CAOS, FLUIDOS Y FLUJOS Por Luis Fernando Herrera Daz. Keywords: Caos, Fractales, Mezcla, Mezclado. RESUMEN Desde hace aproximadamente 30 aos el mundo de la ciencia se revolucion debido al nacimiento de un nuevo paradigma: a esta forma de ver el mundo se le conoce con el nombre de Teora del Caos. En su corta vida ya ha tocado todas las ramas del conocimiento, incluyendo por supuesto la Ingeniera dice Mora (1998). Es as como muchos de los reconocidos ingenieros como Aris en el campo de los reactores qumicos, Froment en catlisis heterognea, Coppens que investiga los fenmenos de difusin y reaccin en las redes que presentan las Zeolitas, Julio Ottino en la mezcla de fluidos, han comenzado a replantear viejos esquemas a travs de esta teora. El presente artculo busca mostrar los principales conceptos en los que se basa la teora del caos, a travs de ejemplos sencillos y de mostrar principalmente una de sus relaciones con la ingeniera qumica como es el flujo y la mezcla de fluidos.

1. Introduccin: La forma que ha escogido la ciencia y por tanto la ingeniera para representar un fenmeno, son los modelos, los cuales estn construidos por ecuaciones ya sean algebraicas o diferenciales, por esto gran parte de la formacin de los cientficos e ingenieros, est dedicada a la resolucin de ecuaciones. Sin embargo existe un problema bajo todo este esquema, primero que no todas las ecuaciones diferenciales tienen solucin analtica, que son en su gran mayora las ecuaciones diferenciales no lineales, segundo los modelos para representar un fenmeno que ocurre en la naturaleza, generalmente est construido con este tipo de ecuaciones, finalmente estas ecuaciones presentan comportamientos extraos, que van desde el orden hasta el caos, de ah el nombre que recibe la teora que estudia dichos comportamientos. Un fenmenos que rene todas las caractersticas mencionadas anteriormente es el flujo de fluidos, por la coexistencia de comportamientos laminares y turbulentos, el flujo de fluidos es a su vez de gran importancia en ingeniera de alimentos, ya que los procesos que involucran el flujo o mezcla de fluidos se encuentra presente en casi todas las operaciones y en todos los procesos, como en la produccin de polmeros, pinturas, en la dispersin de agentes emulsificantes, suspensiones, etc. Por otra parte para el ingeniero qumico, el concepto de flujo no es desconocido puesto que se encuentra al estudiar las ecuaciones de Bernoulli y continuidad en los libros de mecnica de fluidos como el Crane (1992), la mezcla de fluidos en los procesos de transferencia de masa con los coeficientes de transferencia en Treybal R. E. (1991), los reactores qumicos, a travs de sus idealizaciones como el CSTR o mezcla completa y el PFR sin ningn tipo de mezclado, o las aproximaciones a travs de los tiempos de residencia en Smith (1981), por nombrar algunos. La relacin que presenta el flujo de fluidos con el caos no se presenta nicamente con el nmero de Reynolds, puesto que las ecuaciones Navier Stokes encargada de este modelo, presenta la no linealidad y el caos. Adems Ottino (1994) encuentra que hoy en da el concepto de mezcla no tiene un uso general en todas las disciplinas, es as como los oceangrafos y geofsicos utilizan el trmino para expresar remocin, los ingenieros que trabajan en polmeros como composicin, y los de procesos como agitacin. (Concepto que se tratar en adelante).

Antes de entrar a dar una idea mejor acerca de qu es el caos, se presenta una pequea muestra de que son los sistemas dinmicos y como se relacionan con los modelos. 2. Sistemas Dinmicos. Cuando un modelo posee una variable que cambia en el tiempo, se dice que las ecuaciones que lo representan son un sistema dinmico. Dichos sistemas pueden ser discretos si cambian en periodos de tiempo finitos (aos, meses, das, horas) y pueden ser representados por ecuaciones tipo algebraicas como se presenta en la ecuacin 11 o continuo representado por ecuaciones diferenciales como la ecuacin 2. Dentro de estos ltimos se reconocen los sistemas disipatvos caracterizados por que no mantienen su volumen en el espacio de fases y los conservativos que contrario a los anteriores si conservan su volumen en el espacio de fases.

XFX 1n [ 1 ]

F(x)tx ww

[ 2 ]

En el lenguaje de los sistemas dinmicos X es un vector compuesto por todas aquellas variables que cambian en el tiempo y se conoce como el vector de estado, la funcin F(X) es la ley de evolucin que permite el cambio en el tiempo. Adems si se integra un sistema dinmico como la ecuacin 2 se obtiene una funcin ) denominada flujo, y se denota como: (ver figura 1) Xx ) [ 3 ] De tal forma que se puede hablar de flujo nicamente para el caso de los sistemas dinmicos continuos.

1 La funcin F varia segn el sistema de ecuaciones.

ub

)t(u)

a

)(x,t)

x0

Figura 1: a) El flujo de una curva. b) El flujo de una coleccin de curvas.

Es importante resaltar que dentro de los sistemas dinmicos conservativos se encuentran los sistemas hamiltonianos, los cuales se caracterizan adems por poseer una funcin H(X) denominada funcin de hamilton o hamiltoniano, constante en el tiempo y que se relaciona con X2 por medio de la ecuacin 43.

1

2

2

1

XtX

;Xt

Xww w

www w

w HH[ 4 ]

Un ejemplo tpico de estos sistemas es el caso del pndulo sin rozamiento, como se muestra en la figura 2.

L T

Figura 2: Esquema del pndulo sin rozamiento.

Las ecuaciones de dicho sistema segn Guckenheimer. J. (1983) son:

[ 5 ] con el hamiltoniano que en este caso representa la energa del sistema, dado por la ecuacin:

T

T

sen1L

w

w

x

x

[ 6 ]

Integrando el sistema de ecuaciones 5 se obtiene el siguiente diagrama de fases:

Tcos12

2

wH

2 Para el caso de X = {X1,X2}. 3H varia segn el sistema de ecuaciones. Adems estos sistemas son muy importantes en los sistemas que involucran flujo de fluidos.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

w

T

H = cte Figura 3: Diagrama de fases para el pndulo sin rozamiento, cada lnea corresponde a una funcin de Hamilton que indica la energa del sistema y es igual a una constante.

3. Determinismo y Probabilismo. En su bsqueda de conocimiento el hombre ha encontrado en las leyes de la fsica el mejor sustento, ya que con ellas ha podido relacionar sucesos del pasado con los que ocurrirn en el futuro, como el poder predecir un eclipse conociendo la posicin del sol, la luna y la tierra en un instante pasado; a dichos sistemas se les llama determinsticos, y se caracterizaban por poseer pocos grados de libertad. Uno de sus mayores exponentes fue Laplace (citado por James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Robert S. Shaw 1990), quien expres en 1776, Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que animan a la naturaleza, as como la situacin respectiva de los seres que la componen,... podra abarcar en una sola frmula los movimientos de los cuerpos ms grandes del universo y los del tomo ms ligero; nada le resultara incierto y tanto el futuro como el pasado estaran presentes a sus ojos. Por otra parte existan otros sistemas que posean gran cantidad de grados de libertad como los movimientos atmosfricos que se les consideraban probabilsticos, debido a que solo se poda conocer un estado futuro con cierta seguridad. Sin embargo, otros sistemas anmalos que pareca saltaban del determinismo al probabilismo como el flujo de fluidos debido a la presencia de los regmenes laminar y turbulento. Sin embargo hace ya varios aos se rompi este viejo paradigma. La primera vez fue en 1927 por Heisenberg con el principio de incertidumbre. La segunda, Henri Poincar a finales del siglo XIX, en Green (1996) se recogen muy bien dichos trabajos, pero nadie se preocupara realmente de este fenmeno hasta que Edward Lorenz (1963 a, 1963 b, 1964) meteorlogo del MIT re-descubre el efecto de las condiciones iniciales sobre sistemas de ecuaciones no lineales hacia el ao 1960. Por otra parte Mandelbrot (1977, 1987) quien trabajaba en el centro de investigaciones Thomas J. Watson de la IBM, al estudiar los comportamientos anmalos que se presentaban en modelos econmicos, llega a reconocer la auto repeticin a cualquier escala y finalmente al mundo de los fractales. Es as como todos estos aportes permiten el nacimiento de la que hoy se conoce como La Teora del Caos. La cual ya ha alcanzado tal importancia que J. Gleick (1982) dice El siglo XX ser recordado por tres cosas: La relatividad, la mecnica cuntica y el Caos, la relatividad que elimina la ilusin newtoniana del espacio - tiempo absoluto; la teora cuntica que elimina el sueo newtoniano de los procesos medidos y controlados y el caos que elimina la fantasa laplaciana de la prediccin determinista. La teora del caos muestra simplemente algo que desde la fsica de Newton se mantena relegado: la calidad de la informacin. Por ejemplo cuando se calcula la trayectoria de un objeto

en el aire nunca se consideran efectos como la velocidad del viento, o la incidencia de la gravedad de la luna, pero qu sucedera si al introducir dichos efectos se obtuvieran resultados totalmente diferentes?, comportamientos como estos se consideran anmalos y se presentan en muchos modelos matemticos como los atmosfricos, para los cuales se crea que la falta de precisin en las predicciones, se solucionara al crear ordenadores mucho ms potentes que permitieran hacer los clculos con mayor exactitud. Sin embargo, la teora del caos ofrece una explicacin a todos estos comportamientos anmalos que no se haban podido entender a partir de la calidad de informacin y la naturaleza de las ecuaciones. Primero al intentar hacer cualquier medicin siempre se estar sujeto a tener un margen de error; segundo cuando dicha informacin se alimenta a un sistema dinmico no lineal, el error se incrementa en forma exponencial con cada clculo que se haga4, de tal forma que despus de cierto periodo de tiempo los resultados que se obtienen estn totalmente desfasados de lo que realmente sucede, presentando adems un comportamiento aparentemente aleatorio. Estas dos causas hacen que a valores extremadamente cercanos de condiciones iniciales, se obtengan respuestas totalmente diferentes. A dicho fenmeno se le conoce con el nombre de sensibilidad a las condiciones iniciales, y se ha recogido en lo que se conoce como el nombre de efecto mariposa, Lorenz (1979) El aleteo de una mariposa en Pekn hoy, puede causar un huracn en Nueva York el prximo mes5. 4. Sistemas dinmicos discretos y la ecuacin Cuadrtica. Como se indic anteriormente la forma que poseen los sistemas dinmicos discretos est dada por la ecuacin 1, en ingeniera de alimentos se encuentran ecuaciones que presentan esta forma en operaciones como la adsorcin en un arreglo de cascada a contracorriente como se muestra en la figura 4, para la cual el balance de soluto para cada etapa esta dado por la ecuacin 7. Figura 4: Cascada a contracorriente de varias etapas.

Yn+2Yn+1Yn Y2

X2 R0RsX0

E1EsY1

n+1 Np 1 2 n

ENp+1EsYNp+1

RNpRsXNp

X1 Xn

[ 7 ] nNPn AXAXX NPm

Y

11

Donde: A = Rs/mEs. m=Yn+1/Xn+1. R = Flujo de disolvente que no se difunde en la fase R. E = Flujo de disolvente que no se difunde en la fase E.

4 Se dice que el incremento en el error es exponencial debido a la relacin que existe entre las ecuaciones lineales y las no lineales dada a travs del teorema de Hartman-Grobman (ver Guckenheimer J. (1986), pag 13), el cual dice que si los valores propios de la linealizacin de un sistema en un punto X son diferentes de cero o imaginarios puros, entonces la linealizacin del sistema es topologicamente equivalente en alguna vecindad del punto de equilibrio X. Partiendo de dicha equivalencia y sabiendo que la solucin de un sistema lineal dado como: AXX

dtd es igual a

, se puede ver que tomando dos condiciones iniciales distintas, sus flujos se separaran en forma exponencial. 0A0 XXX tet ,

5 El efecto mariposa, aun cuando es una exageracin recoge muy bien el concepto de desviacin a las condiciones iniciales.

X = Concentracin de A en la fase R. Y = Concentracin de A en la fase E. Un sistema dinmico discreto que presenta muy bien todos los fenmenos que conducen al caos, y que se encuentra en casi todos los libros de sistemas dinmicos y caos, es la ecuacin cuadrtica (Ecuacin 8), o conocida tambin como la ecuacin logstica, cuyos usos varan desde la modelacin de poblacin de plagas por entomologos hasta el cambio de frecuencia que presentan algunos genes por genetistas.

nn1n X1X X [ 8 ] Para demostrar el carcter catico de esta ecuacin se toman varios valores de D, dos valores iniciales Xo(1), Xo(2) y se evoluciona el sistema hasta X100. (Figura 5) Cuando D toma el valor de 2 y Xo(1) = 0.2 y Xo(2) = 0.8 (Figura 5 a) se encuentra al poco tiempo que los dos resultados convergen a una respuesta X100 = 0.5, se habla entonces de que existe un punto fijo atractor en 0.5 pues todos los valores iniciales que se tomen conducirn finalmente a l. Si se aumenta D = 3.2 y con fines demostrativos se toman Xo(1) = 0.2 y Xo(2) = 0.200001, se observa que la tendencia oscila entre dos valores 0.513 y 0.799. (Figura 5 b) Cuando se encuentra que un valor se repite despus de cierto tiempo se le llama un punto peridico, cuyo periodo es definido por el nmero de puntos que estn en el ciclo. Se puede observar adems que para los valores de D = 2 y D = 3.2 el periodo cambia de 1 a 2, a este tipo de cambio se le conoce con el nombre de duplicacin de periodo. Si D es 3.5 se presenta una nueva duplicacin de periodo cuyos valores son 0.500, 0.875, 0.383, 0.827 (Figura 5 c). Si D es 3.63 se duplica nuevamente el periodo y los valores son 0.305, 0.769, 0.643, 0.833, 0.505, 0.907 (Figura 5 d). Se observa, como sera lgico pensar que al tener las dos condiciones iniciales bastante cerca, la respuesta final es la misma. Sin embargo en la medida en que D se acerca a cuatro el sistema duplica sus periodos rpidamente hasta que al llegar a cuatro donde la periodicidad se pierde. Los resultados en cada iteracin se diferencian cada vez mas hasta llegar el momento en que pareciera que cada resultado no tuviera que ver nada con el anterior, sino que fuesen colocados simplemente al azar, se dice entonces que el sistema es aperidico, si se toman valores de Xo(1) de 0.2 y Xo(2) = 0.2000000001 (mil veces ms cercanos que los anteriores) se encuentra que X100(1) = 0.8755 y X100(2) = 0.2587 los cuales estn separados por una diferencia del 70 %. Si un sistema se comporta de esta manera se dice entonces que es catico (Figura 5 e).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

D

XnXo = 0,200001Xo=0,2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

D

XnXo = 0,2Xo=0,80

a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

D

XnXo = 0,200001Xo=0,20

b

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

D

XnXo = 0,200001Xo=0,2

dc

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60

D

XnXo = 0,200001

Xo=0,2

e

Figura 5: Grficas de nmero de iteraciones vs Xn para la ecuacin cuadrtica.

Con el fin de observar mejor el comportamiento de dichos sistemas se acostumbra a graficar los valores del parmetro D vs la tendencia de los ltimos valores de Xn. Dicha grfica se conoce con el nombre de diagrama de bifurcacin.

Figura 6: Diagrama de bifurcacin para la ecuacin logstica. En el intervalo D=[2,2.95] se encuentra que con todos los valores (0,1) iniciales se tiende a una sola respuesta, llamado punto fijo, en D= 2.96, el comportamiento de la ecuacin cambia drsticamente ya que pasa de un punto fijo a un ciclo de periodo dos, a dicho punto se le llama punto de bifurcacin, D=[2.96,3.43] ciclo de periodo dos, D= [3.43, 3.54] ciclo de periodo 4, D=4 caos. En dichos diagramas se puede observar mejor como la duplicacin de periodos conduce al caos. Sistemas con duplicacin de periodos se han encontrado en el comportamiento de un CSTR, para reacciones exotrmicas y endotrmicas. Kahlert, Rossler y Varma (1981) Existen sin embargo otras formas de equilibrio, como el sistema depredador presa cuyas ecuaciones estn dadas en 9.

YDCXdtdY

XBYAdtdX

[ 9 ]

Donde: X es proporcional a la cantidad de presas. Y es proporcional a la cantidad de predadores. A, B, C, D son constantes del sistema. Tomando como especie depredadora los linces y la depredada los conejos, si en un determinado momento se incrementa el nmero de linces, estos aumentaran su consumo de conejos hasta que al disminuir el alimento los linces empiezan a morir, permitiendo as el crecimiento de conejos, de tal forma que en un tiempo futuro, existir un equilibrio dinmico entre la cantidad de linces y de conejos. A esta forma de estabilidad se le conoce con el nombre de ciclo limite (ver Briggs J. y Peat F.D. 1994). Con el fin de ilustrar el ciclo limite para este sistema, se tomo como condicin inicial X0 = 19, Y0 = 30 y los parmetros A = 0.1, B = 0.05, C = 0.1, D = 1, obteniendo de esta forma la figura 7. Ciclo limite

0

4

8

12

16

20

24

28

32

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

X

Figura 7: Ciclo limite para el sistema depredador - presa. El punto indica la condicin inicial.

Cuando una bifurcacin ocurre de punto fijo a ciclo limite es llamada bifurcacin de Hopf. Dicho tipo de bifurcaciones se presenta en sistemas de ecuaciones como los de Van Der Pol, utilizada en circuitos elctricos, como lo presenta Guckenheimer J. (1983). Ante este fenmeno "el Caos", surge un sentimiento de desconsuelo, ya que a pesar de tener las ecuaciones y sus condiciones iniciales, no podemos conocer exactamente un estado futuro. El sistema de ecuaciones estudiado por Edward Lorenz (Sparrow 1982) que permiti despertar el fenmeno del caos, lo obtuvo al intentar modelar el comportamiento atmosfrico debido a una diferencia de temperaturas (ecuacin 9). Sin embargo al analizar el sistema partiendo de mltiples estados iniciales reconoce su naturaleza globalmente estable, es decir que aun cuando cambios mnimos en las condiciones iniciales dan discrepancias grandes en los valores finales de iteracin, stos siempre se encuentran en una regin del espacio de fases, como si fuera un imn que recogiera todas las trayectorias a una sola regin, por tal razn se denomin atractor y como dicha figura presentaba formas extraas se denomin finalmente atractor extrao6.

6 Dicho nombre fue utilizado por primera ves segn James Gleick (1988) (pag 141) en Ruelle David y Takens Floris (1971).

[ 9 ]

bZXYdtdZ

XZYsXdtdY

XYdtdX

V

Figura 8: Atractor extrao de Lorenz.

Donde:

X es proporcional a la velocidad de ascenso del aire. Y es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el aire que asciende y el que desciende. Z es proporcional a la desviacin del gradiente lineal de temperatura. t es el tiempo. V =10, s = 28, b = 8/3 son constantes propias del sistema. El hecho que dichos sistemas presentan estabilidad global, permiti dar nuevas esperanzas a nuestra capacidad de predecir el comportamiento futuro. Por tal razn el tratamiento de los sistemas dinmicos ha virado de conocer un estado futuro a partir de una ecuacin diferencial bajo ciertas condiciones iniciales, al estudio cualitativo de la ecuacin a travs del flujo y las regiones estables e inestables.

ZXZdtdZ

YXdtdY

ZYdtdX

7.52.0

2.0

[ 10 ]

Figura 9: Atractor de Rssler. Es otro atractor extrao, el cual se ha encontrado en el flujo de fluidos y algunas cinticas de reaccin. 5. Fractales. Dentro del lenguaje del caos adems del concepto de atractor extrao7, surge la palabra fractal, cuyo concepto fue creado por Beniot Mandelbrot (1977, 1987. Los fractales se pueden describir como las figuras que resultan de la evolucin de un sistema dinmico catico. Dichas figuras poseen dos caractersticas principalmente, la primera es la auto-similitud (ver Figura 10) es decir que a cualquier tamao de escala se encontrara la misma figura siempre, y la segunda que poseen dimensin no entera.

a

b Figura 10: Un rbol fractal. (a) Todo el rbol, (b) la parte derecha del rbol interno ampliada. Se puede observar la auto similitud al comparar las a y b, sta ltima con un mayor grado de acercamiento

Para introducir el concepto de dimensin no entera, es bueno comenzar por definir el concepto de dimensin. Si se le pregunta a una persona por cuantas dimensiones tiene un cuadrado, instantneamente responde que dos. Al pedirle una explicacin al porque de su respuesta agrega, el cuadrado tiene dos dimensiones por que tiene largo y ancho, y a partir de esta respuesta considera que ya todo esta dicho acerca del tema. Lo que sucede realmente es que nunca se piensa en que significa el largo y el ancho realmente. Cuando se asigna largo, alto y ancho a un objeto o a una figura, lo que realmente se esta construyendo es una estructura vectorial con tres vectores linealmente independientes, los cuales permiten definir un espacio a travs de su combinacin lineal. En el caso del cuadrado pueden definir dos vectores X1 = {1,0} y X2 = {0,1} a los que se les conoce como largo y ancho. Finalmente se puede definir la dimensin como el numero de vectores linealmente

7 Ruelle fisico que estableci la necesidad de la existencia de los atractores extraos, los describi como fractales aun cuando no sabia que dichas figuras existieran. (ver numeral 8. Flujo de fluidos a travs del caos)

independientes, con los cuales se puede crear un espacio. De acuerdo a esta definicin los valores que pueden asignarse a la dimensin son siempre enteros positivos. Una ves comprendido el concepto de dimensin, se puede introducir la nocin de dimensin fractal, a travs del conjunto de Cantor. Este consiste en tomar una lnea recta de longitud 1, dividirla en tres partes cada una de 1/3 y posteriormente eliminar el segmento interior. Este sistema se aplica posteriormente a cada uno de los dos fragmentos restantes y as sucesivamente hasta el infinito ver figura 11.

n=0 n=1

n=2 n=3 n=4 Figura 11: Conjunto de cantor.

Se demostr matemticamente que la cantidad de puntos que aparecen en la iteracin n = f es la misma que la que tendra una lnea normal. Surgi entonces la duda, qu dimensin tiene en conjunto de puntos de la iteracin n = f?, si por un lado es casi una lnea que tiene dimensin uno y por otro esta constituida de puntos cuya dimensin es cero. Para resolver dicha pregunta Mandelbrot propuso calcular una dimensin de la siguiente manera, se divide la figura en H partes y se cuenta cuantas de esas divisiones estn siendo ocupadas por la figura (N), de tal forma que la dimensin fractal se calcula como:

[ 11 ] Donde; N es el nmero de partes que quedan de la figura original. H es el nmero de partes en los que se divide la figura original. Calculando la dimensin fractal para el conjunto de cantor se tiene entonces lo siguiente, se divide la figura en 3 partes, luego H = 3, de las cuales solo dos son ocupadas por una lnea recta es decir N = 2 como se ve en la figura 12. Es as como la dimensin fractal del conjunto de cantor es Es decir no es un punto de dimensin cero ni es una lnea de dimensin uno.

Figura 12: Calculo de la dimensin fractal para el conjunto de Cantor. H = 3 y N = 2. Finalmente se puede entender el concepto de la dimensin fractal como una forma de cuantificar el grado de irregularidad, escabrosidad de un objeto, que se encuentra construido en un espacio de dimensin n. Pero cual es la importancia de los fractales?. Al ver la distribucin de poros en una partcula, se encuentra que no todos ellos tienen el mismo tamao, que no son perfectamente cilndricos y que existen poros dentro de poros y estos a su vez dentro de otros, indicando que ms que parecerse a un cilindro, (geometra que se tomaba como base para algunos modelos), tiene caractersticas fractales. En la actualidad Coppens y Froment (1995 a,b,c) ya han presentado modelos de poro fractal en partculas catalticas con el fin de calcular la tortuosidad mxima de la pastilla cataltica. En el campo de los fluidos Beniot Mandel Brot encontr que la turbulencia tambin tiene caractersticas fractales, ya que en el flujo se presentan remolinos dentro de remolinos. (ver Mora Antonio 1998). 6. Que produce el flujo y mezclado? Un flujo puede ser inducido de diferentes formas; por diferencia de presin, diferencia de temperatura, o por la accin de un esfuerzo cortante. Por otra parte el mezclado se puede entender como resultado del estiramiento y plegamiento de lneas de materia. Una forma de visualizarlo es imaginando el movimiento que describe la esencia que un panadero agrega a la masa; inicialmente el panadero hace un charco de esencia en la masa, luego amasa la harina estirndola y doblndola sobre si misma, creando lneas de esencia denominadas lneas de materia que en cada estirado y doblado disminuyen su espesor, a medida que se mezclan hasta ser imperceptibles al ojo humano, se dice entonces que la esencia esta totalmente mezclada con la harina. Dicho proceso ha resultado ser lo bastante complejo como para poder atacarlo desde el punto de vista terico, por tal razn la ciencia y la ingeniera han tenido que hacer desarrollos experimentales que permitan un acercamiento estadstico al fenmeno. Sin embargo, dice Ottino (1994) esto particulariza el estudio de manera tal que no se pueden sacar conclusiones de ndole general. 7. Acercamientos a la mezcla de fluidos.

HlogD log N

63.03log2log D

Las bases estadsticas se fundamentan en el anlisis para dos componentes, uno en mayor proporcin que el otro y ambos con igual tamao de partcula, de manera tal que una mezcla perfecta siguen una distribucin binomial, la cual se expresa como una funcin de probabilidad dada en la ecuacin 12. (por la presencia de solo dos tipos de partculas). Si se comparan entonces los dos primeros momentos estadsticos8 (la media y la varianza ecuacin 13) de la distribucin binomial y los de una mezcla cualquiera se puede estimar el grado de mezclado obtenido. [ 12 ] [ 13 ] Donde: P es la probabilidad de tener una mezcla de composicin x. b es el nmero de partculas del componente en menor proporcin. n es el nmero de partculas totales en la mezcla. p fraccin total de las partculas en menor proporcin dentro de la mezcla. x esta definida como (b/n). Bajo este marco de trabajo nacen tres conceptos importantes en la mezcla de fluidos: Uniformidad de mezclado, entendida como el grado de homogeneidad que presenta la mezcla en conjunto. Sin embargo a pesar de que una mezcla se vea a simple vista homognea, si se observa bajo un microscopio se podr encontrar pequeas islas como se ve en la figura 13. Nacen pues dos conceptos que son Escala de Segregacin, la cual mide que tan grandes son estas islas y la Intensidad de Segregacin indica la medida de la desviacin de la concentracin entre una isla y el total de la mezcla. Sin embargo dichas medidas tienen un problema intrnseco: la escala del examen. Si se toma una mezcla que a la vista sea homognea y se pasa a travs de un microscopio, se encuentra que dicha homogeneidad se pierde y aparecern islas, e islas dentro de estas mismas segn se contine aumentando la escala de examen (ver Figura 13). La pregunta seria entonces, Qu grado de examen se debe utilizar para analizar una mezcla?. Todo depender entonces de la razn por la cual se mezcla, es decir; si se necesita por ejemplo una pintura, el grado de mezclado que se requiere como mnimo es el que a simple vista permita ver la pintura totalmente homognea, as sea que a menor escala (microscopio por ejemplo) aparezcan islas. Por otro lado, si la mezcla se utiliza para la proteccin de rayos ultravioleta (uv) como es el caso de los polmeros, aunque aparentemente este homognea a simple vista, permite el paso de los uv. Por tal razn un buen grado de mezclado se dar en el momento en que las partculas de protector estn tan unidas que un rayo uv no pueda pasar entre ellas.

8 Los momentos de una variable aleatoria X, son los valores esperados de ciertas funciones de X. Estos forman una coleccin de medidas descriptivas que caracterizan la distribucin de probabilidad de X. De tal forma que el primer momento es conocido como la media, el segundo como la varianza, el tercer momento es la asimetra, etc.

n

p

ppbbn

x xnb

1

1!!

!nP

p 2V

Isla Figura 13: Uniformidad de la mezcla y escala del examen.

Pese a esos problemas intrnsecos, existen trabajos basados en el acercamiento estadstico como los de Best y Tomfohrde (1959) que desarrolla un mtodo para medir la dispersin del negro de humo en polietileno, Weldenbaum (1958): que caracteriza la distribucin de un slido en un lquido por medio de la varianza o la media, y Lacey (1954) que define un ndice de mezclado basado nicamente en la estadstica. Al buscar una aproximacin terica a la mezcla de fluidos se deben tener en cuenta, primero la naturaleza del fluido y segundo el movimiento que este desarrolla, es decir el flujo. Dichos conceptos estn relacionados de la siguiente manera: El estudio de los fluidos se basa principalmente en su reologa, es decir la relacin que existe entre la aplicacin de un esfuerzo cortante W y la velocidad de deformacin. Cuando un esfuerzo cortante acta sobre un fluido, este se deforma como se presenta en la figura 13; se puede tener entonces una medida de su deformacin, midiendo el grado de desplazamiento en x y su relacin con la distancia en y. Dicha relacin se designa como (J) (ecuacin 14).

'y

'x

Figura 14: Concepto de gama (J):Cuando se somete un cuerpo a un esfuerzo cortante, este hace que una parte del cuerpo se desplace con mayor rapidez que otra, lo cual ocasiona una deformacin, dicha deformacin es necesaria para llevar un buen proceso de mezcla.

[ 14 ]

yx ;

yx

dd

'' JJ

Cuando la relacin entre el esfuerzo cortante y la variacin de la deformacin con el tiempo es lineal, se dice que el fluido es newtoniano (ecuacin 159) y la constante de proporcionalidad es conocida como la viscosidad (P).

dydv xPW yx

[ 15 ]

El flujo de fluidos se rige por la ecuacin de transferencia de momentum, la cual resulta de un balance de fuerzas sobre un elemento diferencial de fluido como se explica en Bird R. Byron, Stewart Warren E., Lightfoot Edin N. (1964) y cuya ecuacin es (ecuacin 1610):

9 La variacin de gama con respecto al tiempo se puede escribir como:

dydv

dydtdxd

dtdydxd x

xJ

gPt

ww vvvU

10 Donde: ww y

i ii x

ss

ww

k i i

ikk x

div en coordenadas rectangulares.

[ 16 ]

Para un fluido newtoniano la ecuacin 15 se puede escribir como (Bird R. Byron, Stewart Warren E., Lightfoot Edin N. 1964) 1711 :

gPt

2

ww vvvv PU [ 17 ]

Donde:

P es la viscosidad del fluido. U es la densidad del fluido.

P es la presin. g es la gravedad. v es el componente de la velocidad sea en x, y, o z. W es el esfuerzo cortante.

Otros trabajos que poseen el mismo enfoque terico son Taylor (1934) donde se hace un anlisis de la mezcla como el estiramiento de gotas. Browthman, Wollan, Feldman (1945) proponen cinticas de rea nterfacial y Eckart (1948) que estudia la mezcla por temperatura en los ocanos. 8. Flujo de fluidos a travs del caos. A partir del surgimiento de esta teora han aparecido trabajos que buscan una aproximacin a travs de esta teora, debido a que presentan esa transicin entre el orden (laminar) y el caos (turbulencia). En la dcada de los cuarenta Landau12 imaginaba el camino a la turbulencia como una secuencia de bifurcaciones, mas tarde en l948 Eberhard Hopf (1948) basado en esta idea, crea un modelo matemtico en el cual las bifurcaciones que conducen a la turbulencia son dinmicas. Su secuencia consista bsicamente en la siguiente serie de pasos: a) a velocidades bajas de flujo se encontraba un punto fijo, es decir que si se alteraba en algo el flujo rpidamente ste regresaba a su velocidad normal, b) al aumentar la velocidad ocurra una bifurcacin a un ciclo limite, c) al continuar aumentando se encontraba un toro de 3 dimensiones, d) si se segua aumentando la velocidad aparecan toros de mayor dimensin. Harry Swinney y Jerry Gollut diez aos despus estudian el flujo dentro de dos cilindros concntricos13 con el fin de corroborar las ideas de Landau y Hopf, encontrando que la secuencia de bifurcaciones que propona Hopf no era correcta, ya que al llegar a un toro de tres dimensiones y seguir aumentando la velocidad, ste se descompona en una dinmica ms compleja en la que continuamente se creaban y destruan toros de tamaos mas pequeos. Por otra parte las ideas de Landau estaban cimentadas en la de acumulacin de ritmos competidores, algo como pequeos sonidos que separados tiene un ritmo pero que al unirlos son solo ruido ininteligible. En 1971 David Ruelle junto con Floris Takens proponen que con solo tres movimientos independientes se puede generar la turbulencia que intentaba explicar Landau con su idea de acumular frecuencias. Ruelle propone adems que el movimiento desarrollado en la turbulencia debe estar encerrado en el espacio de fases por un atractor extrao. Dicho atractor deba tener sin embargo una caracterstica muy importante, pues como una rbita podra estar encerrada en una regin del espacio de fases, sin nunca repetirse y nunca cruzarse a si misma, para producir esto ellos concluyeron que debera ser una lnea infinitamente larga pero encerrada en una regin finita. Lo que ellos no saban era que ms adelante un da de 1975 Mandelbrot creara la palabra fractal. En 1974 despus de que Gollub y

11 Donde: ww en coordenadas rectangulares.

i i2

2

i2

xss

12 Cientfico Ruso quien gana el premio Nobel por sus estudios en el helio super fluido. 13 G.I Taylor haba estudiado ya este mecanismo de flujo en 1923, encontrando las corrientes denominadas Couette-Taylor.

Swinney se renen con Ruelle, concluyen que las ideas de Landau eran equivocadas y aceptando las de Ruelle. Mas adelante con la confirmacin de la existencia de atractores extraos las ideas de Ruelle toman mayor solidez. 9. Estudios. Dentro de los estudios que se llevan a cabo en el campo de flujo de fluidos se presentan principalmente dos ramas; por un lado el fenmeno de la turbulencia y por el otro la mezcla de fluidos. Dentro de la turbulencia uno de los estudios que ms llama la atencin es la turbulencia anormal, es decir turbulencia que se presenta a bajas velocidades. Para analizar este fenmeno G, Ahlers y R.P Behringer (1978) tomaron un fluido y lo colocaron entre dos placas paralelas, induciendo un flujo por diferencia de temperaturas entre las placas (ver figura 15a); dicho movimiento consista en la formacin de rodillos debido a la ascensin de fluido de menor densidad y el descenso de otro de mayor densidad. Para visualizar flujo utilizaron rayos de luz que pasaban a travs de los cilindros como indica la figura, de forma tal que los rodillos actuaran como lentes, teniendo as un patrn de lneas claras y oscuras, que indicaban la posicin de cada uno de los rodillos. De esta forma en rgimen turbulento las lneas claras y oscuras (ver figura 15b) se rompan o unan, movindose errticamente. A este tipo de turbulencia donde siempre subsiste una organizacin se llama turbulencia de fase; lo que G, Ahlers y R.P Behringer descubrieron fue que cuando el fluido tiene nmero de Prandtl (NPr ecuacin 18) cercano a la unidad dicha turbulencia aparece a velocidades de flujo muy baja, lo cual rompe con el esquema de que solo a velocidades altas se produce turbulencia.

En 1981 E.D Siggia y A. Zippelius proponen que la inestabilidad de los rodillos es debida a la presencia de flujos transversales entre ellos, en 1986 Alain Pocheau y sus colaboradores, inducen un flujo transversal en un fluido con NPr lejano a la unidad, con el fin de corroborar las ideas de E.D Siggia y A. Zippelius, encontrando una respuesta afirmativa. Actualmente se estudia este fenmeno en los gases, donde el flujo transversal es creado aparentemente por la inestabilidad propia del sistema. [ 18 ]

kC pPN Pr

Donde: Cp Capacidad calorfica. P Viscosidad. k conductividad trmica.

a

b

Figura 15: a)Rodillos formados por el flujo entre dos placas a diferente temperatura. b) Esquema de las regiones claras y oscuras, que indican la posicin de los cilindros. Si ocurre turbulencia dichas lneas se rompen o se unen con movimientos errticos.

En el campo de la mezcla de fluidos en rgimen laminar, proceso de importancia en el procesamiento de polmeros, Ottino ha intentado aproximaciones a travs de los sistemas dinmicos. l argumenta que en toda mezcla existen de tres zonas; la primera la regin activa de mezcla caracterizada por movimientos rpidos con cruce de componentes, por lo cual es la regin que mayor aporte hace al proceso; las regiones estancadas caracterizadas por estar separadas de la regin principal por lneas de corriente, movimientos lentos y su carcter difcil de predecir pero con formas geomtricas conocidas que deben tener los mezcladores para minimizar su existencia y regiones aisladas las cuales se diferencian de las anteriores por que estn separadas de los limites, no se pueden identificar por velocidades bajas de flujo, poseen mezclado interno disminuyendo la eficiencia global del mezclado. La principal relacin que establece Ottino (D. V. Khakar, H. Rising. J. M. Ottino 1986) radica en el estudio de puntos peridicos, elpticos e hiperblicos, que producen las ecuaciones diferenciales y su relacin con las regiones aisladas de flujo. (Figura 16).

Punto Elptico

Punto hiperblico Figura 16: Variedades que se presentan en un esquema de mezcla.

Por otra parte tambin estudia las variedades, entendidas como espacios geomtricos suaves (lneas, superficies, slidos, ver figura 17) dentro de los cuales se mueven los flujos producidos por las ecuaciones de Navier - Stokes.

b a

Figura 17: a) Son Variedades b) No son Variedades.

Su trabajo como lo indica Ottino (1994) en busca dar respuesta a las siguientes preguntas: x Cuales son los mecanismos dominantes del mezclado? x Qu caractersticas del mezclado pueden predecirse computacionalmente? x Cuales son las mejores formas de definir y medir un material bien mezclado? x Se pueden predecir las Regiones aisladas?, Puede asegurarse su ausencia?

x Sin el uso de modelos detallados de flujo: Hay tcnicas capaces permitir una visualizacin de las regiones de flujo?.

x Las Regiones aisladas pueden tener un uso practico como por ejemplo crear regin de descarga controlada dentro del mezclado?.

10. Estudios y perspectivas en Colombia. Esta teora ha marcado tan fuertemente el mundo de la ciencia y sus aplicaciones que algunos la comparan con la teora de la Relatividad o la Mecnica Cuntica. Es as como actualmente en pases desarrollados se llevan a cabo trabajos basados en este nuevo paradigma en todas las reas de la ingeniera de alimentos, como termodinmica, transferencia de masa y energa, cintica qumica, catlisis, etc. Actualmente en Colombia las universidades que poseen grupos interesados en el estudio de la teora del Caos son: La Universidad de los Andes a travs del grupo dirigido por el doctor Philippe Binder en el estudio del caos cuntico, la Universidad Nacional sede Bogot en diferentes grupos, en la Facultad de fsica con el grupo de sistemas hamiltonianos y complejidad dirigido por el profesor Diogenes Campos en el estudio de caos clsico y cuntico, el Departamento de qumica con los trabajos en reacciones oscilantes dirigidos por el profesor Daniel Barragn y Alfredo Gmez , en ingeniera civil se encuentran los ingenieros Pervys Rengifo y Carlos Velazco quienes estudian las aplicaciones de los fractales en su ramo, en ingeniera elctrica se encuentra el profesor Hernando Daz quien estudia el control de los sistemas caticos y el control en sistemas caticos y en ingeniera de alimentos los trabajos de tesis de Antonio Mora titulado Aproximacin a la ciencia de la ingeniera de alimentos desde la teora del caos y la geometra fractal dirigido por el Ph.D. ingeniero Luis Carballo, actualmente se adelanta el trabajo de tesis del ingeniero Luis Herrera titulado Acercamiento a la mezcla de fluidos a travs de los sistemas dinmicos y la teora del caos dirigido por el Ph.D. ingeniero Alfonso Conde. Como se ha visto a travs de los ltimos aos el impacto de esta teora ha causado es deber del ingeniero conocer por lo menos la forma como dicha teora afecta su rama del conocimiento, para no quedar atrapado en la historia de la ingeniera de alimentos.

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RESUMEN1. Introduccin:2. Sistemas Dinmicos.3. Determinismo y Probabilismo.4. Sistemas dinmicos discretos y la ecuacin Cuadrtica.5. Fractales.6. Que produce el flujo y mezclado?7. Acercamientos a la mezcla de fluidos.8. Flujo de fluidos a travs del caos.9. Estudios.10. Estudios y perspectivas en Colombia.Bibliografa