cÁc hỆ thỐng sỐ & mÃ

Chương 1: Các hệ thống số & Mã 1

CÁC HỆ THỐNG SỐ & MÃ

NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ

CÁC HỆ THỐNG SỐ

BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ

CÁC PHÉP TOÁN SỐ NHỊ PHÂN

MÃ HÓA

CHƯƠNG 1


NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ

- Một số được viết bằng cách đặt kề nhau các ký hiệu trong một tập hợp xác định.

Thí dụ: S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

- Giá trị của các số mã tùy thuộc vào vị trí của nó trong số. Giá trị này được gọi là trọng số của số mã.

Thí dụ: 199810 = 1x103 + 9x102 + 9x101 + 8x100

= 1000 + 900 + 90 + 8

Ta thấy trong hệ 10, với 2 ký hiệu giống nhau, ký hiệu đứng trước có trọng số gấp 10 lần ký hiệu đứng ngay sau nó.


Tổng quát: Một hệ thống số b sẽ gồm b ký hiệu trong tập hợp: Sb = {S0, S1, S2, . . ., Sb-1}

Một số N được viết:N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b với ai Sb

Có giá trị:N = anbn + an-1bn-1 + an-2bn-2 + . . . + aibi + . . . +

+ a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 + . . . + a-mb-m

aibi là trọng số của một ký hiệu trong Sb ở vị trí thứ i.

n

mi

iibaN


Hệ cơ số 10 (Thập phân – Decimal system)Tập hợp hệ 10: S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Số N được viết:N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)10 với ai S10

Có giá trị:N = an10n + an-110n-1 + an-210n-2 + . . . + ai10i + . . . +

+ a0100 + a-110-1 + a-210-2 + . . . + a-m10-m

CÁC HỆ THỐNG SỐ


Hệ cơ số 2 (Nhị phân – Binary system)Tập hợp hệ 2: S2 = {0, 1}

Mỗi số mã trong một số nhị phân gọi là một bit (viết tắt của binary digit)



+ a020 + a-12-1 + a-22-2 + . . . + a-m2-m


Hệ cơ số 8 (Bát phân – Octal system)Tập hợp hệ 8: S8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}



+ a080 + a-18-1 + a-28-2 + . . . + a-m8-m


Hệ cơ số 16 (Thập lục phân – Hexadecimal system)Tập hợp hệ 16:

S2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

(trong đó A = 1010, B = 1110, . . ., F = 1510)



+ a0160 + a-116-1 + a-216-2 + . . . + a-m16-m

Người ta thường dùng chữ H (h) để chỉ số thập lục phân.


Đổi một số từ hệ b sang hệ 10

Một số N trong hệ b được viết:N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b với ai Sb

Có giá trị tương đương trong hệ 10:N = anbn + an-1bn-1 + an-2bn-2 + . . . + aibi + . . . +

+ a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 + . . . + a-mb-m

BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ

Xác định giá trị tương đương của một số ở hệ này so với hệ thống khác

Lấy từng trị số của con số nhân với giá trị vị trí tương ứng, sau đó lấy tổng tất cả.


VÍ DỤĐổi sang hệ cơ số 10 (hệ thập phân)

• 1010,112 = 1x23+0x22+1x21+0x20+1x2-1+1x2-2=10,7510

• 1C516 = 1x162+12x161+5x160=256+1925=45310

• 2F16 =2x161+15x160=32+15 = 4710


Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b

Một số N hệ 10, viết sang hệ b có dạng:

N = (anan-1an-2. . .ai. . .a0,a-1a-2. . .a-m)b

= (anan-1. . .a0)b + (0,a-1a-2. . .a-m)b

Trong đó:

(anan-1. . .a0)b = là phần nguyên của N

(0,a-1a-2. . .a-m)b = là phần lẻ của N

được biến đổi theo 2 cách khác nhau.


Phần nguyên:

Dùng phép chia lập cho cơ số b: -Lấy phần nguyên chia cho cơ số b ta được thương số, số dư của lần chia thứ nhất chính là số mã có trọng số nhỏ nhất của phần nguyên (a0).

-Tiếp tục lấy thương số chia cho cơ số b cho đến khi thương số=0 thì dừng phép chia, số dư của phép chia cuối cùng, đó là số mã có trọng số lớn nhất của phần nguyên (an)

Ta tìm được dãy số (anan-1. . .a0)


Phần lẻ:

Dùng phép nhân lập cho cơ số b-Lấy phần lẻ nhân cho cơ số b ta được tích số, phần nguyên của phép nhân thứ nhất là số mã có trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1).

-Tiếp tục lấy phần lẻ trong phép nhân đem nhân với cơ số b cho đến khi kết quả có phần lẻ bằng không thì dừng phép nhân.

Ta tìm được dãy số (a-1a-2. . .a-m)

Chú ý: Có thể ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị đúng bằng phần lẻ của số thập phân (do kết quả phép nhân luôn khác 0), do đó tùy theo yêu cầu về độ chính xác mà ta lấy một số số hạng nhất định .


Ví dụ

Từ thập phân sang nhị phân

8 , 625

8 : 2 = 4 dư 0 (LSB)4 : 2 = 2 dư 02 : 2 = 1 dư 0 1 : 2 = 0 dư 1

0.625 x 2 = 1,25 phần nguyên 1 (MSB)

0.25 x 2 = 0,5 phần nguyên 0

0.5 x 2 = 1,0 phần nguyên 1

1 0 0 0 , 1 0 1 2


Từ thập phân sang thập lục phân:

1 4 8 0 , 4 2 9 6 8 7 5

1480 : 16 = 92 dö 8 (LSD) 92 : 16 = 5 dö 12 5 : 16 = 0 dö 5

0.4296875 x 16 = 6,875 phaàn nguyeân 6 (MSD)

0.875 x 16 = 14,0 phaàn nguyeân 14

5 C 8 , 6 E H


Đổi số từ hệ thập lục phân (Hex) sang nhị phân và ngược lại

Nhận xét: Mỗi con số trong số Hex tương ưng với số 4 bit của số nhị phân Thay mỗi số hạng của số trong hệ thập lục phân bằng một số 4 bit trong số nhị phân.

Ngược lại: Từ dấu phẩy nhị phân về hai phía, nhóm 4 bit lại, giá trị của mỗi số 4 bit này là một số hạng trong hệ thập lục phân. (nếu cần: phải thêm số 0 vào nhóm đầu và cuối mà không làm thay đổi giá trị của số đã cho).


Ví dụ: Từ thập lục phân sang nhị phân:

Vi dụ: Từ nhị phân sang thập lục phân:

1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 10 0 0

6 A H

2 C 9 , E 8

0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 , 1 1 1 0 1 0 0 0 (B)

3 B 5 D ,


Đổi số từ hệ bát phân sang nhị phân và ngược lại

Nhận xét: Mỗi con số trong số bát phân tương ưng với số 3 bit của số nhị phân Thay mỗi số hạng của số trong hệ thập lục phân bằng một số 3 bit trong số nhị phân.

Ngược lại: Từ dấu phẩy nhị phân về hai phía, nhóm 3 bit lại, giá trị của mỗi số 3 bit này là một số hạng trong hệ bat phân. (nếu cần: phải thêm số 0 vào nhóm đầu và cuối mà không làm thay đổi giá trị của số đã cho).


Ví dụ: Từ bát phân sanh nhị phân

Ví dụ: Từ nhị phân sang bát phân

1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

2 5 7 , 3 6

(0 1 0 1 0 1 1 1 1 , 0 1 1 1 1 0)2

(3 5 5 7 5 , 3 2 4 )8


Đổi số từ hệ bát phân sang hệ thập lục phân và ngược lại

Dùng số nhị phân làm trung gian

VD: (1234,67)8 = 0 001 0010 0011 0100 , 011 111 00

= (1234,7C)16

VD: (ABCD,EF) = 00 1010 1011 1100 1101 , 1110 1111 0

= (125715,736)8


Bảng kết quả chuyển đổi

Thập phân

Nhị phân

Bát phân

Thập lục phân

Thập phân

Nhị phân

Bát phân

Thập lục phân

0

1

2

3

4

5

6

7

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

10

11

12

13

14

15

16

17

8

9

A

B

C

D

E

F


CÁC PHÉP TÍNH TRONG HỆ NHỊ PHÂN

Phép cộng Phép trừ Phép nhân Phép chia

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 (nhớ 1)

0 – 0 = 0

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = 1 (nhớ 1)

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Thực hiện giống phép chia số thập

phân


MÃ HÓA

- Mã hóa là phép áp một đối tượng từ tập hợp nguồn tập hợp đích.

- Tập hợp nguồn có thể là tập số, tập ký tự, ... - Tập hợp đích thường là tập chứa các tổ hợp các số nhị phân.

- Tổ hợp các số nhị phân tương ứng với một số gọi là từ mã. Tập hợp các từ mã cho ta một bộ mã (mã ASCII, mã Baudot, mã dò lỗi, mã sửa lỗi, mật mã...)

- Ngược lại với mã hóa là giải mã.

- Biểu diễn các số trong các hệ khác nhau cũng là một hình thức mã hóa, việc chuyển từ mã này sang mã khác là bài toán mã hoá.


-Mã BCD (Binary Code Decimal) dùng số nhị phân 4 bit tương ứng thay thế cho từng số hạng trong số thập phân (Có nghĩa: Mỗi số hạng trong số thập phân sẽ được miêu ta bằng số nhị phân 4 bit – có 6 tổ hợp không sử dụng).

VD: 943 có mã BCD là 1001 0100 0011

487 có mã BCD là 0100 1000 0111

Mã BCD sử dụng nhiều bit hơn số nhị phân nhưng quá trình biến đổi đơn giản hơn


-Mã Gray còn gọi là mã khoảng cách đơn vị hay mã phản chiếu.

+ Hai tổ hợp mã kế cận chỉ khác nhau một bit. Tính kề nhau của các tổ hợp mã Gray được dùng để rút gọn các hàm logic đến mức tối giản.

+ Mã Gray còn gọi là mã phản chiếu: Do tính đối xứng của các số hạng trong tập hợp mã giống như phẩn chiếu qua gương. Dựa vào tính chất này để thiết kế mã Gray.


• Thiết lập mã Gray: Từ tập hợp 2n từ mã của số n bit tập hợp 2n+1 từ mã của số n+1 bit:+ Viết 2n từ mã theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.+ Thêm số 0 vào trước tất cả từ mã đã có.+ Phần thứ hai của tập hợp gồm các từ mã giống như phần thứ nhất theo thứ tự ngược lại (phản chiếu), phía trước thêm số 1.

• Đổi từ Nhị phân sang Gray: Hạ bit MSB xuống, dịch chuyển MSB lùi về bit có trọng số nhỏ hơn (phía phải), sau đó thực hiện phép cộng không nhớ được Mã Gray.

• Đổi từ Gray sang Nhị phân: Hạ bit MSB xuống, Lấy kết quả vừa hạ xuống dịch lùi về phía bit có trọng số nhỏ hơn (phía phải), sau đó thực hiện phép cộng không nhớ được số nhị phân.

cÁc hỆ thỐng sỐ & mÃ

Documents