campo elettromagnetico in regime sinusoidale. correnti impresse sinusoidali, agenti in um mezzo...
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Campo elettromagnetico
in regime sinusoidale
Correnti impresse sinusoidali, agenti in um mezzo lineare e stazionario, generano campi sinusoidali oscillanti alla loro stessa frequenza
J 0 =ℜe J 0 (r) ejωt⎡⎣ ⎤⎦
E =ℜe E(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦
D =ℜe D(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦
H =ℜe H(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦
B =ℜe B(r) e jωt⎡⎣ ⎤⎦
J c =ℜe J c(r) ejωt⎡⎣ ⎤⎦
Equazioni di Maxwell per i fasori
∇×E =−
∂B∂t
∇×H =
∂D∂t
+ J c + J 0∇×H = jω D + Jc + J0
∇×E = − jω B
Equazioni costitutive dei mezzi lineari, stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo
am
∂mD∂tm
+K +a1
∂D∂t
+a0D =bn
∂nE∂tn
+K +b1
∂E∂t
+b0E
cp
∂pB∂tp
+K + c1
∂B∂t
+ c0B =dq
∂qH∂tq
+K +d1
∂H∂t
+d0H
em
∂rJ c
∂ts+K +e1
∂J c
∂t+e0J c = fs
∂sE∂ts
+K + f1∂E∂t
+ f0E
am
∂mD∂tm
+K +a1
∂D∂t
+a0D =bn
∂nE∂tn
+K +b1
∂E∂t
+b0E
am jω( )m D+K + jωa1D+a0D=bn jω( )
n E +K + jωb1E +b0E
Jc =
jω( )s fs +K + jω f1 + f0
jω( )r em+K + jωe1 +e0
E
D =
jω( )n bn +K + jωb1 +b0
jω( )mam+K + jωa1 +a0
E
B =
jω( )q dq +K + jωd1 +d0
jω( )p cp +K + jωc1 + c0
H
Analogamente:
Equazioni costitutive in regime sinusoidale
In regime sinusoidale
• le equazioni costitutive, scritte per i fasori, assumono forma algebrica, anche nel caso di mezzi dispersivi nel tempo;
• D, B e Jc sono variabili dipendenti da E e da H attraverso “funzioni di trasferimento”, generalmente complesse e dipendenti dalla frequenza;
• D, B e Jc possono essere eliminati dalle equazioni fondamentali
∇×H = jω D + Jc + J0 = jω D +Jc
jω
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ J0∇×E = − jω B
Eliminazione di D, B, Jc
D +J c
jω=εE
ε @
jω( )nbn +K + jωb1 + b0
jω( )m
am +K + jωa1 + a0
+1
jω
jω( )s
fs +K + jω f1 + f0
jω( )rem +K + jωe1 + e0
B =μH
μ @
jω( )qdq +K + jωd1 + d0
jω( )pcp +K + jωc1 + c0
(permittività elettrica complessa)
(permeabilità magnetica complessa)
“Equazioni di Maxwell” in regime sinusoidale
∇×H = jω ε E + J0
∇×E = − jω μ H
Poiché i rotori sono solenoidali, le equazioni ai rotori implicano le equazioni alle divergenze
∇⋅εE( ) = −∇ ⋅J0
jω= ρ 0
∇⋅μH( ) = 0
(densità della carica impressa)
Se ε non dipende dalla posizione
∇⋅E =ρ 0
ε
∇⋅H = 0
∇⋅εE( ) = ρ 0
∇⋅μH( ) = 0
Se il mezzo è omogeneo il campo magnetico è solenoidale.In assenza di cariche impresse anche il campo elettrico è solenoidale.
Se μ non dipende dalla posizione
Condizioni sulle superfici di discontinuità
E+ ,H + ,B + ,D +
E−,H − ,B − ,D −
n̂
n̂× H + −H −( ) =J S
n̂× E + −E−( ) =0
n̂× H + −H−( ) =J S
n̂× E+ −E−( ) =0
Sostituiscono le equazioni di Maxwell sulle superfici di discontinuità
Spettri elettrici e magnetici dei materiali
ε =ε0 ′ε − j ′′ε( ) μ =μ0 ′μ − j ′′μ( )
′ε = ′ε (ω )
′′ε = ′′ε (ω )
′μ = ′μ (ω )
′′μ = ′′μ (ω )
spettro elettrico
spettro magnetico
Esempio 1 - Spettro elettrico dell’acqua
D =ε0ε rE
J c =σE
D =ε0εrE
Jc =σED +
J c
jω= ε0εr +
σjω
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
E
′ε =εr ′′ε =σ
ω ε 0
Esempio 2 - Isolanti non-polari e semiconduttori fino ad alcune decine di gigahertz
ε
D +J c
jω= ε0εr +
σjω
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
E ≈σjω
E
′ε ≈0 ′′ε =σ
ω ε 0
Esempio 3 - Conduttori metallici ad alta conducibilità fino ad alcune migliaia di gigahertz
Materiale Conducibilità [S/m]
Argento
Rame
Alluminio
Bronzo
6.289 107
5.714 107
3.3 107 – 3.57 107
4.0 107 – 5.5 107
D +J c
jω=ε0 1+
ω p2
jω ν + jω( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟E
Esempio 4 - Plasma freddo
D ≈ε0E
∂J c
∂t+ν J c = ω p
2ε 0E
D ≈ε0E
jω +ν( ) J c =ω p2ε0E Jc =
ω p2ε0
ν + jωE
ε =ε0 1+ω p
2
jω ν + jω( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
Esempio 4bis - Plasma freddo senza collisioni
ε =ε0 1+ω p
2
jω ν + jω( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟≈ ε 0 1−
ω p2
ω 2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
′ε ≈1−ω p
2
ω 2 ′′ε ≈0
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di collisione (ω >> ν) l’effetto delle collisioni può essere trascurato (plasma senza collisioni). Si ha:
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di plasma si ha ε ≈ ε0. L’effetto della ionizzazione tende a scomparire.
Esempio 5 - Spettro magnetico di una ferrite
Grandezze energetiche in regime sinusoidale
Le grandezze energetiche dipendono da prodotti scalari o vettoriali di campi.
Esempi:
E ⋅J
J 2
σ=
J ⋅Jσ
ε0E2
2=
ε 0E ⋅E2
E ×H
Se si considerano due vettori sinusoidali
F =<e Fe jωt⎡⎣ ⎤⎦ G=<e Ge jωt⎡⎣ ⎤⎦si ottiene
F ⋅G=<e
F ⋅G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+ <e
F ⋅G2
e j 2ωt⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
F ×G=<e
F × G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+ <e
F × G
2e j 2ωt⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
F ⋅G=<e
F ⋅G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+ <e
F ⋅G2
e j 2ωt⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
F ⋅G =<e
F ⋅G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
F ⋅G
t
T =2πω
F ⋅G =<e
F ⋅G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Molti degli effetti macroscopici dell’interazione elettromagnetica in regime sinusoidale dipendono dai valori medi delle grandezze energetiche
F ×G =<e
F × G*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
J c2
σ=ℜe
J c⋅J c*
2σ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
J c⋅J c*
2σ= J c
2
2σ
densità media di potenza termica sviluppata per effetto Joule
densità media del flusso di potenza elettromagnetica
E ×H =<e
E × H*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥= <e S[ ]
S @
E ×H *
2densità di potenza complessa
Esempi:
Bilancio energetico per i valori medi
− E ⋅∂D∂t
+ H ⋅∂B
∂t+ E ⋅ J c + J 0( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV = S ⋅n̂
SV
∫ dSV
− E ⋅J 0
V∫ dV
= E ⋅∂D
∂t+ J
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟dV +
V∫ H ⋅
∂B
∂tV∫ dV + S ⋅n̂
SV
∫ dSV
E ⋅J 0 = ℜe
E ⋅J0*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
E ⋅∂D∂t
+ J c⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= ℜe
E ⋅ jω D + Jc( )*
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= ℜeE ⋅ jω ε E( )
*
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=ℜeE ⋅ - jω ε0 ′ε + j ′′ε( ) E*
( )
2
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
=ω ε0 ′′ε E 2
2
H ⋅
∂B∂t
= ℜeH ⋅ jω B( )
*
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= ℜeH ⋅ jω μ H( )
*
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=ω μ0 ′′μ H 2
2
S =ℜe
E × H*
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥= ℜe S[ ]
−ℜeE ⋅J0
*
2dV
V∫=
ω ε0 ′′ε E 2
2+
ω μ0 ′′μ H 2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V∫ dV + ℜe S[ ]⋅n̂ dSVSV
∫
Bilancio delle potenze medie
potenza “generata” dalle correnti impresse
potenza dissipata (perdite elettriche + perdite magnetiche)
potenza “uscente”
J0
n̂
V
SV
Se le correnti impresse sono distribuite su lamine l’integrale di volume viene sostituito da un analogo integrale di superficie
Densità della potenza dissipata
Wdiss =ω ε0 ′′ε E 2
2+ω μ0 ′′μ H 2
2 [W/m3]
La potenza dissipata per perdite elettriche o magnetiche non può essere negativa. Pertanto
′′ε ≥0 ′′μ ≥0
In un mezzo ideale “senza perdite”
′′ε = ′′μ =0