calculo numerico_iteracao
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Calculo Numérioc, Resumo, Bissecção, Iteração, Newton, Lagrange, Newton Raphson, Secante, Taylor e Ponto FlutuanteTRANSCRIPT
Calculo NumericoSolucao de Equacoes em Uma Variavel
Iteracao de Ponto-Fixo
Joao Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica
(Burden & Faires)
1 Introducao e Fundamentacao Teorica;
2 Motivacao para o Algoritmo: Um exemplo;
3 Formulacao de Ponto-Fixo I;
4 Formulacao de Ponto-Fixo 2.
1 Introducao e Fundamentacao Teorica;
2 Motivacao para o Algoritmo: Um exemplo;
3 Formulacao de Ponto-Fixo I;
4 Formulacao de Ponto-Fixo 2.
1 Introducao e Fundamentacao Teorica;
2 Motivacao para o Algoritmo: Um exemplo;
3 Formulacao de Ponto-Fixo I;
4 Formulacao de Ponto-Fixo 2.
1 Introducao e Fundamentacao Teorica;
2 Motivacao para o Algoritmo: Um exemplo;
3 Formulacao de Ponto-Fixo I;
4 Formulacao de Ponto-Fixo 2.
1 Introducao e Fundamentacao Teorica;
2 Motivacao para o Algoritmo: Um exemplo;
3 Formulacao de Ponto-Fixo I;
4 Formulacao de Ponto-Fixo 2.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Objetivo
Nosso objetivo principal;
Dada uma funcao f(x), onde a ≤ x ≤ b, encontrar valores ptais que
f(p) = 0;
Dada f(x), queremos encontrar uma funcao auxiliar g(x) talque:
p = g(p)
sempre que f(p) = 0 (esta construcao nao e unica).
O problema de encontrar p tal que p = g(p) e conhecido comoproblema do ponto-fixo.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Objetivo
Nosso objetivo principal;
Dada uma funcao f(x), onde a ≤ x ≤ b, encontrar valores ptais que
f(p) = 0;
Dada f(x), queremos encontrar uma funcao auxiliar g(x) talque:
p = g(p)
sempre que f(p) = 0 (esta construcao nao e unica).
O problema de encontrar p tal que p = g(p) e conhecido comoproblema do ponto-fixo.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Objetivo
Nosso objetivo principal;
Dada uma funcao f(x), onde a ≤ x ≤ b, encontrar valores ptais que
f(p) = 0;
Dada f(x), queremos encontrar uma funcao auxiliar g(x) talque:
p = g(p)
sempre que f(p) = 0 (esta construcao nao e unica).
O problema de encontrar p tal que p = g(p) e conhecido comoproblema do ponto-fixo.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Objetivo
Nosso objetivo principal;
Dada uma funcao f(x), onde a ≤ x ≤ b, encontrar valores ptais que
f(p) = 0;
Dada f(x), queremos encontrar uma funcao auxiliar g(x) talque:
p = g(p)
sempre que f(p) = 0 (esta construcao nao e unica).
O problema de encontrar p tal que p = g(p) e conhecido comoproblema do ponto-fixo.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Objetivo
Nosso objetivo principal;
Dada uma funcao f(x), onde a ≤ x ≤ b, encontrar valores ptais que
f(p) = 0;
Dada f(x), queremos encontrar uma funcao auxiliar g(x) talque:
p = g(p)
sempre que f(p) = 0 (esta construcao nao e unica).
O problema de encontrar p tal que p = g(p) e conhecido comoproblema do ponto-fixo.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Um ponto Fixo
Se g e definida em [a, b] e g(p) = p para algum p ∈ [a, b], entao afuncao g e dita ter um ponto-fixo p ∈ [a, b].
Obs.
O problema do ponto-fixo se torna bem simples ambosteoricamente e geometricamente;
A funcao g(x) tera um ponto fixo no intervalo [a, b] sempreque o grafico de g(x) intersetar a reta y = x.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Um ponto Fixo
Se g e definida em [a, b] e g(p) = p para algum p ∈ [a, b], entao afuncao g e dita ter um ponto-fixo p ∈ [a, b].
Obs.
O problema do ponto-fixo se torna bem simples ambosteoricamente e geometricamente;
A funcao g(x) tera um ponto fixo no intervalo [a, b] sempreque o grafico de g(x) intersetar a reta y = x.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Um ponto Fixo
Se g e definida em [a, b] e g(p) = p para algum p ∈ [a, b], entao afuncao g e dita ter um ponto-fixo p ∈ [a, b].
Obs.
O problema do ponto-fixo se torna bem simples ambosteoricamente e geometricamente;
A funcao g(x) tera um ponto fixo no intervalo [a, b] sempreque o grafico de g(x) intersetar a reta y = x.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Um ponto Fixo
Se g e definida em [a, b] e g(p) = p para algum p ∈ [a, b], entao afuncao g e dita ter um ponto-fixo p ∈ [a, b].
Obs.
O problema do ponto-fixo se torna bem simples ambosteoricamente e geometricamente;
A funcao g(x) tera um ponto fixo no intervalo [a, b] sempreque o grafico de g(x) intersetar a reta y = x.
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Equacao f(x) = x− cos(x)
Se escrevermos esta equacao na forma:
x = cos(x)
Temos que g(x) = cos(x).
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Equacao f(x) = x− cos(x)
Se escrevermos esta equacao na forma:
x = cos(x)
Temos que g(x) = cos(x).
Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Equacao f(x) = x− cos(x)
x = cos(x)
2.3 Newton’s Method and Its Extensions 69
A form of Inequality (2.8) is used in Step 4 of Algorithm 2.3. Note that none of the inequal-ities (2.8), (2.9), or (2.10) give precise information about the actual error | pN ! p|. (SeeExercises 16 and 17 in Section 2.1.)
Newton’s method is a functional iteration technique with pn = g( pn!1), for which
g( pn!1) = pn!1 !f ( pn!1)
f "( pn!1), for n # 1. (2.11)
In fact, this is the functional iteration technique that was used to give the rapid convergencewe saw in column (e) of Table 2.2 in Section 2.2.
It is clear from Equation (2.7) that Newton’s method cannot be continued if f "( pn!1) =0 for some n. In fact, we will see that the method is most effective when f " is bounded awayfrom zero near p.
Example 1 Consider the function f (x) = cos x!x = 0. Approximate a root of f using (a) a fixed-pointmethod, and (b) Newton’s Method
Solution (a) A solution to this root-finding problem is also a solution to the fixed-pointproblem x = cos x, and the graph in Figure 2.9 implies that a single fixed-point p lies in[0,!/2].
Figure 2.9y
x
y ! x
y ! cos x
1
1
Table 2.3 shows the results of fixed-point iteration with p0 = !/4. The best we couldconclude from these results is that p $ 0.74.
Table 2.3n pn
0 0.78539816351 0.70710678102 0.76024459723 0.72466748084 0.74871988585 0.73256084466 0.74346421137 0.7361282565
Note that the variable in thetrigonometric function is inradian measure, not degrees. Thiswill always be the case unlessspecified otherwise.
(b) To apply Newton’s method to this problem we need f "(x) = ! sin x ! 1. Startingagain with p0 = !/4, we generate the sequence defined, for n # 1, by
pn = pn!1 !f ( pn!1)
f ( p"n!1)= pn!1 !
cos pn!1 ! pn!1
! sin pn!1 ! 1.
This gives the approximations in Table 2.4. An excellent approximation is obtained withn = 3. Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonably expect this result to beaccurate to the places listed.Table 2.4
Newton’s Method
n pn
0 0.78539816351 0.73953613372 0.73908517813 0.73908513324 0.7390851332
Convergence using Newton’s Method
Example 1 shows that Newton’s method can provide extremely accurate approximationswith very few iterations. For that example, only one iteration of Newton’s method wasneeded to give better accuracy than 7 iterations of the fixed-point method. It is now time toexamine Newton’s method more carefully to discover why it is so effective.
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Iteracao Funcional (Ponto-Fixo)
Equacao f(x) = x− cos(x)
p = cos(p)⇒ p ≈ 0.739
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
Functional (Fixed-Point) Iteration
p = cos(p) p ⇡ 0.739
y
x1
1
0.739
0.739
x
g(x) = cos(x)
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 9 / 59
Teorema: Existencia
Teorema
Se g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b] entao a funcao g possuium ponto fixo em [a, b].
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
g(x) has a Fixed Point in [a, b]
y
x
a b
a
b
g(x)
x
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 13 / 59Demonstracao
Ver Livro Burden & Faires.
Exemplo
Exemplo
Considere a funcao g(x) = 3−x em 0 ≤ x ≤ 1. g(x) econtınua e como
g′(x) = −3−x ln 3,g(x) e decrescente em [0, 1].
Logo g(1) = 13 ≤ g(x) ≤ 1 = g(0); de modo que
g(x) ∈ [0, 1],∀x ∈ [0, 1].
Portanto pelo teorema anterior, g(x) tem um ponto fixo em[0, 1].
Exemplo
Exemplo
Considere a funcao g(x) = 3−x em 0 ≤ x ≤ 1. g(x) econtınua e como
g′(x) = −3−x ln 3,g(x) e decrescente em [0, 1].
Logo g(1) = 13 ≤ g(x) ≤ 1 = g(0); de modo que
g(x) ∈ [0, 1],∀x ∈ [0, 1].
Portanto pelo teorema anterior, g(x) tem um ponto fixo em[0, 1].
Exemplo
Exemplo
Considere a funcao g(x) = 3−x em 0 ≤ x ≤ 1. g(x) econtınua e como
g′(x) = −3−x ln 3,g(x) e decrescente em [0, 1].
Logo g(1) = 13 ≤ g(x) ≤ 1 = g(0); de modo que
g(x) ∈ [0, 1], ∀x ∈ [0, 1].
Portanto pelo teorema anterior, g(x) tem um ponto fixo em[0, 1].
Exemplo
Exemplo
Considere a funcao g(x) = 3−x em 0 ≤ x ≤ 1. g(x) econtınua e como
g′(x) = −3−x ln 3,g(x) e decrescente em [0, 1].
Logo g(1) = 13 ≤ g(x) ≤ 1 = g(0); de modo que
g(x) ∈ [0, 1], ∀x ∈ [0, 1].
Portanto pelo teorema anterior, g(x) tem um ponto fixo em[0, 1].
Exemplo
2.2 Fixed-Point Iteration 59
Figure 2.5
y
x
y ! 3x2 " 1
y ! 3x2 " 1
1
2
3
4
1 2 3 4
"1
y ! x
y
x
1
2
3
4
1 2 3 4
"1
y ! x
Example 3 Show that Theorem 2.3 does not ensure a unique fixed point of g(x) = 3!x on the interval[0, 1], even though a unique fixed point on this interval does exist.
Solution g"(x) = !3!x ln 3 < 0 on [0, 1], the function g is strictly decreasing on [0, 1]. So
g(1) = 13# g(x) # 1 = g(0), for 0 # x # 1.
Thus, for x $ [0, 1], we have g(x) $ [0, 1]. The first part of Theorem 2.3 ensures that thereis at least one fixed point in [0, 1].
However,
g"(0) = ! ln 3 = !1.098612289,
so |g"(x)| %# 1 on (0, 1), and Theorem 2.3 cannot be used to determine uniqueness. But g isalways decreasing, and it is clear from Figure 2.6 that the fixed point must be unique.
Figure 2.6
x
y
1
1
y ! x
y ! 3"x
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Observacao
Observacao
Obviamente g(x) pode ter varios pontos fixos no intervalo[a, b]
Para assegurar que g(x) tenha apenas um ponto fixo nointervalo, devemos assumir que g(x) “nao varia rapidamente”
Assim, temos que definir o seguinte resultado de unicidade
Resultado de Unicidade
Seja g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Ainda, se g′(x) existeem (a, b) e
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b],
entao a funcao g possui um unico ponto fixo p em [a, b].
Observacao
Observacao
Obviamente g(x) pode ter varios pontos fixos no intervalo[a, b]
Para assegurar que g(x) tenha apenas um ponto fixo nointervalo, devemos assumir que g(x) “nao varia rapidamente”
Assim, temos que definir o seguinte resultado de unicidade
Resultado de Unicidade
Seja g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Ainda, se g′(x) existeem (a, b) e
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b],
entao a funcao g possui um unico ponto fixo p em [a, b].
Observacao
Observacao
Obviamente g(x) pode ter varios pontos fixos no intervalo[a, b]
Para assegurar que g(x) tenha apenas um ponto fixo nointervalo, devemos assumir que g(x) “nao varia rapidamente”
Assim, temos que definir o seguinte resultado de unicidade
Resultado de Unicidade
Seja g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Ainda, se g′(x) existeem (a, b) e
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b],
entao a funcao g possui um unico ponto fixo p em [a, b].
Observacao
Observacao
Obviamente g(x) pode ter varios pontos fixos no intervalo[a, b]
Para assegurar que g(x) tenha apenas um ponto fixo nointervalo, devemos assumir que g(x) “nao varia rapidamente”
Assim, temos que definir o seguinte resultado de unicidade
Resultado de Unicidade
Seja g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Ainda, se g′(x) existeem (a, b) e
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b],
entao a funcao g possui um unico ponto fixo p em [a, b].
Observacao
Observacao
Obviamente g(x) pode ter varios pontos fixos no intervalo[a, b]
Para assegurar que g(x) tenha apenas um ponto fixo nointervalo, devemos assumir que g(x) “nao varia rapidamente”
Assim, temos que definir o seguinte resultado de unicidade
Resultado de Unicidade
Seja g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Ainda, se g′(x) existeem (a, b) e
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b],
entao a funcao g possui um unico ponto fixo p em [a, b].
Exemplo
Problema Modelo
Considere a equacao de segundo grau:
x2 − x− 1 = 0
que possui raiz positiva
x =1 +√5
2≈ 1.61803399a
ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Proporcao aurea
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
Single Nonlinear Equation f (x) = x2 � x � 1 = 0
y
x
1−
−1−
1−1 1.5
y = x2 − x − 1
We can convert this equation into a fixed-point problem.Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 25 / 59
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
Uma possıvel formulacao para g(x)
Considerando f(x) = 0, temos:
x2 − x− 1 = 0
⇒ x2 = x+ 1
⇒ x = ±√x+ 1
g(x) =√x+ 1
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
Uma possıvel formulacao para g(x)
Considerando f(x) = 0, temos:
x2 − x− 1 = 0
⇒ x2 = x+ 1
⇒ x = ±√x+ 1
g(x) =√x+ 1
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
Uma possıvel formulacao para g(x)
Considerando f(x) = 0, temos:
x2 − x− 1 = 0
⇒ x2 = x+ 1
⇒ x = ±√x+ 1
g(x) =√x+ 1
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
xn+1 = g(xn) =√xn + 1 com x0 = 0
Facam 4 passos deste algoritmo.
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
y
x
g(x) =p
x + 1
y = x
x0
x1 x1
x2
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 37 / 59
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0
xn+1 = g(xn) =√xn + 1 com x0 = 0
Facam 4 passos deste algoritmo.
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
y
x
g(x) =p
x + 1
y = x
x0
x1 x1
x2
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 37 / 59
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0xn+1 = g(xn) =
1xn
+ 1, x0 = 1
Facam 4 passos deste algoritmo.
Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
y
x1
g(x) = 1x + 1
y = x
x0
x1 x1
x2x2
x3
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 50 / 59
Exemplo: f(x) = x2 − x− 1 = 0xn+1 = g(xn) =
1xn
+ 1, x0 = 1
Facam 4 passos deste algoritmo.Theoretical Basis Example Formulation I Formulation II
y
x1
g(x) = 1x + 1
y = x
x0
x1 x1
x2x2
x3
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration I R L Burden & J D Faires 50 / 59
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Algoritmo do Metodo do Ponto-Fixo
Algoritmo do Ponto-Fixo
Para encontrar o ponto fixo de g em um intervalo em [a, b], dada aequacao x = g(x) com um chute inicial p0 ∈ [a, b].
1 n = 1
2 pn = g(pn−1)
3 Se |pn − pn−1| < ε, va para 5
4 n = n+1; va para 2
5 Fim.
Equacao nao-linear
Exemplo
A Equacaox3 + 4x2 − 10 = 0
tem uma unica raiz no intervalo [1, 2]. Seu valor e aproximadamente1.365230013.
f(x) = x3 + 4x2 − 10, em [1, 2]
Fixed-Point Iteration Convergence Criteria Sample Problem
f (x) = x3 + 4x2 � 10 = 0 on [1, 2]
y
x1 2
14
−5
y = f(x) = x3 + 4x2 −10
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration II R L Burden & J D Faires 8 / 54
f(x) = x3 + 4x2 − 10, em [1, 2]5 possıveis x = g(x)
Fixed-Point Iteration Convergence Criteria Sample Problem
Solving f (x) = x3 + 4x2 � 10 = 0
5 Possible Transpositions to x = g(x)
x = g1(x) = x � x3 � 4x2 + 10
x = g2(x) =
r10x
� 4x
x = g3(x) =12
p10 � x3
x = g4(x) =
r10
4 + x
x = g5(x) = x � x3 + 4x2 � 103x2 + 8x
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration II R L Burden & J D Faires 10 / 54
f(x) = x3 + 4x2 − 10, em [1, 2]5 possıveis x = g(x)
Fixed-Point Iteration Convergence Criteria Sample Problem
Solving f (x) = x3 + 4x2 � 10 = 0
5 Possible Transpositions to x = g(x)
x = g1(x) = x � x3 � 4x2 + 10
x = g2(x) =
r10x
� 4x
x = g3(x) =12
p10 � x3
x = g4(x) =
r10
4 + x
x = g5(x) = x � x3 + 4x2 � 103x2 + 8x
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration II R L Burden & J D Faires 10 / 54
f(x) = x3 + 4x2 − 10, em [1, 2]
5 possıveis x = g(x): Tabela
Fixed-Point Iteration Convergence Criteria Sample Problem
Numerical Results for f (x) = x3 + 4x2 � 10 = 0
n g1 g2 g3 g4 g5
0 1.5 1.5 1.5 1.5 1.51 �0.875 0.8165 1.286953768 1.348399725 1.3733333332 6.732 2.9969 1.402540804 1.367376372 1.3652620153 �469.7 (�8.65)1/2 1.345458374 1.364957015 1.3652300144 1.03 ⇥ 108 1.375170253 1.365264748 1.3652300135 1.360094193 1.365225594
10 1.365410062 1.36523001415 1.365223680 1.36523001320 1.36523023625 1.36523000630 1.365230013
Numerical Analysis (Chapter 2) Fixed-Point Iteration II R L Burden & J D Faires 11 / 54
f(x) = x3 + 4x2 − 10, em [1, 2]
Convergencia
x = g1(x) = x− x3 − 4x2 + 10 Nao converge
x = g2(x) =√
10x − 4x Nao Converge
x = g3(x) =12
√10− x3 Converge apos 31 iteracoes
x = g4(x) =√
104+x Converge apos 12 iteracoes
x = g5(x) = x− x3+4x2−103x2+8x
Converge apos 5 iteracoes
Iteracao do Ponto-Fixo
Questao chave
Como podemos encontrar um problema de ponto-fixo queproduz uma sequencia confiavel e que convirja rapidamentepara a solucao do problema de encontrar raiz?
O seguinte teorema e seu corolario nos da dicas de quais g(x)devemos escolher.
Iteracao do Ponto-Fixo
Questao chave
Como podemos encontrar um problema de ponto-fixo queproduz uma sequencia confiavel e que convirja rapidamentepara a solucao do problema de encontrar raiz?
O seguinte teorema e seu corolario nos da dicas de quais g(x)devemos escolher.
Iteracao do Ponto-Fixo
Questao chave
Como podemos encontrar um problema de ponto-fixo queproduz uma sequencia confiavel e que convirja rapidamentepara a solucao do problema de encontrar raiz?
O seguinte teorema e seu corolario nos da dicas de quais g(x)devemos escolher.
Teoerema: Resultado de convergencia
Resultado de Convergencia
Seja g ∈ C[a, b] com g(x) ∈ [a, b],∀x ∈ [a, b]. Considere que g′(x)existe em (a, b) com
|g′(x)| ≤ k < 1,∀x ∈ [a, b].
Se p0 e um ponto qualquer em [a, b] entao a sequencia definida por
pn = g(pn−1), n ≥ 1,
convergira para o unico ponto fixo em [a, b].
Corolario
Se g satisfaz as hipoteses do teorema, entao
|pn − p| ≤kn
1− k |p1 − p0|
Exercıcios em sala
1 Considere a funcao g(x) = 3−x no intervalo [13 , 1] e comp0 =
13 . Determine o limite inferior para o numero de
iteracoes n de modo que |pn − p| < 10−5.
2 Analise as condicoes de convergencia para as 5 funcoesx = g(x) definidas anteriormente a partir def(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0.
Exercıcios em sala
1 Considere a funcao g(x) = 3−x no intervalo [13 , 1] e comp0 =
13 . Determine o limite inferior para o numero de
iteracoes n de modo que |pn − p| < 10−5.
2 Analise as condicoes de convergencia para as 5 funcoesx = g(x) definidas anteriormente a partir def(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0.
Exercıcios em sala
1 Considere a funcao g(x) = 3−x no intervalo [13 , 1] e comp0 =
13 . Determine o limite inferior para o numero de
iteracoes n de modo que |pn − p| < 10−5.
2 Analise as condicoes de convergencia para as 5 funcoesx = g(x) definidas anteriormente a partir def(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0.
Resolucao - 1
Note que p1 = g(p0) = 3−13 = 0.6933612 e como
g′(x) = −3−x ln 3 obtemos o limitante:
|g′(x)| ≤ 3−13 ln 3 ≤ 0.7617362 ≈ 0.762 = k
Usando o coloario
|pn − p| ≤kn
1− k |p0 − p1| ≤ 1.513× 0.762n
O que requer1.513× 0.762n < 10−5
oun > 43.88
Resolucao - 1
Note que p1 = g(p0) = 3−13 = 0.6933612 e como
g′(x) = −3−x ln 3 obtemos o limitante:
|g′(x)| ≤ 3−13 ln 3 ≤ 0.7617362 ≈ 0.762 = k
Usando o coloario
|pn − p| ≤kn
1− k |p0 − p1| ≤ 1.513× 0.762n
O que requer1.513× 0.762n < 10−5
oun > 43.88
Resolucao - 1
Note que p1 = g(p0) = 3−13 = 0.6933612 e como
g′(x) = −3−x ln 3 obtemos o limitante:
|g′(x)| ≤ 3−13 ln 3 ≤ 0.7617362 ≈ 0.762 = k
Usando o coloario
|pn − p| ≤kn
1− k |p0 − p1| ≤ 1.513× 0.762n
O que requer1.513× 0.762n < 10−5
oun > 43.88
Ordem de Convergencia
CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 66
convergencia do metodo iterativo linear. Antes porem apresentamos a definicao de ordem de convergenciade um metodo numerico.
Definicao 3.3 - Sejam {xk} o resultado da aplicacao de um metodo numerico na iteracao k e ek = xk�xo seu erro . Se existirem um numero p � 1 e uma constante c > 0 tais que:
limk!1|ek+1||ek|p = c
entao p e chamado de ordem de convergencia desse metodo.
Teorema 3.5 - A ordem de convergencia do metodo iterativo linear e linear, ou seja, p = 1.
Prova: Do teorema 3.4, temos que:
xk+1 � x = 0(⇠k)(xk � x)
onde ⇠k esta entre xk e x. Assim,
|xk+1 � x||xk � x| | 0(⇠k)| M.
Assim a definicao 3.3 esta satisfeita com p = 1 e c = M , ou seja a ordem de convergencia e p = 1.Daı o nome de metodo Iterativo Linear. Alem disso, o erro em qualquer iteracao e proporcional ao errona iteracao anterior, sendo que o fator de proporcionalidade e 0(⇠k).
Observacoes:
a) A convergencia do processo iterativo sera tanto mais rapida quanto menor for o valor de 0(x).
b) Por outro lado, se a declividade 0(x) for maior que 1 em valor absoluto, para todo x pertencente aum intervalo numa vizinhanca da raiz, vimos que a iteracao xk+1 = (xk), k = 0, 1, . . ., divergira.
c) Da definicao 3.3 podemos afirmar que para k suficientemente grande temos:
|ek+1| ' c |ek|p ,
|ek| ' c |ek�1|p .
Dividindo uma equacao pela outra eliminamos a constante c e obtemos:
ek+1
ek'✓
ek
ek�1
◆p
.
Assim, uma aproximacao para o valor de p pode ser obtido aplicando-se logaritmo em ambos osmembros da expressao acima. Fazendo isso segue que:
p 'log⇣
ek+1
ek
⌘
log⇣
ek
ek�1
⌘ (3.5)
Exemplo 3.8 - Com os valores obtidos no exemplo 3.7, verifique que o metodo iterativo linear realmentepossui ordem de convergencia p = 1.
Ordem de Convergencia
CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 66
convergencia do metodo iterativo linear. Antes porem apresentamos a definicao de ordem de convergenciade um metodo numerico.
Definicao 3.3 - Sejam {xk} o resultado da aplicacao de um metodo numerico na iteracao k e ek = xk�xo seu erro . Se existirem um numero p � 1 e uma constante c > 0 tais que:
limk!1|ek+1||ek|p = c
entao p e chamado de ordem de convergencia desse metodo.
Teorema 3.5 - A ordem de convergencia do metodo iterativo linear e linear, ou seja, p = 1.
Prova: Do teorema 3.4, temos que:
xk+1 � x = 0(⇠k)(xk � x)
onde ⇠k esta entre xk e x. Assim,
|xk+1 � x||xk � x| | 0(⇠k)| M.
Assim a definicao 3.3 esta satisfeita com p = 1 e c = M , ou seja a ordem de convergencia e p = 1.Daı o nome de metodo Iterativo Linear. Alem disso, o erro em qualquer iteracao e proporcional ao errona iteracao anterior, sendo que o fator de proporcionalidade e 0(⇠k).
Observacoes:
a) A convergencia do processo iterativo sera tanto mais rapida quanto menor for o valor de 0(x).
b) Por outro lado, se a declividade 0(x) for maior que 1 em valor absoluto, para todo x pertencente aum intervalo numa vizinhanca da raiz, vimos que a iteracao xk+1 = (xk), k = 0, 1, . . ., divergira.
c) Da definicao 3.3 podemos afirmar que para k suficientemente grande temos:
|ek+1| ' c |ek|p ,
|ek| ' c |ek�1|p .
Dividindo uma equacao pela outra eliminamos a constante c e obtemos:
ek+1
ek'✓
ek
ek�1
◆p
.
Assim, uma aproximacao para o valor de p pode ser obtido aplicando-se logaritmo em ambos osmembros da expressao acima. Fazendo isso segue que:
p 'log⇣
ek+1
ek
⌘
log⇣
ek
ek�1
⌘ (3.5)
Exemplo 3.8 - Com os valores obtidos no exemplo 3.7, verifique que o metodo iterativo linear realmentepossui ordem de convergencia p = 1.
Teorema do Valor Intermediario
Teorema do Valor Intermediario
Se f ∈ C[a, b] e K e um numero entre f(a) e f(b), entao existe umnumero c em (a, b) par aos quais f(c) = K. Voltar
8 C H A P T E R 1 Mathematical Preliminaries and Error Analysis
Maple gives the response
f solve(!12 sin(2x)! 4x cos(2x), x, .5 . . 1)
This indicates that Maple is unable to determine the solution. The reason is obvious oncethe graph in Figure 1.6 is considered. The function f is always decreasing on this interval,so no solution exists. Be suspicious when Maple returns the same response it is given; it isas if it was questioning your request.
In summary, on [0.5, 1] the absolute maximum value is f (0.5) = 1.86004545 andthe absolute minimum value is f (1) = !3.899329036, accurate at least to the placeslisted.
The following theorem is not generally presented in a basic calculus course, but isderived by applying Rolle’s Theorem successively to f , f ", . . . , and, finally, to f (n!1).This result is considered in Exercise 23.
Theorem 1.10 (Generalized Rolle’s Theorem)Suppose f # C[a, b] is n times differentiable on (a, b). If f (x) = 0 at the n + 1 distinctnumbers a $ x0 < x1 < . . . < xn $ b, then a number c in (x0, xn), and hence in (a, b),exists with f (n)(c) = 0.
We will also make frequent use of the Intermediate Value Theorem. Although its state-ment seems reasonable, its proof is beyond the scope of the usual calculus course. It can,however, be found in most analysis texts.
Theorem 1.11 (Intermediate Value Theorem)If f # C[a, b] and K is any number between f (a) and f (b), then there exists a number cin (a, b) for which f (c) = K .
Figure 1.7 shows one choice for the number that is guaranteed by the IntermediateValue Theorem. In this example there are two other possibilities.
Figure 1.7
x
y
f (a)
f (b)
y ! f (x)K
(a, f (a))
(b, f (b))
a bc
Example 2 Show that x5 ! 2x3 + 3x2 ! 1 = 0 has a solution in the interval [0, 1].Solution Consider the function defined by f (x) = x5 ! 2x3 + 3x2 ! 1. The function f iscontinuous on [0, 1]. In addition,
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