cap3calculo

3 El Teorema del Valor Medio

Este captulo explora una serie de conceptos y teoremas desarrollados enlos albores del siglo XIX, cuando algunos matemticos comenzaron a in-sistir acerca de la necesidad de proveer demostraciones ms rigurosas deciertos principios del Anlisis que hasta entonces se aceptaban como evi-dentes. Los teoremas fundamentales, requieren para su demostracin unadescripcin de las propiedades de los nmeros reales que escapa a los ob-jetivos de este curso, pero sus enunciados son fcilmente comprensibles eintuitivamente aceptables. Sin embargo no todo termina ah. La segundalnea de dificultades todava es ardua. Est compuesta de razonamientos demediana complejidad que se siguen slo con trabajo y atencin. A veces,la Matemtica resulta fastidiosa para el estudiante de otras disciplinas. Talvez ese sera el caso con las demostraciones bsicas que dejaremos de lado.Pero el resto del material incluye un ir y venir entre el problema prctico,la intuicin y la formalizacin que es imprescindible en cualquier disciplinacon base en las Ciencias Exactas. Invitamos al lector a sumergirse en estaspginas con entusiasmo.

3.1 Asntotas

Lmites en el infinito. Asntotas oblicuas y horizontales

La palabra "infinito" seala en nuestro idioma un ms all de lo queexpresan los nmeros. Como los nmeros se usan para contar y para medir,una mirada ms fina distingue dos tipos de infinito. Aqu estaremos in-volucrados con el infinito de medir. Las variables reales continuas que es-tamos estudiando son variables de medir. Para contar se usan los enteros.Evitaremos cualquier discusin filosfica acerca del infinito y trataremos de

94 Captulo 3 - El Teorema del Valor Medio

presentar maneras algebraicamente operativas de describir los fenmenosrelacionados con medidas infinitamente grandes e infinitamente pequeas.

Si pensamos en la dualidad entre las variables x y y = 1x, en el sentido

de que una es tan grande cuanto pequea es la otra, tendremos una manerade describir el acercamiento de x hacia el infinito con el acercamiento dey hacia el cero. Mirando ahora el procedimiento de cambiar variables parael clculo de lmites insinuado en el ejercicio 13. del captulo 2., podemosadoptar la siguiente definicin:

Definicin 1:

limx

f (x) := limy0

f

1

y

, (1)

con las consiguientes versiones laterales:

limx+

f (x) := limy0+

f

1

y

, lim

xf (x) := lim

y0f

1

y

.

(2)

Ejemplos:

1. limx 1xn = limy0 yn = 0, n N

2. limx 1nx = limy0ny = 0, n N

3. limx1 + 1

x

= limy0 (1 + y) = 1

4.

limx

3x 2x+ 4

= limy0

31y 2

1y+ 4

= limy0

y (3 2y)y (1 + 4y)

= 3.

Habindose reducido,mediante el uso de otra variable, la definicin delmites en el infinito a lmites en cero, sern de aplicacin en el infinito laspropiedades estudiadas en el captulo 2, con excepcin, por ahora, de lasegunda parte de la propiedad 1, que no tendra significado, y aclarandoque en la propiedad 3.b., los entornos de son los complementos de losintervalos cerrados, los entornos de + las semirrectas (M,+), y los de las semirrectas (,M), donde M representa un nmero positivo.

Ejemplos:

3.1. Asntotas 95

5. Para calcular el lmite en el infinito de una funcin racional,

limx

P (x)

Q (x),

caben tres posibilidades:

a. n = gr (P ) < m = gr (Q): se saca factor comn xm en numeradory denominador.

limx

x2 2x+ 33x4 + 2x 1 = limx

x41x2 2

x3+ 3

x4

x43 + 2

x3 1

x4

==

limx1x2 2

x3+ 3

x4

limx

3 + 2

x3 1

x4

= 03= 0.

b. n = gr (P ) > m = gr (Q): se saca factor comn xn en numeradory denominador.

limx

3x4 + 2x 1x2 2x+ 3 = limx

x43 + 2

x3 1

x4

x41x2 2

x3+ 3

x4

== lim

x

3 + 2

x3 1

x4

1x2 2

x3+ 3

x4

.El numerador tiene lmite no nulo y el denominador tiene lmitecero. El cociente no tiene lmite.

c. n = gr (P ) = gr (Q) : se saca factor comn xn en numerador ydenominador.

limx

3x 2x+ 4

= limx

x3 2

x

x1 + 4

x

=limx

3 2

x

limx

1 + 4

x

= 31= 3.

Ntese que recalculamos el lmite del ejemplo 4.

6.

limx

sen x

x= lim

x

1

x sen x

= 0.

Hemos usado la propiedad 3.b. de lmites: seno est acotada ylimx

1x= 0 (ejemplo 1).


Ejercicios:

Hallar limx f (x) para

f (x) =

1. 2x3x

x41 2.cosxx

3. x2+1

x21

4. sen 4xx3

5. 5x4x3+3x+2x31 6.

x2+1x+5

7. 2x41

4x4+x2 8.2x414x3+x2 9.

2x414x5+x2

Cuando existe lmite en el infinito de una funcin, digamos por ejemploque sea limx f (x) = b, ese comportamiento se refleja en el grfico con unacercamiento de Gr (f) a la recta y = b, ya que limx [f (x) b] = 0.Este acercamiento se da hacia los "extremos" lejanos del grfico en sentidohorizontal y bien podra producirse en slo uno de los extremos si el lmitees de tipo lateral. En esos casos se dice que la recta y = b es una asntotade f . Uno podra imaginar el fenmeno como una tangencia en el infinito.Este tipo de acercamiento tambin se da con rectas oblicuas

Definicin 2. La recta de ecuacin y = l (x) = mx+ b es unaasntota de la funcin f (o del grfico de f ) si

limx

[f (x) l (x)] = 0.

Si slo uno de los lmites laterales en el infinito se anula, se dirque l es una asntota en + o en , lo que corresponda.

Ejemplos:

7 .

En los ejemplos 1 y 2,el eje coordenado hori-zontal es una asntota.en el ejemplo 3., la rectay = 1 es asntota de lacurva y = 1 + 1

x.

-2 2

-2

2

x

y

fig. 3.1.a y = 1 + 1x

3.1. Asntotas 97

-18 -12 -6 6

-6

6

12

18

x

y

fig. 3.1.b y = 3x2x+4

En el ejemplo 4., la rectay = 3 es asntota de la curvay = 3x2

x+4 .

8. La funcin racional f (x) = x232x4 =

P (x)Q(x) con gr (Q) = gr (P ) + 1. Si

efectuamos la divisin entera de P por Q, obtendremos un cocienteC de grado 1 y un resto r de grado 0, una constante: P = QC + r.Dividiendo entre Q,

f (x) =P (x)

Q (x)= C (x) +

r

Q (x).

C, polinomio de grado 1, es una recta. Y f C = rQ, es una funcin

racional con gr (Q) > gr (r) = 0. Segn se vi en el ejemplo 5.a. ellmite en el infinito es 0. Luego y = C (x) es una asntota oblicua.

x2 3 2x 4x2 + 2x2x 3 12x+ 12x+ 4

1

Entonces,

f (x) =1

2x+ 1 +

1

2x 4 ,


y la recta y = C (x) = 12x+ 1 es asntota.

6420-2

4

2

0

-2

x

y

x

y

figura 3.2.

Resumiendo, para funciones racionales, f (x) = P (x)Q(x) , hay asntotas en

el infinito cuando gr (P ) < gr (Q) (el eje y = 0 es asntota), cuandogr (P ) = gr (Q) (asntota horizontal) y cuando gr (P ) = gr (Q) + 1 (asn-tota oblicua). Si gr (P ) > gr (Q) + 1, aparecen polinomios asintticos quese obtienen con el mtodo de dividin entera propuesto en el ejemplo 8. Enel ejemplo 6., sin embargo, presentamos una funcin no racional con lmitenulo en el infinito, o sea con asntota horizontal (el eje). Cul es el mtodogeneral para encontrar asntotas oblicuas (incluyendo entre estas las hori-zontales como caso particular)? Supongamos que la recta y = l (x) = mx+bes asntota de la funcin f . Nos interesa encontrar los nmeros m y b.

f (x)mx b 0 limx

(f (x)mx) = b (ejerc. 13., cap.2).

Entonces, dividiendo entre x,

limx

f (x)

xm

= lim

x

f (x)mx

x

= lim

xb

x= 0.

Luego

limx

f (x)

x= m. (3)

3.1. Asntotas 99

La existencia del lmite (3) es condicin necesaria para que pueda haberasntota. Pero no suficiente (ver ejemplo 10). m es el candidato a pendientede la asntota. Ahora habr que verificar si existe

b = limx

[f (x)mx] .

Si esto ocurre, entonces limx [f (x) (mx+ b)] = 0 y la recta y =mx+ b es una asntota.

Ejemplos:

9. Vimos (ejemplo 6) que sen xx

0 para x. Si hacemos

f (x) =sen x

x+ 0.1x 1,

tendremos a la recta l (x) = 0.1x 1 como asntota.

20100-10-20

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

figura 3.3

En nuestra definicin de asntota, nada impide que se encuentre conla curva, incluso muchas veces.

10. Buscamos asntotas de y = f (x) =x. El primer paso es calcular

limxxx= limx

1x= 0 = m. De haber asntota, ser horizon-

tal. Pero limxx no existe. En consecuencia no hay asntota.

11 .


a .La funcin sg (x) = xx2

tiene dos asntotas diferentes, y = 1 en+ y y = 1 en . Pero es discontinua en 0.

b .

f (x) = xx2+1

, tambin tieneasntotas horizontales distin-tas en . En efecto,

limx

xx2 + 1

=

limx sg (x)

1q1 + 1

x2

= 1.

-8 8

-1

1

x

y

fig. 3.4.ac .

x

y

fig. 3.4.b

f (x) =x2 + 1, tiene asnto-

tas oblicuas diferentes en .

Ejercicios:

Encontrar, cuando las haya, asntotas en el infinito de lassiguientes curvas.

10. y = 2x3x

x41 11. y =cosxx

12. y = x2+1

x21

13. y = 5x4x3+3x+2x31 14. y =

x2+1x+5 15. y =

110x+

cosxx

16. y = 2x41

4x4+x2 17. y =2xx2+1

18. y = 3x2

x2+1

3.1. Asntotas 101

Lmites infinitos. Asntotas verticales

Volvemos a mirar la funcin y = 1x. La simetra de esta curva muestra

que lo que se pueda decir acerca del comportamiento de la variable x enel infinito debe ser vlido para la variable y en el infinito. Si para decirque x, pedimos que 1

x 0, el mismo criterio servir para la variable

dependiente: y si y slo si 1y 0.

Definicin 3. (El punto a hacia el que tiende la variable in-dependiente puede ser un nmero . Tambin puede tratarsede una tendencia lateral).

limxa

f (x) = limxa

1

f (x)= 0.

Cuando en un entorno reducido de a el signo de f (x) per-manece constante podremos ser ms especficos y considerar ellmite infinito con el correspondiente signo. Es decir, limxa f (x) =+ limxa f (x) = f (x) > 0 en un entorno reducidode a. Anloga definicin para f (x) .

Llamando y a la variable independiente y poniendo u = 1/y, quere-mos, aunque sea obvio, remarcar que la definicin, ya que es un bicondi-cional, tanto nos permite concluir que y porque u 0, comodeducir que u 0 sabiendo que y . En este punto convieneantes aclarar que los entornos reducidos de infinito son conjuntos de laforma {x : |x| > M}, provenientes de x : 1

x

<

=x : |x| > 1

, donde

ponemos M = 1. Para los lmites laterales en el infinito, los semi-entornos

considerados cuando x + y x son, respectivamente, semirec-tas del tipo (M,+) y (,M), ambas con M > 0. Tambin cabesealar que antes de definir los lmites infinitos, en aquellos casos donde steexiste decamos que no exista lmite. Por lo tanto, si quisiramos conservarla coherencia, deberamos decir que "existe lmite" y "existe lmite infinito"son dos sucesos mutuamente excluyentes, como si la frase "lmite infinito"fuera una palabra nueva que no incluye a la palabra "lmite". Sin embargo,resulta bastante ms cmodo llamar lmite finito al viejo lmite y aceptaroraciones mucho ms gratas al odo como "existe lmite, finito o infinito".As lo haremos cuando no quepa confusin.

Ejemplos:


12. Los siguientes lmites se obtienen inmediatamente a partir de la defini-cin.

1. limx0

1x= 2. lim

x01x=

3. limx0

1x2= + 4. lim

x0

1

x2

=

5. limxx = 6. limxx

3 =

7. limx1+

1x1 = + 8. lim

x(2 )tanx = +

13 .En la seccin 2.3. se mencioncomo no derivable a la fun-cin 3

x, con tangente ver-

tical en el origen. Si calcu-lamos el lmite del cociente in-cremental en ese punto,

limh0

3h

h= lim

h0

13h2= +,

pues limh0

3h2 = 0 y

3h2 > 0

Si admitisemos derivadas in-finitas, stas coincidiran conlos puntos de tangente verti-cal.

x

y

fig. 3.5.a. y = 3x

x

y

fig. 3.5.b. y =p|x|

Para la funcinp|x|, en cam-

bio,

limh0

p|h|h

= y

limh0+

p|h|h

= +.

Habra derivadas laterales in-finitas de distinto signo. Nohay una recta tangente verti-cal sino semirectas tangentesverticales.

3.1. Asntotas 103

Cuando se trata de aplicar las propiedades 2, 3 y 4 del lmite en relacincon las operaciones de suma - resta y multiplicacin - divisin, vistas enla seccin 2.2, puede ocurrir que uno (o ambos) de los operadores tiendahacia infinito, caso que no est previsto en aquellas reglas. Pero haciendoel reemplazo

y =1

1/y,

aparecer en la operacin, aunque en otro papel, la nueva variable 1/y, quesabemos que tiende hacia 0 por la definicin 3.

Ejemplo 14.

limx

2

x

tanx

Ya que limx2tanx = (ejemplo 12.8), limx

2

1tanx = 0.

Reemplazamos entonces:

limx

2

x

tanx= lim

x2

x 1tanx

=

2 0 = 0

Ntese que la propia definicin de lmite infinito, agrega otra regla a laspropiedades del lmite. En efecto, la propiedad 4, referida al cociente de dosfunciones, nos dejaba sin ninguna conclusin si el denominador tena lmitenulo. Ahora, 1/u si el denominador u 0. Ms an, si debemoscalcular el lmite para x a de un cociente y/z con z 0, si 1/y semantiene acotada en un entorno reducido de a, tendremos que

1

y/z=

z

y=1

y z 0

por la propiedad 3.b, de donde se concluye que y/z . Segn loestablece la propiedad 1.c, una condicin suficiente para que la variable1/y est acotada en un entorno reducido de a, es que tenga lmite finito.Para eso basta que (1/y)1 = y tenga lmite distinto de 0. De modo quela consideracin de lmites infinitos permite mejorar la regla 4:

Si existen y son finitos

limxa

f (x) y limxa

g (x) ,


y no son simultneamente nulos, entonces existe

limxa

f (x)

g (x)= c;

con

c =

lim f(x)lim g(x) si lim g (x) 6= 0

si lim g (x) = 0 y lim f (x) 6= 0

Si en un cociente y/z ambas variables tienden hacia cero, no hay ningncriterio general que diga qu pasa con el cociente. Es fcil mostrar distintoscasos de esta situacin con diferente desenlace.

Ejemplos.

15 .

a) Si y = x2, z = x y x 0, entonces y/z = x 0.b) Si y = x, z = x2 y x 0, entonces y/z = 1/x.c) Si y = x sen 1

x, z = x y x 0, entonces y/z = sen 1

xno tiene

lmite.

Tenemos tres situaciones en las cuales cocientes de variables que tien-den ambas hacia cero dan diferentes resultados. Por esta razn estetipo de cocientes constituyen un caso de clculo de lmite que se de-nomina indeterminado. La indeterminacin no dice nada acerca de laexistencia o no de lmite. Slo dice que no se lo puede saber con lasreglas bsicas de clculo. Hay que trabajar ms. La costumbre hainstalado un cono para denominar a estos casos: "00".

16. Consideremos

limx

x+

1

sen 1x

!.

Lo primero es cambiar x por 1/t y dejar que t 0. El problemase reduce entonces a calcular

limt0

1

t+

1

sen t

= lim

t0

sen t+ t

t sen t,

3.1. Asntotas 105

indeterminacin del tipo "0/0". No es tan difcil sospechar que nues-tro conocimiento acerca de

limt0

sen t

t= 1

nos podra ayudar. Observando que

1

sen t=

t

t sen t=

t/ sen t

t,

nuestro clculo se transforma en

limt0

1

t+t/ sen t

t

= lim

t0

1 + t/ sen t

t=

porque es cociente de dos funciones, con denominador que tiende a 0y numerador que tiende hacia 2. Es aplicable la nueva regla 4.

Ejercicios:

Calcular los siguientes lmites.

19.- limx0

2x414x4+x2 20.- lim

x 1

x2+1x21

21.- limx1

2x3xx41 22.- limx1

2x3xx41

23. limx(2 )

2 x

tanx

Cuando en un punto a R hay un lmite infinito, el grfico de la

funcin se acerca hacia la recta vertical x = a. Decimos entonces que larecta es una asntota vertical del grfico de la funcin o, directamente, dela funcin.

Ejemplos:

17. El eje vertical es asntota de y = 1x. Ntese que los dos lmites laterales

son de distinto signo. No es este el caso en y = 1x2, que tambin tiene


la misma asntota.

x

y

fig. 3.6.ax

y

fig. 3.6.b

18. En el ejemplo 7, el eje y es asntota de y = 1 + 1xy la recta

x = 4 lo es de y = 3x2x+4 . En el ejemplo 8 tambin hay una asntota

vertical de y = x232x4 : la recta x = 2

-2 2 4 6 8

-2

2

4

x

y

figura 3.7

16. y = tanx = sen xcosx tiene infinitas asntotas verticales: los puntos de la

3.2. Estudio de funciones 107

forma 2 + k con k entero, en los cuales se anula el denominador.

/2 /2 3/2

3

3

x

y

figura 3.8 y = tanx

Ejercicios:

Encontrar, cuando las haya, asntotas verticales de las si-guientes curvas.

24.- y = 7x+23x2 25.- y =x22x+1

x+3 26.- y =1x2

27.- y = 1sen x 28.- y =sen 2xx2

3.2 Estudio de funciones

Mximos y mnimos

Quizs no haya en la naturaleza una funcin a la que le prestemos msatencin que a la temperatura ambiente. Pensemos en la descripcin deeste parmetro en el transcurso de un da. Supongamos que medimos eltiempo en horas. Estar representado por una variable t que recorre elintervalo [0, 24]. Los valores correspondientes de la temperatura estarnrepresentados por otra variable, digamos y, que la mide en cierta unidad:oC, por ejemplo.

y = f (t) , 0 t 24.


Uno puede imaginar cmo, mientras el tiempo recorre de izquierda a derechael intervalo [0, 24] sin saltearse ningn punto, la temperatura se mueve,tambin ella sin saltearse puntos, pero oscilando, subiendo y bajando, sinsalirse de un intervalo. Se puede pensar a la variable y como las posi-ciones que va ocupando el punto superior de la columna mercurial de untermmetro. En sus oscilaciones no puede pasar de un punto a otro sin pasarpor los intermedios. Adems, en algn instante pasar por una posicin queno es superada en altura por ninguna otra (aunque si puede ser igualada):M, la temperatura mxima. Y en algn otro (o algunos otros) instante,pasar por la posicin ms baja, la temperatura mnima m. En definitiva,los valores f (t) correspondientes a los valores t [0, 24] , llenan un inter-valo cerrado [m,M ] .Qu aspectos nos interesa conocer de esta funcin?Sin duda los extremos m y M del intervalo que soporta los valores de yy a qu horas fueron alcanzados, ya que ellos representan las temperaturasmxima y mnima de la jornada. Y tambin los subintervalos de oscilacinde f . Cundo la temperatura est en aumento y cundo disminuye. Elestudio de estas cuestiones, esto es la descripcin del comportamiento deuna funcin, constituye el objeto de esta seccin.

Definicin 4. Diremos que una funcin f alcanza su mximovalor relativo al conjunto S Dom f en el punto a, si f (a) f (x) para todo x S. El nmero f (a) es el mximo de fen S [f (a) = max f |S ] . Si S = Dom f , el mximo se llamaabsoluto1. La definicin de mnimo es idntica, cambiando por . Para decir que f alcanza un mximo o un mnimo enun punto, sin querer especificar si se trata de uno o de otro, sedir que alcanza un extremo.

Los ejemplos que siguen a continuacin servirn tambin como intro-duccin del lenguaje que usaremos. Debemos advertir que este es un temaen el que se ha generado cierta diversidad de lenguaje: no todos llaman alas cosas con el mismo nombre y, peor an, se llama con el mismo nombrea cosas diferentes. Nosotros haremos nuestro aporte al caos.

1Como siempre se dispone de cierta libertad para considerar arbitrariamente cul esel dominio de una funcin, esta definicin debe tomarse con el valor "relativo" que posee.


Ejemplos:

1 .

La funcin y = |x|+1 alcanzasu mnimo absoluto (que vale1) en x = 0.

-2 2

1

2

x

y

figura 3.9.a

2 .

2 3

1

x

y

figura 3.9.b

La funcin seno, alcanza sumximo absoluto en 2 . Ytambin en todos los puntosde la forma 2 + 2k con kentero.

3 .y = x tiene su mximo rela-tivo al intervalo (1, 1] enx = 1. No tiene mnimo rela-tivo a ese intervalo, pues elvalor 1 no lo toma; Paracualquier a (1, 1] , f (a)no es un mnimo, porque, porejemplo, f

a12

= a12 0 y

f (a+ h) f (a)h

0 para h < 0.

Tomando lmites laterales, se deduce que Df (a) 0 yD+f (a) 0. Como f es derivable, debe ser f 0 (a) = 0Si f tuviera un mximo en a, f tendra un mnimo y entoncesf 0 = 0


Ntese que la recproca no vale y la derivada de una funcin puedeanularse en un punto sin que en l haya un extremo local. (y = x3 enx = 0). El teorema da candidatos a extremos locales.

Ayudados por los dos teoremas, si lo que se busca son los extremos glo-bales de una funcin relativos a un intervalo, se puede pensar de la siguientemanera: El mximo y el mnimo de la funcin relativos al intervalo se puedenalcanzar en los extremos o en el interior del intervalo. Si un extremo (m-ximo o mnimo) es alcanzado en el interior del intervalo, entonces es local(teor. 1). Luego, o la funcin no es derivable o la derivada se anula (teor.2). Si llamamos puntos crticos a aquellos donde no existe derivada o laderivada es nula, un mximo o un mnimo slo puede ser alcanzado en losextremos del intervalo o en un punto crtico.

Uno est tentado a seguir este procedimiento para "pescar" extremos:se buscan todos los puntos crticos. Si son un nmero finito se calcula elvalor de la funcin en ellos y en los extremos del intervalo (si es cerrado).El valor ms grande es el mximo y el ms chico es el mnimo. Eso estbien si existen mximo y mnimo relativos a ese intervalo!. En los ejemplos1 a 6 vimos muchos casos en que no.

Ejemplo 4. (revisitado). La funcin graficada en el ejemplo 4 responde aesta definicin analtica:

f (x) =

x4 4x2 + 3

sg(x) si x

3, 00,3

0 si x = 0

(Recordamos de la seccin 2.2. que sg (x) = x|x|). f es una funcindefinida en el intervalo cerrado

3,3, derivable en el abierto

salvo en el origen, donde ni siquiera es continua.

f 0 (x) =4x3 8x

sg (x) = 4x

x2 2

sg (x) ,

se anula en 2 y en

2. Segn la definicin, el conjunto de

los puntos crticos es2, 0,

2(el 0 es P.C. porque f no es

derivable). Si calculamos el valor de f en los P.C. y en los extremosdel intervalo:

f3= 0, f

2= 1, f (0) = 0, f

2= 1, f

3= 0.

Pero en 2 y

2 slo hay mximo y mnimo locales. Porque,

claramente,

limx0

f (x) = 3 y limx0+

f (x) = 3,


valores que no son alcanzados; pero, cuando x est cerca del 0, f (x)sobrepasa por arriba el valor 1 alcanzado en

2 y por abajo el

valor 1 alcanzado en2. En este intervalo la funcin no tiene

extremos absolutos, por lo tanto el mtodo no pudo pescar peces queno estaban en el estanque.

Resulta entonces clara la importancia de saber a-priori si en un intervalouna funcin alcanza su mximo y su mnimo. Y aqu conviene recordarel ejemplo de la columna mercurial. La condicin para que la variabledependiente recorra su imagen sin saltear puntos es la continuidad de lafuncin. El resultado que describe esta situacin es un teorema debido aBolzano1 y Weierstrass1. Su demostracin se basa en propiedades de larecta real que nosotros no vamos a estudiar en este libro, pero mirando losejemplos, el resultado es creible:

Teorema 3. (de Bolzano y Weierstrass) Si f es una funcincontinua e I Dom f es un intervalo, entonces f (I) esun intervalo. Si adems I es cerrado, entonces f (I) es unintervalo cerrado.

Del teorema de B-W surge claramente que una funcin continua en unintervalo cerrado alcanza su mximo y su mnimo. Vamos a explicitarlo:

Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b],entonces f alcanza su mximo y su mnimo en [a, b] .

Demostracin. Por el teorema, f ([a, b]) = [c, d] para ciertosc y d. Como todos los valores f (x) con x [a, b] estnen [c, d] , resulta, para todo x, c f (x) d. Pero adems[c, d] = f ([a, b]) implica la existencia de dos puntos x1, x2 [a, b] tales que f (x1) = c y f (x2) = d. Entonces

c = f (x1) = minf |[a,b]

y d = f (x2) = max

f |[a,b]

La funcin continua del ejemplo 3 no alcanza su mnimo porque el in-tervalo se abre en 1. La del ejemplo 4 no alcanza ningn extremo a causade su discontinuidad. La del ejemplo 5, en (,+) suma los dos males.

1Bernard Bolzano (1781-1848), matemtico, lgico, filsofo y telogo checo.1Karl Weierstrass (1815-1897), matemtico alemn.


Estamos hablando de los fracasos del teorema, pero disfrutaremos de susxitos. Saber que una funcin alcanza sus valores mximo y mnimo esimportante. Para funciones continuas en intervalos cerrados funciona elmtodo para pescar extremo

Ejemplos:

7. Le quitamos la discontinuidad al ejemplo 4, simplemente borrando lafuncin sg. Ahora f (x) = x4 4x2 + 3, e investigamos por susextremos en el intervalo cerrado

3,3. Como ahora f es con-

tinua, sabemos, por el teorema de Bolzano - Weiertrass, que alcanzasu mximo y su mnimo en ese intervalo. Slo puede alcanzarlos en losextremos o en puntos crticos. f 0 (x) = 4x

x2 2

, de modo que el

conjunto de los puntos crticos es PC =2, 0,

2. La evaluacin

de f en los candidatos da:

f3= 0, f

2= 1, f (0) = 3, f

2= 1, f

3= 0.

210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

figura 3.10

No habiendo otros puntos crticos, se concluye que la funcin alcanzasu mximo valor, 3, solamente en el punto x = 0 y su mnimo, 1,en los puntos x =

2 y x =

2, y en ningn otro.

8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos absolutos de lamisma funcin f (x) = x4 4x2+3 en su dominio natural R. Como


el dominio es un intervalo abierto, todo extremo absoluto debe ser ex-tremo local. Slo que ahora, como el intervalo es abierto, no funcionaB - W asegurando la existencia de mximos y mnimos. Observamosque limx f (x) = +. Esto asegura que no puede haber mximosabsolutos, ya que cualquier valor ser superado. La nica posibilidadque queda de obtener un extremo es el mnimo. Y debera entonces,por ser necesariamente local, ser el mnimo local hallado en los puntos2. Sabemos que f (x) f 2 = 1 en 3,3 (ejemplo 7).Podr ser f (x) < 1 fuera de este intervalo? No. Porque f (x) > 0all. Conclusin: f no tiene mximo absoluto y alcanza su mnimoabsoluto, que vale 1, en 2.

Ejercicios:

Determinar mximos y mnimos, locales y globales relativosa los intervalos sealados, de las siguientes funciones.

29. x2 2x+ 5 en [1, 2]

30. 2x2 3x 1 en (,)

31. 3x2 x+ 1 en16 , 1

32. x2 + 2x+ 2 en (, 0]

33. 2x2 + 3x 1 en [0, 2]

34. x3 + 2 en [1, 1]

35. x3 3x en3,3

36. cosx en0, 32

37. sen x+ cosx en (,)


38. Probar, usando el teorema 3, y el ejercicio 140. del captulo1 que, si f es continua en el intervalo I, entonces

y1, y2 f (I) [y1, y2] f (I) .

(En la seccin 3.4. podr encontrar este ejercicio resuelto, al igualque el ejercicio 40..)

39. Probar que Rg(sen ) = Rg (cos) = [1, 1] .

40. Probar que si f es una funcin continua en un intervalo yhay dos puntos x1, x2 tales que f (x1) < 0 y f (x2) > 0,entonces existe por lo menos un punto (x1, x2) talque f () = 0. (este resultado se conoce habitualmente comoTeorema de Bolzano).

41. Si f es continua en un intervalo (a, b) y no se anula en eseintervalo, entonces sg (f) es constante.

Funciones crecientes y decrecientes

Retomando el ejemplo de la temperatura ambiente a lo largo de unajornada, con el que comenzamos este captulo, se seal all la importanciade identificar los intervalos de tiempo durante los cuales la temperaturaaumenta y aquellos en que la misma disminuye. Es clara la relacin entreese problema y la siguiente definicin.

Definicin 6. f es creciente en el intervalo I si a, b I ya < b, implican f (a) f (b) . si bajo las mismas suposicionesla conclusin es f (a) < f (b) , diremos que f es estrictamentecreciente.

En un lenguaje ms llano: la funcin f es creciente si cada vez queaumenta la variable independiente la variable dependiente no disminuye. Siel aumento de la v.i. significa tambin un aumento de la v.d. entoncesf es estrictamente creciente. Hacemos notar que slo definimos (porqueslo nos interesa) funcin creciente en un intervalo. Anlogamente, cuandoa < b f (a) f (b) , la funcin es decreciente. Aunque obvio, no es tanfcil escribir la demostracin de lo siguiente (ver ejercicio 82.):

Cuando una funcin es creciente o decreciente en un intervalo


abierto y continua en el cerrado, conserva la misma caractersticaen el cerrado. Inclusive si la monotona2 es estricta.

Cuando digamos "recorrer el grfico de una funcin" supondremos quelo estamos haciendo en el sentido natural de la variable independiente: demenor a mayor, o sea de izquierda a derecha. Cuando se recorre el grficode una funcin creciente, no se desciende. Si la funcin es estrictamentecreciente, se asciende. Con una estrictamente decreciente, por el contrario,se desciende.

En una funcin creciente, los incrementos considerados para el clculo dela derivada son del mismo signo: x > 0 y 0 y tambin x < 0y 0. Por consiguiente, el cociente incremental es siempre no negativo yas se conservar su lmite, si es que existe.

Teorema 4. Si f es una funcin creciente en un intervalo,en cada punto x de ese intervalo en el que sea derivable serf 0 (x) 0. Si en cambio f es decreciente, ser f 0 (x) 0.

La idea de relacionar el carcter creciente o decreciente de la funcincon el signo de la derivada es muy interesante. Es generalmente ms fcilmirar el signo de la derivada que verificar la definicin de creciente. Peropara que el concepto sea realmente til, lo que se necesita es un teoremarecproco que, cuando veamos que la derivada es positiva en un intervalo,nos permita asegurar que la funcin es creciente. Tal teorema vale pero lademostracin es ms difcil. La dejaremos para otra seccin

Teorema 5. Sea f una funcin derivable en un intervalo(a, b). Entonces:

f 0 (x) 0 en (a, b) f creciente en (a, b) .f 0 (x) > 0 en (a, b) f estrictamente creciente en(a, b) .

f 0 (x) 0 en (a, b) f decreciente en (a, b) .f 0 (x) < 0 en (a, b) f estrictamente decreciente en(a, b) .

Corolario. Si f 0 (x) = 0 para todo x (a, b) entonces f esconstante en ese intervalo.

2Se dice que una funcin es montona en un intervalo cuando se quiere decir que escreciente o decreciente, sin especificar cul de las dos.


Pensando que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tan-gente al grfico en ese punto, las relaciones expresadas en los teoremas 4y 5 se compadecen perfectamente con la interpretacin geomtrica de crec-imiento y decrecimiento. Todas estas herramientas son aplicables a mejorarnuestros anlisis de mximos y mnimos.

Volviendo sobre la condicin f 0 (x0) = 0, que es necesaria para la exis-tencia de un extremo local en un punto de derivabilidad x0, no tenemosmtodos para saber si en ese punto hay efectivamente un extremo y, encaso de haberlo, si se trata de un mximo o de un mnimo. Si se tiene ungrfico de la funcin, estaremos convencidos de que en el punto de tangentehorizontal x0 hay un mnimo si observamos que el grfico desciende hastallegar a ese punto y luego comienza a ascender. Simtricamente, un mximoest precedido por un ascenso y seguido de un descenso

grfico ascendente

grfico ascendente

grfico descendente

Punto de mximo

Punto de mnimo

figura 3.11

Hay cuatro maneras en que la derivada f 0 puede anularse en el puntox0.

a. Pasando de f 0 (x) < 0 para x < x0 a f 0 (x) > 0 parax > x0.

b. Pasando de f 0 (x) > 0 para x < x0 a f 0 (x) < 0 parax > x0.

c. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo positiva a sualrededor.

d. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo negativa a sualrededor.


Cada una de estas maneras conduce, segn se acaba de explicar, a cuatrocomportamientos distintos para la funcin f en x0:

a. Mnimo local en x0.

b. Mximo local en x0.

c. Gr (f) ascendente en un intervalo con tangente horizontalen x0.

d. Gr (f) descendente en un intervalo con tangente horizontalen x0.

x

y

a. b. c. d.

figura 3.12.a

Las cuatro maneras en que el grfico de f 0 puede tocar el eje x en unpunto crtico.

a. b. c. d.

figura 3.12.b

Los correspondientes cuatro comportamientos de f en un punto deanulacin de su derivada.

Ejemplos:

9. f (x) = x3 3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalosde crecimiento - decrecimiento.

f 0 (x) = 3x2 3 = 3 (x+ 1) (x 1). El anlisis del signo de f 0 essencillo: f 0 < 0 en (1, 1) y f 0 > 0 en (,1) y en (1,+) .Por lo tanto, el cero de f 0 en 1 es del tipo b. mientras que el ceroen 1 es del tipo a. La funcin f decrece en el intervalo (1, 1) y


crece en los intervalos (,1) y (1,+) . En consecuencia, hayun mximo local en 1 y un mnimo local en 1. No existen extremosabsolutos ya que

limx

f (x) = y limx+

f (x) = +.

El anlisis del signo de f 0 en los intervalos que separa sus ceros (estoes (,1) , (1, 1) y (1,+), podra hacerse usando el ejercicio41.. En cada uno de los tres intervalos el signo es constante, por lotanto, chequeando el valor de f 0 en un punto cualquiera, se sabe susigno en todo el intervalo. Por ejemplo, f 0 (0) = 3 f 0 < 0 en(1, 1) .

10. y = x3 es el ejemplo clsico de punto crtico del tipo c. La derivada3x2 se anula en el origen conservndose positiva a ambos lados. Lafuncin es estrictamente creciente en (,+) . Por qu? Porsupuesto, y = x3 es el ejemplo de tipo d.

11. Hemos visto que limx0 sen xx = 1. entonces la funcin

f (x) =

sen xx

si x 6= 01 si x = 0

es continua en R. Adems es derivable en R {0} con f 0 (x) =x cosxsen x

x2. Si quisiramos averiguar la derivabilidad en el origen, de-

beramos calcular el lmite del cociente incremental,

limh0

f (0 + h) f (0)h

= limh0

sen hh

1h

= limh0

sen h hh2

.

Hasta que aprendamos a calcular este lmite, miremos las grficas def y f 0 generadas por el ordenador.

3 2 2 3

1

1

x

y

fihura 3.13


Las grficas parecen indicar que existe f 0 (0) = 0. Pero,

i. no sabemos resolver la ecuacin de los ceros de f 0: x cosxsen x =0, equivalente a tanx = x.

ii. S sabemos encontrar los ceros de f : sen x = 0 x = k conk Z {0}, y sabemos que entre dos ceros el signo de f semantiene constante (ejercicio 41.)

iii. Si llamamos ...z2,z1, z0 = 0, z1, z2, ... a los ceros de f 0, en esospuntos f tiene extremos locales. Entre dos de ellos consecutivostendremos un intervalo de crecimiento o de decrecimiento de f(nuevamente por el ejercicio 41.)

iv. Sabemos probar que f es creciente en (, 0) y decreciente en(0, ), para concluir que en 0 hay un mximo local?

v. Sabemos probar que sen xx

< 1 para x 6= 0, y por lo tanto ftiene un mximo absoluto en 0?

Muchas veces es mejor tener preguntas que respuestas.

Ejercicios:

Para cada una de las siguientes funciones determinar los in-tervalos donde es creciente y aquellos donde es decreciente

42. f (x) = x3 + 1 43. f (x) = x2 x+ 5

44. f (x) = x3 + x 2 45. f (x) = x3 + 2x+ 1

46. f (x) = 2x3 + 5 47. f(x) = 5x2 + 1

48. f (x) = 4x3 2x 49. f (x) = 5x3 + 6x

Usar el comportamiento de la funcin en intervalos contiguospara determinar si los puntos crticos corresponden a mxi-mos o mnimos locales o ni una cosa ni la otra.

50. y = x3 2x2 + 3x+ 51. y = 2x4 4x2 + 5

52. y = sen x 53. y = x3 3x


Para cada una de las funciones siguientes:

a) Hallar el mximo y el mnimo en el intervalo dado.

b) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

54. (x 1)1/3 + 12 (x+ 1)2/3 [2, 7] 55. x2/5 + 1 [1, 1]

56. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada yuna superficie constante C. Determinar los lados de la cajasi el volumen ha de ser mximo.

57. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha detener un rea de superficie fija C. Hallar el radio de su basey su altura si ha de tener un volumen mximo.

58. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja y el re-cipiente estn cerrados por arriba. (El rea de un crculo deradio x es x2 y su longitud es de 2x. El volumen de uncilindro de altura y y cuya base tiene radio x es x2y.)

59. Demostrar que entre todos los tringulos de rea dada, el trin-gulo equiltero es el de menor permetro.

Comparacin de funciones

Si f (x) < g (x) para todo x en un intervalo I, diremos que f < gen I. Anlogamente se definen el resto de las desigualdades: >,, . Paraestablecer desigualdades entre funciones en un intervalo se puede usar losconceptos de mximo y mnimo relativos a ese intervalo. Por ejemplo, paraque sea f < g en I = (a, b), deber ser g f > 0. Y esto se asegurasi min (g f)|I > 0. (O si min (g f)|I = 0 pero es estricto). Hay tresmaneras sencillas de que una afirmacin de este tipo se pueda establecer:

g f tiene un mnimo positivo en un punto interior de I. (g f) (a) 0 y g f estrictamente creciente en [a, b) . (g f) (b) 0 y g f estrictamente decreciente en (a, b]

Por ejemplo, para que se d la segunda situacin, basta que f y g


sean continuas en [a, b) y derivables en (a, b). Que f (a) g (a) y quef 0 < g0 en (a, b) (ver ejercicio 82.). Intuitivamente, si f (a) g (a) en elextremo izquierdo de un intervalo y f no crece ms que g, es de esperarque la desigualdad se mantendr en todo el intervalo.

a ab b f f

gg

figura 3.14

Ejemplos.

12. Tomar f (x) = sen x y g (x) = x en [0,+) . Como sen 0 = 0 ysen 0x = cosx 1 = g0 (x), se deduce que sen x x para x 0.Como una consecuencia, resulta sen x

x 1 para x > 0. Para x x si 0 < x < /2.

61. Probar que

t+1

t 2 para t > 0


Convexidad - concavidad

Un ingrediente ms ser til para hacer el grfico aproximado de unafuncin. Suponga que usted viene transitando a lo largo del grfico de unafuncin, en el sentido natural: segn crece la x. Salvo que se encuentreen un tramo recto, usted estar en una curva que gira hacia la izquierda ohacia la derecha. Hacia el lado que gira, la carretera va envolviendo unaconcavidad y hacia el otro va dejando una convexidad (si estas palabras noson de su lenguaje corriente, hay un truco para recordarlas: concavidad =con cavidad).

Giro hacia la izquierda.

Concavidad hacia arriba

Giro hacia la derecha.

Concavidad hacia abajo. Punto de

inflexin

Sentido de avance

figura 3.15

Cuando la curva gira hacia la izquierda, las rectas tangentes en los suce-sivos puntos tambin van girando hacia la izquierda y por lo tanto sus pen-dientes van creciendo. De igual modo, al girar hacia la derecha las pendi-entes de las sucesivas tangentes disminuyen.

Por lo tanto, si la funcin f de quien la curva es el grfico es derivableen todo el intervalo, tendremos la siguiente asociacin:

Concavidad hacia arriba = f 0 creciente. Concavidad hacia abajo = f 0 decreciente.

Cuando existe derivada segunda, el signo de sta es un dato para deter-minar el carcter creciente o decreciente de la derivada primera. En estecaso,

f 00 0 en (a, b) f cncava hacia arriba en (a, b) .


f 00 0 en (a, b) f cncava hacia abajo en (a, b) .

Si f es cncava hacia arriba y hacia abajo en dos intervalos contiguosy la derivada segunda existe y es continua en la unin de ambos, ella pasade positiva a negativa y debe anularse en el punto fronterizo. En este puntose dice que la funcin tiene un punto de inflexin. Cuando existe derivadasegunda, sta se anula en los puntos de inflexin. No es cierto, sin embargo,que siempre que se anula la derivada segunda hay un punto de inflexin(Por ejemplo x4)

Concavidad hacia arriba:

x1 < x2 implica pendientede la tangente en x1 menorque pendiente de la tangenteen x2

1x 2x

figura 3.16.a

Concavidad hacia abajo:

x1 < x2 implica pendientede la tangente en x1 mayorque pendiente de la tangenteen x2

1x 2x

figura 3.16.b

Ejemplos:

14. Veamos nuevamente la funcin del ejemplo 8. f (x) = x4 4x2 + 3.Ya sabemos que f 0 (x) = 4x3 8x. Ahora f 00 (x) = 12x2 8 =


12x

q23

x+

q23

. Usando el teorema de Bolzano y testeando

los valores de f 00 en un punto de cada intervalo,f 00 (1) = f 00 (1) = 4 > 0 f 00 (0) = 8 < 0 = f cncavahacia arriba en

,

q23

y en

q23 ,+

, y f cncava hacia

abajo enq

23 ,

q23

. En los dos puntos de anulacin de la derivada

segunda la funcin cambia el sentido de su concavidad y por lo tantose trata de puntos de inflexin

15. Volvamos al ejemplo 16. de la seccin 3.1. y = tanx, dydx= 1

cos2 x, d

2ydx2

=2 sen xcos3 x

= 0 para x = k con k entero. Es fcil ver que

d2y

dx2> 0 en

k, k +

2

y

d2y

dx2< 0 en

k

2, k

.

De modo que, para cada k Z, se distinguen dos intervalos contiguosk 2 , k

yk, k + 2

donde f pasa de cncava hacia abajo

a cncava hacia arriba. En los puntos de frontera k hay un puntode inflexin. En cambio, en la separacin entre dos de estas duplasde intervalo, que son los puntos de la forma k + 2 la tangente esdiscontinua con asntota vertical y no se considera que haya punto deinflexin.

Ejercicios

Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavi-dad - convexidad, puntos de inflexin y mximos y mnimoslocales. Trazar grficos aproximados.

62.- 3x2 3x 6 63.- x2 + 2x 4

64.- 2x3 3x+ 5 65.- 2x3 9x2 + 12x

66.- x4 x2 + 1 67.- x5 + x

68. Determinar todos los puntos de inflexin de sen x y de cosx.

3.3. El teorema de unicidad 127

69. Para la funcinf (x) = x4 8x2 + 16

a. Demostrar que f tiene exactamente dos puntos de infle-xin.

b. Trazar la grfica de f . Deteminar explcitamente los pun-tos crticos. Determinar las regiones de convexidad-concavidad.

Considerando los siguientes aspectos:

(i) Puntos crticos. Mximos y mnimos locales.

(ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento.

(iii) Puntos de inflexin.

(iv) Intervalos de convexidad - concavidad.

(v) Asntotas.

(vi) Intersecciones con ejes y asntotas.

Trazar grficas de las curvas que se indican a continuacin.

70. y = x2+2x3 71. y =

x+1x2+1 72. y =

2x33x+1

73. y = x+ 3x

74. y = x2

x+1

75. y = x21

x24

76. y = x+1x2+5

3.3 El teorema de unicidad

Volvemos sobre el corolario del teorema 5. Es claro que si f 0 = g enun intervalo, no es f la nica funcin con esa propiedad. Basta tomarh (x) = f (x)+c con cualquier constante c para que h0 (x) = f 0 (x) = g (x) .Pero del corolario del teorema 5 se infiere que esa es la nica manera de tenerdos funciones con la misma derivada: una y otra difieren en una constante.Dada una funcin g definida en un intervalo, no sabemos si existe algunaf tal que f 0 = g pero si existe alguna existen infinitas, difiriendo doscualesquiera de ellas en una constante. Esto es:


Si y = F (x) y y = G (x) son dos soluciones de la ecuacindiferencial

dy

dx= f (x) , a < x < b,

entonces existe una constante C tal que

G (x) = F (x) + C, a < x < b.

En efecto, (G F )0 (x) = G0 (x) F 0 (x) = f (x) f (x) = 0para todo x (a, b). Luego, por el corolario del teorema 5,G F es constante en el intervalo. Por lo tanto existe unaconstante C tal que G F = C. Esto es, G = F + C.Ejemplos.

1. Una funcin constante queda determinada sabiendo su valor en unpunto. Por eso en el PVI1 de la seccin 2.6., del cual sabemos encon-trar la solucin, podemos aseverar que sta es nica.

PVI1

s0 (t) = v0 + at, 0 < t

3.4. Las demostraciones 129

valor de t. Como ambos trminos son no negativos, se deduce quedeben ser nulos los dos. En particular, u2 = 0 y, por consiguiente,u = 0.3.-Se concluye que PVI2 tiene solucin nica. (aquella que se encontren el ejercicio 106. del captulo 2)

Ejercicios.

77. Mostrar que la condicin f 0 = 0 en un conjunto S no bastapara afirmar que f es constante si S no es un intervalo.

78. Suponer que f es una funcin diferenciable de t.

a. Si f 0 (t) = 3 para todo t R, Qu pueden decir acercade f (t) ?

b. Y si f 0 (t) = 3 y f (0) = 1?

79. Supongamos que existen dos soluciones, f y g de la ecuacindiferencial

dy

dx= y, x R,

y que f (x) 6= 0 para todo x. Demostrar que existe unaconstante C tal que g = Cf.Hint. Diferenciar el cociente g/f .

80. Una partcula se mueve sobre el eje x hacia la derecha a veloci-dad constante de 7m/seg. Si al instante t = 9 la partculaest a una distancia de 2m a la derecha del origen, hallar suposicin en funcin de t.

3.4 Las demostraciones

Teorema de Bolzano

La primera parte del teorema 3 implica que una funcin continua tomatodos los valores intermedios. Lo explicitaremos como corolario, para faci-litar su referencia. Comnmente este resultado se menciona como teoremade Bolzano.


Corolario 2 (del teorema 3). Si f es continua en el intervalo[a, b], y c (f (a) , f (b)), entonces existe (a, b) tal quef () = c.

Demostracin. Por el teorema, f ([a, b]) es un intervalo.Adems, f (a) , f (b) f ([a, b]). Sigue del ejercicio 140. en elcaptulo 1 que [f (a) , f (b)] f ([a, b]). Luego c f ([a, b])y, por lo tanto, existe [a, b] tal que f () = c. Adems,a 6= 6= b porque f () = c y f (a) 6= c 6= f (b) . Entonces (a, b)

x

y( )bf

( )afc

a b1 2 3

figura 3.17

Ejemplos.

1. Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si a, b Dom fcon f continua, entonces [f (a) , f (b)] Rg f.

2. Si f es continua en [a, c) y limxc f (x) = + entonces [f (a) ,+) Rg f. Para probar esta afirmacin, bastar ver que, para todo M >f (a) , [f (a) ,M ] Rg f . Pero si f (x) + es posible encontrarb (a, c) tal que f (b) > M (ver ejercicio 83.). Ahora, usando elejemplo 1,

[f (a) ,M ] [f (a) , f (b)] Rg f.

3. Existencia de races nsimas. f (x) = xn es continua en [0,+) yadems, f (0) = 0, limx+ f (x) = +. Sigue del ejemplo 2. que[0,+) Rg f. Esto es, que para cada nmero no negativo y, existex 0 tal que xn = y. Si n es impar es fcil ver que tambin existenraces n-simas de nmeros negativos.

4. Si f es continua en [a, b] y, digamos, f (a) < 0 mientras que f (b) > 0,el teorema de Bolzano puede ser usado para aproximar una raz de laecuacin f (x) = 0. Se evala f

a+b2

y:


f a+b2 < 0 = f tiene un cero en a+b2 , b f a+b2 > 0 = f tiene un cero en a, a+b2 En ambos casos hemos encerrado una raz en un intervalo de longitudmitad que el inicial. Iterando n veces el procedimiento encerraremosuna raz en un intervalo de longitud ba2n .

El teorema del valor medio

Si se considera una curva descripta paramtricamente (ver vector tan-gente en seccin 2.5):

x = f (t)y = g (t)

, a t b,

los extremos de la misma tienen coordenadas (f (a) , g (a)) , (f (b) , g (b)) .Luego, la pendiente de la cuerda que los une es

m1 =g (b) g (a)f (b) f (a) .

Por su parte, el vector tangente en un punto interior de la curva, (f (t) , g (t)) ,es (f 0 (t) , g0 (t)). En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en esepunto ser

m2 =g0 (t)f 0 (t)

.

( ) ( )agbg

( ) ( )afbf ( )'f

( )'g x

y

figura 3.18

Decir ahora que la cuerda es paralela a la tangente en un punto intermediode la curva es postular la existencia de un nmero (a, b) para el cualse verifica la igualdad

g (b) g (a)f (b) f (a) =

g0 ()f 0 ()

. (4)


La prueba de este resultado es el objeto de esta seccin.

Ya que de paralelas entre cuerdas y tangentes se trata, comenzaremoscon el resultado bsico en esa direccin. En realidad, toda la dificultadtcnica est en demostrar que hay una tangente paralela a la cuerda enalguna situacin simple. Luego los trucos son sencillos.

Teorema 7 (Rolle3)

Sea f una funcin continua en [a, b] y derivable en (a, b) .Supongamos adems que la cuerda entre los extremos del grficode f es horizontal, esto es, que f (a) = f (b) . Entonces existeun punto interior (a, b) tal que f 0 () = 0 (O sea que latangente al grfico es horizontal)

a b

Gr(f)tangente

cuerda ( ) ( )bfaf =

figura 3.19

Demostracin. Segn el corolario 1 del teorema 3 (Bolzano -Weierstrass), la funcin f alcanza su mximo y su mnimo en elintervalo cerrado [a, b] . Si alguno de los dos es alcanzado en unpunto interior entonces la derivada en ese punto debe anularse(teoremas 1 y 2). Caso contrario, el mximo y el mnimo sonalcanzados en los extremos del intervalo. Pero como f tomael mismo valor en ambos extremos, se deduce que el mximo yel mnimo son iguales. Esto slo es posible si f es constante.Pero en tal caso f 0 (x) = 0 para todo x (a, b)

La frmula (4) es el centro del teorema del valor medio. Pero, para tenersentido, requiere que f (a) 6= f (b) . Con un pasaje de trminos se evita elproblema.

3Michel Rolle (1652-1716), matemtico francs


Teorema 8. (del valor medio de Cauchy4)

Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en(a, b) . Entonces existe un punto (a, b) tal que

[g (b) g (a)] f 0 () = [f (b) f (a)] g0 () (5)

Demostracin. Bastar considerar la funcin

(x) = [g (b) g (a)] f (x) [f (b) f (a)] g (x) .

y verificar que cumple con las hiptesis del teorema de Rolle:

(a) = g (b) f (a) g (a) f (a) f (b) g (a) + f (a) g (a) == f (a) g (b) f (b) g (a) .

(b) = g (b) f (b) g (a) f (b) f (b) g (b) + f (a) g (b) == f (a) g (b) f (b) g (a) .

Luego, (a) = (b) . Obviamente es continua en [a, b]y derivable en (a, b). Por lo tanto, para algn punto (a, b) , debe ser 0 () = 0. Pero 0 () = [g (b) g (a)] f 0 ()[f (b) f (a)] g0 () = 0(5)

Para obtener (4) a partir de (5) es necesario que no se anulen los de-nominadores. Para ello se debe agregar una hiptesis:

Corolario 1. Con las hiptesis del teorema, si adems f 0 nose anula en (a, b), entonces existe un punto (a, b) para elcual se verifica (4).

Demostracin. Slo se debe verificar que tampoco se anulaf (b) f (a) . Pero si esto ocurriera, por el teorema de Rollehabra un punto donde se anula la derivada, cosa que estamossuponiendo que no ocurre.

Tomando f (x) = x, la curva se convierte en (x, g (x)) , que es el grficode la funcin g. En ese caso, el teorema toma una forma ms sencilla y

4Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemtico francs.


tambin la interpretacin geomtrca.

a b

( )af

( )bf

figura 3.20

Corolario 2. (Lagrange5) Si g es continua en [a, b] y derivableen (a, b), entonces existe un punto (a, b) tal que

g (b) g (a)b a = g

0 () .

El teorema del valor medio de Lagrange es la herramienta que necesita-mos para completar la demostracin del teorema 4.

Demostracin del teorema 4. Bajo la hiptesis de que f 0 0 en (a, b) debemos demostrar que f es creciente en eseintervalo. Sean a < x1 < x2 < b. Debemos probar que f (x1) f (x2) . Como f es derivable en (a, b) , verifica las hiptesis delteorema de Lagrange en [x1, x2] . Luego,

f (x2) f (x1)x2 x1

= f 0 () 0

para algn (x1, x2) . Como x2 x1 > 0, debe ser f (x2)f (x1) 0. Si f 0 fuera estrictamente positiva en el intervalo,sera f 0 () > 0. Entonces la conclusin sera f (x2)f (x1) > 0,de donde sigue que f es estrictamente creciente.La prueba de los casos f 0 0, f 0 < 0 es totalmente anloga

5Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemtico francs.


Funciones convexas

Retomamos el tema concavidad - convexidad de la seccin 3.2. Porrazones que no viene al caso profundizar, en el lenguaje matemtico se llamaconvexas a las funciones cncavas hacia arriba. Este concepto no requierederivabilidad, por ejemplo la funcin |x| es convexa. Pero a nosotros slonos interesa estudiar la convexidad en relacin con las propiedades de laderivada. Por eso adoptaremos una definicin en este contexto.

Recordamos de la seccin 2.3. (frmula (3)) que la recta tangente algrfico de la funcin f en el punto x0 es el grfico del polinomio de grado1

cx0 (x) = f (x0) + f0 (x0) (x x0) . (6)

Naturalmente, cx0 (x0) = f (x0) .

Definicin 7. La funcin f , derivable en (a, b) , es con-vexa (estrictamente convexa) en ese intervalo si elegido cualquierx0 (a, b), cx0 (x) f (x) para todo x (a, b) (respectiva-mente, cx0 (x) < f (x) para todo x (a, b) , x 6= x0).

0x0

Gr xl

fGr

figura 3.21

Teorema 9. Una funcin f derivable en un intervalo I esconvexa (estrictamente convexa) si y slo si f 0 es creciente(respectivamente estrictamente creciente).

Demostracin. Supongamos primero que f es convexa. Da-dos dos puntos x1 < x2 en I, debemos probar que f 0 (x1) f 0 (x2) . Como f (x2) cx1 (x2) ,

f (x2) f (x1) + f 0 (x1) (x2 x1) . (7)

Del mismo modo, f (x1) cx2 (x1) implica que

f (x1) f (x2) + f 0 (x2) (x1 x2) . (8)


Reemplazando (8) en (7), obtenemos

f (x2) f (x2) + f 0 (x2) (x1 x2) + f 0 (x1) (x2 x1) ,

de donde f 0 (x2) f 0 (x1)

(x2 x1) 0.

Esta es la condicin para que f 0 sea creciente. Cuando la con-vexidad es estricta, las desigualdades se convierten en estrictasy se concluye crecimiento estricto de f 0.

Recprocamente, supuesto el crecimiento (crecimiento estricto)de f 0, deberemos deducir la convexidad (convexidad estricta)de f . Para ello, dado un punto x0 I, se debe probar quef cx0 en I. La funcin g (x) = f (x) cx0 (x) = f (x) f (x0) f 0 (x0) (x x0) tiene derivada g0 (x) = f 0 (x) f 0 (x0).Claramente, entonces,

g0 (x0) = g (x0) = 0

g0 (x) 0 si x > x0 0 si x < x0

, por el crecimiento de f 0.

Estos dos puntos implican que g tiene un mnimo relativo a Ide valor 0 en x0 y por lo tanto es no negativa en el intervalo.Por su parte, si f 0 es estrictamente creciente, las desigualdadesson estrictas y f (x) > cx0 (x) para x 6= x0

Si hay derivada segunda en todo el intervalo, el signo de la derivadasegunda y el crecimiento o crecimiento estricto de la derivada primera serelacionan como lo indican los teoremas 4 y 5. Podemos resumir estasrelaciones en el siguiente enunciado.

Teorema 10. Sea f una funcin con derivada segunda en unintervalo I. Entonces f es convexa en I si y slo si f 00 0en I. Adems, si f 00 > 0 en I, entonces f es estrictamenteconvexa.

3.5. Complementos 137

3.5 Complementos

Notas

1. En la seccin 2.2. se present el concepto de lmite y se lo caracterizcon siete propiedades bsicas. En el ejemplo 5 fueron presentadasun par de funciones que no tenan lmite (en realidad ahora diramosque se trata de lmites infinitos) y el ejemplo 6 mostr a la funcinsen 1

x, que no tiene en el origen lmites ni infinitos ni laterales. Nada

parecido puede pasar con una funcin montona en un intervalo. Eneste caso siempre existen lmites laterales y las discontinuidades slopueden ser de "salto finito". Una prueba de esta afirmacin requiereuna definicin formal de lmite y alguna descripcin de propiedadesde los nmeros reales que en este nivel no estamos manejando. Perose trata de un hecho intuitivamente evidente y lo aceptaremos comola octava propiedad del lmite:

8. Si f es una funcin montona en un intervalo (a, b), entoncesexisten los lmites laterales

limxa+

f (x) y limxb

f (x) .

2. Supongamos que una funcin f es continua en un intervalo (a, b) yderivable salvo, quizs, en un punto x (a, b). Si en ese punto exis-ten los lmites laterales de la derivada, entonces existen las derivadaslaterales y coinciden con esos valores. Basta verlo de un lado. Por elteorema de Lagrenge, para cada h > 0 suficientemente chico, existe = (h) , x < < x+ h tal que

f (x+ h) f (x)h

= f 0 () .

Tomando lmite para h x+, como (h) x+, resulta D+f (x) =limx+ f

0 () .

3. Sabemos que las funciones derivables son continuas (teorema 2 en cap-tulo 2). |x| es ejemplo de funcin continua no derivable. Su derivada,sg (x), tiene una discontinuidad de salto en 0, donde la derivada noexiste. Pero si la derivada de una funcin f existe en todo un inter-valo abierto que incluye a un punto x, f 0 no puede tener en x unadiscontinuidad de salto. En efecto, si existen los lmites laterales de laderivada, por la nota 2, las derivadas laterales coincidiran con ellos.Pero si hay derivada las derivadas laterales deben coincidir entre s.Luego no hay salto.


Ejercicios

*81. Demostrar:

a. Si la funcin f es creciente en (a, b) entonces, para todo c (a, b),limxa+ f (x) f (c) limxb f (x). Si f es decreciente lasdesigualdades se invierten y si f es estrictamente montona lasdesigualdades son estrictas.

b. Si f es creciente en (a, b) y c (a, b), entonces limxc f (x) f (c) limxc+ f (x) . Para f decreciente valen desigualdadesinversas.

c. Si f es creciente en (a, b) y c (a, b), entonces, para a < x1 0, en cualquier entorno reducido dec es posible encontrar un x tal que |f (x)| > M .Hint. Usar ejercicio 96. del captulo 2.

84. Si f es una funcin convexa y en algn intervalo es creciente o enalgn punto es f 0 (x) > 0, entonces limx+ f (x) = +. Estudiarpropiedades similares en y para funciones cncavas.

85. Si P (x) = anxn + + a1x+ a0 es un polinomio,

limx+

P (x) = sg an

limx

P (x) = (1)n sg an

cap3calculo

Documents