calcolo

LA MATEMATICADISCALCULIA,

DIFFICOLTÁ DI CALCOLO,DIFFICOLTÁ DI

SOLUZIONE DEI PROBLEMI

IL NUMERO È LA SOSTANZA DELLE COSE Pitagora

…L’UNIVERSO… È SCRITTO IN LINGUA MATEMATICA Galilei

NEI QUADERNIDI

MATEMATICA…

31-19: Io in mente li metto in colonna:

1 - 9 che non si può fare, poi si prende

l’1 dall’altro numero che diventa 12,

poi prendo un numero dall’altro

numero e faccio la sottrazione, cioè,

vedi, è un po’ complicato (Chiara, I

anno Istituto Psicopedagogico)

CONFUSIONE TRA PROCEDURE DI SOTTRAZIONE E ADDIZIONE

(Giuseppe, 11 anni)

ASSENZA DI MONITORAGGIO: il risultato della sottrazione è superiore al

valore di partenza(Marco, 11 anni)

IL PRESTITO DIVENTA RIPORTO (Matteo, 10 anni)

ERRATA APPLICAZIONE DELLA STRATEGIA

(Giuseppe, 11 anni)

Da ventiseimilanove a

ERRORE DI TRANSCODIFICA (Fabio, 11 anni)

CALCOLARE……in termini di apprendimento e di processi cognitivi coinvolti…

LEGGERE I NUMERI

COMPRENDERE LA NUMEROSITÁ (qual è il numero

più grande tra 2)

RECUPERARE LE TABELLINE E ALTRI FATTI

NUMERICI

APPLICARE LE PROCEDURE DI CALCOLO

(addizione, sottrazione…)

Un’addizione con numeri interi… una divisione con numeri decimali

Calcolo a mente… calcolo scritto… calcolo con sussidi (calcolatrice)

??

Apprendere la matematica…

…sviluppare la CONOSCENZA CONCETTUALECOMPRENSIONE dei principi che

governano un determinato dominio e delle correlazioni tra aree di conoscenza e il dominio stessoINTELLIGENZA NUMERICA

CONOSCENZA (INTELLIGENZA) NUMERICA

INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN TERMINI NUMERICI

Abilità innata e condivisa da uomo

e animali

Competenze elementari legate alla RAPPRESENTAZIONE NUMERICA

PROCESSI PREVERBALI

PROCESSI DI CONTEGGIO

NUMEROSITÁ (CARDINALITÁ)Il numero di elementi che costituisce un

insiemeDISCRIMINARE IL NUMERO DI OGGETTI DI INSIEMI PRESENTATI VISIVAMENTE

dalla nascita

Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme

• percepisce come differenti insiemi con numerosità distinte• distingue i cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti (possiede aspettative aritmetiche)

MA

SUBITIZING Processo specializzato di percezione visiva che consente di determinare la numerosità di un insieme visivo di oggetti (fino ad un massimo di circa 4) in modo immediato, senza contare

COME?

MODULO NUMERICO (Butterworth, 1999) CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ

(piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi)

abilità matematiche di base (RAPPRESENTARE LA NUMEROSITÁ) geneticamente codificate e presenti fin dalla

nascita: non è necessario apprenderle

DIFFERENZE INDIVIDUALICapacità più avanzate riconducibili

all’istruzione: STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA CULTURA DI APPARTENENZA - 1, 2, 3… - uno, due, tre…

COMPETENZE LINGUISTICO-SIMBOLICHE

PROCESSI DI CONTEGGIO Quanti sono?

dai 2 ai 6-8 anni Apprendimento basato sul concetto di NUMEROSITÁ

I PRINCIPI DEL “COME CONTARE” Gelman e Gallistel, 1978

CONOSCENZE INNATE basate sulla COMPETENZA NUMERICA VERBALE

CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell’insieme 4 ANNI

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento dell’insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa 5 ANNI

ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI

ABILITÁ DI CONTEGGIOPrimo collegamento tra la competenza numerica

innata e quella acquisita dall’interazione con l’ambienteLETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI

LETTURAevolve, prima della scrittura, gradualmente, da acquisizione del nome dei numeri a riconoscimento dei simboli arabici:

3-4 a.: identificazione errata (non attribuisce il nome corretto e può confondere il segno grafico con lettere o altri numeri)

4-5 a.: lettura dei numeri più semplici e frequenti

5-6 a.: lettura corretta entro 10

SCRITTURAevolve gradualmente:- 3-4 a.: notazione con grado informativo nullo per osservatore esterno, ma con significato personale per bambino (FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO)- 4-5 a.: notazione basata sulla corrispondenza biunivoca (SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI)- 5-6 a.: notazione convenzionale (FORMATO NUMERALE)

Le tipologie di notazione numerica dai 3 ai 5 anni:

ALCUNI ESEMPI

Apprendere la matematica…

…sviluppare la CONOSCENZA PROCEDURALELa sequenza di azioni per risolvere ciascun

problema: ALGORITMI, ABILITÁ, STRATEGIEPROCEDURE DI CALCOLO

CAPACITÁ DI CALCOLOINSIEME DEI PROCESSI CHE CONSENTONO DI OPERARE SUI NUMERI TRAMITE OPERAZIONI

ARITMETICHE

1 I SEGNI DELLE OPERAZIONI

Per stabilire la natura dell’operazione

Per accedere ai FATTI NUMERICI qualora l’operazione lo consenta

Anche 1+3 fenomeno cognitivo complesso che richiede l’attivazione di

diversi processi mentali

RISULTATI DI PROBLEMI ELEMENTARI (tabelline, addizioni semplici) ARCHIVIATI IN MLT

Nell’esecuzione di un compito aritmetico possono agire 2 TIPI DI

STRATEGIE

VS

CALCOLO

RISULTATO

RECUPERATO DALLA

MEMORIA

UTILIZZO DI PROCEDURE E STRATEGIE

RISULTATO

FATTI NUMERICI

*TIPO DI OPERAZIONE*ETÁ

*FAMILIARITÁ DELL’ESERCIZIO

da LENTE PROCEDURE DI CONTEGGIO all’UTILIZZO DI UNA SERIE DI REGOLE APPLICATE IN MODO SEMPRE PI AUTOMATICO

LA CONOSCENZA PROCEDURALE NEL…

CALCOLO SCRITTO: determina… - la forma grafica della specifica operazione- l’incolonnamento dei numeri- la direzione spazio-temporale delle azioni (l’ordine di recupero delle operazioni parziali dalla memoria)- il modo di utilizzare le operazioni parziali tramite le regole vere e proprie

CALCOLO A MENTE: opera scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici

UTILIZZA ed ESERCITA

STRATEGIE COSTRUTTIVE*n + 1*raggruppamenti*scomposizioni*arrotondamenti a 10*recupero fatti numerici

UTILIZZA ed ESERCITA

APPLICAZIONE DI PROCEDURE PIÚ O MENO AUTOMATIZZATE

I meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema numerico

possono avere origine solo quandoI MECCANISMI PREVERBALI DI

RICONOSCIMENTO DELLA QUANTITÁ

*CONOSCENZA NUMERICA

*ABILITÁ DI CALCOLO

si sono sviluppati

si sono integrati con gli apprendimenti relativi ai sistemi di CONTEGGIO, LETTURA e SCRITTURAMA Come si integrano tali

competenze?

IL MODELLO MODULARE McCloskey et al., 1985

MECCANISMI DI CALCOLOM

EC

CA

NIS

MI

DI

CO

MP

RE

NS

ION

E D

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ME

RI M

EC

CA

NIS

MI D

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UM

ER

I

L’elaborazione di un numero comporta sempre una RAPPRESENTAZIONE CONCETTUALE 3 = comprensione della

QUANTITÁ

Il SISTEMA DI COMPRENSIONE trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o arabo) in una rappresentazione astratta di quantità

Il SISTEMA DI CALCOLO assume questa rappresentazione come INPUT e la manipola attraverso il funzionamento di 3 componenti:- i segni delle operazioni- i fatti aritmetici o operazioni di base- le procedure di calcoloIl SISTEMA DI PRODUZIONE fornisce le risposte numeriche, l’OUTPUT del sistema del calcolo

VIA SEMANTICA = unico accesso alla produzione numerica

MODELLO SEMANTICO

I 3 SISTEMI……adoperano i codici UDITIVO (fonologico) e VISIVO (arabico e grafemico)

…funzionano in base a…MECCANISMI SEMANTICIRegolano la comprensione della quantità

3 =

MECCANISMI SINTATTICIGrammatica interna = valore posizionale delle cifreda U

1 3

3 1

LA POSIZIONEcambia

NOME e SEMANTE

MECCANISMI LESSICALIRegolano il nome del numero1

11

LE COMPONENTI DELL’ABILITÁ DI CALCOLO ARITMETICO

LA DISCALCULIA EVOLUTIVASintomi delle difficoltà nell’elaborazione del numero

(ICD-10 e DSM-IV)

• incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni

• mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici

• mancato riconoscimento dei simboli numerici

• difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard

• difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico che si sta considerando

• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o simboli durante i calcoli

• scorretta organizzazione spaziale dei calcoli

• incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelline della moltiplicazione

Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA

Consensus Conference (2007)2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA

Debolezza nella strutturazione cognitiva delle componenti di COGNIZIONE NUMERICA = intelligenza numerica basale- subitizing- meccanismi di quantificazione- comparazione- seriazione- strategie di calcolo a mente

1

Difficoltà nell’acquisizione delle PROCEDURE ESECUTIVE (lettura, scrittura e messa in colonna dei numeri) e degli ALGORITMI DEL CALCOLO (recupero dei fatti numerici e algoritmi del calcolo scritto).

2

CECITÁ PER I NUMERI

Incapacità di comprendere e manipolare le numerosità

Butterworth, 2005

Perché questa distinzione?In Italia segnalati con difficoltà di

calcolo 5 bambini per classe (~ 25 alunni)20% della popolazione

scolasticaMA DATI IARLD (International Academy for Research in Learning Disabilities)

- DIFFICOLTÁ NELLA COGNIZIONE NUMERICA IN COMORBILITÁ CON ALTRI DISTURBI: 2,5% della popolazione scolastica

- DISTURBO DEL CALCOLO (DISCALCULIA): 0,5-1% della popolazione scolastica ~ 90% delle segnalazioni FALSI POSITIVI = casi

di generale difficoltà di apprendimento non di disturbo specifico del calcolo

DISTURBO vs DIFFICOLTÁ

DISTURBO DI CALCOLO

- base neurologica- comorbilità: dislessia, disortografia e disgrafia; difficoltà nella soluzione di problemi- specificità: abilità generali e apprendimento in altri ambiti adeguatiDIFFICOLTÁ DI CALCOLO:

profilo simile al disturbo

ESITO INTERVENTO

BUONI RISULTATI IN POCO TEMPO

RESISTENZA AL CAMBIAMENTO

Perché si riscontrano con una certa frequenza FORME DI DISAGIO GENERALIZZATO? PROFILI DI APPRENDIMENTO DEL CALCOLO SIMILI A QUELLI DEI SOGGETTI DISCALCULICI, IN ASSENZA DI TALE DEFICIT COGNITIVO

Studenti che non dovrebbero affatto incontrare difficoltà di apprendimento così consistenti ATTEGGIAMENTO EMOTIVO-MOTIVAZIONALE:

ansia, resistenza al ragionamento matematico, timore di sbagliare

I DIVERSI ASPETTI DELL’APPRENDIMENTO MATEMATICO S’INTERSECANO: - la rappresentazione della quantità è sottesa a tutte le aree della matematica - soluzione di problemi e geometria richiedono operazioni di calcolo - il calcolo richiede la comprensione dell’operazione …

ANALISI DEGLI ERRORI *SISTEMA DEI NUMERI *SISTEMA DI CALCOLO

DAL MODELLO DI McCLOSKEY

ERRORI NEL SISTEMA DEI NUMERI

in COMPRENSIONE e

PRODUZIONEMECCANISMI LESSICALI

MECCANISMI SINTATTICI

ERRORI LESSICALI (nel dire il NOME del numero)

INCAPACITÁ DI TROVARE L’ETICHETTA VERBALE ADEGUATA PUR INDIVIDUANDO CORRETTAMENTE LA CLASSE

DIRE “cinque” PER “sette”

LEGGERE “316” PER “319”

In base al nome…

- NUMERI PRIMITIVI

- ELEMENTI MISCELLANEI (-cento; -mila; -milioni…): si aggiungono ai primitivi a seconda della loro posizione all’interno di un numero

Posizione Classe

UNITÁ TEENS DECINE0 1^2^3^4^5^6^ 7^8^ 9^

dieciundicidodicitrediciquattordiciquindicisedicidiciassettediciottodiciannove

ventitrentaquarantacinquantasessantasettantaottantanovanta

uno due tre quattro cinqueseisetteottonove

ERRORI SINTATTICIINCAPACITÁ DI STABILIRE I RAPPORTI TRA LE CIFRE IN UNA STRUTTURA SINTATTICA CORRETTA, pur rimanendo integra la capacità di codificare le singole cifre

ERRORI DI TRANSCODIFICA dal codice arabico a quello verbale e viceversa: 13 PER 31; 154 PER 145

Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura sintattica: 1, 2, 3, 4, 15, 15, 17…; 13, 14, 40, 41, 42…

Mancato riconoscimento del valore dello 0 nella transcodifica da codice verbale ad arabico:DETTATO “centoquarantasette” SCRIVE 1047DETTATO “ventiseimilanove” SCRIVE 2609

Gli elementi miscellanei vengono uniti ai primitivi come potenze di 10 oppure con relazioni additive:RELAZIONI MOLTIPLICATIVE RESE ADDITIVE: “trecento”: 103; “tremilasettanta”:1073RELAZIONI ADDITIVE RESE MOLTIPLICATIVE: “centocinque”: 500; “centotrentadue”: 3200

ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO

ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI

ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI

PROCEDURE E STRATEGIE

ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE

ERRORI DOVUTI ALLE DIFFICOLTÁ VISUOSPAZIALI



SISTEMA DEI NUMERI rappresentato in MLT come rete di informazioni Aschcraft, 1982 Il compito attiva i nodi genitori

interessati fino ad attivare il nodo di intersezione tra i due (il risultato di operazioni elementari)

MA possono essere attivati anche I NODI CONTIGUI = risposte molto vicine a quella cercata ma scorrette

ASSOCIAZIONE TRA OPERAZIONE PROPOSTA E RISULTATOAumenta la probabilità di comparsa

Ogni risposta numerica prodotta (corretta o sbagliata) registrata in memoria

FAR RIPETERE ESERCIZI IN CUI SI SONO

VERIFICATI ERRORIautomatizzo l’esercizio

ma anche l’errore

!


Effetto INFERENZA: la semplice presentazione di 2 cifre produce un’attivazione automatica della somma: 2 e 4 6


Effetto INTERFERENZA, dovuti al lavoro parallelo dei due meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: da parte dei due operatori e dell’operazione nel suo complesso

27 x15 =55

Effetto CONFUSIONE tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e moltiplicazione: 3 + 3 = 9

Nelle TABELLINE…

• ERRORI DI CONFINE, inappropriata attivazione di tabelline confinanti: 6 x 3 = 21

• ERRORI DI SLITTAMENTO, in cui una cifra è corretta e l’altra sbagliata: 4 x 3 = 11

ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO

DI PROCEDURE E STRATEGIE


Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti: 3 + 5 partire a contare da 5 per aggiungere 3

Confusione tra semplici regole di accesso rapido n x 0 = 0 e n + 0 = n

Incapacità di tenere a mente i risultati parziali

DETERMINANO SOVRACCARICO DEL SISTEMA DI MEMORIA:dispendio di energia e accumulo di informazioni in memoria decadimento mnestico

REGOLE DI ACCESSO RAPIDO AL RISULTATO

ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE


Difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni:incolonnamento o meno, posizione dei numeri…

Difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione:perseverazione nel ragionamento precedente

Difficoltà nella progettazione e verifica:immediato svolgimento dell’operazione senza soffermarsi ad individuare difficoltà e strategie da utilizzare

Difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto: 75 – 58 = 20

unità: 5 – 8 = 0

decine: 7 – 5 = 2

Difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel suo mantenimento fino alla risoluzione75 – 6 = 71 dimenticata regola direzione

ERRORI VISUOSPAZIALI


Difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione

Difficoltà nell’incolonnamento dei numeri

Difficoltà nel seguire la direzione procedurale

SPUNTI DI LAVORO

Il quaderno delle regole

Co-costruzione di schemi fruibili dal ragazzo

USO DEGLI STRUMENTI COMPENSATIVI

Tabella pitagorica

Calcolatrice

Formulario

…E DISPENSATIVI

Tempi di lavoro più lunghi

Riduzione del carico di lavoro

Alcuni esempi…

??PROBLEM SOLVING

Le difficoltà nella soluzione dei problemi matematici…* dipendono dalle difficoltà di calcolo?* richiedono abilità diverse e specifiche?

STUDENTI CHE PUR NON AVENDO PROBLEMI PARTICOLARMENTE ACCENTUATI NEL CALCOLO NON RIESCONO A RISOLVERE I PROBLEMI

!Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA Consensus Conference (2007):NON INCLUDE SOLUZIONE DI PROBLEMI

CAUSATO DA

CATTIVA EDUCAZIONE DELLA PRASSI DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI

RISOLVERE UN PROBLEMAPROCESSO DINAMICO DI PENSIERO

FLUSSO COGNITIVO CHE TRASFORMA IL TESTO VERBALE IN UNA STRUTTURA LOGICA MATEMATICA

NO DISTURBO SPECIFICO…MA…

* DISTURBO SECONDARIO dovuto a deficit nelle competenze generali (INTELLIGENZA, MEMORIA, ATTENZIONE…)* “QUESTIONE DI FLUSSO DI APPRENDIMENTO” dovuto a inciampo in una delle componenti del flusso educabile

DIFFICOLTÁ?

Quali sono le componenti che garantiscono IL FLUSSO COGNITIVO?

COMPRENSIONE

PRODUZIONE

=

CAPIRE UN PROBLEMA

RISOLVERE UN PROBLEMA

ancorata a COMPRENSIONE ma non implicita in essa

CATEGORIZZAZIONE

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO

FLUSSO DI COMPRENSIONECOMPRENSIONE DEL

TESTO MATEMATICO

RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL

PROBLEMA

CATEGORIZZAZIONE

FLUSSO DI SOLUZIONE


COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO (non verbale): identificazione dei dati in relazione alla logica della domandaMarco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.

- Chi ne ha di più?

- Quante biglie hanno in tutto?

! CATTIVI SOLUTORI restano sulle informazioni verbali del testo

M = 3 + A; M = G – 7; G = 11

(M + A + G)

DOMANDA riorganizza il testo verbale (“3 bambini giocano a biglie”) e lo trasforma in unastruttura matematica

RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL PROBLEMA, cioè dello schema in cui è traducibilela relazione funzionale dei dati alla domanda


CATEGORIZZAZIONE: identificazione dello schema matematico di soluzione

riconosco la struttura matematica profonda del problema come simile a quella di altri problemi, indipendentemente dalle differenze a livello verbale

!BUONI SOLUTORI

riuniscono i problemi con la stessa struttura profonda

CATTIVI SOLUTORIno perché restano sulle informazioni verbali del testo

VS


FLUSSO DI SOLUZIONE: processi strategici

e metacognitivi

FLUSSO DI COMPRENSIONE

PIANIFICAZIONE

MONITORAGGIO

VALUTAZIONE


PIANIFICAZIONE (fase principale del flusso di soluzione): riorganizza la relazione tra i dati in modo da farla corrispondere alla successione corretta di operazioni di calcolo

Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.Quante biglie hanno in tutto?

SCHEMA MATEMATICO

(M + A + G)

Da…1) G (11)…trovo…2) M (11-7 = 4)…trovo…3) A (4 + 3 = 7)

sostiuisco alla struttura matematica profonda le operazioni di calcolo nell’ordine che le rende matematicamente possibili


MONITORAGGIO: sistema di controllo durante lo svolgersi del flusso

VALUTAZIONE: sistema di controllo del flusso a soluzioni ottenute

CONSENTE DI

STABILIZZARE L’APPRENDIMENTO DEL FLUSSO

!Apprendimento del flusso è innaturale (VS comprensione verbale)

FARLO RIFARE MENTALMENTE COME PROCESSO DI CONTROLLO

va educato

calcolo

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