Cursul 2. Calcul vectorialBibliografie:

1. Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebră liniară, geometrie analitică şi

diferenţială, ecuaţii diferenţiale, ed. ALL, Bucureşti, 1998.

2. V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică, ed. Fair Partners, Bucureşti, 1999.

3. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989.

4. I. Iatan, Curs de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu aplicaţii, ed.

Conspress, Bucureşti, 2009.

1. P. Matei, Algebră liniară. Gometrie analitică şi diferenţială, ed. Agir, Bucureşti, 2002.

2. M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie, note de curs, 1993.

3. C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, ed. Didactică şi Pedagogică

R.A., Bucureşti, 1993.

4. C. Udrişte, Algebră liniară, geometrie analitică, Geometry Balkan Press, Bucureşti, 2005.

5. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie analitică, ed. Universitaria,

Craiova, 1993.

6. I. Vladimirescu, M. Popescu, Algebră liniară şi geometrie n- dimensională, ed. Radical,

Craiova, 1996.

Scopuri:

1) Introducerea noţiunii de vector liber

2) Operaţii cu vectori liberi

3) Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi: produsul scalar, produsul vectorial,

produsul mixt

1. Vectori liberi

Pe lângă noțiunile cu care operează matematica, create prin abstractizare în urma

observației mediului înconjurător (de ex. noțiunile geometrice) sau a cercetării cantitative și

calitative a fenomenelor naturii (de ex. noțiunea de număr) în matematică există și elemente

preluate din alte științe. Noţiunea de vector, introdusă de fizică a fost studiată şi dezvoltată,

creându-se calculul vectorial, devenit un instrument util atât matematicii, cât şi fizicii. Toate

mărimile fizice sunt reprezentabile prin vectori (de ex. forţa, viteza).

În examinarea fenomenelor din natură se întâlnesc două tipuri de mărimi:

1. mărimi scalare (temperatura, lungimea, timpul, volumul, densitatea, suprafața) care se

pot caracteriza printr-un număr (ce se măsoară cu o anumită unitate de măsură);

1

2. mărimi vectoriale (forţa, viteza, accelerația) pentru a căror caracterizare nu este

suficientă măsura lor, ci este necesară cunoașterea direcției și sensului în care ele

acționează.

Pentru a reprezenta un vector se utilizează segmentul orientat, metoda fiind preluată din

mecanică.

Fie spaţiul tridimensional al geometriei elementare.

Definiţia 1.1. Numim segment orientat (sau vector legat) o pereche ordonată de puncte

şi-l notăm (vezi Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Reprezentarea unui segment orientat

CARACTERISTICILE UNUI SEGMENT ORIENTAT

Considerăm segmentul orientat , pentru oricare două puncte .

Punctele şi se numesc originea şi respectiv extremitatea (vârful) segmentului

orientat. Dacă atunci este segmentul orientat nul.

Dacă atunci dreapta determinată de ele se numeşte dreapta suport a lui şi se

notează cu ;

Direcţia segmentului orientat este direcţia dreptei .

Sensul pe dreapta suport, de la către se numeşte sensul segmentului orientat .

Distanţa dintre punctele şi se numeşte lungimea (norma, modulul) segmentului

orientat şi se notează . Dacă originea unui segment orientat coincide cu

extremitatea (segment orientat nul) atunci lungimea acelui segment este egală cu .

Definiţia 1.2. Două segmente orientate şi , , au aceeaşi direcţie dacă

dreptele lor suport şi sunt paralele sau coincid.

2

Definiţia 1.3. Două segmente orientate şi , , care au aceeaşi direcţie se

spune că au acelaşi sens dacă şi se găsesc în acelaşi semiplan determinat de dreapta

(vezi Fig. 1.2).

Fig. 1.2. Exemplu de două segmente orientate, ce au acelaşi sens

Definiţia 1.4. Două segmente orientate şi , , se numesc echipolente

dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime; dacă este echipolent cu vom

scrie .

Teorema 1.1. Relaţia de echipolenţă definită pe mulţimea segmentelor orientate este o

relaţie de echivalenţă.

Observaţie

Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pentru că este:

1. reflexivă: ;

2. simetrică: implică ;

3. tranzitivă: şi implică .

Vectorii pot fi clasificați astfel:

a) vectori liberi, ce au originea arbitrară în orice punct al spațiului, dar păstrează

modulul, direcția și sensul;

b) vectori legați, ce au originea într-un punct determinat;

c) vectori alunecători care se deplasează de-a lungul unei aceleiași drepte suport, iar

originea lor poate fi oriunde pe dreaptă.

Definiţia 1.5. Numim vector liber (geometric) caracterizat de un segment orientat ,

mulţimea segmentelor orientate echipolente cu :

.

Orice segment orientat din această mulţime se numeşte reprezentant al vectorului liber

; deci .

Un vector liber de lungime:

se numeşte versor (vector unitate) ; se notează în general cu ;

3

se numeşte vector nul ; se notează cu .

Definiţia 1.6. Prin lungimea, direcţia şi sensul unui vector liber nenul se înţelege

lungimea, direcţia şi sensul segmentului orientat care îl reprezintă.

Mulţimea vectorilor geometrici din spaţiul se va nota cu :

,

adică reprezintă mulţimea claselor de echivalenţă ale segmentului orientat .

Pentru a desemna lungimea unui vector liber sau se pot utiliza notaţiile: ,

sau .

Definiţia 1.7. Se spune că doi vectori liberi sunt egali şi se scrie dacă reprezentanţii

lor sunt echipolenţi.

Definiţia 1.8. Doi vectori liberi nenuli şi se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcție

(vezi Fig. 1.3).

Fig. 1.3. Exemplu de vectori coliniari

Definiţia 1.9. Doi vectori coliniari care au aceeaşi lungime însă au sensuri opuse se numesc

vectori opuşi. Opusul vectorului liber este (vezi Fig. 1.4).

Fig. 1.4. Exemplu de vectori opuşi

Definiţia 1.10. Trei vectori liberi , , se numesc coplanari dacă dreptele lor suport sunt

în același plan. (vezi Fig. 1.5).

Fig. 1.5. Exemplu de vectori coplanari

§1.1. Operaţii cu vectori liberi

În mulţimea se definesc următoarele operaţii:

4

1. adunarea vectorilor liberi;

2. înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale;

3. descompunerea unui vector liber.

1.1.1. Adunarea vectorilor liberi

Pe se defineşte o operaţie internă (adunarea vectorilor liberi)

, definită astfel: .

Deci, suma a doi sau mai mulți vectori este tot un vector, care se poate obține prin

următoarele metode:

A) dacă vectorii sun paraleli sau coliniari și

a) au același sens atunci vectorul sumă are direcția și sensul vectorilor

componenți, iar mărimea egală cu suma mărimilor vectorilor componenți;

b) de sens contrar atunci vectorul sumă are direcția comună, sensul vectorului mai

mare, iar mărimea dată de diferențele mărimilor celor doi vectori.

B) dacă vectorii au doar originea comună, suma lor se determină utilizând regula

paralelogramului.

Definiţia 1.111. (regula paralelogramului). Fie doi vectori liberi, ce au

originea comună şi un punct arbitrar fixat. Dacă ( reprezentant al

vectorului liber ) şi atunci vectorul liber reprezentat de segmentul orientat

se numeşte suma vectorilor liberi şi ; se scrie sau (Fig. 1.6).

Fig. 1.6. Ilustrarea regulii paralelogramului

C) dacă vectorii sunt dispuși astfel încât în extremitatea unuia să fie originea celuilalt,

pentru a realiza suma lor se aplică regula triunghiului.

5

Definiţia 1.122. (regula triunghiului). Fie doi vectori liberi şi un punct

arbitrar fixat. Dacă ( reprezentant al vectorului liber ) şi atunci vectorul liber

reprezentat de segmentul orientat se numeşte suma vectorilor liberi şi ; se scrie

sau (Fig. 1.7).

Fig. 1.7. Ilustrarea regulii triunghiului

Observații. Pentru mai mulți vectori, așezați în același fel, se aplică regula poligonului,

care este o generalizare a regulii triunghiului; vectorul sumă este acela care închide poligonul și

unește originea primului vector component, cu extremitatea ultimului.

Adunarea vectorilor are la bază fapte experimentale (compunerea forțelor, a vitezelor)

Exemplul 1.1. Se consideră un segment şi punctele şi care împart segmentul în

trei părţi egale. Dacă este un punct oarecare în afara segmentului, să se exprime vectorii

şi în funcţie de vectorii şi .

Rezolvare

Folosind regula triunghiului avem:

.

Dar

.

Deducem

şi

6

.

Similar,

.

Teorema 1.2. Adunarea vectorilor liberi determină o structură de grup abelian pe

mulţimea vectorilor liberi.

Observații. Observăm că adunarea vectorilor liberi este o operaţie algebrică internă bine

definită adică vectorul liber nu depinde de alegerea punctului pentru că din

şi rezultă .

Se verifică proprietăţile de:

1. asociativitate:

3V,,, cbacbacba ;

2. este element neutru:

astfel încât , 3V a ;

3. element simetrizabil:

, astfel încât ;

4. comutativitate:

, .

1.1.2. Înmulţirea unui vector liber cu un scalar

Vom defini acum o operaţie externă (înmulţirea unui vector liber cu un scalar )

, definită astfel: ,

dacă sau ;

vectorul liber are:

a) aceeaşi direcţie cu ,

b) acelaşi sens cu dacă şi sens opus lui dacă ;

c) lungimea .

Teorema 1.3. Înmulţirea vectorilor liberi cu scalari are următoarele proprietăţi:

1. distributivitate faţă de adunarea vectorilor:

şi ;

2. distributivitate faţă de adunarea scalarilor

şi ;

7

3. şi ;

4. .

1.1.3. Descompunerea unui vector liber

Propoziţia 1.1. (descompunerea unui vector după o direcţie). Fie .

Vectorii şi sunt coliniari dacă și numai dacă unic astfel încât .

Teorema 1.4. Fie . Vectorii şi sunt coliniari dacă şi numai dacă

nesimultan egali cu (adică ) astfel încât .

Descompunerea unui vector după două direcții este operația inversă adunării a doi vectori.

Propoziţia 1.2. (descompunerea unui vector după două direcţii necoliniare). Fie

. Dacă sunt coplanari atunci unic determinaţi astfel încât

.

Teorema 1.5. Fie . Vectorii sunt coplanari dacă şi numai dacă

nesimultan egali cu (adică ) astfel încât .

Propoziţia 1.3. (descompunerea unui vector după trei direcţii necoplanare). Fie

. Dacă sunt necoplanari atunci unic determinaţi

astfel încât .

Considerăm un punct în numit origine şi trei versori necoplanari , , cărora le

ataşăm axele de coordonate , , , ce au acelaşi sens cu sensul acestor versori (vezi Fig.

1.9). Ansamblul se numeşte reper cartezian în .

Fig. 1.7. Reprezentarea unui reper cartezian în

8

Întrucât versorii , , sunt necoplanari, atunci conform propoziţiei 1.3, pentru orice vector

, unic determinaţi astfel încât se exprimă în forma , numită

expresia analitică a vectorului . Numerele se numesc coordonatele euclidiene

(componente) ale lui în raport cu reperul .

Definiţia 1.133. Fie fixat. Vectorul se numeşte vector de poziţie al punctului

. Coordonatele vectorului de poziţie în raport cu reperul se numesc

coordonatele punctului . Dacă atunci se scrie .

Exemplul 1.2. Să se determine astfel încât vectorii

, ,

să fie coplanari.

Cu astfel determinat să se descompună după direcţiile vectorilor şi .

Rezolvare

Folosind teorema 1.5, , , coplanari , astfel încât

.

Obţinem

, adică

;

sistemul omogen admite soluţia nebanală

.

Dacă , , coplanari, din propoziţia 1.3 avem: unic determinaţi astfel

încât

;

deci

Obţinem

.

Definiţia 1.144. Dacă şi , sunt două puncte date, atunci

avem (vezi fig. 1.8)

,

9

iar distanţa dintre punctele şi notată se calculează conform formulei:

.

Fig. 1.8

Definiţia 1.155. Fie , şi , . Unghiul

determinat de segmentele orientate şi se numeşte unghiul dintre vectorii liberi şi

(vezi Fig. 1.9). Unghiul dintre cei doi vectori este unghiul semidreptelor suport considerate în

sensul vectorilor.

Fig. 1.9. Reprezentarea unghiului dintre vectorii liberi şi

Vectorii şi se numesc ortogonali dacă unghiul dintre ei este .

§1.2. Definirea produselor în mulţimea vectorilor liberi

1.2.1. Produs scalar în

Fie . Pentru , se notează cu unghiul dintre şi .

Definiţia 1.166. Se numeşte produs scalar al vectorilor liberi şi scalarul dat de

(1.2)

10

Produsul scalar reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța necesară pentru a deplasa un

mobil pe o dreaptă, de vector director , care face cu direcția forței unghiul .

Propoziţia 1.4. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:

1. comutativitatea: , ;

2. , şi ;

3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor liberi:

, ;

, ;

4. , , şi ;

5. şi sunt ortogonali, , ;

6. dacă

,

atunci se obţine expresia analitică a produsului scalar:

(1.2)

În particular,

(1.2)

7. unghiul dintre vectorii nenuli este dat de formula

, (1.2)

se observă că vectorii şi sunt ortogonali dacă şi numai dacă

.

Exemplul 1.3. Să se calculeze ştiind că

, şi , iar , şi .

Rezolvare

Folosind formula (1.2) avem:

.

Calculăm

.

Similar şi .

11

Exemplul 1.4. Să se găsească un vector coliniar cu şi care satisface condiţia

.

Rezolvare

Deoarece este coliniar cu rezultă unic astfel încât . Vom obţine

.

Rezultă .

1.2.2. Produs vectorial în

Fie . Pentru , se notează cu unghiul dintre şi .

Definiţia 1.17. Produsul vectorial dintre vectorii liberi şi este vectorul liber

construit în felul următor:

direcţia lui este ortogonală planului determinat de vectorii şi ;

mărimea lui este dată de formula

(1.2)

sensul dat de regula mâinii drepte, adică sensul indicat de degetul mare al

mâinii drepte, când se roteşte către cu unghiul .

Fig. 1.8. Reprezentarea grafică a produsului vectorial

Propoziţia 1.5. Proprietăţile algebrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:

1. anticomutativitatea: , ;

2. , şi ;

3. distributivitatea faţă de adunarea vectorilor

, ;

12

, ;

4. , ;

5. , ;

6. dacă , atunci se obţine expresia analitică a

produsului vectorial

. (1.2)

Propoziţia 1.6. Proprietăţile geometrice ale produsului vectorial al vectorilor liberi sunt:

1.

2.

3. identitatea lui Lagrange:

,

4. este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanţilor lui şi

având aceeaşi origine.

a

b

O A

C B

Fig. 1.9. Interpretarea geometrică a produsului vectorial

Dar

.

Rezultă

.

Exemplul 1.1. Cunoscând două laturi , ale unui triunghi să se

calculeze lungimea înălţimii sale .

Rezolvare

13

adică este ortogonal pe şi .

1.2.3.3. Produs mixt în Definiţia 1.18. Fie trei vectori liberi. Produsul mixt al acestor vectori liberi

este numărul real .

Observa ţ ie . Dacă vectorii liberi sunt necoplanari, atunci produsul mixt,

în valoare absolută a celor trei vectori reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei trei

vectori ca muchii (vezi Fig. 1.13).

Dacă notăm cu unghiul dintre vectorii şi şi cu unghiul dintre vectorii şi ,

atunci

,

adică

.

Fig. 1.10. Interpretarea geometrică a produsului mixt

Propoziţia 1.7. Produsul mixt al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi:

1.

2.

3. ,

4.

5. identitatea lui Lagrange:

14

6. dacă şi numai dacă:

a) cel puţin unul dintre vectorii , , este nul;

b) doi dintre vectori sunt coliniari;

c) vectorii , , sunt coplanari.

7. dacă , , atunci se obţine expresia

analitică a produsului mixt

. (1.2)

Exemplul 1.2. Să se determine astfel ca volumul paralelipipedului construit pe

vectorii , , să fie egal cu .

Rezolvare

Volumul construit pe cei trei vectori ca muchii este

.

Din condiţia deducem adică , .

15