calculo infinitesimal

CALCULO DIFERENCIALCALCULO INTEGRAL

CALCULO INFINITESIMAL

PRIMER SISTEMA DE NUMEROS

LOS NUMEROS NATURALES (para contar)

¿LOS NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS?

ORIGEN DEL CERO

•SU DESCUBRIMIENTO FUE UN SALTO REVOLUCIONARIO PARA EL CALCULO MATEMATICO

•ESTE CALCULO INTRODUCE AL HOMBRE EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR

•EL DESARROLLO DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACCION DE PENSAR

ORIGEN DEL CERO

ALGUNAS TEORIAS DE SU NACIMIENTO•ARABES (1000 AC)•INDIA (ARABES A EUROPA)•BABILONIA CUNA DEL CERO•CIVILIZACIONES PRECOLOMBINAS (MAYAS Y OLMACAS 40 AC)•ROMA EN 525 COMO PALABRA NO COMO SIMBOLO• CHINA• MUNDO ISLAMICO

ORIGEN DEL CERO SU DESCUBRIMIENTO

LOS GRIEGOS Y ROMANOS CON SU SORPRENDENTE RAZONMIENTO MATEMATICO AUN NO CONOCIAN EL CERO


SEGÚN FUENTES HISTORICAS EL CERO TUVO SU COGNOTACION TAL COMO SE CONOCE HOY EN DIA EN EL MEDIEVO (AÑO 500 Y 1500 HISTORIA EUROPEA)


500 AÑOS DESPUES DE CONOCERSE EL CERO SURGE UN NUEVO CONCEPTO: NUMERO INFINITAMENTE PEQUEÑO ¡¡CASI CERO¡¡.SI EL CERO REVOLUCIONO LAS MATEMATICAS, ESTA NUEVA IDEA ABRIO NUEVAS POSIBILIDADES A LA CIENCIA MODERNASUS PRECURSORES: NEWTON Y LEBNITZ (SIMBOLOGIA)

UN NUEVO CONCEPTO

¿QUE ES UN NUMERO INFINITAMENTE PEQUEÑO?

UN NUMERO QUE CASI ES CERO PERO NO ES CERO. LOS MATEMATICOS LO LLAMAN DIFERENCIALES


ALGUNAS CANTIDADES PEQUEÑAS


UN MILIMETRO SIN DUDA ES UNA CANTIDAD PEQUEÑA


UNA MICRA LO ES AUN MAS YA QUE RESULTA DE DIVIDIR EL MM EN MIL PARTES.

1 MICRA = 0.001 MM


¿TE PARECE UNA CANTIDAD PEQUEÑA?. OBSERVA ESTO

UN NANOMETRO SE OBTIENE AL DIVIDIR UNA MICRA EN MIL PARTES IGUALES, ES DECIR

1 NANOMETRO = 0.001 MICRAS


CONCLUSION

UN NANOMETRO ¡¡ES UNA MILLONESIMA PARTE DE UN MILIMETRO, DICHO DE OTRA MANERA

1 MM = 1,000,000 DE NANOMETROS


PUESDE OBSERVAR QUE UN NANOMETRO ES ALGO REALMENTE PEQUEÑO.

NO, NO CREO QUE NO LO PUEDE VER ¡¡PERO SI ENTENDER¡¡.


PERO SEGÚN LOS MATEMATICOS ESTA MUY LEJOS DE SER UNA CANTIDAD INFINITAMENTE PEQUEÑA

¿ENTONCES CUANDO ES UNA CANTIDAD INFINITAMENTE PEQUEÑA?

AQUELLA QUE ESTA MUY PERO MUY CERCA DE CERO ¡¡PERO QUE NO ES CERO¡¡ (Ejercicio recorrido)


LAS MAGNITUDES PEQUEÑAS NO TIENE LA MAYOR IMPORTANCIA EN LA VIDA COTIDIANA.P.E NADIE SE ATREVERIA A COMPRAR 10 MM O 2 NM DE TELA, ESTA CANTIDAD PARA FINES PRACTICOS ES NADA, ¡¡CERO¡¡. PERO TODAVIA NO ES UN DIFERENCIAL YA QUE UN DIFERENCIAL DE LONGITUD ES NUCHO MAS CHICO QUE UN NM dl < NM


ES IMPORTANTE CONSIDERAR QUE UN DIFERENCIAL NO ES UNA REALIDAD, ES DECIR NO ES TANGIBLE, ES MAS BIEN UNA ABSTRACCION DEL PESAMIENTO, UNA IDEA QUE PERMITE LLEGAR A CONCLUSIONES LOGICAS


LA SUMA DE 1,000,000 DE MICRAS = 1 METRO, ESTO IMPLICA QUELA SUMA DE TODOS LOS DIFERENCIALES ES LA LONGITUD:

CONCLUSIONLA SUMA DE MAGNITUDES INFINITAMENTE PEQUEÑAS DAN COMO RESULTADO ALGO QUE NO ES INFINITAMENTE PEQUEÑO

CARACTERISTICAS DE LOS INFINITESIMALES

(DIFERENCIALES)

∑ 𝑑𝑙=𝐿

¿SE PUEDEN COMPARAR DOS CANTIDADES INFINITAMENTE PEQUEÑAS?SI COMPARAMOS = 50. LA PRIMERA CANTIDAD ES 50 VECES MAYOR QUE LA SEGUNDA, SIN EMBARGO 50 NO ES UN VALOR PEQUEÑO.USANDO DIFERENCIALES NO ES UN VALOR INFINITAMENTE PEQUEÑOCONCLUSION EL COCIENTE DE DOS DIFERENCIALES DAN COMO RESULTADO ALGO QUE NO ES INFINITAMENTE PEQUEÑO


(DIFERENCIALES)

¿EXISTEN INFINITESIMALES QUE SEAN MAS CHICOS QUE OTROS?1 Metro 1 Micra A = 1,000,000 2micras1 Micra A = 2

= 500,000CONCLUSION: el producto de dos cantidades pequeñas da como resultado algo mucho mas chico


(DIFERENCIALES)

1 Micra

1 Micra

EJEMPLO EQUIVALENTE: l dl A1 = ldl

dl dl A2 = dl.dl A2 < A1Conclusión: Nos encontramos con infinitesimales de distinto orden


DE FORMA ANALOGA

SUMATORIA E INTEGRALES

∑𝑖=1

𝑛

𝑑𝑙=𝐿

∑1=1

100

𝑣𝑎𝑠𝑜𝑠=𝐺𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓 ó𝑛

• INTRODUCE AL HOMBRE EN EL CAMPO DE LA ABSTRACCION

• EL DESARROLLO INTELECTUAL DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR

¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?

DOS RESPUESTAS DE ENTRADA

SUPONGA USTED QUE UN AUTOMOVIL QUE ARRANCA DEL REPOSO ALCANZA UNA VELOCIDAD DE 100 KMH EN DIEZ SEGUNDOS


EJEM. DE APLICACIÓN DEL CALCULO INFINITESIMAL

¿CUANTOS METROS RECORRE EN ESOS DIEZ SEGUNDOS?

Comentario: Esta respuesta es tan apresurada como falsa ¿Por qué?


PRIMERA RESPUESTA POSIBLE


ANALIZANDO EL PROBLEMA CON MAS DETALLE NOS DAMOS A LA TAREA DE TOMAR INTERVALOS DE TIEMPO DE UN SEGUNDO


SEGUNDA RESPUESTA POSIBLE



SEGUNDA RESPUESTA POSIBLEt(segundos

)V (kmh)

1 10

2 20

3 30

4 40

5 50

6 60

7 70

8 80

9 90

10 100

Cada segundo la velocidad aumenta 10kmh, es decir a = [10 kmh]/s

Como la aceleración es constante

V = a.t



Aceleración constante



t(segundos)

V (kmh)

d(mtrs)

Dacum (mtrs)

1 10 2.77 2.772 20 5.55 8.323 30 8.33 16.654 40 11.11 27.765 50 13.88 41.646 60 16.66 58.37 70 19.44 77.748 80 22.22 99.969 90 25 124.9610 100 27.77 152.73

El nuevo valor calculado para la distancia es de d = 152.73 Por razones Obvias este valor es menor al estimado inicialmente



El área de cada rectángulo es el producto: v.t=dde la tabla. La suma de todos ellos es la distancia total recorrida

Empleando la notación de sumatoria d=

Nota: este resultado no obstante ser más elaborado sigue siendo erróneo, ya que supone que la velocidad en cada intervalo de tiempo es constante ¡¡cosa que tampoco es cierta¡¡



Con el objeto de reducir el error de calculo, resulta conveniente disminuir sistemáticamente el intervalo de tiempo durante el cual se mueve el automóvil. si bien es cierto que cuando se toma un t igual a una milésima de segundo, se obtiene un resultado más cercano a la realidad en comparación al que se consigue con un t de una centésima de segundo, es igualmente cierto que en ambos casos el valor calculado no corresponde a la realidad del problema


TERCERA RESPUESTA POSIBLE


¡¡¡PORQUE NO USAR MEJOR DIFERENCIALES¡¡¡, RECUERDA QUE UN DIFERENCIAL ES MUCHO MAS PEQUEÑO QUE UN NANOMETRO Y ¡¡¡VAYA QUE UN NANOMETRO ES UNA MAGNITUD MUY, PERO MUY PEQUEÑA¡¡¡






En términos matemáticos

El área del triángulo es igual a la distancia recorrida

Como v=a.t

Ancho de cada rectángulo =dt

Conclusión 138.88 < 152.73 < 277.77

Usando el concepto de calculo infinitesimal se llega a la fórmula: al ser esta una función cuadrática, es fácil

deducir que la representación de d no es una recta sino una curva




SUPONGA QUE POR UNA EXTRAÑA RAZON PERDIMOS TODA LA INFORMACION QUE SE TENIA DEL PROBLEMA, ES DECIR, SE DESCONOCE LA VELOCIDAD, ACELERACIÓN, TABLA DE DATOS, Y QUE SOLO SE CUENTA CON LA FORMULA DE LA DISTANCIA:


CAMBIEMOS AHORA LA LINEA DE RAZONAMIENTO


CAMBIEMOS AHORA LA LINEA DE RAZONAMIENTO

Reformulando la pregunta con base a la información disponible en la grafica

¿Cuál es la velocidad del vehículo?

Según el grafico

El vehículo recorre cerca de 140 metros en 10 segundos

¿Por qué?Observando la grafica se puede deducir que la velocidad no varia de forma proporcional con el tiempo, en t=1 la velocidad es mucho más lenta que en t =10

¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?Respuesta incorrecta


Tomemos ahora pequeños intervalos de tiempop.e entre t= 3 y t= 4Δt= 1 segundo

¿Por qué?Esta aproximación es mejor, pero todavía no es la solución correcta ¡¡ ya que la velocidad no es constante¡¡ en ese intervalo

¿ PARA QUE SIRVE EL CALCULO?Respuesta incorrecta

t1 (s)

d1 (m)

t2 (s)

d2(m)

Δd v

3 12.50 4 22.22 9.72

9.72


Es hora de recurrir a los diferenciales.Si el Δt lo vamos disminuyendo hasta que se convierta en un diferencial, es decir, dt; este valor infinitesimal proporciona un dd.

t inicial y t final son muy pero muy casi iguales ¡¡pero no iguales¡¡. La diferencia es mucho menor a un nanómetro, lo mismo pasa con la distancia, por ello no hay mayor problema si la velocidad se «considera « constante en ese intervalo.


Respuesta correcta

Se sabe que

Reemplazando v en la integral

La distancia es la suma de sus diferenciales

Derivada e integrales operaciones inversasComo calcular la

derivada

Como

y esta en función de t. si aumentamos t se incrementa la distancia.(t+dt)

¿ como se calcula realmente una derivada?

=0

d

REVISEMOS NUEVAMENTE ESTA PREGUNTA


• INTRODUCE AL HOMBRE EN EL CAMPO DE LA ABSTRACCION

• EL DESARROLLO INTELECTUAL DEL HOMBRE SE BASA EN LA ACTIVIDAD DE PENSAR

• MAS FORMALMENTE: DESARROLLO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

Hasta la vista bebe

calculo infinitesimal

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