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CAPITOLO 2
POTENZIALE
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2.1 Il concetto di potenziale
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In questo capitolo consideriamo gli aspetti di lavoro ed energia connessi con i campielettrici.
Il lavoro infinitesimo per muovere una carica q0 di uno spostamento infinitesimo π πΓ¨ dato da:
POTENZIALE
π πΎ = π β π π = πππ¬ β π π = πππ¬π π ππππ½ = πππ¬π π π
con π½ lβangolo tra π¬ e π π, e con π¬π la componente di π¬ in direzione di π π.
Per uno spostamento finito tra A e B quello che si deve fare Γ¨ dividere il camminoad esempio su un cammino curvo C1 in tanti tratti infinitesimi e sommare icontributi del lavoro. Questo significa in altri termini calcolare lβintegrale:
πΎπ = ΰΆ±πͺπ
π πΎπ = ΰΆ±πͺπ
π β π π = ππΰΆ±πͺπ
π¬ β π π
A
B
C1
In questo caso il vettore π π Γ¨ tangente alla curva C1 in ogni punto e lβintegrale viene detto curvilineo.
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Possiamo definire il rapporto:πΎπππ
= ΰΆ±πͺπ
π¬ β π π
come tensione elettrica tra i punti A e B e relativa al percorso C1 ed in generale selβagente che sposta le cariche ha natura qualunque il lavoro dipenderΓ dal percorsoscelto ovvero andando da A a B su un altro percorso C2 si ha
POTENZIALE
ΰΆ±πͺπ
π¬ β π π β ΰΆ±πͺπ
π¬ β π π
A
B
C1
C2
Se il percorso Γ¨ chiuso ad esempio percorrendo la curva C1 da A a B e poi tornando in A percorrendo C2 si ottiene che:
πΎ = ΰΆ»π β π π = ΰΆ±πͺπ
π β π π + ΰΆ±βπͺπ
π β π π = ΰΆ±πͺπ
π β π π β ΰΆ±πͺπ
π β π π = πΎπ βπΎπ
da cui lβintegrale su un percorso chiuso (detto circuitazione) Γ¨ in generale diverso da zero e viene posto
πΎ = ΰΆ»π β π π = ππΰΆ»π¬ β π Τ¦π = ππβ
2.1 Il concetto di potenziale
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La quantitΓ :
β = ΰΆ»π¬ β π π
viene definita forza elettromotrice (f.e.m.) del campo elettrico e malgrado il nomenon Γ¨ una forza.
POTENZIALE
βπΌ = πΌπ β πΌπ = βπΎππ
La forza elettrostatica Γ¨ invece conservativa quindi il lavoro necessario aspostare una carica Γ¨ indipendente dal percorso e il lavoro su un percorso chiusoΓ¨ sempre nullo. Possiamo quindi introdurre lβ energia potenziale elettrica
Di regola lβenergia potenziale Γ¨ riferita ad un livello cui attribuiamovalore di en. potenziale nullo, e spesso si sceglie un punto ad βcome riferimento di potenziale. Ma come in tutte le situazioni chefanno uso del concetto di energia potenziale, sono solo ledifferenze di potenziale quelle che si usano.
2.1 Il concetto di potenziale
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Naturalmente lβenergia potenziale dipende sia dalla carica che genera il campo cheda quella (di prova) che mettiamo in un qualunque punto dello spazio. Se, come peril concetto di campo, definiamo una energia potenziale per unitΓ di carica troviamouna quantitΓ che dipende solo dalla carica che genera il campo.
Definiamo allora il potenziale elettrico o potenziale il rapporto tra
POTENZIALE
π½ =πΌ
ππ
Pertanto la differenza di potenziale (d.d.p.) tra due punti dello spazio Γ¨ data da:
βπ½ = π½π β π½π = βπΎπππ
= βΰΆ±π
π
π¬ β π π
In altre parole abbiamo che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per portare q0 da βiβ a βfβ
πΎ = βππβπ½
2.1 Il concetto di potenziale
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Inoltre la scelta tipica per il potenziale di riferimento (nullo ad β) equivale a direche la carica allβinfinito ha Vi = 0
ovvero che il potenziale in un punto qualunque corrisponde al lavoro svolto dalcampo elettrico sulla carica di prova (e diviso per tale valore) per spostarla dainfinito al punto considerato.
POTENZIALE
LβunitΓ di misura del potenziale nel SI Γ¨ il Volt (V) per cui
π ππππ =π πππππ
π πππππππ
Tramite la nuova unitΓ di misura possiamo ridefinire anche lβunitΓ di misura del campo elettrico. Infatti si ha:
π¬ =π΅
πͺ=π΅
π±π½
=π΅ β π½
π΅ β π=π½
π
quindi il campo elettrico puΓ² misurarsi anche in V/m.
2.1 Il concetto di potenziale
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
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Il campo elettrostatico Γ¨ conservativo in quanto forza centrale. Il lavoro diconseguenza non dipende dal percorso seguito. Se la carica Γ¨ puntiforme il lavorodella forza π per un generico spostamento Γ¨
POTENZIALE
π¬(π)
π π
π¬(π + π π)
π
π π
π πΎ = π β π π = πππ¬ β π π = πππ
ππ πΊπ
ΰ·π β π π
ππ=πͺπͺπππ«
πππππ«π
con dr che Γ¨ la proiezione dello spostamento infinitesimo nella direzione ΰ·πdel campo.
π¬ β π π =ππ π
ππ πΊπππ
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
8POTENZIALE
Pertanto la funzione integranda risulta dipendere soltanto dalla variabile r ed integrando
ΰΆ±π¨
π©
π¬ β π π =π
ππ πΊπΰΆ±ππ¨
ππ©π π
ππ= β
π
ππ πΊπ
π
ππ©βπ
ππ¨
A
B
ππ΅
ππ΄
Per cui
π½π© β π½π¨ = βπ
ππ πΊπππ©+
π
ππ πΊπππ¨
βπ½ = βΰΆ±π¨
π©
π¬ β π π
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2.2 Potenziale di una carica puntiforme
9POTENZIALE
π½ π =π
ππ πΊππ+ πͺ
Dal momento che il potenziale Γ¨ definito a meno di una costante possiamo scrivere:
che con la scelta detta prima π½ β β π, equivale a dire che πͺ = π
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
π½ π = ΰΆ±π
β
π¬ β π π = βΰΆ±β
π
π¬ β π π =π
ππ πΊππ
Energia potenziale di una carica puntiforme
πΌ π = πππ½ π = βππΰΆ±β
π
π¬ β π π =πππππ πΊππ
Lβespressione dellβenergia potenziale si ottiene moltiplicando il potenziale per la carica q0
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
10POTENZIALE
I risultati appena trovati permettono lβestensione alla situazione di un campogenerato da un sistema discreto di cariche utilizzando il principio di sovrapposizione.Infatti il lavoro per uno spostamento da A a B :
π¬
πΎ = ΰΆ±π¨
π©
π β π π = ππΰΆ±π¨
π©
π¬ β π π
A
B
e se consideriamo la somma vettoriale dei campi di ciascuna carica si ottiene:
ΰΆ±π¨
π©
π¬ β π π = ΰΆ±π¨
π©
π
π¬π β π π =π
ΰΆ±π¨
π©
π¬π β π π =π
ΰΆ±π¨
π© ππ
ππ πΊππππΰ·ππ β π π
avendo utilizzato per ognuno dei termini lβespressione del potenziale della carica puntiforme.
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
11POTENZIALE
Essendo ogni campo delle singole cariche conservativo, possiamo risolvere i singoliintegrali della sommatoria:
πΎ = ππΰΆ±π¨
π©
π¬ β π π = βππ π½π© β π½π¨ =
π
ππππ πΊπππ©,π
β
π
ππππ πΊπππ¨,π
Per cui per il generico punto nello spazio P(x,y,z)
π½(π, π, π) = βΰΆ±β
π·
π¬ β π π =
π
ππππ πΊπππ
che in altre parole dice che il potenziale elettrostatico di un sistema di cariche si ottiene sommando i potenziali di ciascuna delle cariche.
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2.3 Potenziale di un sistema di cariche
12POTENZIALE
Lβestensione a distribuzioni continue di cariche Γ¨ ovvia:
π½(π·) = ΰΆ±π π½ =π
ππ πΊπΰΆ±π½
π π
πr
avendo inteso lβintegrale sulla forma dellβoggetto carico(volume, superficie, linea) e dq la carica dellβelementoinfinitesimo, r la distanza tra P e lβelemento infinitesimo.
Infine come ultimo risultato per le distribuzioni di cariche (puntiformi e continue), considerando percorsi chiusi si ha
β = ΰΆ»π¬ β π π = π
in altre parole la forza elettromotrice Γ¨ nulla per campi elettrostatici
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Esercizio 2.2
Consideriamo una bacchetta finita dilunghezza L e con carica distribuitauniformemente. Determinare lβespressionedel potenziale nel punto P distante d da unadelle due estremitΓ della bacchetta.
Esercizio 2.1
Calcolare il potenziale nel punto al centro di un quadrato di lato d =1.3 m esupponendo che le cariche sono q1 = +12 nC (in alto a sinistra), q2 = β24 nC(in alto a destra), q3 = +31 nC (in basso a sinistra) e q4 = +17 nC (in basso adestra)
POTENZIALE
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2.4 Energia potenziale elettrostatica
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Per costruire un sistema di cariche collocate in vari punti dello spazio usiamo ladefinizione e concludiamo che lβenergia necessaria (e.potenziale) a creare unsistema di cariche Γ¨ pari al lavoro necessario da parte di un agente esterno perportare il sistema nella configurazione data, ovvero quello necessario a portareciascuna carica dallβinfinito alla posizione finale.
Il lavoro per muovere una carica
πΎ = +πβπ½
Supponiamo di voler spostare una carica q > 0 dallβinfinito, dove il potenziale Γ¨nullo, verso una regione con V > 0 ovvero in presenza di cariche positive, inquesto caso ΞV > 0 e il lavoro risulterΓ positivo perchΓ© dobbiamo vincere larepulsione tra le due cariche; viceversa se le cariche sono discordi risulterΓ unlavoro negativo.
La procedura seguita ci dΓ un criterio per capire qual Γ¨ lβenergianecessaria a creare un sistema di cariche puntiformi:consideriamo un processo di costituzione del sistemaprendendo una carica alla volta e aggiungendolo al resto
POTENZIALE
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2.4 Energia potenziale elettrostatica
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Lβenergia complessiva del sistema sarΓ :
πΌπ(πππππππ) =π
π
πβ π
ππππ
ππ πΊππππ
somma estesa a tutte le coppie di punti (il fattore Β½ tiene conto del fatto chenella sommatoria del doppio conteggio dei termini simmetrici tipo ij e ji).
e lβenergia complessiva del sistema sarΓ :
Per una carica esterna q0 distinta dalle precedenti, risulterΓ che la sua energiapotenziale Γ¨ la somma delle energie potenziali dovuta alle cariche del sistema:
πΌπ(ππ) =
π
π΅ππππππ πΊπππ
πΌπ = πΌπ πππππππ + πΌπ(ππ)
POTENZIALE
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Esercizio 2.3
Tre cariche sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato l = 12cm. Se le cariche sono q1, q2 e q3 qual Γ¨ lβenergia potenziale elettrostaticadi questo sistema? Qual Γ¨ il lavoro necessario a mettere una carica q0 alcentro del triangolo?
POTENZIALE
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2.5 Moto di una carica in un campo elettrostatico
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Supponiamo di avere una carica q0 in un campo elettrostatico π¬.
Utilizzando il teorema dellβenergia cinetica:
βπ¬π² =π
ππππ©
π βπ
ππππ¨
π = πΎ
dβaltra parte sappiamo che il lavoro Γ¨ pari a:
eguagliando i termini si ottiene:
πΎ = ββπΌπ = βππβπ½ = βπππ½π© + πππ½π¨
π
ππππ¨
π + πππ½π¨ =π
ππππ©
π + πππ½π©
ovvero che la quantitΓ :
π
ππππ + πππ½ = ππππ
che rappresenta la conservazione dellβenergiaPOTENZIALE
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2.6 Superfici equipotenziali
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Definiamo superficie equipotenziale il luogo dei punti aventi il medesimopotenziale ovvero una superficie delimitata dalla condizione
Le superfici equipotenziali per una carica puntiforme sono tante sfereconcentriche alla carica stessa.
π½(π, π, π) = ππππ
In base alla definizione non Γ¨ necessario compiere alcun lavoro per muoversi su una superficie equipotenziale.
le linee di campo sono perpendicolari alle superficiequipotenziali. Infatti se non fosse così, unacomponente del campo elettrico, che è tangente allalinea di forza, si troverebbe lungo la superficieequipotenziale. Ma se fosse così muovendo unacarica lungo la superficie risulterebbe che il lavoroper spostare una carica sarebbe diverso da zero, cosache contraddice la proprietà vista prima dellesuperfici equipotenziali. Questa proprietà consenteanche di ricavare la direzione del campo elettriconota la superficie equipotenziale.POTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Vediamo come ricavare il campo elettrico se conosciamo lβespressione delpotenziale utilizzando la relazione locale che si puΓ² scrivere invece che la versioneintegrale che lega il potenziale al campo elettrico.
Consideriamo due superfici equipotenziali V e V+dV.
Supponiamo di muovere la carica di prova q0 lungo uno spostamento infinitesimo
π π = π πΰ·ππ + π πΰ·ππ + π πΰ·ππche intercetta le due superfici equipotenziali.Il lavoro sarΓ pari a:
π πΎ = βπππ π½
Possiamo perΓ² anche dire dalla definizione di lavoro che:
π πΎ = π β π π = πππ¬ β π π
Unendo le due espressioni:
βπππ π½ = πππ¬ β π πPOTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Se esplicitiamo il prodotto scalare:
π¬ β π π = π¬ππ π + π¬ππ π + π¬ππ π
π π½ =ππ½
πππ π +
ππ½
πππ π +
ππ½
πππ π
e scriviamo il differenziale totale della funzione V come:
Lβespressione precedente diventa:
βππ½
πππ π β
ππ½
πππ π β
ππ½
πππ π = π¬ππ π + π¬ππ π + π¬ππ π
che Γ¨ verificata se e soltanto se:
π¬π = βππ½
πππ¬π = β
ππ½
πππ¬π = β
ππ½
ππ
che permette di trovare tutte le componenti di π¬ noto ilpotenziale in funzione dello spazio.
POTENZIALE
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2.7 Campo come gradiente del potenziale
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Quelle tre relazioni si possono esprimere sinteticamente utilizzando lβoperatoregradiente:
dove:
π¬ = βππππ π½ oppure π¬ = βππ½
Campo elettrico come gradiente del potenziale
Il campo elettrostatico `e in ogni punto uguale al gradiente del potenziale elettrico in quel punto e cambiato di segno.
π¬ = βππ½
Lβoperatore gradiente Γ¨ un oggetto che si comporta formalmente comeun vettore ma acquista significato solo se applicato ad una funzionescalare. Applicandolo formalmente al potenziale si ottiene infatti:
ππ½ =ππ½
ππΰ·ππ +
ππ½
ππΰ·ππ +
ππ½
ππΰ·ππ = ππππ π½
π =π
ππΰ·ππ +
π
ππΰ·ππ +
π
ππΰ·ππ
POTENZIALE
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Esercizio 2.5
Esercizio 2.4
Si consideri un anello carico di raggio R, avente una carica quniformemente distribuita. Calcolare il potenziale lungo lβasse dellβanello.
Si consideri un disco carico di raggio R, avente una carica quniformemente distribuita. Calcolare il potenziale lungo lβasse del disco.
POTENZIALE
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2.8 Potenziale di un dipolo elettrico
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Calcoliamo il potenziale dovuto al dipolo in un generico punto P del piano deldipolo come in figura.
Il potenziale sarΓ :
π½ = π½+ + π½β =π
ππ πΊπ
π
π++βπ
πβ=
π
ππ πΊπ
πβ β π+πβπ+
+q
-q
d
x
y
asse del dipolo
P
ΞΈr-
r+
r
POTENZIALE
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2.8 Potenziale di un dipolo elettrico
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Il dipolo Γ¨ una struttura molto frequente ed Γ¨ ad esempio il campo elettricogenerato da un gran numero di molecole. Normalmente si Γ¨ interessati al campo adistanze relativamente grandi ossia determinate dalla condizione r >> d.
In questo caso possiamo approssimare: πβ β π+ β π ππππ½
+q
-q
d
x
y
asse del dipolo
P
ΞΈr-
r+
r
ΞΈ
πβπ+ β ππ
π½ =ππ ππππ½
ππ πΊπππ=πππππ½
ππ πΊπππ
Con queste approssimazioni il potenziale diventa:
POTENZIALE