cap2calculo

2 Diferenciacin

2.1 Razn de Cambio

Cuando dos variables estn hermanadas por una relacin funcional, interesasaber cunto influyen en una los cambios de la otra. Vamos a distinguir comovariable independiente (VI) a la que se mueve primero y cuyo cambio originael movimiento de la otra, a la que llamaremos variable dependiente (VD)(dicho esto desde nuestra observacin). La VI toma valores en el dominio yla VD en el codominio de la funcin que las relaciona. Si queremos medircon un nmero la influencia que la VI tiene sobre la VD, es razonable queese nmero sea directamente proporcional al cambio experimentado por laVD e inversamente proporcional al cambio de la VI que fue su causa. Poreso se toma el cociente (razn) entre esas dos cantidades y se lo llama raznde cambio.

Al pasar la variable x de un valor x a otro x0, experimenta un cambiox = x0 x. A su vez, y cambiar de f (x) a f (x0), con un cambioy = f (x0) f (x) . En definitiva, reordenando un poco la notacin, larazn de cambio de la variable y respecto de la variable x en el intervalo[x, x+x] 1 es el cociente

yx =

f (x+x) f (x)x . (1)

Los problemas de "regla de tres" que nos acompaaron en la escuelaprimaria, se referan siempre a relaciones funcionales lineales, donde la razn

1A pesar de que escribamos [x, x+x] como si el cambio x fuera positivo, los incre-mentos x bien pueden ser negativos en cuyo caso el intervalo sera [x+x, x]. No hayque ocuparse de considerar los casos de acuerdo con el signo de x. Todo se arregla solo.

52 Captulo 2 - Diferenciacin

de cambio permanece constante. Una bomba que llena un tanque con uncaudal de 20 litros por minuto se representa con una funcin

V = f (t) = 20t,

donde V es el volumen de lquido en el tanque, medido en litros, y tes el tiempo en minutos que estuvo funcionando la bomba. Cualquiera seael intervalo [t, t+t] que consideremos, la razn de cambio del volumenrespecto del tiempo ser

Vt =

20 (t+t) 20tt = 20.

En otros casos, la razn de cambio depende del intervalo en que se con-sidere la variacin. Si hacemos un viaje en automvil de 275 kilmetros yempleamos un tiempo de 2 horas y 45 minutos, tendremos una variacin to-tal de espacio recorrido (en kilmetros) de 275, contra una variacin detiempo (en horas) de 2.75 . Esto da una razon de cambio del espaciorecorrido respecto del tiempo de 2752.75 = 100. Decimos en ese caso quehemos viajado a una velocidad promedio de 100 km/h. Pero hemos vistodurante el viaje a la aguja del velocmetro marcando velocidades muy di-versas. Esas velocidades instantneas, se obtienen por un procedimientolmite, considerando razones de cambio en intervalos ms y ms pequeos.Eso ser tarea de las prximas secciones, despus de echar una ojeada sobreel concepto de lmite.

Ejercicios:

1. Una posible funcin para el ejemplo del automvil que estamosconsiderando es la siguiente

x = f (t) =

100t si 0 t 1100 si 1 t 1.253503 (t 1.25) + 100 si 1.25 t 2.75

a. Halle la razn de cambio de x respecto de t en losintervalos [0, 1] , [0.75, 1.10] , [1, 2] y [2, 2.5]

b. En qu intervalos se mantuvo quieta la aguja del ve-locmetro y en qu valor?

2. Compute la razn de cambio para la funcin y = x2 en elintervalo [x, x+x]. A qu valor (dependiente de x) seaproxima esa razn de cambio cuando x se torna mspequeo, acercndose a 0?

2.2. Lmite y continuidad 53

3. Para cualquier funcin y = f (x), considere los puntos

P = (x0, f (x0)) y Q = (x0 +x, f (x0 +x)) ,

ambos pertenecientes al grfico Gr (f). Demuestre quela razn de cambio yx correspondiente al intervalo[x0, x0 +x] coincide con la pendiente de la recta quepasa por P y Q. Qu frmula define a la funcin afn(S (x) = mx + b) que coicide con f en los puntos x0 yx0 +x?

2.2 Lmite y continuidad

No creemos necesario en este nivel trabajar con una definicin formal delconcepto de lmite. Una idea intuitiva y una enumeracin de las principalespropiedades sern suficientes para nuestros fines. Ante todo, un poco devocabulario. Vamos a querer que una variable x se acerque hacia un puntoa, que tome valores cercanos a a. Para eso tendr que moverse dentro deun intervalo abierto que contenga a a, digamos un intervalo de la forma(a , a+ ), definido por una inecuacin |x a| < . Un tal intervaloabierto alrededor del punto a se llamar un entorno de a. Y muchas vecesno nos interesar lo que ocurre cuando la variable toma el mismo valor a.Nos interesar lo que ocurre en un entorno de a excluido a mismo. Unconjunto de la forma (a , a) (a, a+ ), que se describe con la doblecondicin 0 < |x a| < . A un entorno de a al que se le ha quitado elpunto a se lo llama un entorno reducido de a.

Si f es una funcin definida en un entorno reducido del punto a,diremos que el lmite de f (x) para x tendiendo hacia a es igual a l, oque f (x) tiende hacia l cuando x tiende hacia a,

limxa

f (x) = l f (x) l para x a,

si |f (x) l| se hace muy pequeo tomando x suficientemente cerca (perodistinto) de a.

Las funciones "buenas" con que trabajamos habitualmente, tienden engeneral a su propio valor en el punto a cuando la variable independientetiende hacia a: limx3 senx = sen 3, por ejemplo. Esas funciones se llamancontinuas. Ms precisamente, una funcin definida en un entorno del puntoa es continua en a si

limxa

f (x) = f (a) .


Si la funcin es continua en todos los puntos de un conjunto S, se dice quela funcin es continua en S.

Los lmites interesantes se producen, en cambio, cuando, reemplazandoen la frmula que define a la funcin la variable x por el valor lmite al cualella tiende, se produce una expresin imposible de calcular. Por ejemplo,

limx0

sen xx

.

Debe notarse que no siempre existe lmite. Por ejemplo la funcin signo

sg (x) =|x|x,

no tiene lmite para x 0. Si se mira el grfico, se ve que la funcinpega un salto en x = 0 y que, entonces, se obtendran distintos valoreslmite para sg (x) segn nos acercsemos a 0 desde la izquierda o desdela derecha.

-1

1

x

y

figura 2.1 y = sg x

Estos lmites, que consideran solamente los valores de la funcin en un semi-entorno del punto, se llaman lmites laterales.

limx0+

sg (x) = 1, limx0

sg (x) = 1.

El lmite limxa f (x) existe si y slo si existen y son iguales los dos lmiteslaterales limxa+ f (x) y limxa f (x) . Los semi-entornos consideradospara los lmites por la derecha son intervalos de la forma (a, a+ ) y porla izquierda (a , a), ambos con > 0.


La carencia de una definicin formal de lmite ser superada con laspropiedades del lmite, que enunciamos a continuacin y que son fcilmentejustificables desde la descripcin intuitiva del concepto. Como una primeraaproximacin, podramos decir que las operaciones hechas con funciones quetienen lmite en un punto conducen a funciones que tambin tienen lmite enese punto y que ste resulta de hacer la misma operacin (ahora numrica)con los lmites.

Propiedades del lmite

1. a. Si la funcin f es constante en un entorno reducido de a (f (x) = cx),entonces limxa f (x) = c.

b. Tambin, obviamente, x a para x a o, dicho de otro modo,limxa x = a

c. Si existe lim f (x) para x a, entonces la funcin f est acotadaen un entorno reducido de a. Esto es, existe una constante Mtal que, en algn entorno reducido de a, es |f (x)| M

2. Si existenlimxa

f (x) y limxa

g (x)

entonces tambin existe

limxa

(f + g) (x) = limxa

[f (x) + g (x)] = limxa

f (x) + limxa

g (x) .

(Recordar la definicin de suma de funciones en el captulo 1).

3. a. Si existenlimxa

f (x) y limxa

g (x)

entonces tambin existe

limxa

f g (x) = limxa

[f (x) g (x)] = limxa

f (x) limxa

g (x)

b. Si uno de los lmites es 0, la condicin sobre la otra funcin puedeser ms dbil. Si f est acotada en un entorno reducido de ay limxa g (x) = 0 entonces existe

limxa

f g (x) = limxa

[f (x) g (x)] = 0.

4. Si existenlimxa

f (x) y limxa

g (x)


y limxa g (x) 6= 0, entonces tambin existe

limxa

fg(x) = lim

xa

f (x)g (x)

=limxa f (x)limxa g (x)

5. Si existenlimxa

f (x) y limxa

g (x)

y adems, en un entorno reducido de a vale la desigualdad f (x) g (x), entonces

limxa

f (x) limxa

g (x)

6. Si existen y son iguales

limxa

f (x) = limxa

g (x)

y adems, en un entorno reducido de a vale la desigualdad f (x) h (x) g (x) para cierta funcin h, entonces tambin existe

limxa

h (x) = limxa

f (x) = limxa

g (x) .

7. Si existen limxa f (x) = b y si g es continua en b, entonces existe

limxa

g f (x) = g (b)

o, lo que es lo mismo,

limxa

g [f (x)] = glimxa

f (x).

Las propiedades descriptas son tambin vlidas para lmites laterales, encuyo caso, las condiciones impuestas en entornos reducidos de a deberncumplirse en semi-entornos de a.

No vamos a demostrar estas propiedades. Nos mantendremos en un nivelintuitivo, acorde con la informalidad de la definicin. Pero el lector deberamirarlas con actitud crtica y convencerse (intuitivamente) de su validez. Enayuda a este proceder, permtasenos decir, con relacin a la propieded 2, quesi limxa f (x) = u y limxa g (x) = v, entonces |f (x) u| y |g (x) v|se pueden hacer arbitrariamente chicos tomando x suficientemente cercade a. Ahora bien,

|(f + g) (x) (u+ v)| = |(f (x) u) + (g (x) v)| |f (x) u|+|g (x) v| ,podr entonces tambin hacerse tan chico como se quiera con tal de tomarx suficientemente cerca de a.

Ejemplos:


1 Si c es una constante,

limxa

cf (x) = limxa

c limxa

f (x) = c limxa

f (x) .

(Propiedades 3 y 1).

2 Para un monomio, limxa cxn = can. (Ejemplo 1, propiedad 3 iterada nveces y segunda parte de propiedad 1). Usando entonces la propiedad2,

limxa

(c0 + c1x+ ...+ cnxn) = c0 + c1a+ ...+ cna

n.

Esto significa que los polinomios son funciones continuas en todo R.

3 Como cociente de funciones continuas, una funcin racional (cociente depolinomios) ser continua en todos los puntos donde no se anule sudenominador, esto es, en todo su dominio.

4 Las funciones radicales: y = nx, son tambin continuas (aceptaremos

esto provisionalmente sin una justificacin) en su dominio. Esto es entodo R si n es impar y en R+ si n es par. Como composicin depotencias y radicales, las funciones potenciales de exponente racionalson tambin continuas. Se concluye finalmente que toda funcin alge-braica es continua en su dominio.

5 sg (x) fue nuestro primer ejemplo de lmite inexistente. Un segundoejemplo, muy simple: limx0 1x . La funcin

1xtiene en el origen

un salto de altura "infinita" (ver grfico). Sin necesidad de saltosvertiginosos, tampoco existe limx0 1x2 , pero es claro que cuando xse acerca hacia 0, 1

x2crece ms y ms sin ninguna posibilidad de

acercarse a un nmero determinado.

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

figura 2.2.a y = 1x

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

figura 2.2.b y = 1x2


6 Un ejemplo ms dramtico de inexistencia de lmite: limx0 sen1x

.

A pesar de mantenerse acotada entre 1 y 1, la funcin oscilarabiosamente cuando x se acerca a 0. Junto con la ya mencionadafuncin sg, estos son ejemplos de funciones acotadas sin lmite quemuestran la irreversibilidad de la propiedad 1.c.

3/4 /2 /4 /4 /2 3/4x

y

7 Un ejemplo de existencia de lmite un poco ms interesante: limx1 x21x1 :

La funcin no est definida en el punto x = 1. Pero factorizando elnumerador, x

21x1 =

(x+1)(x1)x1 = x + 1 para x 6= 1. Al tomar un

lmite, la variable est inhibida de tomar el valor hacia el cual tiende,de modo que la simplificacin es absolutamente vlida y

limx1

x2 1x 1 = limx1 (x+ 1) = 2.

8 Aqu la funcin no est definida para x 0, de modo que se trata de unlmite lateral

limx0+

x+ x3x 3x = limx0+

x1 + x2

x (1 3

x)= lim

x0+

x1 + x2

(1 3

x)

=

=limx0+

x limx0+

1 + x2

limx0+ 1 3 limx0+

x

=0 11 0 = 0

9 Otros lmites se resuelven con tcnicas de racionalizacin:

limx4

x 4x 2 = limx4

(x 4) (x+ 2)

(x 2) (

x+ 2)

=

limx4

(x 4) (x+ 2)

x 4 = limx4

x+ 2= 4


10 La funcin del ejemplo 6. est acotada, de modo que, de acuerdo con lapropiedad 3.(b),

limx0

x sen

1

x

= 0

figura 2.4. y = xsen 1x

Ejercicios:

Utilizar simplificaciones algebraicas para evaluar los sigu-ientes lmites, en caso de existir

4. limx0 x2+x3x 5. limx2

x24x2

6. limx2 x416

x23x+2 7. limk4k216k2

8. limx1 x23x+2

x1 9. limx32x36x2+x3

x3

10. limx25x5

x25 11. limx01+x2

1x2

x

12. limx1+x+3

3x+1

x1


13. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes:

(1) limxa f (x) = l (2) limxa (f (x) l) = 0

(3) limh0 f (a+ h) = l (4) limh0 (f (a+ h) l) = 0.

El paso de (1) a (3) se conoce como "cambio de variable". Poniendox = a + h, resulta h = x a, que tender hacia 0 cuando xtienda hacia a. La conversin se justifica usando la propiedad 7.La primera fila se puede pensar como un cambio en la variable y.y l si y slo si z = y l 0. Se justifica en la propiedad 2 (con- en vez de +). Estas conversiones son parte del lenguaje y su usosimplifica drsticamente muchos razonamientos.

14. Calcular:limx0

x2 + cos

x

.

Lmites de funciones trigonomtricas

Las funciones trigonomtricas son continuas en su dominio. Basta recor-dar que estn definidas a expensas de las coordenadas (x, y) del punto enque el lado libre del ngulo corta al crculo unidad. Si x = f () , y =g (), estas dos son funciones continuas de :

lim0

f () = f (0) , lim0

g () = g (0) .

Como consecuencia, seno y coseno son funciones continuas en toda la rectareal y, por consiguientem lo es tambin la tangente en todo punto donde nose anule el coseno, es decir, en todo su dominio.

Hay dos lmites no triviales y particularmente importantes:

Teorema 1.

limh0

senhh

= 1 y limh0

1 coshh

= 0.

Demostracin: Supongamos primero que h es positivo y pe-queo. Colocamos un ngulo de medida h en posicin estndary trazamos un crculo de radio r = 1.Consideramos a contin-uacin las reas de los dos tringulos OAP y OBQ y del


sector circular OBP de la siguiente figura.

O A B

PQ

h

1=r

figura 2.5

Se trata de un clculo sencillo porque:

OA = cosh, OB = 1, BQ = tanh, AP = senh,

y el arco BP mide h. Luego, llamando |F | al rea de la figuraF , se tiene:

|OAP | = cosh senh2

, |OBP | = h2, |OBQ| = 1 tanh

2.

(Para el rea del sector nos remitimos a la frmula (8) en laseccin 1.3.). Atento a la relacin de inclusin existente entrelas tres figuras, se obtienen las desigualdades

cosh senh h tanh = senhcosh

.

Dividiendo entre senh, que es positivo, resulta

cosh hsenh

1cosh

.

Ahora se toma lmite para h 0 y, considerando la continuidadde las funciones trigonomtricas y la propiedad 6 de los lmites,resulta

limh0

hsenh

= 1.

de donde sigue la primera igualdad en (1) . Si h < 0, h = kcon k > 0. Entonces senh

h= sen(k)k =

sen kk

1 cuando h (ypor consiguiente k) 0.


El segundo lmite en (1) se calcula de la siguiente manera:

1 coshh

=1 cosh

h1 + cosh1 + cosh

=1 cos2 hh (1 + cosh)

=senhh

senh1 + cosh

1 02= 0

2.3 Razn de cambio en un punto. Recta tangente

Retomando el argumento de la secin 2.1., dada la funcin y = f (x),la razn de cambio de y con respecto a x en un intervalo, digamos,[a, a+ h] se convertir en la razn de cambio puntual en el punto a sidejamos que la amplitud h del intervalo tienda hacia 0. Cuando la variableindependiente representa al tiempo se dice instantnea en vez de puntual(y tambin, muchas veces, cuando la v.i. no es el tiempo). El valor de larazn de cambio puntual es un nmero, que depende de la funcin f ydel punto a donde se considera. Se la define entonces con un nombre quedepende de esas dos cosa:

f 0 (a) = limh0

f (a+ h) f (a)h

. (2)

Naturalmente, ese lmite puede o no existir. Cuando existe se dice quela funcin es diferenciable en ese punto. El ejemplo que mejor explica elconcepto es cuando una funcin x = s (t) describe la posicin en el instantet de un punto que se mueve sobre una recta provista de un sistema decoordenadas. En ese caso,

s0 (t0) = limh0

s (t0 + h) s (t0)h

,

representa la velocidad del punto en el instante t = t0.

La interpretacin geomtrica de f 0 (a) surge del ejercicio 3.. El cocientef(a+h)f(a)

hes la pendiente de la recta secante por los puntos (a, f (a))

y (a+ h, f (a+ h)) del grfico de f . Tomando intervalos ms y mspequeos con un extremo fijo en a, el valor lmite de estas pendientes,que acabamos de definir como f 0 (a) , es llamado la pendiente de la curva"y = f (x)" en el punto (a, f (a)) . En este punto deberamos reconocer

2.3. Razn de cambio en un punto. Recta tangente 63

que, salvo para crculos, no tenemos un concepto geomtrico muy precisode recta tangente. De manera que vamos a permitir que el Clculo ayude ala Geometra definiendo de este modo:

Dada una curva de ecuacin y = f (x) , si en un punto (a, f (a)) dela curva existe la pendiente f 0 (a), llamaremos recta tangente a la curva enese punto a la recta que, pasando por el punto, tiene la misma pendiene quela curva. Su ecuacin resulta ser

y f (a) = f 0 (a) (x a) . (3)T (x) = f (a) + f 0 (a) (x a) ,

es un polinomio de grado 1 cuyo grfico es la recta tangente.

a ha + x

y

ha 2+figura 2.6

Para mejor apreciar el ajuste entre las funciones f y T , hay queconsiderar su diferencia:

(f T ) (x) = f (x) f (a) f 0 (a) (x a) .Esta funcin no slo se anula en x = a, sino que an dividida por (x a)(que tambin se anula en a) tiene lmite 0 en ese punto. En efecto,

limxa

(f T ) (x)x a = limxa

f (x) f (a)

x a f0 (a)

= 0,

ya que limxaf(x)f(a)

xa = f0 (a) . El grfico de f T luce de la siguiente

manera:

x

y

a

figura 2.7 f T


Para que en un punto se pueda trazar una recta tangente, el grfico debeser suficientemente suave: la funcin debe ser continua.

Teorema 2 . Si f es diferenciable en a entonces es continuaen ese punto.

Demostracin. Se debe probar que limxa [f (x) f (a)] = 0.

limxa

[f (x) f (a)] = limxa

f (x) f (a)

x a (x a)=

= limxa

f (x) f (a)x a limxa (x a) = f

0 (a) 0 = 0

La continuidad es necesaria para la diferenciabilidad, pero no es sufi-ciente. Una funcin continua se dibuja "sin levantar el lpiz". Una diferen-ciable es an ms suave. Tiene tangente (no vertical). Ejemplo de funcionescontinuas no diferenciables en un punto son y = |x| o y = 3x.

fig. 2.8.a fig. 2.8.b fig. 2.8.c

La figura 2.8 muestra en a. una funcin sin tangente en un punto. Enb. la tangente es vertical. En c. la funcin tiene tangente.

Ejemplos:

1. Consideremos la funcin f (x) =x2 1

y averigemos si es diferen-

ciable en el punto x = 1. Para ello habr que estudiar

limh0

(1 + h)2 1

0

h= lim

h0

h2 + 2h

h

=

limh0

|h| |h+ 1|h

= limh0

sg (h) |h+ 1| = limh0

sg (h) .

2.3. Razn de cambio en un punto. Recta tangente 65

Sabemos que este lmite no existe y por lo tanto f no es derivableen ese punto. Pero existen lmites laterales no coincidentes:

limh0+

|h| |h+ 1|h

= limh0+

h (h+ 1)h

= 1

limh0

|h| |h+ 1|h

= limh0

h (h+ 1)h

= 1

Estos lmites laterales se llaman pendientes laterales. La notacin queusaremos para las pendientes laterales ser la siguiente:

D+f (a) = limh0+

f (a+ h) f (a)h

, Df (a) = limh0

f (a+ h) f (a)h

.

(4)

2. Veamos la diferenciabilidad en el origen de la funcin

g (x) =2x+ x2 si x 02x x2 si x > 0

Ante todo, se ve que es continua. Despus,

D+g (0) = limh0+

g (h) 0h

= limh0+

2h h2h

= limh0+

(2 h) = 2,

Dg (0) = limh0

g (h) 0h

= limh0

2h+ h2

h= lim

h0+(2 + h) = 2.

Al coincidir las dos pendientes laterales, la funcin es diferenciable en0 con g0 (0) = 2.

3210-1

3

2

1

0

x

y

x

y

figura 2.9.a. y = f (x)

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

figura 2.9.b. y = g (x)


Ejercicios:

Hallar las pendientes de las siguientes curvas en los puntosindicados. En todos los casos obtener la ecuacin de la rectatangente y trazar las grficas aproximadas de ambas

15. y = 2x2 en el punto (1, 2)

16. y = 2x 7 en el punto (2,3)

17. y = 1xen el punto

2, 12

18. y = x2 en el punto (2, 4)

Determinar si las siguientes funciones son diferenciables en 0.Si es as hallar la razn de cambio puntual. Hacer las grficase interpretar los resultados obtenidos

19. y = |x| 20. y = x |x|

21. y = x2 |x| 22. f(x) =2x si x 0x2 si x > 0

23. Una partcula se mueve sobre una lnea recta en la que sefija un sistema de coordenadas. s(t) = 4t2 + 3t representala posicin de la partcula en el instante t respecto de esesistema. El tiempo t est medido en segundos y la distanciaal origen de coordenadas, |s(t)|, en centmetros.

a. Calcular la velocidad media de la particula en los si-guientes intervalos de tiempo:[1, 1.2] , [1, 1.1] , [1, 1.01] , [1, 1.001] .

b. Calcular la velocidad de la partcula en el instante t = 1.

c. Determinar los intervalos de tiempo en los que la partculase mueve en sentido positivo.

d. Idem en sentido negativo.

En los siguientes ejercicios calcular f 0 (a):

24. f (x) =x 25. f (x) = 1

x

26. f (x) = 8 x2 27. f (x) = xx+1

2.4. La funcin derivada 67

2.4 La funcin derivada

Si la funcin f es diferenciable en cada punto x de un intervalo (a, b),la aplicacin x 7 f 0 (x) define una nueva funcin derivada de la ante-rior que se llamar f 0. La costumbre ha extendido el uso de la palabraderivada. La funcin f 0 se llamar funcin derivada y el nmero f 0 (x) sellamar derivada de la funcin f en el punto x. Derivable ser sinnimode diferenciable

En la prctica, es usual que una funcin venga dada por una relacinentre variables sin que se establezca un nombre para esa funcin. Hay unamanera para expresar la derivada en esos casos, en los que no hay letra aquien ponerle la "prima": la notacin de Leibnitz 2. Si la relacin funcionales, por ejemplo, y = 2x2, se pone

dydx=

d2x2

dx:= lim

h0

2 (x+ h)2 2x2h

El origen de esta notacin, debida a uno de los dos creadores del Clculo,es claro: dy

dxes el lmite de yx .

La notacin de Leibnitz no pierde su utilidad an cuando la funcin tienenombre. No hay por qu perder el principio que dice: "en una frmula, unaparte puede ser reemplazada por una expresin que sea igual a dicha parte".De modo que si y = f (x), aceptaremos todas las siguientes igualdades:

dydx=

df (x)dx

=ddx

f (x) = f 0 (x) .

El concepto de funcin derivada, nacido de pensar globalmente las deriva-das en cada punto, calculadas como lmites, pasar rpidamente a primerplano. Se ver que basta calcular las derivadas de algunas funciones simplesy que la mayora de las funciones, obtenidas a partir de las ms simplesa travs de operaciones con funciones (ver seccin 1.2.), se derivan con re-glas que indican cmo se comporta una derivada frente a una operacinfuncional. Entonces la derivada en un punto se calcular con un lmite enalgunos pocos casos excepcionales. En general, ser ms fcil obtener lafuncin derivada y evaluarla en el punto.

Ejemplo 1. Si volvemos a mirar desde esta ptica el ejercicio 24., con

2Gottfried Leibnitz, matemtico alemn, 1646-1716


f (x) =x,

f 0 (x) =1

2xy

dx

dx=

1

2x.

Para volver a mirar la derivada en el punto como un nmero se espe-cializa la funcin en ese punto, lo cual tiene, para el caso de la notacinde Leibnitz, una forma particular:

f 0 (9) =1

29=1

6,

dx

dx

x=9

=1

29=1

6.

Reglas de derivacin

Hay algunas pocas reglas que simplifican el clculo de derivadas.

1.- Constantes.- Para y = c,

dcdx= 0

2.- Sumas.- La funcin suma, definida en la seccin 1.2. [ver (4)] ,es derivable donde lo sean ambos sumandos, y la derivada se calcula delsiguiente modo:

(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g0 (x) . (5)

En notacin de Leibnitz,

d [f (x) + g (x)]dx

=df (x)dx

+dg (x)dx

. (6)

La demostracin es fcil.

(f + g) (x+ h) (f + g) (x)h

=f (x+ h) f (x)

h+g (x+ h) g (x)

h f 0 (x) + g0 (x) para h 0

3.- Productos.- Si las funciones f y g son derivables en un intervalo,tambin lo ser su producto f g (ver definicin en seccin 1.2. (6)). Laderivada se calcula con la siguiente regla:

(f g)0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) (7)


Si queremos escribir la ecuacin (7) como igualdad de funciones, prescin-diendo de la variable, pondremos

(f g)0 = f 0 g + f g0.

En notacin de Leibnitz,

d [f (x) g (x)]dx

=df (x)dx

g (x) + f (x)dg (x)dx

.

Todava otra escritura alternativa, usando letras de variables: u = f (x) , v =g (x)

duvdx

=dudx

v + udvdx

. (8)

Tambin esta vez es fcil hacer una demostracin. Lo dejamos para ellector, pero lo guiamos con este dibujo:

Sean u = f (x) , v = g (x) , p = uv. Entonces p = uv+vu+uv(ver figura). Luego, px = u

vx + v

ux +

uxv. Dejando x 0 resulta

(8)

u u

v

v

vu vu

uv uv

figura 2.10.

4.- Casos particulares.


1. Despus de las constantes, la funcin ms simple para derivar es lafuncin identidad: f(x) = x. En este caso,

f (x+ h) f (x)h

=x+ h x

h=

hh 1.

Esto es,dxdx= 1

2. Para el producto de una constante por una funcin

d [a f (x)]dx

=dadx

f (x) + adf (x)dx

= 0 + adf (x)dx

= adf (x)dx

(las constantes son transparentes para la derivacin)

3. Una expresin del tipo af (x) + bg (x) con a y b constantes y fy g funciones es una combinacin lineal de f y g

d [af (x) + bg (x)]dx

= adf (x)dx

+ bdg (x)dx

4. En particular,d [mx+ b]

dx= m,

como era de prever.

5. dx2

dx= d(xx)

dx= dx

dxx+ xdx

dx= 2x

dx3

dx=

d(x2x)dx

= 2x x+ x2 1 = 3x2dx4

dx=

d(x3x)dx

= 3x2 x+ x3 1 = 4x3Siguiendo el procedimiento, se llega a que

dxn

dx= nxn1, n N (9)

Ntese que el ejercicio 25. muestra que este resultado tambin valepara n = 1 y el ejercicio 24. extiende la validez de la frmula (9)al caso n = 12 . Ms adelante se ver que no es casualidad.

6. En particular, para un polinomio

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n,dP (x)dx

= a1 + 2a2x+ 3a3x2 + ...+ nanxn1.


7. Si g tiene derivada en el punto x y g (x) 6= 0, podemos calcularla derivada de la funcin 1

g(x) . Se comienza haciendo el cociente deNewton

1g(x+h)

1g(x)

h=

g (x) g (x+ h)hg (x) g (x+ h)

=1

g (x) g (x+ h)g (x+ h) g (x)

h

Obsrvese que los valores g (x+ h) en el denominador son no nulossi h es chico, porque g es continua en x (teorema 2) y g (x) 6= 0.Tomando lmite para h 0 y usando nuevamente que g es continuaen x, resulta

ddx

1

g (x)

= g

0 (x)[g (x)]2

5.- Cociente.

Si f y g son derivables y g (x) 6= 0, el cociente f(x)g(x) se puede escribir

como el producto f (x) 1g(x) . Combinando entonces la regla para derivar

productos con el caso particular no7,

ddx

f (x)g (x)

= f 0 (x)1

g (x) f (x) g

0 (x)[g (x)]2

=

=f 0 (x) g (x) f (x) g0 (x)

[g (x)]2

Ejercicios:

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:28. 3x 2x3 29. 4x5 7x3 + x2 2

30. 25x1 + x12 31. 2x3 + 5x7

32. 4x4 7x3 + x 12 33. 35x2 2x8

34. 3x4 2x2 + x 11 35. x7 8x5 + x+ 1

36.x3 + x

(x 1) 37.

2x2 1

x4 + 1

38. (2x+ 3)

1x2+ 1

x


Diferenciacin de las funciones trigonomtricas

1. y = senxSe debe calcular

limh0

sen (x+ h) senxh

= limh0

senx cos h+ senh cosx senxh

= cosx limh0

sen hh

senx limh0

1 cos hh

Usando el teorema 1. se concluye que

d senxdx

= cosx

2. y = cosxAhora el clculo involucra el lmite para h 0 de

cos (x+ h) cosxh

=cosx cos h senx sen h cosx

h

= senxsen hh

cosx1 cos hh

Usando nuevamente el teorema 1 se concluye entonces que

d cosxdx

= senx

3. y = tanxSe deriva con la regla del cociente:

ddxsenxcosx

=sen0 x cosx cos0 x senx

cos2 x=cos2 x+ sen2 x

cos2 x=

=1

cos2 x

Ejercicios:

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:39. senx cosx 40. 1senx+cosx

41. tanxx2+3x 42.

senxx

Diferenciacin de funciones compuestas. Regla de la cadena


La diferenciacin tiene tambin un buen comportamiento con la ope-racin de composicin de funciones, definida en la seccin 1.2., fla.(8). Sidos funciones son diferenciables, su composicin tambin lo es. Lo que siguees una presentacin informal.

Consideremos dos funciones u = g (y) con y = f (x). Entonces,u = g f (x). Suponiendo que ambas son derivables se quiere calcularla derivada de la composicin. Teniendo en cuenta los incrementos queaparecen al formar los cocientes de Newton de las variables "intermedias",

u = g(y +y) g (y)y = f (x+x) f (x) ,

deberemos finalmente pensar a la variable u como funcin de x y estudiarel comportamiento lmite del cociente ux . Si olvidamos que y podraanularse y multiplicamos y dividimos por ese valor, obtenemos

ux =

uyyx.

Cuando el incremento x 0, por el teorema de continuidad de las fun-ciones derivables (teorema2), y 0. En consecuencia,

dudx

= limx0

ux = limy0

uy limx0

yx = (10)

=dudy

dydx

,

donde debe entenderse que dudy

est calculada en el punto y = f (x) . Unenunciado ms preciso sera de la manera siguiente.

Teorema 3: Sean f y g funciones definidas en sendos inter-valos abiertos. Sea a Dom(f) tal que b = f (a) Dom(g).Supongamos que f es diferenciable en el punto a, y que ges diferenciable en el punto b. Entonces la funcin g f esdiferenciable en a y se tiene

(g f)0 (a) = g0 (b) f 0 (a) (11)

En los ejercicios al final del captulo se puede encontrar un conjunto deinstrucciones para la demostracin del teorema.


Cuando las condiciones se cumplen en todos los puntos de ambos do-minios, la funcin compuesta es derivable y la expresin (11) toma la formams usada

(g f)0 (x) = g0 (f (x)) f 0 (x) . (12)Sin embargo insistimos en la utilidad prctica de la versin (10) de la regla.

Ejemplos.-

2. Ya se dijo que ddyy1 = 1

y2= y2. Ahora 1

g(x) puede considerarse

como una composicin: [g (x)]1. Luego

ddx

1

g (x)=

1[g (x)]2

g0 (x) .

Se recupera por otro camino el caso particular no 7 de las reglas dederivacin.

3. xn = (xn)1. Nuevamente, usando la regla de la cadena,

dxn

dx= (xn)2 .nxn1 = (n)x2n+n1 =

= (n)xn1.

Esto es, llamando m = n,dxm

dx= mxm1.

La frmula (9) es vlida para potencias enteras, no slo para naturales.

4. Si aceptamos provisionalmente la hiptesis de que mx es derivable,

digamos para x > 0 (para no meternos con los casos de paridad dem), como ( m

x)m = x, derivando miembro a miembro y usando la

regla de la cadena tendremos

mmxm1 d mx

dx= 1.

Luego,d mx

dx=1

m1

( mx)m1

.

Pensando la raz como un exponente fraccionario, el denominador

( mx)m1 =

h(x)

1mim1

= x11m . Esto extiende la validez de la fr-

mula (9) a este tipo de exponentes:

dx1m

dx=1

mx1m1.

2.5. Algunas aplicaciones 75

5. Pero aceptada la derivabilidad de las races, si r = nm

es cualquier

racional, xr = (xn)1m . Volviendo a usar la tcnica de derivacin de la

composicin se obtiene

dxr

dx=1

m(xn)

1m1 nxn1 = n

mxnmn+n1.

Esto es,dxr

dx= rxr1, x > 0, r Q (13)

Ejercicios:

Hallar las derivadas de las funciones siguientes:

43. (x+ 1)8 44. (2x 5)12

45. (senx)3 46. sen 2x

47. sen

x+ 1x

48. x+1sen 2x

49.2x2 + 3

3 50. cos (sen 5x)51. sen

h(2x+ 5)2

i52. sen [cos (x+ 1)]

53. 1(3x1)4 54.

1(4x)3

55. 1(sen 2x)2

56. 1sen 3x

57. senx cosx 58.x3 + 2x

(sen 3x)

59. 1senx+cosx 60.x+1cos 2x

Dar la ecuacin de la recta tangente a las curvas siguientesen el punto indicado.

64. y = senx, x = 2 65. y = cosx, x =6

66. y = tan 3x, x = 4 67. y =1

tanx , x =4

68. y = tan x2 , x =2 69. y = cos

x3 , x = 1

70. y = senx, x = 12


2.5 Algunas aplicaciones

Diferenciacin implcita

Como se vi hacia el final de la seccin 1.3., muchas veces una curvaplana viene descripta por una ecuacin en dos variables (F (x, y) = 0) yno como grfico de una funcin. En general, dado un punto (x0, y0) de lacurva, habr un intervalo (a, b) alrededor de x0 en el cual la curva coincidecon el grfico de una funcin y = (x). En ese caso la pendiente de la curvaen el punto (x0, y0) sera 0 (x0), y estaramos listos para calcular la rectatangente. Las condicioes tericas que debe cumplir la ecuacin para queuna de las variables se pueda poner en funcin de la otra es un interesanteproblema matemtico que excede los objetivos de este libro. Pero msinteresante an es ver que, aplicando la regla de la cadena (y admitiendola existencia) es posible calcular la derivada de la funcin que explicitaraa la variable. Esto permite calcular la recta tangente tambin en casos decurvas implcitas.

Ejemplos.

1. Tomemos un ejemplo muy simple. La ecuacin implcita es x2+y2 =1. Conocemos la curva. Se trata de un crculo de radio 1 con centroen el origen. Despejando y en la ecuacin, el semicrculo superior(sin los puntos extremos) es el grfico de la funcin : (1, 1) Rdada por (x) =

1 x2; el inferior responde a (x) =

1 x2.

En cualquier punto (x, y) distinto de (1, 0) y de (1, 0) se puedecalcular la pendiente

dydx= 2x

21 x2

= x1 x2

= xy = xy.

Lo que decimos ahora es que, usando la regla de la cadena y la suposi-cin de que la funcin explcita () existe, tambin se puede calcularla pendiente sin hacer antes el despeje de la variable y. En efecto,sabiendo que y = (x) , usamos la regla de la cadena para derivarmiembro a miembro la ecuacin x2 + y2 = 1. Se obtiene:

2x+ 2ydydx= 0.

Sigue que dydx= x

y. Resultado ya confirmado por el mtodo explcito.

La primera observacin es que la pendiente queda en funcin de lasdos variables. La segunda observacin es que no se puede calcular


cuando y = 0.. Hay exactamente dos puntos en los que no es posibleexplicitar (localmente, cerca del punto) y en funcin de x. Sonaquellos en los cuales la tangente al crculo es vertical. La condicin"y = 0" los identifica, pues sumado con que el punto verifique laecuacin del crculo y = 0 P = (1, 0) o P = (1, 0)

Tangentes verticales

(1,0) punto donde y=0

figura 2.11

En cualquier otro punto hay tangente no vertical y la tcnica permitecalcularla. Cmo se resuelve la cuestin de que dy

dxdependa de

y?. Depende del caso. Si el objeto del problema es calcular la rectatangente en un punto de absisa , por ejemplo, 12 , hay dos de esos

puntos. Resolviendo12

2+ y2 = 1, surgen y =

32 , y =

32 . Eso

da dos rectas tangentes:

y 3

2=

1232

x 1

2

, y +

3

2=

12

32

x 1

2

.

Esto es,

y 3

2=

3

3

x 1

2

, y +

3

2=

3

3

x 1

2

.


210-1-2

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

figura 2.12

2. Consideremos la curva implcita x3+3x2y+2xy2+2y3 = 8. No parecerazonable intentar despejar y. Con derivacin implcita, suponiendoque y = y (x) ,

3x2 + 32xy + x2

dydx

+ 2

y2 + 2xy

dydx

+ 6y2

dydx

= 0.

dydx

3x2 + 4xy + 6y2

+3x2 + 6xy + 2y2

= 0.

Entonces,dydx= 3x

2 + 6xy + 2y2

3x2 + 4xy + 6y2.

Los puntos que quedan excluidos del clculo de pendiente verificanla ecuacin de la curva y anulan el denominador de la derivada. Elpunto (1, 1) pertenece a la curva y no anula el denominador. Se puedecalcular la pendiente de la curva en ese punto

dydx

(1,1)

= 1113.

La recta tangente a la curva dada en el punto (1, 1) tiene ecuacin

y 1 = 1113(x 1) .


Mostramos a continuacin un grfico de curva y recta generados conun ordenador.

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

figura 2.13. x3 + 3x2y + 2xy2 + 2y3 = 8

Ejercicios

Hallar dydxen trminos de x y y en las siguientes ecuaciones.

71. x2 + xy = 2 72. (x 3)2 + (y + 1)2 = 37

73. y2 + 2x2y + x = 0 74. x2y2 = x2 + y2

Hallar la recta tangente a las siguientes curvas en los puntosindicados.

75. x2y2 = 9, en (1, 3)

76. 2x2 y3 + 4xy 2x = 0, en (1,2)

Razones de cambio relacionadas

En muchas situaciones aparece un grupo de magnitudes variables rela-cionadas por ecuaciones y todas ellas dependientes de otra variable (porlo general el tiempo). Interesa extraer informacin acerca de la razn decambio de una variable a partir de la razn de cambio conocida de otra,ambas razones respecto de la variable independiente comn. Estos proble-


mas suelen encontrar interesantes soluciones con tcnicas de diferenciacinimplcita. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos:

3. Para una escena de una pelcula, se necesit calcular la velocidad conque viajaba el haz de luz de un faro por cierta carretera. Por supuestono se trata de una velocidad constante; en el punto de la carreterams cercano al faro la velocidad es mnima y aumenta alejndose del. Hubo que poner un sistema de coordenadas sobre la carretera y larespuesta al problema fue calcular dx

dt, siendo x (t) la posicin de la

interseccin del haz de luz con la carretera en el instante t. Los dosnicos datos necesarios son la distancia del faro al punto ms cercanode la carretera (2km) y el tiempo de una revolucin de la luz del faro(3min).Se tom el origen de coordenadas en el punto ms cercano al faro y laorientacin positiva en el sentido de viaje del haz de luz. Se adoptaroncomo unidades de medicin: minutos para el tiempo, metros para lasdistancias y radianes para los ngulos.

m2000

0 x

faro

figura 2.14

El esquema adoptado implica que x2000 = tan . La velocidad de girodel faro significa que d

dt= 23 , constante. Para obtener

dxdt, se deriva

(respecto de t) la expresin x = 2000 tan .

dxdt= 2000

1

cos2 ddt=40003 cos2

.

La velocidad viene en funcin del ngulo , que es mejor que enfuncin de t. Si se quiere conocer en funcin de la posicin x, habraque saber despejar en x = 2000 tan . Eso se ver pronto, en elcaptulo sobre funciones inversas.


4. Cierto hongo invade la gramilla creciendo en crculo desde el punto deinvasin. Su capacidad de crecimiento est limitada por la longituddel crculo que puede defender, crculo que puede aumentar a unatasa fija de 43cm por da. Con qu rapidez est aumentando el reainvadida cuando su dimetro mide 4m?Si llamamos A al rea del disco y C a su sircunferencia, las relacionescon el radio r son: C = 2r y A = r2. Diferenciando respecto det se obtiene

dAdt= 2r

drdt,

dCdt= 2

drdt= 0.43.

Luego

dAdt= 2r 0.43

2= 0.43r.

dAdt

r=2

= 0.43 2 = 0.86

Como hemos tomado todos los tiempos en das y las distancias enmetros, el resultado obtenido debe interpretarse en esas unidades. Elrea invadida est creciendo a razn de 0.86 metros cuadrados por da.

Ejercicios

Algunas frmulas tiles

Volumen de una bola de radio r: V = 43r3

Area de una esfera de radio r: A = 4r2

Volumen de un cono de altura h y radio de la base r: V = 13r2h

Area de un disco de radio r: A = r2

Longitud de una circunferencia de radio r: c = 2


77. En el tringulo rectngulo de la figura, suponer que estdecreciendo a razn de 130rad/seg. Hallar cada una de lasderivadas indicadas:

x

y

z

figura 2.15

a. dydt,cuando = 3 si x es constante, x = 12

b. dzdt, cuando = 4 si y es constante, y = 10

2

c. dxdt, cuando x = 1 si x e y estn cambiando, pero z esconstante, z = 2

78. Un cubo se expande de manera que su lado est cambiando arazn de 5cm/seg. Hallar la razn de cambio de su volumencuando la arista mide 4cm.

79. Hay un farol en lo alto de un poste a 6.10m del suelo. Unamujer de 1.53m de altura camina alejndose del poste. Hallarla razn a la que cambia su sombra si ella camina a razn de1.22m/seg.

80. Un depsito tiene forma de cono con el vrtice hacia abajo, de3.3m de altura y con la boca, circular, de 1.22m de radio. Sevierte agua en el depsito a razn de 0.15m3/min. Con qurapidez est subiendo el nivel del agua cuando la profundidades de 1.5m?

Vector tangente

Para una curva paramtrica, tal como fue definida al final de la seccin1.3.,

x = f (t)y = g (t)

a < t < b,

se define el vector tangente en el punto (f (t0) , g (t0)) por

V = (f 0 (t0) , g0 (t0)). (14)

Una curva paramtrica es la versin matemtica de la posicin en el instantet de un punto (x, y) que se mueve en el plano. El vector tangente as


definido es el vector velocidad. Sus componentes son las velocidades de las"sombras" del punto sobre los ejes coordenados.

Un vector es un segmento orientado que se puede mover libremente porel plano. Bastan para definirlo las coordenadas de su punta cuando suorigen est puesto en el origen de coordenadas. Es en este sentido que debeentenderse la frmula (14) . Para la representacin grfica del vector (u, v),entonces, se considera la "flecha" que va desde el origen al punto (u, v) ydespus, con una traslacin, se la ubica donde nos resulte ms significativa.

( )vu,

u

v

V

figura 2.16

El largo de la flecha se denomina mdulo del vector y est medido por ladistancia del punto (u, v) al origen:

|V | = dist [(u, v) , (0, 0)] =pu2 + v2.

Los vectores se pueden multiplicar por escalares, esto es por nmerosreales.

V = (u, v) = (u, v) .

El efecto que se produce es de acortamiento si || < 1 y de alargamiento si|| > 1, con inversin del sentido si < 0. Todo vector se puede representarcomo el producto de un escalar no negativo por un versor : un vector demdulo 1 que lleva la informacin de direccin y sentido

V = |V |1

|V |V

En el caso del vector tangente, el versor

T =1

|V |V


es llamado el versor tangente o vector tangente unitario. El vector tangentesiempre se grafica con el origen en el punto (x, y) en el cual se produce latangencia.

( ) ( )( )00 ',' tgtf

( )00 , yxV

figura 2.17

En la situacin ms especfica del punto que se mueve en el plano, elvector tangente unitario indica la direccin y sentido con que partira elpunto si sobre l dejasen de actuar las fuerzas que lo llevan por la trayectoriacurvilnea. El mdulo es la rapidez con que el punto se mueve en ese instante.

Ejemplo: Calcular el vector tangente a la curvax =

2 sen t

y = cos 2t

en el punto (0, 1).

Para aplicar la frmula (14) que define el vector tangente, hace faltaconocer el valor de t que corresponde al punto (0, 1) . Para ese t se debeverificar

2 sen t = 0cos 2t = 1.

La primera ecuacin implica que t es un mltiplo entero de . La segundaque 2t es un mltiplo entero de 2. que es la misma cosa. Si no serestringe el dominio de variacin de t, la curva pasa muchas veces por elpunto (0, 1) . Calculemos el vector tangente correspondiente a t = k con


k un entero genrico

dxdt

t=k

=2 cos t

t=k

= (1)k2,

dydt

t=k

= 2 sen 2t|t=k = 0.

Luego V =2, 0si k es par y V =

2, 0si k es impar.

Una representacin grfica nos puede ayudar a comprender el fenmeno.Conviene notar que y = cos2 t sen2 t. De modo que y + x2 = cos2 t +sen2 t = 1. Esto prueba que la curva est contenida en la parbola y =1 x2, pero es claro que no puede llenarla, porque siendo, para cualquiervalor de , |sen| 1 y |cos| 1, ser, para cualquir punto (x, y) de lacurva, |x| 2 y |y| 1. La curva es la porcin de parbola comprendidaen el rectngulo

2,2 [1, 1] . Una tabla de valores nos har ver que

al correr el tiempo t, el punto (x, y) recorre la curva con un movimientode vaivn, pasando una y otra vez por el punto (0, 1), de ida y de vuelta,lo que explica por qu una vez la tangente mira hacia un lado y la siguientehacia el otro. El ejercicio 84. develar qu pasa con el vector tangente(la velocidad) cuando el punto llega a los extremos de la curva y emprendeel regreso. La figura 2.18 muestra un vector tangente correspondiente at = 2k.

1 1 2

2

1

1

x

y

figura 2.18


Ejercicios:

Calcular el vector tangente a la curva dada en el punto indi-cado

81.

x = cos ty = sen t

en

22 ,

22

82.

x = cos 2ty = sen 2t

en

22 ,

22

83.

x = 5ty = 5t2 + 5t en t = 0 y en t = 1

84.

x = cos 2ty = sen t

en t = 32

2.6 Derivadas de orden superior

Si la funcin f es derivable en un intervalo, es posible que su derivadaf 0 sea a su vez derivable. Si as ocurre, tendremos la funcin derivada def 0, digamos (f 0)0, a la que denotaremos directamente f 00 (f segunda).Y esto cuantas veces se pueda, da orige a derivadas de orden superior. Ladefinicin de estas derivadas sucesivas es inductiva, y se usan las notacionesque describimos a continuacin:

f (n) (x) =hf (n1)

i0(x) .

dnydxn

=ddx

dn1ydxn1

.

Para valores chicos de n se usan primas repetidas: f 0, f 00, f 000 en vez def (1), f (2), f (3). Para la simetra de algunas frmulas es tambin convenienteaceptar f (0) = f .

Las derivadas de orden superior son de utilidad para aproximacin defunciones. Por el momento, nos interesamos especialmente en la derivadasegunda por su significado fsico. Si x = s (t) es la posicin en el instante tde un punto que se mueve sobre una recta, la razn de cambio instantneav (t) = s0 (t) es la velocidad. La razn de cambio de la velocidad, a (t) =v0 (t) = s00 (t) es la aceleracin. Aqu se comienza a vislumbrar la obra deNewton3. Su segunda ley postula que mientras una fuerza F acta sobre

3 Isaac Newton, fsico ingls, 1642-1727

2.6. Derivadas de orden superior 87

una partcula de masa m, se produce una aceleracin a tal que

F = ma. (15)

Si la fuerza que acta es constante (como en la cada libre), la aceleracintambin lo es. Por eso son interesantes los movimientos uniformementeacelerados. Supongamos entonces un caso de fuerza (luego aceleracin)constante. Pensando fsicamente uno espera que, si se conoce la posicin yla velocidad de una partcula en el instante inicial (x0 y v0), y se conoceadems la fuerza que acta sobre ella, podremos predecir dnde estar lapartcula en cada instante posterior. Se comienza tratando de encontrar lavelocidad v (t) en el instante t. Se busca entonces una funcin tal que:

v0 (t) = a, t > 0 (ED)

v (0) = v0. (CI)

(ED) es una ecuacin diferencial. La incgnita no es un nmero sinouna funcin y en la ecuacin aparecen derivadas (de algn orden) de lafuncin. (CI) es una condicin inicial. Ambas,(ED) + (CI), constituyen unproblema de valores iniciales. Una solucin de (PVI) ser una funcin vque satisfaga ambas condiciones. En este caso, una solucin evidente para(ED) es v (t) = at + k, con k cualquier constante. Para que satisfagatambin (CI), de a 0 + k = v0, se deduce que debe ser k = v0. Tenemosas una solucin: v (t) = v0 + at. Se puede intentar repetir la adivinacin.Conocemos una funcin s (t) tal que:

s0 (t) = v0 + ats (0) = x0

? (PVI1)

Nuevamente hay soluciones evidentes: s (t) = v0t+ 12at2+k, con k cualquier

constante es solucin de la ED. Para satisfacer tambin la CI volvemos areemplazar 0 en t para obtener: x0 = s (0) = v0 0 + 12a 02 + k = k.Luego,

x = s (t) = x0 + v0t+1

2at2.

No hemos probado que las soluciones encontradas "a ojo" sean las nicas.Pero lo son. La prueba es una deuda. El problema se podra haber planteadode una sola vez

s00 (t) = a, t > 0s0 (0) = v0s (0) = x0

(PVI2)


Ejercicios

Calcular las siguientes derivadas de orden superior:

85. segunda derivada dex2 + 1

5 .86. sptima de x7 + 5x 1.

87. d3

dx3

x3 + 2x 5

88. cuarta derivada de cosx

89. f (7)(x), para f(x) = senx.

90. Una partcula se mueve de modo que en el instante t su posi-cin est dada por

s(t) = t3 2t

En qu instantes es la aceleracin iguala a

a) 1 b) 0 c) 5

91. Sea n un entero no negativo. Calcular

dkxn

dxky

dkxn

dxk

x=0

,

para k Z, 0 k < n, k = n y k > n

92. Un objeto viaja sobre una recta con una velocidad dada por lafuncin v(t) = 4t5. Hallar la aceleracin en el instante t = 2.

93. Dado un polinomio

p (x) = a0 + a1x+ ...+ anxn, (16)

encontrar una funcin f tal que f 0 (x) = p (x) .

94. Dado un polinomio como en (16) y un nmero real b en-contrar una funcin f que resuelva el problema de valoresiniciales (PVI)

f 0 (x) = p (x)f (0) = b

2.7. Complementos 89

95. En el instante t = 0, un objeto pasa hacia arriba por unaplataforma a 10m de altura, con una velocidad de 2m/seg.Slo acta sobre l la fuerza de la gravedad, que le imprimeuna aceleracin de 9.8m/seg2. Cundo llegar al suelo?

2.7 Complementos

Ejercicios

96. Si limxa f (x) = 0, dado > 0 en cualquier entorno reducido de aexiste x tal que |f (x)| < .Hint. Usar la propiedad 5 con las funciones |f | y .

97. Probar que limxa f (x) = 0 si y slo si limxa |f (x)| = 0Hint. |y| = sg (y) y con sg una funcin acotada.

98. Una escalera de 5.20m de largo est apoyade en una pared vertical. Si elextremo inferior de la escalera se est alejando a razn de 0.92m/seg,con qu rapidez desciende la parte superior cuando el extremo inferiorse encuentra a 2.45m de la pared?

99. Una rueda de feria de 15m de dimetro efecta una revolucin cada2min. Si el centro de la rueda est a 9m del suelo, con qu rapidez semueve verticalmente un pasajero cuando l est a 13m sobre el suelo?.

100. Un globo se est elevando desde el punto P . Un observador O, situadoa 91m de ese punto, dirige su mirada hacia el globo. El ngulo queforma la direccin de la mirada del observador con la horizontal crecea razn de 0, 3 rad/seg. Hallar la razn con la que est creciendo ladistancia del globo al suelo cuando:

1. = 4 2. =3 3. cos = 0.2

4. sen = 0.3 5. tan = 4

101. Una escalera de 9m de largo est apoyada sobre una pared. Suponiendoque la parte inferior de la escalera se desliza alejndose de la pared arazn de 0.9m/seg, Con qu rapidez est cambiando el ngulo entre laescalera y el suelo cuando la parte inferior est a 4.5m de la pared?.

102. Hallar


a. f 0(x), la pendiente de la grfica de f en el punto de absisa 2 y larecta tangente en ese punto.para f(x) = x2 + 1.

b. d(2x3)

dx

c. ddx( 2x+1).

d. dcdx, donde c es una constante cualquiera

103. Consideremos el polinomio de primer grado T definido en (3) . Obser-var que T (a) = f (a) y T 0 (a) = f 0 (a) . Puede haber otro polinomiode primer grado distinto con estas dos propiedades?

104. Otra manera de mirar la aproximacin de f por T : Probar que sif es diferenciable en el punto a, entonces existe una funcin (x)tal que:

1.- limxa (x) = 02.- (f T ) (x) = (x) (x a).

Deducir de all que, en este caso,

f (x) f (a) =f 0 (a) + (x)

(x a) (17)

105. Seguir estas instrucciones para completar una demostracin de la reglade la cadena:

a. Aplicando (17) a f en a y a g en b, se tendrn dos funciones, con limxa (x) = limyb (y) = 0, tales que, adems de(17), tambin vale g (y) g (b) = [g0 (b) + (y)] (y b) .

b. Con estos elementos se puede hacer una buena evaluacin del in-cremento de la composicin:

g f (x) g f (a) = g (f (x)) g (b) ==

g0 (b) + (f (x))

[f (x) f (a)] =

=g0 (b) + (f (x))

f 0 (a) + (x)

(x a) ,

y, a fortiori, del cociente incremental

g f (x) g f (a)x a =

g0 (b) + (f (x))

f 0 (a) + (x)

.

c. Para terminar, slo habr que dejar que x a, observando que,por diferenciable, f es continua y limxa f (x) = b.

2.7. Complementos 91

106. Comprobar que las funciones

u (t) = cost

u (t) = sent

son soluciones de la ecuacin diferencial (ED)

d2

dt2u+ 2u = 0 (18)

Comprobar que cualquier combinacin lineal

u (t) = A cost+B sent

es tambin solucin de (18)

107. Encontrar una solucin del PVI

d2

dt2u+ 2u = 0

dudt

t=0

= Pu (0) = Q

108. Un resorte (ideal) suspendido del techo se estira 1cm cuando se lecuelga una pesa de 1din. Lo descolgamos y trabaja ahora horizon-talmente y sin rozamiento, con una masa de 1gr en su extremo libre.En el instante t = 0 est comprimido 1cm y se sigue comprimiendo arazn de 0.1 cmseg . Suponiendo que el origen de coordenadas (lineales)est puesto en el punto de equilibrio del resorte, el cual se comprimehacia la izquierda y se estira hacia la derecha, calcular la funcin posi-cin x = x(t).Recordar que 1 dina es la fuerza que provoca a una masa de 1 gramo unaaceleracin de 1 cm/seg2 y que la aceleracin de la gravedad es aproximada-mente 1000cm/seg2.

109. Consideramos el polinomio de (16) y sus n primeras derivadas enel origen:

p0 (0) , p00 (0) , ..., p(n) (0) .

Encontrar relaciones entre p(j) (0) y aj , j = 0, 1, ..., n. Deducir queun polinomio de grado no mayor que n queda determinado por losvalores de sus derivadas de orden 0 hasta n en el origen (n + 1nmeros). Esto es, dados n + 1 nmeros c0, ..., cn existe un nicopolinomio P con grP n 4 tal que P (k) (0) = ck, k = 0, 1, ..., n.

4Cuando hablamos de polinomios con grado menor o igual que n incluimos entre ellosal polinomio 0, que en realidad no tiene grado.

cap2calculo

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