calculo 9a. edición purcell, varberg-rigdon

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  • 1. NOVENA EDICIN RigdonVarberg / a cu o Pureell PEARSON -Prpnticp Hall 51

2. Descartes Euler LeibnizNewton L'H6pital Pascal Kepler -1. Kepler (1571-1630) -R. Descartes (1596-1650) -B. Pascal (1623-1662)- -l. Newton (1642-1727) -o. Leibniz (1646-1716) ,_L'Hpital (1661-1704) -1. Bernoulli (1667-1748) ----------------j __ L. Euler (1707-1783) - - - - - l _ M.Agnesi (1718-1799) - - - Bernoulli Contribuidores del Clculo [El clculo es] el resultado de una dramtica lucha intelectual que ha durado los ltimos veinticinco siglos. -Richard Courant 1609 ILeyes de Kepler del movimiento planetario 1637 Geometra analtica de Descartes 1665 INewton descubre el clculo 1696 Primer texto de clculo (L'Hpital) 1728 IEuler introduce e 3. Lagrange Otros contribuidores Pierre de Fermat (1601-1665) Michel Rolle (1652-1719) Brook Taylor (1685-1731) Coln Maclaurin (1698-1746) Thomas Simpson (1710-1761) Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) George Green (1793-1841) George Gabriel Stokes (1819-1903) Lebesgue Gibbs 11902 IIntegral de Lebesgue 1873 Kovalevsky e es trascendental (Hermite) I 1854 Integral de Riemann Weierstrass 1821 Nocin precisa de lmite (Cauchy) Gauss 1799 Gauss demuestra el teorema fundamental del lgebra Agnesi 1756 Lagrange inicia su Mcanique ana/ytique - OO',- - - - - - - - - - - - - -. . . --1---- 1. Lagrange (1736-1813) -c. Gauss (1777-1855) -A. Cauchy (1789-1857) _K. Weierstrass (1815-1897) - G. Riemann (1826-1866)- -J. Gibbs (1839-1903) - S. Kovalevsky (1850-1891) - I -H. Lebesgue (1875-1y 2. Transitividad. x < y e y < z =x < z. 3. Suma. x < y =x + z < y + z. 4. Multiplicacin. Cuando z es posi- tiva x < y = xz < yz. Cuando i es negativa, x < y = xz > yz. Orden Los nmeros reales diferentes de cero se separan, en forma adecuada, en dos conjuntos disjuntos, los nmeros reales positivos y los nmeros reales negativos. Este hecho nos permite introducir la relacin de orden < (se lee "es menor que") por medio de < y ~ y - x es Dositilvo Acordamos que x x significarn lo mismo. As, 3 < 4,4 > 3,-3 -3. La relacin de orden ~ (se lee "es menor o igual a") es prima hermana de por ~ y ~, respectivamente. Cuantificadores Muchas proposiciones matemticas incluyen una variable x, y la validez de un enunciado depende del valor de x. Por ejemplo, la proposicin "IX es un nmero racional" depende del valor de x; es verdadero para algunos 4 10,000 valores de x, tal como x = 1,4,9, x = 1,4,9, 9' y 49' y falso para otros valores de x, tales como x = 2, 3, 77 Y7T. Algunas proposiciones, tales como "x2 ~ O", son verda- deras para todo nmero real x, y otras proposiciones, tales como "x es un entero par mayor que 2 y x es un nmero primo", siempre son falsas. Denotaremos con P(x) un enunciado cuyo valor de verdad depende del valor de x. Decimos "para toda x, P(x)" o "para cada x, P(x)", cuando la proposicin P(x) es verdadera para todo valor de x. Cuando al menos existe un valor de x para el cual es verdadera, decimos "existe una x tal que P(x)". Los dos importantes cuantificadores son "para todo" y "existe". E}EMPi:OS] Cul de las siguientes proposiciones son verdaderas? (a) Para toda x, x2 > O. (b) Para toda x, x < O~ x2 > O. (c) Para cada x, existe una y tal que y > x. (d) Existe una y tal que, para toda x, y> x. 24. 6 Captulo O Preliminares SOLUCIN (a) Falsa. Si elegimos x = O, entonces no es verdadero que x2 > O. (b) Verdadera. Si x es negativa, entonces x2 ser positiva. (c) Verdadera. Esta proposicin contiene dos cuantificadores, "para cada" y "existe". Para leer el enunciado de manera correcta, debemos aplicarlo en el orden correcto. La proposicin inicia "para cada", de modo que si la proposicin es verdadera, en- tonces lo que sigue debe ser verdadero para todo valor de x que seleccionemos. Si no est seguro de que el enunciado completo sea verdadero, intente con algunos valo- res de x y vea si la segunda parte del enunciado es verdadero o falso. Por ejemplo, podramos elegir x = 100, dada esta eleccin; existe una y que sea mayor a x? En otras palabras, existe un nmero mayor que lOO? Por supuesto que s. El nmero 101 lo es. Ahora, seleccionemos otro valor para x, digamos x = 1,000,000. Existe una y que sea mayor que este valor de x? Nuevamente, s; en este caso el nmero 1,000,001 lo sera. Ahora, pregntese: "Si tengo que x es cualquier nmero real, podr encontrar una y que sea mayor a x?" La respuesta es s. Basta con elegir a y como x + 1. (d) Falsa. El enunciado dice que existe un nmero real que es mayor que todos los dems nmeros reales. En otras palabras, existe un nmero real que es el mayor de todos. Esto es falso; aqu est una demostracin por contradiccin. Suponga que existe un nmero real mayor que todos, y. Sea x = y + 1. Entonces x > y, lo cual es contrario a la suposicin de que y es el mayor nmero real. 111 La negacin de la proposicin P es la proposicin "no P". (La proposicin "no P" es verdadera siempre que P sea falsa). Considere la negacin de la proposicin "para toda x, P(x)". Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces debe existir al menos un valor de x para el cual P(x) es falsa; en otras palabras, existe una x tal que "no P(x)". Ahora considere la negacin de la proposicin "existe un x tal que P(x)". Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces no existe una x para la cual P(x) sea verdadera. Esto significa que P(x) es falsa sin importar el valor de x. En otras pala- bras, "para toda x, no P(x)". En resumen, La negacin de "para toda x, P(x)" es "existe una x tal que no P(x)". La negacin de "existe una x tal que P(x)" es "para toda x, no P(x)". Revisin de conceptos - 1. Los nmeros que pueden escribirse como la razn (cociente) de dos enteros se denominan _ 2. Entre cualesquiera dos nmeros reales, existe otro nmero real. Esto significa que los nmeros reales son _ Conjunto de problemas 0.1 3. La contrapositiva (contrarrecproca) de "si P entonces Q" es 4. Los axiomas y las definiciones son tomados como ciertos, pero requieren de una demostracin. En los problemas del! al!6 simplifique tanto como sea posible. Aseg- rese de eliminar todos los parntesis y reducir todas las fracciones. 3. -4[5(-3 + 12 - 4) + 2(13 - 7)] 4. 5[-1(7 + 12 - 16) + 4] + 2 1. 4 - 2(8 - 11) + 6 2. 3[2 - 4(7 - 12)] 11 12 1 _ J + Z 11. 7-2] 2 4 R l!.+!1 12. 1 +:J _ Z 7 21 2 4 R 1 3 13. 1--- 14. 2+-~ 1 + 1 1 + ?2 2 15 (vs +V3)(VS -V3) 16. (VS - V3)2 En los problemas del!7 al28 realice las operaciones indicadas y sim- plifique. 5. 5 I 6. .~+l_l '7 - :, 4 - 7 21 7. mu-o + 1] 8. _I[~_l(l_!)] (, 3 5 2 3 5 14( 2 Y (~-5)/(1-~)9. 21 5 - ~ 10. 17. (3x - 4)(x + 1) 19. (3x - 9)(2x + 1) 21. (3t2 - t + 1)2 18. (2x - 3)2 20. (4x - 11 )(3x - 7) 22. (2t + 3)3 25. Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 7 29. Determine el valor de cada una de las expresiones siguientes; si no est definida, indquelo o o (a) 00 (b) o (c) 17 (d) ~ (e) 05 (f) 170 30. Demuestre que la divisin entre Ono tiene significado como sigue: Suponga que a *O. Si ajO = b, entonces a = O. b = O, lo cual es una contradiccin. Ahora determine una razn por la que O/O tam- bin carece de significado. 25. 23. 24. Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes existe una infinidad de nmeros racionales. 5S. Estime el volumen de su cabeza, en pulgadas cbicas. 59. Estime la longitud del ecuador, en pies. Suponga que el radio de la Tierra es de 4000 millas. 60. Alrededor de cuntas veces habr latido su corazn en su vigsimo cumpleaos? 61. El rbol llamado General Sherman, que est en California, tiene una altura de casi 270 pies y promedia alrededor de 16 pies de dimctro. Estime el nmero de tablones de madera de 1 pulgada por 12 pulgadas por 12 pulgadas que podran fabricarse con este rbol, suponiendo que no haya desperdicio e ignorando las ramas. 62. Suponga que cada ao, el rbol General Sherman (vasc el problema 61) produce un anillo de crecimiento de un grosor de 0.004 pies. Estime el aumento anual resultante en el volumen de su tronco. 2 Y 2S. ---+-~- 6y - 2 9y2 - x2 - x - 6 x - 3 2x - 2x2 26., 2 X' - 2x + X x2 - 4 x-2 t2 - 4t - 21 t + 3 12 4 2 27. + - +-- x2 + 2x x x + 2 34. 36. (a) Todo nmero natural es racional. (b) Existe un crculo cuya rea es mayor que 97r. (c) Todo nmero real es mayor que su cuadrado. 71. Cules de los enunciados siguientes son verdaderos? Su- ponga que x y y son nmeros reales. (a) Para todax,x>0=x2 >0. 63. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si hoy llueve, entonces trabajar en casa. (b) Si la candidata satisface todos los requisitos, entonces ser con- tratada. 64. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si obtengo una A en el examen final, aprobar el curso. (b) Si termino mi artculo de investigacin para el viernes, entonces tomar un descanso la semana prxima. 65. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) (Sean a, by c las longitudes de los lados de un tringulo.) Si a2 + b2 = c2 , entonces el tringulo es un tringulo rectngulo. (b) Si el ngulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0 y menor que 90. 66. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si la medida del ngulo ABC es 45, entonces el ngulo ABC es agudo. (b) Si a < b entonces a2 < b2 . 67. Considere los enunciados del problema 65 junto con sus rec- procos y contrapositivos. Cules son verdaderos? 6S. Considere los enunciados del problema 66 junto con sus rec- procos y contrapositivos. Cules son verdaderos? 69. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones que incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientes proposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su ne- gacin? (a) Todo tringulo issceles es equiltero. (b) Existe un nmero real que no es entero. (c) Todo nmero natural es menor o igual a su cuadrado. 70. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones que incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las s

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