia de peces; una nubede polvo se concibe como indicación de laaproximación de ciertos animales. Estosejemplos no se refieren a una habilidad sen-sorial sino a la organización funcional de lapercepción a partir de la utilización de siste-mas de signos (los movimientos en el agua, lanube de polvo...).

Los recursos gráficos, desarrollados todavíaen medio de un fuerte entorno oral, tuvieron

un desenvolvimiento lento. No había en-tonces una función específica para lasrepresentaciones gráficas. Los pinturas,realmente sofisticadas, datan de hace unos15 mil años. Por ejemplo, las halladas en lascuevas de Altamira, en España, y Lascaux enFrancia. Con estos medios, la expresión sim-bólica ya no se limita a una transmisión oral,sino que ahora, se deja una pintura que otropuede ver e interpretar aún en ausencia delautor. Se elabora con ello un soporte de lamemoria y un medio de expresión que reba-san los límites impuestos por la biología. Co-mienza entonces lo que se conoce como latransformación tecnológica de la memoria.

Pero aún estos recursos de memoria artificia-les tienen antecedentes notables. Se han ha-llado huesos (tibias de lobo), por ejemplo enMoravia, con series de 25 y hasta 30 incisio-nes. Es clara, en estos ejemplos, la intenciona-lidad del autor: usar las marcas como una for-ma de registro externo, posiblemente de laspiezas cazadas. Desde el punto de vista de laaritmética, la fase de desarrollo correspon-diente podemos denominarla como pre-ope-ratoria. Hay una asignación de símbolos a losobjetos pero aún se carece de una estructura,de una organización de la cantidad.

Este método de poner en correspondenciauno-a-uno, también se utilizó para socializarlos intercambios comerciales. Se tienen evi-dencias del uso de varas, sobre las que se tra-zaban marcas simultáneamente en dos deellas, con el fin de registrar digamos una deu-da por la adquisición de una mercancía.Cada uno de los participantes en la transac-ción conservaba una de las varas con la in-formación correspondiente al intercambio(Guedj, 1996). Esta socialización del empleode la cantidad, se dio hace aproximadamen-te 15 mil años. Habría que esperar todavíaunos 5 mil años para presenciar la aparición

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de otros métodos de conteo. En las comuni-dades sedentarias, todavía ágrafas, de hace10 mil años, se usaron piedras de diferentestamaños y formas para representar las canti-dades. Aquí apreciamos ya un progreso con-siderable en la simbolización: un símbolo, esdecir, una piedra de cierta forma ya no repre-senta una unidad. Ahora, su forma indica suvalor numérico. Desde luego lo central aquíes que el valor está dado mediante una con-vención. Esto nos remite a las anteriores con-sideraciones que hemos hecho sobre la refe-rencia simbólica, propia de los lenguajeshumanos. Más adelante, hablaremos de lamatemática babilónica, en donde ya apareceun sistema numérico.

Puede decirse que la aparición de los so-portes de representación externa permitiósustituir ciertas funciones naturales de lamemoria por el empleo de un sistema artifi-cial de conservación de la información. Losprimeros sistemas de escritura eran siste-mas de registros de datos: formas externaspara conservar lo que anteriormente habíaque lograr mediante el recurso biológicode la memoria natural. Ese paso es funda-mental: transforma la memoria biológicaen una memoria tecnológica, como ya he-mos mencionado.

Un ejemplo importante de lo anterior, se re-fleja en la construcción de los primeros ca-lendarios. Es claro que esta construcción im-plicaba una actitud teórica con respecto alos eventos astronómicos. Todas las socie-dades agrícolas tempranas, debido a sus ne-cesidades, tenían calendarios basados ensus observaciones. De modo que las basesde la observación sistemática y la predic-ción, ya existían hace aproximadamentediez mil años. La construcción de estos regis-tros astronómicos permitió mejorar sustancial-mente los modelos mentales espacio-tempora-

les, y simultáneamente, permitió el desarro-llo de las sociedades agrícolas. A continua-ción presentaremos un ejemplo de la mayorimportancia.

5. Desarrollo de la escritura

5.1 La escritura sumeria:una reflexión sobre el número

La primera escritura conocida data del perio-do comprendido entre los años 3500 y 2800a.C., es la llamada escritura cuneiforme y seoriginó en Uruk, epicentro del mundo sume-rio, al sur de lo que hoy es Irak. Es probableque la innovación desarrollada por los sume-rios haya pasado a Egipto y al valle del Indomediante las redes comerciales que existíanen aquella época.

La escritura cuneiforme fue un sistema muyexitoso cuyo empleo se desplegó a lo largode tres milenios. Los soportes externos de laescritura cuneiforme son tablillas de barro.Las más antiguas datan de hace 5 mil años.En las tablillas hay tres tipos de inscripciones:sellos personales de identidad, dibujos quecorresponden a mercancías comercializadasy números que corresponden a las cantida-des de las mercancías. ¿Cómo se llegó hastaaquí?

El sistema de escritura pasó por un prolongadoproceso evolutivo: los símbolos sumerios másantiguos pertenecen a un sistema de conteodesarrollado aproximadamente hace 8500a.C. Retrocedamos a esta época remota.

Las sociedades neolíticas eran altamente je-rarquizadas. Para administrar los comesti-bles, por ejemplo, existían élites locales. Losjefes reunían y posteriormente re-distribuíanlos bienes económicos de la sociedad. Me-

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diante ciertas piezas (fichas) realizaban loscálculos aritméticos correspondientes a sueconomía re-distributiva. Podría decirse quela función de estas primeras fichas era esen-cialmente establecer una correspondencia1-1 con las mercancías recibidas y posterior-mente redistribuidas. Fue un sistema que fun-cionó durante cuatro milenios. Luego, comoresultado del aumento de complejidad de lassociedades, durante el cuarto milenio a.C. seprodujo una expansión considerable del sis-tema de fichas. Esto se correspondió con lamodificación del sistema re-distributivo queentonces introdujo los impuestos. Al comien-zo de esta nueva fase, las fichas se perfora-ban y se formaban especies de collares depiedras. Posteriormente, entre los años 3700y 3500 a.C. se modificó el procedimiento dereunir las fichas en colecciones. Ahora, las fi-chas que representaban diversas cantidadesde mercancías varias, se introducían en unasbolas huecas de arcilla que posteriormentese sellaban.

La forma de cada ficha correspondía a un nú-mero. Pues bien, como una especie de medi-da de seguridad, las formas de las fichas seimprimían sobre la superficie de la bola de ar-cilla. Esto podía ocurrir si, por ejemplo, unproductor rural de textiles enviaba a un mer-cader de la ciudad un cargamento de telas.Con la mercancía le enviaba también una deestas bolas huecas rellena de las fichas quedescribían la mercancía enviada. Al recibir lamercancía, el mercader de la ciudad podíaverificar la integridad del cargamento. Para eltransportador era obligado entregar al mer-cader la bola intacta, con lo cual se veía obli-gado a preservar la integridad de la mercan-cía puesta bajo su responsabilidad. Como haexpresado Rudgley en su obra ya citada, estapráctica resultó crucial para el desarrollo dela escritura. Veamos por qué.

Una ficha introducida en la bola de arcilla re-presenta un número. Por ejemplo el númerode vacas que aparece en una transacción co-mercial. En la parte externa de la bola se im-prime (mientras está blanda la arcilla) la for-ma de esa ficha. Quien está a cargo de laoperación comercial sabe, observando la for-ma impresa, que adentro hay una ficha querepresenta una cantidad determinada, diga-mos, de vacas. Sabe que se trata de vacas ysabe además, cuántas son. Esa informaciónla recibe de la impresión de la ficha sobre lasuperficie de la bola. Tuvo que ser evidente,en algún momento, que se estaba usando unsistema redundante. ya no eran necesarias lasfichas: bastaba con su impresión sobre la ar-cilla. Entonces, esas impresiones pasaron aser símbolos en sí mismos. Esos nuevos sím-bolos impresos tomaron entonces el papelprotagónico: de ahora en adelante, para lle-var las cuentas, era suficiente trabajar con lossímbolos impresos sobre una superficie dearcilla plana. Es decir, sobre una tablilla.

El sistema de conteo había alcanzado así, unnuevo nivel de abstracción. Todo ello como re-sultado del problema que la presión socialplanteaba al sistema anterior de conteo. La res-puesta permitió el acceso a un nuevo nivel decomplejidad.

El sistema numérico en Babilonia, era sexage-simal, es decir, de base 60. Sin embargo,para escribir los dígitos entre el 1 y el 59 sólose tenían dos signos, uno para representar el1 y otro para representar el 10. No hace faltapensar mucho para comprender que esto in-troduce un nivel considerable de compleji-dad en la escritura numérica. Por ejemplo siusamos una T para indicar el 1 y un signo <para indicar el 10 (desde luego estos signosaparecen aquí con propósito explicativo ypara mayor facilidad tipográfica) entonces elnúmero 73 se escribiría: T < TTT. Esto recuer-

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da la siguiente notación: 73 minutos los po-demos representar así: 1 13 donde el primer1 indica una hora (60 minutos) y luego escri-bimos los restantes 13 minutos. Hoy en díaseguimos usando un sistema sexagesimal ennuestras mediciones del tiempo diario.

Más adelante, el sistema posicional con elcero —proveniente de la India— socializadopor los árabes, introdujo una simplificacióntal en la escritura de los números, que pue-de hablarse de una democratización del sis-tema numérico. El sistema indo-arábigo,como ha llegado a ser conocido, tiene unaventaja sobre otros sistemas que consisteen tener símbolos diferentes para cada unode los dígitos del 1 hasta el 9. Entonces, lanotación compuesta empieza a partir delnúmero que representa la base, (en estecaso el 10). La escritura posicional (es de-cir, cada dígito toma un valor según la posi-ción en que se encuentra en la escritura delnúmero) añade otro elemento de simplici-dad a la notación. Todas estas característi-cas del sistema indo-arábigo, nos hacenpensar en el alto grado de abstracción queya está presente en este sistema. Por unlado, los números, a diferencia de los pri-meros sistemas sumerios, están descontex-tualizados, es decir, son signos desprovis-tos de significados extra–sistémicos. Losúnicos significados que se les puede atri-buir provienen de las relaciones entre ellosen el interior del sistema. Por otra parte, lossignos son convencionales —lo cual no sig-nifica que estén desprovistos de historia.

Al inicio de esta sección mencionamos quelas tablillas contenían los símbolos corres-pondientes a las cantidades y dibujos que serefieren a las mercancías registradas en la ta-blilla. Esos dibujos son signos que carecían depropósito fonético. Son ideogramas, es decir,caracteres convencionales que representan

una determinada categoría (en este caso unacierta mercancía). Por ejemplo, un dibujo deuna cabeza de vaca estilizada, es el símboloconvenido para referirse a las vacas.

Donald (op. cit.) hace una observación finasobre las tablillas a las que nos estamos refi-riendo: permiten organizar listas por escrito.Esto representa una ganancia considerablecon respecto a las listas orales. Pensemospor ejemplo, que vamos al mercado y lleva-mos en la memoria la lista de lo que pensa-mos comprar. Seguramente el esfuerzoque tenemos que hacer para conservar laintegridad de la lista ya no nos permite pro-cesar la lista. En cambio si la lista está escri-ta, fácilmente podemos borrar de ella al-gún producto que pensábamos adquirir;podemos añadir otro, re-ordenar la lista, et-cétera.

En estas primeras listas cuneiformes no hay to-davía una escritura con estructura gramatical–lo cual aparecerá posteriormente. Pero yaesa estructura de lista es un avance considera-ble dentro del desarrollo de los sistemas exter-nos de memoria. Hace viable un modo deprocesamiento característico de estos sopor-tes artificiales de la memoria.

Todo esto fue preparando el terreno paraun cambio fundamental: la mente humanacomenzó a reflexionar sobre los contenidosde sus propias representaciones, a manipu-larlas directamente como si ellas fueran co-sas por sí mismas. Como veremos posterior-mente, este proceso de reificación de lasrepresentaciones es de la mayor importan-cia desde un punto de vista epistemológico.Esta realidad virtual del número, le otorgauna flexibilidad en su manejo, que no ten-dría si permanentemente nos tuviésemosque referir a un significado del número porfuera del sistema numérico mismo.

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5.2 Soportes de la memoria externa:la escritura y su complejidad

Como parte de su desarrollo, las escriturasideográficas alcanzaron un nivel de compleji-dad considerable. Tómese como ejemplo laescritura china que en cierto momento al-canzó la cifra monumental de 40 mil ideo-gramas. Sin duda, esta proliferación deideogramas tuvo que introducir un nivel decomplejidad muy alto para el aprendizaje deesta forma de escritura. La respuesta a talcomplejidad en las grafías, consistió —lo cuales bastante natural— en buscar un mecanis-mo que la simplificara.

Las escrituras árabe, hebrea y la fenicia surgenhace unos 3500 años. En los siglos siguientes,los griegos adoptaron y adaptaron el alfabetofenicio y dieron forma con ello, a las bases delos alfabetos de las lenguas indoeuropeas. Elalfabeto fenicio de 22 consonantes fue trans-mitido a los griegos a través del contacto co-mercial. Los griegos le añadieron vocales y lo-graron diseñar el primer alfabeto fonéticogenuino. Vale la pena observar en este lugar,que las escrituras originales nacen completa-mente separadas de la oralidad. Ver la escritu-ra como una representación de la oralidad esresultado del alfabeto fonético.

5.3 La escritura en Grecia

¿Qué añadieron los griegos al empleo de laescritura? La pregunta es pertinente pues,hasta ese momento, la escritura había sidovista como una tecnología de registro de da-tos. Desde luego, como ya hemos dicho pre-viamente, el registro escrito contiene la semi-lla de la sistematicidad en cuanto al manejode la información.

La innovación crucial introducida por losgriegos, fue el hábito de registrar sus ideas y

sus especulaciones. Introdujeron algo másque un recurso simbólico: crearon el procesode registro externo, de registro público, de losintercambios cognitivos. Ponían sus ideas, in-cluso incompletas, a la consideración de losdemás, para, de esta manera, ser mejoradas,refinadas aún en ausencia del autor original(Donald, 1992; Ong 1982).

No cabe duda que esta forma de transmisiónes mucho más estable y permanente que latransmisión oral. Conviene recordar que lastradiciones orales hallaron en el mito la for-ma de transmisión que daba mayor grado deestabilidad a sus narraciones.

El pensamiento analítico inducido por la es-critura, tiene entre sus características: el ra-zonamiento formal, la inducción, la deduc-ción, la verificación, la cuantificación y laidealización. El producto más elevado de estamanera de pensar es la teoría. Un recurso in-tegrador que es mucho más que una inven-ción simbólica: es un sistema de pensamien-to y argumento que predice y explica.

6. La cultura informática

6.1 De redes y personas:una analogía

Podemos establecer una analogía entre unapersona alfabetizada y una computadorapuesta en una red. Por ejemplo, una que ten-ga acceso a Internet. Esa computadora ten-drá entonces acceso a mucha informaciónque no reside en su disco duro. La persona,por su parte, podrá tomar cualquier libro desu interés y tener entonces acceso a la infor-mación que se halla contenida en el libro. Siadquiere una copia del libro para su uso perso-nal, esa información estará disponible para ella,aunque no resida en su memoria biológica.

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Mejoremos un poco el ejemplo: imaginemosa esa persona en red con la biblioteca de suuniversidad. Entonces, saber leer le abre laoportunidad de acceder a un sistema de me-moria externa representado por la bibliote-ca. Esto tiene un impacto considerable: la bi-blioteca, como base de datos, es accesible aquien posea el código para entrar (es decir,para quien sepa leer); aquellos que puedenentrar comparten una fuente de conocimien-to codificado. En otras palabras, tienen acce-so a un soporte común de memoria externa.La cognición distribuida (la cognición vistacomo una red que se activa mediante la co-municación entre las personas) entre ese gru-po de personas rebasa a la de cualquiera delos miembros del grupo.

En el pasado, los conocimientos, las intuicio-nes, las visiones, fueron guardados en diver-sos soportes externos de la memoria, porejemplo, en religiones, mitos, y tradicionesorales. La existencia de estos soportes exter-nos, permitió posteriormente el acceso demuchas personas a las ideas contenidas entales sistemas artificiales de la memoria.

Consideremos el ejemplo de una computado-ra con conexión a Internet. Las limitacionespropias de la computadora pasan a un segun-do plano pues ahora la información que se ha-lla en la red queda a disposición de los usua-rios. Entonces, para describir las capacidadesde la computadora resulta mejor referirnos alas capacidades de la red y no limitarnos a loque la computadora puede hacer por sí mis-ma, si la desconectamos de esa red.

Los efectos estructurantes de la cultura y latecnología sobre el individuo, terminan sien-do los más importantes, ya que el individuosiempre está en red con los demás.

La escritura implicó un cambio que llevó delo meramente auditivo a lo visual (proyectó

el sonido sobre el espacio textual) y propicióun redireccionamiento hacia medios no-bio-lógicos para que sirvieran de soporte a losprocesos mentales de razonamiento. Resultapertinente concebir el desarrollo de la escri-tura desde la perspectiva de las capacidadessemióticas de los seres humanos.

Las ideas, las opiniones, las teorías científi-cas, las novelas, etcétera, forman parte delmundo tanto como las cosas materiales.Usando una expresión contemporánea, dire-mos que el lenguaje nos permite la elabora-ción de un universo virtual. Desde luego, me-diante la escritura se reafirma este procesode creación de mundos que van más allá delmundo puramente físico. Esto es cierto tantoen las artes como en las ciencias. Es ciertotanto de las novelas como de las teorías cien-tíficas.

Los soportes externos de la memoria tie-nen efectos profundos sobre el nivel fun-cional de la memoria biológica que se vetransformada por la presencia de dichos so-portes. Por ejemplo, la memoria de unapersona está conectada a fotografías, dia-rios, anuarios escolares y muchos otros ar-tefactos simbólicos coleccionados a lo lar-go de su vida.

6.2 Representaciones ejecutables

Desde una perspectiva cognitiva, el mayor de-sarrollo de la cultura teórica consiste en la apa-rición de un soporte externo de la memoria.

La memoria de corto plazo es como un reci-piente de almacenamiento transitorio paralos procesos mentales. No es, sin embargo,la parte del intelecto en donde se desarrollala transformación de la información en cono-cimiento. Es la memoria externa la que, conmayor frecuencia, genera ese espacio de re-

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flexión necesario para la transformación dela información.

Cuando una persona escribe un texto conpapel y lápiz, ese producto sirve como obje-to de reflexión para el escritor. Pero ¿ocurrencosas distintas cuando se escribe un textoutilizando un procesador de palabras? Unopuede, por ejemplo, usar el corrector de or-tografía para revisar el texto; esta es una fun-ción que anteriormente estaba reservada alos seres humanos. La máquina no solo regis-tra el pensamiento del escritor sino que pro-cesa la información que queda registrada enese medio de representación externa. Esomismo ocurre cuando uno efectúa una ope-ración aritmética con una calculadora, ocuando usa su agenda electrónica para recu-perar un número telefónico.

Veamos otro ejemplo: cuando un científicousa un programa estadístico, introduce unaserie de datos y el software los organiza enuna representación gráfica. El científico pue-de interpretar esa gráfica y extraer conclusio-nes de ella. Pero no tiene que saber cuál fueel proceso que utilizó el software para gene-rar la gráfica. Lo que importa entonces es sucapacidad de decodificación frente al pro-ducto de la representación ejecutada.

En todas estas situaciones, la máquina estáhaciendo algo más que registrar informa-ción: está pasando de un sistema de repre-sentación a otro (de los datos numéricos queha recogido el científico a la representacióngráfica de los mismos) mediante la ejecucióndel primer registro de representación.

De modo que al usar una computadora, unapersona no sólo tiene a su disposición un so-porte de representación externa (como es uncuaderno) sino la posibilidad de someter yprocesar esa información de cierta maneradebido a la ejecutabilidad del sistema de re-

presentación que le suministra la máquina.La máquina está externalizando un procesocognitivo.

Resulta interesante hacer notar que la mani-pulación a que podemos someter los objetosmatemáticos en sus versiones electrónicas,ha ido generando un nuevo realismo mate-mático del que se puede sacar mucho prove-cho didáctico (Balacheff&Kaput, 1996). Lasversiones electrónicas de los objetos mate-máticos son como objetos virtuales. Peroesto no ocurre sólo con los objetos matemá-ticos. También podemos sentir la materiali-dad del texto escrito sobre la pantalla de unacomputadora de la siguiente manera: ilumi-namos unas líneas del texto, usando nuestrodedo virtual, es decir, el ratón. Luego de cor-tar esas líneas, las pegamos en otro lugar. Estasencilla acción, ilustra cómo podemos tratarel texto como si fuera un objeto físico, au-mentando con ello el realismo del texto escri-to: se le puede intervenir como si fuera unobjeto material.

Pero desde hace tiempo hay elementos quepodemos designar como virtuales en la mate-mática clásica: ya indicamos anteriormenteque cuando trabajamos con los números, esdecir, con la notación decimal de los núme-ros, lo hacemos como si esas notaciones fue-ran los números mismos.

Eso es un desarrollo clave en las matemáti-cas: trabajar con las representaciones como siellas fueran el objeto que se está explorando.Lo que ahora enfatizamos no es tan sólo lapresencia de un elemento virtual sino la eje-cutabilidad de los sistemas de representa-ción y con ello, la nueva dimensión que al-canza la virtualidad de los objetos bajo lasnuevas formas de manipulación.

Las consideraciones anteriores permiten ex-traer la siguiente conclusión: los medios com-

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putacionales están contribuyendo a la genera-ción de una nueva cultura basada en laejecutabilidad de procesos algorítmicos muygenerales. Para ello, ha sido central la capaci-dad de trasladar a los lenguajes de programa-ción los algoritmos que controlan las transfor-maciones de sistemas formales, como laaritmética y como nuestro sistema de escritura.

La tecnología informática permite generarsistemas de representación ejecutables me-diante los cuales se logra instalar aspectos denuestro pensamiento en soportes semióticosfácilmente reproducibles. Dichos soportes,gradualmente, se tornan parte de nuestropensamiento —como cuando resolvemos unproblema aritmético mediante el uso de larepresentación decimal de los números. Estaforma de representar los números se ha tor-nado tan familiar para nosotros, que ya nosomos concientes de que cuando realizamosuna suma, por ejemplo, ese sencillo actocognitivo depende del sistema de represen-tación y no es tan puro, en términos cogniti-vos, como suele pensarse. De manera que lasuma no la hacemos nosotros, sino nosotrosayudados por el sistema decimal de represen-tación de los números. Podemos incluso, ha-cer una referencia histórica de mucha impor-tancia sobre nuestro ejemplo del sistemadecimal: los cálculos astronómicos llevadosa cabo durante el renacimiento, se pudieronrealizar gracias a las tablas de logaritmos,que dependen sustancialmente del sistemadecimal.

Es central observar que los sistemas de repre-sentación no sólo sirven para registrar datossino para ampliar la capacidad de procesa-miento de la mente humana. Al instalarlos ensoportes ejecutables potenciamos la capaci-dad de procesamiento a nuestra disposición:no somos ya nosotros auxiliados por un siste-

ma de representación sino nosotros y nues-tro nuevo socio cognitivo: la computadora.

6.3 La cultura virtual

Vivimos inmersos en un mundo socioculturalque es resultado de la consolidación de los sis-temas de representación asociados a la visuali-zación y la escritura. De allí han surgido el pen-samiento científico, las artes plásticas ymuchos otros valores culturales de nuestras so-ciedades. El cine, la música (grabada), las cari-caturas; los sistemas de representación de lasciencias, que solemos llamar lenguajes especia-lizados, son todos ellos ejemplos de la capaci-dad puesta a nuestra disposición por los siste-mas de representación externa. Actualmente,la capacidad de los sistemas de representaciónse ha visto incrementada por la capacidad deprocesamiento que se controla desde los ins-trumentos computacionales.

Vale la pena traer a la discusión sobre la reali-dad virtual muchas de las formas que ésta hatomado en el pasado. Esto es pertinente paradesalojar a la expresión de la carga negativaque sugiere: realidad virtual como realidadartificial, alejada de nosotros. Y entonces sur-ge la pregunta: ¿para qué dedicar esfuerzos auna realidad virtual, cuando tenemos antenosotros LA realidad real? Sin embargo, estamanera de interpretar la realidad virtual esequivocada. Veamos por qué.

La historia que hemos narrado en las prime-ras secciones de este escrito, muestra de ma-nera fehaciente, que la intervención de loshumanos en el mundo ha tenido como con-secuencia la humanización de ese mundo.Para nosotros el mundo es esencialmente elmundo cultural, humanizado mediante el cú-mulo de transformaciones que hemos efec-tuado sobre él, mediante nuestras herra-mientas. Nos referimos a herramientas tanto

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materiales como simbólicas. Vale la pena re-saltar que, desde sus comienzos, la construc-ción de herramientas comportó un cambioen la visión del mundo: el mundo se visualizócomo objeto de las transformaciones realiza-das mediante dichas herramientas. De allíque esos esfuerzos de transformación lo ha-yan humanizado. Frente al mundo natural,hemos construido un mundo virtual, justa-mente nuestro mundo sociocultural.

No tiene sentido hablar de humanizar las tec-nologías: éstas son profundamente humanas.De lo que se trata es de socializarlas.

Cuando, como resultado de la evolución, loshumanos pudieron referirse a sus sueños dela noche anterior se estaban refiriendo a su-cesos virtuales. En efecto, ¿dónde habían te-nido lugar esos sueños? De la misma formacuando uno se refiere a los recuerdos, acce-de a un mundo virtual, que para nosotros tie-ne un grado de realidad comparable a aque-llo que ocurre ante nuestros ojos.

La novela es un mundo virtual hecho posiblepor la escritura. De manera que la virtuali-dad, como parte de nuestro mundo, no esalgo de nuevo cuño. Ha estado con nosotrosdesde hace ya bastante tiempo. Sólo que es-tas realidades nos son tan naturales que difí-cilmente aceptaremos, sin pensarlo, calificar-las de virtuales. Y ¿qué decir de la realidadcreada por el teléfono? ¿O la creada por la ra-dio, por la televisión? Todas son resultado detecnologías que ya se han tornado invisiblesen el seno de nuestras sociedades. Invisibili-dad: rasgo de las tecnologías, que no es otroque el reconocimiento, casi siempre tácito,de que algo extraño a nosotros mismos, seha tornado natural.

En su obra, De la Ceca a la Meca, el escritorJuan Goytisolo nos dice: Hubo un tiempo enel que lo real y lo imaginario se confundían,

los nombres suplantaban a las cosas y las pala-bras inventadas se asumían al pie de la letra y

se concebían como seres de carne y hueso(citado en Carbonell & Sala, 2000). ¿Cuál esese mundo actualmente? Es un mundo qui-zás en extinción, pero no a causa de la digita-lización sino de la escritura. Es el mundo delos juglares, que cede su espacio al mundode la escritura, más universal y más eficazpara comunicar las ideas a través del tiempoy del espacio.

A fuerza de interiorizar las acciones y tentati-vas físicas, vamos generando modelos simbó-licos a los cuales la escritura suministra sopor-tes físicos de representación que permitenalgo extraordinario: la capacidad de previ-sión. Esto forma parte, indudablemente, de labase del éxito evolutivo de nuestra especie.

6.4 Consideraciones finalessobre la tecnología

La forma de emplear la tecnología pasa, ini-cialmente, por un proceso de amplificacióny, posteriormente, por un proceso más com-plejo, de reorganización. La amplificaciónpuede traducirse así: hacer lo de antes, peromejor. La re-organización como: hacer nue-vas cosas y reorganizar las anteriores en fun-ción de las nuevas posibilidades.

Por ejemplo, al automóvil se le llamó, en suscomienzos, coche sin caballos. Fue un nom-bre efímero pero suficiente para reflejar la ac-titud de ese tiempo hacia la tecnología deltransporte. Una actitud que procuraba asimi-lar el nuevo medio de transporte a otro pro-ducido por una tecnología anterior. El auto-móvil era concebido como un tipo diferentede coche, pero en el fondo seguía siendo uncoche. Las expectativas sobre el automóvilequivalían a las expectativas sobre un proce-

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so de amplificación (es decir, a una mejoradel medio de transporte). Más adelante, seprodujo un cambio de actitud: los automóvi-les empezaron a ser vistos como algo nuevopara algo distinto. Esto implica la existenciade nuevas categorías de referencia, nuevospatrones estéticos, etc.

Una idea muy difundida sobre la tecnologíaconsiste en verla como un medio para la su-peración de las limitaciones que la naturale-za impone a las personas. Es decir, la tecno-logía se ve como una prótesis para reforzar eldominio sobre la naturaleza. Esto es parcial-mente correcto, pero hay un efecto más sutil,más profundo, que las tecnologías producensobre una sociedad: La tecnología es un prin-cipio estructurador. En los centros urbanos, lavida cotidiana gira en torno a los productostecnológicos: el transporte, la comunicacióntelefónica, los medios impresos, la televisióny un sinfín de instrumentos que, de manerasexplícitas e implícitas, moldean nuestra per-cepción de ese entorno urbano hasta el pun-to de hacerse inseparable de él.

La invención de la imprenta (a mediados delsiglo XV) puso en marcha una revolución so-cial cuya onda expansiva llega hasta nuestrosdías. Pero mucho antes, las pinturas en las ro-cas habían cedido el paso a las tablillas de ba-rro húmedo sobre las cuales se imprimían apresión los caracteres cuneiformes; luego dela cerámica vinieron las pieles de animalesmarcadas con textos y más tarde los rollos depapiro. Para el año 100 de la era cristiana yahabía aparecido el códice, pero no fue sinohasta el siglo IX cuando se produjo el primerlibro verdadero de papel.

Podemos ver la imprenta como la continua-ción de un desarrollo tecnológico que ya nose especializa en generar instrumentos auxi-liares para la actividad del cuerpo (herra-

mientas para aumentar la potencia física), oque se proponen el control del entorno físicoinmediato (por ejemplo, sacar ventaja delviento en la navegación). En una primera ins-tancia, la tecnología asociada a la imprenta,se propone amplificar la capacidad de difu-sión de un texto, pero termina impactandolos estilos cognitivos mismos. De manera im-portante, genera un campo de memoria ex-terna cada vez mejor estructurado.

El microscopio y el telescopio, ya desde el si-glo XVII, marcan un momento histórico declara convergencia entre la ciencia y la tec-nología. Resulta imposible pensar en la astro-nomía contemporánea, por ejemplo, al mar-gen de sus instrumentos de observación —apartir del telescopio de Galileo.

Entre el astrónomo y el planeta, ¿cuál es elinstrumento de mediación? Hasta TychoBrahe, el instrumento es el ojo del astróno-mo sin más. Luego, la mediación la encarnael telescopio. La historia de la disciplina estáregistrada en la historia de la evolución deese instrumento. Es claro que el objeto de laobservación cambia cuando cambia el instru-mento mediador y, en consecuencia, cambiael conocimiento producido. Del microsco-pio, puede decirse algo análogo.

Los efectos de la tecnología no los halla-mos solamente en la naturaleza sino tam-bién en las organizaciones sociales. Sin irmás lejos, podemos ilustrar esta situaciónmediante los efectos del reloj en las socie-dades. Dicho instrumento transforma lasrelaciones de los ciudadanos con el tiempode su cotidianidad. Para esos ciudadanos,el tiempo no está hecho solamente de ins-tantes sino también de minutos, de horas,de años, de ciclos escolares, etc. Los instru-mentos mediadores han dejado allí su hue-lla indeleble.

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El siglo XIX fue pródigo en tecnologías infor-máticas. Entre 1850 y 1900 se sentaron lasbases para el desarrollo del telégrafo, del te-léfono, del fonógrafo, de la radio y de otrastecnologías, que constituyen antecedentesfundamentales de las modernas tecnologíasaudiovisuales (desarrolladas durante el sigloXX) y de la Internet.

En las discusiones sobre las tecnologías dehoy, tendemos a ver como productos tecno-lógicos solo aquellos que han sido desarrolla-dos durante nuestro tiempo. Se cree que lascomputadoras son tecnología pero el lápiz,el papel, el bolígrafo, los libros, el signo =, elpizarrón, el alfabeto, no lo son... Pero en rea-lidad sí lo son: son tecnologías inventadaspor el ser humano para servir de amplificado-res y re-organizadores a su cognición. Siadoptamos este punto de vista entonces lacomputadora pierde ese aire de instrumentoextraño con el cual la vemos y pasa a formarparte de un proceso natural de desarrollo so-ciocultural.

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capitulo 1 - primera parte

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