calculo de purcell 8 edicion

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Ren Descartes

1596-1650

.yhoyendIaLa idea de utilizar coordenadas pa-ra obtener una figura (grafica) deuna ecuacin es el principio funda-mental explotado por las nuevascalculadoras que grafican.

Ren

Descartes es mejor

conocido como un gran filsofo

moderno. Tambin fue un

fundador de Ia biologIa moderna,

fIsico y matemtico.

Descartes naci en Touraine,

Francia; hijo de un modesto abogado

que lo enviO a una escuela jesuita a Ia

edad de ocho aos. Debido a su

delicada salud, a Descartes se le

permitiO pasar las maanas estudiando

en cama, una prctica que encontr

tan til que Ia adopt para el resto de

su vida. A los 20 aos obtuvo el tItulo

de abogado y de aIII en adelante vivi

Ia vida de un caballero de su poca,

sirviO en el ejrcito durante algunos

aos y vivi unas veces en Paris y otras

en los PaIses Bajos. Invitado como instructor de Ia reina Cristina, fue a

Suecia, donde muriO de pulmonIa en 1650.

Descartes buscO un mtodo general de pensamiento que diera

coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a Ia verdad. La

investigacin lo condujo a las matemticas, de las que concluyO que eran

el medio para establecer Ia verdad en todos los campos. Su trabajo

matemtico de mayor trascendencia fue La Gomtrie, publicado en

1637. En I, intent Ia unificacin de Ia antigua y venerable geometrIa

con el algebra, an en paales. Junto con otro frances, Pierre Fermat

(1 601-1665), tiene crdito por Ia union que Ilamamos hoy geometrIa

analItica, o geometrIa coordenada. Sin ella, no hubiese podido surgir el

pleno desarrollo del clculo.



I

4 4

Figura 1

Figura 2

I I I

Preliminares

1.1El sistema de losnmeros reales

1.1 El sistema de Los nmeros reales1 .2 Decimales, calculadoras y estimacin1.3 Desigualdades1 .4 Valores absolutos, ralces cuadradas y cuadrados1.5 El sistema de coordenadas rectangulares1.6 La Ilnea recta1 .7 Grficas de ecuaciones1.8 Revision del capItulo

Proyecto de tecnologIa 1.1 GraficaciOnProyecto de tecnologIa 1.2 ResoluciOn de ecuaciones por medlo

de acercamiento

El clculo est basado en el sistema de los nmeros reales y sus propiedades. Pero,,cules son los nOmeros reales y cules son sus propiedades? Para responder, inicia-

mos con algunos sistemas numricos ms sencillos.

Los enteros y los nUmeros racionales Los nUmeros ms sencillos de todosson los nmeros naturales,

1,2,3,4,5,6,...

Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si inclui-mos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros

3,-2,-1,O,1,2,3,...Cuando medirnos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Estn

espaciados demasiado uno de otro para dar suficiente precision. Esto nos ileva aconsiderar cocientes (razones) de enteros (vase La figura 1), nOmeros tales como

Observe que incluimos y aunque normalmente los escribirlamos como 8 y17 ya que son iguales a aquellos por el significado ordinario de Ia divisiOn. Noincluimos o ya que es imposible dar significado a estos sImbolos (vase el proble-ma 36). De hecho, convenimos de una vez por todas desterrar La division entre cero deeste libro (vase Ia figura 2). Los niImeros que pueden escribirse en la forma rn/n,donde rn y n son enteros con n son llamados nmeros racionales.

3 7 21 19 16 174' 8 ' 5 '-2' 2 1



6 CAPTULO 1 Preliminares

mismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuer-do con el Teorema fundamental de Id aritmtica, todo nmeronatural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unnico conjunto de primos. Por ejemplo, 45 = 3 . 3 . 5. Escriba ca-da uno de los siguientes nmeros como un producto de primos.Nota: El productor es trivial si el nmero es primo -esto es, tie-ne un solo factor.

44. Utilice el teorema fundamental de la aritmtica (vase elproblema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme-ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unconjunto nico de primos, cada uno de los cuales aparece un n-mero par de veces. Por ejemplo (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.

45. Demuestre que v2 es irracional. Sugerencia: Intente unademostracin por contradiccin. Suponga que v2 = p / q, dondep y q son nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). En-tonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el proble-ma 44 para obtener una contradiccin.

46. Demuestre que v3 es irracional (vase el problema 45).47. Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra-

cional.

48. Demuestre que el producto de un nmero racional (dis-tinto de O) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: Inten-te una demostracin por contradiccin.

49. Cul de los siguientes nmeros son racionales y culesson irracionales?

Respuestas a la revisin de conceptos: 1. racionales2. v2; 1T 3. reales 4. teoremas

(b) 0.375(d) (1 + V3)2(f) 50

(a) - V9(c) 1 - 0(e) (30)(50)

50. La suma de dos nmeros irracionales, necesariamentees irracional? Explique.

51. Demuestre que si el nmero natural Viii no es un cuadra-do perfecto, entonces m es irracional.

52. Demuestre que v'6 + V3 es irracional.

53. Demuestre que 0 - V3 + v'6 es irracional.

54. Demuestre que log105 es irracional.

55. Escriba el recproco y el contrarrecproco de los enuncia:dos siguientes.

(a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A eneste curso.

(b) Si x es un nmero real, entonces x es un entero.(c) Si MBC es un tringulo equiltero, entonces MBC es un

tringulo issceles.

(b) 127(d) 346

(a) 243(c) 5100

Tambin los nmeros irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejem-plo,

V2 = 1.4142135623 ... , V3 = 1.7320508075 ...7T = 3.1415926535 ...

Cualquier nmero racional puede escribirse como decimal, ya que por definicinsiempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denomina-dor entre el numerador, obtenemos un decimal (vase la figura 1). Por ejemplo,

0.375

0.428571428571428571 ...

38

37

0.512

1311 = 1.181818 ...

Decimales peridicos y no peridicos La representacin decimal de un n-mero racional o bien termina (como en ~ = 0.375) o bien se repite hasta el infinito enciclos regulares (como en H= 1.181818 ...). Un poco de experimentacin con el al-goritmo de la divisin le mostrar el porqu. (Observe que slo puede haber un n-mero finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse comoun decimal peridico con ceros que se repiten. Por ejemplo,

,. .2Decimales, calculadoras

y estimacin

Figura 1

38" = 0.375 = 0.3750000 ...

As, todo nmero racional puede escribirse como un decimal peridico. En otras pala-bras, si x es un nmero racional, entonces x puede escribirse como un decimal peri-dico. Es notable el hecho de que el recproco tambin es verdadero, si x puede escri-birse como un decimal peridico, entonces x es un nmero racional. Esto es obvio enel caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fcil demos-trar para el caso de decimales peridicos.



SECCIN 1.2 Decimales, calculadoras y estimacin 7

EJEMPLO 1 (Decimales peridicos son racionales.) Demuestre que

x = 0.136136136... y y = 0.27171717 ...representan nmeros racionales.

Solucin Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.

1000x = 136.136136 .x = 0.136136 .

999x = 136136

x = 999De manera anloga,

Las representaciones decimales de los nmeros irracionales no se repiten en ci-clos. Recprocamente, un decimal no peridico debe representar a un nmero irracio-nal. As, por ejemplo,Figura 2

Los nmeros reales

100y = 27.17171717 .y = 0.27171717 .

99y = 26.926.9 269

Y = 99 = 990

Figura 3

Figura 4

~lA 1.41lA14

0.101001000100001 ...

debe representar un nmero irracional (observe que el patrn de ms y ms ceros en-tre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.

Densidad Entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes a y b, no importa qutan cercanos se encuentren, existe otro nmero real. En particular, el nmero Xl = (a +b)/2 es un nmero real que est a la mitad entre a y b (vase la figura 3). Ya que exis-te otro nmero real, x2' entre a y Xl' Yotro nmero real, x3' entre Xl y x2' y puesto queeste argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un nmero infini-to de nmeros reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor nme-ro real mayor que 3".

En realidad, podemos decir ms. Entre cualesquiera dos nmeros reales distintos,existe tanto un nmero racional como un nmero irracional. (En el ejercicio 29 le pe-dimos demostrar que existe un nmero racional entre cualesquiera dos nmeros rea-les.) De aqu que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cadauno de ellos (racionales e irracionales).

Una forma en que los matemticos describen la situacin que hemos expuesto, esdecir, que los nmeros racionales y los nmeros irracionales son densos en la rectareal. Todo nmero tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos al. Los dos tipos de nmeros estn inseparablemente entrelazados e inexorablementeaglomerados entre s.

Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier nmero irracionalpuede aproximarse tanto como se quiera por medio de un nmero racional-de hecho,por medio de un nmero racional con una representacin decimal finita. Como unejemplo tome \12. La sucesin de nmeros racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (vase la figura 4). Avanzan-do lo suficiente en esta sucesin, podemos estar tan cerca como queramos de \12.

Calculadoras y computadoras Hubo una poca cuando todos los cientficos eingenieros caminaban por el campus con dispositivos mecnicos llamados reglas declculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras quepodan realizar las operaciones bsicas y obtener races cuadradas, y en los principiosde los 80 una calculadora barata podra evaluar funciones exponenciales, logartmicasy trigonomtricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios delos 90, estas calculadoras pueden expandir (x - 3y)12, pueden resolver x3 - 2x2+ X = OYpueden aproximar una solucin a x2 - cos \IX = O.




Muchos problemas en este texto estnmarcados con un smbolo especial.

[g significa UTILICE UNACALCULADORA.

IGCI significa UTILICE UNACALCULADORA GRFICA.

ICAS I significa UTILICE UNSISTEMA DE LGEBRACOMPUTACIONAL.

[;] significa HAGA UNAESTIMACIN DE LARESPUESTA ANTES DETRABAJAR EN ELPROBLEMA; LUEGOVERIFIQUE SU RESPUESTACONTRA ESTA ESTIMACIN.

IEXPL Isignifica ELPROBLEMA LE PIDEEXPLORAR E IR MS ALLDE LAS EXPLICACIONESDADAS EN EL TEXTO.

Figura 5

Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especialen los problemas marcados con un [Q .

Ahora existe una gran cantidad de poderosos paquetes de cmputo que puederealizar clculos tales como (1T - v2)100, manipulaciones simblicas como el desarro-llo de (2x - 3y)22 Ygrficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarleen el proceso de aprendizaje y comprensin del clculo, pero no debe dependerde ellos para hacer clculo por usted. Los paquetes de cmputo tienen la ventaja so-bre las calculadoras grficas de ser ms poderosos y capaces de mostrar los resultadosen una pantalla de alta resolucin. Las calculadoras grficas tiene la ventaja de quecuestan menos y caben en su bolsillo.

Por lo comn, las calculadoras y las computadoras trabajan con nmeros racionalesen la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dgitos. Al-gunos paquetes de cmputo son capaces de almacenar algunos nmeros irracionalesen formato simblico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maplecomo Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones sub-secuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificar la entrada4/Sqrt [2] y regresar 2 Sqrt [2].

Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es sta: Ha-ga los clculos que puedan realizarse con facilidad a mano sin una calculadora, espe-cialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimosla respuesta exacta V3/2 para el seno de 60 al valor de la calculadora 0.8660254. Sinembargo, en cualquier clculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.

Estimacin Dado un problema aritmtico complicado, un estudiante descuidadopodra presionar unas cuantas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sindarse cuenta de la falta de parntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado err-neo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los nmeros presionar las mismas te-clas, inmediatamente se dar cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiadogrande o demasiado pequea, y la recalcular de manera correcta. Es importante co-nocer cmo hacer una estimacin mental.

EJEMPLO 2 Calcular (V430 + 72 + V73)/2.75.Solucin Una estudiante juiciosa aproxim lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijoque la respuesta debera ser cercana a 30. As, cuando su calculadora dio 93.448 co-mo respuesta, ella desconfi (lo que en realidad haba calculado fue V430 + 72 +"V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434. _

Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cbicas,ddelo. Usted podra estimar su volumen de esta manera. l tiene una estatura apro-ximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturn es 30 pulgadas, dando un radio de lacintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro,encontramos que el volumen ser 1Tr2h = 3(52)70 = 5000 pulgadas cbicas. l no estan grande como dice.

Aqu hemos utilizado = para querer decir "aproximadamente igual". Utilice estesmbolo en su trabajo de borrador cuando est haciendo una aproximacin a una res-puesta. En un trabajo ms formal nunca debe utilizar este smbolo sin saber qu tangrande podra ser el error. A continuacin est un ejemplo ms relacionado con clculo.

EJEMPLO 3 Suponga que la regin sombreada R mostrada en la figura 5, gira alre-dedor del eje x. Estime el volumen del anillo slido resultantes.

Solucin La regin R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de al-to. Estimamos su rea como 3(0.9) = 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sli-do S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr = 2(3)(6) = 36 unida-des de longitud. El volumen de una caja es el rea de su seccin transversal por sulongitud. As, estimamos que el volumen de la caja sera 3(36) = 108 unidades cbicas.Si la calcul y obtuvo 1000 unidades cbicas, necesita verificar su trabajo. _



A continuacin est un problema prctico que utiliza el mismo tipo de razona-miento.

EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centmetros cbicos) tiene un ra-dio interno de 4 centmetros. Qu tan exacto debemos medir la altura h del agua en elvaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1%, esto es,un error de menos de 5 centmetros cbicos? Vase la figura 5.

Solucin El volumen V de agua en el vaso est dado por la frmula V = 161Th. Que-remos que IV - 5001 < 5 o, de manera equivalente, 1161Th - 5001 < 5. Ahora

16 CAPTULO 1

Figura 5

Preliminares

Por tanto, elegimos o = 8/6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que8

Ix - 31 < o=> Ix - 31 < 6 => 16x - 181 < e

1167Th - 5001 < 5~ [167T( h - i2~) I < 5

# 161T1 h - 500 I < 5161T

~ [h - i~[ < 17T# Ih - 9.9471 < 0.0947 ::::; 0.1

As, debemos medir la altura con una precisin de alrededor de 1 milmetro.

Races cuadradas Todo nmero positivo tiene dos races cuadradas. Por ejemplo,las dos races cuadradas de 9 son 3 y - 3. Algunas veces representamos estos dosnmeros como 3. Para a 2:: O, el smbolo ~, denominado raz cuadrada principal dea, denota la raz cuadrada no negativa de a. As, V9 = 3 Yv'i2I = 11. Es incorrectoescribir \116 = 4 ya que \116 representa la raz cuadrada no negativa de 16, es de-cir, 4. El nmero 7 tiene dos races cuadradas, que pueden escribirse como Y7, peroY7 representa a un solo nmero.

Aqu est un hecho muy valioso qu recordar.

La mayora de los estudiantes recordarn la frmula cuadrtica. Las soluciones ala ecuacin cuadrtica ax2 + bx + e = Oestn dadas por

I x = - b ~:2 -4ac IEl nmero d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuacin cuadrtica. Esta ecua-cin tiene dos soluciones reales si d > O, una solucin real si d = OYsoluciones no rea-les si d < O.

Con la frmula cuadrtica, fcilmente podemos resolver desigualdades cuadrti-cas incluso si no se pueden factorizar por inspeccin.

EJEMPLO 6 Resuelva x2 - 2x - 4 ::; o.Solucin Las dos soluciones de x2 - 2x - 4 = Oson

-( -2) -2V4+16 = 1 - V5 ::::; -1.24




EJ EM PLO 1 Encuentre la distancia entre

sta se denomina frmula de la distancia.

I d(P, Q) = vh - XI)' + (y, - YI)' I

(b) p( V2, v'3) y Q( 1T, 1T)(a) p( -2,3) YQ(4, -1)

Solucin

V( -2 - 6)2 + (2 - 2)2 = V64 = 8

La frmula es vlida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta hori-

zontal o a la misma recta vertical. As, la distancia entre P( - 2,2) YQ(6, 2) es

La ecuacin de un crculo Es un paso pequeo pasar de la frmula de la dis-tancia a la ecuacin de un crculo. Un crculo es el conjunto de puntos que estn a unadistancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere el crculode radio 3 con centro en (-1,2) (vase la figura 6). Sea (x, y) un punto cualquiera deeste crculo. Por medio de la frmula de la distancia,

V(x + 1)2 + (y - 2)2 = 3

V(4 - (-2))2 + (-1 - 3)2 = \136 + 16 = V52 ~ 7.21

V(1T - V2)2 + (1T - v'3)2 ~ \14.971 ~ 2.23

(a) d(P, Q)

(b) d(P, Q)

x

x

Figura 5

Figura 6

Llamamos a esta la ecuacin estndar de un Crculo.

Cuando elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 9que llamamos la ecuacin de este crculo.

En forma ms general, el crculo de radio r y centro (h, k) tiene la ecuacin

I (x - h)' + (y - k)2 = r'l(1)

EJEMPLO 2 Determine la ecuacin estndar de un crculo de radio 5y centro en (1, -5).Tambin, encuentre las ordenadas de los dos puntos en este crculo con abscisa 2.

Solucin La ecuacin buscada es

1. Si un punto est en el crculo,entonces sus coordenadas (x, y)satisfacen la ecuacin.

2. Si x y y son nmeros que satisfacenla ecuacin, entonces son lascoordenadas de un punto que esten el crculo.

Crculo ~ Ecuacn

Decir que(x + 1)2 + (y-2)2 = 9

es la ecuacin del crculo de radio 3con centro en (-1,2) significa doscosas:

(x - 1)2 + (y + 5)2 = 25Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuacin y despejamos ay.

(2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25(y + 5)2 = 24

y + 5 = V24y = -5 V24 = -5 2V6

Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) Yreducimos las constantes, en-tonces la ecuacin adquiere la forma

x2 + ax + l + by = cEsto sugiere la pregunta de si toda ecuacin de la ltima forma es la ecuacin de uncrculo. La respuesta es s, con algunas excepciones obvias.



SECCIN 1.6 La lnea recta 23

Figura 9

40. Considere un crculo e yun punto P exterior al crculo. SeaPT el segmento de recta tangente a e en T, y suponga que la rectaque pasa por P y por el centro de e, intersecta a e en M y en N. De-muestre que (PM)(PN) = (PTf

G 41. Una banda se ajusta alrededor de los tres crculos x2 + i = 4,(x - 8)2 + y2 = 4 Y(x -6)2 + (y - 8)2 = 4, como se muestra en la fi-gura 12. Determine la longitud de esta banda.

42. Estudie los problemas 28 y 41. Considere un conjunto decrculos de radio r y que no se intersectan, con centros en los vrticesde un polgono convexo de n lados, que tiene lados de longitudes di'd2, . ,dn. Cul es la longitud de la banda que se ajusta alrededor deestos crculos (de la misma forma que se muestra en la figura l2)?

Figura 12

Figura 1038. Muestre que el

conjunto de puntos que estn al doble de distancia de (3,4) que de(1,1) forma un crculo. Determine su centro y radio.

39. El teorema de Pitgoras dice que las reas A, B Ye de loscuadrados en la figura 11, satisfacen A + B = C. Demuestre quelos semicrculos y tringulos equilteros satisfacen la misma relaciny luego sugiera un teorema general de estos hechos.

G [TI 37. Encuentre la longitud de la banda cruzada de la figura 10,la cual se ajusta estrechamente alrededor de los crculos (x - 2)2 +(y - 2)2 = 9 Y(x - 10)2 +(y - 8)2 = 9. Nota: Pararesolver este problema senecesita un poco de tri-gonometra.

Respuestas a la revisin de conceptos: 1. II; IV2. V(x + 2)l + (y - 3)l 3. (x + 4)l + (y - 2)l = 254 (1.5,5)

Figura 11

1.6La lnea recta

De todas las curvas, la lnea recta, por muchas razones, es la ms simple. Suponemosque usted tiene una buena nocin intuitiva de este concepto, al mirar una cuerda ten-sa u observando a lo largo del borde de una regla. En cualquier caso, aceptamos quedos puntos, por ejemplo, A(3, 2) YB(8, 4) mostrados en la figura 1, determinan una ni-ca lnea recta que pasa por ellos. Y de ahora en adelante utilizaremos la palabra lneao recta como sinnimo de lnea recta.

Una lnea es un objeto geomtrico. Cuando se coloca en un plano coordenado, de-bera tener una ecuacin, como el crculo la tiene. Cmo encontraremos la ecuacinde una recta? Para responder, necesitaremos la nocin de pendiente.

y La pendiente de una recta Considere la recta de la figura 1. Del punto A alpunto B, existe una elevacin (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio ho-rizontal) de 5 unidades. Decimos que la recta tiene una pendiente de ~. En general(vase la figura 2), para una recta que pasa por A(X1' Y1) y B(x2,Y2), en donde Xl *- Xz,definimos la pendiente m de esa recta como

m = elevacin = Y2 - Y1avance X2 -Xl

Figura 1




Rectas con varias pendientes

x

111 = 2~ = 34-2y

Inmediatamente surge una pregunta. Una recta tiene muchos puntos. El valorque obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que utilicemos paraA y B? Los tringulos semejantes en la figura 3 nos muestran que

Y2 - Y Y2 - YIX2 - x X2 - Xl

As, los puntos A' y B ' daran lo mismo que A y B. Incluso no importa si A est a la iz-quierda o a la derecha de B, ya que

YI - Y2 Y2 - YIXl - X2 X2 - Xl

Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el nume-rador y el denominador.

La pendiente m es una medida de la inclinacin de una recta, como se ilustra enla figura 4. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que seeleva hacia la derecha tiene pendiente positiva, y una recta que desciende a la derechatiene pendiente negativa. Entre mayor sea el valor absoluto de la pendiente, ms incli-nada es la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, yaque implicara la divisin entre cero. Por tanto, la pendiente para una recta vertical sedeja indefinida.

----------+-----3l~-----_t.._---111 = ~=; = O

x

x

Los carpinteros utilizan el trminoinclinacin. Una inclinacin de 9:12corresponde a una pendiente de -12.

Grado e inclinacinEl smbolo internacional para lapendiente de un camino (llamadogrado) se muestra abajo. El grado estdado como porcentaje. Un grado de10% corresponde a una pendiente de 0.10.

Figura 3

Figura 2

Figura 5

x

Figura 4

Forma punto-pendiente Nuevamente, considere la recta de nuestro estudioinicial, se reproduce en la figura 5. Sabemos que esta recta

1. pasa por (3,2) Y2. tiene pendiente ~.

Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si uti-lizamos este punto y el punto (3,2) para medir la pendiente, debemos obtener~, estoes,

y-2 2X - 3 5

o, despus de multiplicar por x - 3,

Y - 2 = Hx - 3)Observe que esta ltima ecuacin es satisfecha por todos los puntos de la recta, inclu-so (3, 2). Adems, ningn punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer estaecuacin.

Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La rectaque pasa por el punto (fijo) (Xl' YI) con pendiente m tiene ecuacin



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34. Cu1 ecuacin puede representar a la curva de la figura 10?

Figura 10

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Lrnllm

35. 3y - 4x 62x

x2 + 2I Gd

DflSid" 1

SECCION 1.8 RevisiOn del capitulo 35

En los problemas del 35 al 38, bosqueje lii grafica de cada ecuacin.

36. x2 - 2x + y2 3

38. x - 3Gd 39. Determine los puntos de interseccin de las grficas de

y x2 - 2x + 4yy - x 4.40. Entre todas las rectas perpendiculares a 4x - y = 2, encuentre laecuaciOn de aquella que,junto con la parte positiva del eje x y del ejey, forma un triangulo de area 8.

Gd

cJLin, ii' esta. iectas p = 0.1,0.5, 1., .0. .en . rec-tas en comi 'Expi i .e por

Ejercicio 3 Coi i i re r .. y =2' + l t v.. '11 ,afi-cacii. c ii j s rectas a b = 1.0,1.0, 2., 2.0, 3.0, 3.0, 4.0 y 4.0.j,Qu t n ..n estas rectas n comUn?P. or.. e una az.i algL . paralo que muestran las grficas.

III. REFLT

Ejercicio 4 Explique cmo el valorde b en

yL +bx2+x+= afecta Ia forma de la curv v '1 - eroi- de veces que Ia curva cruza I e" x.

y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c > 0y = ax2 + bx + c,cona < 0,b > Oyc >0y ax2 + bx + c, con a < 0, b > 0 y c < 0y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c < 0

I.J r, p

comi ' ' ul (CAS) para grafi....... uaecuacir C ;ita seleccionar unatana (J cicacin que proporcione

importantes. T "S "L darn algu

Jnar una veio, usted d L

- "nas de d Lt'q iS 1,

'Sr

UJ

ir v m

i s ui.al1es de la gaic.a.d



PROViECTO DE TECNOLOG(A 1.2

rri

igate a ectai- conecta (a, 2) y pu C, rlado (2,

"! recIproco ii Li de Ia pen-ae a re' . a arbola). jLU t Uc uaia,ido estas

expresioltes onu:e ecuaciOn:a.

2a-'

icira 1 indica qu: .uctOn a esta_a'i.n cUbica P; aprL.. darnente 1,

ta noes L sclucxi 'x'ica (prue-Kecue de, cuar Led deter-

ni i un valor de i . iie a iface 2a3 += 0, usteo habr .ncontrado ur

a ta rue !a r 't- iue conect.y , 0) S PC 1JCfl(1' if a Ia rec-gente a ia parhob a2).

cjer icw 4 Er ia_ L :ecuri. a en-rminar ia solu-

rafjcarenios= yluego

we a raIz. Po-icauc1.( ,rfica en el

rIz )r Ce sta en

'a!o (C.8,t!a que

iOn a Iaares

a resolu-igiorado:ratar de

skJecificos.

'a.a ritantener Ia genc(j q) ci pun

(2. )gi'aLinio La penc'iconecta (a, a2) y .rt,rIproco aegati"ca r' eta (anger

2) wtuestre que igu"&CflfS conduce a Ia ecu;

2a3 2q i)a'rfique ara vern ci caso especIf o

ejerciclo 3.

.Ejerricio 6 Determ"Ia recta iies perpf Ji

pur isIa i tar

re :1

di ai

d

p aroi

(1]

II'.

Alalora apelidex.

Ejercicia! de est'lqt el 'unk tay q > 0).

Ejercicio 9 irvgeneral por n ho Je 1(p. q) que ci dciperomuyce-r jPexiste trs reclas

L

cada pun to intei le

de

0

ura

jJ,ra

eidicL.'y 1/.

Ljercici' 2 (eializr S ,u:ente cd !scriba Ia cLlciOn ue npore! punto (p, q,La recka coi ecuaci6i1ri:ic su respueia "2UStit1J\i: c1 I s niimeiosejercicic

En el capituoguient 1iecho:

La ..teie a:-r iqenteaipiuoIay 1 -Il -

(a, a2

L1r I qui pendiei. ...gentc a I i bola enex'u' es2, er ( es '5, y asPor - ior epto este hc ieduci-rem on mi chreci capItuk) 3.

flje LJtiiice 'ar !e cia :guiel ara deterrnina a r.de la ,ur pasa p01 el p - T)

qu rpeudicuIar ageIk arbc!a 'I1 S.punt

.ugerencia: Dihuj'gi 1) que inc.'

into dtar I, hscis

eiidicdarnuno a, a2'

Dfl riairboia, L

2es2a, )(.rerth I rn

Ic-ugar

recta

en-en

pre-

I

I I

ResoluciOn de ecuaciones por medio de acercamiento

I. I REPARACION

En el bachillerato usted aprendi la fOr-mula cuadrtica para resolver las ecua-cione cuadrticas ax2 + bx + c = 0.

r embargo, podrIa no conocermtodos para resolver ecuaciones mscomplicadas. Con frecuencia puedeaproximar las soluciones de tal ecua-cin por medio de "acercamientos" a LaraIz bucada.

Ejei Jo 1 Escriba una ecuacin dela recta L que pasa por (-2,4) y es per-p. 1 ihr a la recta con ecuacin x +,-- 1

1 3 aprender el si-

pendie' I rj tar:' =; er : puru

,es2a.

. o"e,la rtedelcrectat---Iari. - 1 nto(il

r 3 32) ..i .uu,siva: t iiaFa,ac . - cho;lo'os,junto C .1 15 otras co s pa-das,enel

-.'cicio 3 i sug ienntes p r Ia ecu ciO:recta n unto r .2 0)

y ' es p.., ' la recta tan-ie d la r' ,I y = x2,

uafigura(vc. laL ira 1aya Ia perpendicularen i ii do. Utilice a para deter-mir a - i del punto en donde lapert - ii orta a la parabola. AsI,el . i ' est tanto en la parbo-la ci o recta perpendicular a Iap pendiente de la parabolaen x ..: m Jo que la pendien-te de la : endicular es el red-proco negativo de 2a, o -.

Figura 1Bosquejo para el ejercicio 3.

Ahora "-''- la o'ni'ntn deqL.. ' 'r_t0) con gai vodiente . 1 ta tangente la pen (a, a2 . r 'l "(Ins' icubi -,

La2=0Laiglu e la snied' ximi I'peroe 1 t.l,belc' ido us1rra T1' aI1a-3valo' de( cul -

tan

II. U. DF I .1)LOG1A

L, :i...., T I)lLb r'ler rir -Si'O y error para dk ..cii in de 2a3 + a - 2 = 0, gestas ecuacin cerca de a 1realizar " . rcamientos" adrIa empezar grali n : 1 sintervalo (0, 2); la : .eI r -algUn lugar cercano a a = U.o.trace 2a3 + a - 2 = 0 en el inten0.9). Haga acercamientos ' ipueda obtener una aproximairaIz que sea correcta a dos lucimales.

Ejercicio 5 Una maxima en 1cin de problemas que hemosen la solucin anterior es la de 1evitar el uso de nmeros L

\' 'i 1 que esto coincici realizado en

:ie la ecuacine pasa por (p, q) = (4,0) que

n .cular a la recta tangente ay = XL.

Ej' icio 7 Muestre que existen trestr' (a1, a), (a2, a) y (a3, a) en

' bola, con la propiedad de que lac a tangente en (a1, a) es perpen-cular la recta que conecta (a1, a) y

'1, 17/4). Observe que el punto dado estntro de Ia parabola. (Para una parbo-

la que abre hacia arriba, "dentro de la"t" o "el interior de Ia parabola"

" 'iere decir aquelLos puntos que estn"r arriba de la parabola.) Determine

t y a por medio de acercamientos.L'iego, enCuentre las parejas ordenadas', afl, (a2, a) y (a3, a). Encuentrelas ecuaciones de las tres rectas y grafI-quelas junto con la parabola en la mis-ma ventana de graficacin.

" REFLEXION

- luz de los resultados obtenidos enejercicios precedentes, una conjetu-

tural es que existen tres rectas per-- diculares para puntos en el interior-e la parabola y solo una para puntos'-teriores a la parabola.

icio 8 Investigue un caso espe-- - - - conjetura para el caso en el

i 's en el ejey (i.e.,p

2stigue la conjeti 1dl' puntos de prueba

- :n '.. ritro de Ia parabola,:j inos c .Jla. ,Es cierto 01

rpendiculares paiior c la parabola?

\1

1'a2)

-3 -2 -1 / 1 2 ',3

f uelva Ia version gene-da j'r ejercicio IL [ - -

la recta L que p a) y es perpendicular a

I., ax + by = c. Ve-L: 1ueque h "funciona S. -

C.. especI4 'cos d J1.

r ralidad, denomu, Cu]. 10 dado, en 1del")C,.

1 .i " .. - -, ntedelaque ;1 punto dadc -q)a1. 'delapenditedel Lte a la parabola - -(a, c alar estas ex

-r "aciOn cbica

p=0



CAP TULO

I-

Li

Figura 2

Una funcinf

'V

2.1Funciones

y sus grficas

Dominio Rango

Figura 1

f(x)

Funciones y Iimites2.1 Funciones y sus grficas2.2 Operaciones con funciones2.3 Las funciones trigonomtricas2.4 Introduccin al tema de Ilmites2.5 Estudio formal de lImites2.6 Teoremas de Ilmites2.7 LImites que incluyen funciones trigonomtricas2.8 LImites en infinito, IImites infinitos2.9 Continuidad de funciones2.10 RevisiOn del capItulo2.11 Problemas adicionales

Proyecto de tecnologIa 2.1 Desplazamiento y escalamiento de Ia grficade una funciOn

Proyecto de tecnologIa 2.2 LImites

El concepto de funciOn es uno de Los ms bsicos en todas las matemticas, y desem-pena un papel indispensable en clculo.

Definicin

Una funcin f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un con-junto, denominado dominlo, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjuntode todos los valores asI obtenidos se denomina rango de La funcin. (Vase la figura 1.)

Piense en una funciOn como una mquina que toma como entrada un valor x yproduce una salida f(x). (Vase la figura 2.) Cada valor de entrada se hace correspon-der con un solo valor de salida, pero puede suceder que diferentes valores de entrada denel mismo valor de salida.

La definicin no pone restriccin sobre los conjuntos del dominio y del rango. Eldominio podrIa consistir en eL conj unto de personas en su curso de clculo, el rangoel conjunto de calificaciones {A, B, C, D, F} que obtendrn, y La regla de correspon-dencia la asignaciOn de calificaciones. Casi todas las funciones que encontrar en estetexto sern funciones de uno o ms nmeros reaLes. Por ejempLo, la funcin g podrIatomar un nmero real x y elevarlo al cuadrado, produciendo el nmero real x2. En estecaso tenemos una formula que da la regla de correspondencia, esto es, g(x) = x2. Undiagrama esquemtico de esta funcin se muestra en la figura 3.



SECCIN 2.2 Operaciones con funciones 43

y

Figura 14

Figura 13

42. Un diamante de bisbol es un cuadrado con lados de 90 pies.Un jugador, despus de conectar un cuadrangular, corri alrededordel diamante con una velocidad de 10 pies por segundo. Sea s la dis-tancia del jugador al home despus de t segundos.

(a) Exprese s como una funcin de t por medio de una frmula concuatro partes.

(b) Exprese s como una funcin de t por medio de una frmula contres partes.

Respuestas a la revisin de conceptos: 1. dominio, rango 2.12u2 ; 3(x + h? = 3x2 + 6xh + 3h2 3. asntota 4 par; impar; eje y;origen

[g Para utilizar la tecnologa de manera eficiente, usted necesita des-cubrir sus capacidades, fortalezas y debilidades. Le pedimos que prac-tique la graficacin de funciones de varios tipos por medio de su pro-pio paquete de cmputo o su calculadora. Los problemas del 43 al 48estn diseados para este fin.

43. Sea f(x) = (x3 + 3x - 5)/(x2 + 4).(a) Evale f(1.38) y f(4.12).

(b) Para esta funcin, construya una tabla de valores correspondien-te a x = -4, -3, ... ,3,4.

44. Siga las instrucciones del problema 43 para f(x) = (sen2x - 3tan x)/cos x.

45. Dibuje la grfica de f(x) = x3 - 5x2 + x + 8 en el dominio[-2,5].

(a) Determine el rango de f.(b) En este dominio, en dnde f (x) 2: O?

46. Superponga la grfica de g(x) = 2x2 - 8x - 1 con dominio[-2, 5J sobre la grfica de f(x) del problema 45.

(a) Estime los valores en donde f(x) = g(x) .

(b) En [-2, 5J, en dnde f(x) 2: g(x)?

(c) En [-2, 5J, estime el valor ms grande de If(x) - g(x)l.

47. Grafique f(x) = (3x - 4)/(x2 + x - 6) en el dominio [-6,6].(a) Determine las intersecciones con el eje x y con el eje y.

(b) Determine el rango de f para el dominio dado.(c) Determine las asntotas verticales de la grfica.

(d) Determine la asntota horizontal para la grfica, cuando el domi-nio se ampla a toda la recta real.

48. Siga las instrucciones del problema 47 para g(x) =(3x2 -4)/(x2 + x-6).

x

.1.4

37. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos se-micirculares iguales. Determine una frmula para el rea encerradapor la pista, A(d), en trminos del dimetro d de los semicrculos.Cul es el dominio natural para esta funcin?

38. Sea A(c) el rea de la regin acotada por arriba por la rectay = x + 1, del lado izquierdo por el eje y, por abajo por el eje x y porel lado derecho por la recta x = c. Tal funcin se conoce como funcinde acumulacin. (Vase la figura 13.) Determine(a) A (1) (b) A (2 )(c) A(O) (d) A(c)(e) Esboce la grfica de A(c). (f) Cules son el dominio y el

rango de A?

40. Cul de las siguientes funciones satisface f(x + y) =f(x) + f(y) para toda x y y en ~?(a) f(t) = 2t (b) f(t) = t2

(c) f(t) = 2t + 1 (d) f(t) = - 3t41. Sea f(x + y) = f(x) + f(y), para toda x y y en~. Demues-

tre que existe un nmero m tal que f(t) = mt para todos los nme-ros racionales t. Sugerencia: Primero decida cunto tiene que valer m.Luego proceda por pasos, iniciando con f(O) = O,f(p) = mp para pen N,f(l/p) = mip, etctera.

39. Sea B(c) el rea de la regin acotada por arriba por la grfi-ca de la curva y = x(l - x), por abajo por el eje x, y por la derecha porla recta x = c. El dominio de B es el intervalo [0,1]. (Vase la figura14.) Dado que B(l) = L(a) Determine B(O) (b) Determine BG)(c) Haga una grfica de B(c), como mejor pueda.

2.2Operaciones

con funciones

Las funciones no son nmeros. Pero al igual que dos nmeros a y b puede sumarse pa-ra producir un nuevo nmero a + b, tambin dos funciones f y g pueden sumarse paraproducir una nueva funcin f + g. sta es slo una de las diferentes operaciones so-bre funciones que describiremos en estas secciones.

Sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias Considere las fun-ciones f y g con frmulas

f(x)x - 3

2g(x) = \IX



44 CAPTULO 2

Dominiode!

Figura 1

Funciones y lmites

Dominiode g

Podemos construir una nueva funcin f + g asignando a x el valor f(x) + g(x)(x - 3)/2 + VX; esto es,

x - 3(f + g)(x) = f(x) + g(x) = -2- + VX

Por supuesto, debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramen-te, x debe ser un nmero en el que tanto f como g funcionen. En otras palabras, eldominio de f + g es la interseccin (parte comn) de los dominios de f y g (vase lafigura 1).

Las funciones f - g, f . g y f / g se introducen de una manera completamente an-loga. Suponiendo que f y g tienen sus dominios naturales, tenemos lo siguiente:

Frmula

x - 3(f + g)(x) = f(x) + g(x) = -2- + vX

x -3(f - g)(x) = f(x) - g(x) = -2- - vX

x - 3(f. g)(x) = f(x) . g(x) = -2- vX

(L)(x) = f(x) = x - 3g g(x) 2 vX

Dominio

[0,00)

[0,00)

[0,00)

(0,00)

Hemos excluido al Odel dominio de f /g para evitar la divisin entre cero.Tambin podemos elevar una funcin a una potencia. Con fn representamos a la

funcin que a cada x asigna el valor [f ( x) Jn. As,

F(x) = [(x)]' = [x ~ 3r= x' - ~x + 9y

Existe una excepcin en la convencin anterior sobre exponentes, a saber, cuandon = -1. Reservamos el smbolo f - 1 para la funcin inversa, que se estudiar en la sec-cin 7.2. Por tanto,f- 1 no significa 1/f.

EJEMPLO 1 Sean F(x) = Vx + 1 y G(x) = ~, con dominios naturalesresp'ectivos [-1,00) y [-3,3]. Determine frmulas para F + G, F - G, F . G, F/G YF 5Yproporcione sus dominios naturales.

Solucin

Frmula

(F +G)(x) = F(x) +G(x) =~ +~

(F -G)(x) = F(x) -G(x) =~ -~

(F G)(x) = F(x) . G(x) =~~

(~)(x) = F(x) =~G G(x) ~F 5(x) = [F(x)Y = (~)5 = (x + 1)5/4

Dominio

[-1,3J

[-1,3J

[-1,3J

[-1,3)

[-1,00)



SECCIN 2.3 Las funciones trigonomtricas 49

j~,

f~

f~

t,

Respuesta a la revisin de conceptos: 1. (x2 + 1)3 2. f(g(x))3. 2, la izquierda 4. un cociente de dos funciones polinomiales

36. Demuestre que la operacin de composicin de funcioneses asociativa, esto es, fl o (f2 o f3) = (fl o f2) o f3'

[g Utilice una computadora una calculadora grfica en los prob-lemas 37-40.

37. Sea f(x) = x2 - 3x. Utilizando los mismos ejes, dibuje lasgrficasdey = f(x),y = f(x-O.5)-0.6yy = f(1.5x),todassobreel dominio [-2, 5J.

38. Sea f( x) = Ix3 1. Utilizando los mismos ejes, dibuje las grfi-cas de y = f(x), y = f(3x) y y = f(3(x - 0.8)), todas sobre el domi-nio [-3, 3J.

39. Sea f(x) = 2 vX - 2x + 0.25x2. Utilizando los mismosejes, dibuje las grficas de y = f( x), y = f(1.5x) y y = f( x -1) + 0.5,todas en el dominio [O, 5J.

40. Sea f(x) = 1/(x2 + 1). Utilizando los mismos ejes, dibujelas grficas de y = f(x),y = f(2x)yy = f(x-2) + 0.6,todaseneldominio [-4, 4J.

~ 41. Su sistema de lgebra computacional (CAS) puede permitirel uso de parmetros en la definicin de funciones. En cada caso, di-buje la grfica de y = f (x) para los valores especificados del par-metro k, utilice los mismos ejes y -5:::; x :::; 5.(a) f(x) = Ikxlo.7 parak = 1,2,0.5y0.2.(b) f(x) = Ix - klo.7 para k = 0,2, -0.5 Y-3.(c) f(x) = [xl k para k = 004,0.7,1 Y1.7.

~ 42. Utilizando los mismos ejes, dibuje la grfica de f( x) = Ik(x- e) In para la siguiente eleccin de parmetros.(a) c=-1,k=1.4,n=0.7.(b) e = 2, k = lA, n = 1.(c) c=O,k = 0.9,n = 0.6.

(c) f(l/f(x))

(b) f 1 o f 2 o f 3 o f 4 o f s o f 6(d) G si G o f 3 o f 6 = f 1

(b) f((x))

Figura 11

(a) f3 o f3 o f3 o f3 o f3(c) F si F o f 6 = f 1(e) H si f 2 o f s o H = f s

(a) f(l/x)

33. Sea f( x) = _x_. Determine y simplifique cada valor.x -1

o ti f,hf~j~f;,

f l

Despus utilice esta tabla para determinar cada una de las siguientesfunciones. Con base en el problema 36, sabe que es vlida la ley aso-ciativa.

34. Sea f(x) = vXx . Encuentre y simplifique.x -1

(a) f(~) (b) f((x))

35. Sean fl(x) = x, f2(X) = l/x, f3(X) = 1 - x, f4(X) =1/(1 - x), fs(x) = (x - l)/x y f6(X) = x/ex - 1). Observe quef3(f4(X)) = f3(1/(1-x)) = l-l/(l-x) = x/(x-1) = f6(X);esto es, f 3 o f 4 = f 6' De hecho, la composicin de cualquier par deestas funciones es otra funcin de la lista. Llene la tabla de com-posiciones de la figura 11.

El crculo unitario

Figura 2 sen t = Y Y cos t = x.

Probablemente ha visto la definicin de las funciones trigonomtricas, con base entringulos rectngulos. La figura 1, resume las definiciones de las funciones seno, cose-no y tangente. Debe revisar con cuidado la figura 1, ya que estos conceptos son nece-sarios para muchas aplicaciones posteriores en este texto.

Con mayor generalidad, definimos las funciones trigonomtricas con base en el crcu-lo unitario. El crculo unitario, que denotamos con e, es el crculo con radio 1 y centro enel origen; tiene ecuacin x2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, O) Y sea t un nmero positivo.Existe un solo punto P en el crculo e tal que la distancia, medida en contra del sentidode las manecillas del reloj alrededor del arco AP, es igual a t. (Vase la figura 2.) Recuer-de que la circunferencia de un crculo con radio res 277r, de modo que la circunferencia dee es 277. Por lo que, si t = 77, entonces el punto P est exactamente a la mitad del cami-no alrededor del crculo iniciando en el punto A; en este caso, P es el punto (-1, O). Sit = 377/2, entonces P es el punto (O, -1) Ysi t = 277, entonces P es el punto A. Si t > 277,entonces le tomar ms de un circuito completo del crculo para trazar el arco AP.

Cuando t < 0, trazamos el crculo en direccin del sentido de las manecillas del reloj.Habr un solo punto P en el crculo e tal que la longitud del arco medida en direccinde las manecillas del reloj iniciando en A sea t. As, para cada nmero real t, podemosasociar un nico punto P( x, y) en el crculo unitario. Esto nos permite construir las de-finiciones clave de las funciones seno y coseno. Las funciones seno y coseno se escribencomo sen y cos, en lugar de una sola letra como f o g. Los parntesis alrededor de lavariable independiente por lo regular se omite, a menos que exista alguna ambigedad.

Definicin Funciones seno y cosenoSea t un nmero real que determina el punto P(x, y), como se explic anteriormente.Entonces

2.3Las funciones

trigonomtricas

c. ady c.opcos e = hliJ tan e = c. adysen e = ~ .ophlp

Figura 1



SO CAPTULO 2 Funciones y lmites

y

Figura 3

(1, o) x

Propiedades bsicas del seno y del coseno Varios hechos son casi inmedia-tos a partir de las definiciones dadas anteriormente. Primero, como t puede ser cual-quier nmero real, el dominio de las funciones seno y coseno es IR. Segundo, x y ysiempre estn entre -1 y 1. As, el rango para las funciones seno y coseno es el inter-valo [-1,1].

Puesto que el crculo unitario tiene 21T de circunferencia, los valores de t y t + 21Tdeterminan el mismo punto P(x, y). Por tanto,

sen(t + 21T) = sen t y cos(t + 21T) = cos t

(Obsrvese que los parntesis son necesarios para dejar claro que queremos sen(t +21T) en lugar de (sen t) + 21T. La expresin sen t + 21T sera ambigua.)

Los puntos PI y P2 que corresponden a t y - t, respectivamente, son simtricoscon respecto al eje x (vase la figura 3). Por tanto, las abscisas para PI y P2 son las mis-mas y las ordenadas slo difieren en el signo. En consecuencia,

y

y=x

Figura 4

x

sen(-t) = -sen t y cos(-t) = cos t

En otras palabras, seno es una funcin impar y coseno es una funcin par.Los puntos correspondientes a t y 1T/2 - t son simtricos con respecto a la recta

y = x y por tanto tenemos sus coordenadas intercambiadas (vase la figura 4). Estosignifica que

sen(; - t) = cos t y cos (; - t) = sentPor ltimo, mencionamos una identidad importante que relaciona las funciones

seno y coseno:

para todo nmero real t. Esta identidad se deriva del hecho de que el punto (x, y) es-t en el crculo unitario, de aqu que x y y deben satisfacer x2 + y2 = 1.

y

(0,1)

x

Figura 5

t sen t cos t

O O 17r/6 1/2 \/3/27r/4 \/2/2 \/2/27r/3 \/3/2 1/27r/2 1 O27r/3 \/3/2 -1/237r/4 \/2/2 -\/2/257r/6 1/2 -\/3/2

7r O -1

Grficas de seno y coseno Para graficar y = sen t y Y = cos t, seguimos nues-tro procedimiento usual de construir una tabla de valores, trazar los puntos correspon-dientes y unir estos puntos con una curva suave. Sin embargo, hasta ahora, conocemoslos valores de seno y coseno slo para pocos valores de t. Otros valores pueden deter-minarse a partir de argumentos geomtricos. Por ejemplo, si t = 1T/ 4, entonces t de-termina el punto medio del camino, si se recorre el crculo unitario en sentido contrarioa las manecillas del reloj, entre los puntos (1, O) Y(0,1). Por simetra, x y y estarn enla recta y = x, de modo que y = sen t y x = cos t sern iguales. As, los dos catetos deltringulo rectngulo OBP son iguales, y la hipotenusa es 1 (vase la figura 5). Puedeaplicarse el teorema de Pitgoras para obtener:

1T 1T1 = x 2 + x 2 = cos2 - + cos2 -

4 4

De esto concluimos que cos(1T/4) = 1/V2 = V2/2. De manera anloga, sen(1T/4) = V2/2. Podemos determinar sen t y cos t para otros valores de t. Algunos destos se muestran en la tabla siguiente. Utilizando estos resultados, junto con varios re-sultados de una calculadora (en modo de radianes), obtenemos las grficas que semuestran en la figura 6.

y

---jL-----.::llIr--~,__-_i(L_-----,otL---~--+_-~

SECCIN 2.3 Las funciones trigonomtricas 55

tan (-t)sen (-t ) -sen t--- = -- = -tantcos (-t ) cos t

EJEMPLO 6 Verifique las siguientes identidades.

11 + tan2 t = sec2 t 1+ cot2 t = csc2 t

EJEMPLO 5 Demuestre que la tangente es una funcin impar.

Solucin

Solucin

sen2 t cos2 t + sen2 t 1 21 + tan2 t = 1 + -- = = --- = sec t

cos2 t cos2 t cos2 t

cos2 t sen2 t + cos2 t 11 + cot2 t = 1 + -- = = -- = csc2 t

sen2 t sen2 t sen2 t

Cuando estudiamos la funcin tangente (figura 11), nos encontramos con dos pe-queas sorpresas. Primera, notamos que hay asntotas verticales en 7T' /2, ::::37T'/2, etc.Debimos haber anticipado esto, ya que cos t = Oen estos valores de t, lo cual significa

.que (sen t) / (cos t) implicara una divisin entre cero. Segunda, parece que la tangen-te es peridica (lo cual esperbamos), pero con periodo 7T' (que podramos no haberesperado). Ver la razn analtica para esto en el problema 33.

Relacin con la trigonometra del ngulo Los ngulos se miden por lo co-mn en grados o en radianes. Por definicin, un radin es el ngulo que correspondea un arco de longitud uno en un crculo unitario. Vase la figura 12. El ngulo que co-rresponde a una vuelta completa mide 360, pero slo 27T' radianes. De manera equi-valente, un ngulo de lados colineales mide 180 o 7T' radianes, un hecho importantepara recordar.

x

y

tan

Figura 11

Figura 12

11800 = 7T' radianes:::::; 3.1415927 radianes

Esto conduce a los resultados

La figura 13 muestra algunas otras conversiones comunes entre grados y radianes.La divisin de una vuelta en 360 partes es muy arbitraria (debida a los antiguos

babilonios, a quienes les agradaban los mltiplos de 60). La divisin en 27T' partes esms fundamental y yace en el uso casi universal de la medida en radianes en clculo.En particular, obsrvese que la longitud s del arco que corta un crculo de radio r pormedio de un ngulo central de t radianes satisface (vase la figura 14).

s t

2'TTr 2'TTEsto es, la fraccin de la circunferencia total 27T'r correspondiente a un ngulo t es lamisma fraccin del crculo unitario que corresponde al mismo ngulo t. Esto implicaque s = rt.

Cuando r = 1, esto da s = t. Esto significa que la longitud de arco en el crculounitario cortado por un ngulo central de t radianes es t. Esto es correcto incluso si t esnegativo, con tal que interpretemos la longitud como negativa cuando se mide en di-reccin de las manecillas del reloj.

EJ EMPLO 7 Determine la distancia recorrida por una bicicleta con ruedas de radiode 30 centmetros cuando las ruedas han girado 100 revoluciones.

Solucin Utilizamos el hecho de que s = rt, reconociendo que 100 revoluciones co-rresponden a 100 . (27T') radianes

s = (30)(100)(2'TT) = 6000'TT:::::; 18849.6 centmetros:::::; 188.5 metros

Grados Radianes

O O

30 n/645 n/4

60 n/390 n/2

120 2n/3135 3n/4150 5n/6180 n360 2n

Figura 13

s = rt

Figura 14

1 radin :::::; 57.29578 1 :::::; 0.0174533 radin



58 CAPTULO 2 Funciones y lmites

39. Determine el ngulo de inclinacin de las rectas siguien-tes (vase el problema 38).

(a) y = v'3 x - 7 (b) v'3 x + 3y = 6

1]

x

tan e = _m_2_-_m_l_1 + mlm2

Demuestre esto utilizando el hecho de que e = e2 - el en la figura 16.

43. Determine el rea del sector de un crculo de radio 5 cen-tmetros y ngulo central de 2 radianes (vase el problema 42).

44. Un polgono regular de n lados est inscrito en un crcu-lo de radio r. Determine frmulas para el permetro, P, y el rea,A, del polgono en trminos de n y r.

45. Un tringulo issceles est coronado por un semicrculo,como se muestra en la figura 18. Encuentre una frmula para elrea A de la figura completa, en trminos de la longitud del lador y el ngulo t (radianes). (Decimos que A es una funcin de lasdos variables independientes r y t.)

Figura 17

W 41. Determine el ngulo (en radianes) de la primera a la se-gunda recta (vase el problema 40).

x(a) y = 2x, y = 3x (b) y = 2' y =-x(c) 2x - 6y = 12,2x + y = O

42. Deduzca la frmula A = 1r2 t para el rea de un sectorcircular. Aqu r es el radio y t es la medida en radianes del ngulocentral (vase la figura 17).

40. Sean .el y .e2dos rectas no verticales, con pendientes mI Ymb respectivamente. Si e, el ngulo de.e l a.eb no es un ngulo rec-to, entonces

Figura 18

Figura 16

2 1730. cos 12

28 sen2 '!!.- 6

(b) y = cos ( x + ~)

(d) Y = cos (x - 17)

(f) Y = cos ( x - ~ )

(h) Y = sen ( x - ~ )

1729. sen3 (; =

31 sen2 '!!.-. 8

(g) y = -cos (17 - x)

(a) y = sen ( x + ~)

(c) y = -sen(x + 17)

(e) y = -sen (17 - x)

Figura 15

38. El ngulo de inclinacin a de una recta, es el ngulo posi-tivo ms pequeo, a partir del eje x a la recta (a' = O, para una rec-ta horizontal). Demuestre que la pendiente m de la recta es iguala tan a'.

Utilice las identidades del medio ngulo para determinar los valoresexactos en los problemas del 27 al 31.

27 cos2'!!.- =. 3

25. Cules de las siguiente son funciones impares?, culesfunciones pares? y cules ninguna de stas?

(a) t sen t (b) sen2 t (c) csc t

(d) Isentl (e) sen(cost) (f) x + senx26. Cules de las siguiente son funciones impares?, cules

funciones pares? y cules ninguna de stas?

(a) cott + sen t (b) sen3 t (c) sec t(d) Vsen4 t (e) cos(sent) (f) x 2 + senx

32. Determine identidades anlogas a las identidades de su-ma de ngulos para cada expresin.

(a) sen (x - y) (b) cos (x - y) (c) tan (x - y)

33. Utilice la identidad de suma de ngulo para la tangentea fin de demostrar que tan(t +'17) = tan t, para toda t en el domi-nio de tan t.

34. Demuestre que cos (x - 17) = -cos x, para toda x.

G W 35. Suponga que la llanta de un camin tiene un radio ex-terior de 2.5 pies. Cuntas revoluciones por minuto da la llantacuando el camin est viajando a 60 millas por hora?

G 36. Cunto avanza una rueda, de radio 2 pies, que rueda alnivel del piso dando 150 revoluciones? (Vase el ejemplo 3.)

G W 37. Una banda pasa por dos poleas, como se muestra enla figura 15. Cuntas revoluciones por segundo gira la poleapequea cuando la polea grande gira a 21 revoluciones por se-gundo?



1x sen ~

2/n

-n2/(2n)2/(3n)2/(4n)2/(5n)

-n2/(6n)2/(7n)2/(8n)2/(9n)

-n2/(10n)2/(1 In)2/(12n)t tO ?

Figura 6

SECCiN 2.4 Introduccin al tema de lmites 63

Utilice su calculadora para evaluar sen(1/x) en estas x.A menos que corra con muchasuerte, sus valores oscilarn de manera desordenada.

Segunda, intente construir la grfica de y = sen(1/x). Nadie har esto muy bien,pero la tabla de valores en la figura 6 da una buena pista acerca de lo que est suce-diendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la grfica oscila hacia arriba y haciaabajo entre -1 y 1 un nmero infinito de veces (vase la figura 7). Claramente,sen(1/x) no est cerca de un solo nmero L, cuando x est cerca de cero. Concluimosque lm sen(1/x) no existe.

x---+O

2 x7f

Figura 7

Lmites unilaterales Cuando una funcin da un salto (como lo hace [x] en cadaentero en el ejemplo 6), entonces el lmite no existe en los puntos de salto. Para talesfunciones, es natural introducir lmites unilaterales. El smbolo x ~ c+ significa que x seaproxima a c por la derecha, y x ~ c- significa que x se aproxima a c por la izquierda.

Definicin Lmites por la derecha y por la izquierda

Decir que lm f(x) = L significa que cuando x est cerca, pero a la derecha dex---+c+

c, entonces f(x) est cerca de L. De manera anloga, decir que lm_f(x) = L sig-x---+c

nifica que cuando x est cerca, pero a la izquierda de c, entonces f(x) est cerca de L.

Por tanto, mientras que lm [x] no existe, es correcto escribir (vea la grfica en la fi-x---+2

gura 5)lmJx] = 1

x---+2y lm [x] = 2

x---+2+

Creemos que usted encontrar el teorema siguiente muy razonable.

La figura 8 le debe dar una comprensin adicional. Dos de los lmites no existen, aun-que todos, con excepcin de uno de los lmites unilaterales existen.

lm f(x) =4\"----,)-]+

lm f(x) no existe.1;----,)-1

y

~4

Figura 8

-3 -2 -1 x




(x)

L+E

L

L-E

I(x)-LI<

Figura 1

(x)

c-8 c c+o

o O, tal que If(x) - LI < e, siempre que O < Ix- el < D; esto es,

O < Ix - el < D~ If(x) - LI < e

Las grficas de la figura 3 pueden ayudarle a comprender esta definicin.

(x) (x) (x)

Lj~ L~~L+~j

L-

e

x e-O e e+o x ex

O


Figura 5

2 3 4 5

J~n Cf- x + 3) =5e

Ix - 21 Odada. Elegimos 8 = e/2. Entonces O < Ix - 21 < 8implica que

1

2X2_3X-2 I 1(2X+l)(X-2) Ix - 2 - 5 = x _ 2 - 5 = 12x + 1 - 51

12(x - 2)1 = 21x - 21 < 28 = eLa cancelacin del factor x - 2 es vlida ya que O < Ix - 21 implica que x=/=-2 Yx -2-- = 1 siempre que x =/=- 2. x - 2

EJEMPLO 3 Demuestre que lm(mx + b) = me + b.x~c

ANLISIS PRELIMINAR Queremos encontrar una 8 tal que

O < Ix - el < 8 ~ I(mx + b) - (me + b) I < eAhora

I(mx + b) - (me + b)1 = Imx - mel = 1m(x - e)1 = Imllx - elParece que 8 < e/lml funciona, con tal que m =/=-0. (Observe que m podra ser positivao negativa, as que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Recuerde delcaptulo 1 que labl = lallbl.)DEMOSTRACIN FORMAL Sea e> Odada. Elegimos a 8 = e/lml. Entonces O < Ix -el < 8 implica que

I(mx + b) - (me + b)1 = Imx - mel = Imllx - el < Iml8 = e



(x)

SECCiN 2.5 Estudio formal de lmites 69

y en caso de que m = 0, cualquier 8 funcionar bien ya que

Ahora

ANLISIS PRELIMINAR Con respecto a la figura 7. Debemos determinar una 8 tal que

< Ix - el < 8 ==? I\IX - vel < e[) [)

I(Ox + b) - (Oe + b)1 = 101 = Esto ltimo es menor que e para toda x.

EJEMPLO 4 Demuestre que si e > entonces lm \IX = ve.x~c

Figura 7I\IX - vel = I(\IX - ve)( \IX + ve) I = I x - e I

\IX + ve \IX+veIx - el Ix - el

---- dada. Elegimos a 8 = e ve. Entonces < Ix-el < 8 implica que

1\IX - vel = I(\IX - ve)( \IX + ve) I = I x - e I\IX+ve \IX+ve

Ix - el Ix - el 8----< 0, pero podra suceder que e estmuy cercano a sobre el eje x. Deberamos insistir que 8 :::::: e, para que entonces Ix -el < 8 implique que x > 0, de modo que \IX est definida. As, para un rigor absolu-to, elegimos 8 como el ms pequeo entre e y e ve. Nuestra demostracin en el ejemplo 4 depende de la racionalizacin del numerador,un truco que con frecuencia es til en clculo.

EJEMPLO 5 Demuestre que lm(x2 + x - 5) = 7.x~3

ANLISIS PRELIMINAR Nuestra tarea es encontrar una 8 tal que

O < Ix - 31 < 8 ==? l(x2 + x - 5) - 71 < eAhora

I(x2 + x - 5) - 71 = Ix2 + x - 121 = Ix + 411x - 31El factor Ix - 31 puede hacerse tan pequeo como queramos y sabemos que Ix + 41 se-r alrededor de 7. Por tanto buscamos una cota superior para Ix + 41. Para hacer esto,primero convenimos en hacer 8 :::::: 1. Entonces Ix - 31 < 8 implica que

Figura 8 Ix + 41 = Ix - 3 + 71:::::: Ix - 31 + 171 (Desigualdad del tringulo) dada. Elegimos a 8 = mn {1, e/8}; esto es, ele-gimos a 8 como el ms pequeo entre 1 y e/8. Entonces O < Ix - 31 < 8 implica que

l(x2 + x - 5) - 71 = Ix2 + x - 121 = Ix + 411x - 31 < 8 . E = e 8



Ahora

70 CAPTULO 2

Figura 9

Funciones y lmites

(x)

x

EJEMPLO 6 Demuestre que lm x 2 = e2x~c

DEMOSTRACIN Reproducimos la demostracin en el ejemplo 5. Sea e > O dada.Elegimos como o = mn{l, e/(l + 2Iel)}. Entonces O < Ix - el < o implica que

Ix2 - e21 = Ix + ellx - el = Ix - e + 2ellx - el

:::; (Ix - el + 2Ie!)lx - el (Desigualdad del tringulo)(1 + 21el) . e

< 1 + 21el = eAunque parezca increblemente perspicaz, no sacamos a o"de la manga", en el ejem-plo 6. Simplemente, esta vez no le mostramos el anlisis preliminar.

, 1 1EJEMPLO 7 Demuestre que hm - = -, e "* O.

x~c X e

ANLISIS PRELIMINAR Estudie la figura 9. Debemos determinar una o tal que

O < Ix - el < 8 => I~ -~I < e

El factor l/lxl es problemtico, en especial si x est cerca de cero. Podemos acotar es-te factor si podemos mantener a x alejado de O. Con ese fin, observe que

lel = le - x + xl :::; le - xl + Ixlde modo que

Ixl 2:: lel - Ix - elAs, si elegimos a o :::; lel/2, resultando en hacer Ixl 2::lel/2. Por ltimo, si tambin pe-dimos que o :::; ee2/2, entonces

1 1 1 1 ee2

~ .~ . Ix - el < lel/2 . ~ . 2 = e

DEMOSTRACIN fORMAL Sea e > Odada. Elegimos a o = mn{lel/2, ee2/2}. Enton-ces O < Ix - el < o implica que

I~ -~I = le :o xl = I~I . 1:1 Ix - el < le~2 . 1:1 e~2 = e Lmites unilaterales No se necesita mucha imaginacin para dar las definicionese-O del lmite por la derecha y del lmite por la izquierda.

Definicin Lmite por la derecha

Decir que l~+f(x) = L significa que para cada e > Oexiste una correspondiente

o> Otal que

o < x - e < o ==> If(x) - LI < e

Al lector le dejamos la definicin e-o para el lmite por la izquierda. (Vase elproblema 5.)

El concepto e-O presentado en esta seccin es probablemente el tema ms intrin-cado y elusivo en un curso de clculo. Le podra tomar algn tiempo entender esteconcepto, pero vale el esfuerzo. El clculo es el estudio de lmites, de modo que unaclara comprensin del concepto de lmite es una meta valiosa.




lm x + 6 =-1.x->3 x4 - 4x3 + x2 + x + 6

27. Cules de los siguientes enunciados son equivalentes a ladefinicin de lmite?

(a) Para algn e > Oytodao > 0,0 < lx-el < o=}lf(x)-LI < e.(b) Para toda o> O, existe una correspondiente e > Otal que

O < Ix - el < e =} If(x) - LI < O

(c) Para todo entero positivo N, existe un entero correspondientepositivo M tal que O < Ix - el < l/M::::} If(x) - LI < l/N.

(d) Para toda e > O, existe una correspondiente o> Otal que O < Ix- el < o y If(x) - LI < epara alguna x.

28. En lenguaje e-O qu significa decir lm f (x) * L.x----+c

~ 29. Suponga que deseamos dar una demostracin con e-O deque

. x + 6Empezamos escnbiendo 4 3 2 + 1 en la forma(x-3)(g(x)). x -4x +x +x+6

(a) Determine g(x).(b) Podramos elegir o= mn (1, e/n) para alguna n? Explique.(c) Si elegimos o = mn (1/4, e/n), cul es el entero ms pequeo m

que podramos utilizar?

Respuestas a la revisin de conceptos: 1. L - e; L + e2. O < Ix - al < o;lf(x) - LI < e 3.e/3 4.ma + b

2.6Teoremas de lmites

La mayora de los lectores coincidirn en que demostrar la existencia y valores de loslmites utilizando la definicin e-O de la seccin anterior consume tiempo y es difcil.Esto es por lo que son bienvenidos los teoremas de esta seccin. Nuestro primer teo-rema es el principal. Con l, podemos manejar la mayora de los problemas de lmitescon los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.

Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Porejemplo, la afirmacin 4 se traduce como: El lmite de una suma es la suma de los lmites.

Por supuesto el Teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta elfinal de la seccin, preferimos mostrar primero cmo este teorema con varias partes seutiliza.

Aplicaciones del Teorema principal sobre lmites En los siguientes ejem-plos, los nmeros que estn en el interior de un crculo se refieren al nmero de la afir-macin de la lista anterior. Cada igualdad est justificada por la afirmacin indicada.

EJEMPLO 1

Solucin

Determine lm 2x4 x.-.3

T Tlm 2x4 = 2 lm x 4 = 2x-3 x-3

,~[lm x] = 2[3t = 162x-3




La demostracin del Teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas delTeorema A. Observe que el Teorema B nos permite encontrar lmites de funciones po-linomiales y racionales con la simple sustitucin de c por x en toda la expresin, siem-pre y cuando el denominador de la funcin racional no sea cero en c.

7x5 - 10x4 - 13x + 6EJEMPLO 5 Encuentre lm -------c-2------

x-c>2 3x - 6x - 8

Solucin

7x5 - 10x4 - 13x + 6 7(2)5 - 10(2t - 13(2) + 6lm ---------x-c>2 3x2 - 6x - 8 3(2)2 - 6(2) - 8

x 3 + 3x + 7 x 3 + 3x + 7EJEMPLO 6 Encuentre lm -2---- = lm -----

X-C> 1 X - 2x + 1 x-c> 1 (x - 1)2

11

2

Opcional?En un primer curso de clculo,cuntos teoremas deben demos-trarse?Los profesores de matemticas handiscutido largo y tendido acerca deesto y acerca del balance correctoentre:

lgica e intuicin demostracin y explicacin teora y aplicacin

Un gran cientfico de hace muchotiempo dio un sabio consejo.

"Quien ama la prctica sin teora escomo el marinero que se embarcasin timn ni brjula y nunca sabednde ir."

Leonardo da Vinci

Solucin No se aplica ni el Teorema B ni la afirmacin 7 del Teorema A, ya que ell-mite del denominador es cero. Sin embargo, como el lmite del numerador es 11, ve-mos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un nmero cercano a 11 entreun nmero positivo cercano a cero. El resultado es un nmero positivo grande. De he-cho, el nmero resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficien-temente cercana a 1. Decimos que el lmite no existe. (Ms adelante, en este captulo,(vase la seccin 2.8) nos permitiremos decir que el lmite es +00.)

(2 + 3( - 10EJEMPLO 7 Encuentre lm 2 .

t-c>2 ( + ( - 6

Solucin Nuevamente, no se aplica el Teorema B. Pero esta vez, el cociente toma una for-ma carente de significado O/O en t = 2. Siempre que esto suceda uno debe buscar unasimplificacin algebraica (factorizacin) del cociente antes de intentar tomar el lmite.

, {2 + 3( - 10. , (( - 2) (( + 5) ,( + 5 7hm =hm =hm--=-t-c>2 (2 + ( - 6 t-c>2 (( - 2) (( + 3) t-c>2 ( + 3 5

Demostracin del Teorema A (opcional) No debe sorprenderse cuando ledecimos que las demostraciones de algunas partes del Teorema A son muy complica-das. En consecuencia de esto, aqu slo demostramos las primeras cinco partes, dejan-do las otras al apndice (seccin A.2, Teorema A). Para que se d cuenta, podra in-tentar con los problemas 31 y 32.

Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de

lm (mx + b) = mc + b (vase el ejemplo 3 de la seccin 2.5) utilizando primerox-c>c

m = OYluego m = 1, b = O.Demostracin de la afirmacin 3 Si k = O, el resultado es trivial, as que suponemos

que k =1= O. Sea e > Odada. Por hiptesis, lm f (x) existe; llamemos L a su valor. Porx-c>c

definicin de lmite, existe un nmero Dtal que

O < Ix - cl < D ==} If(x) - LI < 1:1

Es seguro que algunos reclamaran el cambio de e/lkl en lugar de e al final dela desigualdad anterior. Bueno, acaso no es e/lkl un nmero positivo? S. Acaso no, la



L+M -

Figu,ra 1

y

x

SECCIN 2.6 Teoremas de lmites 75

definicin de lmite requiere que para cualquier nmero positivo exista una corres-pondiente 07 S.

Ahora, para una oas determinada (nuevamente vez por medio de un anlisis pre-liminar que no hemos mostrado aqu), aseguramos que O < Ix - el < o implica que

Ikf(x) - kLI = Ikllf(x) - L/ < Ik ll:

1= e

Esto muestra que

lm kf(x) = kL = k lm f(x) x~c x~c

Demostracin de la afirmacin 4 Con respecto a la figura 1. Sea lm f (x) = L Y, x~c

lm g( x) = M. Si e es cualquier nmero positivo, entonces el 2 es positivo. Comox~c

lm f (x) = L, existe un nmero positivo 01 tal quex~c

O < Ix -el < 01=} If(x) - LI

SECCIN 2.7 Lmites que incluyen funciones trigonomtricas 77

Ahora demuestre que lm g(x) = M, entonces existe un nmero 01x~c

tal que

En los problemas del27 al 30, encuentre lm [(x) - f(2) JI (x - 2)para cada funcin f dada. x~2

27. f(x) = 3x2 28. f(x) = 3x2 + 2x + 1

1 329. f(x) = - 30. f(x) = 2

x x31. Demuestre la afirmacin 6 del Teorema A. Sugerencia:

If(x)g(x) - LMI = If(x)g(x) - Lg(x) + Lg(x) - LMI

= Ig(x)[(x) - LJ + L[g(x) - MJI:s Ig(x)llf(x) - LI + ILllg(x) - MI

o < Ix - el < 01 =9- Ig(x)1 < MI + 132. Demuestre la afirmacin 7 del Teorema A, primero dando

una demostracin e-O de que lm [11g( x) J = 1/[lm g( x) Jy luegoaplicar la afirmacin 6. x~c x~c

33. Demuestre que lm f(x)= L ~ lm [f(x) - LJ = O.x~c x~c

34. Demuestre que lmf(x) = O~ lm If(x)[ = o.x~c X----1-C

35. Demuestre que lm Ixl = leI-x~c

36. Encuentre ejemplo para demostrar que si

(a) lm [J( x) + g( x) J existe, esto no implica que exista lm f( x) ox~c x~c

lm g(x);x~c

(b) lm [J( x) . g(x) J existe, esto no implica que exista lm f( x) ox~c x~c

lm g(x).x~c

En los problemas del37 al 44, encuentre cada uno de los lmites unila-terales o establezca que no existen.

1. 48 2. 4 3. -8;

42. lmJx - [x])x~3

1, V1h

40. 1m ---x~l- 4 + 4x

V 1T3 + x 338. lm

X~-1T" X

44. lm [x 2 + 2x]x~3+

, x43. hm_ ~II

x~o x

(x2 + l)[x]41. lm ----

x~2 (3x - 1)2

~37. lm

x~-3' X

x-339. lm ---x~3+~

permetro de /j.NOP (b) l' rea de /j.NOP(a) lm 1m -----

x~o+ permetro de /j.MOP x~o- rea de /j.MOP

45. Suponga que f(x )g(x) = 1 para toda x y que lm g(x) = O.Demuestre que lmf(x) no existe. x~a

X----?-ll

46. Sea R el rectngulo que une los puntos medios de los ladosdel cuadriltero Q, el cual tiene vrtices ( x, O) y (O, 1). Calcule

permetro de Rlm-----x~o- permetro de Q

47. Sea y = \/X y considere los puntos M, N, O YP con coor-denadas (1,0),(0,1),(0,0) y(x,y) en la grfica de y = \/X,respec-tivamente. Calcule:

Respuestas a la revisin de conceptos:-4 + 5c 4. O; L;2L

24. lm [(x) - 3tx~a

26. lm [(u) + 3g(u) J3u~a

23. lm Vg (x) [(x) + 3Jx~a

25. lm[[f(t)1 + 13g(t)IJt~a

2.7Lmites

que incluyenfunciones

trigonomtricas

y

(0.1)

P(cos r. sen t)

El Teorema B de la seccin anterior dice que los lmites de funciones polinomialessiempre pueden encontrarse por sustitucin, y los lmites de funciones racionales pue-den encontrarse por sustitucin siempre y cuando el denominador no sea cero en elpunto lmite. Esta regla de sustitucin se aplica tambin a las funciones trigonomtri-cas. Este resultado se establece a continuacin.

Figura 1

o

Demostracin de la afirmacin 1 Primero establecemos el caso especial dondee = O. Supngase que t > Oy que los puntos A, B YP estn definidos como en la figu-ra 1. Entonces

O < BPI < IAPI < arc (AP)

Pero,IBPI = sen t y arco AP = t, de modo queO < sen t < t

Si t < O, entonces t < sen t < O. Por lo que podemos aplicar el Teorema del empare-dado (Teorema 2.6C) y concluir que lm sen t = O. Para completar la demostracin,

t~O




tambin necesitaremos el resultado de que lm cos t = 1. sta se deduce aplicando1-+0

una identidad trigonomtrica y el Teorema 2.6A:~-----

lm cos t = lm VI - sen2 t = " /1 - (lm sen t)2 = V1=()2 = 11-+0 1-+0 V 1-+0

Ahora, para demostrar que lm sen t = sen e, primero hacemos h = t - e de mo-I-+c

do que h ----7 cuando t ----7 e. Entonceslm sen t = lm sen (e + h)I-+c h-+O

= lm (sen ecos h + cos e sen h) (Identidad de la suma de los ngulos)h-+O

(sen e)(lm cos h) + (cos e)(lm sen h)h-+O h-+O

(sen e) (1) + (cos e) (O) = sen e

Demostracin de la afirmacin 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con el Teo-rema 2.6A. Si cos e > 0, entonces para t cercano a e tenemos cos t = Yl- sen2t. Portanto,

lmcost = lm VI - sen2t = " /1 -(lmsent)2 = VI - sen2 e = coseI-+c I-+c V I-+C

Por otra parte, si cos e < O, entonces para t cercano a e tenemos cos t = - VI - sen2 t .En este caso

lmcost = lm(-Vl - sen2t) = -" /1 - (lmsent)2 = -VI - sen2 eI-+C I-+c V I-+c

= -Vcos2 e = -Icosel = cose

El caso e = Ose trabaj en la demostracin de la afirmacin 1.

Las demostraciones de las dems afirmaciones se dejan como ejercicios. (Vaselos problemas 15 y 16.) El Teorema A puede utilizarse junto con el Teorema 2.6A pa-ra evaluar otros lmites.

t2 cos tEJEMPLO 1 Encuentre lm --1-

1-+0 t +Solucin

t2

cos t ( t2

)lm --- = lm-- (lm cos t) = O 1 = O1-+0 t + 1 1-+0 t + 1 1-+0

Dos lmites importantes que no pueden evaluarse por sustitucin son

sentlm-- y1-+0 t

1 - costlm----1-+0 t

En la seccin 2.4 nos encontramos el primero de estos lmites, en donde conjeturamosque el lmite era 1. Ahora demostramos que en verdad 1 es el lmite.

lm sent = O1-+0

ylm cos t = 11-+0

Demostracin de la afirmacin 1 En la demostracin del Teorema A de esta seccin,demostramos que

Para -77"/2::; t::; 77"/2, t *0 (recuerde, no importa qu suceda en t = O), dibuje el seg-mento de recta vertical BP y el arco circular BC, como se muestra en la figura 2. (Sit < 0, entonces considere la regin sombreada reflejada con respecto al eje x.) Es evi-dente de la figura 2 que

rea (sector OBC) ::; rea (dOBP) ::; rea (sector OAP)

y

(O. 1)

Figura 2



senx

4 sen4x4x


(e) 1, sen 4x l'1m --- = 1m ---x~o tanx x~o

xeosx

41' sen4x1m---x~o 4x

( ' sen x ) (' 1)hm-- hm--x~o x x~o eos x

4=-=4

1 . 1 Revisin de conceptos

1. lm sen t = _t~O

2. lm tan t = _t~7r/4

Conjunto de problemas 2.7

3 Ell' . l' sen t dI" ,. ImIte Im-- no pue e eva uarse por sustltuclOn por-t~O t

que _

4. lm sen t =t~O t ----

En los problemas del] al 13, evale cada lmite.cosx

1. lm--x~o x + 1

cos2 t3.lm----t~ol+sent

senx5. lm--

x~o 2x

sen3e7. lm--

tJ~O tane

cot 7Te sen e9. lm-----

tJ~O 2 sece

tan2 3t11. lm-

2-

t~O t

sen(3t) + 4t13. lm------.:.---

t~O tsect

2. lm ecos etJ~7r/2

1, 3x tan x

4. Im---x~o senx

1, sen 3e

6. Im--tJ~o 2e

8 r tan5e tJ~ sen2e

1, sen2 3t

10. Im--t~O 2t

r tan 2t12. t~ sen2t - 1

yP(cos 1, sen )

Q

;\(1. o) x

Figura 3

~ 19. Vuelva a hacer los problemas del 1 al 13 en su computadoray as verifique las respuestas.

14. Demuestre que lm cos t = cos c utilizando un argumento si-t~c

milar al utilizado en la demostracin de que lm sen t = sen c.t~c

15. Demuestre las afirmaciones 3 y 4 del Teorema A utilizandoel Teorema 2.6A.

16. Demuestre las afirmaciones 5 y 6 del Teorema 2.6A.

17. Con base en rea(OBP) :::::; rea(sector OAP) :::::; rea(OBP) +rea(ABPQ) en la figura 3, demuestre que

tcos t ::; -- ::; 2 - cos t

sent

y as obtenga otra demostracin de que lm (sen t) / t = O.t~O

18. En la figura 4, sea D el rea del tringulo ABP y E el reade la regin sombreada.

(a) Haga una conjetura acerca del valor de lm+ DE observando t~O

la figura.

(b) Encuentre una frmula para D/ E en trminos de t.

(c) Utilice una calculadora para obtener una estimacin precisa

de lm+ DE't~O

y

PI COS {, sen t)

;\(1 O) x

Figura 4

Respuestas a la revisin de conceptos:nador es cero cuando t = O4. 1

1. O2. 1 3. el denomi-



, xhm --- = O

X-?-CXJ 1 + x 2

2.8Lmites en infinito,

lmites infinitos

y

g(x) =: +

Figura 1

xx 1 +x'

10 0.099

100 0.010

1000 0.001

10000 0.0001

J, J,

00 ?

Figura 2

y

1E

T

SECCiN 2.8 Lmites en infinito, lmites infinitos 81

El concepto del infinito ha inspirado y complicado a los matemticos desde tiempo in-memorial. Los problemas y paradojas ms profundos de las matemticas con frecuen-cia estn entrelazados con el uso de esta palabra. No obstante el progreso matemti-co, en parte, puede medirse en trminos de la comprensin del concepto de infinito. Yahemos utilizado los smbolos 00 y -00 en nuestra notacin para ciertos intervalos. As,(3,00) es nuestra forma para denotar al conjunto de todos los nmeros reales mayo-res que 3. Observe que nunca nos hemos referido a 00 como un nmero. Por ejemplo,nunca lo hemos sumado a un nmero ni dividido entre algn nmero. Utilizaremos lossmbolos 00 y -00 de una manera nueva en esta seccin, pero ellos an no representannmeros.

Un ejemplo Considere la funcin g(x) = x/(1 + x2 ) cuya grfica se muestra enla figura 1. Hacemos esta pregunta: Qu le sucede a g(x) cuando x se hace cada vezms grande? En smbolos, preguntamos por el valor de lm g(x).

x-?oo

Cuando escribimos x ----7 00, no queremos dar a entender que en un lugar muy, muyalejado a la derecha del eje x exista un nmero, ms grande que todos los dems n-meros, al cual x se aproxima. En lugar de eso utilizamos x ----7 00 como una forma bre-ve de decir que x se hace cada vez ms grande sin cota.

En la tabla de la figura 2, hemos listado valores de g(x) = x/(l + x2 ) para variosvalores de x. Parece que g(x) se hace cada vez ms pequeo conforme x se hace cadavez ms grande. Escribimos

Al experimentar con nmeros negativos grandes nos conducira a escribir, x

hm --=0X-?-CXJ 1 + x 2

Definiciones rigurosas de lmites cuando x ~ oo En analoga con nues-tra definicin c, opara lmites ordinarios, hacemos la definicin siguiente.

Definicin Lmite cuando x ~ 00

Sea f definida en [c, (0) para algn nmero c. Decimos que lm f (x) = L, si paracada c > Oexiste un correspondiente nmero M tal que x-?-oo

x > M => If(x) - LI < c

Figura 3

Mx

Note que M puede depender de c. En general, entre ms pequea es c, ms gran-de tendr que ser M. La grfica en la figura 3 puede ayudarle a comprender lo que es-tamos diciendo.

Definicin Lmite cuando x ~ -00

Sea f definida en (-00, cJ para algn nmero c. Decimos que lm f (x) = L si paracada c > Oexiste un correspondiente nmero M tal que x-?-oo

x < M => If(x) - LI < c

EJEMPLO 1 Demuestre que si k es un entero positivo entonces

1, 1 O l' 1lm k = y Imk=Ox-?oo X X-?-CXJ X

Solucin Sea c > Odada. Despus de un anlisis preliminar (como en la seccin2.5), elegimos M = ~. Entonces x > M implica que

I~ - 01 = ~ < _1 = cx k x k M kLa demostracin de la segunda proposicin es similar.




En matemticas y ciencias, utilizamos la palabra continuo para describir un procesoque sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer es-to como una caracterstica esencial de muchos procesos naturales. Es esta nocin, conrespecto a funciones, la que ahora queremos precisar. En las tres grfica

calculo de purcell 8 edicion

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