cap4calculo

4 Funciones Inversas

4.1 Definicin de funcin inversa

En este captulo estudiaremos aspectos generales del proceso de inversin defunciones y su aplicacin a las funciones que venimos estudiando y a otrasnuevas.

Si se piensa a una funcin f : A B como una accin que transformao traslada los puntos de un conjunto A en puntos de otro conjunto B, serfcil imaginar una accin inversa que los devuelva a su forma o lugar original.Para que esa accin inversa est bien definida tambin ella como una funcin,digamos, g : B A, ser necesario que f no haya mezclado puntos.Porque si hay dos puntos distintos, x1 y x2 tales que f (x1) = f (x2) = y,g no tendr cmo decidir si g (y) = x1 g (y) = x2. Las funciones que nomezclan puntos, es decir que no envan puntos diferentes a la misma imagen,se llaman inyectivas o uno a uno. Hay un modo de decirlo sin negaciones:

Definicin 1: Una funcin f es inyectiva si

f (x1) = f (x2) = x1 = x2. (1)

Si la miramos sobre el grfico, la condicin de inyectividad se manifiestade la siguiente manera: f es inyectiva si ninguna recta horizontal corta algrfico en ms de un punto. La funcin . y = 3x1x1 es inyectiva (fig. 4.1),pero y = x3 x no lo es (fig. 4.2).

140 Captulo 4 - Funciones Inversas

Funcin inyectiva:

Si una recta horizontalcorta al grfico lo haceen un solo punto

x

y

figura 4.1

x

y

Funcin no inyectiva:

Existe alguna recta horizontalque corta al grfico en ms deun punto.

Si una funcin f : A B es inyectiva, se puede definir una funcin gdesde su rango que traiga a los puntos de regreso. En efecto, dado y Rg f ,existe x A tal que f (x) = y. Pero por la inyectividad ese x es nico.Se definir entonces g (y) = x. La funcin g as definida se llamar lainversa de f . y su dominio ser Rg f . Ya que g trae de regreso a xhasta su sitio de partida, aplicar sucesivamente la funcin y su inversa daun resultado inocuo. Esto es,

g f (x) = x y f g (y) = y (2)

Es clara la simetra de roles de f y g. La condicin de ser inversa esrecproca.y se caracteriza por las relaciones (2).

Definicin 2. Dos funciones f : A B y g : B A soninversas una de la otra si

g f (x) = x para x A yf g (y) = y para y B.

4.1. Definicin de funcin inversa 141

Para indicar esta situacin se usar la notacin g = f1 (encuyo caso, f = g1. De donde

f1

1= f ).

Una manera alternativa de expresar el hecho de que g es la inversa def es la siguiente:

y = f (x) x = g (y) . (3)

Ejemplos.

1. La funcin f (x) = x3 es inyectiva y admite una inversa: g (x) = 3x.

3x3 = x,

3x3= x.

2. La funcin f (x) = x2 no es inyectiva. Cualquier recta horizontaly = r con r > 0 corta a la parbola y = x2 en dos puntos. Sinembargo se habla de la raz cuadrada de x si x 0. Lo que ocurrees que la restriccin de f al intervalo [0,+) s es inyectiva yg (x) =

x es su inversa:

x2 = x,

x2= x, x 0.

Decir "f es inyectiva en A" es ms cmodo que decir "la restriccin def al conjunto A es inyectiva".

Definicin 1 bis. La funcin f es inyectiva en el conjunto Asi

[x1, x2 A f (x1) = f (x2)] = x1 = x2.

Entonces, dada una funcin cualquiera, buscando un adecuado subcon-junto del dominio donde ella sea inyectiva, se puede obtener una inversa.

Teorema 1. Si f es inyectiva en el conjunto A, su restriccinf |A tiene una inversa g : f (A) A. Es decir, una funcin gcon dominio en f (A) tal que

g (f (x)) = x, para x A y f (g (x)) = x, para x g (A) .


Veremos a continuacin algunos criterios para encontrar subdominios deinyectividad.

Una funcin estrictamente montona es inyectiva: f (x1) = f (x2) x1 = x2. En efecto, si fuera x1 6= x2, habra entre ellos una desigualdadque, siendo f estrictamente montona, conservara o invertira, pero noconvertira en igualdad.

De modo que los intervalos de monotona que aprendimos a calcularen el captulo 3 son buenos subdominios de inyectividad que permitirnencontrar funciones inversas parciales. La figura 4.1. muestra el grfico deuna funcin inyectiva en R {1} que no es montona en ese conjunto.Pero si el conjunto es un intervalo y la funcin es continua, la monotonaestricta es tambin condicin necesaria para la inyectividad. La idea dela demostracin es simple: si una funcin continua sube y baja dentro deun intervalo, como por Bolzano toma todos los valores intermedios, deberpasar dos veces por el mismo punto. Escribir una prueba exhaustiva es mscomplicado y se deja como ejercicio (ejercicio 77).

Teorema 2. Una funcin continua es inyectiva en un intervalosi y slo si es estrictamente montona en l.

Por supuesto, las funciones y los dominios que ms nos interesan sonlas continuas y los intervalos. Por lo tanto el criterio de monotona tomamucho valor a la luz del teorema 2.

Dada una funcin continua y encontrado un intervalo A de monotonaestricta (o sea de inyectividad), nos interesar conocer el dominio de la fun-cin inversa de la restriccin f |A. El teorema 1 dice que ese dominio esf (A). Pero el teorema de Bolzano - Weierstrass (teor. 3 del captulo 3),asegura que en estas condiciones f (A) es un intervalo. Siendo f mon-tona, los extremos del intervalo f (A) sern las imgenes de los extremosdel intervalo A. En el mismo orden si f es creciente, o invertidos si f esdecreciente.

Teorema 3. Si la funcin f : [a, b] R es continua y estric-tamente montona entonces existe su inversa f1 con dominioen el intervalo [f (a) , f (b)] .

Si f : [a, b) R es continua y estrictamente montona yadems limxb f (x) = entonces existe f1 con dominioen el intervalo [f (a) ,) .


Anlogo resultado vale cuando el lmite infinito se produce en elextremo izquierdo del intervalo o en ambos.

Demostracin: Slo habra que probar la segunda afirma-cin (la primera est en el prrafo que precede al teorema).Si, por ejemplo, f es estrictamente creciente en [a, b) ylimxb f (x) = +, no cabe duda de que Rg f [f (a) ,+) ,porque no puede ser f (x) < f (a) para un x a. La inclusininversa [f (a) ,+) Rg f est probada en el ejemplo 2 de laseccin 3.4.

Ejercicios.

Averiguar acerca de la inyectividad de las siguientes funcionesen sus dominios naturales:

1.- y = ax2 + bx+ c con a 6= 0

2.- y = x3 + ax+ b con a > 0

3.- y = x3 + ax+ b con a < 0

4.- y = ax+bcx+d

5.- y = sen x 6.- y = tanx

Elegir un intervalo donde la funcin dada sea inyectiva.7. y = x2 4x+ 4 8. y = senx

9. y = cosx 10. y = tanx

A continuacin se da una serie de pares f I funcin-intervalo. Probar que cada funcin f es inyectiva en elintervalo I y hallar el dominio de la inversa de f |I .

11. 3x x3 en [1, 1] 12. x3 3x en [1, 1]

13. x25x3 en [5,+) 14.

x25x3 en (3, 5]

15. x25x3 en [1, 3) 16.

x25x3 en (, 1]

17. tanx en2 ,

2


18. Mostrar una funcin montona en un intervalo que no seainyectiva. Una inyectiva que no sea montona. Una funcinmontona pero no estrictamente...Puede ser inyectiva?

Es interesante ver la relacin existente entre los grficos de un par f, gde funciones inversas. Si uno acepta que la variable independiente de lafuncin g se mueva por el eje de ordenadas y la dependiente por el deabsisas, el mismo grfico de f sirve de grfico a g. Pero ese no es el caso.Queremos ver el grfico de g en el mismo sistema de coordenadas que elde f . O sea: un punto (a, b) Gr g si y slo si b = g (a). Entonces, deacuerdo con la relacin (3),

(a, b) Gr g b = g (a) a = f (b) (b, a) Gr f.

Esto significa, de acuerdo con lo sealado en el apartado "simetras" de laseccin 1.4. que Gr f y Gr f1 son conjuntos simtricos respecto de ladiagonal d.

( )xfy =

x

y

( )xfy 1=

d

figura 4.3

Con respecto al problema de encontrar explcitamente una frmula parala funcin inversa de una dada funcin f , ntese que resolverlo es resolveruna ecuacin. Es "despejar" x en la relacin y = f (x) . Y esto slose podr hacer en algunos casos. En otros, el teorema 3. es un teorema


de existencia de la funcin inversa, la cual, por cierto, es nica. Eso nospermite ponerle nombre y saber sus propiedades, pero no tenemos en generaluna expresin sencilla para ella con operaciones algebraicas sobre funcionesconocidas. Calcularemos sus valores con calculadoras u ordenadores.

Ejemplos:

1. Las funciones homogrficas

f (x) =ax+ bcx+ d

(4)

con ad cb 6= 0, tienen inversa. A pesar de no ser montonas,son inyectivas en su dominio (R

dc). La inversa est definida en

Rac

y es fcil obtener una expresin para ella despejando x en

(4)

f1 (y) =dy + bcy a .

2. Como ya se dijo en el ejemplo 3 de la seccin 3.4, las potenciasnsimas f (x) = xn son continuas y crecientes en [0,+) y,de acuerdo con el teorema 3, tienen una inversa g (x) = n

x = x

1n .

Las inversas de funciones crecientes son crecientes (Ejercicio 76.) ascomo las composiciones. Lo mismo vale para las decrecientes. Demanera que las funciones potenciales con exponente racional tieneninversa en (0,+): Si el exponente es positivo por estrictamente cre-cientes y si es negativo por estrictamente decrecientes. La inversa dexmn es x

nm .

3. Las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente no son inyecti-vas y hay que elegir intervalos de monotona para tener una inversa.

/2 /2

2

1

1

x

y

figura 4.4.a y = senx

/2 /2

3

2

1

1

2

x

y

figura 4.4.b y = arcsenx


Para el seno se elige el intervalo2 ,

2

, donde la funcin es estric-

tamente creciente. Como sen2= 1 y sen

2

= 1, resulta

sen2 ,

2

= [1, 1]. Entonces, existe una funcin

sen 1 : [1, 1]h2,2

ital que

sen 1 (sen x) = x, 2 x

2(5)

sensen 1 (x)

= x, 1 x 1.

Es costumbre llamar a esta funcin indistintamente sen 1 o arcsen(arco seno). Su grfica se muestra en la figura 4.4.b., junto con la delseno para observar la simetra respecto de la diagonal.

/2

2

1

1

x

y

figura 4.5.a y = cosx

/2 /2x

y

figura 4.5.b y = tanx

Con similar criterio se definen las funciones

arccos : [1, 1] [0, ] , (6a)

arctan : (,+)2,2

, (6b)

inversas, respectivamente, del coseno y la tangente, caracterizadas porlas relaciones

arccos (cosx) = x, 0 x . (7a)cos (arccosx) = x, 1 x 1. (7b)arctan (tanx) = x,

2< x 0, conocemos el significado de la expresin ax six es un nmero racional. Es decir, la funcin x 7 ax est definida parax Q. Usando que todo nmero real se puede aproximar por sucesiones deracionales, un procedimiento de paso al lmite permite extender la funcinx 7 ax a todos los valores reales de la variable x. Tal construccin serapoco interesante actualmente. Adems, en otro captulo, presentaremos uncamino alternativo para la definicin de potencias de exponente real. Demodo que por ahora aceptaremos que existe una funcin f : R (0,+)dada por f (x) = ax, y que goza de las propiedades que iremos enunciando.Ellas son, en general, la extensin de las propiedades ya conocidas parapotencias de exponente racional.

1) ax+y = ax.ay

2) amn = n

am, coincidiendo con la definicin anterior.

3) (ax)y = ax.y.

Sealamos que de 2) se desprende que a0 = 1 y que a1 = a, dos datostiles para graficar y = ax.

Estudiemos la diferenciabilidad de f .

limh0

ax+h axh

= limh0

ax(ah 1)h

= ax limh0

ah 1h

La existencia de este ultimo lmite es la cuarta propiedad que admitiremossin demostracin:

4) Existe limh0 ah1h = Ca.


Ntese que Ca = ddxaxx=0 . Admitida la diferenciabilidad en el origen,

entonces, queda probada la diferenciabilidad en todo punto

ddx

ax = Caax. (12)

Para exponentes racionales positivos es sabido que (ver ejemplo 2 en laseccin 4.1.)

1 < a < b 1 < ah < bh, h > 0, h Q.

Luego,

0 1


x

y

1

2

1;2 2 +== xCyy x

fig. 4.7

Si Ca crece con a, y C2 < 1 < C3, es de esperar que haya algnnmero,digamos e, entre 2 y 3 tal que Ce = 1. En efecto as es, y esa sernuestra quinta suposicin:

5) Existe un nmero real e tal que Ce = limh0 eh1h = 1

Esto implica que

ddx

ex = ex,ddx

exx=0

= 1 (13)

El lector puede buscar el nmero e en su calculadora y comprobar quee = 2.72.

La funcin ex es la exponencial natural y se denota tambin ex = expx.En general se trata de referir a ella todos los asuntos atinentes a funcionesexponenciales. Resumimos sus propiedades para tenerlas a la mano:

1. ex+y = ex ey

4.4. Funcin logartmica 155

2. (ex)y = exy

3. e0 = 1

4. exp es una funcin infinitamente diferenciable. dn

dxn ex = ex.

5. exp es creciente y convexa.

6. limx

ex = 0, limx+

ex = +.

Ejercicios.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:39. arctan ex 40. esen 2x 41. 1/ex

42. eex

43. tan (ex) 44. 1/ (sen ex)

45. etanx 46. arcsen (ex + x)

Hallar la ecuacin de la recta tangente de

47. y = e2x, en x = 1 48. y = x2e2x, en x = 1

49. a. Trazar las grficas de y = 2x y de y = 3x en un mismoesquema.

b. Trazar las grficas de y =12

xy de y =

13

x. Sugeren-

cia: Observar que1a

x= ax y usar una reflexin sobre el

ejercicio anterior.

50. Hallar la ecuacin de la recta tangente al grfico de y = ex

en el punto (x0, ex0). Encontrar el valor x0 que hace queesa recta tangente pase por el origen.

51. Probar las siguientes desigualdades, validas para x > 0.

1) 1 < ex 2) 1 + x < ex 3) 1 + x+ x2

2 < ex

Utilizar estas desigualdades para probar que e > 2, 5.


4.4 Funcin Logartmica

Como exp : (,) (0,) es estrictamente creciente y diferenciable,tiene una inversa que llamaremos logaritmo natural

ln : (0,) (,) ,

tambin estrictamente creciente y diferenciable. caracterizada por:

elnx = x, 0 < x < + (14a)lnex = x, < x < + (14b)

La inyectividad del logaritmo y de la exponencial, combinadas con (14)son la herramienta para probar propiedades que el logaritmo hereda de suinversa. Esto se hace bajo el principio

A = B eA = eB lnA = lnB,

usando lo que ms convenga en cada caso. Por ejemplo, para probar que

lnuv = lnu+ ln v,

conviene probar queelnuv = elnu+lnv,

que es equivalente. Ahora bien: elnuv = uv por (14a), mientras queelnu+lnv = elnu elnv = uv, nuevamente por (14a).

De manera similar,lnuv = vlnu

pues

exp lnuv = uv mientras evlnu =elnu

v= uv.

La derivada de ln, sabido que existe, se calcula, por ejemplo, derivandoambos miembros de (14a) con respecto a x:

ddx

elnx =dxdx

elnxln0x = 1 ln0x = 1elnx

=1

x


En particular, ln01 = 1. Con respecto a la segunda derivada, d2

dx2 lnx = 1x2 < 0. ln es cncava.

Ms propiedades:

e0 = 1 ln1 = 0lim

xex = 0 lim

x0+lnx =

limx+

ex = limx+

lnx =

Con estos datos es fcil trazar un grfico aproximado de y =lnx que, porotra parte, ser la reflexin del grfico de y = ex respecto de la diagonaly = x.

210-1-2

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

fig. 4.8

Recordando que lny slo est definido para valores positivos de y, sif (x) > 0 para todo x, se puede hacer la composicin y derivar

ddxln (f (x)) =

f 0 (x)f (x)

.

Esta observacin banal es muy til en situaciones como la siguiente.

En muchos procesos hay una variable cuya razn de cambio en un ins-tante dado es proporcional al valor de la variable en ese instante (tamao de


una colonia de microorganismos, masa de una sustancia radioactiva). Estoda origen a la ecuacin diferencial

dydx= ky o bien f 0 (x) = kf (x)

Para encontrar una solucin, si f > 0, resulta

f 0 (x)f (x)

= k , lo que es lo mismo,ddxlnf (x) = k.

Si esto ocurre en un intervalo, el teorema de unicidad asegura que existeuna constante c tal que

lnf (x) = kx+ c.

Tomando exp en ambos miembros,

f (x) = ekx+c = ec.ekx = Cekx,

llamando C = ec. Veremos que la suposicin f > 0 es innecesaria.

Teorema 5. Si f satisface en un intervalo la ecuacin dife-rencial

f 0 (x) = kf (x) ,

entonces existe una constante C tal que

f (x) = Cekx

en ese intervalo.

Demostracin. Consideramos la funcin g (x) = f(x)ekx . Diferen-ciando,

g0 (x) =f 0 (x) ekx kf (x) ekx

e2kx=

1

ekxf 0 (x) kf (x)

= 0.

Luego g es constante en el intervalo. Esto es, existe C tal quef(x)ekx = C, o sea, f (x) = Ce

kx

La reduccin de funciones exponenciales de base positiva (distinta de1) cualquiera a la exponencial natural se hace con ayuda del logaritmo. Sia > 0,

ax = exp (lnax) = exlna.


Es conveniente pensar que nunca se habl antes de la exponencial de basea y que esta es su definicin. Podramos entonces calcular su derivada

ddx

ax = exlnalna = axlna.

Con esto venimos a descubrir que, el misterioso lmite que daba la derivadade la exponencial de base a en el origen no es otra cosa que el logaritmode a.

Ca =ddx

axx=0

= lna.

Ejercicios.

52. Probar que lnuv =lnulnv

53. Calcular ddx ln|x|54. Trazar las grficas de y =lnx y de y = x 1 en un mismo

esquema.

55. Se sabe que la funcin y = ax es solucin de la ecuacindiferencial dydx = ky. Encontrar k en funcin de a.

56. Encontrar una expresin para loga x en funcin de lnx yde lna. (Sugerencia: partir de la identidad aloga x = x yaplicar ln miembro a miembro).

57. Calcular ddx loga x.

58. Graficar, en un mismo esquema, log2 x, log3 x y lnx.

59. Probar que lnx x 1 para todo x > 0.

Despejar x en las siguientes ecuaciones:60. 2x = 8 61. 3 2x = e5

62. 10ex2 = 2 63. ln (x+ 5) = 3

Resolver los siguientes problemas:

64.

f 0 (x) = 3f (x)f (0) = 2

65.

f 0 (x) = 23f (x)f (ln8) = 16

66.

f 0 (x) = 2f (x)f 0 (0) = 4 67.

3y0 + 2y = 0y (0) = 1


Los procesos de desintegracin de sustancias radiactivas, si f (t)representa la masa de la sustancia en el instante t, obedecen a laecuacin diferencial f 0 (t) = Kf (t), para alguna constante K < 0.

68. Sea f (t) = 10eKt para alguna constante K. Hallar Ksabiendo que f

12

= 2.

69. f (t) = Ce2t. f (2) = 5. Calcular C.

70. En un milln de aos, un gramo de radio se redujo a 0.1gramos. Cul es la frmula que da la razn de desinte-gracin?

71. El azucar se disuelve en el agua a razn proporcional a lacantidad an no disuelta. Si 13,6 kgr se reducen a 4,5 kgr en4 horas Cundo se disolver el 95% del azcar?

Los procesos de crecimiento no inhibido de poblaciones respondentambin a la ecuacin diferencial f 0 (t) = Kf (t), ahora con laconstante K > 0. Aqu f (t) es el tamao de la poblacin en el

instante t.

72. Cunto tiempo pasar antes de que 1.000.000 de bacteriasaumenten a 10.000.000, si tardan 12 minutos en aumentar a2.000.000?

4.5 Complementos

Ejercicios

73. En cada uno de los siguientes ejercicios, restringir el dominio de f aun intervalo de modo que la funcin inversa g est definida en unintervalo que contenga al punto indicado, y hallar la derivada de lafuncin inversa en el punto indicado.

a. f (x) = x3 + 1. Hallar g0 (2)

b. f (x) = (x 1) (x 2) (x 3) Hallar g0 (6)

4.5. Complementos 161

c. f (x) = sen 2x Hallar g0

32

d. f (x) = 5x2 + 1 Hallar g0 (11)

74. Probar que:

a. inyectiva = inyectiva.b. sobreyectiva = sobreyectiva.

(f : A B es sobreyectiva si Rg f = B)

75. Sean : A B y : B A dos funciones tales que = idA(idA (x) = x, x A. Es la funcin identidad). Probar que lassiguientes tres proposiciones son equivalentes:

a. = idB (esto es, = 1).b. es inyectivac. es sobreyectiva.

76. Probar que la inversa de una funcin creciente es creciente.

*77. Este ejercicio constituye una demostracin de que una funcin inyec-tiva y continua en un intervalo debe ser estrictamente montona. Enlo que sigue supondremos que f es una funcin continua e inyectivaen el intervalo I.

a. Si en el intervalo hay tres puntos ordenados p < q < r, entoncesf (q) (f (p) , f (r)) (Usar el teorema de Bolzano).

b. Para probar la monotona de f , demostrar que no pueden existircuatro pares (xi.yi), yi = f (xi) tales que

x1 < x2 y1 < y2x3 < x4 y3 > y4.

(Analizar los nicos dos casos posibles: min {xi} = x1 ymin {xi} = x3, usando la parte a.).

Notas

Hemos llegado al enunciado del teorema 4 a travs de razonamientosgeomtricos, pero quiz algn lector prefiera una argumentacin analtica.


1. Continuidad de la inversa. Si la funcin continua f tiene inversaen un intervalo I, que es lo mismo que decir que es inyectiva, ella esestrictamente montona (ejercicio 77) y tambin lo ser entonces suinversa (ejercicio 76). Por lo tanto, la inversa f1 = g slo podratener discontinuidades de salto (8a propiedad del lmite, notas al finaldel captulo 3). Entonces, suponiendo por ejemplo que f y g sonestrictamente crecientes, si g no fuera continua, debera existir unpunto c J = f (I) en el cual uno de los dos lmites laterales nocoincide con el valor de la funcin. El razonamiento en ambos casoses igual, de modo que supondremos que c = limyc g (y) < g (c)(ejercicio 81.b. en cap. 3). Entonces, la funcin g no toma valoresen el intervalo no vaco [c, g (c)). En efecto, de acuerdo con el ejercicio81.c. del captulo 3, para y < c es g (y) < c; y por la meramonotona, para y c resulta g (y) g (c). De modo que, poruna parte, [c, g (c)) I, mientras que por otra [c, g (c)) g (J) = ,siendo g (J) = I. Esto es una contradiccin.

2. Derivabilidad de la inversa. Si f es una funcin con derivadapositiva (o negativa) en el intervalo abierto I, ella es continua yestrictamente creciente (respectivamente decreciente) y ya sabemosentonces que tiene una inversa continua, digamos g, definida en elintervalo J = f (I) . Nos interesa probar que g es derivable y que

g0 (y) =1

f 0 (g (y)).

Para ello se ha de considerar el lmite del cocinte incremental

limk0

g (y + k) g (y)k

. (15)

Llamando x := g (y) y h := g (y + k) g (y) , el numerador en (15)se convierte en h mientras que el denominador se calcula fcilmenteen el nuevo lenguaje:

x = g (y) y = f (x) ,h = g (y + k) g (y) g (y + k) = x+ h y + k = f (x+ h)k = y + k k = f (x+ h) f (x) .

De modo que (15) se transforma en

limk0

hf (x+ h) f (x) . (16)

4.5. Complementos 163

Ahora bien, como f es inyectiva, f (x+ h)f (x) slo se anula parah = 0. De modo que la funcin

h 7 hf (x+ h) f (x)

es continua y vale 1f 0(x) en h = 0. Por otra parte, la continuidad deg, que ya conocemos, asegura que

limk0

h = limk0

[g (y + k) g (y)] = 0.

Entonces, de acuerdo con la propiedad 7 del lmite,

limk0

hf (x+ h) f (x) =

1

f 0 (x)=

1

f 0 (g (y)).

Ntese que, supuesta la existencia de derivada para la funcin f ,si existe una inversa derivable, digamos g,

f 0 (x) =1

g0 (f (x)).

En Particular, no podr ser f 0 (x) = 0, por lo que la hiptesis de signoconstante para la derivada no se puede relajar si se quiere existenciade inversa derivable. Sin embargo, una funcin derivable puede tenerinversa (no derivable) a pesar de que su derivada se anule en algnpunto.

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