CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial i geometrie analitic

1.1. Vectori n plan 1.1.1. Definiii

O mrime este scalar dac pentru determiarea ei este suficient indicarea unui singur numr.

O mrime este vectorial dac este determinat de urmtoarele trei elemente: mrime, direcie i sens

Se numete direcie a dreptei d mulimea format din dreapta d i toate dreptele paralele cu ea.Se numete direcia segmentului [AB], A B , direcia dreptei AB.Fie dreapta d pe care se fixeaz dou puncte A, B (A B). Punctele dreptei d pot fi parcurse de la A spre B (un sens de parcurgere) sau de la B spre A (al doilea sens de parcurgere). Prin aceast metod s-au definit dou sensuri pe dreapta d, numite sensurile dreptei.

Parcurgerea unui segment [AB], A B se poate face de la A spre B sau de la B spre A. Astfel pe segmentul [AB] sunt definite dou sensuri (opuse).O pereche (A, B) P se numete segment orientat sau vector legat i

se noteaz AB , unde A este originea, iar B este extremitatea.

Dac A B dreapta determinat de punctele A i B se numete dreapt suport.

Vectorul AA se numete vector nul.

Doi vectori legai nenuli AB i CD au aceeai direcie dac dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.

Dac A, B, C, D P sunt patru puncte necoliniare, vectorii AB i

CD au acelai sens dac au aceeai direcie i punctele B i D sunt n acelai semiplan determinat de dreapta AC.

Se numete lungimea sau norma vectorului AB numrul real i pozitiv care reprezint distana d(A,B) ntre punctele A i B i se simbolizeaz prinAB .

Doi vectori legai AB i CD sunt egali dac i numai dac A=C iB=D.

Doi vectori legai se numesc echipoleni i se noteazAB ~ CD dacau aceeai direcie, acelai sens i acelai modul.

Se numete vector liber VP mulimea tuturorvectorilor legai

echipoleni cu un vector legat dat a . a VP . (Cu alte cuvinte, un vector este liber dac originea sa poate fi aleas n mod arbitrar n plan).

Se spune c vectorul liber AB este determinat de vectorul legat AB sau c vectorul legat AB este un reprezentant al vectorului liber AB i acest lucru se reprezint prin AB AB .

Dac A=B, atunci vectorul liber AA se numete vector nul, notat 0 , de modul 0, direcie i sens arbitrar.

Doi vectori liberi sunt egali dac au:

aceeai direcie (adic pot fi situai pe aceeai dreapt suport sau pe drepte suport paralele),

acelai sens, acelai modul.

Vectorul liber u de norm 1 se numete versor.

Se consider o dreapt x'x pe care se fixeaz punctul O (originea). n origine ca punct de aplicaie, se consider un versor situat pe dreapt, notat cu

i = OA, i = 1 , reprezentnd versorul dreptei. Prin fixarea verso rului pe

dreapt, aceasta devine ax. Astfel pe aceast dreapt exist o origine, un sens de parcurgere i o unitate de msur a lungimilor.

Doi vectori se numesc ortogonali dac direciile lor sunt perpendiculare. Doi vectori care au aceeai direcie i acelai modul, dar sensuri opuse se

numesc vectori opui. Dac a,b sunt vectori opui, atunci se scrie b = -a . Pentru AB i BA avem BA = -ABProprietate: Fiind dat un punct O n plan, "a VP exist un unic punct

M n plan, astfel nct OM = a .

Operaii elementare cu vectori liberi

Adunarea a doi vectori

Suma a doi sau mai muli vectori este tot un vector, care se poate obine cu ajutorul unei construcii geometrice efectuate asupra acestora.

a) Adunarea a doi vectori dup regula paralelogramului

Fie doi vectori liberi a, b VP i OA a,OB b . Se construiete paralelogramul de laturi OA i OB: OBCA (Fig.1).

a

b

AC

a c

O

b

B

Fig. 1

Vectorul c , de reprezentant OC , (care pornete din originea comun) reprezint prin definiie suma vectorilor a i b i se noteaz prin c = a + b . Aceast regul prin care s-a obinut vectorul sum se numete regula paralelogramului.

b)Adunarea a doi vectori dup regula triunghiului.Se poate ajunge la acelai rezultat cu ajutorul unei alte construcii,echivalente din punct de vedere geometric.Fieaceiai vectori liberi a,b VP(Fig.2). Se consider

OA a, ACb reprezentani ai vectorilor a i, respectiv b .

a

b

AbC

a

c

OFig. 2

s = a + b + c .

a,b,c,K

Atunci vectorul sum a vectorilor a,b este vectorul c de reprezentant

OC .Aceast regul de adunare a doi vectori se numete regula triunghiului.

Este uor de vzut c vectorul sum c este vectorul care nchide conturul

format de vectorii a i b , avnd originea n originea unuia dintre vectori i extremitatea n extremitatea celuilalt vector. Este evident c triunghiul construit prin regula triunghiului este jumtatea paralelogramului construit prin regula paralelogramului.

Observaie: Dac a + b + c = 0 , atunci cu vectorii a,b,c se poate forma un triunghi.c) Metoda pentru adunarea a n vectori (regula poligonului).

Dac trebuie adunai trei (sau mai muli) vectori liberise

aplic succesiv regula triunghiului.

Din extremitatea lui a se duce un vector egal cu b , iar din extremitatea acestui al doilea vector se duce un vector egal cu c (Fig.3). Astfel s-a format

un contur poligonal din vectori. Vectorul s care nchide conturul (adic unete originea primului vector cu extremitatea ultimului vector) reprezint

suma vectorilor dai:

Regula de obinere a sumei mai multor vectori se numete regula poligonului.

a

c

b

a

b

cs

Fig. 3

Observaie: n cazul n care conturul de vectori se nchide, astfel nct extremitatea unuia s coincid cu originea urmtorului vector, suma vectorilor reprezint vectorul nul.

Proprieti ale adunrii vectorilor liberi n plan.

A1. Adunarea vectorilor este asociativ (Fig.4),adic: (a + b)+ c = a + (b + c),"a,b,c V .

b

ab + c

a + bc

(a + b)+ c = a + (b + c)

Fig. 4

A2. Adunarea vectorilor este comutativ (Fig. 5), b

aa + b

b + aa

bFig.5

adic: a + b = b + a,"a,b V .

A3. Vectorul nul 0 este elementul neutru pentru adunare (Fig. 6),

a

0

a + 0 = a

Fig. 6

adic: a + 0 = 0 + a = a,"a V

A4. Pentru orice vector a V , exist (- a)V , pentru care a + (- a )= (- a)+ a = 0 (Fig. 7)

- aa

0

Fig. 7

(- a) se numete opusul vectorului a .

Scderea vectorilor

Rezultatul scderii a doi vectori este tot un vector, care se poate obine prin una din metodele urmtoare:

a) Metoda nti. Fie a,b V i OA a,OB b. Atunci diferena lor este vectorul x definit prin: x = a - b . De aici rezult c x + b = a (deci vectorul x adunat cu vectorul b are ca rezultat vectorul a ).

B

b

O

x

aA

Fig.8

Vectorul diferen x se construiete unind extremitatea vectorului scztor cu extremitatea vectorului desczut (are originea n extremitatea vectorului scztor i extremitatea n extremitatea vectorului desczut. Fig. 8).

Vectorul legat BA se poate exprima n funcie de vectorii legai OB i

OA ai originii i extremitii vectorului BA astfel:

BA = OA - OB .

b) Metoda a doua. Diferena vectorilor, a - b , se poate transforma n

+ (-

), caz n care se poate aplica regula

sum scriind-o sub forma

a

b

paralelogramului. (Fig. 9)

B

C

-

+

a

b

b

a

b

O

A

- b

a

-

a

b

B

C

Fig.9

n paralelogramul OACB, diagonala OC este vectorul a + b , iar cealalt diagonal ( BA ) este vectorul diferen a - b (OCAB este paralelogram,

OC ~ BA ).

nmulirea unui vector cu un scalar

Definiie: Fie a 0, a V, a 0. Produsul dintre numrul real i vectorul liber a este vectorul notat aa avnd:

- aceeai direcie cu a ;

- aceeai acelai sens cu a , dac a > 0 ; sens contrar lui a , dac< 0 ; modulul egal cu produsul dintre a i modulul vectorului a , adic:

aa = aa .

Dac a = 0 sau a = 0 atunci aa = 0 .

Proprieti ale nmulirii unui vector cu un scalarI1. a(a + b)= aa + ab, "a , "a,b V .

(nmulirea cu scalari este distributiv fa de adunarea vectorilor).I2. (a + b)a = aa + ba, "a,b , "a V .(nmulirea cu scalari este distributiv fa de adunarea scalarilor).I3. a(ba)= (ab)a, "a,b , "a V .(Asociativitatea scalarilor).

I4. 1 a = a, "a V .

(Numrul 1 este element neutru pentru nmulirea cu scalari).

Coliniaritatea a doi vectori

Definiie: Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari dac au aceeai direcie.

n caz contrar se numesc necoliniari.

Se admite c vectorul nul este coliniar cu orice vector.

Teorem de coliniaritate: Doi vectori nenuli a,b V sunt coliniari dac i numai dac exist a * astfel nct a = ab .Observaii:

1)Dac A, B i C sunt trei puncte, atunci ele sunt coliniare dac i

sunt coliniari, adic dac exist a *

numai dac vectoriiAB

iAC

pentru care

= a

.

AB

AC

2)Dac vectoriiAB

i

CDsunt coliniari, atunci dreptele AB i CD

sunt paralele sau coincid (i reciproc).

Vectorii nenuli

3)

a,b

sunt coliniari dac i numai dac exist

a,b , nenule simultan,astfel nct a

+ b

=

. Dac

a

b

0

a,b sunt

necoliniari, atunci aa + bb = 0 a = b = 0 .

1.1.3. Reper cartezian n plan

1.1.3.1 Descompunerea unui vector dup dou direcii date. Baz. Definiie: Cuplul (a,b) format din doi vectori liberi necoliniari se

numete baz pentru mulimea vectorilor din plan (V ).

O baz format din versori ortogonali se numete baz ortonormat.

Componentele unui vector ntr-o baz.

Fie a,b V doi vectori necoliniari fixai, iar u V un vector arbitrar (Fig. 10).

b

u

B

M2

M

b

u

a

O

M1

a

A

Fig.10

Dac a, b sunt necoliniari, atunci cele dou direcii pe care le definesc sunt distincte. Se consider reprezentanii OA a , OB b i OM u .

Prin punctul M, extremitatea vectorului OM , se duc paralele la OB i, respectiv OA care intersecteaz pe OA n M1 i pe OB n M2.

Conform regulii paralelogramului OM = OM1 + OM2 . Cum vectorii

OM1 ,OA i respectiv OM 2 ,OB sunt coliniari, exist constantele reale x,

y astfel nct OM1

= xOA ,OM 2 = yOB .

Utiliznd acestlucrurezult c OM = xOA + yOB , saucavectori

liberi:

u= xa+ yb .

Vectorii OM1 ,OM2

se numesc componentele vectorului

u

dup

direciile vectorilor a i b . Se mai spune c vectorul u a fost descompus

dup direciile a doi vectori a i b . Se observ c aceast descompunere este o operaie invers adunrii a doi vectori.

Numerele reale x i y se numesc coordonatele vectorului liber u n raport cu baza (a,b ).

Descompunerea u = xa + yb este unic.

Teorem: Fie (a,b) o baz pentru V . Orice vector u V se scrie n mod unic n funcie de vectorii bazei sub forma: u = xa + yb , x, y , numit expresia analitic a vectorului u .Numerele x, y se numesc coordonatele vectorului u n baza (a,b).Notaie: Vectorul u avnd coordonatele x, y n baza (a,b) se noteazu = (x, y).

Reper cartezian n plan. Vectori legai

Fiind dat o ax xx , cu originea n O i cu versorul i , aceasta se noteaz prin (xx,O, i ). ntre mulimea numerelor reale i punctele de pe o ax exist o coresponden bijectiv. Astfel unui numr real pozitiv i se asociaz un punct M la dreapta lui O, unui numr real negativ i se asociaz un punct M la stanga lui O, iar lui 0 (zero) i se asociaz punctul O, astfel nct

OM = xi . Numrul x se numete abscisa punctului M. Reciproc fiecrui

punct M de pe ax i corespunde un numr real xM astfel nctOM = xM i .(Fig. 11).

xOAM(xM)x

Fig. 11

Distana ntre dou puncte M(xM ), N(xN ) de pe ax se exprim prin egalitatea, cu ajutorul absciselor: MN = xN - xM

(xx,O, i ),(yy,O, j),

n planul se consider dou drepte perpendiculare xx i yx , organizate ca axe. Se noteaz cu O punctul lor de intersecie. Acest punct

reprezint originea pe fiecare ax. Cele dou axe sunt

unde i , j sunt versorii celor dou axe, care definesc sensurile pe fiecare ax: semiaxele Ox i Oy sunt semiaxele pozitive, iar semiaxele Ox i Oy sunt semiaxele negative. Cuplul de axe (xx,O, i ), (yy,O, j) se numete reper

y

MyM

j

XO ixMx

y

Fig. 12

cartezian. Pentru simplitate, se noteaz cu (O, i , j). (Fig. 12.)

Fie M un punct n plan, iar Mx, My proieciile lui M pe cele dou axe (Ox i Oy). Numrul real xM asociat punctului Mx se numete abscisa punctului M, iar numrul real yM asociat punctului My se numete ordonata punctului M. Prin urmare, punctului M din plan i s-a asociat perechea de numere (xM, yM) numite coordonatele punctului M.

Reciproc, fiecrui cuplu (x, y ) i facem s corespund un punct bine determinat n plan. Se consider punctuul M x Ox , de abscis x i punctul My Oy , de abscis y. Prin Mx se duce o paralel la Oy, iar prin My

o paralel la Ox. Cele dou paralele se intersecteaz n punctul cutat M, avnd coordonatele (x,y). Punctul M de coordonate (x,y) se noteaz M(x,y).

Astfel s-a pus n eviden o coresponden ntre mulimea i punctele planului n care s-a instalat un reper cartezian. Axa Ox se numete axa absciselor, iar axa Oy se numete axa ordonatelor.

Definiie: Fie n planul reperul (O, i , j), iar M . Atunci vectorul

OM se numete vector legat (de punctul O) sau vector de poziie al punculuiM.

Notaie: Vectorul legat OM se noteaz rM .

Aadar, fiecrui punct M al planului , n reperul considerat, i se

asociaz vectorul su de poziie rM .n plus, dac M(x,y), atunci R =+ , adic coordonatele punctuluirM yj xi

M sunt coordonatele vectorului de poziie rM , cu alte cuvinte rM =(x,y). Mulimea vectorilor legai de punctul O se noteaz cu nO .

Operaii cu vectori legai. Egalitatea a doi vectori legai. Fier1= (x1 , y1 ), r2= (x2 , y 2 )doi vectori legai.Atunci areloc

echivalena:

r1 = r2 (x1 = x2 si y1 = y 2 ).

Adunarea

FierA= (xA , y A ), rB= (xB , y B )vectorii de poziie aipunctelorA i

respectiv B. Atunci:

RR= xA i + yA j + xB i + yB j = (xA + xB )i + (yA + yB )j .

rA + rB

Deci, putem da urmtoarea regul:Suma a doi vectori legai rA = (xA , y A ), rB = (xB , y B ) este vectorulnotat rA + rB , avnd coordonatele (xA + xB , y A + yB ).Coordonatele vectorului sum sunt egale cu sumele coordonatelor

vectorilor. Cu alte cuvinte, adunarea vectorilor legai se face pe componente:

(xA , y A )+ (xB , y B ) = (xA + xB , y A + y B ). Desigur c rA - rB = (xA - xB , y A - y B ).

nmulirea unui vector legat cu un scalarDac rA = (xA , y A ), a , atunci:R= a(xA i + yA j)= (axA )i + (ayA )j = (axA , ayA ).

arA

Regul: nmulirea vectorului legat r = (x, y ) cu scalarul a este vectorul notat ar , avnd coordonatele (ax, ay ).

Vectori n spaiu

Definiii

Reper cartezian in spaiu. Coordonate carteziene n spaiu. Distana intre dou puncte n spaiu Un element de forma (x, y, z ), undex, y, z , se numete tripletordonat de numere reale.

Tripletele (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y 2 , z 2 ) suntegaledac i numai dacx1 = x2 , y1= y 2 , z1 = z 2 . n acest caz vom nota (x1 , y1 , z1 ) = (x2 , y 2 , z 2 ).Pentrutripletul (x, y, z ), numerelex,y iz poart numele decomponente ale sale.

Mulimea tuturor tripletelor ordonate de numere reale este dat de produsul cartezian i se simbolizeaz 3 .

Se consider un punct fixat O, n spaiu, numit origine i trei axe de coordonate Ox, Oy, Oz, dou cte dou perpendiculare, conform Fig. 13.

z

y

O

x

Fig. 13

Acest ansamblu se numete reper cartezian drept cu originea n punctul O i se va nota prin Oxyz.

Reperul cartezian avnd axele Ox i Oy schimbate ntre ele, se numete reper cartezian stng .

Elementele reperului Oxyz cartezian definit sunt urmtoarele:

Originea sistemului este dat de punctul O;

Axele de coordonate sunt: Ox, Oy, Oz;

Planele de coordonate sunt: xOy, yOz, xOz.

Fie P un punct n spaiu i Px, Py, Pz proieciile lui P pe axele de coordonate Ox, Oy, Oz ale reperului cartezian Oxyz. (Fig. 14.)

z

Pz

P

y

O

PyxPx

Fig. 14

Coordonata lui Px se noteaz cu xP i se numete abscisa lui P, coordonata lui Py se noteaz cu yP i se numete ordonata lui P, iarcoordonata lui Pz se noteaz cu zP i se numete cota lui P.

n acestmod, punctuluiPise asociaztripletul ordonat

(xP , y P , z P ) 3 .(x, y, z ) 3 , pe axele Ox, Oy, Oz se

Invers, avnd tripletul ordonat

consider punctele Px, Py, Pz avndcoordonatele x, z,y. Se construiete

paralelipipedul drept cu vfurile n puncteleO, Px, Py, Pz, iar vrful acestuia,

opus vrfuluiO se noteaz cu P. Punctul P astfel obinut are abscisa x,

ordonata y i cota z.

Aceast construcie arat c exist o coresponden biunivoc de forma P A (xP , y P , z P ), ntre mulimea punctelor din spaiu i mulimea tripletelor

ordonate din 3 .

Avnd aceast coresponden i utiliznd notaiile precedente, tripletul (xP , y P , z P ) poart numele de coordonatele carteziene ale punctului P relativ la reperul Oxyz.Se spune c punctul P este de coordonate (xP , y P , z P ) i se noteazP(xP , y P , z P )Teorem (formula distanei): Distana dintre punctele P1 (x1 , y1 , z1 ) iP2 (x2 , y 2 , z2 ) este dat de formula:P1 P2 = (x2 -x1 )2 + (y 2 -y1 )2 + (z 2 -z1 )2 .

Teorem: Dac punctul P mparte segmentul [P1 P2 ] n raportul r, atunci

x1 + rx2

y1+ ry2

z1+ rz2

puntul P este: P

,

,

.

1 + r

1 + r

1 + r

1.2.1.2.Vector legat n spaiu. Vector liber n spaiu

O pereche (A, B) de puncte din spaiu se numete segment orientat sau

vector legat i se noteaz AB , unde A este originea, iar B este extremitatea.

Dac A B , dreapta determinat de punctele A i B se numete dreapt suport.

Vectorul AA se numete vector nul.

Se numete lungimea sau norma vectorului AB numrul real i pozitiv care reprezint distana d(A,B) ntre punctele A i B i se simbolizeaz prin AB .

Doi vectori legai, nenuli, AB i CD au aceeai direcie dac dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.

Vectorii AB i CD au acelai sens dac au aceeai direcie i punctele B i D sunt n acelai semispaiu determinat de planul care conine dreapta AC i este perpendicular pe dreptele lor suport.

Doi vectori legai AB i CD se numesc echipoleni i se noteaz AB~ CD , dac segmentele [AD] i [BC] au acelai mijloc.

Se remarc faptul c AB ~ CD dac i numai dac ACDB este paralelogram (cu vrfurile n aceast ordine) care eventual poate fi i degenerat. (Fig. 15)

a, b, c,..., u, v, w

DB

I

C

A

Fig. 15

Astfel rezult c, similar vectorilor din plan, i n spaiu AB ~ CD dac

i numai dac vectorii legai AB i CD au aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime (modul).

Se verific uor c relaia de echipolen este reflexiv, simetric i tranzitiv, deci este o relaie de echivalen pe mulimea tuturor vectorilor legai din spaiu.

Definiie: Se numete vector liber n spaiu, o clas de echivalen n raport cu relaia de echipolen. Pentru simbolizarea lui se utilizeaz notaiile

sau AB, AB,...(n cazul n care se menioneaz vectorii

legai care sunt reprezentani pentru clasa respectiv).

Elementele care caracterizeaz un vector liber n saiu sunt: direcia, sensul i lungimea (modulul).

Fiind dat un vector liber a n spaiu i un punct A fixat, vectorul a are un unic reprezentant cu originea n punctul A.

Operaii cu vectori n spaiu. Componente

Adunarea vectorilor. Vector nul. Vectori opui. Scderea

vectorilor

Fie vectorii liberi n spaiu a, b . Suma acestor doi vectori liberi este tot un vector liber determinat astfel: dac AB a i se alege reprezentantul

BC b , atunci a + b este reprezentat de vectorul legat AC (Fig. 16).

B

a

AFig. 16

b

a + b

C

Vectorul liber, reprezentat de AA se numete vector nul i se noteaz cu 0 .

Dac v este un vector liber n spaiu, vectorul opus lui v se noteaz cu - v i este determinat de urmtoarele elemente: are aceeai direcie i acelai

modul ca vectorul v , dar are sens opus lui. Desigur c dac AB v este un

reprezentant pentru v , atunci BA este un reprezentant pentru vectorul opus- v .

Dac a, b sunt doi vectori liberi n spaiu prin operaia de scdere a lor se obine un vector liber a - b = a + (- b ), unde - b este vectorul opus luib . (Fig. 17).

a - ba

-

b

b

Fig. 17

nmulirea unui vector cu un scalar Fie

ik * . Prin produsul kase nelege vectorul liber din

a

0

spaiu definit prin:

pentru k>0, ka are aceeai direcie i sens cu a , iar modulul este egal cu k a .

pentru k 0 ,

q este obtuz a b < 0 , q = p a b = 0 . 2

Definiie: Pentru un vector liber nenul u V3 , unghiurile a = (u, i ),

b = (u, j), g = (u,k ) se numesc unghiuri directoare ale vectorului u . Numerele cos a, cos b , cos g se numesc cosinui directori aivectorului u . (Fig. 21)

z

g

k

b

a

O

j

x

i

y

Fig. 21

Teorem: Cei trei cosinui directori ale vectorului u = u1 i + u2 j + u3k V3 sunt dai de relaiile:

cos a =u1, cos b =

u2

, cos g =

u3

.

u

u

u

Observaie: Dacu V3este un vector liber n spaiu, atunci versorul

usu se exprim prin intermediul cosinuilor directori a lui u astfel: u

u = (cos a)i + (cos b)j + (cos g)k . u

Proprietile algebrice ale produsului scalar

Teorem: Dac a, b, c V3 sunt vectori liberi n spaiu, atunci produsul scalar are urmtoarele proprieti:a b = b a (comutativitate),

a (b + c ) = a b + a c (distributivitate fa de adunare),

l(a b ) = (la ) b = a (lb ),

a a = a 2 .

1.2.2.8. Produsul vectorial a doivectori liberi. Proprietile

produsului vectorial.

Definiie: Dac

= u1

+ u2

+ u3

,

= v1

+ v2

+ v3

sunt doi

u

i

j

k

v

i

j

k

vectori liberi din V3 , produsul vectorial al lor este vectorul notat prin u v

i definit prin:

i

j

k

uv=

u1u2

u3.

v1v2

v3

Dezvoltnd acest determinant rezult :

uv=

u2u3

+

u3u1

+

u1u2

.

i

j

k

v2v3

v3v1

v1v2

Teorem : Fie u, v doi vectori liberi n spaiu, atunci:u (u v) = 0 ( u v este ortogonal pe u ), v (u v) = 0 ( u v este ortogonal pe v ),

u v 2 = u 2 v 2 - (u v)2 (identitatea lui Lagrange).

Modulul vectorului rezultat se determin cu relaia:u v = u v sin q, unde u, v sunt cei doi vectori ce se nmulesc

vectorial iar q este unghiul dintre aceti vectori.Interpretare geometric a valorii modulului produsului vectorial: (Fig.

22)v

v

q

v

sin q

u

u

Fig. 22

u

v

sin q este aria paralelogramului construit

Din Fig. 22 se vede c

peuiv. Decimodulul

produsului vectorialuvreprezint aria

paralelogramului construit pe u i v .Teorem: Fie u, v doi vectori liberi n spaiu. Atunci u v = 0 dac i numai dac u, v sunt paraleli.

Proprietile algebrice ale produsului vectorial:

Fie vectorii u, v, w V3 i l . Au loc urmtoarele relaii:u v = -(v u ) (anticomutativitate), u (v + w ) = u v + u w (distributivitate fa de adunare),

l(u v) = (lu ) v = u (lv),

u 0 = 0 u = 0 , u u = 0 .

Interpretare geometric: Fiind dai vectorii liberi nenuli u, v , produsul lor vectorial u v este un vector determinat de urmtoarele elemente:

1) u v este ortogonal pe u i v (direcia lui u v este perpendicular pe planul (u , v ));

sensul lui u v este dat de regula minii drepte sau regula burghiului (sensul de naintare a unui burghiu cn d se rotete vectorul u spre

).

lungimea (modulul) are aceeai valoare ca valoarea ariei paralelogramului construit pe vectorii u , v .

1.2.2.9.Produsul mixt al trei vectori. Proprieti.Definiie: Fie vectorii liberi a, b , c . Numrul (a, b, c ) = a (b c ) senumete produsul mixt al vectorilor a, b , c .

(a1 ,a2 ,a3 ),

(b1 ,b2 ,b3 ),

(c1 ,c2 ,c3 ) atunci produsul mixt se

Daca

b

c

poate exprima astfel:

(

) =

a1a2a3

,

b1b2b3

.

a,b

c

c1c2c3

1.2.2.10. Proprietile algebrice ale produsului mixt

Fie a,b,c vectori liberi n spaiu. Atunci:1)(

,

,

) = (

,

) = (

,

) (invarian la permutri circulare);

a

b

c

c,a

b

b

c,a

(

)

reprezint volumul paralelipipedului construit pe vectorii

2)

a,b,c

,

,

;

a

b

c

3)(

,

,

) = 0 dac i numai dac

,

,

sunt vectori coplanari.

a

b

c

a

b

c