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Capitolo 3 Cinematica e
Dinamica dei fluidi
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Cinematica: velocità e accelerazione
Descrizione Lagrangiana
Descrizione Euleriana
Campo di velocità: V = V(x,y,z,t)
u = u(x,y,z,t)
v = v(x,y,z,t)
w = w(x,y,z,t)
Leonhard Euler
(Basilea, 15 aprile 1707 – San
Pietroburgo, 18 settembre 1783)
Joseph-Louis Lagrange
(Torino, 25 gennaio 1736 –
Parigi, 10 aprile 1813)
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Cinematica: velocità e accelerazione
V = V(x,y,z,t)
(*)
Regola di derivazione euleriana e accelerazione totale
Se: dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w
la (*) rappresenta l’accelerazione propria di una particella
elementare di fluido (derivata sostanziale):
Acc. convettiva Acc. locale
t
Vw
z
Vv
y
Vu
x
V
Dt
VDA
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
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Equazione indefinita della Dinamica
Deriva da:
F = m A
F = Fmassa + Fsuperficie
A = accelerazione totale
m = massa della particella elementare
x
z
y
dx
dz
Fn
n
tnsn
N.b.: sforzo interno relativo alla faccia di normale x
zyx
zyx
F
F
F Afm
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Equazione indefinita di Continuità
Esprime la
conservazione della
massa di un volumetto
elementare di fluidox
z
y
dx
dz
0
z
w
y
v
x
u
t
dxdydzt
dxx
uu
u
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Equazione di continuità per volumi finiti
Per fluidi incomprimibili ( = cost.):
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Equazioni di Eulero
Nell’equazione indefinita del
moto, viene introdotta
l’ipotesi di fluido perfetto
(stato tensionale idrostatico)
grad(p)
f Ayx z
mx y z
FF F
f Am
p p p ˆˆ ˆi j kx y z
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Teorema di Bernoulli
• Terna intrinseca
• Equazioni di Eulero + Moto permanente
• Il trinomio di Bernoulli
x
z
y
b
s
n
E(s) = z +p/g + v2/2g = cost.
Daniel Bernoulli
(Groninga, 29 gennaio 1700
Basilea, 27 luglio 1782)
02
2
g
vpz
s g
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Interpretazione geometrica ed energetica
del TdB
z energia posizionale (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso
ALTEZZA GEODETICA
v2/2g energia cinetica (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso [(1/2 m v2)/mg]
ALTEZZA CINETICA (altezza di caduta libera per raggiungere v)
p/g energia di pressione (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso
ALTEZZA DI PRESSIONE (altezza di colonna di fluido per produrre la pressione p)
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La foronomia: una classica applicazione
del TdB
• Il TdB può essere sfruttato per
calcolare la portata uscente da un
serbatoio con una luce di fondo.
• Alcune ipotesi fondamentali:
moto permanente, fluido perfetto,
luce in parete sottile (sagomata a
spigolo vivo) e di piccole
dimensioni.
• Andamento qualitativo della
traiettoria delle particelle idriche
A
Bc c
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La foronomia: una classica applicazione
del TdB
• Il punto B si trova sulla sezione
contratta.
• Sezione contratta (cc): la prima
sezione in cui i filetti fluidi si
presentano sensibilmente rettilinei
e paralleli
A
Bc c
EA = zA + pA/g + vA2/2g =
EB = zB + pB/g + vB2/2g
zA
pA/g
h
≈ 0= h
h = 0
z = 0
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La foronomia: una classica applicazione
del TdB• Si ottiene dunque (velocità
torricelliana):
• Si può tenere conto delle
approssimazioni fatte e dire che la
velocità del fluido in
corrispondenza della sezione
contratta vale:
• K è il coeff. di velocità ( ≈ 1)
A
Bc c
zA
pA/g
h
z = 0
vB ≈ e(2gh)
vcc = Ke(2gh)
h = carico (o battente)
sulla luce
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La foronomia
• Infine, si può calcolare la portata
(velocità per area della sezione):
• s è l’area della luce
c il coefficiente di contrazione
• Il prodotto m = Kc è il coefficiente
di efflusso, può essere
determinato sperimentalmente ed
assume valori prossimi a 0.6.Bc c
h
Q = K scce(2gh)=
= Kc se(2gh)=
= mse(2gh)
h = carico (o battente)
sulla luce
s
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La foronomia
• Il coefficiente di efflusso m dipende da:– Forma della luce (circolare, quadrata, etc…)
– Dimensione caratteristica della luce (diametro,
lato, etc…)
– Battente o carico sulla luce
• Conoscendo tali grandezze è possibile
consultare le tabelle riportate nei manuali
specialistici
Bc c
h
h = carico (o battente)
sulla luce
s
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Il concetto di corrente (lineare)
• Moto prevalentemente in una direzione (nota a priori) →
definizione di sezione trasversale
• Esempi: condotte in pressione, canali a pelo libero
• Curvatura modesta delle linee di flusso (moto
gradualmente variato) → quota piezometrica costante
nella sezione
• Il tubo di flusso
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Estensione del TdB ad una corrente
• Tubo di flusso elementare
• Potenza della corrente
• Conservazione della potenza della
corrente + ipotesi di moto graduale
Em(s) = z +p/g + aV2/2g = cost.Corrente
E(s) = z +p/g + v2/2g = cost.Linea di flusso
Nota: in pratica a ≈ 1V = Q/s Velocità media di portata
Tubo di flusso elementare
02
2
g
Vpz
sa
g
02
2
g
vpz
s g
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Applicazione: il venturimetro
• Moto permanente,
gradualmente variato
tranne che nel convergente
• Ipotesi di fluido perfetto
• Misura della portata
mediante misura della
differenza di quota
piezometrica
A
B
zA
zB
VA2/2g
PA/g
VB2/2g
PB/g
d
z = 0
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Esercizio
Il venturimetro illustrato in figura è inserito in una tubazione di diametro D
= 450 mm nella quale scorre acqua. Nell’ipotesi di fluido perfetto e sapendo
che il diametro d è pari a 250 mm, e che la lettura al manometro
differenziale, che ha mercurio come liquido manometrico, è = 0.40 m,
calcolare la portata defluente nella condotta. Si traccino inoltre la linea
piezometrica e quella dei carichi idraulici totali rispetto ad un riferimento
arbitrario.
Si ricordi che gacqua=9806 N/m3 e che gmercurio=132871 N/m3.
D d
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Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali
Perdite di carico
continue dovute alla
presenza di sforzi
tangenziali
Attrito -> Calore
(dissipazione)• Effetto della
scabrezza
• Effetto della
velocità
• Effetto della
viscosità
J = cadente piezometrica o
della linea dell’energia
(forza resistente per unità
di peso defluito)
Jg
Vpz
s
2
2
ag
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Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali
Perdite di carico concentrate dovute alla
formazione di vortici (mescolamento intenso)
Altri esempi: valvole, curve, divergenti, contrazioni brusche,
imbocco e sbocco…
Generalmente risulta :
H = l V2/2g (formula di Borda)
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Il TdB per una corrente di fluido reale
• Nelle condotte “lunghe” (L/D > 500÷1000) le perdite di
carico continue prevalgono largamente su quelle
concentrate.
• In generale, il TdB si generalizza come:
Em(s) = Em(0) –f0
sJ ds – n
iliVi
2/2g
Perdite di carico
continue
Perdite di carico
concentrate
Problema: determinare J e li …
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EsercizioSi calcoli la portata defluente nella condotta riportata in figura supponendo che il
dislivello tra il pelo libero del serbatoio di alimentazione ed il baricentro della sezione
di efflusso sia pari a Y=5 m.
Si tracci la linea dei carichi totali e la linea piezometrica.
Nello svolgere i calcoli, si assumano trascurabili le perdite di carico dovute agli sforzi
tangenziali sul contorno della condotta, e si adoperino le seguenti espressioni per la
valutazione delle perdite di carico concentrate:
III
IV
II
IDATI
LI=1.2 m DI=100 mm
LII=1.4 m DII=250 mm
LIII=1 m DIII=250 mm
LIV=1.4 m DIV=50 mm
Perdita di imbocco g
VH
25.0
2
Perdita per allargamento di sezione
g
VVH
2
2
21
Perdita per cambio di direzione (90°) g
VH
295.0
2
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Obiettivi formativi essenziali
• Definizione delle grandezze cinematiche
che caratterizzano un campo di moto
• Interpretazione energetica e grafica del
carico idraulico totale (trinomio di
Bernoulli)
• Teorema di Bernoulli (traiettoria, corrente,
fluido ideale e reale): ipotesi ed
applicazione.