capÃtulo 2. formulaciÃ“n del problema de contacto mecÃnico

CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTACTO MECÁNICO

Estudio de la influencia de los parámetros de contacto de ANSYS en la resolución de problemas de interacción mecánica superficial. Página 9

CAPÍTULO 2

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE

CONTACTO MECÁNICO

2.1.- EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El método de los elementos finitos se basa en la discretización de un sistema

real, es decir en la “partición” en trozos de un cuerpo. Es más bien una discretización

física. Cada uno de esos trozos es un elemento, y es sobre dichos elementos donde se

aplican unas ecuaciones. A medida que el elemento es más pequeño, más se parece el

modelo a la realidad.

Para resolver las ecuaciones del problema es necesaria también una

discretización matemática, de tal forma que se aproximen funciones con las que es



difícil trabajar por otras más sencillas. En general, cualquier función se puede aproximar

por:

∑=

=N

i

ii xfNxf1

)()( , donde cada punto i es un nodo o nudo.

2.1.1.- Ecuaciones de la elasticidad:

• Ecuación de equilibrio: 0, =+ ijij tσ

• Ecuación de compatibilidad: ( )ijjiij uu ,,

2

1 +=ε

• Ley de comportamiento: klijklij C εσ =

Estas ecuaciones “obligan” punto a punto, es decir, cada trozo,

independientemente de su tamaño, debe cumplirlas. A este sistema se le conoce como

formulación fuerte.

2.1.2.- Principio de los trabajos virtuales:

0*** =−− ∫∫∫

Ω∂ΩΩ

dSutdVufdV iiiijijεσ

Donde σ representa las tensiones en un volumen Ω , siendo Ω∂ su contorno,*ε

es la deformación virtual definida en función de los desplazamientos virtuales *u y *u ,

y f y t son las cargas externas aplicadas por unidad de volumen y de superficie,

respectivamente. Si el sistema virtual son las fuerzas en equilibrio se llega a la ecuación

de compatibilidad, mientras que si el sistema virtual son las deformaciones y

desplazamientos compatibles se llega a la ecuación de equilibrio.

Esta formulación se conoce como débil, funciones de menor grado de

derivabilidad. Es sentido opuesto a la formulación anterior, es este caso sólo se “obliga”

al dominio y al contorno, pero no al punto concreto.

Las dos formulaciones coinciden cuando Ω sea un punto concreto, es decir, a

menores elementos más se parece el problema a la realidad.



2.1.3.- Formato matricial de las ecuaciones elásticas y del PTV:

• Deformaciones y tensiones:

Los pseudovectores de deformación y tensión son:

ijij

yz

xz

xy

z

y

x

γε

γγγεεε

ε2

1; =

= ⇒

=

xy

y

x

D

γεε

ε 2, en tensión plana

=

yz

xz

xy

z

y

x

τττσσσ

σ ⇒

=

xy

y

x

D

τσσ

σ 2, en tensión plana

A final se concluye que: σεεσT

ijij

** =

• Ley de comportamiento:

En tensión plana:

−−

−−=

xy

y

x

D

xy

y

x

G

EE

EE

γεε

υυυ

υυ

υ

τσσ

444 3444 21

00

011

011

22

22

⇒ εσ D=



• Ecuaciones de compatibilidad:

En tensión plana:

∂∂+∂

∂∂

∂∂

∂

=

x

u

yu

y

ux

u

yx

y

x

xy

y

x

γεε

⇒

u

y

x

L

xy

y

x

u

u

xy

y

x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

43421

0

0

γεε

⇒ uL=ε

• Ecuaciones de equilibrio con PTV:

Se usan *ε y u*

compatibles:

dStudVfudVTTT

∫∫∫Ω∂ΩΩ

+=*** σε

Donde

=

y

x

f

ff y

=

y

x

t

tt , las cargas en el contorno serán repartidas o puntuales.

De las ecuaciones anteriores se puede sacar:

==uL

D

εεσ

⇒ uLD=σ

**uL=ε y

TLu

TT ** =ε

Con todo resulta:

dStudVfudVuLDLudVTTTT T

∫∫∫ ∫Ω∂ΩΩ Ω

+==**** σε



2.1.4.- Discretización matemática:

Hasta ahora no se ha usado el concepto de discretización. Esto consiste en una

partición del continuo en elementos más pequeños y aproximar lo que pasa en cualquier

parte de elemento por los que se sabe de sus nodos. La variable principal que se va a

aproximar son los desplazamientos. Dicha aproximación es:

δNu =

, dondeN es la matriz de funciones de forma y δ son los desplazamientos en los nodos

del elemento como consecuencia de las condiciones de contorno impuestas.

Si se introduce la aproximación de desplazamientos dentro de las variables

anteriormente descritas resulta:

uL=ε ⇒ δε NL= ⇒ δε B=

uLD=σ ⇒ δσ NLD= ⇒ uBD=σ

**uL=ε ⇒ ** δε NL= ⇒ ** δε B=

Cabe destacar que al ser L un operador diferencial las funciones de forma deben

tener derivada.

Ahora se usan los resultados obtenidos dentro del PTV:

∫∫ ∫Ω∂Ω Ω

+= dStudVfudVTTT *** σε ⇒

43421

4434421

PuntulaesasC

puntualesasc

lasTodas

ii

repartidasasC

TTTTTT

PdStNdVfNdVBDB

arg

arg

*

arg

*** ∑∫∫∫ ++=Ω∂ΩΩ

δδδδδ

Si las cargas puntuales sólo están aplicadas en los nudos:

∑ = T

ii PPT** δδ



En todos los términos del PTV aparece T*δ multiplicando;

T*δ es constante,

conocido o desconocido, pero se puede sacar factor común:

++=

∫∫∫Ω∂ΩΩ

PdStNdVfNdVBDB

tf P

T

P

TT

K

TT

43421434214434421

** δδδ ⇒

( ) ( )PPPK tf

TT

++= ** δδδ

La última ecuación es válida para todo valor que tome T*δ , con lo que se puede

eliminar este término, resultando la ecuación:

PPPK tf ++=δ

2.2.- INTERACCIÓN MECÁNICA

Como ya se ha mencionado en el apartado anterior, el Principio de los Trabajos

Virtuales es condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un sistema, o

estructura, o de cada una de sus partes. Este Principio aplicado a un sistema cualquiera

se formula como:

0*** =−− ∫∫∫

Ω∂ΩΩ

dSutdVufdV iiiijijεσ

donde el significado de cada término se explica en el apartado 2.1.2.

Sin embargo, si aplicamos este mismo principio a un sistema compuesto por dos

sólidos en contacto aparece un nuevo término en la ecuación correspondiente a la

contribución que tiene el contacto.



Figura 2.1.- Detalle de contacto

02

1

*** =+

−−∑ ∫∫∫= Ω∂ΩΩ

Ciiiijij CdSutdVufdVγ γγγ

εσ

Para los dos cuerpos en contacto es posible obtener la formulación débil del PTV

o la energía relativa a la interfaz asumiendo que el contacto está activo en las zonas de

contacto potencial. Existen diferentes variantes para la formulación de Cc dependiendo

del método usado.

Multiplicadores de Lagrange:

En este caso la formulación del término del contacto viene dada por la

expresión:

donde, gt es la separación tangencial y gn es la separación, que se define

como:

Ω1

Ω2

δΩ1

δΩ2

Zonas de contacto potencial



Figura 2.2.- Detalle de definición de gn

Penalización:


expresión:

,

donde, representan las penalizaciones normal y tangencial

respectivamente.

Lagrangiano Aumentado:


expresión:

, donde

(2)

(1)

un2

un1

xn2

xn1



2.3.- EL PROBLEMA COHESIVO La fractura a lo largo de una interfaz tiene un papel fundamental en la resistencia

y ductilidad de materiales compuestos, como los composites. Esto ha motivado una

considerable cantidad de estudios sobre los fallos de interfaces.

Dicha interfaz se puede modelar con los métodos tradicionales de la mecánica de

la fractura, como la técnica de la liberación nodal. Pero, también se puede usar una

técnica que directamente introduce un mecanismo de fractura adoptando las relaciones

de reblandecimiento entre las tracciones y la separación. Esta técnica, llamada modelo

de la zona cohesiva, introduce una energía crítica de fractura que es la energía necesaria

para romper y separar las superficies de la interfaz.

Las superficies de la interfaz de los materiales pueden representarse con un

conjunto especial de elementos de interfaz o de contacto, mientras que el modelo de la

zona cohesiva se usa para caracterizar el comportamiento constitutivo de la interfaz.

El modelo de la zona cohesiva consiste en una relación constitutiva de

tracciones, T, actuando sobre una interfaz y la correspondiente separación de interfacial,

δ. Las definiciones de la tracción y la separación dependen del elemento y del modelo

del material.

Para los elementos de la interfaz, la separación interfacial o desplazamiento, δ,

se define como la diferencia entre los desplazamientos de las superficies adyacentes:

Nótese que la definición de la separación se basa en un sistema de coordenadas local

para el elemento. La normal de la interfaz se denota como la dirección local n y la

dirección tangencial local se denota por t. De este modo:

Existe una formulación exponencial para el modelo de la zona de material

cohesivo que usa el potencial de la superficie:



donde, es el potencial de la superficie, es la máxima tracción en la interfaz,

es la separación normal a través de la interfaz donde la máxima tracción se consigue

con , es la separación de cizalladura donde la máxima tracción de cizalladura

de alcanza para . y se definen como: y .

La tracción se define como:

O también se puede separar en sus componentes:

De las ecuaciones anteriores se obtienen la tracción normal de la interface y la

tracción de cizalladura:

El trabajo normal de separación es , mientras que el trabajo de

separación tangencial se asume que va a ser igual que el normal y se define como

.

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