cÁlculo volume 2 - tradução da 6ª edição norte-americana
DESCRIPTION
Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2 (capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo. Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano para o Sistema Internacional de Unidades.TRANSCRIPT
VOLUME 2
Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e
o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e
no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2
(capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre
outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo.
Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e
capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus
dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano
para o Sistema Internacional de Unidades.
Revista e atualizada, a obra mantém o espírito das edições anteriores, apresentando exercícios
graduados, com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas
complexos e desafiadores. Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global, incluindo dados
inspirados em países da Ásia e América Latina.
Aplicações:
Livro-texto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia.
Para suas soluções de curso e aprendizado,visite www.cengage.com.br
ISBN 13 – 978-85-221-0661-5ISBN 10 – 85-221-0661-4
9 788522 106615
Sobre o autor
James Stewart é mestre pela
Universidade de Stanford e Ph.D pela
Universidade de Toronto. Após dois
anos na Universidade de Londres,
tornou-se professor de Matemática na
McMaster University. Seus livros foram
traduzidos para diversos idiomas, como
espanhol, português, francês, italiano,
coreano, chinês e grego.
Stewart foi nomeado membro do Fields
Institute em 2002 e recebeu o
doutorado honorário em 2003 pela
McMaster University. O Centro de
Matemática James Stewart foi aberto
em outubro de 2003, também na
McMaster University.
cálculoV
OL
UM
E 2
JA
ME
S S
TE
WA
RT
POSSUI MATERIAL DE APOIO
cálculoTRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA
VOLUME 2
Outras Obras
Álgebra Linear
David Poole
Análise Numérica – Tradução da
8ª edição norte-americana
Richard L. Burden e J. Douglas Faires
Cálculo Volume 1 – Tradução da
6ª edição norte-americana
James Stewart
Cálculo Numérico: aprendizagem
com apoio de software
Selma Arenales e Artur Darezzo
Pré-Cálculo – 2ª edição revista e
atualizada
Valéria Zuma Medeiros (Coord.)
André Machado Caldeira
Luiza Maria Oliveira da Silva
Maria Algusta Soares Machado
Probabilidade e Estatística para
Engenharia e Ciências
Jay L. Devore
Vetores e Matrizes: Uma introdução à
álgebra linear – 4ª edição
Nathan Moreira dos Santos, Doherty
Andrade e Nelson Martins Garcia
cálculo
J A M E S S T E W A R T
POSSUI MATERIAL DE APOIO
TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
AF_calculo2.ai 7/28/09 10:52:22 AM
XIII
TESTES DE VERIFICAÇÃOMMXVII
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOMMXXII
EQUAÇÕES DIFERENCIAISMM536
9.1 Modelagem com Equações DiferenciaisMM5379.2 Campos de Direções e o Método de EulerMM5429.3 Equações SeparáveisMM549
Projeto Aplicado � Quão Rapidamente um Tanque Esvazia?MM557
Projeto Aplicado � O Que É Mais Rápido: Subir ou Descer?MM559
9.4 Modelos para Crescimento PopulacionalMM560Projeto Aplicado � Cálculo e BeisebolMM569
9.5 Equações LinearesMM5719.6 Sistemas Predador-PresaMM576
RevisãoMM583
Problemas QuentesMM586
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARESMM588
10.1 Curvas Definidas por Equações ParamétricasMM589Projeto de Laboratório � Rolando Círculos ao Redor de CírculosMM597
10.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas MM598Projeto de Laboratório � Curvas de BézierMM606
10.3 Coordenadas PolaresMM60710.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas PolaresMM61710.5 Seções CônicasMM62110.6 Seções Cônicas em Coordenadas PolaresMM628
RevisãoMM635
Problemas QuentesMM638
SUMÁRIO
9
10
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XIII
XIVM||||MCÁLCULO
SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASMM640
11.1 SequênciasMM641Projeto de Laboratório � Sequências LogísticasMM652
11.2 SériesMM65211.3 O Teste da Integral e Estimativas de SomasMM66111.4 Os Testes de ComparaçãoMM66811.5 Séries AlternadasMM67311.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da RaizMM67811.7 Estratégia para Testar as SériesMM68411.8 Séries de PotênciasMM68711.9 Representações de Funções como Séries de PotênciasMM69211.10 Séries de Taylor e de MaclaurinMM698
Projeto de Laboratório � Um Limite ElusivoMM711
Projeto Escrito � Como Newton Descobriu a Série BinomialMM711
11.11 Aplicações de Polinômios de TaylorMM712Projeto Aplicado � Radiação Proveniente das EstrelasMM720
RevisãoMM721
Problemas QuentesMM725
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇOMM728
12.1 Sistema de Coordenadas TridimensionaisMM72912.2 VetoresMM73412.3 O Produto EscalarMM74212.4 O Produto VetorialMM749
Projeto de Descoberta � A Geometria do TetraedroMM756
12.5 Equações de Retas e PlanosMM756Projeto de Laboratório � Pondo 3D em PerspectivaMM765
12.6 Cilindros e Superfícies QuádricasMM766RevisãoMM773
Problemas QuentesMM776
FUNÇÕES VETORIAISMM778
13.1 Funções Vetoriais e Curvas EspaciaisMM77913.2 Derivadas e Integrais de Funções VetoriaisMM78513.3 Comprimento de Arco e CurvaturaMM79113.4 Movimento no Espaço: Velocidade e AceleraçãoMM799
Projeto Aplicado � Leis de KeplerMM807
RevisãoMM809
Problemas QuentesMM812
11
12
LONDRES
PARIS
13
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XIV
SUMÁRIOM||||M XV
DERIVADAS PARCIAISMM814
14.1 Funções de Várias VariáveisMM81514.2 Limites e ContinuidadeMM82914.3 Derivadas ParciaisMM83614.4 Planos Tangentes e Aproximações LinearesMM84814.5 Regra da CadeiaMM85714.6 Derivadas Direcionais e o Vetor GradienteMM86514.7 Valores Máximo e MínimoMM877
Projeto Aplicado � Projeto de uma CaçambaMM887
Projeto de Descoberta � Aproximação Quadrática e Pontos CríticosMM887
14.8 Multiplicadores de LagrangeMM888Projeto Aplicado � Ciência dos FoguetesMM895
Projeto Aplicado � Otimização de uma Turbina HidráulicaMM896
RevisãoMM897
Problemas QuentesMM902
INTEGRAIS MÚLTIPLASMM904
15.1 Integrais Duplas sobre RetângulosMM90515.2 Integrais IteradasMM91315.3 Integrais Duplas sobre Regiões GeraisMM91815.4 Integrais Duplas em Coordenadas PolaresMM92615.5 Aplicações das Integrais DuplasMM93115.6 Integrais TriplasMM940
Projeto de Descoberta � Volumes de HiperesferasMM950
15.7 Integrais Triplas em Coordenadas CilíndricasMM950Projeto de Descoberta � A Intersecção de Três CilindrosMM954
15.8 Integrais Triplas em Coordenadas EsféricasMM954Projeto Aplicado � Corrida na RampaMM960
15.9 Mudança de Variáveis em Integrais MúltiplasMM961RevisãoMM969
Problemas QuentesMM972
CÁLCULO VETORIALMM974
16.1 Campos VetoriaisMM97516.2 Integrais de LinhaMM98116.3 Teorema Fundamental das Integrais de LinhaMM99216.4 Teorema de GreenMM100016.5 Rotacional e DivergenteMM100716.6 Superfícies Parametrizadas e Suas ÁreasMM101516.7 Integrais de SuperfícieMM102516.8 O Teorema de StokesMM1036
Projeto Escrito � Três Homens e Dois Teoremas 1041
14
15
16
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XV
XVIM||||MCÁLCULO
16.9 O Teorema do DivergenteMM104116.10 Resumo dos TeoremasMM1047
RevisãoMM1048
Problemas QuentesMM1051
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052
17.1 Equações Lineares de Segunda OrdemMM105317.2 Equações Lineares Não HomogêneasMM105817.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM106517.4 Soluções em SériesMM1072
RevisãoMM1076
APÊNDICES
A Números, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2B Geometria Analítica e RetasMMA10C Cônicas: Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16D TrigonometriaMMA23E Notação de Somatória (ou Notação Sigma)MMA32F Demonstrações dos TeoremasMMA37G O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47H Números ComplexosMMA54I Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61
ÍNDICE REMISSIVOMMA93
17
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVI
XVIM||||MCÁLCULO
16.9 O Teorema do DivergenteMM104116.10 Resumo dos TeoremasMM1047
RevisãoMM1048
Problemas QuentesMM1051
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052
17.1 Equações Lineares de Segunda OrdemMM105317.2 Equações Lineares Não HomogêneasMM105817.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM106517.4 Soluções em SériesMM1072
RevisãoMM1076
APÊNDICES
A Números, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2B Geometria Analítica e RetasMMA10C Cônicas: Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16D TrigonometriaMMA23E Notação de Somatória (ou Notação Sigma)MMA32F Demonstrações dos TeoremasMMA37G O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47H Números ComplexosMMA54I Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61
ÍNDICE REMISSIVOMMA93
17
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVI
XVII
1. Calcule cada expressão sem usar uma calculadora.(a) (�3)4 (b) �34 (c) 3�4
(d) (e) ( )�2
(f) 16�3/4
2. Simplifique cada expressão. Escreva suas respostas sem expoentes negativos.(a) √
–––200 � √
––32
(b) (3a3b3)(4ab2)2
(c) ( )�2
3. Expanda e simplifique.(a) 3(x � 6) � 4(2x � 5) (b) (x � 3)(4x � 5) (c) (√–
a � √–b )(√–
a � √–b ) (d) (2x � 3)2
(e) (x � 2)3
4. Fatore cada expressão.(a) 4x2
� 25 (b) 2x2� 5x � 12
(c) x3� 3x2
� 4x � 12 (d) x4� 27x
(e) 3x3/2� 9x1/2
� 6x�1/2 (f) x3y � 4xy
5. Simplifique as expressões racionais.
(a) (b) �
(c) � (d) x � 1
����x � 2
x2
����x2
� 4
x � 3����2x � 1
2x2� x � 1
����x2
� 9
x2� 3x � 2
����x2
� x � 2
3x3/2y3
�x2y�1/2
2�3
523
�521
A
TESTES DE VERIFICAÇÃO
O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática queprecede o cálculo: álgebra, geometria analítica, funções e trigonometria. Os testesa seguir têm a intenção de diagnosticar falhas que você possa ter nessas áreas. De-pois de fazer cada teste, é possível conferir suas respostas com as respostas dadas e,se necessário, refrescar sua memória consultando o material de revisão fornecido.
TESTES DE VERIFICAÇÃO: ÁLGEBRA
� x�y
y�x
� 1�x
1�y
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVII
XVIIIM||||MCÁLCULO
6. Racionalize a expressão e simplifique.
(a) (b)
7. Reescreva, completando o quadrado.(a) x2
� x � 1 (b) 2x2� 12x � 11
8. Resolva a equação. (Encontre apenas as soluções reais.)
(a) x � 5 � 14 � 12– x (b) �
(c) x2� x � 12 � 0 (d) 2x2
� 4x � 1 � 0 (e) x4
� 3x2� 2 � 0 (f) 3| x � 4| � 10
(g) 2x(4 � x)�1/2� 3√
–––––4 � x � 0
9. Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notação de intervalos.(a) �4 � 5 � 3x � 17 (b) x2
� 2x � 8 (c) x(x � 1)(x � 2) � 0 (d) | x � 4| � 3
(e) � 1
10. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.(a) (p � q)2
� p2� q2 (b) √
––ab � √
–a √
–b
(c) √–––––a2 � b2– � a � b (d) � 1 � T
(e) � � (f) � 1
����a � b
1����a/x � b/x
1�x
1�y
1����x � y
1 � TC����
C
2x � 3����x � 1
2x � 1����
x
2x����x � 1
√–––––4 � h � 2
����h
√––10
����√
–5 � 2
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A: ÁLGEBRA
1. (a) 81 (b) �81 (c) 181––
(d) 25 (e) 94– (f) 18–
2. (a) 6√–2 (b) 48a5b7 (c)
3. (a) 11x � 2 (b) 4x2� 7x � 15
(c) a � b (d) 4x2� 12x � 9
(e) x3� 6x2
� 12x � 8
4. (a) (2x � 5)(2x � 5) (b) (2x � 3)(x � 4) (c) (x � 3)(x � 2)(x � 2) (d) x(x � 3)(x2
� 3x � 9) (e) 3x�1/2(x � 1)(x � 2) (f) xy(x � 2)(x � 2)
5. (a) (b)
(c) (d) �(x � y)1
����x � 2
x � 2����x � 2
x � 1����x � 3
x����9y7
6. (a) 5√–2 � 2√
––10 (b)
7. (a) (x � 12–)2
�34– (b) 2(x � 3)2
� 7
8. (a) 6 (b) 1 (c) �3, 4 (d) �1 � 1
2–√
–2 (e) �1, �√
–2 (f) 23–, 22
3–
(g) 125–
9. (a) [�4, 3) (b) (�2, 4)(c) (�2, 0) � (1, ∞) (d) (1, 7)(e) (�1, 4]
10. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso (f) Verdadeiro
1����√
–––––4 � h � 2
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVIII
XVIIIM||||MCÁLCULO
6. Racionalize a expressão e simplifique.
(a) (b)
7. Reescreva, completando o quadrado.(a) x2
� x � 1 (b) 2x2� 12x � 11
8. Resolva a equação. (Encontre apenas as soluções reais.)
(a) x � 5 � 14 � 12– x (b) �
(c) x2� x � 12 � 0 (d) 2x2
� 4x � 1 � 0 (e) x4
� 3x2� 2 � 0 (f) 3| x � 4| � 10
(g) 2x(4 � x)�1/2� 3√
–––––4 � x � 0
9. Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notação de intervalos.(a) �4 � 5 � 3x � 17 (b) x2
� 2x � 8 (c) x(x � 1)(x � 2) � 0 (d) | x � 4| � 3
(e) � 1
10. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.(a) (p � q)2
� p2� q2 (b) √
––ab � √
–a √
–b
(c) √–––––a2 � b2– � a � b (d) � 1 � T
(e) � � (f) � 1
����a � b
1����a/x � b/x
1�x
1�y
1����x � y
1 � TC����
C
2x � 3����x � 1
2x � 1����
x
2x����x � 1
√–––––4 � h � 2
����h
√––10
����√
–5 � 2
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A: ÁLGEBRA
1. (a) 81 (b) �81 (c) 181––
(d) 25 (e) 94– (f) 18–
2. (a) 6√–2 (b) 48a5b7 (c)
3. (a) 11x � 2 (b) 4x2� 7x � 15
(c) a � b (d) 4x2� 12x � 9
(e) x3� 6x2
� 12x � 8
4. (a) (2x � 5)(2x � 5) (b) (2x � 3)(x � 4) (c) (x � 3)(x � 2)(x � 2) (d) x(x � 3)(x2
� 3x � 9) (e) 3x�1/2(x � 1)(x � 2) (f) xy(x � 2)(x � 2)
5. (a) (b)
(c) (d) �(x � y)1
����x � 2
x � 2����x � 2
x � 1����x � 3
x����9y7
6. (a) 5√–2 � 2√
––10 (b)
7. (a) (x � 12–)2
�34– (b) 2(x � 3)2
� 7
8. (a) 6 (b) 1 (c) �3, 4 (d) �1 � 1
2–√
–2 (e) �1, �√
–2 (f) 23–, 22
3–
(g) 125–
9. (a) [�4, 3) (b) (�2, 4)(c) (�2, 0) � (1, ∞) (d) (1, 7)(e) (�1, 4]
10. (a) Falso (b) Verdadeiro (c) Falso (d) Falso (e) Falso (f) Verdadeiro
1����√
–––––4 � h � 2
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XVIII
TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXIX
1. Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2, �5) e (a) tem inclinação �3(b) é paralela ao eixo x(c) é paralela ao eixo y(d) é paralela à reta 2x � 4y � 3
2. Encontre uma equação para o círculo que tem centro (�1, 4) e passa pelo ponto(3, �2).
3. Encontre o centro e o raio do círculo com equação x2� y2
� 6x � 10y � 9 � 0.
4. Sejam A(�7, 4) e B(5, �12) pontos no plano. (a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B. (b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as intersecções
com os eixos?(c) Encontre o ponto médio do segmento AB. (d) Encontre o comprimento do segmento AB. (e) Encontre uma equação para a mediatriz de AB. (f) Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro.
5. Esboce a região do plano xy definidas pelas equações ou inequações.(a) �1 � y � 3 (b) | x | � 4 e | y | � 2(c) y � 1 � 1
2– x (d) y � x2
� 1 (e) x2
� y2� 4 (f) 9x2
� 16y2� 144
Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte a revisão degeometria analítica, nos Apêndices B e C.
B TESTES DE VERIFICAÇÃO: GEOMETRIA ANALÍTICA
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO B: GEOMETRIA ANALÍTICA
1. (a) y � �3x � 1 (b) y � �5 (c) x � 2 (d) y � 1
2– x � 6
2. (x � 1)2� (y � 4)2
� 52
3. Centro (3, �5), raio 5
4. (a) � 34–
(b) 4x � 3y � 16 � 0; intersecção com o eixo x, �4;intersecção com o eixo y, � 3
16–(c) (�1, �4) (d) 20 (e) 3x � 4y � 13 (f) (x � 1)2
� (y � 4)2 � 100
5.
y
x1 20
y
x0
y
x0 4
3
�1
2
y
x0
y
x0 4�4
y
x0 2
1
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
�1
32
�2
y � x2 � 1
x2 � y2 � 4
y � 1 � x12
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XIX
XXM||||MCÁLCULO
1. O gráfico de uma função f é dado à esquerda. (a) Diga o valor de f (�1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) � 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) � 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f.
2. Se f (x) � x3, calcule o quociente da diferença e simplifique sua resposta.
3. Encontre o domínio da função
(a) f (x) � (b) t(x) � (c) h(x) � √–––––4 � x � √
–––––x2 � 1
4. Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ? (a) y � �f (x) (b) y � 2 f (x) � 1 (c) y � f (x � 3) � 2
5. Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.(a) y � x3 (b) y � (x � 1)3 (c) y � (x � 2)3
� 3 (d) y � 4 � x2 (e) y � √
–x (f) y � 2√
–x
(g) y � �2x (h) y � 1 � x�1
6. Seja f (x)� { 1 � x2 se x � 02x � 1 se x � 0
(a) Calcule f (�2) e f (1). (b) Esboce o gráfico de f.
7. Se f (x) � x2 � 2x � 1 e t(x) � 2x � 3, encontre cada uma das seguintes funções.
(a) f � t (b) t � f (c) t � t � t
3√–x
����x2
� 1
2x � 1����x2
� x � 2
f (2 � h) � f (2)����
h
C TESTES DE VERIFICAÇÃO: FUNÇÕES
FIGURA PARA O PROBLEMA 1
y
0 x
1
1
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C: FUNÇÕES
1. (a) �2 (b) 2,8(c) �3,1 (d) �2,5, 0,3(e) [�3, 3], [�2, 3]
2. 12 � 6h � h2
3. (a) (�∞, �2) � (�2, 1) � (1, ∞) (b) (�∞, ∞)(c) (�∞, �1] � [1, 4]
4. (a) Refletindo em torno do eixo x.(b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir
transladando 1 unidade para baixo.(c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unida-
des para cima.
5.
6. (a) �3, 3 7. (a) ( f � t)(x) � 4x2 � 8x � 2
(b) (b) (t � f )(x) � 2x2� 4x � 5
(c) (t � t � t)(x) � 8x � 21
(e) (f)
(g)
y(d)
x0
4
2
y
x0
y
1 x0 1
y(h)
x0
1
y
x0
1 1�1
y
x0
y(a) (b) (c)
1
1 x0
1
�1
y
x0
(2, 3)
y
x0�1
1
Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte as Seções 1.1 a 1.3 deste livro.
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XX
XXM||||MCÁLCULO
1. O gráfico de uma função f é dado à esquerda. (a) Diga o valor de f (�1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) � 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) � 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f.
2. Se f (x) � x3, calcule o quociente da diferença e simplifique sua resposta.
3. Encontre o domínio da função
(a) f (x) � (b) t(x) � (c) h(x) � √–––––4 � x � √
–––––x2 � 1
4. Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ? (a) y � �f (x) (b) y � 2 f (x) � 1 (c) y � f (x � 3) � 2
5. Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.(a) y � x3 (b) y � (x � 1)3 (c) y � (x � 2)3
� 3 (d) y � 4 � x2 (e) y � √
–x (f) y � 2√
–x
(g) y � �2x (h) y � 1 � x�1
6. Seja f (x)� { 1 � x2 se x � 02x � 1 se x � 0
(a) Calcule f (�2) e f (1). (b) Esboce o gráfico de f.
7. Se f (x) � x2 � 2x � 1 e t(x) � 2x � 3, encontre cada uma das seguintes funções.
(a) f � t (b) t � f (c) t � t � t
3√–x
����x2
� 1
2x � 1����x2
� x � 2
f (2 � h) � f (2)����
h
C TESTES DE VERIFICAÇÃO: FUNÇÕES
FIGURA PARA O PROBLEMA 1
y
0 x
1
1
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C: FUNÇÕES
1. (a) �2 (b) 2,8(c) �3,1 (d) �2,5, 0,3(e) [�3, 3], [�2, 3]
2. 12 � 6h � h2
3. (a) (�∞, �2) � (�2, 1) � (1, ∞) (b) (�∞, ∞)(c) (�∞, �1] � [1, 4]
4. (a) Refletindo em torno do eixo x.(b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir
transladando 1 unidade para baixo.(c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unida-
des para cima.
5.
6. (a) �3, 3 7. (a) ( f � t)(x) � 4x2 � 8x � 2
(b) (b) (t � f )(x) � 2x2� 4x � 5
(c) (t � t � t)(x) � 8x � 21
(e) (f)
(g)
y(d)
x0
4
2
y
x0
y
1 x0 1
y(h)
x0
1
y
x0
1 1�1
y
x0
y(a) (b) (c)
1
1 x0
1
�1
y
x0
(2, 3)
y
x0�1
1
Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte as Seções 1.1 a 1.3 deste livro.
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TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXXI
1. Converta de graus para radianos.(a) 300º (b) �18º
2. Converta de radianos para graus.(a) 5p/6 (b) 2
3. Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm cujo ângulo cen-tral é 30º.
4. Encontre os valores exatos.(a) tg(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3)
5. Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de u.
6. Se sen x � 13– e sec y � 5
4–, onde x e y estão entre 0 e p/2, calcule sen(x � y).
7. Demonstre as identidades.(a) tg u sen u � cos u � sec u
(b) � sen 2x
8. Encontre todos os valores de x tais que sen 2x � sen x e 0 � x � 2p.
9. Esboce o gráfico da função y � 1 � sen 2x sem usar uma calculadora.
2 tg x ����1 � tg2x
D TESTES DE VERIFICAÇÃO: TRIGONOMETRIA
RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO D: TRIGONOMETRIA
Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte o Apêndice D deste livro.
1. (a) 5p/3 (b) �p/10
2. (a) 150º (b) 360/p � 114,6º
3. 2p cm
4. (a) √–3 (b) � 1
2– (c) 2
5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u
6. 115– (4 � 6√
–2)
8. 0, p/3, p, 5p/3, 2p
9.
�p p x0
2y
a
u
b
24
FIGURA PARA O PROBLEMA 5
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXI
XXII
O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. O cálculo émenos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quan-tidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geraldo assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada emalgumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando ten-tamos resolver diversos problemas.
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXII
XXII
O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. O cálculo émenos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quan-tidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geraldo assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada emalgumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando ten-tamos resolver diversos problemas.
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXII
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXIII
O PROBLEMA DA ÁREA
As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quandoforam encontradas áreas usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época, os gre-gos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, como naFigura 1 e, em seguida, somando as áreas obtidas.
É muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos an-tigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então au-mentar o número de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial deum círculo, com polígonos regulares inscritos.
A � A1 � A2 � A3 � A4 � A5
A1
A2
A3A4
A5
FIGURA 1
A12 ���A7 ���A6A5A4A3
Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n, ficaevidente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que aárea do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos
A � limn m∞
An
Os gregos, porém, não usaram explicitamente os limites. Todavia, por um raciocínio in-direto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustão para demonstrar a conhecida fórmula daárea do círculo: A � pr2.
Usamos uma ideia semelhante no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipomostrado na Figura 3. Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retângulos (comona Figura 4), fazer decrescer a largura dos retângulos e então calcular A como o limitedessas somas de áreas de retângulos.
FIGURA 2
1n
10 x
y
(1, 1)
10 x
y
(1, 1)
14
12
34
0 x
y
1
(1, 1)
10 x
y
y � x2
A
(1, 1)
FIGURA 3 FIGURA 4
O problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral. As técni-cas que desenvolvemos no Capítulo 5 para encontrar áreas também possibilitam o cálculodo volume de um sólido, o comprimento de um arco, a força da água sobre um dique, amassa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a águapara fora de um tanque.
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIII
XXIVM||||MCÁLCULO
O PROBLEMA DA TANGENTE
Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y � f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2. Por ora, você pode pensá-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encon-trar a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que, paracalcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o pontoP. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, to-mando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secantePQ. Da Figura 6 vemos que
mPQ �
Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como suaposição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais pró-xima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por
m � limQ mP
mPQ
e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vezque x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever
m � limx ma
Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2. O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial,
que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais ideiaspor trás do cálculo diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fermat (1601--1665) e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), IsaacBarrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).
Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais, o da área e o da tangente, ape-sar de parecerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. O problema da área e o da tangente são problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Capítulo 5.
VELOCIDADE
Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essainformação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma horao carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significadode a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h?
Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendouma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros)em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir:
t � Tempo decorrido (s) 0 2 4 6 8 10d � Distância (m) 0 2 10 25 43 78
2f (x) � f (a)
����x � a
1f (x) � f (a)
����x � a
0
y
x
P
y � ƒ(x)
t
P
Q
t
0 x
y
y
0 xa x
f (x) � f (a)P(a, f (a))
x � a
t
Q(x, f (x))
FIGURA 5A reta tangente em P
FIGURA 6A reta secante PQ
FIGURA 7Retas secantes aproximando-se da reta tangente
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIV
XXIVM||||MCÁLCULO
O PROBLEMA DA TANGENTE
Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y � f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2. Por ora, você pode pensá-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encon-trar a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que, paracalcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o pontoP. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, to-mando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secantePQ. Da Figura 6 vemos que
mPQ �
Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como suaposição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais pró-xima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por
m � limQ mP
mPQ
e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vezque x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever
m � limx ma
Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2. O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial,
que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais ideiaspor trás do cálculo diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fermat (1601--1665) e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), IsaacBarrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão GottfriedLeibniz (1646-1716).
Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais, o da área e o da tangente, ape-sar de parecerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. O problema da área e o da tangente são problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Capítulo 5.
VELOCIDADE
Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essainformação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma horao carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significadode a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h?
Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendouma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros)em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir:
t � Tempo decorrido (s) 0 2 4 6 8 10d � Distância (m) 0 2 10 25 43 78
2f (x) � f (a)
����x � a
1f (x) � f (a)
����x � a
0
y
x
P
y � ƒ(x)
t
P
Q
t
0 x
y
y
0 xa x
f (x) � f (a)P(a, f (a))
x � a
t
Q(x, f (x))
FIGURA 5A reta tangente em P
FIGURA 6A reta secante PQ
FIGURA 7Retas secantes aproximando-se da reta tangente
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXIV
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXV
Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 4 segundos de movimento, cal-cularemos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4 � t � 8:
velocidade média �
�
� 8,25 m/s Analogamente, a velocidade média no intervalo 4 � t � 6 é
velocidade média � � 7,5 m/s
Nossa intuição é de que a velocidade no instante t � 4 não pode ser muito diferente davelocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t � 4. Assim,imaginaremos que a distância percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, comona tabela a seguir:
t 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0d 10,00 11,02 12,16 13,45 14,96 16,80
Então, podemos calcular, por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5]:
velocidade média � � 6,8 m/s
Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela:
Intervalo de tempo [4, 6] [4, 5] [4, 4,8] [4, 4,6] [4, 4,4] [4, 4,2]Velocidade média (m/s) 7,5 6,8 6,2 5,75 5,4 5,1
As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez maispróximas de 5; dessa forma, esperamos que exatamente em t � 4 a velocidade seja cercade 5 m/s. No Capítulo 2 definimos a velocidade instantânea de um objeto em movimentocomo o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.
Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro tra-çando a distância percorrida como uma função do tempo. Se escrevermos d � f (t), entãof (t) é o número de metros percorridos após t segundos. A velocidade média no intervalode tempo [4, t] é
velocidade média � �
que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade vquando t � 4 é o valor-limite da velocidade média quando t aproxima-se de 4; isto é,
v � limt m4
e, da Equação 2, vemos que isso é igual à inclinação da reta tangente à curva em P. Dessa forma, ao resolver o problema da tangente em cálculo diferencial, também es-
tamos resolvendo problemas relativos à velocidade. A mesma técnica aplica-se a proble-mas relativos à taxa de variação nas ciências naturais e sociais.
f (t) � f (4) ����
t � 4
f (t) � f (4) ����
t � 4
distância percorrida ����
tempo decorrido
16,80 � 10,00 ����
5 � 4
25 � 10 ����
5 � 4
43 � 10 ����
8 � 4
distância percorrida ����
tempo decorrido
t
d
0 2 4 6 8 10
10
20
P(4, f (4))
Q(t, f (t))
FIGURA 8
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXV
XXVIM||||MCÁLCULO
O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua épocasobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre oherói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão ar-gumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posi-ção a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 � t1 a tartarugaestaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 � t2, a tar-taruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparente-mente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.
Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessi-vas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhe-cidas como sequências.
Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem de-finida. Por exemplo, a sequência
{1, 12–, 1
3– , 1
4–, 1
5–, . . .}
pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo:
an �
Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, comona Figura 10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas asfiguras que os termos da sequência an � 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 àmedida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejar-mos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limiteda sequência é 0 e indicamos isso por
limn m∞
� 0
Em geral, a notação
limn m∞
an � L
será usada se os termos an tendem a um número L quando n torna-se grande. Isso signi-fica que podemos tornar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendon suficientemente grande.
O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação de-cimal de um número real. Por exemplo, se
a1 � 3,1
Aquiles
tartaruga
a1 a2 a3 a4 a5
t1 t2 t3 t4
. . .
. . .
1 �n
1 �n
FIGURA 9
1
n1 2 3 4 5 6 7 8
10
a 1a 2a 3a4
(a)
(b)
FIGURA 10
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVI
XXVIM||||MCÁLCULO
O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos comoParadoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua épocasobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre oherói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão ar-gumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posi-ção a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 � t1 a tartarugaestaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 � t2, a tar-taruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparente-mente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.
Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessi-vas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhe-cidas como sequências.
Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem de-finida. Por exemplo, a sequência
{1, 12–, 1
3– , 1
4–, 1
5–, . . .}
pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo:
an �
Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, comona Figura 10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas asfiguras que os termos da sequência an � 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 àmedida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejar-mos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limiteda sequência é 0 e indicamos isso por
limn m∞
� 0
Em geral, a notação
limn m∞
an � L
será usada se os termos an tendem a um número L quando n torna-se grande. Isso signi-fica que podemos tornar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendon suficientemente grande.
O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação de-cimal de um número real. Por exemplo, se
a1 � 3,1
Aquiles
tartaruga
a1 a2 a3 a4 a5
t1 t2 t3 t4
. . .
. . .
1 �n
1 �n
FIGURA 9
1
n1 2 3 4 5 6 7 8
10
a 1a 2a 3a4
(a)
(b)
FIGURA 10
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVI
UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXVII
a2 � 3,14 a3 � 3,141 a4 � 3,1415 a5 � 3,14159 a6 � 3,141592 a7 � 3,1415926
.
.
.então lim
n m∞an � p
Os termos nessa sequência são aproximações racionais de p. Vamos voltar ao paradoxo de Zenão. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga
formam as sequências {an} e {tn}, nas quais an � tn para todo n. Podemos mostrar queambas as sequências têm o mesmo limite:
limn m∞
an � p � limn m∞
tn
É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.
A SOMA DE UMA SÉRIE
Outro paradoxo de Zenão, conforme nos foi passado por Aristóteles, é o seguinte: “Umapessoa em certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela deve-ria percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então nova-mente a metade da distância que restou e assim por diante, de forma que o processo podeser sempre continuado e não terá um fim”. (Veja a Figura 11.)
Como, naturalmente, sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso su-gere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vezmenores, como a seguir:
1 � � � � � . . . � � . . .
Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém,há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notação de-cimal, o símbolo, 0,3
–= 0,3333… significa
� � � � . . .
dessa forma, em algum sentido, deve ser verdade que
� � � � . . . �
12
14
18
116
1 �3
3 �10.000
3 �1.000
3 �100
3 �10
3 �10.000
3 �1.000
3 �100
3 �10
1 �2n
1 �16
1 �8
1 �4
1 �2
3
FIGURA 11
Calculo_00:Layout 1 04.08.09 14:18 Page XXVII
XXVIIIM||||MCÁLCULO
Mais geralmente, se dn denotar o n-ésimo algarismo na representação decimal de um número, então
0,d1d2 d3 d4. . . � � � � . . . � � . . .
Portanto, algumas somas infinitas, ou, como são chamadas, séries infinitas, têm um sig-nificado. Todavia, é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série.
Retornando à série da Equação 3, denotamos por sn a soma dos n primeiros termos dasérie. Assim
s1 �12– � 0,5
s2 �12– �
14– � 0,75
s3 �12– �
14– �
18– � 0,875
s4 �12– �
14– �
18– �
116– � 0,9375
s5 �12– �
14– �
18– �
116– �
132– � 0,96875
s6 �12– �
14– �
18– �
116– �
132– �
164– � 0,984375
s7 �12– �
14– �
18– �
116– �
132– �
164– �
1128– � 0,9921875
.
.
.s10 �
12– �
14– � . . . �
11024–– � 0,99902344
.
.
.s16 � � � . . . � � 0,99998474
Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cadavez mais próximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande(isto é, adicionando um número suficientemente grande de termos da série), podemos tor-nar a soma parcial sn tão próxima de 1 quanto quisermos. Parece então razoável dizer quea soma da série infinita é 1 e escrever
� � � . . . � � . . . � 1
Em outras palavras, a razão de a soma da série ser 1 é que
limn m∞
sn � 1
No Capítulo 11 discutiremos mais essas ideias. Usaremos então a ideia de Newton decombinar séries infinitas com cálculo diferencial e integral.
RESUMO
Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma re-gião, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita.Em cada um dos casos, o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite deoutras quantidades mais facilmente calculáveis. É essa ideia básica que coloca o cálculoà parte de outras áreas da matemática. Na realidade, poderíamos definir o cálculo comoaquele ramo da matemática que trata de limites.
Depois de inventar sua versão de cálculo, sir Isaac Newton a usou para explicar o mo-vimento dos planetas em torno do Sol. Hoje, o cálculo é usado na determinação de órbi-tas de satélites e naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa
1 �2n
1 �8
1 �4
1 �2
1 �216
1 �4
1 �2
dn�10n
d3�103
d2�102
d1�10
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VOLUME 2
Neste volume, continuação de Cálculo vol. 1 (capítulos 1 a 8), James Stewart mantém o estímulo e
o apreço dos estudantes pelo cálculo, defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e
no entendimento do mundo natural, dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta. Cálculo vol. 2
(capítulos 9 a 17) traz temas importantes, como equações diferenciais, vetores, integrais, entre
outros, complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo.
Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior. Algumas seções e
capítulos foram reformulados. Mais de 25% dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus
dados modernizados. Em muitos deles, as unidades foram alteradas do sistema norte-americano
para o Sistema Internacional de Unidades.
Revista e atualizada, a obra mantém o espírito das edições anteriores, apresentando exercícios
graduados, com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas
complexos e desafiadores. Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global, incluindo dados
inspirados em países da Ásia e América Latina.
Aplicações:
Livro-texto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia.
Para suas soluções de curso e aprendizado,visite www.cengage.com.br
ISBN 13 – 978-85-221-0661-5ISBN 10 – 85-221-0661-4
9 788522 106615
Sobre o autor
James Stewart é mestre pela
Universidade de Stanford e Ph.D pela
Universidade de Toronto. Após dois
anos na Universidade de Londres,
tornou-se professor de Matemática na
McMaster University. Seus livros foram
traduzidos para diversos idiomas, como
espanhol, português, francês, italiano,
coreano, chinês e grego.
Stewart foi nomeado membro do Fields
Institute em 2002 e recebeu o
doutorado honorário em 2003 pela
McMaster University. O Centro de
Matemática James Stewart foi aberto
em outubro de 2003, também na
McMaster University.
cálculoV
OL
UM
E 2
JA
ME
S S
TE
WA
RT
POSSUI MATERIAL DE APOIO
cálculoTRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA
VOLUME 2
Outras Obras
Álgebra Linear
David Poole
Análise Numérica – Tradução da
8ª edição norte-americana
Richard L. Burden e J. Douglas Faires
Cálculo Volume 1 – Tradução da
6ª edição norte-americana
James Stewart
Cálculo Numérico: aprendizagem
com apoio de software
Selma Arenales e Artur Darezzo
Pré-Cálculo – 2ª edição revista e
atualizada
Valéria Zuma Medeiros (Coord.)
André Machado Caldeira
Luiza Maria Oliveira da Silva
Maria Algusta Soares Machado
Probabilidade e Estatística para
Engenharia e Ciências
Jay L. Devore
Vetores e Matrizes: Uma introdução à
álgebra linear – 4ª edição
Nathan Moreira dos Santos, Doherty
Andrade e Nelson Martins Garcia
cálculo
J A M E S S T E W A R T
POSSUI MATERIAL DE APOIO
TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTE-AMERICANA
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
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