1

26.02.2009 CURSUL 1

MECANIC CUANTIC CUSOFT SPECIALIZAT

INTRODUCERE

Fizica clasic, adic acea parte a fizicii care studiaz fenomenele direct observabile

la scar macroscopic, a cunoscut perioada triumftoare n secolele al XVIII-lea i al XIX-

lea.

n fizica clasic ntlnim trei aspecte fundamentale:

1. Continuitatea variaiilor mrimilor fizice rezult din faptul c n orice moment

de timp starea obiectului de studiat este caracterizat complet dac se cunosc coordonatele

i vitezele sale care sunt funcii continue de timp. Pe acest fapt se bazeaz conceptul

traiectoriilor micrii. Prin reducerea timpului de observare, se admite c se pot considera

variaii orict de mici ale strii sistemului studiat.

2. Principiul determinismului clasic admite c pentru o cunoatere cu precizie a

strii unui obiect la un moment dat este necesar s cunoatem toate forele la care este

supus obiectul i starea acestuia la un moment de timp anterior. Fizica clasic postuleaz o

corelaie unic i perfect determinist ntre trecut i viitor, precum i ntre trecut i prezent,

sau ntre prezent i viitor.

3. Metoda analitic de studiu asupra obiectelor i fenomenelor constituie un

concept foarte important in fizica clasic. Fizica clasic consider c orice corp material

este format din pri constituente care, fiind n interaciuni mutuale, pot fi supuse n mod

individual studiului. Fizica clasic reduce problema care este natura unui obiect dat la

aceea de a ti din ce se compune acesta.

Exist argumente de ordin complet general de a pune n dubiu infailibilitatea

conceptelor clasice. Aceste argumente se bazeaz, n special, pe rezultatele experimentale

care, dup cum vom vedea, nu mai pot fi explicate pe baza conceptelor Fizicii clasice.

Astfel, caracterul discontinuu al structurii materiei nu se las att de uor eliminat din

realitatea fizic chiar n decursul secolului al XIX-lea. Legile electrolizei, descoperite de

Faraday, au sugerat existena unei construcii discontinue a electricitii. Succesele lui H.

A. Lorentz cu privire la teoria electromagnetic pentru mediile in micare au condus la

admiterea electronilor ca sarcini electrice localizate i corpusculare.

n anii 1880-1900 se acumuleaz probe experimentale importante n favoarea

existenei unei structuri discontinue a materiei i electricitii, n anii 1900-1912 se asist la

2

triumful atomismului i apariia cuantelor, iar n anii 1913-1923 teoria cuantelor (teoria

semicuantic) a cunoscut mari succese. n anii 1923-1924 vechea teorie a cuantelor prea

s-i fi atins limitele.

ncepnd cu anii 1925-1926 se edific Teoria cuantic. Aceasta se bazeaz pe un set

coerent de principii, concepute pe baza rezultatelor experimentale obinute n anii 1880-

1925 i a ncercrilor din anii 1913-1925 de a dezvolta i mbunti conceptele admise de

teoria hibrid (teoria cuantic veche).

Perioada de dezvoltare a fizicii cuprins ntre anul 1880 (descoperirea i explicarea

seriei Balmer de emisie a hidrogenului) i anii 1925-1926 (edificarea Mecanicii cuantice)

este prezentat n capitolul mare numit Originile fizice cuantice. Acest capitol, n afar de

bazele experimentale, cuprinde i diferitele ncercri teoretice (cuprinse, adesea, n Teoria

cuantic veche) pentru a explica fenomenele respective. ncercrile teoretice fcute scot n

eviden insuficiena conceptelor fizicii clasice, iar noile concepte introduse nu pot fi

ncadrate n aceasta. Originile fizicii cuantice atrag atenia fizicienilor c att conceptele

fizicii clasice, ct i cele ale vechii teorii a cuantelor sunt insuficiente pentru a explica:

aspectul corpuscular al radiaiei (fotonii), aspectul ondulatoriu al microparticulelor (undele

de materie, sau undele de Broglie) i faptul c variabilele fizice ale sistemelor cuantice au

un ansamblu de valori discrete, mai degrab dect un domeniu continuu.

Rezultatele experimentale care vor fi prezentate i ncercrile de a le explica vor

impune ca fizica cuantic s renune la previziunile clasice deterministe pe care le

nlocuiete cu previziuni probabiliste, s includ noiunile de msurri i perturbaii pe care

aceste le produc sistemului, precum i ideea de cuantificare caracteristic unui sistem

microscopic.

Fenomenele care au zguduit fundamentele fizicii clasice i au condus la fizica

cuantic sunt: radiaia termic, cldurile specifice ale solidelor, atomismul, dualitatea

und-corpuscul n cazul radiaiei electromagnetice, cuantificarea n sistemele materiale

(structura atomilor, moleculelor i ionilor) i dualitatea und-particul n cazul

microparticulelor.

I. ORIGINILE FIZICII CUANTICE

1. Radiaia termic i ipoteza cuantelor de energie 1.1. Noiuni de baz. Mrimi caracteristice

Experiena ne arat c dac sunt nclzite la temperaturi suficient de ridicate,

corpurile solide devin incandescente, adic ncep s emit n domeniul vizibil. La

temperaturi mai joase, aceleai corpuri emit energie sub form de unde termice, numite

radiaii infraroii.

Putem afirma c o incint vid, adus la temperatura T, se umple cu radiaie

electromagnetic avnd densitatea de energie radiant

( )202021)( HETw rr += , (1.1) unde E

r este intensitatea cmpului electric i H

r este intensitatea cmpului magnetic ale

undei electromagnetice emis izotrop de corpul nclzit la temperatura T,

(exact) este constanta electric (permitivitatea electric

absolut a vidului) i (exact) este constanta

magnetic

-1120 Fm10...817187

=0 4=

854,8

-277 NA10...614566,1210 = 3701 (permeabilitatea magnetic absolut a vidului).

Starea staionar a densitii de energie radiant, , este atins cnd substana

peretelui incintei absoarbe n unitatea de timp o cantitate de energie egal cu cea pe care o

emite. Prin urmare, radiaia termic este radiaie electromagnetic care contribuie la

schimbul de energie ntre diferitele corpuri, cele care emit radiaie pierd energie, iar cele

care absorb radiaie ctig energie.

)(Tw

n continuare, voi prezenta cteva mrimi caracteristice radiaiei termice, unele care

se pot determina experimental i altele teoretic.

Energia radiant, , exprimat n jouli (J), este cantitatea de energie radiat de o

surs de radiaii optice, transmis sau colectat ntr-un proces radiativ, ntr-un anumit

interval de timp, fiind legat de densitatea de energie radiant prin relaia

eE

. (1.2) =V

Vd)(TweE

Deci, densitatea de energie radiant se mai poate scrie i sub forma:

VE

dd)( eTw = (1.3)

i se exprim n jouli pe metru cub ( ). 3Jm

31 Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 72(2), 351-495, (2000)

Fluxul radiant, notat cu sau cu , este rata de schimb n timp a energiei

radiante sau rata de transfer a energiei radiante, adic:

e eP

td

dee

eE

P == (1.4)

i se exprim n watt (W).

innd seam de experien, care ne arat c mrimile de mai sus depind de

frecven sau de lungimea de und, se definete i o versiune spectral a fiecrei mrimi:

; (1.5)

=0

dee EE

; (1.6)

=0

d),()( TwTw

, (1.7)

===0 0

eeee d),(d),( TT PP

unde este energia radiant spectral, eE ),( Tw este densitatea de energie radiant spectral i ),(),( ee TT P= este fluxul radiant spectral. Deoarece

cc 2== , (1.8)

unde (exact) este viteza luminii n vid, avem: 1ms458792299 =c == ddd eee EEE ; (1.9) == d),(d),(d),( TwTwTw ; (1.10) == d)(d)(d)( eee PPP . (1.11) Pentru a compara rezultatele teoretice cu rezultatele experimentale, se introduc

mrimi fizice care caracterizeaz radiaia termic i care se pot determina experimental.

Astfel, se definesc:

emitana radiant, , ca fiind fluxul radiant emis de unitatea de arie a unei surse

de radiaie (spre exteriorul suprafeei), exprimat n Wm-2;

eM

iradiana, , ca fiind densitatea de suprafa a fluxului radiant (spre suprafa),

exprimat n Wm-2;

eE

intensitatea radiant, , reprezint fluxul pe unitatea de unghi solid, radiat de o

surs ntr-o direcie dat, exprimat n Wsr-1;

eI

radiana, ori strlucirea sau, nc, luminana energetic, , care reprezint fluxul

radiant pe unitatea de unghi solid i pe unitatea de arie proiectat, exprimat n Wm-2sr-1.

eB

4

De o importan deosebit este strlucirea, care intr n expresia fluxului emis de aria

elementar dS a unei surse ntr-un element de unghi solid n jurul direciei d nur , normal

la aria dS, sursa emind ntr-o direcie oarecare:

SuB nerr ddd e =P2 . (1.12)

Se demonstreaz c ntre strlucirea i densitatea de energie radiant

exist relaia de legtur:

)(e TB )(Tw

)(4)( e TBcTw = , (1.13)

respectiv

),(4),( e TBcTw = , (1.14)

unde ),(e TB este strlucirea spectral, pentru care avem: == d),(d),(d),( eee TBTBTB . (1.15) ntre emitana radiant, , i strlucirea exist relaia eM )(e TB

)()( ee TBTM = , (1.16) deci

)(4)( e TMcTw = . (1.17)

n expresiile (1.13), respectiv (1.14), mrimile i, respectiv, )(Tw w ),( T se determin teoretic, iar mrimile i, respectiv, )(e TB (eB ),T se determin experimental. Sarcina fizicii, n cazul radiaiei termice, se reduce la a explica rezultatele

experimentale exprimate prin ),(ee TBB = sau )e TBB

5

,(e = sau, nc, ),(ee TB B= .

1.2 Rezultatele experimentale asupra emisiei unei caviti corp negru

Primele studii experimentale asupra radiaiei unui corp negru se datoreaz

cercetrilor efectuate de Lummer i Pringsheim n a doua parte a secolului al XIX-lea.

Pentru studii experimentale asupra radiaiei termice se utilizeaz o instalaie ca aceea din

figura 1.1.

Fig. 1.1.

A(T) este un corp negru nclzit la temperatura T, iar L1 este o lentil care concentreaz

fasciculul de radiaie emis de corpul negru la lentila L2 care-l transform ntr-un fascicul

paralel. Acest fascicul care cuprinde toate lungimile de und, [ ) ,0 , ajunge la prisma P care-l separ n fascicule cu lungimile de und ( )+ d, pentru ca detectorul D la care avem cuplat instrumentul de msur I s msoare strlucirea spectral ),(e TB n domeniul selectat de prism. C1 i C2 sunt fante colimatoare care asigur ca radiaia care

ajunge la detector s provin numai de la

cavitatea corp negru. n locul prismei P se pot

folosi filtre interfereniale.

6

Rezultatele experimentale sunt prezentate

n figura 1.2.

Din datele experimentale se observ c

spectrul emis este continuu, iar dac temperatura

crete, lungimea de und corespunztoare

maximului de emisie se deplaseaz spre valori

mai mici. Fig. 1.2.

Este de remarcat faptul c noiunea de corp negru a prut mult timp o simpl

construcie imaginar, pn n anul 1895, cnd Lummer i Wien s-au gndit s practice un

orificiu foarte mic ntr-o incint nchis meninut la temperatur constant. De atunci s-au

putut face msurtori foarte precise asupra radiaiei corpului negru.

1.3 Teoria clasic asupra radiaiei cavitii corp negru

a) Legea lui Kircchoff, stabilit pe baza principiului al doilea al termodinamicii

i verificat experimental, conform creia densitatea de energie radiant spectral

, pentru , depinde numai de temperatura incintei i nu depinde de natura

i proprietile corpurilor din interiorul incintei sau de pereii incintei. Consecina acestei

legi este aceea c trebuie s existe o funcie universal

),( Tw const.=

),( Tww = , (1.18) care da repartiia spectral a radiaiei termice la temperatura T.

b) Legea Stefan Boltzmann

Aceast lege a fost stabilit experimental de Stefan n anul 1884, fiind demonstrat

teoretic, n anul 1887, de Boltzmannn pe baza principiului al II-lea al termodinamicii i d

dependena emitanei radiante de temperatur:

, (1.19) 4e )( TTM =unde este constanta Stefan Boltzmann. 428 KWm10)40(670499,5 =Din aceast lege se obine

444)( aTTc

Tw == , (1.20)

unde . 4316 KJm10)04(899565,7 =a c) Legea lui Wien (1893) prezint proprieti importante ale funciei ),( Tw :

=T

fTw 3),( (1.21a)

sau

( TgTw = 51),( ) (1.21b)

sau, nc

= ThTw3),( . (1.21c)

Legea lui Wien reduce problema determinrii unei funcii universale de dou

variabile la determinarea unei funcii universale care depinde doar de raportul celor

dou variabile.

( T, )

Aceast lege conduce automat la legea Stefan Boltzmann:

40

34

0

3

0d)(dd),()( aTxxfxT

TfTwTw ==

==

, (1.22)

unde T

x = .

Impunnd condiia de maxim a lui ),( Tw

030d

),(d =

+

=

Tf

TTfTw mmm

m

, se obine

const....2

m2

1

m1m ====TTT

, (1.23)

corespunztor lui (1.21a), i respectiv

bTTT ==== ...22m11mm , (1.24) corespunztor lui (1.21b); expresiile (1.23) sau (1.24) sunt numite legea de deplasare a

lui Wien. n expresia (1.24) avem , care poart numele de

constanta lui Wien.

mK10)51(6768897,2 3=b

7