cap5aproximacion

5 Aproximacin Puntual

En el captulo 2, frmula (3), vimos una idea que prefiguraba el captuloactual. Se trata de la aproximacin lineal de una funcin con derivada enun punto, mediante un polinomio de grado 1

T (x) = f (a) + f 0 (a) (x a) . (1)

All se prob que

limxa

(f T ) (x)x a = 0. (2)

de donde (ver ejercicio 104 en el captulo 2),

f (x) = f (a) + f 0 (a) (x a) + (x) (x a) , (3)

con (x) una funcin que tiende hacia 0 cuando x a.

Esta representacin permite resolver interesantes problemas, y el usodel teorema del valor medio de Cauchy en esa misma direccin nos dar unlenguaje ms flexible. Estas ideas sern explotadas en dos direcciones eneste captulo.

5.1 La regla de lHospital

La aproximacin lineal de una funcin diferenciable (3) puede ser usadapara calcular lmites indeterminados. As se llaman aquellos casos en losque la aplicacin de las propiedades del lmite llevan a formas sin sentidodel tipo 00 ,

, 0 , , y otras que veremos luego. Por ejemplo, todos

166 Captulo 5 - Aproximacin Puntual

los lmites que aparecen en el clculo de la derivada de una funcin continuason indeterminaciones de la forma 00 , pues

limh0

f (x+ h) f (x)h

=limh0 [f (x+ h) f (x)]

limh0 h=0

0.

Si f y g son dos funciones con derivada en el punto a (y por lo tantocontinuas) y f (a) = g (a) = 0, podemos calcular el lmite indeterminado

limxa

f (x)g (x)

con el siguiente artificio:

limxa

f (x)g (x)

= limxa

f (a) + f 0 (a) (x a) + 1 (x) (x a)g (a) + g0 (a) (x a) + 2 (x) (x a)

(4)

= limxa

f 0 (a) + 1 (x)g0 (a) + 2 (x)

=f 0 (a)g0 (a)

.

De ms est decir que, para considerar el lmite del cociente en (4), stedeber estar definido en un entorno reducido del punto a, para lo cual nose deber anular g en ese entorno.

Guillaume Franois Antoine de lHospital (1661-1704), marqus de Sainte-Mesme, fu quien propuso este mtodo de clculo y es por eso que se loconoce con su nombre. Sin embargo, el teorema del valor medio de Cauchy(quien naci en 1789) permite formular y probar la regla con un enunciadoms cmodo y demostrarlo con facilidad.

Supongamos que f y g son dos funciones derivables en un entorno delpunto a y que f (a) = g (a) = 0. Si aplicamos el teorema del valor mediode Cauchy, se puede calcular el lmite del cociente:

limxa

f (x)g (x)

= limxa

f (x) 0g (x) 0 = limxa

f (x) f (a)g (x) g (a) = limxa

f 0 ( (x))g0 ( (x))

,

donde (x) es alguno de los puntos intermedio entre a y x cuya existenciaasegura el teorema. Por eso es que depende de x, para cada x el teoremada un 1. Como adems (x) est entre a y x, es claro que (x) acuando x a. Entonces, si las funciones f 0 y g0 son continuas en elpunto a, podremos usar la propiedad no 7 del lmite de la composicin,

limxa

f 0 ( (x))g0 ( (x))

=f 0 (a)g0 (a)

.

1En realidad, el teorema puede dar varios, pero es sabido que es posible elegir uno.

5.1. La regla de lHospital 167

Ntese sin embargo que para aplicar, como lo hicimos, el Teorema de Cauchyen el intervalo [a, x] , g0 no deber anularse en (a, x)

Ejemplos.

1.

limx1

lnxx 1 =

ln011= 1

2.

limx1

x3 x2 + x 1x 1 =

3 12 2 1 + 11

= 2

3.

limx1

x3 x2 + x 1(x 1)2

= limx1

P (x)Q (x)

En este caso, Q0 (x) = 2 (x 1) se anula en x = 1, pero P 0 (1) = 2.Entonces se calcula

limx1

Q (x)P (x)

=Q0 (1)P 0 (1)

= 0,

de donde se infiere que

limx1

P (x)Q (x)

=.

Mayor es el problema si f 0 (a) = g0 (a) = 0.

Teorema 1 (de Cauchy iterado) Si f y g tienen derivadashasta el orden n + 1 en un intervalo alrededor del punto a,f (k) (a) = g(k) (a) = 0 para k = 0, 1, ..., n, y las derivadas deg no se anulan fuera del punto a, entonces existe un punto entre x y a tal que

f (x)g (x)

=f (n+1) ()g(n+1) ()

Demostracin.

f (x)g (x)

=f (x) f (a)g (x) g (a) =

f 0 (1)g0 (1)

=f 0 (1) f 0 (a)g0 (1) g0 (a)

=f 00 (2)g00 (2)

=

= f(n) (n)g(n) (n)

=f (n) (n) f (n) (a)g(n) (n) g(n) (a)

=f (n+1) ()g(n+1) ()


Corolario 1 (Regla de lHospial). Bajo las hiptesis del teo-rema, si adems las derivadas f (n+1) y g(n+1) son continuasen el punto a

limxa

f (x)g (x)

= limxa

f (n+1) (x)g(n+1) (x)

.

Demostracin. Nuevamente, = (x) (a, x) y es deaplicacin la 7a propiedad de los lmites

Con pocas modificaciones el corolario se extiende a los casos en que elvalor comn de las funciones y sus primeras n derivadas es en vez de0 y al caso a =.

Ejemplos:

4.

limx0

ex 1 xx3

= limx0

ex 13x2

= limx0

ex

6x=

5.

limx+

xn

ex= lim

x+n!ex= 0,

despus de derivar n veces. De aqu se deduce que

limx+

P (x)ex

= 0 y limx+

ex

|P (x)| = +

para cualquier polinomio P.

6.

limx

P (x) ex = limx+

P (x)ex

= 0.

7.

limx0+

lnx1x

= limx0+

1x

1x2= lim

x0+x

2

x= 0

5.1. La regla de lHospital 169

Ejercicios:

Calcular los siguientes lmites1. lim

x0ex1x 2. limx1

x1lnx

3. limxa

xalnxlna , a > 0 4. limx0

x+a2ax+b2b , a, b > 0

5. limx+

x2xsenx 6. limx+

ln(1+x)x

7. limx+

ln(lnx)x 8. limx+

ex

x2+2

Ms ejemplos:

8. Forma 0 limx0+

x1n lnx

es de la forma 0 . Se convierte en 00 x1n lnx = x

1n1lnx

o bien en

observando que x1n lnx = lnx

x1n. La segunda forma es ms cmoda

para los clculos.

limx0+

x1n lnx = lim

x0+lnx

x1n

= limx0+

x1

1nx 1n1

= limx0+

nx 1n

= 0.

Si n es muy grande, x1n es un cero muy dbil. Pero lnx es un

infinito an ms dbil. Gana el 0 de x1n . Ntese que el acercamiento

de lnx al eje y en el origen es equivalente al acercamiento de ex

al eje x en . La debilidad del de lnx en el origen coicidecon la fortaleza del 0 de ex en .

9. Forma

limx0

1

x cosxsenx

= lim

x0senx x cosx

x senx=

limx0

cosx (cosx x senx)senx+ x cosx

= limx0

x senxsenx+ x cosx

=

limx0

senxsenxx + cosx

=0

1 + 1= 0


10. Forma 0lim

x+f (x) con f (x) = (1 + x)

1x

Se calcula el lmite de lnf (x) = 1x ln (1 + x), que es de la forma /.

limx+

ln (1 + x)x

= limx+

11+x

1= 0

Entonces,

limx+

f (x) = limx+

elnf(x) = explim

x+(lnf (x))

= e0 = 1

11. Forma 00

limx0+

xx

Nuevamente se calcula el lmite del logaritmo, para convertir la po-tencia en producto:

limx0+

ln (xx) = limx0+

xlnx = limx0+

lnxx1

= limx0+

x1

x2 = limx0+x = 0

Entonces, limx0+ xx = e0 = 1.

12. Forma 1

limx+

1 +

1

x

xse calcula

limx+

xln1 +

1

x

= lim

x+

ln1 + 1x

x1

= limx+

x21 + 1x

(x2)

= 1

Tomando una exponencial para deshacer el logaritmo introducido,

limx+

1 +

1

x

x= e1 = e

Nota: El mismo lmite se obtiene, por supuesto, si se restringe lavariable x a tomar slo valores naturales:

limn+

1 +

1

n

n= e.

De hecho, es habitual definir al nmero e como el lmite de lasucesin

2,1 +

1

2

2,1 +

1

3

3, ,

1 +

1

n

n,

5.2. Polinomio de Taylor 171

Ejercicios:

Calcular los siguientes lmites

9. limx0+

xe1x 10. lim

x0+xlnx

11. limx

exx3 + x2

12. lim

x0+nxlnx

13. limx0

1x

cosxsenx

14. lim

x1

1lnx

xx1

15. lim

x0xx 16. lim

x0xsenx 17. lim

x0(1 cosx)ln cosx

18. limx+

1 + 1x

x 19. limx0

(1 + x)1x

20. limx+

1 + ax

x 21. limx+

1 + ax2

x

5.2 Polinomio de Taylor

Volviendo sobre el polinomio T de la introduccin (fla. (1)), se observaque tiene sus derivadas de orden 0 y 1 coincidentes con aqullas de f :

T (a) = f (a) , T 0 (a) = f 0 (a) . (5)

En el captulo 2, el ejercicio 91 nos llev a calcular:

dk

dxkxn =

n!(nk)!x

nk, si k < nn!, si k = n0, si k > n

,

dk

dxkxnx=0

=

n! si k = n0 si k 6= n .

A su vez, el ejercicio 109 estableca, sobre la base de este clculo, las rela-ciones entre los coeficientes de un polinomio

P (x) = a0 + a1x+ ...+ anxn

y sus derivadas de orden superior en el origen:

P (k) (0) =

k!ak si 0 k n0 si k > n

.


En consecuencia, si f es una funcin con derivadas hasta el orden n yponemos

Tn (x) = f (0) +f 0 (0)1

x+f 00 (0)2!

x2 + + f(n) (0)

n!xn,

resultar

T (k)n (0) = f(k) (0) para k = 0, 1, , n y T (n+1) (0) = 0. (6)

Claramente la relacin (6) generaliza a (5). El polinomio Tn, es llamadopolinomio de Taylor de grado n de f en el origen. El polinomio degrado 1 definido por (1) coincide con el polinomio de Taylor de grado 1 T1.Nosotros afirmamos que existe una relacin similar a (2) entre f y Tn. Lasimplificacin de hacer ahora el trabajo en 0 cuando antes se hizo en unpunto cualquiera a no es importante y se arregla fcilmente. Ante tododebe observarse que, en virtud de (6), la diferencia Rn = f Tn es unafuncin nula con derivadas nulas en el origen hasta el orden n.

La regla de lHospital nos permite establecer una relacin entre f y Tnque extiende (2)

limx0

(f Tn) (x)xn

= limx0

R(n)n (x)n!

= 0. (7)

Esta es una muestra del buen ajuste entre f y Tn cerca del origen.Como el lmite es 0, habr un entorno I del origen en el cual es, digamos,Rn(x)xn

1. Esto significa que |Rn (x)| |x|n. Por ejemplo, tomando

|x| 0.1, tendremos que |Rn (x)| 0.00....01 (n 1 ceros).

La diferencia Rn entre f y Tn es llamada habitualmente el residuo2.La relacin (7) describe el comportamiento lmite del residuo. Pero tambinse puede obtener una expresin ms precisa de ste cuando la funcion fadmite tambin una derivada de orden n + 1. En este caso, aplicando elteorema 1 (Cauchy iterado) en vez de su corolario (lHospital), con Rn enel numerador y xn+1 en el denominador, se tendr

Rn (x)xn+1

=R(n+1)n ()(n+ 1)!

,

2Hay funciones f llamadas analticas, que son representables exactamente por unproceso de sumacin infinita de trminos como los del polinomio de Taylor. Al quedarnoscomo aproximante de la funcin con ste ltimo, estamos dejando la "cola" de esa serie,que justamente es la diferencia entre la funcin y el polinomio, como residuo.


para cierto (0, x). Pero siendo Rn = f Tn con Tn polinomiode grado n (y por lo tanto T (n+1)n (x) = 0 x), resulta que R(n+1)n () =f (n+1) () . En consecuencia,

Rn (x) =f (n+1) ()(n+ 1)!

xn+1, (8)

para algn = (x) (0, x) . La expresin (8) para el residuo es debidaa Lagrange y tiene el encanto de su semejanza con el trmino general deldesarrollo, en el que slo se cambia 0 por . Con frecuencia el lectorencontrar que se llama desarrollo de Taylor en el origen de la funcin f ala expresin

f (x) = f (0) +f 0 (0)1

x+f 00 (0)2!

x2 + + f(n) (0)

n!xn +

fn+1 ()(n+ 1)!

xn+1, (9)

donde es algn nmero entre x y 0.

Ejemplos.

1. Si f (x) = ex, f (k) (x) = ex y f (k) (0) = e0 = 1 para todo k. Luego,

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+ + x

n

n!+Rn

con Rn = e

(n+1)!xn+1, donde es algn punto entre 0 y x.

2. Desarrollo de senx. Las primeras derivadas de senx son: sen(0) x =senx, sen0 x = cosx, sen00 x = senx, sen(3) x = cosx que, eva-luadas en x = 0, dan los valores 0, 1, 0,1. La derivada cuarta vuelvea ser senx, de modo que en adelante se repetiran los valores 0, 1, 0,1.Luego

Tn (x) = xx3

3!+x5

5! x

7

7!+

Como no hay trminos pares, es T2n = T2n1. El trmino del poli-nomio correspondiente a la potencia x2k+1 es

(1)k

(2k + 1)!x2k+1,

as que

senx = x x3

3!+x5

5! x

7

7!+ + (1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+R.


En este caso es fcil acotar R, porque |sen | 1 y |cos | 1.Luego

|R| 1(2n+ 2)!

|x|2n+2

En la figura se muestran las grficas de senx y de T7 (x) , donde seaprecia el excelente ajuste cerca del 0.

/2 /2 3/2

4

2

2

4

x

y

figura 5.1

Aproximacin de Taylor en un punto a distinto de 0

Se considera la funcin g (h) = f (a+ h) y se desarrolla g en el origen.Pero claramente g(k) (0) = f (k) (a) . Por lo tanto, el desarrollo de g en 0,

g (h) = g (0) +g0 (0)1!

h+ + g(n) (0)

n!hn +

g(n+1) ()(n+ 1)!

h(n+1),

se traduce, haciendo x = a+ h ( h = x a) en

f (x) = f (a) +f 0 (a)1

(x a) + f00 (a)2!

(x a)2 + (10)

+ f(n) (a)n!

(x a)n + fn+1 ()(n+ 1)!

(x a)n+1 , (11)

con entre x y a.


Ejemplos.

3. Si P es un polinomio de grado n, su desarrollo de Taylor de orden nen un punto a,

P (x) = P (a) +P 0 (a)1

(x a) +

+ P(n) (a)n!

(x a)n + P(n+1) ()(n+ 1)!

(x a)n+1 ,

puesto que derivadas de orden n + 1 de un polinomio de grado nson nulas, da una identidad

P (x) = c0 + c1 (x a) + + cn (x a)n .Esto es, un polinomio de grado n se puede escribir, con otros coefi-cientes, como un polinomio de grado n en (x a) . Este desarrollotambin se puede obtener algebraicamente, con el algoritmo de di-visin, en forma similar al clculo del desarrollo de un nmero entero"en otra base".

4. Polinomio de Taylor de ln en 1.

lnx = 0 en x = 1ln0x = x1 = 1 en x = 1ln00x = x2 = 1 en x = 1ln(3)x = 2x3 = 2! en x = 1ln(4)x = 3!x4 = 3! en x = 1ln(n)x = (1)n1 (n 1)!xn = (1)n1 (n 1)! en x = 1

De manera que

lnx = (x 1) 12!(x 1)2 + 2!

3!(x 1)3 3!

4!(x 1)4 +

+ (1)n1 (n 1)!n!

(x 1)n + Tn

= (x 1) 12(x 1)2 + 1

3(x 1)3 1

4(x 1)4 +

+ (1)n1 1n(x 1)n + Tn

Nota: Poniendo x = 2 y dejando tender n hacia , se obtiene la sumade la serie armnica alternada:

1 12+1

3 14+1

5 = ln2.


Ejercicios.

Hallar los siguientes polinomios de Taylor:22. de f (x) = 3x4 + 5x2 + 18x 15 en el punto a = 0

23. de f (x) = x3 2x2 + 5x 1 en el punto a = 1

Hallar el polinomio de Taylor del grado indicado en el origen24. de ex con grado n

25. de senx con grado 7

26. de cosx con grado 2n

Unicidad

Es claro que (7) sigue valiendo si se cambia 0 por a. Esto es, si T esel polinomio de Taylor de grado n de f en el punto a, entonces

limxa

(f T ) (x)(x a)n = 0. (12)

Esta circunstancia caracteriza al polinomio de Taylor.

Teorema (de unicidad) Cualquier polinomio T (x) = c0 +c1 (x a)+ + cn (x a)n de grado menor o igual que n queverifique la condicin (12) tiene necesariamente los coeficientes

ck =f (k) (a)(k + 1)!

, k = 0, 1, ..., n.

Demostracin: Si otro polinomio, digamos P , satisface (12),entonces

limxa

P (x) T (x)(x a)n = limxa

P (x) f (x) + (f (x) T (x))(x a)n =

= limxa

P (x) f (x)(x a)n + limxa

f (x) T (x)(x a)n = 0

y esto basta para afirmar que P = T. (Ver ejercicio 27.).


Ejemplo 5: De la frmula para calcular la suma de la progre-sin geomtrica:

1 + x+ x2 + + xn = xn+1 1x 1 ,

se deduce que

1

1 x 1 + x+ x2 + + xn = xn+1

1 x.

Como

limx0

xn+1

xn (1 x) = 0,

el teorema de unicidad asegura que 1 + x+ x2 + + xn es elpolinomio de Taylor de (1 x)1 .

Ejercicios.

27. Un polinomio Q de grado no mayor que n tal que, paraalgn nmero a verifica que

limxa

Q (x)(x a)n = 0,

debe ser el polinomio 0. (Todos sus coeficientes son 0).Pista: Escribir Q (x) = c0+c1 (x a)+cn (x a)n . Despususar que limxa

Q(x)(xa)n = 0 = limxa

P (x)(xa)m = 0 m < n

28. Hallar los polinomios de Taylor en el origen de

1

1 + x,

1

1 x2 y1

1 + x2

Sugerencia: Hacer transformaciones a partir del ejemplo 5 y usarel teorema de unicidad.

29. Hallar el polinomio de Taylor en el punto a = 12 de la funcin11x .Sugerencia: 11x =

212(x 12)

. vuelva a usar el ejemplo 5.

cap5aproximacion

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