cantidad de movimiento y colisiones - unproyecto.org · 17 tipos de colisiones [1] choqueelástico,...
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2
Cantidad de movimiento o momento lineal (en latin, momentum para sigular y momenta para plural) se define como:
p = mv
• La cantidad de movimiento es m veces la velocidad.
• El momento lineal es una cantidad vectorial.
• Las unidades del momento en el SI son: kg·m/s
• Las dimensiones de p son: MLT-1
Momento lineal
Como p es un vector, las componentes del momento
son:
px = mvx, py = mvy, pz = mvz
Nota: el momento es “grande” si m y/o v son grandes. (siendo grande, dificil
de detener)
3
Recordamos que:
dt
d
dt
md
dt
d m
pv F
vaaF
y
La Segunda Ley de Newton se puede escribir como:
F = dp/dt= tasa de cambio del momento lineal
Esta formulacion es valida aun cuando cambie la masa.
Esta formula es valida aun en la Teoria de Relativadad y en
Mecanica Cuantica.
4
f
i
t
t
dtFI
Impulso de una Fuerza
Ejercicio: Demuestre que el impulso y la cantidad de
movimiento tienen las mismas unidades.
)t,(t intervalo el en Ffuerza una de I Impulso fi
5
dtFPdFdt
Pd
dtFpdf
i
f
i
p
p
t
t
IPPP if
Es decir, el impulso de una fuerza durante un cierto intervalode tiempo es la variacion de la cantidad de movimiento que
produce la fuerza.
Impulso & Momento lineal
6
Grafico F=f(t)
• El impulso es un vector• La magnitud del impuso es
sigual al area debajo de la curva Fuerza=f(tiempo)
• Las dimensiones del impulso son M L / T
• El impulso no es unapropiedad de la partitulca, sino una medida del cambiode la cantidad de movimiento de la particula.
7
Ejemplo: En una prueba de choque, un carro de masa 1500 kg
choca con una pared, como se muestra en la Figura. Las
velocidades inicial y final del carro son
, respectivamente. Si la colision dura 0.15 s, encuentre el
impulso causado por la colision y la fuerza promedio ejercida
sobre el carro.
15 / , 2.6 /i fm s m s
1) El impulso
2) La fuerza promedio:
smkg
vvmPI
/.1064.2)156.2(1500
)(
4
12
Nt
PF 4
4
106.1715.0
1064.2
8
Ejemplo: Una bola de 100 g se deja caer de 2.00 m por encima
del terreno. Esta rebota a una altura de 1.50 m. ¿Cuál fue la fuerza
promedio ejercida por el piso si la bola estuvo en contacto con éste
durante 1×10-2 s?
2
12
21
/.17.1)26.642.5(1.0)(,
?¿,/24.5,/26.6
smkgvvmPAhora
cómosmvysmv
La fuerza que actúa en la pelotapuede determinarse de:
Nt
PF 2
21017.1
101
17.1
1v 2v
gh
gh
ghvv if
2
20
2
2
22
sm
msm
ghv
/26.6
)00.2)(/8.9(2
2
2
1
sm
msmv
ghv
ghv
ghvv
i
i
if
/52.5
5.1/8.92
2
20
2
2
2
2
22
22
9
Problema: Un disco de hockey de 0.3 kg se mueve en hielo sin
fricción hacia la pared a 8 m/s. Rebota de la pared a 5m/s. el
disco está en contacto con la pared durante 0.2 s.
(a) ¿Cuál es el cambio de momento del disco de hockey durante
el rebote?
(b) ¿Cuál es impulso en el disco de hockey durante el rebote?
(c) ¿Cuál es la fuerza promedio sobre la pared del disco de
hockey durante el rebote?
10
Ejemplo: Una bola de 325-g con
una velocidad v de 6.22 m/s
golpea una pared en un ángulo de
33.00 y rebota con el mismo
ángulo y la misma velocidad,
como se muestra en la Figura. Está
en contacto con la pared por 10.4
ms. (a) ¿Cuál es el impulso
experimentado por la bola? ¿Cuál
es la fuerza promedio ejercida por
la bola sobre la pared?
x
y
11
ˆ ˆ(cos sen )iP mv i j
ˆ ˆ( cos sen )fP mv i j
imvP ˆcos2
(a)
Nit
IFbola
ˆ0.326
smkgiPI /ˆ40.3
(b)
NiFF bolaparedˆ0.326
12
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
Cuando actúa una fuerza externa neta en un sistema iguala cero, la cantidad de movimiento lineal total del sistemapermanece constante.
21 PPP
Prueba (Sistemas de dos cuerpos)
2121 FF
dt
dP
dt
Pd
dt
Pd
21ext2212ext11 FFFFFF
,, ;
2112 FF
Sin embargo,
14
Ejemplo: Un fuego artificial con masa de 100 g, inicialmente en
reposo, explota en 3 partes. Una parte con una masa de 25g se
mueve en el eje x a 75m/s. Otra parte con una masa de 34g se
mueve en en eje y a 52m/s. ¿Cuál es la velocidad de la tercera
parte?
La tercera parte tiene una masa de 100g-34g-25g = 41g.
En la dirección del eje x:
smg
smg
m
vmv
vmvm
PP
xx
xx
xfxi
/4641
)/75)(25(
00
3
113
3311
En la dirección del eje y:
3
1 1 2 2 3 3
3 3
0
0 0 (34 )(52 / )
(34 )(52 / )43 /
41y
yi yf
y y y
y
P P
m v m v m v
g m s m v
g m sv m s
g
16
ColisionesEn general, una “colisión” es una interacción en la cual
• Dos objetos chocan uno contra otro
• El impulso externo neto es cero o muy pequeño o despreciable (se conserva la cantidad de movimiento)
Ejemplos: Dos bolas de billar que chocan en una mesa de billar
Una partícula alfa que colisiona con un átomopesado
Dos galaxias que colisionan
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Tipos de colisiones
[1] Choque elástico, se conservan el momento lineal o cantidad de movimiento y la energía cinética– Las colisiones perfectamente elástica ocurren a nivel
microscópico– En colisiones macroscópicas, sólo ocurren colisiones
aproximadamente elásticas[2] Choque inelástico, la energía cinética no se conserva
aunque sí la cantidad de movimiento lineal se sigueconservando– Si los objetos se pegan después de la colisión, ésta se denomina
colisión perfectamente inelastica
En una colisión inelástica, se pierde alguna energía cinética, los
objetos no se pegan entre sí.
Las colisiones elástica y perfectamente inelastica con los casos
límite, la mayoría de las colisiones típicas caen la categoría entre
estos dos tipos de colisiones.
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Colisiones Elásticas
• Se conservan tanto la energía cinética como la cantidad de movimiento
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
i i
f f
i i
f f
m m
m m
m m
m m
v v
v v
v v
v v
Antes del choque
Después del choque
19
Colisiones Perfectamente Inelásticas
• Ya que los objetos se pegan entre sí, tendránla misma velocidaddespués de la colisión.
fii vmmvmvm )( 212211
Antes del choque
Después del choque
20
Ejemplo: Una bola con una masa de 1.2 kg se mueve a la derecha a
2.0 m/s colisiona con una bola de masa 1.8 kg que se mueve a 1.5
m/s a la izquierda. Si la colisión es elástica, ¿cuáles son las
velocidades de las bolas después de la colisión?
21
1 1, 2 2, 1 1, 2 2,
1, 2,
1, 2,
2 2 2 2
1 1, 2 2, 1 1, 2 2,
2 2
1, 2,
1.2 2 1.8 1.5 1.2 1.8
1.2 1.8 0.3................................(1)
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 11.2 4 1.8 2.25 1.2 1.8
2 2 2 2
0.6
i i f f
f f
f f
i i f f
f f
m m m m
m v m v m v m v
v v
v v v v
v v
v v
2 2
1, 2,0.9 4.425..............................(2)f fv v
Resuelva (1)&(2) para encontrar las velocidades finales despúes de
la colisión?
Podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de
movimiento y la conservación de la energía cinética:
22
Ejemplo: Una esfera de 3 kg choca de manera perfectamente
inelástica con una segunda esfera inicialmente en reposo. El
sistema compuesto se mueve con una velocidad de una tercera
parte que la velocidad original de la esfera de 3 kg. ¿Cuál es la
masa de la segunda esfera?
23
Aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento:
kgm
m
m
vmv
vmmv
vmmvmvm
ii
ii
fii
6
39
)3
1)(3(3
)3
1)(3(3
)3
1)(3()0(3
)(
2
2
2
121
1221
212211
25
Ejemplo: Un carro de 1 500 kg que viaja al este con una velocidad de 25.0
m/s choca en una intersección con una van de 2500 kg que viaja al norte
a una velocidad de 20.0 m/s, como se muestra en la Figura. Encuentre la
dirección y magnitud de la velocidad de ambos vehículos despúes de la
colisión, asumiendo que el choque es perfectamente inelastico (es decir,
los vehículos se quedan pegados)
m/s kg 1075.3 4
carcarix vmp
cos)( fvancarfx vmmp
fxix pp
)1.....(coskg) 1000.4(m/s kg 1075.3 34 fv
Componentes del eje x
26
m/s kg 1000.5 4
vanvaniy vmp
sin)( fvancarfy vmmp
fyiy pp
)2.......(sinkg) 1000.4(m/s kg 1000.5 34 fv
33.1m/s kg 1075.3
m/s kg 1000.5tan
4
4
1.53
m/s 6.151.53sin)kg 1000.4(
m/s kg 1000.53
4
fv
Componentes del eje y
From (1) & (2)
27
Ejemplo: En un experimento balístico, una bala de masa .06 kg es
disparada horizontalmente a un bloque de madera de masa .2 kg. El
bloque de madera está suspendido del techo con dos hilos largos como se
muestra en el diagrama. La colisión es perfectamente inelástica y después
del impacto la bala y el bloque se balancean juntos hasta que el bloque
está a 12 m por encima de su posición inicial. Encuentre
a) La velocidad de la bala y del bloque justo después del impacto y,
b) La velocidad de la bala justo después del impacto
La energia se conserva entre los puntos
B y C
2
1 2 1 2
1( ) ( )
2
2 1.53 /
c A
B
B
U K
m m gh m m v
v gh m s
B
29
Ejemplo:
Dos esferas metálicas, suspendidas por dos cuerdas verticalmente, inicialmente apenas se tocan, como se muestra en la Figura. La Esfera 1, con masa de m1=30 g, es halada hacia la izquierda a unaaltura h1=8.0 cm, y luego liberada desde el reposo. Después que se balancea hacia abajo, esta colisiona elásticamente con la Esfera 2, cuya masa m2=75 g. ¿Cuál es la velocidad v1f de la esfera 1 justodespués de la colisión?
30
2
22
2
11
2
11
221111
2
1
2
1
2
1ffi
ffi
vmvmvm
vmvmvm
done 11 2ghv i
2
22
2
1
2
11
22111
)(
)(
ffi
ffi
vmvvm
vmvvm
ffi vvv 211
if
fifi
vmm
mmv
vvmvvm
1
21
211
112111 )()(
31
Ejemplo: La figura muestra un choque elástico entre dos discos en una mesa sin
fricción. El disco A tiene una masa mA = 0.500 kg, y el disco B tiene una masa
mB = 0.300 kg. El disco A tiene una velocidad inicial de 4.00 m⁄s en la dirección
positiva de la dirección x y una velocidad final de 2.00 m ⁄s en una dirección
desconocida. El disco B está inicialmente en reposo. Queremos encontrar la
velocidad final VB2 del disco B y los ángulos α y β como se ilustra en la figura
2 2 2
1 2 2
2
2
2
1 1 1
2 2 2
0.5 16 0.5 4 0.3
4.47 /
A A A A B B
B
B
m v m v m v
v
v m s
Como la colisión es elástica. La
energía cinética inicial es igual a
la energía cinética final.
Antes del choque
Después del choque
32
1 2 2cos cos
0.5 4 0.5 2cos 0.3 4.47cos
2 cos 1.34cos ...............(1)
xi xf
A A A A B B
p p
m v m v m v
2 20 sin sin
0 0.5 2sin 0.3 4.47sin
0 sin 1.34sin ...............(2)
yi yf
A A B B
p p
m v m v
La conservation en el componente x− del momento total es igual a:
La conservación en el componente y− del momento total es igual a:
Hay dos
ecuaciones
simultáneas
para α y β
Resuelva para
encontrar los
ángulos.
General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 33
Centro de masa
El centro de masa (CM) de un objeto o de un grupo de objetos
(sistema) es el lugar “promedio” de la masa en el sistema. El
sistema se comporta como si toda la masa estuviese concentrada en
su centro de masa.
General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 34
Centro de masas– objetos puntuales – 1 dimensión (1 D)
n n
i i i i
1 1 2 2 i 1 i 1cm n
1 2i
i 1
m x m xm x m x ...
xm m ... M
m
35
Centro de masas – Objetos puntuales– 2 D
n
i i
i 1cm
m x
xM
n
i i
i 1cm
m y
yM
n
i i
i 1cm
m z
zM
n
i i
i 1cm
m r
rM
36
Centro de masa– objetos sólidos – 1 D
n
i i
i 1cm
m x
xM
cm
xdmx
M
3
, , /
, sup , /
, , /
dmdensidad lineal kg m
dx
dmdensidad erficial kg m
dA
dmdensidad volumetrica kg m
dV
General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 38
Un método para encontra el centro de
masa de cualquier objeto
Cuelgue el objeto en
dos o más puntos.
Dibuje la extensión
de la línea de
suspensión.
El centro de masa es
la intercepción de estas
líneasCentro de masa
General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 39
Problema
Tres partículas de masas mA = 1.2 kg, mB = 2.5 kg, y mC = 3.4 kg forman un triánguloequilatero de longitud de uno de sus lados de a = 140 cm. ¿Dónde está el centro de masade este sistema de tres partículas?
Tres masas localizadas en el plano xy tiene las siguientes coordenadas:
2 kg at (3,-2)
3 kg at (-2,4)
1 kg at (2,2)
Encuentre la localización del centro de masa.
Problema:
40
Movimiento del centro de masa
Un sistema de objetos se comporta como si toda su masa
estuviese localizada en su centro de masa
M
m
mm
mmcm
vvvV
...
...
21
2211
Velcidad del CM:
Aceleración del CM:
M
m
mm
mmcm
aaaA
...
...
21
2211
MAcm = Fneta,externaLeyes de Newton para Sistemas de
Partículas
41
Problema:
Tres partículas en la Fig. a estáninicialmente en reposo. Cadauna experimenta una fuerzaexterna debido a los cuerposfuera del sistema de tres. Las direcciones están indicadas, y lasmagnitudes son FA=6 N , FB=12 N , y FC=14 N. ¿Cuál esla magnitud de la aceleación del centro de masas del sistema, y en qué dirección se mueve?
[1] Una curva fuerza-tiempo estimada
para un golpe de la bola con el bate se
muestra en la Figura. A partir de esta
curva, determine
(a) El impulso entregado a la bola, (b) la
fuerza promedio ejercida en la bola, y (c)
la fuerza pico ejercida sobre la bola.
NFc
Ndt
dPFb
sN
tiempoFcurvadedebajoarea
Fdta
3
max
3
3
3
1018]
109105.1
5.13]
.5.1318000105.12
1
Impulso]
[2] Dos bloques están libres para deslizarse en un camino ABC de madera
sin fricción como se muestra en la Figura. El bloque de masa m m1 = 5.00 kg
se libera desde A y realiza un choque elástico con un bloque de masa m2
=10.0 kg, inicialmente en reposo en el punto B. Calcule la máxima altura a la
cual m1 se eleva después de la colisión.
mhy
vmghmAhora
smvvmm
mmv
elasticochoqueundevencontrarparay
smvmvmgh
EEutilicevhallarparaAhora
menterespectivacolisionladedespuesyantesmdevelocidadvv
f
fif
f
ii
BAi
fi
556.0,
02
10,
/3.3
,
/9.92
10
,
,
max
11max1
11
21
211
1
11
1
111
[4]Como se muestra en la Figura, una bala de masa m y velocidad
v pasa completamente a través de un péngulo de masa M. La bala
sale con una velocidad de v/2. El péndulo está suspendido por una
cuerda de longitud L de masa insignificante. ¿Cuál es el valor
mínimo de v tal que el péndulo hará una vuelta completa vertical?
glm
Mv
glMv
mmv
colisionlaenconservasesistemadelmomentoEl
glglv
Mvlma
KUKU
EE
b
b
iiff
if
4
)2(2
24
2
100)2( 2
[5] Dos bloques de masas M y 3M están
ubicados en una superficie horizontal, sin
fricción. Un resorte ligero está atado a uno
de ellos, y los bloques son empujados uno
contra otro con el resorte entre ellos (Fig.).
Una cuerda inicialmente que mantiene los
bloques unidos se quema, depués de sto,
el bloque de masa 3M se mueve a la
derecha con una velocidad de 2.00 m/s.
(a) ¿Cuál es la velocidad del bloque de
masa M? (b) Encuentre la energia
potencial elastica en el resorte si M =
0.350 kg.
JU
UvMMv
KUKUoEEb
smvMMvMMv
PP
Pa
i
i
iiffif
if
4.8)2(35.032
1)6(35.0
2
1
00)3(2
1
2
10
]
/66023
0]
22
2
2
2
1
El centro de masa para un objeto continuo
es:
Lx
xCM xdm
Mx
0
1
Ya que la densidad de la barra () es constante;
[6] Demuestre que el centro de masa de una barra de masa M y
longitud L se ecuentra en el punto medio de sus
terminales,asumiendo que la bara tiene una masa uniforme por
unidad de longitud (densidad lineal).
dxdm
LM /
La masa de un pequeño segmento es