数学史第６回　

π（つづき）

内容： πの計算の歴史（近現代）

11.. ヴィエト，オイラーの計算法

22.. ライプニッツの公式

00.. πの計算世界記録の推移

＜半角の公式＞

＜aarrccttaannのテイラー展開＞

33.. マチンの公式

４.. ラマヌジャンの公式

＜aarrccttaannの恒等式，テイラー展開＞

＜??????＞

00.. πの計算世界記録の推移

11.. ヴィエト，オイラーの計算法

オイラーによって一般化

ヴィエトの公式：

歴史上初めて「無限乗積」が現れた

(1707/4/15～1783/9/18)

その証明：

オイラーの公式：

nn が十分大きいとき

とおくと

とおくと

ところが，両辺の逆数をとると ......

オイラーの公式：

の公式これが

劉徽の公式 !!

Gottfried Willhelm Leibniz (1646/7/1～1716/11/14)

（ニュートンと並ぶ微積分学の創始者）

22.. ライプニッツの公式

その証明：

ライプニッツの公式は

しかし

収束が非常におそい

正しい小数第1100位を計算するのに

11,,000000,,000000,,000000項以上必要

John Machin (1686～1751/6/9)

彼はこれとaarrccttaannのテイラー展開を利用して

小数第110000位まで計算した

（計算機が登場するまでこの公式が使われた）

33.. マチンの公式

右辺の第 kk 項まで計算したものを

m(k)

とおくと ......

マチンの公式の証明：

とおく

Srinivasa Ramanujan (1887/12/22～1920/4/26)

４.. ラマヌジャンの公式

ラマヌジャンの近似式：

どうやって見つけたか？

πの連分数表示：

大きい数の一歩前で切ると

近似がよい

π の連分数表示：4

HHaazzaammaaの公式 ((??))

問題

を小数第４位まで計算せよ．

ただし， とする．

おしまい