capitolo 4 l’equilibrio dei...

1 Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zanichelli editore 2017

Capitolo 4

L’equilibrio dei solidi

Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zanichelli editore 2017


L’equilibrio dei corpi

Un corpo è in equilibrio quando è fermo e rimane fermo.



Il modello del punto materiale

Un punto materiale è un oggetto che è considerato un punto

perché è piccolo rispetto all’ambiente in cui può muoversi.

Un punto materiale può traslare ma, non avendo dimensioni,

non può ruotare né deformarsi.

Un pallone da calcio è

piccolo rispetto al campo.

Può essere descritto come

un punto materiale.

Il punto materiale è un modello, cioè una descrizione semplificata

di un oggetto reale (non consideriamo le sue rotazioni e

deformazioni).



Il modello del corpo rigido

Un corpo rigido è un oggetto esteso

che può traslare e ruotare, ma che

non si deforma mai, qualsiasi siano le

forze a esso applicate.

Per studiare il moto di rotazione di un

oggetto bisogna estendere il modello

del punto materiale e considerare

l’oggetto come un corpo rigido.

Anche il corpo rigido è un modello perché non esistono oggetti

del tutto indeformabili.



L’equilibrio del punto materiale

Un punto materiale fermo è in equilibrio, cioè rimane fermo,

quando la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla.

Se la risultante delle forze

applicate a un punto materiale fermo

è nulla, esso rimane fermo.

Viceversa, se il punto materiale è

fermo e rimane fermo significa che

c è uguale a zero.

La condizione di equilibrio è espressa dalla relazione vettoriale:

totF

totF

1 2 ...... 0tot nF F F F



Le forze vincolari

Un vincolo è un corpo fisso che impedisce a un altro corpo di

compiere alcuni movimenti.

Sono esempi di vincoli:

il terreno sotto i nostri piedi;

un piano di appoggio;

un chiodo nel muro a cui è appeso

un quadro;

la corda di un aquilone.

I vincoli possono esercitare delle forze dette forze vincolari.



Le caratteristiche delle forze vincolari

La direzione e il verso della forza vincolare dipendono dal tipo di

vincolo:

la forza vincolare di un piano su un oggetto è sempre

perpendicolare al piano e ha verso tale da respingere l’oggetto.

la forza vincolare di una corda è sempre parallela alla corda

e ha verso tale da tirare l’oggetto.

Inoltre:

la forza vincolare non ha un’intensità

prestabilita: la sua intensità cambia a

seconda delle forze che agiscono

sull’oggetto.

N.B.: tutti i vincoli si rompono se sono sottoposti a forze eccessive.



Un piano inclinato esercita sui corpi a contatto

una forza vincolare perpendicolare al piano.

L’equilibrio su un piano inclinato

VF

Un punto materiale è anche soggetto alla forza-

peso, che è conveniente scomporre nei vettori

componenti perpendicolare e parallelo al piano

inclinato.

Poiché all’equilibrio il punto materiale non si

stacca dal piano inclinato, ciò significa che, nella

direzione perpendicolare al piano,

controbilancia . VF

F



La forza equilibrante

La condizione di equilibrio, , scomposta

nelle direzioni perpendicolare e parallela al piano

inclinato, diventa perciò:

Poiché il punto materiale resta fermo in

equilibrio, su di esso deve agire anche una

forza equilibrante che, nella direzione

parallela al piano, controbilancia . VFEF

VF F EF F

0totF

e



Il modulo della forza equilibrante

Quindi:

Dalla similitudine dei triangoli rettangoli ABC e EDF risulta:

: :DF DE BC AB da cui:

BCDF DE

AB ovvero:

p

hF F

l

senpF inclinazione del piano



La pendenza di un piano inclinato

Esempio: una strada con pendenza del 12% sale in altezza (h) di

12,0 m per ogni spostamento orizzontale (b) di

100 m. La lunghezza della strada percorsa

effettivamente è data dal teorema di Pitagora:

Nei segnali stradali la pendenza è espressa

in percentuale:

100%h

b

In topografia la pendenza di una strada o

di un terreno è indicata dal rapporto . h b

2 2 2 212,0 100 m 101 ml h b



Gli effetti delle forze sul corpo rigido

La retta d’azione di una forza è la retta

che coincide con la sua direzione. Su di

essa giace il vettore che la rappresenta.

Forze che agiscono lungo la stessa retta

Se due forze sono applicate a

un corpo rigido in punti diversi,

ma sulla stessa retta d’azione,

la forza risultante è la somma

vettoriale delle due forze e può

essere spostata lungo la retta

d’azione senza che i suoi effetti

cambino.




Due forze si dicono concorrenti quando

le loro rette d’azione si intersecano in un

punto P.

Forze concorrenti

La forza risultante si ottiene

spostando le due forze lungo le

rette d’azione fino al punto P

e calcolando la somma

vettoriale con la regola del

parallelogramma.




Due forze parallele si dicono concordi

quando hanno lo stesso verso.

Forze parallele

Il punto di applicazione della forza risultante è individuato dalla

proporzione:

Due forze parallele si dicono discordi

quando hanno versi opposti.




Forze parallele concordi

Il punto di applicazione di è compreso tra

quelli di e , più vicino a quello della forza

maggiore;

Il modulo è la somma dei moduli: ;

è parallela e ha lo stesso verso di e .

totF

1F2F

1 2totF F F

totF1F

2F

Forze parallele discordi

Il punto di applicazione di è esterno a e

c , dalla parte della forza maggiore;

Il modulo è il valore assoluto della differenza dei

moduli: ;

è parallela alle forze e ha il verso della forza

maggiore.

totF 1F

2F

1 2totF F F

totF



Le rotazioni attorno a un asse fisso

Molti oggetti, vincolati a un perno, possono ruotare attorno a un

asse di rotazione fisso, passante per il perno e perpendicolare al

piano di rotazione.

Per chi guarda, una rotazione attorno a un asse fisso può avere

due versi: orario o antiorario.



Il braccio di una forza

Il braccio di una forza rispetto a un

punto O è dato dalla distanza tra O e la

retta di azione di .

Normalmente il punto O coincide con il

centro di rotazione del corpo rigido.

F

F

Considerando il triangolo rettangolo OPQ,

vale la relazione:

senOQ b

rOP

il braccio dipende dal punto di applicazione e dall’inclinazione

della forza.

da cui: senb r

Quindi,



Il momento di una forza

Il momento di una forza rispetto a un

punto O è uguale al prodotto tra il modulo

di e il braccio b di rispetto a O:

F

F

Per convenzione si prende:

il segno «+» quando la forza tende a far ruotare il corpo

rigido in verso antiorario;

il segno «-» quando tende a produrre una rotazione oraria.

F

senFr

F

F



L’effetto rotazionale di una forza

Il momento di una forza dipende dalla forza e dal suo braccio.

Quindi:

per mettere in rotazione in corpo rigido attorno

a un asse fisso, la retta d’azione della forza

applicata deve essere perpendicolare all’asse

di rotazione e non deve intersecarlo (altrimenti

b = 0);

una forza di minore intensità applicata più

lontano dall’asse di rotazione (b maggiore)

produce lo stesso effetto rotazionale di una

forza maggiore, di uguale direzione e verso,

applicata più vicino.

L’effetto di rotazione di una forza è descritto dal momento della

forza.



Il momento risultante delle forze

Se a un corpo rigido sono applicate

n forze perpendicolari

all’asse di rotazione, il momento

risultante di tali forze rispetto

al punto O è la somma algebrica

dei singoli momenti calcolati

rispetto al medesimo punto O:

1 2, ,...., nF F F

totM

Il segno di indica il verso di

rotazione del corpo, risultante

dall’azione delle n forze.

1 2 ...tot nM M M M

totM



La coppia di forze

Una coppia di forze è costituita da due forze uguali e opposte,

applicate in due punti diversi di un corpo rigido.

L’effetto rotazionale di una coppia di forze è descritto dal

momento della coppia.



Il momento di una coppia di forze

Il momento di una coppia è il momento risultante delle due

forze che compongono la coppia:

per il segno si adotta la stessa convenzione del momento di

una forza: positivo o negativo a seconda che la coppia tenda a

produrre una rotazione antioraria o oraria;

il momento di una coppia di forze è

indipendente dal punto O rispetto a cui è

calcolato.



L’equilibrio di un corpo rigido

un corpo rigido è in equilibrio (è fermo e resta fermo) quando:

la somma vettoriale delle forze a esso applicate è uguale a

zero (equilibrio rispetto alla traslazione);

la somma dei momenti di tali forze, rispetto a un punto scelto

arbitrariamente, è uguale a zero (equilibrio rispetto alla

rotazione).

La sintesi di queste condizioni è espressa dalla forma:

0

0

tot

tot

F

M

Un corpo rigido può traslare (muoversi nello spazio) e ruotare,

quindi



L’equilibrio dei solidi

Riepilogo



Le leve

Una leva è un’asta rigida che può ruotare attorno a un punto fisso

chiamato fulcro.

Scegliendo O coincidente con il fulcro:

è la forza resistente (da bilanciare);

è il suo braccio (braccio resistente);

è la forza motrice (che deve

bilanciare ):

è il suo braccio (braccio motore).

Le leve sono dispositivi per amplificare o ridurre le forze.

RF

MF

RF

Rb

Mb



Equilibrio delle leve

Una leva si dice:

vantaggiosa se permette di equilibrare una forza resistente più

La condizione di equilibrio rotazionale del corpo rigido applicata

alle leve diventa:

intensa mediante una forza motrice più debole;

svantaggiosa in caso contrario.



Classificazione delle leve



Il baricentro

Il baricentro o centro di gravità di un

corpo rigido è il punto di applicazione della

forza-peso totale del corpo.

I corpi di forma simmetrica e

omogenei hanno il

baricentro nel centro di

simmetria. Invece nei corpi

di forma

irregolare e/o

disomogenei il

baricentro può

trovarsi anche

all’esterno del

corpo.



L’equilibrio di un corpo

Un corpo appeso per un punto P è in equilibrio

se il suo baricentro G si trova sulla retta

verticale che passa per P.

Un corpo appoggiato su un

piano orizzontale è in equilibrio

se la retta verticale che passa

per il suo baricentro interseca la

base di appoggio.

Appeso

Appoggiato

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