Calculul ariei unei suprafeţe plane

In acest subcapitol se va defini clasa mulţimilor din R2 care au

arie şi se va arăta că dacă

Este o funcţie continuă şi pozitivă, atunci mulţimea definita prin

numita subgraficul lui f, are arie şi aria sa este egală cu integrala lui f

pe intervalul [a,b]:

1. Definitie. O mulţime E din planul R2 se numeşte

elementară dacă

unde sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele de

coordona te, iar oricare două dreptunghiuri diferite , au cel

mult o latură

comună. Prin definiţie are loc:

Observaţii:

a) Reprezentarea unei mulţimi elementare E sub

forma nu este unică.

b) Reuniunea, intersecţia şi diferenţa a două mulţimi

elementare sunt tot mulţimi elementare.

c) Aria unei mulţimi elementare E nu depinde de

scrierea lui E sub forma ca in definiţia 1.,

adică dacă

şi

sunt două reprezentări ale lui E ca in definiţia 1.,

atunci

d) Dacă E, F sunt mulţimi elementare disjuncte, sau

care au în comun cel mult laturi ale unor dreptun

ghiuri componente, atunci:

e) Dacă E, F sunt mulţimi elementare astfel încât

, atunci şi

2. Definiţie. Fie A o mulţime mărginită din plan. Spunem că

mulţimea A are arie, dacă există două şiruri , de

mulţimi elementare astfel încât:

, , (1)

şirurile de numere reale pozitive

şi

sunt convergente şi

= . (2)

În acest caz punem

= .

Observaţii:

a) Definiţia ariei lui A este corectă; adică dacă luăm

, alte două şiruri de mulţimi elementare care satisfac

condiţiile (1) şi (2) din definiţia 2, atunci

= = = .

b) Dacă A Şi B au arie, atunci A B, A B şi A\B au arie.

c) Dacă A,B au arie şi A B=Ø, atunci

.

d) Dacă A,B au arie şi B A, atunci

.

Aceste rezultate nu se demonstrează.

3.Teoremă. Dacă este o funcţie continuă pozitivă

atunci

a) are arie

b) aria ( )= .

Demonstraţie. Fie

(n )

un şir de diviziuni astfel încât

(1)

şi să notăm cu (respective ) marginea inferioară (respective

superioară) a funcţiei f pe intervalul închis şi mărginit [ ].

Se ştie că orice funcţie continuă pe un interval închis şi

mărginit J, îşi atinge marginile pe J. Deci, în cazul nostru există

şi

astfel încât

şi .

Fie (figura)

,

dreptunghiurile de bază şi înălţime , respectiv . Mulţimile

elementare

, respectiv ,

verifică incluziunile

, (2)

iar ariile lor sunt

= (3)

respectiv

(4)

Funcţia f fiind continuă, este integrabilă, deci, ţinând seama

de relaţiile (1),(3) şi (4), obţinem:

Şirurile de mulţimi elementare şi verificând relaţiile

(2) şi (5), rezultă că mulţimea are arie şi (definiţia 2.)

.

4.Consecinţă. Dacă f,g:[a,b] sunt funcţii continue astfel

încât

f(x) g(x), ( )x

atunci mulţimea (figura)

, cuprinsă între graficele funcţiilor

f,g şi dreptele paralele la Oy care taie axa Ox în punctele a si b

respective, are arie şi

Dacă g(x) f(x) 0, ( )x atunci

- .

Astfel, prin renunţarea la conditia f g se obţine:

formula pentru aria mulţimii plane cuprinsă între graficele funcţiilor f

şi g şi dreptele x=a respective x=b.

5. Consecinţă. Dacă în teorema 3 se renunţă la ipoteza

asupra lui f de funcţie pozitivă, formula de arie devine

aria ( )=

iar sensul acesteia este acela că în raport cu axa Ox, graficul funcţiei

formează o arie dar aceasta se află în semiplanul negative. Cum aria

este o mărime pozitivă se recurge la funcţia modul pentru calcularea

sa.