CALCULO III ? GUIA 7TRAYECTORIAS - INTEGRALES DE L INEA1

1. Calcular la longitud del camino (helicoidal) de ecua-cion

(t) = (cos t, sen t, t) 0 t 4pi

2. Calcular la longitud de la cicloide:

x = t sen t, y = 1 cos t 0 t 2pi

3. Calcular la integral de lnea del campo escalar f , de-finido en todo el plano por

f(x, y) = 2x (x, y) R2

a lo largo del camino dado por:

(t) = (t, t2) 1 t 3/2

4. Evaluar (1,2)(0,1)

{(x2 y)dx+ (y2 + x)dy}, a lo lar-go de:

a) una recta desde (0, 1) a (1, 2) (R. 5/3)

b) una recta desde (0, 1) a (1, 1) (R. 8/3)

c) la parabola x = t; y = t2 + 1 (R. 2)

5. Halle la longitud de la curva dada por la parametriza-cion

(t) = ti+4

3t3/2j+

1

2tk t [0, 2]

(R. 1/48(3737 55))

6. La ecuacion de una curva es y2 = x3. Halle la longi-tud de arco que une (1,1) a (1, 1).

(R. 1/27(2613 16))

7. Calcule

zds, donde es la curva descrita por la

parametrizacion

(t) = t cos ti+ t sen tj+ tk 0 t 2pi

(R. 1/3((2 + 4pi2)3 22))

8. Calcular

fds siendo

f(x, y, z) = y sen z (x, y, z) R3;(t) = (cos t, sen t, t) 0 t 2pi.

9. CalculeC(x+ y)ds, siendo C un triangulo de

vertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1)

(R. 1 +2)

10. Un alambre tiene forma de circunferencia x2 + y2 =a2. Determine su masa, si la desnsidad en un punto(x, y) del alambre esta dada por la funcion f(x, y) =|x| + |y|. (Ind. La masa del alambre viene dada porla expresion M =

f(x, y)ds =

(|x|+ |y|)dssiendo la curva cuya trayectoria representa la formadel alambre, en este caso una circunferencia)

(R. M = 8a2)

11. Calcule la integral del campo vectorial

F (x, y) = (x2 2xy)i+ (y2 2xy)j

a lo largo de la parabola y = x2 desde (1, 1) a(1, 1).

(R. 14/15)

12. Calcule la integral curvilnea

(x+ 2)dx+ 3zdy + y2dz,

siendo una parametrizacion de la curva interseccionde las superficies

x2 + y2 + z2 = 1, z = x 1

(R.32

4pi)

1Karina Malla - 6 de mayo de 2011