混相流体力学 その1基礎力学編千葉大学大学院工学研究科人工システム科学専攻応用熱流体工学担当者 武居昌宏

参考図書Multiphase flows with droplets & particles,Clayton T. Crowe , John D. Schwarzkopf, Martin Sommerfeld, Yutaka TsujiCRC Press (1997/11/13) ISBN-10: 0849394694熱流体工学の基礎井口学, 武居昌宏, 松井剛一朝倉書店, 2008 ISBN 4254231210

参考Webページ大阪大学 辻裕・田中敏嗣 研究室

※順次 加筆修正しています。まだかなり不完全です。ご了承ください。

混相流と産業

液

気

固

固気気液

固液

固気液

ボイラー沸騰水型原子炉復水器・凝縮器

スラリー・高炉・流動床

医薬品・化粧品

粉塵・煤塵除去微粉炭・石炭ガス化メタンハイドレートCO2ハイドレート

ウォータジェット

宇宙・星間物質プラズマ加工

液晶スペーサ

化学プラントLNG

発電・コージェネ

化学・エネルギー

航空宇宙・加工

エネルギー・環境

医薬・化粧品・電子部品

金属加工製鉄・化学

バイオリアクター人工臓器

バイオ・農業

エアコン・加湿機・掃除機

氷蓄熱・エコアイス

電力負荷平準化

家電・空調・冷凍機

混相流体における熱移動と物質移動

熱伝導(heat conduction)と熱伝達(heat transfer)熱の仕事当量⇒単位時間当たりの仕事 [J/s]=[W]

●熱伝導⇒温度を均一化する方向[m]に熱エネルギーが移動する現象

フーリエの式 Tkq 𝑞:熱流束密度 [W/m2]= [J/(s・m2)]

単位面積，単位時間当たりの熱移動量k:熱伝導率 [W/(m・K)]

)( fp TThq

h:熱伝達率 [W/(m2K)]

●熱伝達⇒固体表面[m2]と接触流体の間の熱移動

ニュートンの式

Tは同じ物質(連続体)なので勾配

Tは違う物質なので差

pT

fT

:粒子の表面温度[K]

:流体の表面温度[K]

x

x=0 x=1

連続体

固体粒子

流体

http://www.nananoyu.jp/facilities/

なぜサウナ後の冷水中で動くと寒いのか?

流束(Flux)の例

流れ 流束 ×[s-1]

(Flux)

流束密度 ×[m-2s-1]

(Flux density)

運動量[kg・m・s-1]

運動量流束[N]

=力運動量流束密度[Pa]

=圧力質量[kg] 質量流量

[kg・s-1]

質量流束密度[kg・m-2・s-1]

体積[m3] 体積流量[m3・s-1]

速度分布[m・s-1]

エネルギー[J] エネルギー流束[J/s]=[W]

エネルギー流束密度[J/(s・m2)]=[W・m-2]

熱[J] 熱流束[W] 熱流束密度[W・m-2]

電荷[C] 電流[A] 電流密度[A・m-2]

定積比熱と定圧比熱●比熱 単位質量の温度を1[K]上げるのに必要な熱量●定積比熱cv 容積一定(dV = 0)で加熱

Uv dedq (4.36)

熱量の変化はすべて気体の内部エネルギの変化となる。●定圧比熱cf 圧力を一定とし加熱(dp = 0)

dqp = deU ＋ pdv (4.37)dqp = dh (4.38)

圧力一定時の熱量の変化はすべてエンタルピhの変化となる。定積比熱と定圧比熱の定義より、式(4.36)と式(4.38)は、

dT

de

T

qc U

v

v

v

[J/kg・K] (4.39)

dT

dh

T

qc

p

p

f

[J/kg・K] (4.40)

※ 単位注意 定積モル比熱Cv定圧モル比熱Cp

[J/mol・K]

※粒子の比熱と区別するためにcfと置いた

𝑘:熱伝導率[W/(m ∙ K)]ℎ:熱伝達係数[W/(m2 ∙ K)]L:代表長さ[m]][Nu

k

hL

球粒子表面積[m2]

)(Nu fpp

p

pp TTkddt

dTcm

dt

dTcmqd

p

ppp 2球形粒子表面の単位時間当たりの熱移動量[W]

粒子の運動方程式における抵抗係数と類似

)(Nu fp

p

TTd

kq

)( fp TThq

pd

2

pd

球粒子直径[m]

pc 球粒子の比熱[J/kg・K]

粒子表面熱移動におけるヌッセルトNu数●ネッセルトNu数:伝導熱流束に対する伝達熱流束の比

pm 球粒子質量[kg]

pT 球粒子表面の温度[K]

フーリエの式 Tkq

)( fp TThq ニュートンの式

hを削除 Lを粒子直径 とおくpd

例えば石炭火力で石炭粒子表面の温度時間変化?

fT

●粒子表面熱移動の微分方程式

q

dt

dTp

pT

プラントルPr数●熱伝導方程式

Tc

k

t

T

ff

2

Tat

T 2

ρf:流体密度[kg/m3], 𝑐𝑓:流体の定圧比熱[J/kg・K]

𝑘:熱伝導率[W/(m・K)] = 熱量の拡散

:温度拡散率(熱拡散率) [m2/s] = 温度の拡散

●流体運動方程式 uu 2

v

t

k

c

k

vc

ck

v

a

v pp

p

/Pr

𝜇:粘度[Pa・s] = 力(運動量)の拡散

: 動粘度[m2/s] = 速度の拡散

●プラントル数:温度拡散率に対する速度拡散率の比

:体積あたり1K温度上げるのに必要なエネルギ[J/m3・K]

ff c

熱量[J]拡散⇒温度勾配があると熱量が拡散(フーリエ法則)⇒熱伝導率k力[N]拡散⇒速度勾配があると力が拡散(粘性法則)⇒粘度μ温度[K]拡散⇒温度変化を示す⇒温度拡散率a速度[m/s]拡散⇒速度変化を示す⇒動粘度ν

●4つの物理量の拡散

ff c

ka

熱伝導率・粘度と温度拡散率・動粘度水位(温度T)は次の関数①n:水槽間穴数(熱伝導率k)②L:奥行き(密度ρf×比熱cf)

ρ大の流体(ボーリング球)は、 τmによるapは小さい⇒減速しづらい⇒速度が拡散

同体積の密度ρ大とρ小の球を同

じ初速度で転がす。球にかかる抗力𝐹𝐷は同じ⇒しかし密度ρ大球は減速しずらい。⇒なぜか?

D

p

Fa

𝜏𝑚＝− μ𝑑𝑢

𝑑𝑦

粘度𝜇密度ρf

速度

uf

k

T

熱流束密度力の移動量(運動量流束密度)

q

水槽間穴数n

http://camellia.thyme.jp/files/html/others/ThermalDiffusivity20131127.html

水位(温度T)変化をn/L (温度拡散率α=k/(ρfcf))で表すと都合がよい。

●なぜボーリング球は重いのか?FD

FD

ρ大u

ρ小u

FDを粘性応力τmと考えれば

球の減速加速度apは、ρ大の球はapが小さい⇒減速しづらいτm

τm

物質拡散(物質伝導)

𝑚:質量流束密度(単位時間・面積当たり物質移動質量)[kg/(m2s)]𝐷𝑝𝐿:液体中の粒子拡散係数[m2/s] ρpL:固液混相の密度[kg/m3]

𝜌𝑝: 粒子密度[kg/m3] 𝑢𝑝:粒子速度[m/s]

𝜔𝑝: 粒子質量割合[-]

ppLpLpLppLpL

ppLpp

DD

Dum

●Fick の拡散第1法則:濃度勾配に比例して拡散

pL

p

p

pLD

ppu

p

単位面積

●熱伝導のフーリエの式と比較 TacTkq ff 𝑞:熱流束密度[W/m2]= [J/(m2s)] k:熱伝導率 [W/(m・K)]

ρf：流体密度[kg/m3], 𝑐𝑓:流体の定圧比熱[J/(kg・K)]

𝑎:温度拡散率[m2/s]

ppL

pD

t

2

●Fick の拡散第2法則:非定常拡散

フーリエの式と似ている!!

物質伝達

)( ppwpLChm

)( fp TThq 𝑞:熱流束密度[W/m2] ℎ: 熱伝達率 [W/(m2K)]

●熱伝達のニュートンの式と比較

ここは差で勾配ではない

𝑚: 質量流束密度(単位時間・面積当たり物質移動質量)[kg/(m2s)]ℎ𝐶 ∶物質伝達係数[m/s] ρpL: 固液混相の密度[kg/m3]𝜔𝑝∞: 管壁から離れた場所の粒子の質量割合[-]

𝜔𝑝𝑤: 管壁における粒子の質量割合[-]pL

p

p

●質量流束密度(質量輸送束)

管壁

微粒子の質量割合

p

微粒子

流れに沿った微粒子運動

ランダムな微粒子運動

pwM

hCの単位は速度[m/s]?⇒体積[m3]の流束密度も[m/s]hC×ρpL

⇒[kg/(m2s)]は質量流束密度

δC

シャーウッドSh数

pL

C

D

LhSh

ℎ𝐶 ∶物質伝達係数[m/s], 𝐿 :代表長さ[m]𝐷𝑝𝐿: 物質拡散係数 [m2/s]

C

pL

C

Dh

境界層の濃度分布が直線近似できるとき、

CpL

C

pL

pL

C L

D

LD

D

Lh

Sh

)( ppwpLChm

𝑚:質量流束密度[kg/(m2s)], ℎ𝐶 ∶物質伝達係数[m/s]𝜔𝑝∞: 壁から十分離れた場所の粒子質量割合[-]

𝜔𝑝𝑤: 壁における粒子質量割合[-]

ρpL: 固液混相の密度[kg/m3]

シャーウッド数Shを代入しhCを削除すると

)(Sh ppwpL

pL

L

Dm

δC:濃度境界層厚さ[m]

)(Nu fw

p

TTd

kq

●熱伝達による熱流束の式と比較

●質量流束密度をShで表す

pLD

vSc

●プラントル数と比較a

vPr

DpL: 物質拡散係数[m2/s]

シュミットSc数 ν :動粘度（速度の拡散率） [m2/s]

𝑣 =𝜇

𝜌μ:粘度[Pa・s]

𝑎:温度拡散率(熱拡散率) [m2/s]

1/32/1 ScRe644.0Sh

Re: レイノルズ数ν: 動粘度[m2/s]

●シャーウッド数を、レイノルズ数とシュミット数で表現平板上の層流

1/38.0 ScRe037.0Sh 平板上の乱流

0.48.0 ScRe023.0Sh 円管内の乱流

平板の強制対流(層流)

乱流の場合

●熱伝達と比較 ヌッセルト数を、レイノルズ数とプラントル数で表現

1/32/1 PrRe664.0Nu 1/35/4 PrRe037.0Nu

Sh数はReの1/2乗Scの1/3乗

Nu数はReの1/2乗Prの1/3乗

平板上物質移動1-2面から流入する粒子質量流量

c

yuM ppLpp

012

d

2-3面:

xyux

yuMcc

ppLpppLpp ddd

dd

0034

3-4面:

xyux

Mc

ppLpp ddd

d

023

が壁面からの物質拡散と等しい

xy

Dxyux

xyux

y

p

pLpLppLpppLp

cc

dddd

ddd

d

d

000

0

0d

d

d

y

p

pLpppy

Dyux

c

[kg/s]

[kg/s]

[kg/s]

12pM

231234 ppp MMM

3byayppw

ppw

y=0のとき pwp

y=δCのとき pp

C

a2

3

32

1

C

b

3

2

1

2

3

CCppw

ppw yy

u

ppw

pLuppwf Dx

u

2

3

280

3

20

3

d

d 42

Cu のとき

u

C

xとyの関数

Fick 拡散第1法則と比較[m/s]

濃度境界層厚さ δc

速度境界層厚さ δu

pL

p

p

速度

境界層

管壁

z奥行は1

uf∞

y

濃度

境界層

2 1

dx

3 4

12pM

23pM

34pM

uf

濃度分布式0

Cy

p

y

速度分布式3

2

1

2

3

uuf

f yy

u

u

O

x

[kg/s]

u

pL

u

f D

x

u

2

d

d

10

C

23

S14

13

d

d2

xx

f

uu

ux

13

140

d

d

xu f

u

61.4

0xx 0

微分則

C

33

S14

13

d

d

3

4

x

ζxζ

x

ζ

x

ζζ

x

ζ

d

d

3

2

d

d2

d

d 32

2

34

C0

34

3

C S14

13

S14

13

x

x

3143

0

31

C

31

1S

1

14

13

x

x

u

C

xC1

34

3

CS14

13

物質伝達式とFickの拡散第1法則より、

C

PL

C

ppw

ppw

PL

y

p

ppw

PLC

DD

y

Dh

2

3

2

3

d

d

0

2131

3143

02131

31

ReSc0332.01ReSc64.4

1

14

13

2

3

2

3Sh xx

CPL

C

x

xx

D

xh

ppw

ppw

u

C

をζ で書ける!! 濃度境界

層厚さ δc

速度境界層厚さ δu

pL

p

p

速度

境界層

管壁

z奥行は1

uf∞

y

濃度

境界層

2 1

dx

3 4

12pm

23pm

34pm

uf

Sh数をReとSc数で表すと

ppLpLpwppLC DhM )(

O

x

)( ppwpLChm ppLpLDm

m

1

pL

D

D

h

L

Dh

pL

C Sh

Sh:シャーウッド数(Sherwood number)𝐿 :代表長さ[m]

𝐷𝑝𝐿:拡散係数 [m2/s] ℎ𝐶:物質伝達係数 [m/s]

熱伝達

h ∶ 熱伝達係数[W/(m2 ∙ K)]

m

1

k

h

熱伝導 Tkq

L

kh Nu

)( fp TThq

Nu:ヌッセルト数(Nusselt number)

𝐿 : 代表長さ[m]

k ∶熱伝導率[W/(m ∙ K)]

物質伝達物質拡散

Nu数とSh数の比較

Pr

Sc1

PrLe

pLpL DD

a

Sc > 1 , Le > 1 ⇒ 速度境界層と温度境界層は、濃度境界層の境界層厚さよりも厚く、より速く発達する。Pr=Sc=Le=1 ⇒ 速度、温度、濃度の境界層厚さは一致し、同じ速度で発達する。

𝐷𝑝𝐿 ∶物質拡散係数[m2/s]

ルイスLe数𝑎:温度拡散率(熱拡散率) [m2/s]

Re

Nu

Nu, Shの具体的な意味

ufが増加⇒温度分布がAからBに変化⇒熱伝達率hA<hB

0

)(

y

fpdy

dTkTTh

●熱伝達 =壁面での熱伝導量

L

TT

dy

dT

k

hL

fp

y

)(Nu

0

基準温度勾配

壁面

温度勾配

qq

自然対流の場合の横軸はグラフホフGr数(粘性力に対する浮力)とPrの積

g:重力加速度[m/s2],ρ:密度[kg/m3]L:代表長さ[m],μ:粘度[Pa s]β:体膨張係数[1/K],ΔT:温度差[K] ●物質移動現象の場合β:濃度の体膨張係数[m3/mol]ΔTは濃度差[mol/m3]

2

32

Gr

TLg

0

)(

y

p

pLpLppwpLCdy

dDh

●物質伝達 =壁面の物質拡散量m

L

dy

d

D

Lh

ppw

y

p

pL

C

)(Sh

0

m

ufが増加⇒濃度分布がAからBに変化⇒物質伝達率hCA<hCB

A

L

q

x

管壁

(熱源

)T p

Tf

uf

y

AB

B

A

L

x管壁

(粒子供給源

)ωp

w

ω∞

uf

y

AB

B

M

O

O

●川にインクを落とすとどうなるか?

非定常拡散と移流(物質輸送方程式 )

移流項

ppLp

pD

t

2)(

u

管壁

微粒子の質量割合

p

微粒子

流れに沿った微粒子運動

ランダムな微粒子運動

pwM

⇒インクを連続的に加えたら?

O O

x x

y y

ppL

pD

t

2

●インクが熱を持っていたら ?温度と濃度境界層の関係はどうなるか ?

非定常拡散(Fick の拡散第2法則)

定常拡散移流

ppLp D 2)( u

移流拡散方程式

ペクレ数 移流と拡散の比

●移流拡散方程式

ラプラス変換により一次元の解析解が求められる

初期条件

●定常の移流拡散方程式

境界条件 xの範囲は区間 [0, L]

移流拡散方程式の解とペクレPe数

ppLp

pD

t

2)(

u

境界条件 単位ステップ関数を仮定

erfc(z ):相補誤差関数ppLp D 2)( u

)0(1

)0(0)()0,( 0

t

ttUtp

)0(),(lim

txtpx

)0(0),0( xxp

tD

utx

D

ux

tD

utx

D

uxx

D

uxt

pLpLpLpLpL

p2

erfc2

exp2

erfc2

exp2

exp2

1),(

0)0( p Lp L )(

00

1Peexp

1Peexp

)(

Lp

L

x

xpLD

uLPe

Pr, Sc, Le数の具体的な意味

δu

x

管壁

(熱源

)T p

Tf

L

uf

y

Pr<1

δT

δu

x

管壁

(熱源

)T p

Tf

L

uf

y

Pr>1

δT

δu

x

粒子供給源

ωp

L

uf

y

Sc<1

δc

δu

x

粒子供給源

ωp

L

uf

y

Sc>1

δc

p

p

Pr

ScLe

pLD

a

a

vPr

pLD

vSc

δT

x

管壁

T pω

p

L

uf

y

Le<1

δc

δT

x

管壁

T pω

p

L

uf

y

Le>1

δc

p

p

O

O

O

O

O

O

速度の拡散

温度の拡散

速度の拡散 温度の拡散

質量の拡散質量の拡散

希薄系の混相流体力学

U

Re<<1のとき、慣性項を粘性項に対して省略したNS式と連続式

この式を球表面上のno-slip条件で解くと、

uu 21

p

t0 u

),,( x zy uuuu

rとθで速度と圧力を表すと、

※ストークス解の流速分布はReとμに無関係

ストークス抵抗の導出#1

rp: 球の半径, r: 球の中心からの距離U: 上流側の一様流速x:流れの方向, θ: x軸となす角度

http://chemeng.in.coocan.jp/fl/fl08a.html

2

2

3

2

2

2

x 14

3r3

r

4

1

r

r

r

xUr

rr

UUu

p

p

pp2222 zyxr

2

2

3

r1

4

3

rr

xyUru

p

py

2

2

3

r1r

4

3

rr

xzUu

p

pz 32

3

r

xUrpp p

3

3

2

1r

2

31cos

r

r

rUU

pp

3

3

4

1

4

31sin

r

r

r

rUu

pp

θ

cos2

32

2

r

r

r

Upp

p

p

球の表面圧力、最大圧力と最小圧力は、

球表面のせん断応力は

ここで球表面の面要素dSは

せん断応力のx成分と圧力のx成分を球表面で積分すると、

ストークス抵抗の導出#2

※FDの2/3がせん断応力（流体摩擦）に起因、1/3が圧力に起因FDは流速に比例し、球の質量とは無関係

(球の前端)

(球の後端)

よって、

cos2

3

prr r

Upp

p

prr r

Upp

p

2

3max

prr r

Upp

p

2

3min

sin2

31

r pr

rrrr

U

r

uU

rp

p

00

cossin dSpdSF rD

ddS p sinr22

UrUrUF pppD 62r4

http://chemeng.in.coocan.jp/fl/fl08a.html

球の中心軸上の圧力分布

U

FD

x

y

pmax

pmin

prU

pp

/

θ

静止した流体中の単一球の終速度（Terminal velocity）vt

一定速度vtに達した時の力のつり合い

gVgVvd pftp 3

ストークス抵抗

浮力

重力

体積

tD dvF 3

gVf

6

3dV

gVp

速度vt

18

)( 2

pfp

t

gdv

気泡や粒子が流体から受ける力の例

BassetVMSEBLCGD FFFFFFFFFv

dt

dmp

q :電荷 , k : クーロン定数2

)( vuvuFD

f

D AC

AC fL

2

2

1vuFL

r

r

rFE 2

21qkq

: 衝突力衝突するかしないかはストークスSt数

仮想質量力(非定常力)

:クーロン力

:重力

:揚力

:抗力

:浮力

L

udSt

pp

2

CF

gFG g

pd

6

3

gFB f

pd

6

3

dp

FG

FD

FB

fluid

FL

FC

ρf

m

ρp

mp: 粒子の質量ρp: 粒子の密度v: 気泡や粒子の速度u: 流体の速度

SF :流体から受けるせん断力

VMF

[N]

体積力面積力

BassetF バセット力(非定常力)

●ベルヌーイの定理より

●円柱単位長さ当たりの揚力FL

回転円柱の循環

クッタ・ジューコフスキーの式

SAFFMAN揚力:流体の速度勾配

MAGNUS揚力:粒子の回転

202 r

一様流れ中の回転円柱

FL

x

y

d

pU

p

0r

完全流体における揚力

0sin2 rUu

pUpuff 22

22

2

00 dsinrppFL

uθ

22

2

uUpp

f

UrF fL 2

02

UΓF fL

29

流線曲率の定理

飛行機が空を飛ぶ

30

ピッチャーの投げたボールが曲がる

マグヌス効果

回転なし 時計回り 反時計回り

←キャッチャーの方向 ピッチャーの方向→

右ピッチャー シュート 右ピッチャー カーブストレート

粘性流体中固液二相流のSAFFMAN 揚力

Fsaff

v

u

dp

wall

(a)

u >

v(b

) u <

v Fsaff

v

u

Fsaff

ωf

v

u

Fsaff

v

u

ωf

uωf ffSaff ωvuωF

2

1

2

1261.1 ffpd

ωfu

u

ωf

u

u

粒子周囲の流体速度差による揚力

粒子が回転することによる揚力 でも生じる

粘性流体中固液二相流MAGNUS 揚力

rmag ωvuF fpd

.3

8

0 u

Fmag

ωr

v

u u

Fmag Fmag

Fmag

v

v v

u u

ωr

ωr ωr

(a)

u >

v(b

) u <

v

u

u

u

u

dp

uωω pr 2

1

dt

d

Dt

Dd fp vuvuFvu VM

26

3

仮想質量力FVM粒子の加速時周囲流体を加速させるための粒子が流体に及ぼす力。周囲流体を加速させるために、粒子は運動エネルギーを消費、流体は運動エネルギーを獲得。

dp

fluidρf

ρp

dt

dv

Dt

Du

dt

d

Dt

Dd pf vuFVM

12

3

流体が得た単位時間あたりの運動エネルギー[J/s]

[N]

流体と粒子の加速度差(速度の時間変化)[m/s2]粒子の体積

dt

d

Dt

D vu

ならばFVMは負

粒子が消費した単位時間当たりのエネルギー[m/s][N]=[J/s]

イルカの推進力と仮想質量力

:粒子加速時の粘性による境界層発達の時間遅れに起因する力。粒子(流体)は運動エネルギーを消費(獲得)する。

定常時v0のτy=0、非定常時のτy=0は?

0

022de

vu

2

2

y

u

t

uf

0),0( yu

動粘度:

初期条件:

0),(,)0,( 0 tuvtu境界条件:

)erf(0 vu f

f

f

●粒子速度v0が一定の場合:粒子表面流体速度(スリップなし) v0で一定 境界層の

流体速度u

μ, ν, ρf

y

v0

u

dp

ρp 定常 v0

O

バセット力

●境界層内の運動方程式⇒レイリー問題

00

0

0

2v

ty

v

y

u ff

f

y

fy

η

erf(

x)

0d

2)(erf

2

e

t

y

f

2

t=0のときτ=∞境界条件からも考察

yの無次元化距離:

erf:誤差関数:

[m2/s]

[-]

t

ffp dttt

dt

d

Dt

D

d0

2 ''

''

2

3

vu

FBasset

tffff

y dttt

dt

dv

tt

v

tt

v

t

v

02

2

1

100 '

'

'

t=0のとき粒子速度がΔv0、t1のときΔv0+Δv1 ・・・ となったとすると、流体のτの時間変化は、定常時を参考にして、

球表面でτを積分し相対加速度をとると

[N]

粒子が段階的に加速してvになったら、τの時間変化はどうなる?

00 vt

ff

y

●粒子が加速したときのτy=0

dp

ρp dt

dv

t1

v

tt2 t3

Δv0

Δv1

Δv2

Δv3

t' t't'O

●粒子速度v0が一定のとのきτy=0

粒子が加速したときのτy=0

dt

d

Dt

D vu ならば

FBassetは負

Basset-Boussinesq-Oseen(BBO)方程式

ストークス抗力

単一球の運動方程式:前式で浮力、揚力、電気力などを無視

圧力とせん断応力仮想質量力

バセット力[N] 重力[N]

Reが小さいとき成立

dt

d

Dt

Ddpdd

dt

dd

pf

pppp

vuuvu

v

1263

6

3

233

g

vu

pp

t

fp ddttt

dt

d

Dt

D

d

3

0

2

6'

'

''

2

3

Dt

Dp

dt

d

p

f

prp

f uu

vuv

2

11

2

11 2

18

2

pp

r

d 緩和時間を代入

を左辺に移項dt

dv

ppd 3

6で両辺を割る

[N]

g

vu

t

rp

fdt

tt

dt

d

Dt

D

0'

'

''1

2

9

Basset-Boussinesq-Oseen (BBO) 方程式#2

1p

f

g

vuv

rdt

d

p

ft

rp

f

p

f

rp

fdt

tt

dt

d

Dt

D

Dt

D

dt

d

1'

'

''1

2

9

2

11

0g

vu

uvuv

gu

u ffDt

Dp 2 ←流体のNS運

動量方程式から圧力項 粘性項 慣性項 重力項

←粒子の運動方程式は、緩和時間と相対速度で書ける

g

vu

uu

vuv

t

rp

f

p

f

prp

fdt

tt

dt

d

Dt

D

Dt

Dp

dt

d

0

2 ''

''1

2

9

2

11

2

11

186

2

3 pp

ppr

dBd

pdB

3

1

L

ud pPr

2

0

St ストークス数:粒子の流れに対する追随性

:代表時間,L:代表長さ,u :代表速度𝜏𝑟:緩和時間 𝜏𝐶:衝突時間

緩和時間:静止粒子が周囲流体と同じぐらいの速度になるまでの時間

移動度、緩和時間、ストークス数

移動度(易動度,モビリティ）:

質量

vuFD pd3ストークス抵抗:

モビリティ[s/kg]

[N]

[s]

1/ Cr

1/ Cr

:希薄流れ:粒子運動は流体力によって支配

:濃厚流れ:粒子運動は粒子間衝突や接触に支配

uL /0

dp

τCm

ρp

DFvu B

St<<1 粒子は流体の動きに追随St>>1 粒子は流体の動きに関係なく運動

Bは大,St<<1勝手なStのイメージ

Bは小,St<<1

緩和時間の具体的な意味

St

)1( Φ

dT

dΦ

重力場ではないのでgを無視スカラー値で考え両辺をuと1/τ0で割る速度と時間を無次元化

g

vuv

rdt

d

r

t

e

Φ

11

u

vΦ

0

tT

0

St

r0/

)1(

r

Φ

dT

dΦ

18

2

pp

r

d

r

r

𝑡 = 𝜏𝑟のとき

●気体中の水滴の例

u

vΦ

緩和時間𝜏𝑟は何秒か?

変数分離

τ0 :特性時間, L:代表長さ, u :代表速度

t=τrのとき

63.01

1

eΦ

63.01

1

eΦ

rΦ

ΦΦ

1log

d1

1

u=const,t=0,v=0

One WayとTwo Wayについて

v 粒子速度u 流体速度

粒子温度

fT 流体温度

どのような場合one way だけを考慮すればいいか?すなわち，連続相に対する分散相の影響は無視して良いか?

冷たい気体中で熱い粒子が加速するとき

●質量交換（蒸発，凝縮）●運動量交換●エネルギー交換（熱伝達）

vv

pTpT

fTfT

u u

pT

pT

uv

fT

One way:連続相⇒分散相連続相⇐分散相:無視

Two way 連続相⇔分散相

One way Two way

xx OO

xO0v

Tfとuは一定

Tf 上昇 Tpの勾配小uはvの反力により減少Tpからエネルギをもらい

亜音速の場合は流体は加速(超音速流の場合は減速)

理想算。それはよどみ点温度の変化と共にマッハ数がどう変化するかを記述する。ある点のよどみ点温度とは、それが等エントロピー的に静止した場合に流体が到達する温度のことである。熱が系に加えられると、よどみ点温度は上昇。レイリー流れは次式で与えられる

ただしのその点の

pp mD

nM 4

3

4

2DuM ff

u

D

m

m

um

Dmnm

Du

mD

n

M

M

p

p

f

p

p

p

f

p

f

p

f

p

mass

4

42

3

f

pΡ

p

p

mm

m

f

m

massSt

massSt

1 ΡΡ

u

DΡ

m

f

mmass

:pm

：m

●質量交換

流体の単位時間あたりの流体質量

[kg/s]

単一液滴からの蒸発量[kg/s]

質量交換比:

単位時間当たり分散相から生成される質量

[kg/s]

<<1 のときは、ONE wayでOK

n: 数密度[個/m3] D: 管直径[m]

massSt :物質移動のストークス数[-]蒸発・凝縮の特性時間[s]

ここで、 とおくと、

u

Df :流体の代表時間[s]

:pm 単一液滴の質量[kg]

fM

検査領域体積

Du

v

f

D

4

3D

pm

例えば、液滴が蒸発するとき

D

uDuM ff

4

3

4

)(34

22

3

Du

vudD

n

M

F

f

p

f

D

mom

p

p

p

dm

6

3

18

2

pp

r

d

p

r

pd

m

3

u

vΡ

u

vuD

u

v

u

Dnm

rf

p

rf

p

mom1

St1

/1

u

Df

f

r

St

●運動量交換全粒子に働く流体抵抗:

流体の運動量流束:

運動量交換比:

[N]

粒子1つの質量:

<<1 のときは、ONE wayでOK

を上式に代入

粒子1個ストークス抵抗pd

)(34

3

vuFD

pd

Dn

緩和時間:

DF

検査領域体積

Du

v

f

D

4

3D

fM

単位体積あたりの運動量流体の検査領域通過時間で割る[1/s]

[N]

[s/kg]

[s]

[kg]

●熱エネルギー交換粒子から流体への熱伝達

流体の単位時間当たりの熱エネルギー

エネルギー交換比:

qdD

nQ p 2

3

4

fff TcD

uE

4

2

f

fp

Tf

p

fff

fpp

ener T

TTuD

TcuD

TThdnD

E

Q

/)(2

23

)( fp TThq

[W]

<<1 のときは、ONE wayでOK

fc[W]

2

pd :粒子表面積[m2]

pp

f

Thdn

c

/2

流体の質量流量[kg/s]

[J/(kg・K)][J/(kg・K・s)]

検査領域体積

Du

v

f

D

4

3D

Q

E

𝑞:熱流束密度[W/m2]= [J/(s・m2)]ℎ:熱伝達係数 [W/(m2・K)]

:流体の定圧比熱 [J/kg・K]n: 数密度[個/m3]

ニュートンの式:

=[s]

u

Df

f

T

St

1

St f

p

T

TΡ

f

pΡ

時間当たり全粒子の熱伝達量

●平衡状態にある二相流体の特徴

0St 粒子の速度と温度が流体の速度と温度に収束

uA

vAz

f

p

密度: ffffpm PP )1(

比エンタルピー:

TP

cccT

c

cPcTcch

fp

fm

f

p

ffppffm

1

/11)(

比熱:P

cPccc

fp

fm

1

/1

f

pΡ

質量比と質量流量比検査領域体積

Du

v

f

D

4

3D

連続相の方程式

入口の流体の質量流量：

混相流における連続相の連続の式

uAM ff 1

x

MxMM

f

ff

1

12

p

ffM

x

Mx

t

xA

1

pff mnuA

xAt

1

pff mnu

xt

:流体の質量流量[kg/s]ρf :流体密度[kg/m3]ε : 流体の占める体積比[-]u:速度[m/s]A:管路断面積[m2]n:粒子数密度[個/m3]

単一液滴からの蒸発量[kg/s]

fM

検査領域内の単位時間当たりの質量増加

＝流入質量流量から流出質量流量の差

＋粒子から流体として放出される質量

検査領域体積

Au v

f

xxA

pp mxAnM

:pm

Aがxに対してconstならば

[kg/s]分散相からの生成質量：

1fM[kg/s]

出口の流体の質量流量：

2fM

[kg/s]

連続相の運動量保存則運動量の単位時間当りの増加率 ＝

流入運動量から流出運動量の差

＋

粒子から放出される運動量

検査領域内の流体に働く力

＋

検査領域内の運動量 )( uxA f

入口の流体の運動量流束 AuM fof

2

1

粒子から放出する運動量流束 xnAmvM pop

FM

x

Aux

t

uxA op

ff

2

Au v

f

x xA

1ofM2ofM

[N]

xMxMM ofofof 112出口の運動量流束 [N]

[kg・m/s]

[N]

ρf:流体密度[kg/m3]ε : 流体の占める体積比[-]v:粒子速度[m/s]A:管路断面積[m2]n:粒子数密度[個/m3]

:粒子からの蒸発量[kg/s]pm

fnmv

x

u

t

up

ff

2

[N]

[N/m3]

流体に働く力 F③粒子からの反力： vudN pf 3①圧力差による力： pA [N]

④重力： xgAf [N]②せん断応力: xrw )2( [N]

分散相の方程式

分散相に対する連続の式(2流体モデル)

面を通る質量流量：

粒子(液滴)から放出される質量：

vAuAnmvAM df

mnVSmass

単位時間当たりの質量の増加率 ＝

流入する質量と流出する質量の差

ー粒子から流体として放出される質量

d ：粒子の局所密度[kg/m3]

0

v

xtdd

kkikd

i

id

i

d vx

vxt

,

：1次元

：2次元または3次元

乱れによる拡散量

検査領域体積

Au v

f

x xA

M M

分散相の運動方程式単位時間当たりの運動量の増加率 ＝

流入する運動量と流出する運動量の差 ＋ 粒子群に働く力

面を通る運動量流束： i

ididom vAM2

もし全ての粒子が同じ速度を持つなら，上の運動量流束は： 2vAM ddom

しかし全ての粒子は異なる速度を持つので：

i

idid

i i

idiidi vvvvv2222

質量平均速度[m/s] 平均速度からのずれ

レイノルズ垂直応力に類似の項

検査領域体積

Au v

f

x xA

p pp

●1次元

i

idi

H

WVdd v

xRvu

x

pv

xv

t

22

応答時間

ストークス抵抗補正因子

粒子が壁に衝突すると分散相の運動量が損失⇒その量は壁面との摩擦応力 に相当する．W

平均速度からの変動により生じるレイノルズ応力

●完結問題 ビジネスクの仮定

i

j

j

ic

k

ikikdkx

v

x

vvv

●壁面における境界条件

高濃度系の固気・固液混相流体力学

FFF gca dt

dm

v TI

dt

dω

●流体連続相

●粒子分散相

)μμ()()(

2

e aF

uuu

uεpεερ

t

ερg

g

CFD-DEM

),( uv gρ

βaF

)8.0( R

)1(

4

3

)8.0( R75.1)1(150)1(

e

7.2

2

e2

p

D

p

dC

d

43.0

R)R15.01(24

e

687.0

e

DC

μR e

pεdρpi iuv

Ergun’s equation, 1952

●抗力

m:粒子質量[kg], v:粒子速度[m/s], ω:角速度[rad/s], p:圧力[N/m2],I:慣性モーメント[N・m],Fa:粒子-流体間作用力[N],Fg:重力[N],u:流体速度[m/s], Fc:粒子-粒子(壁)間作用力[N], T:回転モーメント[N・m], ε:ボイド率[-],ρg :流体密度[kg/m3], μ:粘性係数[Pa・s], μe : 乱流粘性係数[Pa・s], CD : 粒子に対する粒子-流体間抵抗係数[-], dp:粒子径[m], Re:レイノルズ数[-]

)1000(Re

)1000(Re

Wen and Yu’s equation,1966

0)(

uε

t

ε

(CFD: Computational Fluid Dynamics)⇒流体相⇒Euler手法で計算(DEM: Discrete Element Method)⇒粒子相⇒ Lagrange手法で計算

dt

dηk tt

tt

xx ctF

t

t

x

xcnct FF fμ

dt

dηk nn

nn

xx cnF法線接触力

接線接触力

kn & kt : バネ定数

(n:法線方向 t:接線方向成分) [N/m],

xn & xt : 粒子変位 [m]

ηn & ηt : 粘性係数 [Ns/m],

μf : 摩擦係数 [-]

接触力

粒子－粒子(壁面)接触モデルCundall and Strack 1979

ParticleParticle

粒子同士の接触力のモデル化

弾性⇒ばね 粘性減衰⇒ダッシュポット滑り⇒摩擦スライダー

Voigt(フォークト)モデル

[N]

[N]cnct FF fμ

cnct FF fμ [N]

のとき

のとき

固気流動層に応用した例

Nucleus particles

Draft tube

Spray nozzle

Hot air supply

Hot air

duct

Spray

nozzle

Apertures

plate

Bug

filter

Exhaust duct

Outer

chamber

Draft tube

粘弾性モデル

ee E

vv η→∞で応力速度とひずみ速度が比例

●Maxwellモデル

●Voigtモデル

ve ve

E

ve ve

E

tE

●ニュートン粘性法則

●フックの法則

遅延時間: τM=η/E

ダッシュポットで粘性(viscosity) を表現

ばねで弾性(elastic) を表現

t

exp0応力緩和:緩和時間:τ=η/E

一定ひずみ速度σ0/ηでεが増加t→∞で ε →∞

電気回路 粘弾性

電場E[V/m] ひずみε[-]

電流密度i{A/m2] 応力σ[Pa]

導電率σ[S/m] 弾性係数E[Pa]

誘電率ε[F/m] 粘度η[Pa・s] η→0で応力とひずみが比例

ε:ひずみ[-], σ:応力[Pa], E:弾性係数(バネ定数)[Pa], η:粘度[Pa・s], e:ばね, v:ダッシュポット

M

t

exp10

http://www.megahouse.co.jp/megatoy/products/item/594/

td

dEi 電気回路だと

それぞれEi

緩和時間:τ=η/E

t

exp0

:弾性変形の応力

tE

00

定常入力時の応答

ダッシュポットのひずみ速度σ0/ηが進行ηが大(ドロドロ)⇒σ0/ηが小

ばねによる瞬間弾性σ0/Eが発生Eが大(硬い)⇒σ0/Eが小

●Maxwellモデルの応力σ0入力時

τMが大⇒収束に時間必要τMが小⇒Eが大(硬い) η が小(サラサラ)

⇒クリープ変形

M

t

exp10

632.01exp10 M

●Voigtモデルの応答

τが大⇒応力緩和が大、τが大⇒ηが大(ドロドロ)Eが小(柔)

遅延時間: τM=η/Ehttp://hr-inoue.net/zscience/topics/viscoelastic/viscoelastic.html

応力入力時

ひずみ入力時

http://www.cybernet.co.jp/ansys/case/lesson/017.html

遅延弾性:

●Maxwellモデルのひずみε0入力時

※電気回路の緩和時間:τ=ε/σ

振動入力時応答(動的粘弾性)

η/Eが大⇒遅延時間τMが大η/Eが大⇒εが小

σ

●Voigtモデルの応答

t

応力周波数fが高⇒ εは小ε大だと抵抗大⇒σ

大 逆に応力速度が速⇒抵抗大であまり変形しない

位相き素がのシュポット相

ダッシュポット:波長1/4ずれる

ばね

貯蔵弾性率:ばね

ω:振動数、t:時刻、δ:位相遅れ

複素弾性率:

応力とひずみに虚数項を定義

複素応力:

損失弾性率:ダッシュポット

cos

0

0E

sin

0

0EEjEE *

複素ひずみ:

tj exp0

*

tjexp0

*

*** Eフックの法則:

●ダッシュポットの周波数依存性

●フックの法則

電気回路だと複素導電率 0

* " jj

vv ee E

ε

σt

t

低f 高f

ε

Maxwell モデル: E” = η/ωη:動的粘性率、ω:振動角周波数

皮膚やグミは粘弾性●真皮の構成要素①コラーゲン(膠原)線維…真皮の90%を占め横紋状皮膚の表面を支える柱②弾性繊維(エラスチン)…皮膚の弾力を保つ③基質（ヒアルロン酸、プロテオグリカン）…水分を保つ役割⇒粘性成分④線維芽細胞…上の３つを作る細胞

https://www.integral.to/product/

●細胞成分①線維芽細胞:コラーゲンとエラスチン産生②組織球:単球・マクロファージ系③肥満細胞:ヒスタミン・ヘパリンを含む顆粒をもつ④形質細胞:B細胞が分化した細胞

Endothelium 内皮 Vascular endothelial growth factors C

http://hadahari.com/newpage4.html

角化細胞(ケラチノサイト)

Subcutaneous tissue

dermal

epidermal

●皮膚粘弾性測定装置

http://www.tatourui.com/trivia/trivia_vol.15https://www.thermofisher.com

●ガムやグミの粘弾性

レオメータ

貯蔵弾性率G’,損失弾性率G”

G’<G”液体の挙動

G’>G”固体の挙動