Cantidad de movimientoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus1 (movimiento) y vis (fuerza). Moméntum es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado:

siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Contenido

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1 Cantidad de movimiento en mecánica clásica o 1.1 Mecánica newtoniana o 1.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 1.3 Cantidad de movimiento de un medio continuo

2 Cantidad de movimiento en mecánica relativista 3 Cantidad de movimiento en mecánica cuántica 4 Conservación

o 4.1 Mecánica newtoniana o 4.2 Mecánica lagrangiana y hamiltoniana o 4.3 Mecánica relativista o 4.4 Mecánica cuántica

5 Véase también 6 Referencia

o 6.1 Bibliografía o 6.2 Enlaces externos

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica clásica

[editar] Mecánica newtoniana

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

[editar] Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o

momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

[editar] Cantidad de movimiento de un medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal, es decir

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica relativista

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El Principio de Relatividad establece que las leyes de la Física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este Principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por

él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:

donde v2,c2 son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y γ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

[editar] Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula

el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el

espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento,

salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

[editar] Conservación

[editar] Mecánica newtoniana

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

[editar] Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene n grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker gij(q2,...,qn) = δij y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

[editar] Mecánica relativista

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

[editar] Mecánica cuántica

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert

del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo . Se tiene que:

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas xi, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

Mecánica de fluidosDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos (que a su vez es una rama de la física) que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que los provocan. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo

Contenido

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1 Hipótesis básicas o 1.1 Hipótesis del medio continuo o 1.2 Concepto de partícula fluida o 1.3 Descripciones lagrangiana y euleriana del movimiento de un fluido

2 Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos 3 Véase también 4 Enlaces externos

[editar] Hipótesis básicas

Como en todas las ramas de la ciencia, en la mecánica de fluidos se parte de hipótesis en función de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En particular, en la mecánica de fluidos se asume que los fluidos verifican las siguientes leyes:

conservación de la masa y de la cantidad de movimiento. primera y segunda ley de la termodinámica.

[editar] Hipótesis del medio continuo

La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de fluidos y en general de toda la mecánica de medios continuos. En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este número adimensional es mucho menor a la unidad, el material en cuestión puede considerarse un fluido (medio continuo). En el caso contrario los efectos debidos a la naturaleza molecular de la materia no pueden ser despreciados y debe utilizarse la mecánica estadística para predecir el comportamiento de la materia. Ejemplos de situaciones donde la hipótesis del medio continuo no es válida pueden encontrarse en el estudio de los plasmas.

[editar] Concepto de partícula fluida

Este concepto esta muy ligado al del medio continuo y es sumamente importante en la mecánica de fluidos. Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo

suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. Así pues un determinado punto del espacio en distintos instantes de tiempo estará ocupado por distintas partículas fluidas.

[editar] Descripciones lagrangiana y euleriana del movimiento de un fluido

A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista. Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Ésta es la descripción Lagrangiana. Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin importar la partícula fluida que en dicho instante ocupa ese punto. Ésta es la descripción Euleriana, que no está ligada a las partículas fluidas sino a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripción el valor de una propiedad en un punto y en un instante determinado es el de la partícula fluida que ocupa dicho punto en ese instante.

La descripción euleriana es la usada comúnmente, puesto que en la mayoría de casos y aplicaciones es más útil. Usaremos dicha descripción para la obtención de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos.

[editar] Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos

Artículo principal: Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación de continuidad:

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Ecuación de cantidad de movimiento:

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Ecuación de la energía

-Forma integral:

-Forma diferencial:

Para un desarrollo más profundo de estas ecuaciones ver el artículo ecuaciones de Navier-Stokes

RESUMEN

Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.

El objetivo de este trabajo consiste en establecer las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos (Ecuaciones de Navier - Stokes), las cuales resultan ser también de suma importancia tanto para la ingeniería como para la medicina.

En efecto, sin ellas resultaría matemáticamente imposible describir, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria.

INTRODUCCIÓN

Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina.

Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes.

El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente.

A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar.

Los modelos basados en la teoría de dinámica de fluidos han sido desarrollados desde los 1950's y se han utilizado en la ciencia de tránsito con un éxito considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con enfoque macroscópico sobre el flujo de tránsito de autos se puede desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a derecha.

DESARROLLO

I.1 Ecuaciones de Navier – Stokes

I.1.1 Ecuaciones fundamentales de la Mecánica (movimiento de fluidos)

Establezcamos las ecuaciones del movimiento de un fluido compresible y viscoso. Para el caso general de un movimiento tridimensional, el campo de corrientes está determinado por el vector velocidad

con las tres componentes rectangulares además de la presión y la densidad Para la determinación de estas cinco magnitudes disponemos de la ecuación de continuidad (conservación de la masa), las tres ecuaciones del movimiento (conservación de la cantidad de

movimiento) y la ecuación termodinámica de estado , es decir, cinco ecuaciones también.

La ecuación de continuidad expresa que la suma de las masas entrante y saliente por unidad de volumen en la unidad de tiempo es igual a la variación de la densidad por unidad de tiempo (véase ). Luego, para el movimiento no estacionario de un fluido compresible ella podrá escribirse como:

(I.1)

mientras que para un fluido incompresible toma la forma simplificada

(I.1a)

Para establecer las ecuaciones fundamentales del movimiento partimos de las leyes fundamentales de la Mecánica, según las cuales, el producto de la masa por la aceleración es igual a la suma de las fuerzas. Las fuerzas que actúan, son fuerzas de masa (peso) y fuerzas de superficies (fuerzas de presión y de rozamiento).

Sean la fuerza másica por unidad de volumen ( vector del campo gravitatorio terrestre) y la fuerza de superficie por unidad de volumen, luego, las ecuaciones del movimiento en notación vectorial vendrán dadas por:

(I.2)

siendo

la fuerza de masa, la fuerza superficial y la aceleración sustancial respectivamente.

Las fuerzas másicas se consideran fuerzas exteriores, mientras que las fuerzas superficiales dependen del estado de deformación (estado de movimiento) del fluido.

El conjunto de fuerzas superficiales determinan un estado de tensión. Nuestro objetivo es ahora, obtener la relación entre el estado de tensión y el estado de deformación.

I.1.2 Campo general de tensiones de un cuerpo deformable

Para formular las fuerzas de superficie, imaginemos un elemento de

volumen de forma cúbica con su vértice inferior izquierdo

en el punto .

Es conocido de la Mecánica que la fuerza total procedente de las fuerzas de superficie, por unidad de volumen es,

(I.3)

con

donde denota las tensiones normales y sus índices las direcciones normales, mientras que representa las tensiones tangenciales y en doble índice, el primero indica la dirección a la cual es perpendicular el elemento de superficie y el segundo la dirección en la que apunta la tensión .

La tensión puede ser determinada mediante nueve magnitudes escalares, que forman un tensor de tensiones. El conjunto de las nueve componentes del tensor se llaman también matriz del tensor

Se puede demostrar, que las tensiones tangenciales con iguales índices

pero en orden inverso, deben ser iguales, o sea , y

. Esto resulta de la igualdad de momentos alrededor de un eje arbitrario para cuerpos elásticos en equilibrio (véase ). Por tanto, la matriz del tensor que tendrá solo seis componentes distintas y será simétrica se puede escribir como

(I.5)

De las ecuaciones (I.3), (I.4) y la simetría de las tensiones tangenciales expresadas en (I.5) tendremos que, la fuerza de superficie por unidad de volumen será

(I.5a)

Luego, si consideramos la ecuación de movimiento (I.2) escrita para la

fuerza total procedente de las fuerzas de superficie , ésta expresada por componentes tomará la forma

(I.6)

Para un fluido sin rozamiento, todas las tensiones tangenciales son nulas, solo quedan las tensiones normales, que además son iguales entre sí y cuyo valor cambiado de signo, se llama presión del fluido :

De ahí que, la presión del fluido es también igual a la media aritmética de las tensiones normales cambiada de signo, o sea:

(I.7)

El sistema de las ecuaciones (I.6) contiene las seis componentes de la

tensión El paso siguiente debe ser poner en relación estas seis componentes con las deformaciones, y de aquí con las tres componentes de la velocidad

Según se conoce de la Mecánica, la ley general de Hooke para un cuerpo sólido elástico escrita en forma matricial viene dada por

(I.8)

donde son las tres componentes del desplazamiento el

módulo de rigidez y como habíamos dicho, la media aritmética de las tensiones normales.

I.1.3 Relación entre las tensiones y la deformación para líquidos y gases

La ecuación matricial (I.8) expresa también inmediatamente la ley de la resistencia de Stokes, con la única diferencia de que las tensiones, según la ley de Stokes, son proporcionales a las velocidades de la deformación. De aquí resulta que el tensor de las tensiones para un fluido en movimiento se obtiene sustituyendo en la ecuación (I.8) el desplazamiento

por la velocidad de desplazamiento

que se identifica con el vector velocidad usual. En lugar del módulo de rigidez , aparece el coeficiente de viscosidad . Además

sustituiremos la media aritmética de las tensiones normales por la

presión del fluido cambiada de signo , de acuerdo con la ecuación (I.7). Con estas modificaciones, la fórmula de Stokes para la matriz de las tensiones de un fluido, análoga a la expresión (I.8), será:

(I.9)

Luego, si separamos de las tensiones normales la presión, poniendo

(I.10)

obtendremos las siguientes expresiones para las componentes de la resistencia o viscosidad:

 

Para fluidos viscosos incompresibles desaparece el último término de la

ecuación (I.9) por ser , mientras que para fluidos no viscosos (

) e incompresibles dicha ecuación se reduce a ;

; al igual que para fluidos compresibles y no viscosos.

I.1.4 Ecuaciones de Navier – Stokes

Las ecuaciones del movimiento (I.6) una vez separada la componente de la presión independiente de la resistencia según (I.10), toman la forma

Con estas expresiones de Stokes obtendremos la fuerza superficial resultante en función de las componentes de la velocidad, por ejemplo, para la dirección la ecuación (I.5a) nos da

y según (I.11)

Para y se obtienen expresiones análogas.

Si sustituimos estas expresiones fundamentales en (I.6), obtendremos el sistema de ecuaciones:

(I.12a,b,c)

conocido con el nombre de ecuaciones de Navier – Stokes las cuales constituyen el fundamento de toda la Mecánica de Fluidos . A ellas hay que añadir la ecuación de continuidad, que para fluidos compresibles, según la ecuación (I.1) es

(I.13)

Para flujo incompresible todavía se simplifica más este sistema de ecuaciones, aun en el caso de no ser constante la temperatura.

En primer lugar, según la ecuación (I.1a) se tiene . Además, por ser pequeña la variación del coeficiente de viscosidad con la temperatura, se le puede considerar como constante. Véase Cap. I de :

Luego, las ecuaciones (I.12a,b,c) y (I.13) desarrollando las aceleraciones, se convertirán en:

(I.15)

Estas ecuaciones de Navier – Stokes dadas en (I.14a,b,c) para fluidos incompresibles, se pueden escribir en forma vectorial, así:

(I.16)

donde representa el operador de Laplace

Ellas, se diferencian de las ecuaciones eulerianas del movimiento para

fluidos no viscosos por la presencia del término de la resistencia .

Puesto que la fórmula de Stokes para la fuerza del rozamiento es puramente empírica, no es seguro, a priori, que las ecuaciones de Navier – Stokes describan correctamente el movimiento de un fluido. Por eso es necesario una demostración a posteriori, que solo es posible por vía experimental.

A pesar de las grandes dificultades matemáticas que ofrecen estas ecuaciones, son conocidas algunas soluciones particulares que resultan ser interesantes, como por ejemplo, el flujo por tubos (cilindros), así como el flujo correspondiente a la capa límite, las cuales concuerdan perfectamente con los resultados experimentales, no permitiendo dudas sobre la validez general de las ecuaciones de Navier – Stokes.

Veamos a continuación que forma presentan las ecuaciones de Navier – Stokes y de continuidad en coordenadas cilíndricas.

Si designamos por las coordenadas axial, radial y angular, y por

las componentes de la velocidad en las direcciones de dichas coordenadas, obtenemos estas ecuaciones en coordenadas cilíndricas para fluidos incompresibles que de las ecuaciones (I.15) y (I.16) se escriben como sigue

Particularmente podemos destacar que, en el modelo de hemodinámica en arterias de Antanovskii – Ramkissoon , las ecuaciones de continuidad y de Navier – Stokes toman la forma

(I.17)

(I.18)

(1.19)

puesto que allí, el fluido es compresible y viscoso, no actúan fuerzas másicas por unidad de volumen (fuerzas externas), y no se considera la

componente angular de la velocidad, o sea,

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Espero que este pequeño trabajo, donde se labora el camino para establecer las ecuaciones fundamentales de la Dinámica de Fluidos, tribute y estimule a investigaciones más profundas sobre este importante e interesante tema que nos ayuda a describir, con cierta elegancia matemática, la dinámica presente en infinidad de situaciones en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Por citar sólo algunos.

REFERENCIAS

ANTANOVSKII, L. K. A. R., H. Long - wave peristaltic transport of acompressible viscous fluid in a finite pipe subject to a time - dependent pressure drop. Fluid Dynamics Research, 1997, 19: 115-123.SCHLICHTING, H. Teoría de la Capa Límite. Madrid, 1979.

Ecuación de la cantidad de movimiento La masa de un sistema es

Se define el centro de masas (CDM) de un sistema por:

Su velocidad es

Lo mismo se puede escribir como y . Se define la cantidad de movimiento4.3por

Su evolución viene dada por:

Teorema 1   La masa de un sistema multiplicada por la aceleración de su centro de masas es igual a la resultante de las fuerzas exteriores.

MECANICA DE FLUIDOS

 

Índice:

Introducción

La Mecánica de Fluidos, objeto y aplicaciones - La Mecánica de Fluidos y su relación con otras ciencias - Planteanimiento y organización del curso

 

1ª Parte Fundamentos

Definiciones y magnitudes

Sólidos y fluidos - Los fluidos como medios continuos - Magnitudes fluidas. Densidad y velocidad en un punto. Partícula fluida

Fuerzas en el seno de un fluido. Tensor de esfuerzos

Fuerzas volumétricas y fuerzas másicas - Fuerzas de superficie. Tensor de esfuerzos. Direcciones principales de esfuerzos - Ecuación de la cantidad de movimiento

Fluidostática

Ecuación general de la la fluidostática - Condiciones que han de cumplir las fuerzas másicas - Principio de Arquímedes - Ecuaciones de la fluidostática en el caso de que las fuerzas másicas deriven de un potencial - Hidrostática - Atmósfera standard - Tensión superficial - Ecuación de Laplace de las interfases - Línea y ángulo de contacto

Cinemática

Sistemas de referencia de Lagrange y Euler - Conceptos básicos en la representación y visualización de flujos - Movimiento estacionario y movimiento uniforme - Sendas y trayectorias - Trazas - Líneas fluidas - Líneas de corriente - Derivada sustancial - Aceleración - Derivación de integrales extendidas a volúmenes de fluidos - Teorema del transporte de Reynolds - Vorticidad y circulación - Teorema de Stokes - Teorema de Bjerknes-Kelvin - Velocidades en el entorno de un punto. Tensor de velocidades de deformación

Fenómenos difusivos de transporte

Los fenómenos difusivos de transporte y las leyes fenomenológicas - Transporte de cantidad de movimiento. Ley de Navier-Poisson - Transporte de calor por conducción. Ley de Fourier - Transporte de masa por difusión: Ley de Fick - Variación de los coeficiente de transporte con las variables termodinámicos

Ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos

Los modelos fluidos y las leyes de conservación - Principio de conservación de la masa: Ecuación de continuidad - Forma integral de la ecuación - Forma diferencial de la ecuación - Simplificación para casos con movimientos estacionario y flujo incompresible - Ecuación de la cantidad de movimiento. Ecuaciones de Navier-Stokes - La ecuación de cantidad de movimiento en forma integral - El paso a forma diferencial: Ecuaciones de Navier-Stokes - Casos con viscosidad constante y viscosidad volumétrica despreciable - Simplificación para el caso de flujo incomprensible - Ecuación de la energía mecánica - La ecuación de la energía - Equilibrio termodinámico local - La ecuación de la energía en forma integral - El paso a la forma diferencial - Otras formas de la ecuación: ecuaciones de energía interna y de entropía - El sistema completo de ecuaciones - Condiciones iniciales y de contorno - Existencia y unicidad de la solución - Ejemplos de movimiento unidireccional que admiten solución exacta - Ecuaciones del movimiento unidireccional de fluidos incomprensibles - Corriente de Couette - Corriente de Hagen-Poiseuille bidimensional - Corriente de Stokes - Movimiento laminar estacionario de líquidos en tubos de sección circular

Análisis dimensional y similitud

Objeto y aplicaciones del análisis dimensional - Principio de homogeneidad dimensional o principio de Thompson - Teorema Pi de Buckingham - Enunciado - Ejercicio de aplicación - Adimensionalización de las ecuaciones generales - El proceso de adimensionalizar - Los parámetros adimensionales - Semejanza física y modelado en Mecánica de Fluidos - Semejanza establecida desde las ecuaciones generales - Condiciones de semejanza - Semejanza física parcial - El análisis dimensional como ayuda para la resolución de ecuaciones - Problema de Rayleigh: Movimiento impulsivo de una placa plana - Movimiento laminar casiestacionario de líquidos en conductos de sección constante

 

2ª Parte Fluidos Ideales

Movimiento de fluidos ideales: ecuaciones de Euler

Condiciones de flujo ideal - Las ecuaciones de Euler - Obtención de las ecuaciones de Euler a partir de las de Navier-Stokes - Movimientos isentrópicos y homentrópicos - El sistema completo de ecuaciones de Euler - Condiciones iniciales y de contorno - Continuidad, existencia y

unicidad de la solución - Ecuaciones de Euler-Bernouilli y de Bernouilli - Movimiento casi-estacionario - Ecuaciones del movimiento casi-estacionario de fluidos ideales - Magnitudes de remanso

Movimiento compresible de gases ideales

Compresibilidad y propagación de perturbaciones - Efectos de la comprensibilidad en el movimiento - La velocidad del sonido y el cono de Mach - Movimiento isentrópico casi-unidireccional casi-estacionario de gases - Forma semi-integral de las ecuaciones - Condiciones críticas - Superficiales de discontinuidad - Tipos de dsicontinudades en la solución de las ecuaciones de Euler - Relaciones de compatibilidad a través de discontinuidades fuertes - Ondas de choque - Ecuaciones que determinan el salto a través de una onda de choque - Relación de Hugoniot. Irreversibilidad y sentido de la transformación - Ondas de choque normales - Ondas de choque oblicuas - Expansión de gases ideales - Las ondas de expansión de Prandtl-Meyer - Relaciones fundamentales a través de las ondas de expansión - Movimiento de un gas ideal en una tobera convergente divergente

Movimiento irrotacional

Condiciones y ecuaciones de flujo irrotacional - Definición - Condiciones de suficiencia de irrotacionalidad - Ecuaciones del movimiento irrotacional - Condiciones iniciales y de contorno - Movimiento bidimensional irrotacional de fluidos incomprensibles - Ecuaciones del movimiento - La función de corriente y el potencial complejo - Algunas soluciones de flujos elementales - Movimiento alrededor de obstáculos simples. Paradoja de D´Alambert - Movimiento alrededor de obstáculos con circulación

Movimientos con superficies libres

Entrefases y superficies libres - Teoría de olas - Planteamiento de la teoría general de las ondas superficiales por gravedad - Teoría linealizada - Solución general del problema linealizado de olas bidimensionales - Resalto hidráulico - Consideraciones generales sobre el flujo en canales abiertos - Propagación de ondas superficiales infinitesimales. El número de Froude - Ecuaciones del resalto hidráulico

 

3ª Parte Capa límite y turbulencia

Introducción a la teoría de capa límite

Concepto de capa límite - Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible - Obtención de las ecuaciones - Condiciones de contorno y propiedades de las ecuaciones - Espesores de la capa límite - Soluciones exactas de las ecuaciones para capa límite laminar -

Solución de Blasius para placa plana sin gradiente de presión - Solución de Falker-Skan. Efecto de los gradientes de presión - Desprendimiento de la capa límite, concepto y estructura - Métodos integrales - La ecuación integral de von Karman - El método de Polhausen - Otros métodos integrales - La capa límite térmica - Concepto y características de la capa límite térmica - Ecuaciones de capa límite térmica laminar bidimensional e incomprensible

Introducción a las características y ecuaciones del movimiento turbulento

Origen y estructura de la turbulencia - Naturaleza y características de la turbulencia - Ecuaciones de transporte en el movimiento turbulento - Las ecuaciones de Reynolds del movimiento medio - El problema del cierre - La ecuación de la energía cinética turbulenta - La capa límite turbulenta - Estructura de la capa límite turbulenta - Subcapa límite laminar - Subcapa inercial o región logarítmica - Capa exterior: Ley del defecto de velocidad - Efecto de la rugosidad de la pared - Movimiento turbulento en conductos - Pérdidas de carga - Movimiento turbulento en conductos de sección circular - Pérdidas de carga locales

Bibliografía

Textos básicos de referencia general - Textos avanzados de referencia general - Referencias a la primera parte - Referencias a la segunda parte - Referencias a la tercera parte

 

Apéndice: Ecuaciones de Navier-Stokes

Forma vectorial de las ecuaciones de Navier-Stokes

Continuidad - Cantidad de movimiento - Energía en función de la energía interna e - Energía en función de la entalpía h - Energía en función de la entropía S

Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas

Derivada sustancial de un escalar - Divergencia - Continuidad - Cantidad de movimiento - Energía (en función de la energía interna e)

Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas

Derivada sustancial de un escalar - Divergencia - Continuidad - Cantidad de movimiento - Energía (en función de la energía interna e)