CAPITOLUL 7PROIECIA CILINDRIC TRANSVERSAL MERCATOR (GAUSS-KRGER)Aceast proiecie a fost bazat pe iniierea proieciei cilindrice transversale de ctreGerardusMercator(1512-1594)pentrusferaterestridezvoltatulteriorde matematicianul german Karl Friedrich Gauss (1777-1855) i Johannes Krger(1857-1923) pentru elipsoidul de rotaie. Deoarece primele formule de calcul au fost elaborate de ctre G. Mercator, a fost adoptat denumirea de proiecia TransversalMercator, sau prin proiecia Gauss- Krger, iar n practica curent, proiecia TM sau proiecia Gauss.Folosirea ei n Republica Moldova, ca proiecie oficial, s-a fcut n condiiile ncare s-a folosit nntreaga fostUniuneSovietic,adic:utilizareaElipsoidului Krasovski 1940, cu punctul astronomic fundamental la Pulcovo(sistemul de coordonate 1942).7.1 Generaliti privind proiecia Transversa Mercator7.1.1 Principii i elemente de definireProieciacilindrictransversalaparineproieciilorcilindriceconforme, adic pstreaz nedeformate unghiurile. Denumirea de proiecie este improprie; reprezentarea suprafeei terestre pe suprafaa cilindrului nu are loc dup legile perspectivei liniare, ci dup condiia de conformitate. n proiecia TMntreaga suprafa a Globului terestru sau o anumit poriune din aceasta este reprezentat pe suprafaadesfurabilaunui cilindruimaginar, tangent launmeridian, adicn poziietransversal, acrui axfacecuaxapolilor ununghi egal cu90. Axa cilindrului (AB) coincide cu axa ecuatorial (WE) (fig.7.1.a).Pentru reprezentarea elipsoidului terestru n planul de proiecie au fost stabilite meridianele de tangen pentru ntregul Glob, rezultnd un numr de60 fuse geografice de cte 6 longitudine, ncepnd cu meridianul de origine Greenwich (de 0 longitudine) (fig.7.1.a). Meridianele de tangen la suprafaa cilindrului au longitudinile de 3, 9, 15, 21,...,171, 177 n emisfera estic a Globului terestru(fig.7.1.b).Meridianelecedelimiteazunfusgeograficpoartdenumireademeridiane marginale,iardiferenade longitudine() dintre cele dou meridiane determin mrimea fusului, care din punct de vedere practic este de 6 sau de 3. Fiecare fus de 6sau de 3 are un meridian axial a crui longitudine (0) se stabilete n raport cu meridianul Greenwich, att n emisfera estic, ct i n emisfera vestic a Globului terestru. 109NSW E OEcuatorGr.AB0 6NSWE0 6Gr.meridiane marginalemeridian axial a) b)Fig. 7.1 Proiectarea elipsoidului pe fuse geografice de 6(a)i aspectul fuselor n planul de proiecie (b)PentrucantreagasuprafaaGlobului terestruspoatfi reprezentatn planul obinut prin desfurarea cilindrului dup una din generatoarele sale care trece prin polii geografici, trebuie ca printr-o micare imaginar a Globului se consider cilindrul tangent la meridianul axial al celor 60 de fuse. Deci, pe cilindru se proiecteaz acele 60 de fuse a cte 6 longitudine fiecare, cu vrfurile n cei doi poli geografici Nord i Sud (fig.7.1.a i b).7.1.2 Aspectul reelei cartografice i condiiile reprezentrii Reeaua cartografic n proiecia TM este reprezentat astfel:- Meridianul axial al fusului se reprezint n plan printr-o linie dreapt, care constituie axa de simetrie a fusului i totodat axa absciselor (xx);- Arcul de ecuator cuprins ntre meridianele marginale se reprezint printr-un segment de dreapt perpendicular pe proiecia meridianului axial, fiind considerat ca ax a ordonatelor (yy);- Meridianelese reprezint prin linii curbe convergente la poli, avnd concavitateandreptatspremeridianul axial al fusului considerat, fiind simetrice fa de imaginea plan a acestuia;- Paralelele se reprezint prin linii curbe cu concavitatea ndreptat spre polii geografici, fiind simetrice fa de imaginea plan a ecuatorului.Deoarece, proiecia TMeste conform, trebuie ca imaginile plane ale meridianelor i paralelelor s se intersecteze sub unghiuri de 90.Pentru fiecare fus se realizeaz cte o reprezentare plan separat, care trebuie s satisfac urmtoarele condiii de baz: Reprezentarea plan s fie conform (=0); Meridianulaxial alfusului sereprezint printr-un segmentde dreapt, care este axa de simetrie i axa Ox, cu sensul pozitiv spre nord; norice punct depemeridianul axial deformaiilesunt nule(modulul de deformaie liniar este egal cu unitatea).110PPE EO +y-y+x-xNS-32 1 0 1 23W-1-2-3123E O0+6+12+18+24+30-6-12180174+168-174-1681 60232829303132333435365859 a)b)Fig.7.2 Aspectul general al reelei cartografice n proiecia TM (a)i dintr-un fus de 6 longitudine (b)7.1.3 Sistemul de numerotare a fuselor de 6 longitudinenbaza unei nelegeri internaionale, pe care a adoptat-oi ara noastr, numerotarea fuselor de 6se face cu cifre arabe, de la 1, 2, ..., 59, 60, ncepnd cu fusul 1limitat de meridianele de 180i de -174 longitudine vestic. Numerotarea fuselor se continu spre est pn la fusul nr. 30 (cuprins ntre -6 longitudine vestic i 0- meridianul Greenwich). Seobservdinschemanumerotrii, cmeridianul Greenwichseparfusul 30, situat lavest, defusul 31, situat laest. Secontinu numerotarea fuselor cufusul 31(cuprins ntre meridianul Greenwich de 0 longitudinei meridianul de6longitudineestic) i pnlafusul 60, limitat de meridianul de 174 longitudine estic i de meridianul de 180 (fig. 7.3).

Fig. 7.3 Numerotarea fuselor de 6 n proiecia TMTeritoriul Republicii Moldovaconformschemii denumerotareafuselor se reprezintcartograficndoufuseacte6longitudinecunumerele35i36cu meridianele axiale de 27i33longitudine Est Greenwich. Dar, deoarece n fusul 111xxOy6-x24+500 km+y -y30 OxPyP PP36 trece doar o mic suprafa din teritoriul Moldovei (cu o diferen de longitudine 10fa de meridianul marginal de Est al fusului 35de 30 longitudine) s-a constatat c, R. Moldova este situat n fusul nr. 35(cu meridianul axial de 27 Est Greenwich). nunelesituaii estenecesar derealizat racordareadintrefuselevecine(n special, la reprezentarea acelei mici suprafee din teritoriul Moldovei situat n fusul nr. 36). n acest caz, la marginile de Est i de Vest ale fiecrui fus de 6 longitudine, se creaz o zon de acoperire ntre cele dou fuse alturate. n zona de acoperire se calculeaz coordonatele rectangulare plane TM (x, y) ale punctelor geodezice n ambele fuse, iar la marginea cadrului hrii i planurilor sunt nscrise coordonatele liniilor caroiajului kilometric din cele fuse alturate.7.1.4 Sistemul i originea axelor de coordonate rectangulare planen proiecia TMfiecare fus are sistemul propriu de axe de coordonate rectangulare plane, a crui origine O se gsete la intersecia meridianului axial, care reprezint axa Ox cu Ecuatorul, ce reprezint axa Oy (fig. 7.4). Deci, pentru reprezentareantregii suprafeeaGlobului terestru, sevorutilizaunnumrde60 sisteme de coordonate rectangulare plane. Fig. 7.4 Sistemul i originea axelor de coordonate plane TMCoordonatele rectangulare plane ale unui punct oarecare P(xP, yP) din emisfera nordic, sevorexprima, ncazulabsciselorxnumaiprinvaloripozitive. Valorile ordonatelor y, suntpozitivesaunegative, nfunciedepoziiapunctelor fade meridianul axial, care sunt situate n dreapta (ordonate pozitive) sau n stnga (ordonate negative).Pentru pozitivarea valorilor negative ale ordonatelor y din stnga meridianului axial al unui fus de 6 longitudine, s-a efectuat o translaie a originii sistemului de axa cu+500kmsprevest. Deci, ordonateletuturor punctelor sevor modificaprin adugarea valorii de + 500 km, funcie de coordonatele originii translate:O(x0=0, 000 m i y0=500 000, 000 m).n acest fel citirea coordonatelor unui punct dintr-un fus oarecare se face dup cum urmeaz:- abscisa x se citete potrivit rezultatului obinut din calcul;112- ordonata y se citete potrivit rezultatului obinut din calcul la care se adaug 500 km (dac punctul este situat n dreapta meridianului axial) sau se scade din 500 km (dac punctul este situat n stnga meridianului axial).Pentruaindica inumrul fusului ncare seaflpunctul,se adaugnfaa ordonatei numrul fusului fa de meridianul Greenwich.Exemplu:Punctul P situat n dreapta meridianului axial de coordonate:xP=5 293 625, 43myP=(5) 504 423, 21mse afl n fusul 5 fa de meridianul Greenwich sau n fusul 35 fa de meridianul 180 la o deprtare de 5 293 625, 43 mfa de ecuator i (504 423, 21-500 000)=4 423, 21m fa de meridianul axial, aceasta din urm distan considerat n dreapta meridianului axial.Pentru punctul P (fig.7.4):xP=5 293 625, 43myP=(5) 495 576, 79mestesimetricul punctului Pnraport cumeridianul axial, adiclaodeprtarede 5 293 625, 43 m fa de ecuator i (500 000-495 576, 79)=4 423, 21 deprtare fa de meridianul axial i n stnga lui.7.2 Transformarea coordonatelor n proiecia Transversal MercatorPrin operaia de transformare a coordonatelor se nelegetranscalcululcoordonatelor, cunoscute ntr-un sistem de coordonate, n alt sistem. n proiecia TM se efectuiaz urmtoarele operaii de transcalcul a coordonatelor dintr-un sistem n alt sistem: Transformarea coordonatelor geografice n coordonate rectangulare plane TM; Transformarea coordonatelor plane TM n coordonate geografice; Transformarea coordonatelor plane TM din fus de 6 n fus de 3 longitudine; Transformarea coordonatelor plane TM din fus de 3 n fus de 6 longitudine; Transformarea coordonatelor plane TM din fus de 6 n fus vecin de 6sau din fus de 3 n fus vecin de 3 longitudine.Pentru transformarea coordonatelor dintr-unsistem n altsistem,s-au folosit att rezolvrile clasice pebaza calculului tabelar, ct i rezolvrile modernecu ajutorul diferitelor programerealizatepentruexecutareaacestor operaii nsistem automatizat cu calculatoare electronice.n continuare, vom prezenta primele dou operaii de transcalcul a coordonatelor dintr-unsistemdecoordonate, nalt sistem, nproieciaTMprin metoda funciilor analitice.113O0Ecuatorul0meridian axialAB CD+ddsdsmdsp=-0+dACdsdydx+x +xx+dxxOyy+dy+yD007.2.1 Transformarea coordonatelor geografice n coordonate rectangulare plane TMCunoscnd coordonatele geografice ale unui punct de pe elipsoidul de rotaie (,)i longitudineameridianuluiaxialalfusuluincareurmeazafireprezentat (0), se cere s se calculeze coordonatele plane TM (x,y) ale punctului respectiv.[S] [S][S] suprafaa elipsoidului de rotaie [S] planul proieciei TM Fig. 7.5 Reprezentarea unui arc infinit mic de pe suprafaa elipsoidului (ds)n planul proieciei TM (ds)Pe elipsoid, se consider coordonatele izometrice q(latitudinea izometric) i (diferenadelongitudinentremeridianul punctului dat i meridianul axial al fusului respectiv), n care:0 (7-1)iar:cos NMddq (7-2)nplanul deproieciecoordonatelerectangularex,yformeaztot unsistem izometric.Pe baza proprietilor proieciilor conforme, dezvoltate n capitolul 3 (paragraful 3.4) rezultc, peelipsoid, latitudineaizometricq,mpreuncu formeaz un sistemizometric de coordonate i c, n cazul unei reprezentri conforme a elipsoidului(S) pe un plan de proiecie(S) (fig. 7.5), se poate scrie relaia general:( ) + + i q f iy x (7-3)n care funcia analitic f, de variabil complex (q+i), se determin innd cont de faptul c proieciei TM, n afara condiiei de conformitate, i se mai pun nc dou condiii i anume: Meridianulaxial alfusului, culongitudinea =0,sse reprezinte printr-un segment de dreapt (fig. 7.5).Rezult c pentru =0, y=0, iar:) (0q f x (7-4) Meridianul axial s se reprezinte nedeformat ca lungime. De aici rezult:114B x 0 (7-5)ncareBestelungimeaarcului demeridian, msurat peelipsoid, delaecuator (originea sistemului xOy) pn la paralelul care trece prin punctul considerat.Comparnd (7-4) cu (7-5) rezult c:B q f ) ( (7-6)Se dezvolt n serie Taylor funcia f(q+i), oprin dezvoltarea la derivata de ordinul 6:) (! 6...... ) (! 3) (! 2) (! 1) ( ) (6 6 3 3 2 2q fiq fiq fiq fiq f i q fVI + + + + + + (7-7)nlocuind: B q f ) ( i ii ii 531 111642 + iiii innd cont de relaia (7-3), rezult:.....720 120 24 6 266 655 544 433 322 2 + + + +dqB ddqB didqB ddqB didqB ddqdBi B iy x (7-8)Separnd partea real de partea imaginar, se obine:55 533 366 644 422 2120 6....720 24 2dqB ddqB ddqdBydqB ddqB ddqB dB x+ + + (7-9)Acesterelaii suntformuleledebazaleproieciei TM. Pentrualeputea aplica n calculele numerice, este necesar s se calculeze i s se nlocuiasc derivatele respective.Considernd arcul de meridian B ca funcie de latitudinea , iar pe aceasta din urm ca funcie de latitudinea izometric q, se calculeaz prima derivat ca pentru o funcie de funcie:dqdddBdqdB (7-10)Arcul de meridian elementar are expresia dB=Md, de unde rezult.MddB (7-11)n relaia (7-2) avem cos NMddq i de aici se deduce:MNdqd cos(7-12)nlocuind ultimile dou derivate n (7-10), se obine pentru prima derivat: cos NdqdB (7-13)Derivatele de ordin superior au expresiile:115) 58 61 ( cos sin58 14 18 5 ( cos) 4 9 5 ( cos sin) 1 ( cossin cos4 2 5662 2 2 4 2 5554 2 2 3442 2 33322t t NdqB dt t t NdqB dt NdqB dt NdqB dNdqB d+ + + + + + (7-14)n care s-a notat: t g te2 2 2c o s (7-15)nlocuind derivatele n formulele de baz (7-9) se obin formulele de calcul:( )1111]1

+ ++ + + ++4 2 564 2 2 34 25 8 6 1 c o s s i n7 2 0) 4 9 5 ( c o s s i n2 4c o s s i n2t t Nt N N Bx (7-16)

1111]1

+ + + + + 2 2 2 4 2 552 2 335 8 1 4 1 8 5 ( c o s1 2 0) 1 ( c o s6c o s t t t Nt N Nyunde:116+x+y OxEcuatorulD(x,y)1D(1)B1=xBC 1111]1

,_

+

,_

,_

+

,_

,_

+ ++ 8 s i n5 1 23 1 56 s i n4 83 54 s i n411 61 52 s i n81236 4141114 34 2 3 4 2n nn n n n n nnaB(7-17)la care:b ab an+ (7-18)i a, b sunt semiaxele elipsoidului de rotaie.n cazul cnd Pmntul este considerat sfer vom avea urmtoarele formule de calcul:

,_

+1]1

,_

BBR ytgarctg R xrad11ln21) cos(00 (7-19)unde:) sin( cos0 B (7-20)Dac1 B t , atunci y este situat la infinit. 7.2.2 Transformarea coordonatelor plane TM n coordonate geografice pe elipsoidCunoscnd coordonatele rectangulare plane TM (x,y) ale unui punct oarecare D (fig. 7.6), se pune problema calculrii coordonatelor geografice (, ) ale punctului corespunztor pe suprafaa elipsoidului de referin.Fig. 7.6 Latitudinea ajuttoare 1, apropiat de latitudinea .Paralelul de latitudine al punctului D intersecteaz axa Ox (meridianul axial) n punctul C, iar dreapta dus prin D, paralel cu axa Oy, intersecteaz Ox n punctul ajuttor D1(x,0) de latitudine 1.117Deoarece n lungul axei Ox lungimile nu sunt deformate OD1=x=B1, n care B1 reprezint pe elipsoid, lungimea unui arc de meridian, de la ecuator pn la latitudinea 1.Latitudinea1fiind apropiat de latitudinea, necunoscut, o serie de dezvoltri n serie vor fi fcute n jurul latitudinii 1.Transformarea pe care o facem trebuie s fie conform (reprezentare conform a planului de proiecie TM, pe suprafaa elipsoidului), astfel c analog cu (7-3), vom folosi relaia:) ( iy x F i q + + (7-21)Deoarece meridianul axial este i axOx, atunci pentru 0 i0 yvom avea:) ( ) ( B F x F q (7-22)Membrul al doileadin(7-21)sedezvoltnserieTaylor, njurul punctului D1(1):... ) (! 5) (! 4) (! 3) (! 2) ( ) (15 514 413 312 21 1+ + + + + + + x Fy ix Fy ix Fy ix Fy ix F iy x F i qV IV(7-23)tiind c:1 i, 12 i,i i 3, 14+ i,i i + 5 , egalnd partea real dinmembrul stngcupartearealdinmembrul drept, procedndlafelcuprile imaginare, i innd cont de (7-22), se deduce, din (7-23):... ) (24) (244 4122 21 + dBq d ydBq d yq q (7-24)... ) (120) (6) (155 5133 31 + dBq d ydBq d ydBdqy (7-25)Acestea sunt relaiile matematice de baz ale transformrii.Pentruobinereaformulelor decalcul numeric, estenecesar ssecalculeze derivatele succesive ale funciei q n raport cu arcul de meridian B i s se treac de la latitudinea izometric q la latitudinea geografic (geodezic) .tiind c:Md dBNddqcos(7-26)rezult:M dBdr N dBdq11cos1 (7-27)Folosind ultimile expresii n derivatele succesive, dup calcule rezult:) 8 6 24 28 5 (cos1) 4 6 5 (cos1) 2 1 (cos1cos12 2 2 4 25 554 2 24 442 23 332 22t t tN dBq dt tN dBq dtN dBq dtN dBq d + + + + + + + + (7-28)118n care s-a notat: 2 2 2c o s ei tg t (7-29)nlocuimderivatelecorespunztoaren(7-25), i vomobinediferenade longitudine (exprimat n radiani): ( ) ( )21212141211515212113131 18 6 24 28 5cos 1202 1cos 6 cos t t tNYtNYNY+ + + + + + + (7-30)

Trecerea de la latitudinea izometric q la latitudinea geografic Latitudinea izometric q este funcie numai de latitudinea geografic . Inversnd, se poate scrie c latitudinea este funcie de q:) (q (7-31)sau:) (1q q + (7-32)n care:1q q q (7-33)Dezvoltnd n serie Taylor funcia (7-32), n vecintatea paralelului de latitudine 1, cunoscut, rezult:... ) (! 21) ( ) (12221 1+ + + dqdqdqdq q sau... ) (21) (12221 1+ + + dqdqdqdq (7-34)Creterea q se scoate din (7-24):... ) (241) (21144412221 + dBq dydBq dy q q q(7-35)iar derivatele lui q n raport cu B sunt cunoscute din (7-28). nlocuindu-le n aceast relaie i apoi introducnd-o n (7-34), iar cu mrirea preciziei prin folosirealui M1, va rezulta formula pentru calculul latitudinii :( )( )21412121214121 151 1641214121212121 131 1411 12145 162 107 45 90 617209 3 6 6 3 524 2 t t t t tN Myt t t tN MytN My + + + ++ + + (7-36)unde: 6 sin961514 sin325516212 sin32272331412131 11

,_

+

,_

+

,_

+ e e e e e; (7-37)

( )( )2 / 122 / 1211 11 1eee + ; (7-38)

,_

2565643416 4 2e e eaB;(7-39) x B B + 0; (7-40)119ACBds dxdy+x +x=ct. =ct.y y+dy +yEcuatorulxx+dxOMla care B0se calculeaz dup relaia (7-17) la latitudinea 0, iar razele de curbur M1 i N1 se calculeaz pentru latitudinea 1.nproblematransformrii coordonatelorx,ydinproieciaTMncoordonate ,peelipsoidulWGS-84,acest procedeuestecomparabildinpunctdevedereal aproximaiei de calcul: 0005 , 0 10003 , 0 1 t t t t m cm mm cm myx(7-41)Observaie: Valoarea numeric a coordonatei y trebuie considerat de la meridianul axial al fusului, deci frtranslaie. Oricetranslaie aaxei Ox, care modific valoarea adevrat a lui y, duce la valori eronate pentrucoordonatele geografice , calculate!n cazul cnd Pmntul se consider sfer, vom utiliza urmtoarele formule:1111]1

) cosh(sinarcsinRyD (7-42)1111]1

+ DRyarctgcos) sinh(0 (7-43)unde0 + RxD; ...! 6 ! 4 ! 21 ) (21cosh...! 7 ! 5 ! 3) (21sinh6 4 27 5 3+ + + + + + + + + x x xe ex x xx e ex xx x(7-44)7.3 Unghiul de convergen meridian n proiecia TMUnghiul deconvergenmeridiansauconvergenameridianeloreste unghiul format deimagineaplanameridianului punctului considerat, cudreapta dus prin acel punct, paralel la proiecia meridianului axial al fusului, care se ia ca ax a absciselor Ox. Acest unghi de convergen meridian n proiecia TMnu trebuie s fie confundat cu convergena meridianelor pe elipsoidul terestru, ce se exprim ca diferen dintre azimutul geodezic direct i azimutul geodezic invers.Fig. 7.7 Unghiul de convergen meridian din proiecia TM120Deoarece proiecia TM este conform, unghiul MAB, dintre imaginile plane ale meridianului i paralelului punctului A este egal cu 90, adic este egal cu unghiul depeelipsoid, deunderezultcunghiulesteegalcuunghiuldintriunghiul dreptunghic infinit mic ACB, ca unghiuri cu laturi perpendiculare.Din punct de vedere practic, unghiul se calculeaz pentru centrul zonei de cartografiat, att n funcie de coordonatele geografice (,), ct i de coordonatele rectangulare TM (x,y).A) Calculul convergenei meridianelor n funcie de coordonatele geograficeDin triunghiul dreptunghic, infinit mic, ABC(fig. 7.7) se poate scrie:dydxtg tg (7-45)n proiecia TM, coordonatele rectangulare sunt funcii de coordonatele geografice, (,), adic:) , () , (21 f yf x (7-46)Rezult: + + dydydxdxdydxtg(7-47)Deoarece A i B infinit apropiate sunt situate pe acelai paralel rezult: 0 d, iar relaia (7-47) devine: yxdydxtg(7-48)tiind c:( )1111]1

+ ++ + + ++4 2 564 2 2 34 25 8 6 1 c o s s i n7 2 0) 4 9 5 ( c o s s i n2 4c o s s i n2t t Nt N N Bx (7-49)121

1111]1

+ + + + + 2 2 2 4 2 552 2 335 8 1 4 1 8 5 ( c o s1 2 0) 1 ( c o s6c o s t t t Nt N Ny rezult:), 1 ( cos21cos... ) 4 9 5 ( cos sin61cos sin2 2 3 24 2 2 3 3 + + + + + + t N Nyt N Nx(7-50)caresenlocuiescn(7-48).SescoatenfactorNcos, sesimplific, sedezvolt numitorul dup binomul lui Newton la puterea -1, i lund numai primii doi termeni ai dezvoltrii, se obine:

1]1

+ 1]1

+ + + ) 1 ( cos211 ) 4 9 5 ( cos sin61sin2 2 2 2 4 2 2 2 3 t t tg (7-51)Efectund produsele i neglijnd termenii care-l conin pe la puteri mai mari ca 3, rezult:) 1 ( cos sin21) 4 9 5 ( cos sin61sin2 2 2 3 4 2 2 2 3 + + + + t t tg(7-52)atunci:), 3 3 3 4 9 5 ( cos sin61sin2 2 4 2 2 2 3 + + + + t t tg (7-53)iar dup reducerea termenilor asemenea i simplificarea ultimului termen,

) 2 3 1 ( cos sin31sin4 2 2 2 3 + + + + t tg(7-54)Notnd membrul al doilea cu x, atunci:arctgxx tgConform dezvoltrii n serie Mac-Laurin se tie c: 5 35 3x xx arctgx + ,dezvoltare care pentru x=tg se scrie:...3) (3+ tgtg tg arctg(7-55)nlocuind tg cu (7-54), iar pentru tg3 i lund numai primul termen din (7-54), rezult:... sin31) 2 3 1 ( cos sin31sin3 3 4 2 2 2 3+ + + + + ttiind c 222 2cossin tg ti scondu-l din parantez,122

1111]1

+ + + + + . . . s i n31c o ss i nc o s s i n31) 2 3 1 ( c o s s i n31s i n3 3222 3 4 2 2 3 Dup reducerea ultimilor termeni,... ) 2 3 1 ( cos sin31sin4 2 2 3+ + + + (7-56)O formul mai precis pentru calculul lui conine i termenul n 5, adic:1111]1

++ + + + ) 2 ( c o s s i n1 51) 2 3 1 ( c o s s i n31s i n2 4 54 2 2 3t (7-57)n formulele (7-56) i (7-57), i sunt n radiani.Convergena meridianelor exprimat n secunde va fi:[ ]11111]1

1]1

++ 1]1

+ + + 5 2 443 4 2 22) 2 ( c o s s i n1 51) 2 3 1 ( c o s s i n31s i n t(7-57)1230meridianul axialDKmNM NGKmNGNMD1 2 3 4 5KmNGNMDKmNMNG DKmNG NMDUltimile formule asigur o aproximaie de 0",001 n calculul lui .nformuladecalculalui,termenul principal, hotrtorpentruordinulde mrime i pentru semn, este primul termen. Prin urmare, ntr-o prim aproximaie se poate lua: sin ,(5-58)de unde rezult c, la ecuator i pe meridianul axial al fusului este nul, iar n restul punctelor din planul de proiecie TM este mai mic dect diferena de longitudine .n emisfera nordic,semnul lui este egal cu semnul lui : pozitiv la est de meridianul axial, i negativ la vest de acesta.Unghiul de convergen meridian poate fi calculat i funcie de coordonatele plane TM:5 4121511 3 41212131111) 3 5 2 (15) 2 1 (3y t tNty tNty tN1]1

+ + +1]1

+ + +1]1

(5-59)n care indicele 1 sunt nite coeficieni variabili, dependeni numai de latitudine, i trebuie calculai pentru latitudinea 1, a unui punct auxiliar situat pe meridianul axial al fusului i avndcoordonataxegalcuceaapunctului ncaresecalculeaz (latitudinea 1 se determin asemntor ca la transformarea x,y ,).Utilizri ale unghiului de convergen meridian din proiecia TM:1. La orientarea hrilor n teren, cu ajutorul declinatorului (busolei): se aeaz declinatorul paralel cu liniile sud-nord ale caroiajului kilometric, i se rotete harta, n planul orizontal, pn cnd acul magnetic indic unghiul D, a crui valoare se determin aa cumrezult din fig. 7.8, pe care sunt folosite urmtoarele notaii: NG- nordul geografic; NM- nordul magnetic; Km- linie a caroiajului kilometric, paralel cu Ox; - declinaia magnetic; D- unghiul cu care orientm harta.Fig. 7.8 Utilizarea unghiului pentru orientarea unei hriDe obicei, pe hrile topografice, n afara cadrului, se d o schem asemntoarecuceadinfigur, iaralturi sunt precizate: declinaiamagneticn zona central la momentul tipririi hrii, variaia ei anual, unghiul de convergen meridian i data imprimrii hrii.124121212A12 P+x+y O0P(,)AdsCDNcosdMd=ct.P(x,y)C(x+dx;y+dy)+y+xdydxF=ct.dsO2. Pentru trecerea da la azimute de pe elipsoid la orientrile din planul proiecieiTM:12 1 12 12 + A (7-60)n care: A este azimutul; este orientarea; este corecia de reducere a direciei laplanul deproiecieTM, explicatamnunit nparagrafeleurmtoareale cursului.Fig. 7.9 Utilizarea unghiului pentru trecerea de la azimute la orientri7.4 Deformaiile n proiecia TMProiecia TMfiind conform nu deformeaz unghiurile (=0), dar se deformeaz distanele i ariile. Pentru calculul deformaiilor lungimilor i suprafeelor, se folosesc att coordonatele geografice (,), ct i coordonatele rectangulare TM (x,y).7.4.1 Calculul deformaiilor din proiecia TM, n funcie de coordonatele geograficeFie un punct P(,) de pe elipsoid ce are ca imagine un punct P(x,y) n planul de proiecie TM, al unui fus cu meridianul axial 0, n care vrem s calculm valoarea modulului de deformaie liniar.a) pe elipsoid b) n planFig. 7.10 125+x+y OxPA=90C=ct.Pe elipsoid (fig. 7.10 a), pe o direcie de azimut A, la o distan elementar ds, se ia un punct C al crui paralel intersecteaz meridianul lui P n D.AsimilndtriunghiulPCD, culaturiinfinit mici, cuuntriunghidreptunghic plan, DC=Ncosd.n plan (fig. 7.10 b), punctele P(x,y) i C(x+dx; y+dy) sunt imaginile punctelor P i C de pe elipsoid.Ducnd prin P i C paralele la axele de coordonate, se obine la intersecia acestor drepte, punctul F.Orientarea PC s-a notat cu .innd cont de definiia modulului de deformaie a distanelor, putem scrie:2 2 2 2 22 22 2cos) ( ++d N d Mdy dxdss d (7-61)Din fig. 7.10 rezult: dyctg dx ctgA d N Md cos,astfel c, (7-61) se poate scrie n forma:) 1 ( cos) 1 () (2 2 2 22 22 2A ctg d Nctg dydss d+ + (7-62)tiind c, xx ctg22sin1) 1 ( +, relaia de mai sus devine: 222 222sinsincosAd Ndysau, extrgnd rdcina ptrat i grupnd convenabil: sinsincos1 AN ddy (7-63)Vom transforma convenabil ultimul termen.Fig. 7.11Deoareceproieciaesteconform, modululdedeformaieliniarareaceeai valoarepeoricaredireciecarepornetedinPiatuncisepoateluaA=900. Prin urmare: cos ) 90 sin( sin1 90 sin sin00 Aadic: cos1cos1 N ddy (7-64)Unghiul(radiani) fiind mic, ultimul termen se transform, prin dezvoltri n serie, n care se consider doar primii termeni, astfel:126...21 ...)21 (...211cos12122+ + + + (7-65)Lund din expresia lui numai termenul principal, sin , atunci expresia (7-65) ia forma: 2 2sin211cos1 + (7-65)Pentru calculul derivatei ddy folosim expresia lui y din (7-16):1]1

+ + + ... ) 1 ( cos6cos2 2 33 t N N yi obinem:... ) 1 ( cos21cos2 2 3 2+ + + t N Nddysau:1]1

+ + + ... ) 1 ( cos211 cos2 2 2 2 t N Nddy (7-66)Fcnd nlocuirele n (7-64), dup simplificarea cu Ncos rezult:) sin211 ( ) 1 ( cos2112 2 2 2 2 2 +1]1

+ + t N(7-67)Dup efectuarea produselor i neglijarea termenilor care-l conin pe la puteri mai mari ca 2,... sin21) 1 ( cos2112 2 2 2 2 2+ + + + t(7-68)tiind c 222 2cossin tg ti scondu-l din parantez, 2 2222 2 2 2 2sin21cossincos21) 1 ( cos211 + + + iar dup reducerea ultimilor termeni,) 1 ( cos2112 2 2 + + (7-69)O formul mai precis, conine i termenul n 4:4 2 4 2 2 2) 4 5 ( cos241) 1 ( cos211 1]1

+ 1]1

+ + t (7-70)n care 2 2 2c o s e.ncazul cndPmntuleste consideratsferse utilizeazurmtoarearelaie pentru modulul de deformaie liniar:211B (7-71)unde ) sin( cos0 B.Pentru deformaia relativ a distanelor, D, rezult:2 2 2) 1 ( cos211 1]1

+ D(7-72)Din aceast formul, se pot trage urmtoareleconcluzii, privind deformaiile distanelor din planul proieciei TM:127- pe meridianul axial, unde =0, distanele nu sunt deformate;- n orice punct nesituat pe meridianul axial se produc deformaii pozitive, cu att mai mari, cu ct deprtarea acestuia fa de meridianul axial este mai mare;- pe meridianele marginale ale fuselor, au loc cele mai mari deformaii;- peoricaremeridian, deformaiamaximareloclainterseciaacestuiacu ecuatorul.Dac se dorete exprimarea deformaiei relative a distanelor n cm/km, atunci se folosete formula:[ ]510 ) 1 ( / km cm D(7-73)Modulul de deformaie ariolar, p, se calculeaz cu relaia:2 p (7-74)dincare rezult c, singura lini pe care nu se produc deformaii areolare este meridianul axial; n toate celelalte puncte din planul de proiecie TMau loc deformaii pozitive, cele mai mari fiind n zonele meridianelor marginale.Date numerice asupra deformaiilor relative ale distanelordin planul de proiecie TM, nfunciedediferena de longitudine fa de meridianul axial al fusului, peparalelul de=47 (latitudinemedieateritoriului R. Moldova), sunt prezentate n urmtorul tabel: Deformaii relative ale distanelor din planul proieciei TM,D(cm/km), funcie de coordonatele geografice pe paralelul de =47 Tabelul 7.10 Dcm/kmObservaii000'0 Pe meridianul axial030'+1,8100'+7,1130'+16,0La marginea fuselor de 3200'+28,4300'+64,0La marginea fuselor de 6310'+71,3 Partea de est al R. Moldova7.4.2 Calculul deformaiilor din proiecia TM, n funcie de coordonatele rectangulare planeUtilizm urmtoarele relaii, deduse anterior:) 1 ( cos2112 2 2 + + i (7-75)... cos + N y128Din ultima relaie se determin : cos Ny Substituind n (7-75), i efectund simplificarea se obine:) 1 (21222 + + Ny (7-76)Dar, 2222 2 2c o s1c o seeeastfel c, 22 222221) cos 1 ( 1cos11 1eeee + + ,sau:22 221sin 11ee +(7-77)Pedealtparte, inndcont deexpresiilerazelorprincipaledecurburale elipsoidului, avem: ) 1 () sin 1 () sin 1 (2232 2212 2e aeeaMN,iar dup simplificare,22 21sin 1eeMN (7-78)Comparnd (7-77) cu (7-78), reiese c:MN +21 (7-79)nlocuind n (7-76), dup simplificarea cu N i nlocuirea MN=R2, rezult:2221Ry+ (7-80)O formul mai precis pentru calculul lui , pe care o dm fr demonstraie, conine i termenul n y4, adic:442224 21RyRy+ + (7-80)Pentru y=250 000m, termenul n y4 poate influena doar a aptea zecimal cu o unitate, astfel nct, pentru nevoile curente ale practicii, se poate neglija.Raza de curbur R, variabil cu latitudinea, este comod s se calculeze pentru o latitudineaproximativ,1, pecareodeterminmcuajutorulcoordonateix, can cazul transformrii coordonatelor plane TM n coordonate geografice.n anumite situaii, latitudinea necesar pentru calculul lui R se poate determina grafic, cu ajutorul unei hri.Raza de curbur R,pentru teritoriul Republicii Moldova, la latitudinea medie de 470 este: R=6 379 595, 593m.Deformaiile relative ale distanelor, din planul proieciei TM, pot fi determinate funcie de coordonatele plane, folosind relaia:129...2122+ + RyD , (7-81)dincareseconstatc, pentruy=0, D=0, adicpemeridianul axial deformaiile distanelor sunt nule, iar n celelalte puncte din planul de proiecie suntpozitivei cresc, aproximativ,direct proporional cuptratul distanei fademeridianulaxial al fusului.Modulul de deformaie areolar se calculeaz folosindformula cunoscut: 2 p, iardeformaiileariilorsunt pozitivei crescpemsuradeprtriifade meridianul axial.Deformaii relative ale distanelor, n proieciaTM, D(cm/km), funcie de coordonata y, la latitudinea medie a R. Moldovei =47 Tabelul 7.2 ykmDcm/kmObservaii0 0 Pe meridianul axialt 50 km +3,1t 100 km+12,3t 116 km+16,2La marginea fuselor de 3t 232 km+64,1La marginea fuselor de 6n tabelul 7.2 se vede c, n zonele meridianelor marginale ale unui fus de 6, deformaia este de patru ori mai mare dect cea de pe meridianele marginale ale unui fus de 3.nscopul limitrii deformaiilor produsedeproieciaTM, reprezentrilela scara 1: 10 000 i la scri mai mari (1: 5 000, 1: 2 000, 1: 1 000 etc.) se fac, de obicei, pe fuse de 3, deoarece deformaiile de pe meridianele marginale ale unui fus de 30 sunt comparabile cu unele erori de msurare. Pentrulucrri speciale, n vederea reducerii substaniale ale deformaiilor, normativele tehnice permiteau utilizarea fuselor locale astfel, nct meridianul axial al fusului streacprincentrul zonei, undeseurmreaunminimdedeformaii. n vecintatea meridianului axial deformaiile sunt aproape nule. Utilizarea fuselor locale este aprobat pentru reprezentarea teritoriului Republicii Moldova la scri mari, asupra creia vom reveni cu amnunte n partea final a capitolului.Proiecia TM pe un fus de 6, elipsoidul WGS-84Izoliniile deformaiilor liniare, funcie de yTabelul 7.3=48=47=46=48=47=46IzoliniaD[cm/km] y [m] y [m] y [m]IzoliniaD[cm/km] y [m] y [m] y [m]0 0 0 0 45 191 410 191 388 191 36513051015202530354063 80390 232110 511127 607142 669156 286168 808180 46363 79690 221110 498127 592142 652156 268168 788180 44263 78990 211110 485127 577142 635156 249168 768180 42150556065707580201 764211 612221 021230 046238 731247 110255 214201 741211 587220 996230 020238 703247 081255 184201 717211 562220 970229 993238 675247 052255 154131ProieciaTMUn fus standard de 60(0=27)Izoliniile deformaiilor (cm/km)1: 2 000 000Fig. 7.12 Izoliniile deformaiilor pe teritoriul R. Moldova n proiecia TMProieciaTMUn fus standard de 6(0=27)Izoliniile deformaiilor (cm/km)7.5 Reducerea direciilor la planul de proiecie TM132ProieciaTMUn fus standard de 3(0=27; 0=30)Izoliniile deformaiilor (cm/km)1: 2 000 000Fig. 7.13 Izoliniile deformaiilor pe teritoriul R. Moldova n proiecia TMOxy0123012312212332 3113+x(Reducerea la coard)Reducerea direciilor la planul de proiecie TM, const n a calcula i a aplica o coreciedireciilormsurate, deoareceimaginileplanealeliniilorgeodezicedepe elipsoid(respectivalelaturilortriunghiurilor geodezice), nusunt, ngeneral, linii drepte, ci curbe cu concavitatea spre meridianul axial. n urma aplicrii coreciilor de reducere a direciilor la planul de proiecie, din diferena direciilor corectate se pot obine unghiurile unor triunghiuri plane ale cror laturi sunt corzile curbelor ce reprezint imaginile plane ale liniilor geodezice de pe elipsoid(fig. 7.14). a)pe elipsoidb) n planul de proiecieFig. 7.14 Direcii reduse la planul de proiecie TMn cele dou puncte extreme ale liniei geodezice, de exemplu 1-2, curba i coarda ei fac cte un unghi mic,12i21, (fig. 7.14 b), reprezentnd coreciile de reducere a direciilor respective, la planul de proiecie TM. n fiecare triunghi geodezic se calculeaz cte ase valori pentru coreciile .Dacmsurtorileazimutaleefectuatenreeauageodezicnaional(RGN) urmeaz a fi prelucrate n planul de proiecie TM, atunci direciile azimutale msurate trebuie s fie reduse la planul acestui sistem de proiecie, aplicnd fiecrei direcii cte o corecie, calculat cu formule specifice proieciei.Formuleledecalcul pentrureducereadireciilor laplanul deproiecieTM difer de la un ordin la altul al RGN, funcie de precizia necesar n cazul respectiv.1. Reducerea direciilor laplanul de proiecie TM, nreeuageodezic naional de ordinul 2(RGN-2)Fie, 1(x1, y1) i 2(x2, y2) imaginile plane ale punctelor 1 i 2 de pe elipsoid (fig. 7.15), iar curba a- imaginea plan a liniei geodezice respective.1339090120CD02(x2, y2)1(x1, y1)1221CDy2y1ax2-x1 a)pe elipsoidb) n planul de proiecieFig. 7.15 Corecia de reducere a direciilor la planul de proiecie TMTangentele duse la curba an punctele 1 i 2 fac cu coarda 1-2 unghiurile 12i21, care reprezint coreciile de reducere a direciilor 1-2 i, respectiv 2-1 la planul de proiecie TM.Punctele C i D sunt picioarele perpendicularelor duse din punctele 1 i 2 pe axa Ox.Figura1a2CDesteimagineaplanapatrulaterului 12CDdepeelipsoid, care are suma unghiurilor egal cu 360+, n care este excesul sferic.Deoarece proiecia este conform, trebuie ca suma unghiurilor figurii din plan s fie egal cu suma unghiurilor figurii respective de pe elipsoid, adic: + + +021 120360 360de unde rezult: +21 12Pentru excesul sferic este cunoscut formula general: 2RS n care, n cazul de fa, S este aria patrulaterului 12CD de pe elipsoid, iar R este raza medie de curbur a elipsoidului, n poriunea patrulaterului considerat.Deoarecevaloareaexcesului sfericesterelativmic, pentrucalculul suse poate nlocui aria S, de pe elipsoid, cu aria S a trapezului plan 12CD, i dac se ia aproximativ:21 12 ,atunci:) (2 2 211 22 1221 12x xy yR+ Dac notm:

fR 22 (factorul excesului sferic)imyy y+22 1 ,i inndcont de faptul c orientrile i gradaiile de pelimbul teodolitelor au creterilepozitivensensul acelor deceasornic, urmrindfigurai semneledin ultimile relaii, deducem formula definitiv:my x x f ) (1 2 21 12 (7-82)Aceast formul asigur o precizie de calcul al coreciei de 0,"1, ceea ce este suficient, de regul, pentru RGN-2.134O11(x1, y1)2(x2, y2)212d12a q dpds 2. Reducerea direciilor laplanul de proiecie TM, nreeuageodezic naional de ordinul 1(RGN-1)n acest caz este necesar s se asigure sutimea de secund n calculul coreciilor de reducere.Folosim formula dedus anterior, pentru ordinul 2, pentru corecia , o lum n valoarea absolut i o exprimm n radiani:21 22) (Rx x (7-82)Fig. 7.16 Reprezentarea liniei geodezice n sistemul de axe cu originea n 1Pe curba a, iagine plan a liniei geodezice de pe elipsoid, se consider punctele p i q, care determin arcul elementar d. n aceste puncte, corecia este infinit mic, astfel nct relaia (7-82) devine:22Rydxd sau:22Rydxd (7-83)Punctul O1este centrul de curbur al arcului pq, este raza sa de curbur, iar unghiul la centru este 2d, astfel c: d d 2i, aproximnd lungimea curbei () cu lungimea corzii (s), ds d , atunci:ds d 2 ,de unde se obine pentru curbur:

dsd2 1nlocuind unghiul din O1 cu expresia sa (7-83), se obine:ds Rydx21 (7-84)Considerm punctul 1 ca origine a unui sistem de coordonate n care variabila independentse msoarnlungulaxei12,iar pe direcia perpendicular,i scriem expresia general a curburii, folosind aceste coordonate:13523222) ( 111]1

+t dddd (7-85)Valoarea derivatei este egal cu tangenta unghiului mic dintre curb i coard. Ptratulacestei valorivafifoartemicncomparaiecuunitatealacareseadun, nct se va neglija, i atunci expresia (7-85) devine (pentru comoditate se va considera semnul pozitiv, urmnd ca la sfritul demonstraiei, printr-o interpretare a figurii, s se stabileasc dac trebuie sau nu schimbat):221 dd(7-86)Egalnd (7-86) cu (7-84) se obine:ds Rydxdd2 22 (7-87)Coarda 12 are orientarea , astfel c, pentru un punct curent de pe coard: coscossin11d dxx xy y+ + (7-88)nlocuind n (7-87) i innd cont c ds d , rezult: cossin2122dd Rydd +sau:2 2122cos sin cosR Rydd + (7-89)Din aceast ecuaie diferenial, dac nmulim cudi considerm R=Rm=constant, obinem:12 2122)cos sin cos( C dR Rydddm m+ + i dup integrare:122212cos sin cosCR Ryddm m+ + (7-90)nmulind din nou cu d i integrnd, se obine:2 1232216cos sin2cosC CR Rym m+ + + (7-91)Determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se face tiind c n punctul 1avem: 12 1200 tgddinnd cont de aceste relaii, din (7-90) rezult:12 1 C ,iar din (7-91):

02 Cn punctul 2 avem:13601(x1, y1)1221+xy2y1ax2-x1sx1x2y2-y1 s 2 10astfel c, din (7-91) obinem:sRssRym m12232216cos sin2cos0 + + sau:)6cos sin2cos(222112m mRssRy + (7-92)Dar, din fig. 7.17 rezult c: ) ( sin) ( cos1 21 2y y sx x s Fig. 7.17 Corecia de reducere a direciilor la planul de proiecie TMi nlocuind n (7-92) se obine:1]1

+ 21 2 1 221 2 1126) )( (2) (m mRy y x xRx x y (7-93)scond n faa parantezei 21 22) (mRx x i nmulind cu ", rezult:)3(2) (1 2121 212y yyRx xm+ (7-94)sau:) 2 )( (2 312 1 1 2212y y x xRm+ i (7-95)) 2 )( (2 311 2 1 2221y y x xRm+ + ,care se pot scrie i n forma:) 2 )( (3) 2 )( (31 2 1 2 212 1 1 2 12y y x xfy y x xfmm+ + + (7-95)1372(x2, y2)Factorul excesului sferic,fm, se calculeaz pentru o latitudine medie,m, determinat aproximativi considerat constant pentruunnumr mai mare de triunghiuri din reea.Formulele (7-95), respectiv (7-95), asigur o precizie de calcul al coreciei de 0",01.Pentru a obine o direcie redus la planul de proiecie TM, trebuie ca direciei msurate s i se adune, algebric, corecia calculat cu formulele de mai sus.3. Reducerea direciilor laplanul de proiecie TM, nreeuageodezic naional de ordinul 0(RGN-0)ncazulRGN-0, pentrureducereadireciilorlaplanul proieciei TM, pot fi folosite urmtoarele formule:m m mm mmmmt y y yRx xRy y yy x xR21 2231 2431 21 2212) ( ) (6)6)( (2 + (7-96)m m mm mmmmt y y yRx xRy y yy x xR21 2231 2431 21 2221) ( ) (6)6)( (2 + + + n care:ym= y mediu, luat la mijlocul laturii respective;m= latitudinea medie, luat la mijlocul laturii,Rm= raza medie de curbur a elipsoidului, la latitudinea m; 2 2 2c o s e; tg t .Indicelemataat termenilorR, i t, caredepinddelatitudine, aratc aceti termeni trebuie calculai pentru latitudinea medie m a laturii respective.n literatura geodezic, se arat c, pentru laturi de pn la 70km i y de pn la 350km, formulele (7-96) asigur o aproximaie de 0,"001 n calculul coreciei .4. Aproximaia admis n coordonatele provizorii folosite pentru reducerea direciilor la planul proieciei TMDeoarece reducerea direciilor la planul de proiecie trebuie s precead calculele de compensare, care se finalizeaz prin coordonatele definitive, ne gsim n situaia c pentru punctele noi nu dispunem de coordonate x, y necesare calculului coreciilor. n acest caz se recurge la un calcul iterativ al coordonatelor plane:- nprimaaproximaie, folosinddireciinereduselaplanuldeproiecie, se calculeaz valori provizoriipentru coordonatele x,y, cu care se pot calcula coreciile de reducere.- secalculeazdinnoucoordonatelex,y, folosinddedataaceastadirecii reduse la planul de proiecie.Din considerente de ordin tehnic, dar i economic, este necesar s se realizeze o corelaie ntre precizia necesar coreciilor i precizia necesar coordonatelor provizorii, cucare urmeaz a se calcula aceste corecii.nacest scop, dac se difereniaz, n raport cu coordonatele plane, formula de calcul a corecieipentru 1381234 +IIIIIIIV+x0++ +---5 -++ ++ +-RGN-2, i dac se nlocuiete simbolul d (diferenial) cu simbolul (cu sensul de aproximaie), se obine:[ ] ) (,1 2x x y fy xm m + (7-97)Lund, pentruRGN-0:001 , 0 ,km ym250 ;km x x 50 ) (1 2 , rezult aproximaiam y x 1 , , n cunoaterea coordonatelor provizorii utilizate pentru calculul coreciilor .Pentru RGN-1, lund01 , 0 , se obine, cu formula de mai sus, m y x 10 , .Deci, pentru reducerea direciilor la planul de proiecie TM, n cazul vizelor relativ lungi, peste media ordinului respectiv al reelei, i situate n zonele meridianelor marginale ale fuselor, este necesar s se cunoasc coordonatele provizorii cuoaproximaiede0,1mpentruRGN-0, respectivde1mlaRGN-1. Atingerea aproximaiei de ordinul decimetrilor necesit un proces de calcul iterativ, care va fi oprit atunci cnd dou iteraii succesive duc la aceleai rezultate.n cazul RGN-2, coordonatele provizorii necesare reducerii direciilor la planul proieciei TMeste necesar a fi cunoscute cuoaproximaie de ordinul a 10m, respectiv cteva zeci de metri.5. Determinareasemnului coreciei dereducereadireciilorlaplanul de proiecie TMSemnul corecieieste semnul, ce rezult din formulele de calcul prezentate care urmeaz a fi nsumat cu direciile msurate, pentru a obine direciile reduse la planul de proiecie TM.Acest semn al coreciei se mai poate determina de pe o schi a triangulaiei, inndcont defaptul cimaginileplanealelaturilortriunghiurilorgeodezicesunt nitecurbecuconcavitateaspremeridianul axial al fusului, iarsensul pozitivde cretere din msurtorile azimutale este sensul acelor de ceasornic.n acest mod, pentru situaia din fig. 7.18, putem stabili, direct de pe figur, c:+ 12..., 13..., + 41 ..., + 32 ..., 52 ... etc.Fig. 7.18 Verificarea grafic a semnului coreciei Vomprezenta, n cele ce urmeaz, cazuri particulare de reprezentare n proiecia TMa liniilor geodezice de pe elipsoid, cndaceste linii intersecteaz meridianul axial (fig. 7.19).139+x0111 IIIIII 222d/3d/3d/3d/3d/3d/3d/3d/3d/3Fig. 7.19 Cazuri particulare de determinare asemnului coreciilor . n toate cele trei cazuri, care urmeaz, vom considera c punctul 1 este situat la vest de meridianul axial, iar punctul 2 este situat la est, adic 01 < y, iar 02 > y, astfel c, n aceste condiii, putem scrie formulele (7-95) sub forma:) 2 )( (3) 2 )( (31 2 1 2 212 1 1 2 12y y x xfy y x xfmm + + + (7-98)Presupunemcoardadelungimed, mpritntrei segmenteegale,d/3, i intersectat n cteva locuri caracteristice:Cazul I: meridianul axial intersecteazcoardantr-unpunct situat nprima treime a corzii. n acest caz:2 12 y y < atunci0 ) 2 (2 1> + y yi012 <

0 ) 2 (1 2> + y yi021 > Prinurmare, cndmeridianul axial intersecteazcoardantr-unpunct situat, fa de extremitatea cea mai apropiat a corzii, la mai puin de o treime din lungimea ei, atunci reprezentarea liniei geodezice se face de o singur parte a corzii.Cazul II:meridianulaxialtaiecoardaexactlaotreimedinlungimeaei. n acest caz:2 12 y y atunci0 ) 2 (2 1 + y yi012

0 ) 2 (1 2> + y yi021 > Prin urmare, atunci cnd intersecia se produce exact la o treime din lungimea corzii, imagineaplanaliniei geodezicefaceunpunct deinflexiune, coardaeste tangent la curb n punctul 1, iar corecia de reducere a direciei la plan, n acest punct, este nul.Cazul III: meridianul axial taie coarda n treimea din mijloc al lungimii. n acest caz:2 12 y y > i1 22 y y >atunci0 ) 2 (2 1< + y yi012 > 0 ) 2 (1 2> + y yi021 > 140+x0123123+x0123+yODeci, cnd meridianul axial taie coarda n treimea din mijloc, imaginea plan a liniei geodezice intersecteaz coarda, astfel nct coreciile din cele dou extremiti ale liniei au acelai semn.6. Verificarea coreciilor de reducere a direciilor la planul de proiecie TM,pe triunghiuri geodeziceFie untriunghi geodezic oarecare123(fig. 7.20), ale crui laturi depe elipsoid, linii geodezice, se reprezint n proiecia TM prin curbe cu concavitatea spre meridianul axial al fusului. Fig. 7.20 Poziia triunghiului fa de meridianul axialUnghiurile1,2, i3sunt unghiurile dintre imaginile plane ale liniilor geodezice, lacaresunt egalecuunghiuriletriunghiuluisfericcorespunztordepe elipsoid, deoarece proiecia este conform. Prin urmare: + + +03 2 1180 , (7-99)n care este excesul sferic al triunghiului.Unghiurile1, 2, i 3sunt unghiuri reduselaplanul deproiecieTM, msurate ntre corzile curbelor respective care unesc vrfurile triunghiului.03 2 1180 + + (7-100)Dac notm: m- direcia msurat; r- direcia redus la planul de proiecie; corecia de reducere la planul de proiecie, se poate scrie:ij ij m ij r + ) ( ) ( (7-101)Pentru direciile msurate n staia 1 rezult:12 12 1213 13 13) ( ) () ( ) ( + + m rm rDiferena dintre cele dou direcii este:12 13 12 13 12 13) ( ) ( ) ( ) ( + m m r r ,adic:) (12 13 1 1 + Aplicnd procedeul pentru toate vrfurile triunghiului, considerate, pe rnd, ca staii, obinem:) () () (31 32 3 323 21 2 212 13 1 1 + + + (7-102)nsumnd aceste relaii i innd cont de (7-99) i (7-100), avem:1412(x2,y2)S+x+x) ( ) ( ) ( 180 18031 32 23 21 12 130 0 + + + + sau + + ) ( ) ( ) (31 32 23 21 12 13(7-103)Aceasta este relaia de verificare.Fiecare parantez reprezint corecia de reducere la planul de proiecie a unuia din cele trei unghiuri ale triunghiului. Prima parantez=corecia pentru unghiul 1; a doua parantez=corecia pentru unghiul 2;ultima parantez=corecia pentru unghiul 3.Reguladeverificaresepoateformulaastfel: noricetriunghi dinreeaua geodezic, din planul unei proiecii conforme, suma coreciilor de reducere la planul de proiecie alecelor treiunghiuri aletriunghiului,trebuies fieegal cu excesul sferic al triunghiului respectiv, luat cu semnul invers.tim c, excesul sferic este, prin definiie pozitiv, i are ca formul general:

2RS n care S-aria triunghiului, iar R-raza medie de curbur a elipsoidului.Aria S se poate calcula cu oricare din formulele de calcul cunoscute. n mod frecvent se folosete relaia:c ab f c abRmmsin sin22 ,(7-104)n care: Rm- raza medie la latitudinea medie a vrfurilor triunghiului m;mf- factorul excesului sferic; a, b- dou laturi ale triunghiului, iar c este ungiul cuprins ntre ele.Tolerana cu care trebuie satisfcut relaia de de verificare (7-103) depinde de ordinul reelei. n principiu, ea este egal cu trei uniti de ultimul odin zecimal cu care se calculeaz coreciile (0",3 n cazul RGN-2, 0",03 pentru RGN-1, i respectiv 0",003 n cazul RGN-0).7.6 Reducerea distanelor de pe elipsoid la planul de proiecie TMReducerea unei distane sde pe elipsoidla planul de proiecie TM, nu trebuie considerat ca o ,,micorare a acesteia, ci n sensul de reprezentare n planul de proiecie, proces princaredistanadepeelipsoidse deformeaz, neuniform, pe ntreaga ei lungime. Diferenadintredistaneledepesuprafaaelipsoidului derotaiei distanele corespunztoaredinplanuldeproieciesedatoreaz,nprimulrnd, deformaiilor liniare produse de sistemul de proiecie. Problemacaresepune, estessegseascoformuldecalcul caresfac legtura dintre lungimea s a unei distane (linii geodezice) de pe elipsoid i lungimea S, redus la planul de proiecie TM, msurat pe coarda care unete punctele 1 i 2 din plan (fig. 7.21). 1421(x1,y1)O+yFig. 7.21 Distana S redus la planul de proiecie TMImaginea plan a liniei geodezice de pe elipsoid este curba 1-2, de lungime .nliteraturadespecialitatesearatc, pentruodistande30km, diferena dintre curb i coard este mai mic de 0,14mm i de aceea, n mod practic, se poate aproxima: S(7-105)iar pentru modulul de deformaie liniar: dsdS ,de unde rezult:dSds (7-106)Pentru lungimea s de pe elipsoid se poate scrie:

SdSs0Avnd n vedere c:

442224 21RyRy+ + ,se obine:dSRyRysS144220)24 21 (+ + (7-107)Termenii ny4, pentru y=100km, are o valoare de aproximativ810 3 , 0. Neglijndu-l i dezvoltnd expresia din parantez dup binomul lui Newton, lund numai primii doi termeni, rezult:dSRysS)21 (220+ ,(7-108)n care raza medie de curbur, R, se ia pentru un punct situat la mijlocul laturii i se consider constant.Notnd:p = distana elementului dS fa de punctul 1;y1 = ordonata punctului 1; = orientarea corzii 1-2,avem.dp dSp y y+ sin1 (7-109)i nlocuind n (7-108), se obine:dpRp ysS pp1]1

+ 02212) sin (1(7-110)Efectund ptratul,143dpRp p y ysS1]1

+ + 022 21212sin sin 21 i integrnd termen cu termen,SRpRp ypRyp s022 32212216sin4sin 22 nlocuind p=S i scond S n factor, se obine:)6sin2sin21 (22 221221RSRS yRyS s (7-111)Pentruaeliminaorientareai aintroducecoordonatelemedii alelaturii, considerm:21yy ym ;22 1y yym+ ;1 2y y y ; sin S y ,i atunci, (7-111) se poate scrie sub forma:1111]1

222 226) (2)2(2)2(1RyRyyyRyyS sm msau (7-111)1111]1

+ + + 2222 226) (22) (4) (1RyRyy yyy y yS sm m mDup reduceri:1]1

1]1

+ 222222222224) (216) (8) (21RyRySRyRyRyS sm m(7-112)Cu aceast formul, poate fi calculat lungimea sa unei linii geodezice de pe elipsoid, atunci cnd sunt cunoscute coordonatele plane TM, definitive, ale extremitilor ei.Uneori, relaia dintre s i S este prezentat sub forma unui raport:1]1

222224) (21RyRySsm (7-113)Distana S, redus la planul proieciei TM, se calculeaz cu formula:1]1

222224) (21RyRysSm, (7-114)n care expresia de la numitor se calculeaz cu opt sau nou zecimale.n toate formulele de mai sus, raza medie de curbur, R, se ia pentru latitudinea medie a laturii.Reducerea distanelor la planul de proiecie, cu formula(7-114) sau cu o alt formul care deriv din aceasta, este necesar de exemplu, atunci cnd se prelucreaz, n planul proieciei TM, msurtori de trilateraie.Coordonatele plane TM, necesare reducerii distanelor de pe elipsoid la planul de proiecie, este suficient a fi cunoscute cu o aproximaie de pn la 5metri i se pot 144determina prin aproximaii succesive, folosind n prima aproximaie distanele de pe elipsoid, nereduse la plan.Pentruodistandeaceiai lungime, diferenadintredistanaredusi cea neredusestecuatt mai mare, cuct sunt mai mari ymi y, adicnzonele meridianelor marginale, pentru laturile orientate perpendicular pe axa Ox.Laturilereduselaplansuntmaimaridectceledepeelipsoid, deoarecen proiecia TM toate deformaiile sunt pozitive.Pe meridianul axial, distana redus la plan este egal cu cea de pe elipsoid.7.7 Formareafuselor de 3Prin utilizarea fuselor de3nivelul maximal al deformaiilor care se atinge n zonele marginale ale unui fus de 6, se reduce de la +64cm/km, pn la aproximativ +17cm/km. Meridianele axiale ale fuselor de 3 se stabilesc dup urmtoarele principii: - Meridianeleaxialealefuselor de6sepstreazcameridianeaxialei pentru fuse de 3, dar reprezentarea se face pe o ntindere de 01 30la Est i 01 30la Vest de meridianul axial; - Meridianele axiale ale fuselor de 6 devin i elemeridiane axiale ale fuselor de 3. Pentru ca poziia unui fus de 3 s fie bine determinat, este recomandabil s fie precizat longitudinea 0 a meridianului axial al fusului respectiv. Exemplu: Fus de 3 cu 0030 . n acest caz poziia fusului de 3pe elipsoid este complet determinat. 3 30 6 12 18 24 303 3 3 3 3 3 3 3 36 6 6 6 6 631 32 33 34 35fus cu=30 0f u s e d e 6f u s e d e 3Fig. 7.22 Modul de alegere al fuselor de 37.8 Transcalcularea coordonatelor plane TM dintr-un fus n altulAceastproblemse punefrecvent,mai ales pentrupunctele situatenzonele meridianelor marginale ale fuselor, ori n cazul reprezentrilor cartografice la scara 1: 5 000 sau la scri mai mari.Se consider dou fuse I i II, ale cror meridiane axiale au longitudinile cunoscute I0 i II0. Cunoscnd imaginea plan de coordonate (x1, y1) al unui punct oarecare de pe elipsoid coordonate (, ) n fusul I. 145Se cere, s se gseasc imaginea plan de coordonate (x2, y2) a aceluiai punct de pe elipsoid n sistemul de axe de coordonate rectangulare plane ale fusului II. Aceasta va fi problema transcalculrii coordonatelor plane dintr-un fus n altul.Ca procedee de transcalculare pot fi: 1. Transcalcularea prin intermediul coordonatelor geograficeAcest procedeu presupune dou etape de calcul:- primaetap: secalculeazcoordonatelegeografice(, )alepunctului, funcie decoordonatele rectangulare plane (x1, y1) din fusul I; - a doua etap:se calculeaz coordonatele rectangulare plane TM (x2, y2)n fusul II, funcie de coordonatele geografice de pe elipsoid, folosind longitudinea meridianului axial II0 al acestui fus.Algoritmii de calcul, necesari ambelor etape, sunt expui n paragraful7.2 al cursului, dedicat proieciei TM.Aproximaia de calcul fiind de 0,001m. 2. Transcalcularea coordonatelor prin metoda reducerii triunghiurilor.Acest procedeuse aplic unui numr mai mare de puncte, de exemplu, dintr-un lan sau dintr-o reea. 7.9 Nomenclatura trapezelor de pe elipsoid, utilizate drept cadrupentru hari topografice n proiecia TMHrile i planurile topografice n proiecia TM au, n general, un cadru geografic format din imaginile plane ale unor arce de meridian i de paralel, care,pe elipsoidul derotaie, delimiteaznitetrapezecurbilinii, denumitenmodcurent trapeze. Fiecaretrapezareoanumitnomenclaturi sereprezentpeofoaiedehart separat. 146180174+168-174-1681 60235859ONMLKJIHGFEDCBA60565248444036322824201612840Nomenclaturaunui trapezestecorelatcuscarahrii lacareurmeazafi reprezentat, cu poziia sa geografic, cu coordonatele geografice ale colurilor i cu nomenclaturile trapezelor vecine.n legtur cu nomenclatura trapezelor, se folosesc urmtoarele scri standard: 1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000, 1:5 000, i 1:2 000. n legtur cu ntinderea trapezelor pe latitudine i pe longitudine, vom folosi notaiile: - diferena de latitudine dintre arcele de paralel, care delimiteaz un trapez, la sud i la nord; - diferenadelongitudinedintrearceledemeridian, caredelimiteazun trapez, la vest i la est; Lungimile laturilor cadrului, se modific chiar i pentru trapezele aceleiai scri, n funcie de poziia geografic a trapezului. Fig. 7.23 Poziia geografic a trapezuluiPentru stabilirea dimensiunilor i , dar i a nomenclaturii trapezelor la diferitescri, s-apornit delascara1:1000000. Peelipsoidul derotaieseduc meridiane din 6 n 6, att spre est ct i spre vest de meridianul Greenwich. Ele determin fuse de 6,care se numeroteaz cu cifre arabe, de la 1 la 60 (fig. 7.24a). ntreaga numerotare a fuselor se face de la vest spre est, ncepnd de lng meridianul de 180.Pornind de la ecuator, spre poli, se consider paralele duse la intervale de 4. Acestea delimiteazzone de 4,care, nemisfera nordic, unde este situat i Republica Moldova, se noteaz de la ecuator spre Polul nord, (ntre latitudinile 0-88), cu urmtoarele litere majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, aa cum se arat n fig. 7.24b.

1470+6+12+18+24+30-6-12282930313233343536Ecuatorul003031 32 33 343536 IJKLMNO-661218243032-1232363640444852566 1218243036 60-6 -12 605652O48444036ChiinuFig. 7.24a Numerotarea fuselor de 6 Fig. 7.24b Notarea zonelor de 4 latitudineParalelele i meridianele determin pe elipsoid, trapeze de 4 x 6, care urmeaz a fi reprezentate la scara 1:1 000 000. Prin aceast mprire n zone i fuse s-au obinut cte 1320 trapeze la scara 1:1 000 000 pentru fiecare emisfer de nord i de sud a globului terestru.Fig. 7.25 Nomenclatura trapezelor la scara 1:1 000 000Dinfig. 7.25, carecuprindezonacentralaemisferei denordrezultc, teritoriul Republicii Moldova se afl situat n dou fuse de cte 6(fusele 35 i 36) cu meridianele axiale de 27 i 33 longitudine Greenwichi, respectiv, nzonele geografice de cte 4(L i M).Nomenclatura unui trapez de reprezentat 1:1 000 000se compune dintr-o liter majuscul, carearatzonade4ncaresegsetetrapezul, urmatdenumrul fusului de6, ncareeste situat. Deexemplu, trapezul careconinemunicipiul Chiinu:L-35(7-115)Teritoriul Republicii Moldova este cuprins n cea mai mare parte n trapezul L-35 i ntr-o mic msur n trapezeleM-35 la nord i L-36 la est .14812 345 6 78 9 10 11 1213 2425374961738597109133 134 135136 137 138 139140 141142 143144364860 728496108 120132121440048002400 3000 27004600Trapezul 1:1 000 000 se consider trapez de baz pentru determinarea nomenclaturii trapezelor la scrile standard:1:500 000, 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000, 1:5 000, i 1:2 000. Pentru trapezele de reprezentat la scara 1:500 000, ntinderea pe latitudine i cea pe longitudine se reduce la jumtate fa de cazul precedent, astfel nct, teritoriul din limitele unui trapez 1:1 000 000 se va reprezenta pe patru trapeze de 2 x 3, la scara 1:500 000, notate, n interiorul trapezului 1:1 000 000, prin literele A, B, C, D de la vest spre est i de la nord spre sud (fig. 7.26).Nomenclatura unui trapez de reprezentat la scara 1:500 000, se formeaz din nomenclatura trapezului 1:1 000 000, n care este situat, urmat de una din literele majuscule A, B, C, sau D (fig. 7.26). De exemplu:L-35- D (7-116)L-35 (scara 1:1 000 000)Fig. 7.26 Notarea trapezelor scrilor 1:500 000, 1:200 000 i 1:100 000, n cadrul unui trapez al scrii 1:1 000 000Pentruuntrapezdereprezentat lascara1:200000, semicoreazde6ori ntinderea unui trapez 1:1 000 000, att pe latitudine ct i pe longitudine, ajungndu-se la 40 pe latitudine i 1 pe longitudine, de unde rezult c, trapezul 1:1 000 000, se mparte n 36 pri (6 x 6). Cele 36 trapeze la scara 1:200 000 se numeroteaz cu cifre romane I, II, III, ... , XXXVI de la vest spre est i de la nord spre sud (fig. 7.26).Nomenclaturatrapezelor 1:200000arelabaznomenclaturatrapezelor1:1 000 000, la care se adaug cifra roman corespunztoare, de exemplu:149ABC DI II III IV V VIVIIIX X XIIXII XIV XV XVI XVII XVIIIXIX XX XXI XXII XXIII XXIVXXVXXVII XXVIII XXXXXXI XXXII XXXIII XXXIV XXXV XXXVI4400442044101 212 3 4341 21 234 3 4L-35- XXXVI (7-117)Pentrutrapezelelascara1:100000, acelai trapezlascara1:1000 000se mparten144pri (12x12), cudimensiunilede20pelatitudinei de30pe longitudine, iar fiecare trapez se numeroteaz cu cifre arabe 1, 2, 3, ... , 144 de la vest spre est i de la nord spre sud (fig. 7.26).Nomenclatura unui trapez 1:100000se formeaz direct dinnomenclatura trapezului 1:1 000 000 n care este situat, urmat de o cifr arab care-i precizeaz poziia n cadrul acestuia, de exemplu:L-35- 144(7-118)Pentrudeterminarea nomenclaturii trapezelor lascrile mai mari, se iaca trapez de baz, trapezulla scara 1:100 000, care se mparte mai nti n 4 pri (2 x 2) la scara 1:50 000 cu dimensiunile de 10 pe latitudine i 15 pe longitudine, astfel c, fiecare trapez al scrii 1:100 000 conine 4 trapeze de reprezentat 1:50 000, notate cu literele majuscule A, B, C i D (fig. 7.27).Nomenclaturaunui trapezlascara1:50000secompunedinnomenclatura trapezului de baz la scara 1:100 000 (L-35-144) i din litera corespunztoare zonei, de exemplu:L-35-144-A (7-119)L-35-144(scara 1:100 000)Fig. 7.27 Notarea trapezelor scrilor 1:50 000, 1:25 000 i 1:10 000, n cadrul unui trapez al scrii 1:100 000n mod asemntor, prin mprirea trapezului la scara 1:50 000 n 4 pri (2 x 2) se obin trapezele la scara 1:25 000, cu dimensiunile de 5 pe latitudine i 730" pe longitudine, ce se numeroteaz cu literele minuscule a, b, c i d de la vest spre est i de la nord spre sud, n cadrul trapezului considerat (fig. 7.27).Nomenclaturaunui trapezdereprezentat lascara1:25000secompunedin nomenclatura trapezului la scara 1:50 000 (L-35-144-A) i din litera corespunztoare zonei care formeaz coninutul hrii, de exemplu:L-35-144-A-a (7-120)150144A BC Dbc da bc da bc da bc d3000 2945 2930a4405292615" 2930440730"1440730"Pentru trapezele de reprezentat la scara 1:10 000 se mparte trapezula la scara 1:25000n4pri(2x2)cudimensiunilede230"pelatitudinei de345"pe longitudine, iar fiecare trapez se noteaz cu cifrele arabe 1, 2, 3, 4, de la vest spre est i de la nord spre sud (fig. 7.27).Nomenclaturaunui trapezlascara1:10000secompunedinnomenclatura trapezului la scara 1:25 000, n care este situat, la care se adaug una din cifrele 1, 2, 3, sau 4, de exemplu:L-35-144-A-a-3(7-121)Pentru trapezul la scara 1:5 000 se mparte trapezul la scara 1:10 000 n 4 pri (2 x 2) cu dimensiunile laturilor de 115" pe latitudine i de 152",5 pe longitudine, iar fiecare trapez se noteaz cu cifrele romane I, II, III, IV de la vest la est i de la nord spre sud (fig. 7.28).Nomenclatura trapezului de reprezentat la scara 1:5000, se compune din nomenclatura trapezului la scara 1:10 000 (L-35-144-A-a-3), la care se adaug cifra roman corespunztoare, de exemplu:L-35-144-A-a-3-I (7-122)L-35-144-A-a-3(scara 1:10 000)Fig. 7.28 Notarea celor patru trapeze 1:5 000, ntr-un trapez la scara 1:10 000Pentru trapezul la scara 1:2 000 se mparte trapezul la scara 1:5 000 n 4 pri (2 x 2) cu dimensiunile laturilor de 37",50 pe latitudine i de 56",25 pe longitudine, iar fiecare trapez se noteaz cu cifrele arabe 1, 2, 3, 4 de la vest la est i de la nord spre sud (fig. 7.29).Nomenclatura trapezului de reprezentat la scara 1:2000, se compune din nomenclatura trapezului la scara 1:5 000 (L-35-144-A-a-3-I), la care se adaug cifra arab corespunztoare zonei, de exemplu:L-35-144-A-a-3-I-2 (7-123)L-35-144-A-a-3-I(scara 1:5 000)151I IIIII IV22930440615"292807",54420441044003000 29452930 1 2 34 5 6 789101112 13141516 17 33 49 65 81 97113129145151177193209225241241242 243 244245 246247248 249250 251 252253 2542552563248648096112128144180176192208224240Fig: 7.29 Trapezele scrii 1: 2 000, n cadrul unui trapez 1: 5 000Se menioneaz c n proiecia TM, s-a folosit pentru trapezele la scrile 1:5 000i 1:2000unsistemdenumerotarederivat dintrapezul lascara1:100000. Astfel, pentru obinerea nomenclaturii la scara 1:5 000, se mparte trapezul la scara 1:100 000 n 256 pri (16 x 16) cu dimensiunile de 115" pe latitudine i de 152",5 pe longitudine. Fiecare trapez obinut se numeroteaz cu cifrele arabe 1, 2, ... , 256 de la vest la est i de la nord spre sud (fig. 7.30).L-35-144(scara 1:100 000)Fig. 7. 30 Numerotarea celor 256 trapeze la scara 1:5 000, n cadrul unui trapez la scara 1:100 000Nomenclatura trapezului la scara 1:5000este compus dinnomenclatura trapezului debazlascara1:100000, lacareseadaug, nparantez, numrul corespunztor 1, 2, ... , 256, de exemplu:L-35-144-(256) (7-124)n continuare, fiecare trapez la scara 1:5 000 (1, 2, ... , 256) se mparte n 9 pri (3 x 3) care reprezint trapezele la scara 1:2 000, cu dimensiunile de 25" pe latitudine i de 37",5 pe longitudine, ce se numeroteaz cu literele a, b, c, d, e, f, g, h, i de la vest spre est i de la nord spre sud (fig. 7.31).1523 4ABC Da bcd e fg hi 44003000440115"295807",5Deci, nomenclatura trapezelor la scara 1:2 000 se compune din nomenclatura trapezului la scara 1:5 000, la care se adaug, n parantez, una din literele corespunztoare zonei, de exemplu:L-35-144-(256-b) (7-125)L-35-144-(256)(scara 1:5 000)Fig: 7.31 Trapezele scrii 1: 2 000, n cadrul unui trapez 1: 5 000Nomenclaturauneifoidehart(careareuncadrugeograficdetipulcelui expus mai sus) se compune din nomenclatura trapezului de pe elipsoid, urmat de denumirea celei mai importante localiti reprezentat pe harta respectiv, de exemplu:L-35-32 (Ungheni)ncazul ncarepefoaiadehartnuaparenici olocalitate, atunci sescrie denumirea celui mai important detaliu topografic, astfel ales nct, s nu apar pe mai multe foi de hart.Reprezentrile n proiecia TM la scri mai mari dect 1:2 000, ca de exemplu, 1:1000i 1:500, de obicei nuaucadrude tipgeografic i nici nomenclatur standardizat.nconcluzie, trebuiereinut c, atunci cndhrileaudrept cadruimaginea unui trapez de pe elipsoid, (cadrude tipgeografic), dimensiunile acestuia sunt variabile de la o foaie de hart la alta, chiar dac ele au aceeai ntindere pe latitudine i respectivpelongitudine, aceeai scargenerali acelai sistemdeproiecie. Cadrul de acest tipnueste nici trapez, nici ptrat, nici dreptunghi. El este un patrulater oarecare, care se construiete raportnd prin coordonate rectangulare colurile trapezului i (eventual) puncte intermediare. Aceste coordonate se obin prin transformarea coordonatelor geografice n coordonate plane, n proiecia n care se ntocmete harta (de exemplu n proiecia TM).Deiuncadrude tipgeografic se reprezintmaigreudectuncadrude tip geometric (care este un ptrat sau un dreptunghi cu laturile paralele, respectiv perpendiculare, peliniilecaroiajuluikilometric), eloferuneleavantajelegatede: comoda poziionare geografic a teritoriului reprezentat pe foaia de hart, legtura cu hri la alte scri sau n alte sisteme de proiecie, msurarea ariilor necesare cadastrului funciar .a.153Dimensiunile i nomenclatura trapezelor pe elipsoidTabelul 7.4Scara Exemplu de nomenclatur1:1 000 0004 6L-351:500 0002 3L-35-D1:200 000 40' 1 L-35-XXXVI1:100 000 20' 30' L-35-1441:50 000 10' 15' L-35-144-A1:25 000 5' 7' 30'' L-35-144-A-a1:10 000 2' 30'' 3' 45'' L-35-144-A-a-31:5 000 1' 15'' 1' 52'', 5 L-35-144-A-a-3-I1:2 000 37'', 5 56'', 25 L-35-144-A-a-3-I-27.10 Construcia i verificarea cadrului unei hri topografice n proiecia TMCadrul hrilortopograficeestedetipgeografic, fiindformat dinimaginile plane ale unor arce de paralel la nord i la sud, i a unor arce de meridian la est i la vest. nplanul deproiecieTM, acestearcesereprezintprinnitecurbeacror curbur este foarte mic astfel, dac i arcele reprezentate la scar sunt mici, curbura lor nu se mai sesizeaz i arcele se confund cu corzile.Etapele de construire a cadrului geografic sunt: stabilirea nomenclaturii trapezului ce urmeaz s fie reprezentat; determinarea coordonatelor geografice , ale colurilor trapezului; calculul coordonatelor rectangulare plane x, y ale colurilor trapezului, funcie de cele geografice; calculul lungimii laturilor i diagonalelor trapezului, pe elipsoid; reducerea laturilor de pe elipsoid la planul proieciei TM; reducerea laturilor din plan la scara hrii i exprimarea lor n centimetri (cu dou zecimale); raportareacolurilor cadrului, princoordonaterectangulareplaneredusela scar; verificareacadrului, comparndlaturilemsuratedirect, cucelededuseprin calcul, exprimate n centimetri; se traseaz cadrul prin unirea celor 4 coluri cu linii drepte de grosime 0,1mm.ncondiiile ncare se lucreaz pe unsuport nedeformabil pentrudesen, toleranelelaraportareacadrului sunt de0,2mmpefiecarelaturi de0,3mmpe diagonale.Cadrul rezultat este un patrulater oarecare, ale crui dimensiuni se modific de la o foaie de hart la alta, chiar dac foile de hart sunt la aceeai scar.n funcie de scara de reprezentare, este stabilit densitatea reelei rectangulare sau kilometrice trasat pe imaginea foilor de hart sau plan (tabelul 7.5).154Densitatea reelei rectangulare sau kilometrice pe suprafaa unei foi de hart sau planTabelul 7.5Scaraplanului sau hriiLungimea laturii reelei rectangularePe plan sau hart Pe terencm km1:2 000 10 0,21:5 000 10 0,51:10 000 10 1,01:25 000 4 1,01:50 000 2 1,01:100 000 2 2,01:200 000 2 4,01:500 000 2 10,0Reeauarectangularsetraseazprinlinii cugrosimeade0,1mm, caredin punct de vedere geometric sunt paralele cu axele de coordonate rectangulare plane ale proieciei TM.Mai detaliat despre ntocmirea i redactarea originalelor de teren ale hrilor i planurilor topografice, se va discuta la disciplina Editarea i automatizarea lucrrilor cartografice.7.11 Proiecia UTM (Universal Transversal Mercator)Proiecia UTM este o variant a proieciei TM, utilizat de Statele Unite ale Americii (Army Map Service-USA), adoptat n 1947, i de alte ri, care o aplic pe fuse de 6, exceptnd zonele circumpolare (pn la latitudinile de 80S i 84N).155n Republica Moldova acest sistemde proiecie se utilizeaz n scopul cartografierii la scar mic (ncepnd cu scara 1:25 000 i mai mic), cu folosirea parametrilor elipsoidului WGS 84.Principale caracteristici ale acestui sistem de proiecie sunt urmtorele: reprezentarea se face pe fuse, ca n cazul proieciei TM (numerotarea fuselor este asemenea ca i n proiecia TM); axele de coordonare rectangulare plane UTM sunt stabilite la fel ca n proiecia TM, dar coordonatele poart denumiri ale punctelor cardinale:- coordonata Nord,notat N(Northing),cu sensulpozitiv de la ecuator spre nord, este echivalent cu x din proiecia TM;- coordonata Est, notat E(Easting), cu sensul pozitiv spre est, corespunde lui y din proiecia TM utilizat la noi n ar. originea sistemului de axe de coordonate adevrate este la intersecia meridianului axial cu ecuatorul, dar sunt utilizate icoordonatele false,E=E+500 000 m.Reprezentarea UTM satisface urmtoarele condiii1. este conform; 2.meridianul axial al fusului se reprezint printr-un segment de dreapt, este ax de simetrie i axa ON;3.pe meridianul axial, scara reprezentrii are valoarea k0=0,9996.Satisfacerea acestor condiii face ca imaginea elipsoidului n proiecia UTM s fie asemenea cu cea din proiecia TM, dar mai mic.Relaia care permite trecerea de la coordonatele plane TM (x,y) la coordonatele plane UTM (N,E) i invers este:. 9996 , 0..0const kTM distUTM dist (7-126)Prin urmare:y k Ex k N 00(7-127)Deci, vom avea urmtoarele cazuri:1. Relaiile de transformare a coordonatelor pe sfer n proiecia UTM:

,_

+1]1

,_

BBRk E ytgarctg Rk N x11ln21) (cos() (0000 (7-128)unde:) sin( cos0 B.Formulele inverse vor fi:156( )11111]1

,_

+ 1]1

DRkyarctgyDcossinhcoshsinarcsin00 (7-129)unde:00 + RkxD,iar...! 6 ! 4 ! 21 ) (21cosh...! 7 ! 5 ! 3) (21sinh6 4 27 5 3+ + + + + + + + + x x xe ex x xx e ex xx x2. Relaiile de transformare a coordonatelor pe elipsoid,proiecia UTM:( )1111]1

+ ++ + + ++4 2 564 2 2 34 205 8 6 1 c o s s i n7 2 0) 4 9 5 ( c o s s i n2 4c o s s i n2) (t t Nt N N Bk N x (7-130) 1111]1

+ + ++ + + 2 2 2 4 2 552 2 3305 8 1 4 1 8 5 ( c o s1 2 0) 1 ( c o s6c o s) ( t t t Nt N Nk E y unde: 0 , iarB- lungimea arcului de meridian de la ecuator pn la latitudinea punctului dat:1571111]1

,_

+

,_

,_

+

,_

,_

+ ++ 8 s i n5 1 23 1 56 s i n4 83 54 s i n411 61 52 s i n81236 4141114 34 2 3 4 2n nn n n n n nnaB (7-131)la care:( )2 / 12 2sin 1 eaN raza de curbur a primului vertical; tan t; 2 2 2c o s e; 22 22bb ae ; b ab an+ ; a, b semiaxa mare i semiaxa mic a elipsoidului.Formulele inverse de calcul sunt:( )( )21412121214121 151 160641214121212121 131 140411 1202145 162 107 45 90 617209 3 6 6 3 524 2 t t t t tN M kyt t t tN M kytN M ky + + + ++ + + (7-132)

( )( )212121412115150521211313031 1 08 6 24 28 5cos 1202 1cos 6 cos t t tN kytN kyN ky+ + + + ++ + + unde: 6 sin961514 sin325516212 sin32272331412131 11

,_

+

,_

+

,_

+ e e e e e;(7-133)la care: ( )( )2 / 122 / 1211 11 1eee + ;

,_

2565643416 4 2e e eaB ; 00kxB B + ;B0 - se calculeaz dup relaia (7-131) la latitudinea 0;( )( )2 / 312 221sin 11 ee aM; ( )2 / 112 21sin 1 eaN.Principala consecin practic pe care o are reducerea scrii din reprezentarea proieciei UTM, se manifest n legtur cu deformaiile din planul de proiecie.Scara(modulul dedeformaieliniar)dinproieciaUTMsecalculeazcu relaia:TM UTMk 0 (7-134)Deci, vom avea urmtoarele relaii de calcul: pe sfer: 021kkB(7-135)158unde:( )0cos sin B pe elipsoid: ( )22 201 cos 12k h k 1 + + 1 ](7-136)Principala deosebire dintre proiecia UTM i proieciei TM, este aceia c prima reduce aproape la jumtate deformaiile de pe meridianele marginale ale fuselor de 6, n schimb se deformeaz negativ meridianul axial al fiecrui fus. n fiecare fus de 6 al proieciei UTM existdou linii de deformaie nul, simetricefademeridianulaxialiaproximativparalelecuacesta, ladistanade circa 180 km.Deci, liniile de deformaie nul, din fiecare fus de 6, sunt situate dincolo de limitele fusului de 3. Prin urmare,utilizarea fuselor de 3, n proiecia UTM, nu mai are sens.Spre deosebire de proiecia TM, n care toate deformaiile sunt pozitive, situate n intervalul [0; +64] cm/km, n proiecia UTM au loc att deformaii pozitive, ct i negative. Cele negative sunt cuprinse ntre -40 cm/km, pe meridianul axial al fiecrui fus, i 0, pe liniile de deformaie nul. Deformaiile pozitive se produc ntre liniile de deformaie nul i meridianele marginale. La estul Republicii Moldova, ele pot lua valori de ordinul a +31 cm/kim (tabelul 7.6).Deformaii relative ale distanelor din planul proieciei UTM,D(cm/km), funcie de coordonatele geografice pe paralelul de =47 Tabelul 7.60 Dcm/kmObservaii000'-40,0 Pe meridianul axial030'-38,2100'-32,9130'-24,0La marginea fuselor de 3200'-11,6300'+23,9La marginea fuselor de 6310'+31,2 Partea de est al R. Moldovan figura 7.32 se observ c, linia de deformaie nul din reprezentarea UTM traverseaz teritoriul Republicii pe aproximativ 80 km, n timp ce pe restul teritoriului, spre vest de linia de deformaie nul, deformaiile pot lua valori de pn la -40 [cm/km], iar spre est pot depi +20 [cm/km].Izoliniile deformaiilor sunt aproximativ paralele cu meridianul axial al fusului (fig. 7.32).159Proiecia UTM, elipsoidul WGS-84Izoliniile deformaiilor liniare, funcie de y, la =470 Tabelul 7.7Izolinia D[cm/km]y [km] y [cm] / 2 000 000-40-35-30 -25-20-15-10-50+5+10+15+20+25+30+35+400,0063,890,2110,5127,6142,6156,3168,8180,4191,4201,7211,6221,0230,1238,7247,1255,20,03,194,515,536,387,137,818,449,023,5710,0910,5811,0511,5011,9412,3512,76160161Proiecia UTMFusul 35 (0=270)Izoliniile deformaiilor (cm/km)1: 2 000 000Fig. 7.32 Izoliniile deformaiilor pe teritoriul R. Moldova n proiecia UTM7.12 Republica Moldova n proiecia Transversal Mercator pe un fus nestandard, cu scara modificat (TMM)Prinaceastreprezentareaufost eliminateneajunsurileaplicrii proieciilor TMi UTMpeteritoriul Republicii Moldovancondiii standard(afost avut n vedere att fusele de 6 ct i fusele de 3).Teritoriul Republicii Moldova are forma unei benzi care se ntinde aproximativ pe 340km (305) spre direcia sud-nord, ntre latitudinile 4525- 4830N i 230km (330) pe direcia vest-est, ntre longitudinile 2640 - 3010E Greenwich. Latitudinea medie coincide, aproximativ, cu latitudinea municipiului Chiinu: med=47N. Deformaiile din proiecia TM (pe un fus standard)n proiecia conform TM , distanele i ariile au deformaii pozitive, care cresc direct proporional cu ptratul deprtrii fa de meridianul axial al fusului. Valorile deformaiilor relative ale distanelorD(cm/km), la latitudinea medie a riimed=47N, sunt artate n tabelul 7.1.Se constat c, n fusul standard 35 de 6 cu meridianul axial 0=27E, linia de deformaie nul traverseaz doar o mic parte din teritoriu, n extremitatea de nord-vest (fig. 7.12). La est de acest meridian,unde este situat majoritatea teritoriului, deformaiile cresc continuu, depind +64 cm/km, pe meridianul marginal de 30E. n cazul utilizrii fuselor standard de 3, liniile de deformaie nul ale acestora, 27Ei 30E, traverseaz teritoriul Republicii Moldova pe distane neglijabile (doar cteva zeci de km), n timp ce partea central este fragmentat de meridianul care separ cele dou fuse, iar deformaiile au valori de +16cm/km (fig. 7.13). Inconvenientele fuselor standard n Republica Moldova sunt evidente. n acest caz se propune utilizarea proieciei TM cu parametri nestandard. Aceast proiecie va purta denumirea de proiecia Transversal Mercator pentru Moldova (TMM). Prima modificare propus: Pentru ntreaga ar s se foloseasc un singur fus, nestandard, al crui meridian axial s traverseze teritoriul Republicii prin zona sa central. Acest meridian ar putea fi, de exemplu, meridianul de 2830(eventual o valoare rotund apropiat de aceasta).n felul acesta, axa de simetrie a reprezentrii se deplaseaz n partea central a teritoriului, iar deformaiile, pe meridianele de 27 i de 30, ajung la +16cm/km. ntregul teritoriul al Republicii ncape pe un singur fus, a crui lime depete foarte puin n nord-vest i n sud-est, limitele unui fus de 3.Avantajul acestei modificri const n aceia c, n locul utilizrii a dou fuse standard fie de cte 6 (0=27 i 0=33), fie de cte 30(0=27 i 0=30), se poate folosi un singur fus. Prin aceasta se elimin orice lucrare de transcalculare a coordonatelor dintr-un fus altul.162A doua modificarepropus:Modificarea scrii n ntregul plan de proiecie, cu un coeficient subunitar, k, principiu aplicat i n reprezentarea UTM.Referitor la coeficientul de reducere a scrii n tabelul 7.8 se poate vedea ce efectarevaloareaacestuiaattasupradeformaieinegativemaxime, careaparepe meridianul axial al fusului, ct i reducerea deformaiilor pozitive care are loc spre zonele marginale ale fuselor.De exemplu, adoptnd valoarea:k0 =0,99994seajungelasituaiac, zonacentralaRepublicii, pemeridianul axial al fusului nestandard,deformaiile negative ating valoarea de -6 cm/km (deformaia negativ maxim de pe teritoriu), iar deformaiile pozitive de pe meridianele marginale de 27 i respectiv30, atingovaloaredeordinul+8+12cm/km. Aceastvaloareeste depit cu puin n zonele extreme din nord-vest (localitatea Criva) i din sud-est (localitatea Palanca).Eexceptnd aceste teritorii, situate dincolo de meridianul 27 i respectiv 30, pe tot restul teritoriul Republicii, deformaiile relative ale distanelor se ncadreaz ntre -6 cm/km i +16 cm/km.n zona Chiinu, deformaiile sunt de aproximativ -4,7 cm/km.n tabelul 7.8 sunt calculate deformaiile n diverse variante pe teritoriul Republicii Moldova, ajungndu-se la varianta potrivit i anume la valoarea coeficientului de scar adoptat.Cu aceste propuneri adoptate, numrul liniilor de deformaie nul este de dou i strbat teritoriul Republicii prin zona central.De exemplu: dac se admite deformarea de -6cm/km pe meridianul axial de 2824, atunci va rezulta:- k0=0,999 94;- dou linii de deformaie nul(pentru y +70km i y -70km),respectiv la 55est i la 55vest de meridianul axial de 2824;- deformaii negative (cuprinse ntre 0-6cm/km),ntre cele dou linii de deformaie nul;- deformaii de +16,1cm/kmla est, i de +15,3cm/kmla vest pe teritoriul Republicii Moldova.163Deformaii pe teritoriul Republicii Moldovan diverse variante ale proieciei TM/TMM (Elipsoidul WGS-84) Tabelul 7.8Nr. == === ===K02700 2730 2800 282428302900 29030 3000 Un fus standart de 6 grade (fusul 35,cu scara normal):1 1,000 000 0,0 +0,8+7,1 +13,9 +16,0 + 28,5+ 44,4+64,0Dou fuse standart de 3 grade (0=27i 0=30,cu scara normal): 2 1,000 000 0,0 +0,8+7,1 +13,9 +16,0+ 7,1+0,8+0,0 n fusul NESTANDART (0=2824)Nr.= = = = = == == =K0 264027002730 280028242830290029303000 3010 cu scara normal(meridianul axial deformat):3 1,000 000+21,3 +14,0 +5,8+1,1 +0,0 + 0,1 +2,6+8,6+18,2 +22,1Cu scara redus (-10cm/km pe meridianul axial): 4 0,999 900+11,3+4,0-4,2 -8,9-10,0 -9,9-7,4 -1,4+8,2+12,1Cu scara redus (-9cm/km pe meridianul axial): 5 0,999 910+12,3 +5,0 -3,2- 7,9 -9,0-8,9-6,4 -0,4+9,2+13,1Cu scara redus (-8cm/km pe meridianul axial): 6 0,999 920+13,3+6,0-2,2-6,9 -8,0 -7,9-5,4+0,6 +10,2+14,1Cu scara redus (-6cm/km pe meridianul axial): 7 0,999 940+15,3 +8,0 -0,2-4,9 -6,0 -5,9-3,4+2,6 +12,2+16,1Aceste propuneri au intrat n atenia factorilor de decizie, n domeniul geodezic, din Republica Moldova, iar reprezentarea respectiv se regsete n normativelerecent aprobatesubnumeleProieciaTMM(ProiecieaTransversal Mercator pentru Moldova).Propunerea adoptat n final a fost:0=2824164Prin modificarea de 6 adus longitudinii fusului local fa de 30, s-au pierdut o serie de avantaje, rezultnd din pierderea simetriei meridianelor, n anumite probleme. De exemplu, dac se face o hart a Republicii Moldova pe care reeaua cartografic ar urma s fie reprezentat cu una dintre densitile 1 sau 30, sau 20 sau10sau5, meridianelesituatelaestde0=2824, nuvormaiaveaimagini simetrice cu cele situate n partea de vest.Calculul coordonatelor plane x,y n proiecia TMM, funcie de cele geografice , decurge astfel: Se calculeaz coordonatele plane TM, cu formulele obinuite, folosind longitudinea meridianului axial 0=2824; Se nmulesc coordonatele plane TM cu coeficientul k0=0,999 94 obinndu-se coordonatele plane x,y n proiecia TMM.Acest calcul este asemenea ca i la proiecia UTM, doar difer valoarea coeficientul de scar k0=0,999 94i valoarea longitudinii meridianului axial 0=2824.Transcalcularea coordonatelor plane TMx,y ntre fusele standart i fusul nestandart de2824 sepoatefaceprecis, frdificulti, chiar i pentrupuncte izolate, atta timp ct nu se modific elipsoidul de referin sau punctul astronomic fundamental (orientarea elipsoidului).Izoliniile deformaiilor liniare, funcie de y n proiecia TMM Tabelul 7.9IzoliniaD (cm/km) y (km) y(cm)/2000000 y (km) y(cm)/2000000 y (km) y(cm)/2000000-6 0 0 0 0 0 0-4 40,35282 2,017640936 40,3481052 2,017405262 40,34338 2,017169068-2 57,0675 2,853375176 57,0608377 2,853041883 57,05416 2,8527078530 69,89313 3,494656613 69,8849683 3,494248414 69,87679 3,4938393132 80,70564 4,035281873 80,6962105 4,034810525 80,68676 4,0343381364 90,23165 4,511582288 90,2211061 4,511055305 90,21054 4,5105271586 98,84382 4,942190778 98,8322699 4,941613497 98,8207 4,9410349418 106,7635 5,338176152 106,751052 5,337552618 106,7386 5,33692770610 114,135 5,706750352 114,121675 5,706083766 114,1083 5,70541570712 121,0585 6,052922809 121,044316 6,052215787 121,0301 6,05150720414 127,6068 6,380340859 127,591912 6,379595593 127,577 6,3788486816 133,8352 6,691757947 133,819526 6,690976306 133,8039 6,690192937=48 =47 =46

165Proiecia TMM fus nestandard de 330(0=2824)Izoliniile deformaiilor (cm/km)scara 1: 2 000 000Fig. 7.33 Izoliniile deformaiilor liniare n proiecia TMM2824 29 30 28 2746474827 282930484746-6-4-2242 610 812-4-2 0 4 8 122 6 1014166109