CAP IV DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

• Distribución de probabilidad• Función de densidad• Distribuciones discretas• Distribuciones continuas• Variables bidimensionales• Esperanza matemática• Omentos centrales

• Una distribución de probabilidad es un modelo matemático que asocia valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades

• Modelo matemático que relaciona cada valor posible de una VA con su probabilidad de ocurrencia en la población.

Función de distribución Acumulada

• función que a cada valor posible de una V.A. le asigna la probabilidad de que la variable sea menor o igual que ese valor.

• FX (r) = P(X ≤ r)

• siendo FX la función de distribución acumulada de la variable aleatoria “X”

• Tipos de distribuciones de probabilidadDiscretas: distribuciones de VA`s discretasContinuas: distribuciones de VA`s continuas

Variable aleatoria

• Variable aleatoria (VA): variable que toma ciertos valores con determinadas probabilidades.

• Se utilizan letras mayúsculas para designar las variables aleatoria: X, Y, Z; y sus respectivas letras minúsculas para los valores concretos de las mismas: x, y, z.

Tipos de variable aleatoria

• Variable aleatoria discreta Es la que solo puede tomar una cantidad numerable de valores.

• Variable aleatoria continua Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real.

Ejemplos: Variables aleatorias• Cant. de artículos defectuosos• Cant. de autos que pasan por una

esquina• Cant. de personas que padecen

una cierta enfermedad

• Vida útil de un dispositivo• Peso promedio de una población• Proporción de alcohol de un

compuesto

V.A.discreta

V.A.contínua

Toma un n°. finito oinfinito numerablede valores posibles

x1, x2, x3,…xn,…

Toma valores dentrode un intervalo I

de números realesI ⊂ R

PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA

• Como los valores de una variable aleatoria X dependen de los resultados de un experimento aleatorio, entonces se pueden asociar probabilidades a los valores de una variable aleatoria

• Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que denotaremos por Px, o P(X=xi) = p(xi)

EJEMPLO

• Sea el experimento «Extraer independientemente dos artículos de un proceso de producción» y se define la variable aleatoria X= N° de artículos defectuosos. Supongamos que el 5% de los artículos son defectuososa) Hallar los valores que asume Xb) Determinar la probabilidad en los valores de X

SOLUCION

a) Los valores que asume X son• X = 0,1,2• Esto significa que en un proceso de producción puede

ocurrir que no exista articulo defectuoso o que haya un articulo defectuoso o los dos artículos extraídos sean defectuosos

b) Para cada caso considerado calculamos su probabilidad• P(X=0) = p(0) = p(bb) = (0.95)2 = 0.9025• P(X=1) = p(1) = p(bd,db) = 2 P(d)P(b)= 2(0.95)(0.05)=0.095• P(X=2) = p(2) = p(dd) = (0.05)2 = 0.025

• Los valores que toma X, junto con sus respectivas probabilidades, se puede representar en la sgte. tabla

X P(x)

012

0.90250.09500.0025

TOTAL 1.0000

EJEMPLO

• Sea el experimento: Lanzar 3 monedas y observar el resultado. Se define la funcion X=«numero de caras obtenidas en las tres monedas». Hallara) El espacio muestralb) El recorrido de la variable aleatoriac) La probabilidad asociada al experimento

SOLUCION

a) El espacio muestral asociado a este experimento esΩ = ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss

b) En este espacio muestral, X es una variable aleatoria cuyo rango es el conjunto

• Rx = 0,1,2,3– Donde

• X=0, corresponde al evento: (sss)• X=1, corresponde a los eventos: (css), (scs) y (ssc)• X=2, corresponde a los eventos: (ccs), (csc) y (scc)• X=3, corresponde al evento: (ccc)

SOLUCION

c) Por lo tanto, las probabilidades son:• P[X=0] = P[(sss)] = 1/8• P[X=1] = P[(css),(scs),(ssc)] = 3/8• P[X=2] = P[(ccs),(csc),(scc)] = 3/8• P[X=3] = P[(ccc)] = 1/8

X P(x)

0123

1/83/83/81/8

TOTAL 1.0000

Tabla de distribución de probabilidad

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. DISCRETA:

• Es la función que asocia a cada valor x de la V.A. X su probabilidad p. y se cumple que:

• Los valores que toma una V.A. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de probabilidad:X x1 x2 ... xn

P(X=xi) p1 p2 ... pn

EJERCICIO

• Consideremos el experimento de lanzar un dado y definimos la variable aleatoria X=numero que aparece en la cara superior del dado determinara) Los valores que toma Xb) La función de probabilidad de Xc) Encontrar, si es posible, una función que

relacione las probabilidades con los valores que toma X

SOLUCION

a) X= 1,2,3,4,5,6b) Asumiendo que el dado es normal, entonces todos

los números tienen la misma probabilidad de salir, por lo tanto, la función de probabilidad de X es:

X P(x)

0123456

1/61/61/61/61/61/61/6

TOTAL 1.0000

c) Como las probabilidades de cualquier valor que toma X son las mismas, entonces:

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

• Al igual que la estadística básica, aquí también se pueden representar o sumar las probabilidades individuales y así hallar las probabilidades acumuladas

• A todo esto se llama FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD y se le representa en una tabla

EJERCICIO

• Los resultados de una inspección de calidad en unos artículos de plástico indican que el 70% aprobó la primera inspección, el 60% la segunda inspección y solo un 8% no aprobó inspección alguna. Construya la función de probabilidad de la variable aleatoria X=N° de inspecciones aprobadas por producto escogido al azar.

Solución

• Los valores que pueden tomar X son 0,1,2 es decir: X= 0,1,2

• Para hallar las probabilidades de los valores que toma X, usaremos un diagrama de Venn

0.08

Ω A B

Donde A= aprobaron la primera inspección B= aprobaron la segunda inspección

Luego

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)0.92 = 0.7 + 0.6 - P(A∩B) P(A∩B) = 0.38

Solución

• Entonces la función de probabilidad es:

• El grafico de una función de probabilidad puede ser

X P(x) F(x)

012

0.080.540.38

0.080.621.00

TOTAL 1.00

0 1 2 x

0.10.20.3

0.40.50.6

Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

• Valor esperado: promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro

• Donde:– μ = Media de la distribución– xi = Valores que toma la variable– E(x) = Valor esperado de x– P(xi) = Probabilidad asociada a cada uno de los valores de la

variable x

𝜇=𝐸 (𝑥 )=∑ 𝑥 𝑖∗𝑝 (𝑥 𝑖)

Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

• Desviación estándar: es una medida de dispersión absoluta expresada en las mismas unidades de la variable aleatoria X

• Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza• Para determinar la Varianza de la distribución se utiliza

la sgte. fórmula𝑉 (𝑋 )= ∑

∀ 𝑥∈𝑅𝑥(𝑥 𝑖−𝜇𝑥 )2𝑝 (𝑥𝑖) 𝑉 (𝑋 )=𝐸 (𝑥2 )− (𝜇𝑥 )2

Donde: V(X) = Varianza xi = valores que toma la variable x μ = media o valor esperado de x p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x

• Lo que es lo mismo expresar la varianza como:

• Observación: la media y la desviación estandar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta

𝑉 (𝑋 )=𝐸 (𝑥2 )− [𝐸(𝑥 )]2

Ejercicio

• Calcular la media de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X que se define como «N° de caras cuando se lanzan cuatro monedas»

SOLUCION

• La distribución de probabilidad de X es:xi p(x) xi*p(x)

01234

1/164/166/164/161/16

04/1612/1612/164/16

TOTAL 1,00 32/16

La media de la variable aleatoria X, es

𝜇=𝐸 [ 𝑋 ]=∑𝑖=0

4

𝑥𝑖∗𝑝 (𝑥𝑖)

𝜇=0 ( 116 )+1( 416 )+2( 616 )+3( 416 )+4 ( 116 )𝜇=( 3216 )=2

Esto significa que si se lanzan 4 monedas, muchas veces, en promedio se obtendrán2 caras por lanzamiento

Ejercicio

• Supongamos que la variable aleatoria X: numero de fallas que tiene una maquina por día, tiene la siguiente distribución de probabilidad.a) Determinar e interpretar el valor esperado de Xb) Calcular σx

SOLUCION

a) Media

𝜇=𝐸 [ 𝑋 ]=∑𝑖=0

6

𝑥𝑖∗𝑝 (𝑥 𝑖 )

x p(x) xi*p(x)

0123456

0.100.150.200.300.130.080.04

00.150.400.900.520.400.24

TOTAL 1.00 2.61𝜇=0+1 (0.15 )+2 (0.20 )+…+6 (0.04 )𝜇=2.61

Lo que significa que se espera que aproximadamente la maquina tenga 3 fallas por día

b) Varianza (V(X)

𝑉 (𝑋 )=𝐸 (𝑥2 )− [𝐸(𝑥 )]2 𝐸 (𝑥2 )=∑𝑥=0

6

𝑥2∗𝑝 (𝑥 )

𝐸 (𝑥2 )=(02 ) (0.10 )+…+(62 ) (0.04 )=9.17

= 2.3579

Luego la desviación estándar esta dada por:

𝜎 𝑥=√2.3579=1.536

Lo que significa que se tiene una variación de 2 fallas por día

Probabilidad de una variable continua

• Hasta ahora se ha visto las variables aleatorias de naturaleza discreta es decir que se pueden contar

• Sin embargo hay variables que asumen valores que no se pueden contar ya que toman infinitos valores en un intervalo de números reales

Ejemplo

• ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla de luz tenga una vida útil de 1000 horas

• Es muy probable que nunca se observe exactamente esa duración (P=0),

• En cambio si la pregunta fuera ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla dure al menos 1000 horas?

• Esto generaría un histograma como este

• Así la probabilidad de que una bombilla dure por lo menos 1000 horas es equivalente a la proporción de área entre 0 y 1000

• Bajo otro contexto, se puede construir un modelo matemático teórico de la curva de frecuencias y calcular el área bajo esta curva en el intervalo [0;1000], utilizando el concepto de INTEGRACION

FUNCION DE DENSIDAD

• La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria CONTINUA Se denota por f(x), y que satisface las siguientes condicionesa) F(X) ≥ 0, para todo x ε R

b)

∫𝑅𝑥

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=1

Significa que el área bajo la curva y=f(x) a lo largo de su dominio es 1

c) Para todo a, b ε Rx con a ≤ b, el área de la región delimitada por las curvas:

• y=f(x)• y=0• x=a• x=b

Es 𝑃 [𝑎≤ 𝑥≤𝑏 ]=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

ba x0

vy = f(x)

Si X es una variable aleatoria continua, entonces se tiene cualquiera de las siguientes expresiones

Ejercicio

• Sea f(x) una función de densidad para alguna variable aleatoria X

a) Verificar si f(x) es una función de densidad para alguna variable aleatoria X

b) Calcular P[0<X<=1]

𝑓 (𝑥)3𝑥2

8

0

𝑠𝑖𝑥∈ [0,2 ]

𝑠𝑖𝑥∉ [0,2 ]

SOLUCION

a) El área bajo la curva y=f(x) a lo largo de su dominio debe ser igual a 1; entonces

∫0

238𝑥2𝑑𝑥=[ 3 𝑥23(8) ]0

2

=[ 𝑥38 ]2

0

=1

21x

0

y

3/2

F(x)

• b) P[0<X<=1]=

∫0

138𝑥2𝑑𝑥=[ 𝑥38 ]

0

1

=18

Valor esperado y varianza de una variable aleatoria

• Media o valor esperado:

• Donde:– μ=E(x)=media o valor esperado– x=valor de la variable aleatoria– f(x)=función de densidad de la distribución de

probabilidad

𝜇=𝐸 ( 𝑋 )=∫−∞

∞

𝑥𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Ejercicio

• La vida útil de un objeto en miles de horas es una variable aleatoria continua X cuya función de densidad de probabilidad es

• Calcular la esperanza de vida del objeto

𝑓 (𝑥 )= 1− 𝑥2 ,𝑠𝑖0≤ 𝑥≤2¿0 ,𝑒𝑛𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

SOLUCION

• Aplicando la ec.

• En consecuencia puede esperarse que la vida útil promedio del objeto sea de 2/3 (1000) = 666.67 horas

E 2

0

• La desviación estándar de una distribución continua

𝜎 2=𝑉𝑎𝑟 [𝑋 ]=𝐸 [ ( 𝑋−𝜇)2 ]=∫−∞

∞

(𝑥−𝜇 )2 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Función de densidad de probabilidad (VA`s continuas)

• Es una función que permite calcular la probabilidad de que una V.A. continua se encuentre en un cierto intervalo.

• Valor esperado de una VA: valor promedio de la VA en un gran número de experimentos.

• Varianza de una VA: medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de la VA.