CALCULO III ? PRIMERA PRUEBA PARCIAL1

1. a) El alcance de un proyectil disparado con un angulo de elevacion sobre la horizontal y con veloci-dad inicial v0 esta dado por

R =v20 sen 2

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EvaluarR

v0yR

, cuando v0 = 2000m/s y = 5o. [4 ptos.]

b) La temperatura T , en grados Celsius, en cualquier punto (x, y) de una lamina metalica circular de10 metros de radio es

T = 600 0,75x2 0,75y2

donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. [8 ptos.]

2. Considere la superficie S = {(x, y, z) R3/ x2 + y2 z = 0}a) Encuentre el plano tangente a S en el punto (0,pi, pi2). [8 ptos.]b) Considere la curva definida por (t) = (t sen t, t cos t, t2). Muestre que esta contenida en S y

que pasa por el punto(0,pi, pi2). Cual es el valor de t all? [8 ptos.]c) Calcule el vector v, tangente a la curva en (0,pi, pi2). [4 ptos.]

3. Evaluar el diferencial de f(x) = x y + (x2 + y2)1/3 (derivada total), para x = 1, y = 2, dx = 0,1 ydy = 0,3 [10 ptos.]

4. El capitan Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de lanave, cuando el esta en la posicion (x, y, z) estara dada por:

T (x, y, z) = e(x2+2y2+3z2)

donde x, y, z estan medidos en metros. Actualmente el esta en (1, 1, 1):

a) En que direccion debera avanzar para disminuir mas rapido la temperatura? [5 ptos.]b) Si la nave viaja a e8 metros por segundo, con que rapidez decrecera la temperatura?. [7 ptos.]c) Desafortunadamente, el metal del casco se quebrara si se enfra a una tasa mayor que

14e2 grados

por segundo. Describir el conjunto de posibles direcciones en las que puede avanzar bajando latemperatura a una tasa no mayor que esa. [6 ptos.]

1Karina M. - 13 de abril de 2010