宇宙工学基礎松永（東工大・機械宇宙）版軌道力...

宇宙工学基礎松永（東工大・機械宇宙）

H30.12.28 版

1

軌道力学の基礎

松永三郎（東京工業大学・機械系）

第１章序論（宇宙機力学、航行力学）

1.1 Astrodynamics の定義

自然の力および人為的な力が作用することによって、人間の作った物体の空間運動に関する

学問で、人類最初の人工衛星実現から過去 60 年間ほどの歴史を持つ。但し、その理論的背景とな

る天体力学は古い。

参考：１）Celestial mechanics（天体力学）

天体の動的な運動に関する

２）Orbital dynamics（軌道力学）

軌道上を周回する物体の運動宇宙機（SpaceCraft,s/c）

３）Attitude dynamics（姿勢力学）航法(Navigation)、誘導(Guidance)、

物体の姿勢運動制御(Control)、推定(Estimation)

宇宙機

具体例：国際宇宙ステーション（the International Space Station）

通信衛星（静止、低軌道）

科学観測衛星（太陽周期軌道、極軌道）

スペースシャトル、こうのとり(HTV)

月・惑星探査機

考慮：１）どういう外力が作用するのか

地球・惑星・太陽の重力、宇宙環境（空気抵抗、電磁場、太陽輻射圧、相対論など）

２）どういう運動をするのか

軌道の推定、ケプラー軌道（２体問題の解析解（理想））、摂動解、姿勢運動

３）打上手法、軌道変更法、姿勢変更法は？

ロケット、スラスタ、運動量変換など

噴射推進機関 jet engine, ram jet

thruster（コールドガス、ヒドラジン、電気（イオン、マイクロ波など）、）

rocket（液体、固体、ハイブリッド、原子力など）

1.2 ロケットの歴史

1232 オガタイ（チンギス汗の息子）開封府を攻める時に火箭を用いた

1249 ダミエテの戦でロケット式焼夷弾の使用

1804 W.Congreve（英）ロケット弾20kg 信頼できる図面の最初

1895 P.E.Paulet 液体ロケット（ガソリン＋過酸化窒素）ペルー


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1903～1930 Kontantin.E.Tsiolkowsky（ロ）理論研究

f

oe

M

Muu ln ：Tsiolkowsky’s rocket eq.

oM ：initial Mass, fM ：final mass, u ：terminal velocity ， eu ：exhaust velocity

spe Igu / ：比推力（単位：時間、秒）

固体～200 s

液体～400 s

1923 H.Oberth（独）ガソリン＋液体 2O ，ノズル付

燃焼室圧力増 → 噴出速度増，温度減

熱エネルギーが有効に運動エネルギーに変換

1926 Goddard（米）ガス押し、タンク圧力増

距離184 ft，高さ41 ft，2.5秒間、飛ぶ

1929 Junkers JATO（jet assisted take off）

1933 Sänger 光速飛行、光子ロケット

1941～2 Werner Von Braun A-4ロケット ICBMの小型版

13ton，14ｍ，距離290km，高さ80km

エチルアルコール75％水25％＋液体 2O

推力25ton（sea level）

1943 Walter社

過酸化水素＋メチルアルコール・水化ヒドラジン

ロケット飛行機 Me163B 965km/hr

1947 Bell X-1

有人超音速飛行 Lox-アルコール

1957 ジュピター

ICBM T-3

スプートニク１，２号（ロシア、旧ソ連）

1958 ジュピター，バンガードによる人工衛星打上

1961 アポロ計画開始

1969 月面着陸

1970 東大宇宙研で人工衛星「おおすみ」

1998 ISS（国際宇宙ステーション）フェーズⅡ

2003 小惑星探査機はやぶさ、超小型衛星 CubeSat（東工大 CUTE-I・東大 XI-IV）

2009 HTV 実証機（こうのとり）

2010 小惑星探査機はやぶさの帰還、小型ソーラー電力セイル IKAROS

2011 ISS（国際宇宙ステーション）完成


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1.3 宇宙環境

単なる真空ではない。その理解は宇宙機の設計製作運用に際して極めて重要。

1.3.1 太陽

半径 7*105 km（地球の 109 倍）、質量 2*1030 kg（地球の 3.3*105 倍）

地球は第３惑星（公転半径：1.496*108 kｍ＝1.5 億 km：光速度で約 500 秒=8 分 20 秒かかる）

表層に希薄ガス状のコロナ（温度 T=100～150 万 K）：太陽風発生

（300～800km/s, 1～10 個/cm3, T=105 K）

太陽活動（11.2 年周期）：コロナホール、太陽フレア等により、太陽風増大

1 MeV 以上の高エネルギー粒子：太陽宇宙線(cosmic ray)

地球軌道上の太陽光エネルギー：太陽光に直角な平面 1cm2 あたり 1 分間に 1.95cal

= 1.36kW/m2 太陽定数(solar constant) = 1 solar（照射エネルギー単位）

1.3.2 地球周辺の宇宙環境(space environment)

・自然環境(natural env.) ：高層大気：大気モデル（密度、温度）、空気抵抗、原子状酸素

プラズマ環境

荷電粒子環境：太陽風、電子、ポジトロン、プロトン（放射線問題）、光量

子（X 線、ガンマ線）：回路設計上、要注意（Total Dose, SEE など）

電磁場環境

熱環境：機械設計上、要注意

重力場：万有引力、重力の定義、微小重力とは？

地球磁場

隕石・宇宙デブリ：近年、ますます問題化。定量的な議論が必要。

・誘導環境(spacecraft induced env.)： S/C の存在により発生、汚染(contamination)

これらは、S/C の軌道運動の摂動、姿勢運動の擾乱、構成材料や搭載機器の劣化、電子部品の誤動作

や破壊、搭乗員の放射線被曝を引き起こす。

1.4 時系と座標系

1.4.1 時系

時系（time system）：地球の自転、天体の運動、原子や分子の量子力学的な振動などの自然現象を時間

測定のための目盛りとして利用し、時刻と時間を定義する体系

・世界時 UT（Universal Time）：地球の自転に準拠した時系のことで、地球の極運動を補正した UT1、

季節変動を補正した UT2 がある。

・力学時 TD（Dynamical Time）：月や地球など天体の公転を基に一般相対論を用いて定義された時系

であり、地球中心に準拠した地球力学時 TDT（Terrestrial Dynamical Time）、太陽中心に準拠し

た太陽系力学時 TDB（Barycentric Dynamical Time）がある。この時系の前身となったニュート

ン力学に基づいた時系を歴表時 ET（Ephemeris Time）と呼ぶ。

・国際原子時 TAI（International Atomic Time）：セシウム原子のエネルギー遷移によるスペクトル線の

周波数を基準にする時系で、世界各国のセシウム時計の平均値を取って定義される。均一な時


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の流れを提供し、現在の時間の基準となるものである。各国の時計相互の比較により平均値を

取るため、現在では、後述する GPS 比較技術を用いて行われる。

・協定世界時 UTC（Coordinated UT）：地球回転に基づく UT1 と国際原子時 TAI の妥協的時系であり、

時差の違いはあるが我々が日常使っている時刻である。ちなみに日本標準時 JST（Japan Standard

Time）は UTC より 9 時間進んでいる（UTC - JST = - 9 h）。秒の間隔は TAI を用いるが、地球

の自転が一般的に減速しているために、TAI は UT1 に比較し進んでしまう。そのため、閏（う

るう）秒（leap seconds）を用いて UTC の秒を調整し、UT1 と 0.9 秒以上ずれないようにして

いる。普通は年始めに閏秒の挿入（地球自転が増速すれば削除）が行われる。2017 年 1 月 1 日

に第 27 回目の閏秒の挿入が実施され、2017 年 10 月現在、協定世界時は国際原子時よりも 37

秒遅れている（UTC - TAI = -37s）。（理科年表などを参照）。

・GPS 時 GPST（GPS Time）：全世界測位衛星システム GPS（Global Positioning System）衛星内の

セシウム原子時計と地上施設の原子時計を総合して管理される時系であり、時間刻みは 100ns

程度の小さな誤差を無視すれば国際原子時 TAI と同一である。但し、GPST は 1980 年 1 月 6

日（日）0 時 UTC に開始したので、その時の UTC と TAI の差である 19 秒の遅れがある（TAI

- GPST = 19 s）。GPST と UTC との差は閏秒の挿入と共に増加し、2017 年 10 月現在、GPST は

UTC よりも 18 秒進んでいる(UTC - GPST= - 18s)。

1.4.2 暦

・ユリウス日 JD(Julian Date)：紀元前 4713 年 1 月 1 日正午から数えた平均太陽日

・MJD(Modified Julian Date)： JD から 2400000.5 を引いた日。この変換は桁数を減じ、普通の暦

日のように始まりを真夜中にするため。

表基準元期

通常日(UTC) ユリウス日(JD) MJD 意味

1980 年 1 月 6 日 2 444 244.5 44 244.0 GPS 基準元期

2000 年 1 月 1 日正午 2 451 545.0 51 544.5 WGS-84 基準元期(J2000.0)

1900 年 3 月から 2100 年 2 月まで有効である暦変換式を示す。通常日の年、月、日を整

数 Y, M, D、時刻を実数 UT（時分秒を時に換算）で表すと、JD への変換は次式

1720981.5UT/24D130.6001INT365.25INTJD my (1)

で計算できる。但し、INT[ ]は実数[ ]の整数部分であり、実数 y, m は

2if12,1 MMmYy 　　　　

2if , MMmYy 　　　　　　　　

と計算する。逆変換に関しては、まず次式を順に計算して、

25.365/1.122INT,1537,0.5JDINT bcaba

6001.30/INT, 365.25INT b-decd 　

通常日は次のように計算できる。

0.5JDFRAC 6001.30INT edbD 　

/14INT 121 eeM


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5

10/7INT4715 McY

ここで、FRAC[ ]は実数[ ]の小数部分である。曜日も 7 を法とする算法を用いて、

7,0.5JDINTmod N

と決定できる。ここで、N=0 は月曜日、N=1 は火曜日、などである。

1.4.3 座標系

・地球中心慣性 ECI(Earth-Centered Inertial)座標系：座標原点が地球の質量中心にあり、ニュートン力

学の原理基盤である慣性系の役割をする。地球自身の公転運動ため厳密には慣性系ではないが、

地球近傍の衛星運動を記述するには十分である。典型的な ECI 系は、xy 面を赤道面にとり、x

軸正方向を春分点、z 軸正方向を xy 面に垂直な北極点方向、y 軸正方向を xyz 軸が右手系直交

座標系を成すように形成される。実際には、地球自身が真球ではないために太陽や月の重力の

影響で赤道面が不規則な運動を生じ（自転軸の歳差、章動運動）、上で定義した ECI 系は慣性

系とは見なし難い問題がある。そのために、GPS ECI系として、2000年1月1日正午UTC (USNO)

における赤道面を基準にした座標系を採用している。

・地球中心地球固定 ECEF(Earth-Centered Earth-Fixed)座標系：地上局（GPS 受信機など）の位置を記

述するために、地球の自転と共に回転する座標系である。xy 面を赤道面にとり、x 軸正方向を

経度 0 度、y 軸正方向を東経 90 度、z 軸正方向を xy 面に垂直な幾何学的北極点方向にとる。衛

星の位置や速度を ECI 系から ECEF 系に座標変換し、GPS 受信機の位置を表す経緯度と高度を

計算する。その際に、地球を記述する物理モデルを必要とする。GPS 測位等に採用されている

地球標準物理モデルは、DoD の世界測地系 1984、即ち、WGS-84 (World Geodetic System 1984)

である。

赤道面基準慣性座標 (ECI)系を T

321 iii または Tˆ ˆ ̂ kji 、軌道面基準昇交点（回転）座標系を

T

cba iii 、ここで、 ai は昇交点方向、ci は軌道面垂直方向を定義する。

昇交点方向

cs /

軌道面

赤道面

昇交点方向方向

f

ai

北極点方向bi

ci

ri

r

i

u

k

j

i

i

軌道面垂直方向（面積分方向）

図 1 ECI 系と軌道面基準昇交点（回転）座標系

近点方向


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6

u

r

ri

ti

i

ni

ai

f

cs /

軌道面

図 2 動径横断座標系と接線垂直座標系

また、図 2 のように、 ri を単位動径ベクトルに取り、 i を rc iii に取った動径横断座標系

T

cr iii 、 ti を宇宙機の速度方向単位ベクトルに取り、 ni を tcn iii とした接線垂直座標系

T

cnt iii を定義する。

このとき、各座標系間の関係は、下記のように表される。

3

2

1

31 CC

i

i

i

i

i

i

i

c

b

a

(1)

但し、

iii

iii

ii

iii

cossincoscossin

sincoscoscossin

0sincos

100

0cossin

0sincos

cossin0

sincos0

001

CC 31

(2)

c

b

a

c

r

uiu

i

i

i

i

i

i

i

i

i3

3

2

1

313 CCCC (3)

但し、

iii

uiuiuuiu

uiuiuuiu

iu

cossincossinsin

cossincoscoscossinsincoscossinsincos

sinsinsincoscoscoscossincossincoscos

CCC 313

(4)

100

0sincos

0cossin

2C,

2C 33

c

r

c

n

t

i

i

i

i

i

i

(5)

ここで、は飛行経路角(flight path angle)である（とも書く）。

座標変換などの詳細については、講義「宇宙システム工学」の資料、または、教科書「宇宙ステーシ

ョン入門」などを参照のこと。


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第 2 章２体問題

2.1 ニュートンの法則

第１法則）力が作用しない限り、質点は静止ないしは一定速度で運動する。

（慣性の法則）→ 慣性空間、慣性座標系の定義

第 2 法則）慣性座標系に対して、質点の運動は

pp

F td

d (1)

によって記述される。ここで、F：全作用力，p ：並進運動量pの時間微分

vp m ：質点の質量と速度の積（並進運動量）

慣性系を規準として時間微分を行うことに注意する。

第 3 法則）全ての作用には、向きが反対で大きさの等しい反作用が存在する。

2.2 ２体問題の定式化と物理

２つの質点 1m ， 2m

位置 1r ， 2r

仮定： 1m ， 2m に作用する力は質点の相対距離のみに依存する。

rF ˆF (2)

ここで 12 rrr

r/ˆ rr :相対方向の単位ベクトル

rrr ・r ：相対距離

運動方程式（ニュートンの第 2 法則）

Fr 22m

Fr 11m

より、 FFrr12

12

11

mm

即ち rr ˆ11

12

Fmm

ここで、21

21

mm

mm

：換算質量

力のモデル：ニュートンの万有引力

2

21

r

mmGF F 21311 skgm1067.6 G ：万有引力定数（測定精度が低い）

を用いて

rrr ˆ1

ˆ2212

21

21

21

rmmG

r

mmG

mm

mm


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8

即ち、2 体問題の基本微分方程式

03

r

rr (3)

が得られる。ここで、 21 mmG ：重力定数（測定精度は高い）

注意：

１）式(3)でr を r に変えても式は不変⇒ 1m に対する 2m の運動を与える

2m に対する 1m の運動を与える

t を t に変えても式は不変⇒ 時間反転で物理は変わらない

２）式(3)は質量 21 mm を固定原点とする単位質量 um の運動を表す。

03

rrr

mm uu

３）外力（重力）はポテンシャルで表せる。

r

r

V ，

rV

（工学では無駄を省くために符号を逆に取る場合あり）

ここで、重力ポテンシャルは無限遠点を 0 となるように定義

0limlim

rV

rr

４）質量中心という考えは運動方程式を導く際に必要としない。

５）導出に 1m ， 2m は質点という仮定が必要であった。地球と月の関係は大きさを考えると質点近似で

きないように見える。 ⇒ 球対称質量分布を持つ球対称物体（半径 R）でも式(3)は成立する。但し、

Rr

ニュートンはこのことを証明できたので、ハレーに薦められて「プリンキア」を執筆、出版したと言

われている。

６）2 つの質体 1m ， 2m の質量中心回りについて、 1m ， 2m それぞれの運動を考えるとき、それぞれは、

見かけ上、重力定数が異なる運動方程式に支配される。詳細については、2.5 節を参照せよ。

問１半径 R 、質量が球対称密度分布 Rrr 0, である球対称物体が、質量中心から距離 a （ただ

し、a > R）の点に作る重力ポテンシャルは

a

Gm

となることを示せ。ここで、G は万有引力定数であり、球対称物体の全質量 m は

R

drrrm0

24 ：

即ち、球対称物体の質量中心に置かれた、質量が全質量 m に等しい質点の作る重力ポテンシャルと同

等である。

同様にして、任意の物体によって球対称物体（全質量 m）に働く重力は、球対称物体の質量中心にあ

る全質量 m の質点に働く重力と等しいことも示すことができる。

つまり、ニュートンの２体問題は、太陽、地球、月などの球状物体に高い精度で適用可能であること

を意味している。（別紙「球対称物体の重力ポテンシャル」参照）

備考：微小重力とは？

１）科学者や工学者が微小重力とみなすのは、地球表面の重力加速度の 100 万分の１、すなわち、 G101 6

程度である。ここで Gは地球表面の重力加速度。地球から離れることで、地球との万有引力を減少させ

て、微小重力環境を実現するには、どのくらいの距離を離れる必要があるか。


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解：地球表面上の重力加速度： 2-

2G1 r

R

GM

微小重力： 232

66

101101G101

R

GM

R

GM

必要な距離 R3101 ：地球半径 6370km の 1000 倍の 6,370,000km ＝＞非現実的

ちなみに、月までの距離は、地球半径の約 60 倍の 384,401km。この距離だけ地球から離れた場合の重力

加速度は、

G103

3600

G

360060

4

22

R

GM

R

GM

月表面の重力加速度は、 G178.06

G なので、月の質量による寄与は、地球のそれよりも、600 倍大きい。

また、月表面の重力と同じ値となるような地球からの距離は、

22245.2666

G

R

GM

R

GM

R

GM より、地球半

径の約 2.45 倍。

さらに、地球の自転角速度と同じ公転角速度を持つ静止円軌道の高度は 35,786km なので、軌道半径

は約 42,156km (=35,786 + 6370)となり、地球半径の約 6.62 倍。この地点での重力加速度は、

G023.0

8.43

G

8.4362.622

R

GM

R

GM

問）国際宇宙ステーション ISS の軌道のノミナル高度は 400km、GPS 衛星のそれは 20,200km であると

き、それぞれの地球の重力加速度を求めよ。

解）地球からの距離は、それぞれ、1.06 倍、4.17 倍なので、それぞれ、0.89G, G057.04.17

G

２）地球を周回する宇宙機の内部は、微小重力と言われているが、確かに同じような経験をすることが

できる。しかし、違いもあり、多くの加速度が宇宙機の運動に影響を与える。例えば、軌道変換スラス

タ、内部振動、大気抵抗、宇宙飛行士の運動などである。

「地球の引力と軌道上を回る宇宙機に働く遠心力が等しく、そのバランスで微小重力が生じる」と言

われる。この説明について、少し、考察しよう。

ニュートンの第 1 法則によると、「力が働かない限り、すべての質点は、停止している、または、直

線状に一様な速さで進む」はずである。しかし、地球の周りを回る宇宙機は、明らかに、直線等速運動

をするのではなく、楕円上を（可変速）運動している。この運動（楕円）が、力が働かない場合に生じ

る運動（直線）と異なる。つまり、宇宙機の位置変化は常に向きを変えるので、ニュートンの第 1 法則

によれば、宇宙機には常に力が働いていることになる。実際、地球の引力が宇宙機に働いている。

次に、遠心力というのは、宇宙機に働く本当の力ではない。宇宙機の運動を計測する座標系によって

異なる「見かけの力」と呼ばれているものの一種である。「見かけの力」は、宇宙機の位置変化を計測

する座標系（の並進の加減速運動および回転運動）に依存する。

ニュートンの第 2 法則によれば、「真の力は、慣性質量と、慣性系で計測した加速度の積に等しい」。

今の場合、慣性系から計測すると宇宙機は引力によって地球回りに楕円運動をし、その結果、加速度を

生じるが、宇宙機の運動に連動して地球回りに公転運動する回転座標系（軌道参照系、HLHV など）に

おいて、宇宙機の慣性系での位置変化である加速度を、回転座標系に変換して表現し、慣性質量を掛け

て式変形（慣性力表現）することで、見かけ上、遠心力と呼ばれる力を抽出できる（円運動の場合。本

当の楕円運動の場合は、他の見かけの力も加わる）。言い方を変えれば、宇宙機が楕円運動という時間

の関数として決められた軌道を取ることを、宇宙機は位置の拘束条件（今の場合、楕円運動）を満たさ

ないといけないと考え、力がない場合の等速直線運動とは異なる拘束条件を満たすように動かすために、

その点と一緒に動く座標系で見たときに生じる「見かけの力」である。

引力以外に外力がなく、質量中心回りに自転しない場合、質量中心において、引力と見かけの力の和


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がゼロとなり、それを無重力と呼ぶ。この運動を特に自由落下運動とも呼ぶ。

宇宙機が、引力によってひっぱられ、自由落下運動しているために、微小重力環境を生み出している。

理想的には宇宙機の質量中心は無重力になるが、外力が働くと無重力から外れる。また、宇宙機に固定

された参照点が質量中心以外の場合、宇宙機が質量中心回りに自転をしたりすると、その点にて、自転

による遠心力（見かけの力、拘束力）が働く。

微小重力の定量的な定義は、一例として、参照点に働く抗力である。これにより、詳細な解析が可能

になる。別紙（微小重力問題）参照。

地球表面のある点の重力加速度は、基本的には、地球との万有引力と地球の自転による遠心力の和に

より、定義される。なぜなら、計測点が地球に固定されており、地球の自転とともに回転しているから

である。したがって、緯度の違いにより、重力加速度は方向と大きさが異なる。ただし、引力と比較し

て、地球の自転の影響はかなり小さい。地球を周回する宇宙機は、この地球回りの公転運動による影響

が大きくなり、自由落下条件を満たすと、微小重力環境を発現する。

2.3 運動の積分の定義

n 次元 2 階常微分方程式

t,,xxFx (4)

nx

x

x

2

1

x ，

nF

F

F

F2

1

txx が式(4)の解のとき、任意の関数 tG ,,xx で

tG ,,xx ＝一定（時間に対して不変）

となるのを運動の積分と呼ぶ。

例 2 体問題では、まず、エネルギーと角運動量が運動の積分となる。他にもある（後述）。

もし式(4)で 2n 個の積分が存在すれば、系は、完全可積分と呼ばれ、完全解を持つ。

２体問題では、

3

2

1

x

x

x

x ， xx

F3

rx ：位置ベクトル

とすると式(4)を得る。 3n なので、 6322 n 個の積分が完全解を持つために必要。

2.4 2 体問題の積分

簡単のため、 1m を原点とする。（2.1 の注より、 2m 、または、全系の質量中心を原点にしてもよい）

r ：位置ベクトル

r：速度ベクトル

c ：面積分

固定原点、基面、基方向（基面内）

1i ：基方向、3i ：基面垂直方向、 132 iii

式(3)は座標系を決めずに導かれた ⇒ r をどう表すか（様々あり）

iiiiirTT

xxx xx332211 ，

3

2

1

i

i

i

i ：ベクトル配列、

3

2

1

x

x

x

x

：成分行列


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11

2.4.1 面積分 c

基礎式は

03

rrr

(5)

r (5)を行うと

0rr

ここで 0rr を用いた。これを変形して、 0dt

d の形にすることを試みる。

rrrrrrrr dt

d ⇒ 0rr

dt

d

即ち

crr 一定 (6)

面積積分(area integral)と呼び、これが一定であることから、角運動量保存則を表す。

特に、c を角運動量ベクトル（軌道面ベクトル）と呼ぶ。

tt rrcc , 一定

の幾何学性質を調べよう。

0 rrrcr ・・

0 rrrcr ・・

これらから、c はr とrについて垂直、したがって運動の軌道面に垂直である。

言い換えれば、運動の軌道面が存在し、その方向は一定である。

特に、

0332211 cxcxcxcr・

は原点を含む平面の方程式を表す。c は平面の法線ベクトル方向。

2.4.2 エネルギー積分 h

・r (5)を行うと

03

rrr

r

・

式(6)を導いたのと同様に、

rrrrrrrr

rrrr

・・・・

・・

332

2

1

rdt

d

dt

d

rdt

ddt

d

→（問）

であることに注意して、

r

rr ・

2

1一定 h (7)

となる（注：冨田の本では2

h としている）。これは（単位質量当たりの）エネルギー保存則を表し、

rr ・2

1：運動エネルギー

r

：位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）：万有引力に起因

h ：全エネルギー、2 体エネルギー（ケプラー・エネルギー）

と呼ぶ。

速度の大きさ v は、式(7)より


H30.12.28 版

12

h

rv

22 rr

だから

h

rv

2

と求められる。

無限遠（ r ）での値は

0if2

0if0

0if:21

hh

h

hh

v

虚数

注意：

双曲線軌道

放物線軌道

楕円軌道

0

0

0

h

h

h

であることが示される。特に、h < 0 のとき、実解がないので無限遠は物理的に存在しない、即ち、軌道

は有限であることを意味する。万有引力による位置エネルギーの影響が大きく、遠くに離れようとして

もある地点で動径方向速度が逆転してもとの方向に戻り出し、結果として、周期的な運動をする。

双曲線軌道(h > 0)の場合、無限に離れて脱出でき、その無限遠での速さ v を双曲線余剰速度、2

3 vC

を打ち上げエネルギーと呼び、惑星間軌道の設計に重要な指標として使用される。

ちなみに、a を半長径（長半径）とすると、（証明は後述）

ah

2

ただし、a > 0：楕円、 a ：放物線、a < 0：双曲線

したがって、

arv

12 ただし、a > 0：楕円、 a ：放物線、a < 0：双曲線

特に、双曲線軌道では

22

vr

v

ここで、a

v

2.4.3 ラプラス（レンツ）積分 f

角運動量式(6)基礎式(5)を行うと

03

rrrrc r

ベクトル恒等式 zxyzyxzyx より

03

rrrrrrrc r

上式を時間の全微分形に変形する。まず、 c 一定より

rcrc dt

d

また

rrrrrrr

3rrdt

d ＝＞確認せよ。

より

0

rrc

rdt

d

即ち

rrcr

一定 εf (8)


H30.12.28 版

13

上式をラプラス（レンツ）積分と呼ぶ。 f をラプラスベクトル（または fε として εを離心率ベクト

ル）と呼ぶ（符号は後の便利のため）。歴史的には J.Hermann(1710)が先に見い出している。

式(6)より

frrrr r

2.4.4 積分間の関係

１）c は f に垂直：

c ・(8)より

fcrcrcc ・・・ r

即ち

0fc・ (9)

f は c に垂直であり、c は軌道面に垂直だから、 f は軌道面内にある。

注意：

rf , のなす角をとすると、その内積は

cosfrrf

一方、式(8)より

rcr 2rrcrf

したがって、

cos1cos1

/2

e

p

f

cr

ここで、

fe

cp ,

2

と置いた。

この式は幾何学における円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）に対応している（後述の注意３参照）。

特にを真近点離角、e を離心率、p を半直弦（ 2/ のとき、r = p）と呼ぶ。

f の方向は、 0 の方向、すなわち、軌道の動径 r の最小値を与える点（焦点 F に最も近い点）で

ある近点の方向を示している。

これは、3 つの角（オイラー角）

近点引数

軌道傾斜角

昇交点角

　

:

:

:

i

で表すことができる。右図は、各軌道を天球面に射影

した場合の位置関係を示す

また、離心率ベクトルε：

rrcfεr

の大きさは、 ef

fε となって、離心率に等しい。

２）c ， h ， f の関係

rrrcrrcrcff 2

22 2

rrf

ベクトル恒等式 zywxwyzxwzyx より

近点方向


H30.12.28 版

14

（第 1 項）＝ rrrcrcccrrrcrc 2c・

ここで、 ccrc ・　　・ 2,0 c を用いた。

また zyxzyx より

（第 2 項） 2222c

rrr

crrrcr

（第 3 項） 2

2

2

rrr

したがって、

222 2

rcf rr

( )内は 2h に等しいので

222 2 hcf

または

2

22

12

f

h

c (10)

注意１）式(10)は、 21 eap とも書ける。ここで、h

a2

となり、円錐曲線の幾何学関係

から、半長径（長半径）に対応している。書き換えると、2 体エネルギー： a

h2

以上より、式(6)，(7)，(8)で与えられる積分 c, h, f は、式(9)と(10)により、お互いに独立ではない。

積分の個数は

c：3 個、h：1 個、f：3 個の計 7 個

一方、拘束条件の個数は

式(21)：１、式(24)：１の計 2 個

したがって、独立な積分の個数（自由度）は、７－２＝５個であり、完全積分にはもう 1 個必要である。

注意２） 21 eap に関して、 p は半直弦であり、常に正。したがって、下記の注意 3 により

a) 0,100,01 2 aeae ：楕円

b) 0,10,01 2 aeae ：双曲線

c) aep ,1,：確定：放物線

の 3 通りが存在する。

注意３）軌道面内のベクトルを表現するための直交座標系 x,y として、f または ε方向を x 座標、それに

垂直に y 座標、原点を軌道運動の原点（焦点）とすると、

222,,cos yxrexrx rε

式(#)より

exprrpexrprc

2

rε (#1)

と上述の 21 eap も用いて、次の結果を得る。

1) 1e のとき

222

2222222222

22222222

1

2111121

12

aexae

xaexeaexeexeaea

xepexpxexpxry


H30.12.28 版

15

だから

1

1 22

2

2

2

ea

y

a

aex

2) 1e のとき

x

pppxpxxpxry

222222222

すなわち、

a) 10 e のとき、 0a に注意して、

11 22

2

2

2

ea

y

a

aex :

中心 0,aeC 、x 方向半径 a 、y 方向半径21 eab

の楕円；焦点 F(0,0)

極座標： sin1,cos 2eayaaex

特に、e = 0 のとき、

1

2

2

2

2

a

y

a

ax : 中心 0,aC 、半径 a の円。

極座標： sin,cos ayaax

b) 1e のとき、 0a に注意して、

1

122

2

2

2

ea

y

a

aex：

中心 0,aeC 、漸近線方向 11

tan 22

e

a

ea

の双曲線；焦点 F (0,0)

e

e

e

1sin,

1cos)

2 無限遠点：

1tantantan 2 e漸近線方向：

極座標： sinh1,cosh 2 eayaaex

注意）他方の双曲線： sinh1,cosh 2 eayaaex

虚焦点 F’ (-2ae,0)

c) 1e のとき、 0p に注意して、

x

ppy

222

or 22

2 p

p

yx ：頂点

0,

2

pA の放物線

ここで、式(#1)より

一定e

p

e

rx (#2)

y 軸から x 軸正方向にe

pだけ離れた x 軸に垂直（y 軸に平行）な直線

を directrix と言う。式(#2)の x が軌道上の点 P の y 軸からの距離である

ので、式(#2)は、点 P と directrix までの距離がe

rであることを示す。


H30.12.28 版

16

Tv

Tr

0r

T

0v

0

したがって、点 P と焦点 F との距離（動径）が r なので、点 P と directrix

までの距離がe

rに注意すると、それらの長さの比が常に一定値 e となる。特に、放物線の場合 e = 0 な

ので、 prx 、したがって、上記の比は１となる。

2.4.5 運動の積分の今までのまとめ

１． 7 個の運動積分（定数）

frrc

rr

crr

r

hr

2

1

２． 2 個の拘束条件

2

22

12

0

f

h

c

fc

または

21

cos1

eap

e

pr

備考：対称性により、力学性質が決まる：

中心力 → 系の回転対称性 ⇒ 角運動量保存則一定c

時間を陽に含まない → 時間の平行移動に関する対称性 ⇒ エネルギー保存則（h = 一定）

隠れた対称性 ⇒ ラプラスベクトル f の保存（特に方向）

例題離脱問題

角度）方向の局所水平からの最終飛行経路角（速度

さ最終距離，速度の大き

初期位置の距離

　

・，

　　　　・

T

21

21

000

TTTT vr

r

vv

rr

⇒

o

ov

を求めよ。

解）エネルギー積分一定T

T

r

v

r

vh

22

2

0

2

0

0

2

02

2rr

vv

T

T

面積積分（角運動量）一定 TTrc vrv00

TTT

TTT

vrvr

vrvr

coscos

2sin

2sin

000

000

∴

TTT

vr

vr coscos

00

1

0

)2(

0

)1(

0 ，

この解はアポロ宇宙機に搭載されたロケットエンジンのサイズを決めるのに使用された。

2.4.6 ケプラー方程式


H30.12.28 版

17

第 6 番目の積分を求める。

(6)より rrrrrrrrrrrrcc 2c

(7)より r

h2

2 rr

一方， rr dt

dr

dt

d 2 から

rr rr (11)

したがって

222 22 rr

rhrc

(12)

式(12)を rrft dd の形にして、時間と積分定数の関係を求めるのが目標である。

ここでは 0h （楕円）と仮定する。その他の場合は、後述の備考を参照せよ。

注） 0h 楕円

0 放物線

0 双曲線

式(12)より

22222

2222

22

hh

c

hrh

h

c

h

rrhrr

(13)

注意：楕円について、近点以降、半周期後の遠点に行くまでは 0,0 rr 、遠点通過後、近点に近づ

くまで 0,0 rr なので、 rrは周期的に両符号を取る。

式(10) h2

2

222

122

f

hh

c or

222

222

h

f

hh

c

を用いて、式(13)は

22

222

hr

h

fh

dt

drr

∴ 22

22

2

hr

h

f

rdrdth

(14)

変数変換 h

rz2

， drdz

dz

zh

f

hzdth

2

2

2

2/2

両辺は積分できて

hf

z

hz

h

fth

2/cos

22const.2 12

2

(15)

証明）下記の微積分公式を用いる。

const.d,d

d 22

2222

22

zuz

zu

z

zu

zzu

z


H30.12.28 版

18

.constcosd1 1

22

u

zz

zu

後者について、特に、 02

h

fu として、 uzuzu 022

変数変換： ,dsind,cos xxuzxuz x の取り得る範囲： x

ここでは、不定積分を求めるために、次の xu sin の値が正と仮定する。

xuxuxuxuzu sinsinsincos1 222222

すなわち、 0u に注意して、2

3

20sin

xx （第 2、第 3 象限）に限定しておく。このとき、

与式の左辺： .constcos.constd1dsin

sind

1 1

22

u

zxxx

xu

xuz

zu

証明終）

定義（離心近点離角 E）：

hf

zE

2/cos 1

または Eh

fz cos

2 (16)

EE 22 cos1sin より、次を採用する（符号は議論の都合で選択している：上記の証明において、

h

fuEx

2, に対応）。

∴ 2

2

2

2sin z

h

f

f

hE

(17)

以上より

Eh

Eh

fth

2sin

2.const2

または

Ef

EKthh

sin22

ここに、 K ：積分定数（6 番目）

さらに、h

a2

,

fe 10,0 ea と置き、符号を整理することで、 0h 、即ち、楕円の場合

のケプラー方程式(Kepler’s equation)が求められる。

EeEKta

sin3

(18)

特に、 ptt ：近点通過時刻を定義すると、この時刻で 0E だから、式(18)より

ptK

さらに、次の平均近点離角を定義する。

0000

3

Mttnttnttn

ttntta

M

p

pp

3an

は平均速度(mean velocity,mean angular velocity)、 0t は、観測時刻（元期 epoch）である。する

と、楕円の場合のケプラー方程式は

EeEM sin (19)


H30.12.28 版

19

この式から、位置（離心近点離角 E 、真近点離角）と時刻（平均近点離角 M）の関係が求められる。

0cos1d

d Ee

E

M

これから、M は E の単調増加関数なので、M に対して E は唯一定まる。

また

EeaEf

hhzr cos1cos1

22

(20)

こうして、動径 r を離心近点離角 E でも表現できる。

さらに、式(18)より、微分関係が得られる。

EEeta

dcos1d3

arar

a

Ee

aEt

E

1

cos1d

d3

3

(21)

離心近点離角 E 、真近点離角の関係は、楕円の場合

2

tan1

1

2tan

E

e

e

(22)

となる（ガウスの公式）。

楕円の場合のガウス公式の証明）幾何学的にも証明できる（3 章付録１参照）が、ここでは別証を示す。

離心近点離角 E の定義式(16)、または式(20)と円錐曲線式

cos1

1

cos1

2

e

ea

e

pr

から、

cos1

cos

cos1

11

11

1cos

2

e

e

e

e

ea

r

eE

(23)

または、 Ee

eE

cos1

coscos

(24)

これより

Ee

Ee

Ee

Ee

Ee

Ee

Ee

eEEe

Ee

eEEe

Ee

eE

cos1

sin1

cos1

sin1

cos1

cos11

cos1

coscos1

cos1

coscos1

cos1

cos1cos1sin

2

22

2222

222

2

と計算できるが、符号の判別が必要である。以下の別誘導でも示すように、+符号を採用する。すなわ

ち、 Esin,sin は同符号であり、幾何学的にも正当化される。

で表示された動径 cos1 e

pr

を時間微分し、 pcr 2

に注意すると

sin

sinsin

cos1

2

2p

erp

ee

e

pr

(25)

同じく、E で表示された動径の式(20）を時間微分し、式(21)に注意すると、

Ee

E

aeE

r

aeEEaer

cos1

sinsinsin

(26)

式(25)と式(26)を等値して、 21 eap と e < 1 に注意すると


H30.12.28 版

20

Ee

Ee

Ee

Eap

r

Eap

cos1

sin1

cos1

sin/sinsin

2

(27)

式(24), (27)を用いて、

2tan

1

1

1cos

sin

1

1

1cos1

sin11

cos1cos

sin1

1cos1

coscos1

sin1

1cos

sin

2cos2

2cos

2sin2

2cos

2sin

2tan

2

2

2

E

e

e

E

E

e

e

Ee

Eee

EeeE

Ee

Ee

eEEe

Ee

または

2

tan1

1

2tan

e

eE

(28)

これより、一般に、 E

証明終）

備考：双曲線（ 1,0 eh ）の場合：

一定 rrc 、 222 22 rr

rhrc

0h

⇒ 2222 22 crhrrr

h

cr

hrhrr

22

22

h

c

hhrh

2222

222

注意：双曲線について、近点以降は、常に、 00,0 rrrr となるので、上式では+符号を採用し

ている。

式(10)より

22

12

f

h

c 11 22 eaeap

を用いて

222

122

f

hh

c or

222

222

h

f

hh

c

と変形できるので、

∴

22

222

h

f

hrh

dt

drr

22

22

2

h

f

hr

rdrdth

変数変換：h

rz2

， drdz


H30.12.28 版

21

2

2

2

2

2

2

2

2

h

fz

dz

h

h

fz

zdzdth

上式は積分できて

∴

hf

hfz

hh

fzth

2/

2/sinh

22const.2

22

1

2

2

証明）下記の微積分公式を用いる。

const.d,d

d 22

2222

22

uzzuz

z

uz

zuz

z

.constsinh.constcoshd1 22

11

22

u

uz

u

zz

uz

後者について、特に、 02

h

fu として、 zuuzuz ,022

今、 uz と仮定して、

変数変換： ,dsinhd,cosh xxuzuxuz x の取り得る範囲は実数全体： x

ここで、不定積分を求めるため、 0u に注意して、次の 0sinh xu となるように、x の取り得る範囲

を 0x に限定する。

xuxuxuuz sinhsinh1cosh 222222

このとき

与式の左辺： .constcosh.constd1dsinh

sinhd

1 1

22

u

zxxx

xu

xuz

uz

また、公式： 1sinhcosh 22 xx より、今、 0sinh x に限定しているので

u

uzx

u

uz

u

zxx

221

222

2 sinh11coshsinh

証明終）

定義（双曲線の場合の離心近点離角 H）：

2

2

2

2sinh

h

fz

f

hH (29)

注意）式(29)と式(17)より、 EiEH 1 の関係がある。

そうすると、

∴ Hh

Hh

fth

2sinh

2const.2

∴ HHf

Kthh

sinh22

：ケプラー方程式（双曲線） (30)

ここで、 02

h

a

， 1

fe に注意して、

HHeKta

sinh3

(31)

特に、 ptt ：近点通過時刻 0 H とおいて、積分定数 K は

ptK

双曲線の場合の平均近点離角を


H30.12.28 版

22

00003Mttnttnttntt

aM pp

(32)

と定義することで、双曲線の場合のケプラー方程式は

HHeM sinh (33)

とかける。ここで、双曲線の平均運動： 3a

n

(34)

e > 1 に注意して

01coshd

d He

H

M

であることから、M は H に関して単調増加関数であり、M が指定されると、H は唯一解を持つ。

次に、公式

2

22

2

2

22 2

2

21sinh1cosh z

f

h

h

fz

f

hHH

より

zf

hH

2cosh 、

hrH

h

fz

2cosh

2

であるから

1coshcosh1cosh12

HeaHeaH

f

hr

（双曲線） (35)

また、式(31)を時間微分して 1cosh3

HedH

dt

a

a

r

、即ち

arar

a

dt

dH

13

(36)

ここで、双曲線の円錐方程式

cos1 e

pr

、

02

1

01 22

ha

fe

eac

p

(37)

離心近点離角 H と真近点離角との関係（双曲線の場合のガウスの公式）は、

2

tanh1

1

2tan

H

e

e

(38)

双曲線の場合のガウスの公式の証明）楕円の場合と同様にして証明できる。まず、式(28)より、

cos1

cos1

cos1

11

11cosh

2

e

e

ee

e

ea

rH

(39)

または

1cosh

coshcos

He

He (40)

次に、式(35)を時間微分して、式(36)に注意して

1cosh

sinhsinh

1sinh

He

H

aeHea

arHHaer

(41)

表示の式(25)と等値して、 11 22 eaeap に注意すると


H30.12.28 版

23

1cosh

sinhsin

He

H

ae

pe

即ち、 1cosh

sinh1sin 2

He

He (42)

式(40), (42)を用いて、e > 1 に注意して

2tanh

1

1

1cosh

sinh

1

1

1cosh1

sinh11

11cosh

cosh1cosh

sinh1

1cos

sin

2tan

2

H

e

e

H

H

e

e

He

Hee

He

HeHe

He

または

2

tan1

1

2tanh

e

eH (43)

証明終）

放物線（h=0, e=1）の場合は、放物線の離心近点離角を D として、放物線軌道のケプラー方程式：

6

3DDrM p (44)

ここで、平均近点離角Ｍ： pttnM 、近点距離2

prp 、平均運動 n (43)

また、離心近点離角 D と真近点離角の関係： p

D

2tan

(44)

証明）放物線軌道の場合、 ae ,1 となるが、半直弦 p は設定できる。定数 01 2eap

このとき、近点距離21

p

e

prp

(45)

とおける。円錐曲線表示より、e = 1 に注意して

222

2

122

tan122

sec2

2cos2

22cos1

cos1u

ppppppr

(46)

upur (47)

ここで、

2

tan

u (48)

とした。式(12)より、 0h に注意して

22222 22

2 rrrrrr

hrc

(49)

一方、 pc 2 だから

prrr 222 (50)

式(46),(47) を上式(50)に代入して

pupuup

up

2

2

22 12

12

2


H30.12.28 版

24

222

3

14

uup

0d

d

t

uu 、すなわち、 0

d

d

t

を採用して

t

uu

p

d

d1

2

23

(51)

uup

t d12

d 23

(52)

積分して

32const

33u

up

Ktt (53)

近点通過時刻を pt とすると、 ptt のとき、 02

tan,0

u だから、 Ktp 0 、すなわち、

ptK (56)

2tan

3

1

2tan

2

33

ptt p

（放物線の Kepler 方程式） (57)

ここで、放物線の離心近点離角 D、平均近点離角 M、平均運動 n を

n

ttnttM

rpD

pp

p2

tan22

tan

(58)

と定義すると、放物線の Kepler 方程式は次式のようになる。

6

3DDrM p (59)

右辺が D の３次多項式なので、実数 M を与えると、必ず、唯一解 D が存在する。

備考：

放物線の離心近点離角 D、平均近点離角 M、平均運動 n を

3

3

2

2

2tan

pn

ttnttp

M

D

pp

(58)

と定義し、放物線の Kepler 方程式を次式のようにする流儀もある。

3

3DDM

証明終）

注意）円錐曲線式

ereape

pr p

11,

cos1

2

は、下記のように式変形できる：


H30.12.28 版

25

2

2

2

2

2

2

22

222222

1

1

2

2tan1

2tan1

2tan

1

11

2cos1

2sin

1

1

2cos

1

2sin1

2cos1

1

2sin

2cos

2sin

2cos

1

cos1

1

u

upr

e

er

e

er

ee

er

e

er

e

err

ppp

ppp

ここで、

e

e

1

1

放物線に近いとき、 0 なので、

2222

2

2

1122

tan12

tan1

2tan1

2tan1

uup

rrr pp

2.5 ２体問題の質量中心回りの運動について

以上では、質点１に対する質点 2 の相対運動（質点 2 に対する質点 1 の相対運動も同様）について、

考察してきた。ここでは、質点１と 2 の質量中心についての、質点１と 2 それぞれの運動がどうなるか

を見てみよう。２つの質点の質量をそれぞれ、 1m ， 2m 、位置ベクトルを 1r ， 2r とすると、それぞれの

ニュートンの運動方程式は、

323211 :rr

Gmmrr

r (1)

313122 :rr

Gmmrr

r (2)

ここで、質点 1 に対する質点 2 の相対ベクトル

12 rrr (3)

質点の重力定数をそれぞれ次のように定義した。

2211 , GmGm (4)

式(1), (2)より、質点１に対する質点 2 の相対運動を記述する 2 体問題の基本微分方程式が得られる。

0r

r 3r

、 2121 mmG (5)

これに対して、各質点の質量中心回りの相対運動を考える。まず、２つの質点の質量中心の位置ベク

トルは

2211

21

2211 rrrr

r kkmm

mmCM

(6)

1,, 21

21

22

21

11

kk

mm

mk

mm

mk (7)

各質点の質量中心回りの相対ベクトルは、それぞれ

rrrrrrrr 212222111,11 1: kkkkm CMCM (8)

rrrrrrrr 112122112,22 1: kkkkm CMCM (9)

このとき、式(8)の相対ベクトルを時間微分して


H30.12.28 版

26

rrrr 21,1 kCMCM (10)

式(1), (5)を用いて

3232

rk

rCM

rr

r

22 k なので

0r

r 322

rkCM (11)

すなわち、質量中心は、外力が働いておらず、等速直線運動をする。

CMCMCM t ,0,0 rvr (12)

また、式(8),(9)より、

vkvkrkkr CMCMCMCMCMCMCM 2,1,12,122,1,1,1,1 ,, rrrrrrrr (13)

vkvkrkr CMCMCM 1,21,21,2 ,, rr (14)

これらを用いて、各質点の運動方程式(1),(2)は、それぞれ

0r

r 3

,1

,1

,2,11 :CM

CM

CMCMr

m (15)

0r

r 3

,2

,2

,1,22 :CM

CM

CMCMr

m (16)

ここで、等価重力定数を次のように定義した。

221

3

23

2,2mm

GmkCM

(17)

221

3

13

1,1mm

GmkCM

(18)

注意）上記の関係式は添字に間して、1 と 2 を入れ替えれば、一方から他方が導出される。

さて、運動方程式(15),(16)を見ると、基本微分方程式(5)と同じ形式であるが、重力定数項が異なる。

したがって、解として円錐曲線を持つことは明らかであるが、それぞれの運動積分が同じであるとは限

らない。これらについて調べよう。運動積分は、前節より

frrc

rr

crr

r

hr

近点方向保存　　

エネルギー保存　　

角運動量保存　　

2

1 (19)

である。まず、角運動量保存について、質量中心回りの運動については

ckck

ckckkkk

CMCM

CMCMCMCM

2

1,2

2

1,2

2

2,1

2

2

2

222,1,1,1

,

,

cc

crrrrrrc (20)

エネルギー保存則については

hkh

hkrk

kk

rh

CM

CM

CM

CMCMCM

2

1,2

2

2

2

3

22

2

,1

,1

,1,1,12

1

2

1

rrrr (21)

ラプラスベクトル f については


H30.12.28 版

27

ff

fr

crr

crr

crf

3

1,2

3

2

3

2

2

23

2

2

22

,1

,1

,1,1,1,1

k

kr

krk

kkkk

r

CM

CM

CM

CMCMCMCM

(22)

特に、離心率ベクトル /fε については

ee

eek

k

CMCM

CMCM

CM

CM

CM

,2,2

,1,13

2

3

2

,1

,1

,1

,

,

εε

εεfff

ε (23)

すなわち、離心率はどちらも同じで、基本解と同じ値 e を取る。

半直弦

2cp については、

pkp

pkc

p

CM

CM

CM

CM

1,2

2

,1

2

,1

,1

(24)

半長径h

a2

については

aka

akh

a

CM

CM

CM

CM

1,2

2

,1

,1

,12

(25)

半長径の比をみると、

21

1212,2,1

1:

1:::

mmmmkkaa CMCM (26)

すなわち、半長径は、それぞれの質量の逆数に比例している。

質点 1 を主星、質点 2 を衛星とすると、通常、 21 mm なので、

01

111

1

1

2

12

12

21

22

1

2

1221

11

m

m

mm

mm

mm

mk

m

m

mmmm

mk

と近似できる。


H30.12.28 版

28

3 章ケプラーの法則

Kepler.Johannes(1571-1630) 師は Tycho Brahe

第１法則）惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円

第２法則）太陽と惑星を結ぶベクトルの掃面積は単位時間当り常に等しい→1609

第 3 法則）惑星の周期の 2 乗は半長径の 3 乗に比例する→1618

その他の主な業績

１）望遠鏡の発明、光学の理論

２）無限小算述

３）天文計算における対数の使用

４）円錐曲線の理論への貢献

５）多角形、多面体に関する仕事

3.1 ケプラーの第 1 法則

・r ラプラス積分を行うと

frrrrcr ・・・ r

rrc ・ cosrf

2c

：位置ベクトルr とラプラスベクトル f のなす角

∴

cos1cos1

2

e

p

f

c

r

(1)

ここで

2cp ：半直弦（semi-latus rectum, semi-parameter） (2)

fe ：離心率（eccentricity） (3)

式(1)は円錐曲線を表す。円錐曲線については、後継の付録１を参照せよ。

幾何学関係より 21 eap 10 e

一方， 2

22

112

eapf

h

c

(4)

h

a2

：長半径 a はエネルギーh のみに依存する。 (5)

逆に、a

h2

：エネルギーh は長半径 a のみに依存する。 (6)

0 のとき


H30.12.28 版

29

u

r

ri

ti

i

ni

ai

f

cs /

軌道面

eae

ea

e

prp

1

1

1

1

2

：近点距離 peri-center distance, perifocus (peri:近い) (7)

楕円軌道の場合、のとき

eae

pra

1

1：遠点距離 apo-center distance, apofocus (apo:遠い) (8)

特に、地球中心を焦点とするとき、それぞれ、近地点 perigee、遠地点 apogee とよぶ。また、

pa

pa

rr

rre

、

21 e

pa

、

ap r

e

r

ep

11 (9)

さらに、

調和平均相乗平均相加平均 :2

,:,:2

1

pa

pa

paparr

rrprrbrra

(10)


LVLH 座標系を定義する：

局所垂直局所水平座標（LVLH, Local Vertical, Local Horizontal frame）

r̂ θ̂

極座標表示 ),( r

θrθrr

rr

ˆˆˆˆ

ˆ

vvrr

r

r

(11)

ここで

rcθi ˆˆˆ ：局所水平方向の単位ベクトル

cc /ˆ cci ：軌道面垂直方向の単位ベクトル

rr /ˆ rri ：局所垂直方向の単位ベクトル

)ˆ,ˆ,ˆ( cθr ：右手直交系方向の単位ベクトル

cr iii ,, ：動径横断座標系（p.5 参照）

cθrrrrc ˆˆˆˆ 2 rrrr

∴ 一定 2rc => 角運動量保存則

一方、面積レート dt

dr

dt

dA 2

2

1

) rrrA2

1

2

1高さ底辺

drAdA 2

02

1lim

⇒ 一定 cdt

dA

2

1 (12)

したがって、

面積法則：軌道上の任意の時間において、その間に動径の掃く面積は常に等しい。


楕円軌道 0h を考える。 2.4.6 節の式(18)を再掲すると


H30.12.28 版

30

dEEeadta

cos1

(13)

または

Ee

n

Ee

a

dt

dEE

cos1cos1

3

(14)

式(14)を積分すると時間と E の関係が陽に求められるが（後述）、ここでは、式(14)を 1 周期分だけ積

分する。 t： T0 ：周期， E ： 20 に注意して

2

0

3

0cos1 dEEe

adt

T

3

2a

T (15)

即ち、

aT

22 4

：周期の 2 乗は長半径の 3 乗に比例する。 (16)

係数

24は、太陽系の全ての惑星に対して近似的に等しい。

121 GmmmG ⇒ 一定1

24

Gm

21 mm (17)

sun planet

別証明）

楕円の全面積 abA

面積速度（一定）22

pc

dt

dA

周期 2

3

2

2 2

1

12

2/a

ea

eaa

c

ab

dt

dA

AT

・ a のみに依存

注意）軌道上の任意の点での速度の大きさ v は、エネルギー保存則より

22 cos2112

eepar

v

(18)

楕円軌道の場合、近点、遠点での速度の大きさをそれぞれ ap vv , とすると

ap veve 11 (19)

そして、周期 T に関して、

2

32

2

c

cv

vTT (20)

ここで、 cc vT , は、楕円軌道上の任意の点を通る円軌道の周期と速度の大きさである：

r

vr

T cc

,2

3

(21)

証明）式 (18)より

21 2 v

rra

これを式(16)に代入して整理する。


H30.12.28 版

31

付録１ Conic Sections 円錐曲線

円錐断面幾何学（Conic-Section Geometry）

古代ギリシャにて発見

円錐面を平面で切ってできる曲線：円錐曲線

6 種類：点、円、楕円、放物線、双曲線、直線：軌道としての解


H30.12.28 版

32

円錐曲線の一般式

cos1 e

pr

（＃）

ここで

,r ：円錐上の点の極座標

r：距離、動径

：真近点離角（天体力学、軌道力学）

p ：半直弦（semi-latus rectum）> 0

e ：離心率（eccentricity）

0e ：円，焦点は１個（楕円に含まれる）

10 e ：楕円。焦点は 2 個

1e ：放物線になり、1 個の焦点を原点として、もう 1 個（虚焦点）は無限遠に

1e ：双曲線

１）楕円 10 e


H30.12.28 版

33

F ：焦点（Focus）

F ：虚焦点(vacant (empty)focus)

0,1 2 aeap 　

aFAAF 2 2 つの焦点F ， F からの距離の和が一定の点の集合

離心率： 1/12 abe

a ：半長径（the semi-major axis）

b ：半短径（the semi-minor axis）

直交座標表示 x,y： 1

22

b

y

a

x

aebaccFcF 22,)0,(),0,( 　

極座標表示 ,r ： arr 2 と cos222222

crcrr を用いて

cos422222

crcrra ＝＞ cos4444 22 crcara 即ち

cos1

1

cos1

1

cos

22

2

22

e

ea

a

c

a

ca

ca

car

＝＞

cos1 e

pr

（＃）

ここで、右図の三角形 GCF について、ピタゴラスの定理より

222 1 eaaeab

三角形 AFF’について、楕円の定義より

22222 papae

∴ 21 eap

一方、ケプラー方程式より

2cp

∴ 21 eapc

動的量と幾何的量が関係

次に

180,11

1

0,11

1

2

2

　

　

eae

ear

eae

ear

a

p

,)1()1( aeraer ap 遠点距離：近点距離：

地球近地点： perigee＝peri+geos=furthest+earth

遠地点： apogee=apo+geos=closest+earth

太陽近日点、遠日点など

特に、近点において、動径方向速度が 0 で、動径方向に垂直な接線方向速度 pv のみになるので

角運動量保存 ppvrc vr

エネルギー保存 p

pr

vh

2

2

1

を用いて、 aeaea

ea

rr

ch

pp2112

1

222

2

2

2


H30.12.28 版

34

∴ a

h2

すなわち、2 体エネルギーh は、半長径 a のみに依存

楕円は閉軌道であり、周期：

3

2a

T

軌道速度方向：

cos1

sintan

e

e

証明は 4,2 節参照。

備考：楕円に関する幾何学的に導出できる関係式の例：

右図のように、楕円に対して、直径が半長径 a に等しい円を描く。

円と楕円の中心 C は同じである。

楕円上の点 P を、円上に半短径 b 方向へ射影した点を Q とする。

各変数を右図のように定義する：

Ｆは楕円の焦点、ＦP = r は動径、PD, QD は AB に垂直

は真近点離角、E は離心近点離角

e は離心率（e < 1）、CF = ae

・三角形 PDF について、ピタゴラスの定理より

Eear

Eea

EeEea

EEeeaEea

EeaEb

EaaeEaa

b

CDCFQDa

br

DFPDPF

cos1

cos1

coscos21

coscos2cos11

cossin

cossin

22

222

222222

2222

2

2

22

2

222

・一方、楕円の円錐曲線は、

cos1

1 2

e

ear

だから、上式を用いて

cos1

1cos1

2

e

eEe

すなわち

Ee

eE

cos1

coscos

または

cos1

coscos

e

eE

三角関数の２倍角の公式を用いることで

2

tan1

1

cos11

cos11

coscos1

coscos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

cos1

2cos2

2sin2

2cos

2sin

2tan

2

2

2

2

2

2

E

e

e

Ee

Ee

eEEe

eEEe

Ee

eEEe

eE

幾何学的関係から、2

tan、

2tan

Eの符号は同一だから、e < 1 に注意すると


H30.12.28 版

35

2

tan1

1

2tan

E

e

e

別証明として、点 P の座標の縦軸成分について、 Earb

asinsin より、e < 1 に注意すると

cos1

sin1sin

cos1

1

1

1sinsin

22

2 e

e

e

ea

eab

rE

これより

2tan

1

1

1cos

sin

1

1

1cos1

sin11

cos1cos

sin1

1cos1

coscos1

sin1

1cos

sin

2cos2

2cos

2sin2

2cos

2sin

2tan

2

2

2

e

e

e

e

e

Eee

ee

e

e

ee

e

E

EE

符号の判定をする必要のないことに注意。

・点 P におけるに平均近点離角 M について、面積速度一定の法則（面積法則 3.2 節）から

楕円の面積

の面積扇形FAPM

2

が成立する。このとき

EeEM

EeE

a

EaaeEa

a

QCFCAQFAQ

sin

2

sinsin

2

1

2

1

2

2

2

三角形扇形

円の面積

の面積扇形右辺

楕円の場合のケプラー方程式が求まる。

２）放物線

1e

a＝＞公式 01 earp はこのままでは使えない。

半直弦 p または近点距離 pr 自身を変数に用いる。

放物線は、楕円の虚焦点を無限遠に持っていった曲線と見なすことができる。

prc ：近点距離

arcp p 　,22

rAFAN ：動径

1e

直交座標表示 x,y： cxy 42 またはこの y 軸対称グラフ cxy 42

極座標表示 ,r ： rrc cos2 ＝＞ cos1

2

cos1

2

prcr ＝＞

cos1 e

pr

（e = 1）

無限点方向： 1cos すなわち、 deg135

軌道速度方向γ：2

３）双曲線

双曲線は、楕円の虚焦点を無限遠（例えば左）に持って行き、さらにその無限遠を通過して反対側（右


H30.12.28 版

36

側）に虚焦点が移動してできた曲線みなせる。重力を考えると、双曲線の技が主重力体側にあるものの

み、物理的に軌道となる。

0,1 2 aeap 　

aFAAF 2

1e

r ，曲線は漸近線に近づく

このとき、（＃）式より、 0cos1 e となり、e

1cos

直交座標表示 x,y： 0,1

22

ba

b

y

a

x

1,,)0,(),0,(2

2222

a

ba

a

ceaebaccFcF 　

極座標表示 ,r ： arr 2 と cos222222

crcrr を用いて

cos442 222crcrra ＝＞ cos4444 22 crcara 即ち

cos1

1

cos

222

e

ea

ca

acr

＝＞

cos1 e

pr

（＃）

ここで、 0,1 2 aeap 　と再定義

開軌道＝＞ aera )1( 近点：遠点は無限遠

無限点方向：分子 0cos1

∴

e

1cos 1 ：漸近角

r のとき衛星の速さは一定に近づく

av

rvh

22

1

2

1 22

無限遠での速度（双曲線余剰速度）： 0

a

v

0a

正のエネルギー（ 0h ）を持つと離脱する。

打ち上げエネルギー： 2

3 vC

軌道速度方向γ：

cos1

sintan

e

e


H30.12.28 版

37

付録２エネルギーh を用いた系の振る舞い

まず、エネルギー保存式

ar

h22

1 rr

を極座標 ),( r で表示すると、 θrr ˆˆ rr であるから

)('2

1

const.2

1

2

1

2

1

ˆˆˆˆ2

1

2

2

2

22

22

rVr

rcrr

cr

rrr

rrrrrh

θrθr

(1)

ここで、角運動量の大きさ c を指定（半直弦 /2cp を指定：基準時刻の位置・速度から決定）して、

次の等価ポテンシャルエネルギーを定義した。

2

2

2

1)('

r

c

rrV

(2)

1 項目は位置（万有引力）に、2 項目は遠心力に起因する。式(2)は動径 r が pcr /2

0 のとき唯

一の極小値 02

)('2

2

0 c

rV

を取る。また、 )(0),0()(' rrrV である。

式(1)より、動径 r の時間変化量（動径速度） rは下記のように位置のみの関数として記述できる。

)('2 rVhr (3)

式(2)のグラフ ',Vr を描くことより、h を指定した場合、と式(3)から動径速度 rの概算値、つまり、

指定された角運動量の大きさ c に対して、角速度 cr /2 で回転（公転）する動径 r の運動を定性的

に知ることができる。

注意１：速度を θrθrr ˆˆˆˆ vvrr r と書くとき、 rvr

は速度の動径方向成分（＝動径速度）、

rv は速度の動径直交方向成分（＝接線速度）と呼ぶ。ちなみに、飛行経路角は、

vvrr r //tan から求められる。

注意２：ここでは重力定数は最初から与えられている。そして、角運動量の大きさ c を指定すると、


H30.12.28 版

38

半直弦 /2cp が決まる。以下、2 体の全エネルギーh を変数として指定すると、半長径が ha 2/

が決まる。

１）h > 0：双曲線運動のとき、

離心率は、 222 /21 hce より e > 1

h と )(' rV の交点は 1 点のみで、そのときの動径 r の値を pr とする。このとき、質点は無限遠( r )

より飛来して、動径 r の値は減少して、最終的に pr に至る。そこで反転して増加し、再び無限遠へ行く。

r の最大値に制限はないので、開軌道であることが分かる。

動径速度は、最大でprrrr |max

であり、無限遠で hr 2

２）h = 0：放物線運動、e = 1

基本的な運動は双曲線運動と同様であるが、無限遠の動径速度が 0 になる。

近点( prr )では、質点の速度は接線速度ev に等しいので、全エネルギーの式より、

02

1 2

p

er

vh

＝＞ p

er

v2

：脱出速度(escape velocity)

これは開軌道にするための最小速度でもある。主星の万有引力から脱出するためのその距離での速度を

意味する。

地球については、地球表面から出発する運動を考えて、地球の重力定数と地球半径を代入すると

11.2km/s である。これを第 2 宇宙速度と呼ぶ。なお、太陽については、地球の位置での値を考えると、

上式に、太陽重力定数、太陽地球間平均距離を代入して、42.1km/s である。

ちなみに、地球表面から双曲線軌道で打ち上げて地球圏から脱出しときに太陽の脱出速度に達するよ

うにしたい場合、地球の太陽に対する公転速度 29.4km/s を考えると、実質の脱出速度 v は 42.1 - 29.4 =

12.3km/s であるので、地球表面での速度は、22

vr

v

より、16.7km/s となる必要がある。これを、

第 3 宇宙速度と呼ぶ。

３） 02/ 22 hc ：楕円運動、0 < e < 1

h と )(' rV の交点は 2 点のみで、そのときの動径 r の値を小さい順に pr （近点半径、ペリジー半径）, ar

（遠点半径、アポジー半径）とする。このとき、質点は動径が ap rrr の間を往復する周期運動を行

うこと、すなわち閉軌道であることがわかる。周期は

3

33

22

122

hh

aT

４） 22 2/ ch ：円運動、e = 0

動径は一定で、常に、 prapcrr /2

0 、式(3)から 0r より、質点の速度は動径に垂直

な接線速度 cv のみとなる。このとき、2

cvrr 、p

c

p rv

rch

2

2

2

2

1

22より、

円軌道速度：

ccrv

p

c

2

、周期：

2

33

23

21

22

ccr

Tp

地球について、地球表面で考えるとき、地球の重力定数と地球半径を代入すると、円軌道速度は 7.9km/s

となり、これを第 1 宇宙速度と呼ぶ。

なお、この円軌道から放物線軌道へ移行させて脱出させるには、 cv から ev へ 2 倍の速度に増速する

必要がある。


H30.12.28 版

39

５） 22 2/ ch

式(3)の値が虚数となり、指定された c の値では、物理解が存在しない。

22 2/ ch を満たすエネルギーh に対応する軌道はもちろん存在して、それは、初期に指定した c

の値、または指定された半直弦 /2cp の値よりも小さくした値を持つ軌道になる。それは、４）の

円軌道の半径よりも小さい半長径 a の円錐曲線である。

特に、楕円の場合で、地球半径よりも近点距離が小で、遠点距離が大のとき、それをサブオービタル

軌道、弾道軌道と呼ぶ。大陸間弾道ミサイルや再使用型旅行ロケットなどで採用される。大気抵抗が無

視できれば、水ロケット、モデルロケット、アマチュアロケットなどもこの軌道を描く。


H30.12.28 版

40

４章位置・速度の計算

4.1 積分における位置／速度

ここでは、楕円の場合のみを考える。双曲線（放物線）の場合も同様にして求められる。また、５章

で述べる universal変数を用いることで、軌道の形に関わらず統一的に表現できる。

復習：２体問題の６個の積分（楕円 0h ）

積分定数は Kh ,,, fc の 8 個

0sin22

2

1

hEf

EKthh

r

hr

　　　　

・

frrrr

rr

crr

(1)

拘束条件 2 個

2

2

2

12

0

f

h

c

fc・

(2)

＝＞独立な積分定数は 6 個

動径（表示） cos1 e

pr

(3)

円錐曲線パラメーター

ha

fe

ceap

2

12

2

0h (4)

楕円の場合のケプラー方程式： EeEMttn p sin (5)

ここで 0E のとき、 ptK （境界条件）， pt ：近点通過時刻、0t ：元期（観測時刻）

)anomalymean(

motionangularmean

22

00

3

平均近点離角

）平均運動（

　：　　

：

MttnttnMa

hh

n

p

(6)

動径（Ｅ表示） EeaEf

hr cos1cos1

2

0h (7)

ガウスの公式：楕円の離心近点離角 E 、真近点離角の関係

2

tan1

1

2tan

e

eE

or

2tan

1

1tan2 1

e

eE (8)


H30.12.28 版

41

1d

aae

E

b

a

2d

r

r

近地点地心

衛星

4.2 真近点離角を用いた位置と速度

軌道面基準座標系の単位方向ベクトルの組 cidd 21の定義：

12

1

ˆ

ˆ/

/

dcd

cci

fd

c

f

c 共に不動 (9)

軌道面内の位置などは、 21,dd で記述される。

位置 21 sincos ddr rr (10)

次に、これを微分して、

21 cossinsincos ddr rrrr

cos1 e

pr

を時間微分し、 pcr 2

に注意すると

sinsin

sincos1

2

2p

erp

ee

e

pr

(11)

に戻すr pr 2

∴ 2

2

1 cossinsincossin ddr

r

pe

pr

pe

p

cos1 e

pr

より。 coscoscos,1cos 2 e

r

p

r

pe なので、最終的に

速度 21 cossin ddr

ep

(12)

速度方向を局所水平 LH 方向から測った飛行経路角は

cos1

sin

cos1

sin

/

sin

tane

e

p

ep

pe

rc

pe

r

r

(13)

角度範囲は deg90deg90 であり、近点では、 0 を代入して、 0 。

近点から遠点に行くとき正値、遠点から近点に近づくとき負値を取る。

4.3 離心近点離角 E による表現（楕円軌道）


H30.12.28 版

42

動径

Eeae

ear cos1

cos1

1 2

(14)

より、

r

eEa

Ee

eE

cos

cos1

coscos または、

cos1

coscos

e

eE

(15)

一方、式(14)の動径を時間微分して、 EEaer sin (16)

また 3.3 節の式(11)より

r

aE

/

を用いて、式(16)は

r

Eaer

sin (17)

Eaerr sinor rr

上式(17)と式(11)が等しいことから。

r

Epa sinsin (18)

式(15), (18)を式(10)に代入して

21 sincos ddr EapeEa

これを時間微分して、

2121 cossincossind

ddddd

rr E

r

pE

r

aEEapEEa

t

以上より

21

21

cossin

sincos

ddr

ddr

Er

pE

r

a

EapeEa

(19)

飛行経路角は

22

22

2

1

sin

1

sin1

coscos1

sin1

cos1

cos1

cos1

sin1

cos1

sintan

e

Ee

e

Eee

eEeEe

Eee

Ee

eEe

Ee

Eee

e

e

(20)

これから、特に

cos1

sin1sin

2

e

eE

ちなみに、式(15)より

cos1

coscos

e

eE

(21)

以上により、位置、速度が軌道面内座標系 cidd 21 で求められるが、それを別の基準座標系で表

す場合は、軌道面基準座標系の単位ベクトルの組 cidd 21 を基準座標系の単位ベクトルの組

321 eee に座標変換することで、座標成分を基準座標系で表現する。1.4.3 節を参照せよ。

4.4 ケプラー方程式の解法

ケプラー方程式は、

１）楕円軌道の場合、離心近点離角 E について

pp tta

ttnMEeE 3

sin

２）双曲線軌道の場合、離心近点離角 H について


H30.12.28 版

43

pp tta

ttnMHHe

3

sinh

３）放物線軌道の場合、離心近点離角 D について

ppp ttttnMDrD

6

3

であり、平均近点離角 M、即ち、時間 t と関係がある：

t ：given ⇒ 平均近点離角 M：get

⇒ 離心近点離角 E または H, D：get

⇒ 位置と速度ベクトル rr , ：get in 21,dd 面

上記のケプラー方程式を Newton-Raphson 法を用いて解く。

評価関数の定義（楕円軌道）： pttnEeEEf sin (22)

（双曲線軌道）： pttnHHeHf sinh

（放物線軌道）： pp ttnDrDDf 6/3

問題：（楕円軌道） 0Ef なる E を求めたい。

Ef を近似値 kE 回りに Taylor 展開して

k

k

kk

k

k EEdE

dfEfOEE

dE

dfEfEf 2 (23)

0Ef より

k

kk

dE

df

EfEE (24)

ここで、ケプラー方程式より k

k

EedE

dfcos1 (25)

これを次ステップ 1kE として採用する。すなわち、

k

kkkdE

dfEfEE 1 (26)

解の判定： kk EE 1 （指定した微小量）になるまで反復 (27)

双曲線軌道、放物線軌道でも同様であり、以下を用いる。

p

k

k

k

rDdD

dfHe

dH

df 2/,1cosh 2

例１： sec3600seckm398601,10,0,7.0km,400,24 -226 ttea p のときのEを求む。

離心近点離角の近似値（平均近点離角に等しいとして）： ptta

E 31

k kk EE 1 degE

１ 0.9341957 87.69266

２ 0.2415711 73.85166

３ 0.0251371 72.41141

４ 0.0002688 72.39601

５ 710 72.39601


H30.12.28 版

44

注意１：通常、sin などの計算の際、角度の単位は rad に変換して行い、その結果を deg などに変換する。

注意２：収束性について、例えば、楕円軌道の場合、e が１に近づくと、反復回数が増大する。これに

対処するための各種方法が工夫されている。

注意３：ケプラー方程式等に対して Universal 変数を用いて表現することで、軌道の形を区別することな

く、数値計算できる。

軌道が指定され(a,e など)、初期位置と時間（時刻差）を与えて、その時間後の位置を求めるためには、

本節のようにケプラー方程式を用いて、M から E を求める解法を利用する。例えば、元期0t で、真近点

離角 0 にある宇宙機の、時間 t 後の真近点離角を求める場合、

１）次式より、 0 から、元期0t の離心近点離角

0E （楕円軌道）、 0H （双曲線軌道）を求める。

2tan

1

1tan2 1

e

eE 、

2tan11

2tan11

ln

ee

eeH

２）元期0t の平均近点離角

0M をケプラー方程式から求める。

000 sin EeEM 、 000 sinh HHeM

３）時間 t 後の時刻 ttt 0 の平均近点離角M を求める。

tnMttnMM 000

ここで、3a

n

（楕円）、3a

n

（双曲線）

４）時刻 ttt 0 の離心近点離角 E（楕円軌道）、H（双曲線軌道）をケプラー方程式から反復計算で

求める。

EeEM sin （楕円）、 HHeM sinh （双曲線）

５）得られた離心近点離角から真近点離角を求める。

2tan

1

1tan2 1 E

e

e （楕円）、

2tanh

1

1tan2 1 E

e

e （双曲線）

ここからさらに、位置、速度、経路角などが、前節で与えた式を用いて計算できる。

なお、５章で述べる universal 変数を用いることで、軌道の形に関わらず、統一的に記述できる。

例２：遠地点高度 3042km, 近地点高度 555km の楕円軌道で地球周回する衛星について下記の問いに答

えよ。但し、地球の重力定数 235 s/km10986.3 ，地球の平均赤道半径 km6378R とする。この

軌道の離心率 e、半長径 a，平均運動 3/ an ，周回周期 nT /2 を求めよ。

次に、時刻 t = 0 のとき衛星は近地点にいた。時刻 t = 100min のとき、平均近点離角 M、離心近点離

隔 E，真近点離角を求めよ。

回答） pa

pa

a

p

aprr

rre

e

e

r

rearear

1

11,1 より、e = 0.1521、また、a = 8176.5 km

n = 8.5392e-004, T = 7.3580e+003 s = 122.6min、M = 5.12352e+000 = 293.556 deg

ステップ 1 E=4.992102391353286e+000 誤差 RR=1.475030263101385e-002

2 E=4.977946452457520e+000 RR=1.174062171558354e-003

3 E=4.976817452675328e+000 RR=9.003124168938115e-005


H30.12.28 版

45

4 E=4.976730863179304e+000 RR=6.882941007368970e-006

5 E=4.976724243280833e+000 RR=5.260818554120306e-007

6 E=4.976723737303559e+000 RR=4.020914534663689e-008

したがって E = 4.97672 = 285.145 deg， = -1.456847 = -83.47118 deg = 276.52881 deg

例 3．（半楊 2017 より引用）モルニア軌道の衛星が、元期 0t 2017 年 3 月 26 日 21 時 23 分 27 秒（UTC）

において、a=26552.305km, e=0.747411, deg7.240 M にあるとき、時刻 t 2017 年 5 月 20 日 9 時 00

分 00 秒（UTC）における、地心距離（動径） r 、真近点離角、速度 v 、経路角を求めよ。

回答）各時刻ユリウス日 JD を求めると、1.4.2 節の式(1)を用いて、

sec47073938day54.48371521284722457839.3952457893.870 tt

地球回りの軌道なので、地球の重力定数 23 /398600.4km s を用いて

ss

an rad/ 020.00014592

km305.26552

/398600.4km33

23

3

,

141.39deg24.74116.694230

4deg116.6942308rad2.036698539rad686.9038964707393rad*020.00014592

00

0

MttnM

ttn

ケプラー方程式を反復法で解いて、 deg69.157E

deg14.23cos1

sintan

km/s655.112

deg42.1712

tan1

12tan

km792.44911deg)69.157cos(*747411.01*305.26552cos1

1-

1-

e

e

arv

E

e

e

Eear

備考：ケプラー方程式の厳密解

楕円の場合、 MEeE sin のＥに関する解は、一般に超越方程式なので、解くには工夫が必要で

あり、歴史的には、ベッセル関数を生み出すきっかけとなった。ケプラー方程式より、

EeME sin

に対して、右辺第 2 項は、 2 の周期奇関数なので、M のフーリエ級数展開(sin 展開)ができて

nMaEen

n sinsin1

係数 na は、次式で表され、それをケプラー方程式、部分積分、漸化式表現を用いると、最終的に、ベッ

セル関数(Bessel function)で表される：

neJn

MnMEea nn

2dsinsin

1

ここで、整数 n 次の第 1 種ベッセル関数：

sn

s

s

n

x

snsxnxJ

2

0

2

02!!

1dsincos

2

1

したがって、E は次のように表現できる。


H30.12.28 版

46

...4sin42

13sin3

3

22sin2sin2

sin2

4321

1

MeJMeJMeJMeJM

nMneJn

MEn

n

近似式として、べき級数展開を有限項で近似することもできる。例えば、5 次のオーダーでは

...5sin...384

1254sin...

3

3sin...128

27

8

32sin...

62sin...

1928

54

534253

Me

Me

Mee

Mee

Mee

eME

離心率 e が小さい場合は、次数が小さくても近似がよくなり、地球（e=0.0167）などでは、2 次で 5

桁程度の精度を持つ：

Me

MeME 2sin2

sin2

長楕円軌道、例えばモルニア軌道（e=0.75）では、 1.08 e なので、8 次近似で 1 桁程度の精度が期待で

きるように思われるが、実際は e が大きいと収束しない。実は、e の近似展開式では、e に関する収束半

径（ ...6627434.0e ）を厳密に考慮する必要がある。e が大きい場合に、厳密解を採用するときは、

厳密にベッセル関数を評価するが、むしろ、対象とする微分方程式を数値的に高精度時間積分する方が

よいだろう。

4.5 位置/速度ベクトルおよびケプラーの軌道要素の計算法

前節までの議論をまとめる。

アルゴリズム 1：位置／速度ベクトルの計算

問題：楕円軌道上の物体の初期時刻0t における位置/速度ベクトルが

00 ,rr と与えられたとき、時刻 t に

おける位置/速度ベクトル rr , を求めよ。

算法：

1) 0r の大きさとエネルギーの計算：

0

00002

1 ,

rhr

rrr ・

0, If h STOP (not elliptical)

0,If h CONTINUE.

2) 角運動量 c、その大きさ c、その単位ベクトル ci ˆc 、および半直弦 p の計算：

2

c00 , , ,c

pc

c c

icrrc

3) ラプラスベクトル f 、その大きさ f、軌道面単位方向ベクトル 21 d,d の計算

12100

0

didf

dfrcr c , f

, f, r

μf

4) 半長径（長半径）a と離心率 e の計算：

fe

ha ,

2

5) 近点通過時刻 pt の計算：

1

21-

000

020

01

Ctan ,

・sinC ,1cos

CE

aEe

a

rEeC

rr または、 120 ,Catan2 CE


H30.12.28 版

47

00

3

0 sin EeEa

ttp

6) 離心近点離角 E について、ケプラー方程式を反復法によって解く(後述)：

Mtta

EeE p 3

sin

7) 位置／速度ベクトルの計算：

21 sincos ddr EapE-ea

rr

21 cossin ddr Er

pE

r

a

アルゴリズム 2：ケプラー方程式の解(Newton-Raphson 法の利用)

問題：楕円軌道の場合、現在時刻 t 、近点通過時刻 pt 、半長径 a、離心率 e そして離心近点離角の推定

値 1E が与えられたとき、現在時刻 t における離心近点離角 E を求めよ。

算法：

0) 離心近点離角 E の関数を定義する：

pp ttnMEa

μnttnEeEEF 13

, ,sin

1) 推定値 1E を用いて次を計算する：

11111 cos1d

d,sinEF EeE

E

FttnEeE p

2) 離心近点離角 E の計算：

1

11

d

dE

E

F

EFEE

3) もし、＞1EE (適切に設定した誤差許容量、例えば8-10 )ならば、 EE 1 としてステップ 1)に戻

る。

4) もし、誤差許容量内ならば、要求精度で離心近点離角 E が計算された。

アルゴリズム 3：ケプラーの軌道 6 要素の計算

問題：楕円軌道について、時刻 t における位置／速度ベクトル rr , が与えられたとき、長半径 a 、離心

率 e 、近点通過時刻 p t 、軌道傾斜角 i 、昇交点赤経、近点引数を求めよ。

算法：

1) エネルギーh と長半径 a の計算：

ha

rh

2 ,

2

1 , r

rrr

2) 角速度ベクトル c、ラプラスベクトル f、離心率 e の計算：

μ

f ef

r , , , frcrfrrc

または離心率 e については、次の算法を用いても計算できる：

μa

ceea

22

2

11c

ここで、 cc

3) 近点通過時刻 pt の計算：


H30.12.28 版

48

3

12

1

21

21 ,atan2tan ,

sin1cos

a n

CCC

C E

aEe, C

a

rEeC -

rr

EeEn

tt p sin1

注意 1：上式より、離心率 e についての別算法：

22

2

1 CCe

注意 2： 0e のとき、離心近点離角 E の値は0

0tan 1-

となって不確定。なぜなら、近点が決まらないた

め。(ケプラー要素の欠点)

4) 軌道傾斜角 i、昇交点赤経の計算：

c

-1cos ik i

ここで、c

cci ˆ

c 。i は、0deg から 180deg までの範囲を持つが、0deg から 90deg までを順行軌道(direct

orbit)、90deg から 180deg までを逆行軌道(retrograde orbit)と呼ぶ。

,sin-cos ,sinsin cc i i ijii

-

tanc

c1-

ij

ii または -,atan2 cc ijii

注意： 0i のとき、昇交点赤経の値は不確定。(ケプラー要素の欠点：但し、の値自体は確

定する)

5) 近点引数の計算：

1c1 sin ,cos ,sincos diidijii aaa

cos

sintan 1-

または cos,sinatan2

注意：ケプラー要素の欠点：

e//1 fffd より、 0e のとき 1d は不確定、したがって、は不確定。但し、 u の

値は確定する。なお、このとき M 。また、 0i のとき昇交点ベクトルai は不確定、したがって、

この場合、とは各々不確定。但し、は確定できる。 0e かつ 0i のときは、

は確定できる。

ケプラー要素にみられるような、円軌道、または、無傾斜軌道の時に生じる特異性を回避した軌道要

素の組、例えば、Nonsingular equinoctial elements などいくつか提案されている。下記 4.6 や別紙、ケプ

ラー軌道の演習問題 5 を参照のこと。

例題１：

時刻 t における位置／速度ベクトル rr, が次のように与えられたとき、(1)ケプラーの軌道 6 要素、(2)

s3600t の位置／速度を求めよ。

,

km3400.0-

km5888.9727-

km0.0

3

2

1

321

kjikjikjir

x

x

x

xxx


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49

km/s0.0

km/s0.0

km/s10.691338

3

2

1

321 kjikjikjir

x

x

x

xxx

解) (1) 2700,30,95.0km45136000 ，ω Ωit，t，　e.a p

例題２：

ケプラー軌道要素の計算アルゴリズムで注意したように、ケプラー軌道 6 要素には、軌道面姿勢を表

すオイラー角 ,, i の値が不確定になるという欠点があるが、それが生じる原因を幾何学的に説明せ

よ。

解）オイラー角 ,, iΩ は、3 軸回りにΩ、1 軸回りに i、3 軸回りにの回転変換を表す３－１－３物

体角と分類される。

この指定の仕方から、もし、 0i のとき、即ち、軌道面が基準面（赤道面）に一致する場合、昇交

点方向が決まらないので、Ωとの各角度は決まらないが、一般には、その和 Ω 自体は決まる。

一方、 0e のとき、即ち、円軌道の場合、近点方向が決まらないので、一般に、が決まらない。

しかし、軌道面と基準面の交線上にある昇交点方向から、宇宙機方向までの角度（緯度引数） u

は確定する。

さらに、 0i かつ 0e のとき、即ち、円軌道かつ軌道面が基準面（赤道面）に一致する場合、例

えば、静止軌道のような場合は、昇交点方向と近点方向が決まらないが、春分点方向から宇宙機方向ま

での角度 Ω は確定する。

4.6 他の軌道要素

ケプラー軌道 6 要素の欠点を補うために、様々な提案がなされているが、ここでは、次のドロネー要

素(Delaunay elements)、ポアンカレ要素(Poincare elements)、Nonsingular equinoctial elements を紹介する。

これらは実用的な軌道設計検討やハミルトン力学などの理論的検討において使用される。

Delaunay Elements： HGLhgl ，，，，，

ieμaHceμaGμaＬhωgtta

μMl p cos1,1,,,, 22

3

即ち、平均近点離角、近点引数、昇交点角、角運動量を用いている。

Poincare Elements： 321321 ，，，，，

，，， hHGhgGLL cos2cos2 321

hHGhgGLhgl sin2sin2 321 ，，

ここで、Delaunay Elements にて定義した記号を用いた。

Nonsingular equinoctial elements：，，，，， yx iia

Mi

ii

iee yx ，，，， sin2

tancos2

tansincos

逆変換

M

i

iiiie

x

y

yx ,tan,tan,tan2, 1122122

注意：a の代わりに、半直弦 21 eap を用いる場合もある。

(a) 0i ，(b) 0e の各場合において、各要素の不確定性に関して調べる。

場合(a)の軌道傾斜角の大きさが小さくなるとき、 0i にしたがって、ドロネー要素では GH に


H30.12.28 版

50

なり、ポアンカレ要素では 0, 33 となる。ドロネー要素の昇交点角 h は不定となるが、ポアン

カレ要素では問題ではない。なぜなら、 hg が確定するので、 212 ,, は確定する。

nonsingular equinoctial elements も問題なし。

場合(b)の離心率の大きさが小さくなるとき、 0e にしたがって、ドロネー要素では LG になり、

ポアンカレ要素では 0, 22 となる。ドロネー要素の近点引数 ωg は不定となる。ポアンカレ要

素では、 g が関係するのは結果的に 1 だけになり、 l となることから、 hgl が

確定するので、問題はない。nonsingular equinoctial elements も問題なし。

4.7 飛行時間

軌道が指定され、2 点間 A, B の位置、または、離角を与えれば、点 A から点 B まで軌道上を飛行する

に要する時間は、ケプラー方程式を用いて求められる。例えば、楕円軌道の場合、近点通過時刻を pt と

して、一般に、時刻 t 、離心近点離角 E では、ケプラー方程式より、

EtEeEa

n

EeEtt Ep

sin

sin 3

(1)

または、真近点離角で表す場合は、

2tan

1

1tan2 1

e

eE 、

cos1

sin1sin

2

e

eE

に注意して、

Ep t

e

ee

e

eatt

cos1

sin1

2tan

1

1tan2

21

3

(2)

楕円軌道は周期軌道なので、1 周期を考えると、 2E を上式に代入して、

20tan22cos1

2sin1tan

1

1tan22

22sin22

31

321

3

33

aa

e

ee

e

eat

ae

aEttt

E

Ep

となって、楕円軌道の周期

3

2a

T を与える。

さて、

点 A：時刻 At 、真近点離角 A 、離心近点離角 AE or

2tan

1

1tan2 1 A

Ae

eE

点 B：時刻 Bt 、真近点離角 B 、離心近点離角 BE or

2tan

1

1tan2 1 B

Be

eE

と定義すると、飛行時間 AB tt は、上式より、

BEAEBEAEAB ttEtEttt (3)

ここで、楕円軌道は周期的で、位置には周期分だけの曖昧さがあるので、必要があれば、それを考慮す

る。

また、双曲線軌道の場合は、上記と同様にして、双曲線軌道のケプラー方程式


H30.12.28 版

51

HHeKta

sinh3

に注意して

2tan11

2tan11

lncos1

sin1

sinh

23

3

ee

ee

e

eeat

HHea

Httt

H

Hp

(4)

を用いて、飛行時間 AB tt は、

BHAHBHAHAB ttEtEttt (5)

ここで、次式を用いた。

2tan11

2tan11

ln2

tan1

1tanh2 1

ee

ee

e

eH 、

cos1

sin1sinh

2

e

eH

証明：定義 x

xx

x

xe

e

e

ee

eex x

x

x

xx

xx

tanh1

tanh1ln2

tanh1

tanh1

1

1tanh 2

2

2

なので、特に、

2tanh1

2tanh1

lnH

H

H

さらに、2

tan1

1

2tanh

e

eH の関係に注意して

2tan11

2tan11

ln

2tan

1

11

2tan

1

11

ln

ee

ee

e

e

e

e

H

次に、上式より

2tan11

2tan11

ee

eeeH

なので


H30.12.28 版

52

cos1

sin1

2tan1

2tan1

1

2tan1

2tan2

1

2tan1

2tan1

2tan2

1

2tan11

2tan12

2tan11

2tan1

2tan121

2tan1

2tan121

2

1

2tan11

2tan11

2tan11

2tan11

2

1

2sinh

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2222

eeee

e

e

ee

e

ee

eeeeee

ee

ee

ee

eeee

HHH

ここで、次式を用いた。

2tan1

2tan1

cos,

2tan1

2tan2

sin2

2

2

ちなみに、同様にして

cos1

cos1

2tan1

2tan1

1

2tan1

2tan1

2tan1

2tan1

2tan1

2tan1

2tan11

2tan11

2tan11

2tan11

2tan11

2tan11

2

1

2cosh

2

2

2

2

22

22

2

2

e

eee

e

e

ee

ee

ee

ee

ee

eeee

HHH

さらに

H

H

e cosh1

cosh11cos

H

H

e

He

H

H

e

e

eH

cosh1

sinh

1

2sin

2

cosh1sin1

cosh1

cosh11

sin1

cos1

sin1sinh

2

222

例：（半楊 2017 より引用）次の地球からの脱出双曲線軌道：a=12816.733km, e=1.518, 近地点高度 260.9km

を考える。地球の作用圏（影響圏）半径を km1029.9 5 とすると、この距離だけ地球から離れるとき、


H30.12.28 版

53

脱出したと見なす。地球の重力定数は 23/s398600.4km として、近地点から脱出するまでの時間を

求めよ。

回答）脱出時の真近点離角を求める。動径の円錐曲線表示

cos1

1

cos1 e

er

e

pr

p

から、

deg31.1306469.0cos

6469.01929000

518.119.260137.6378

518.1

11

11cos

1

r

er

e

p

飛行時間は、式(4)より

秒分時間 35244deg31.130 Hp ttt


H30.12.28 版

54

5 章 f ， g 関数

宇宙機の任意の位置、速度を初期（規準時刻）の位置、速度で直接表現することを考える。2 体問題

の場合、軌道は同一平面（2 次元）内に制限されるため、軌道面内の任意のベクトルは、軌道面内の独

立な２つのベクトルの重ね合わせで表現できる。ここでは、軌道面内の独立な２つのベクトルとして、

初期（規準時刻）の位置ベクトル、速度ベクトルを取る。

gf

gf

00

00

rrr

rrr (1)

ここで、 f ， g ， f， gは初期条件 0r ， 0r 、時間 t または離角の関数 tff ,, 00 rr など。

特徴：・軌道６要素にあまり依存しない形にできる。

5.1 f , g 関数表現

楕円軌道を仮定すると、４章の結果から位置・速度ベクトルを次のように表現する。

21

21

ddr

ddr

ml

ml

(2)

ここで

cos,sin

sin,cos

ep

mp

l

rmrl

　

　

(3)

または

Er

pmE

r

al

EapmeEal

cos,sin

sin,cos

　

　 (4)

欠点

000 ,, trr から rr , を求めるのに積分定数を求めねばならない。

ケプラー要素を用いると、 ie, が微小のとき数値的不安定が生じる可能性がある。

楕円軌道に限っているが、後述する Universal 変数を用いれば、放物線、双曲線の軌道を含めて統一的に

表現できるし、収束性も高まる。

さて、式(2)に、0tt を代入して

20100

20100

ddr

ddr

ml

ml

21,dd を 00 ,rr で解くと

00002

00001

1

1

rrd

rrd

ll

mm ， pclmml 0000

ここで、軌道の角運動量保存則に注意して、 cccrrc ˆˆˆ000000 pclmml

式(2)に代入して整理して、式(1)と対応させて次式を得る。

0000

0000

1,

1

1,

1

lmmlp

glmmlp

f

mllmp

glmmlp

f

　

　

(5)

これらを用いて、位置・速度ベクトルが初期位置・速度ベクトルで表示できる。

1d

aae

E

b

a

2d

r

r

近地点地心

衛星


H30.12.28 版

55

00

00

rrr

rrr

gf

gf

更に、 crrc fggf 即ち、次の拘束条件が存在する。

1 fggf (6)

gfgf ,,, の内、3 つが分かれば、残りは上式から求められる。

5.2 f ， g 関数の真近点離角表示

楕円軌道の場合、式(3), (5)より、 f ， g は真近点離角(true anomaly) で次のように表される。

rrppf

p

rg

p

rrg

p

rf

11cos1

1

sin

cos1,cos11

sin,cos11

0

0

0

　

　

(7)

但し、

0 (8)

と定義した。

特徴：

f と gの相似性に注意。

と t の間に簡易な関係式はない（E を経由する）。

2 点境界値問題（Lambert 問題）に便利

式(7)の証明）

cos11cos1sinsincoscoscos

sinsincoscos11

000

0000

p

r

r

p

p

re

p

r

pre

pr

plmml

pf

sinsincossinsincos11 0

00

000000p

rr

p

rrrrrr

pmllm

pg

cos11coscossinsin

11 0000000

p

rre

pr

pplmml

pg

fについては、拘束条件 1 fggf を用いるのが簡単であり、

rrpprr

p

rr

prr

p

p

rr

p

r

p

r

g

gf

g

gff

11cos1

1

sin

cos1cos1

cos1

sin

sin

1cos11cos1111

0

00

0

0

0

証明終）

5.3 f ， g 関数の離心近点離角表示

楕円軌道の場合、式(4), (5)を用いて、 f ， g は離心近点離角(eccentric anomaly) E で表される。


H30.12.28 版

56

Er

agEE

attg

Err

afE

r

af

o

cos11,sin

sin,cos11

3

0

0

　

　

(9)

但し、

0EEE (10)

と定義した。

式(9)の証明）

Er

aEE

a

r

r

a

EEEEEer

aEEEeE

r

a

Er

aEapE

r

peEa

plmml

pf

cos11cos1

sinsincoscoscossinsincoscos

sinsincoscos11

0

00

0

000

0

00

0

0

0

0

0

00

上記を時間で微分し、

Et

EE

t

E

d

d

d

d 0 に注意して

Err

aE

r

a

r

aEE

r

a

t

ff sinsin

/sin

d

d

000

次に、

Er

a

a

rEE

r

aeEEEE

r

a

eEaEr

pEapE

r

a

plmml

pg

cos111coscoscossinsin

coscossinsin11

000

0000

最後に、g を求めるために、上式を積分すればよい。両辺を、2 章の式(21)のart

E 1

d

d で割って

EEa

tEEa

tg

arE

r

a

E

t

E

g

E

tE

r

a

E

t

E

tE

r

a

E

t

t

g

dcos1ddcos1dd

cos1d

d

d

d

d

dcos1

d

d

d

dcos11

d

d

d

d

33

上式は積分できて

.sin3

constEEa

tg

式(1)に 0tt を代入すると

1)(,0)(,0)(,1)( 0000 tgtftgtf

が得られるので、 0)( 0 ttE に注意して

000 ..0)( tconstconstttg

したがって、


H30.12.28 版

57

EEa

ttg sin3

0

証明終）

さて、g を評価する場合、 t と E の関係を表すケプラー方程式を求める必要ある。2 章の式(21)より

dEEea

dt cos13

上式を、 tt 0 ， EE 0 の範囲で積分すると

00

3

0 sinsin EEeEEa

tt

(11)

そこで

EEEEEE 00 ,

に注意すると、式(11)の[ ]内の右辺第２項は次のよう書き換えられる。

1cossinsincossinsin 000 EEeEEeEEe ・・ (12)

さらに、２章の式(11), (17), (20)の関係式を、時刻0t に適用して

0000000 cos1.sin EearEaerr rr

より

a

rEe

aEe 0

00

0 1cos,sin

0rr ・ (13)

これらを式(10)に代入して、 t と E のケプラー方程式が得られる。

E

aE

a

rE

att cos1sin1 000

3

0

rr ・ (14)

Ed

dt

ar

EddE 　 (15)

t に上式を代入して、微分

Ed

dを実行

E

aE

a

rar sincos11 000

rr ・ (16)

特徴： 0a のみが表われる。

E が分かればよい（ E の初期値は必要ない）

E を用いた計算アルゴリズム

given： 0r ， 0r ，0t ， 1E （初期値；例えば、 tn , ）

Find：r ，r

１） 00 rr ，

1

00

0

2

rr ・

ra

If 0a stop（楕円でない）

If 0a continue


H30.12.28 版

58

２）Newton-Raphson 法による E の求解

03100

10

11 cos1sin1)( tta

Ea

Ea

rEEF

rr ・

1

00

1

0

1

sincos11 Ea

Ea

r

Ed

dF

rr ・

11

1/ EddF

EFEE

反復 EEEE 11

３） Er

af cos11

0

， EEa

ttg sin3

0

00 rrr gf ， rr

４） Err

af sin

0

， Er

ag cos11

00 rrr gf

5.4 f ， g 関数の Universal variable 表示

Battin による Universal variable 表示を紹介する。楕円軌道だけでなく全ての軌道でも成立する式を求

める。

次の S,C 関数を定義する。これは後述の Stump 関数の一種である。

zczz

zS 3

2

753

1

！！！ zc

zzzC 2

2

642

1

！！！

0,sinh

0,sin

3

3

zz

zz

zz

zz

　　

　　　　

0,1cosh

0 cos1

zz

z

zz

z

　　　　

　　　　，

zSzCdz

zdSz

zCzzSdz

zdCz

32

1

212

1

さて、

！！！ 642

1cos642 EEE

E

に対して、

変数の定義： xE 0 ，0

Ex

変数の定義： a

10


H30.12.28 版

59

00 ：楕円 0a ， 00 ：双曲線 0a ， 00 ：放物線 a

補助変数の定義： 2

0xz ：0 と x の組み合わせ xz 0 （ E ：楕円の場合）

今、楕円の場合を考え、 00 とする。

!642

1coscos63

0

42

0

2

00

xxxxE

！！

)642

1(1

42

0

2

02

0 ！！！

xxx

)(11 2

0

2

0 zzCxCx

同様にして

)(11!53

sin 2

0

2

00

55

0

33

0

0 zzSzxSxxxx

xE

！

を用いて、5.3 節の式(9)から、f, g 関数を S,C 関数で表現できる：

zCr

xxC

r

xf

0

22

0

0

2

11 ， zzSxrr

xxSxrr

f 10

2

0

3

0

0

zSxttxSxttg 3

0

2

0

3

0

11

， zC

r

xxC

r

xg

22

0

2

11

Kepler 方程式： xrrxSxxCxtt 00

2

0

32

0

200

0 1

rr ・

または xrrzSxzCxtt 00

32000 1

rr ・

動径： 2

0

2

0

00

00

2

0

2

0 11 xSxxrxCxrr

rr ・

または zzSxrzCxrr 11 0000

2

0

rr ・

また、式(15)と定義 xE 0 0

1

a を用いて

dx

dt

xd

dt

Ed

dt

ar

0

0

r

dx

dt または

rx

dt

dx

この t から x への変換を、Sundman 変換と呼ぶ。

これは、下記のように、t を与えて対応する x を求めるための Newton-Raphson 反復計算に有用である（後

述する Kepler 方程式の解法(Universal 変数表示)を参照。）：


H30.12.28 版

60

2

0

2

000

00

2

0

2

0

00

2

0

32

0

2000

1

11

1

d

d

xSxxrxCxrxdx

dt

xrrxSxxCxtxt

xx

t

xttxx

n

nnn

rr

rr

・１

・１

初期値は、 01 x （このとき、 0tt ）など。下記の備考より、

000 ttx 、

00

0,rrrr ・・

であることも利用できる。

上式は、定義から

00

00

rrr

rrr

gf

gf

を満たす。楕円の場合を元に、変数を変換して立式したが、実は、楕円に限らず、双曲線、放物線でも

成立する。実際、求められた式を、2 体問題の基本微分方程式

03

rrr

に直接代入すると、0 の符号に関係なく満たす。すなわち、得られた式は、楕円、双曲線、放物線で

成立する。下記の備考３）基本解を用いた一般解の構成を参照。

Universal Variables を用いた計算アルゴリズム

given： 0r ， 0r ，0t ， t

Find ：r ，r

１） 00 rr ，

00

0

0

2 rr ・

r

２）下記のアルゴリズムを用いて、Kepler 方程式より x , C, S を求める

３） 2

0

0

2

1 xCr

xf ， 2

0

3

0 xSx

ttg

，00 rrr gf

rr ， xxSxrr

f 2

0

3

0

0

， 2

0

2

1 xCr

xg ， 00 rrr gf

Kepler 方程式の解法(Universal 変数表示)

given：0t ， t ， 0r ，

0 ， 1x （x の近似値）例えば、 01 x （ 0tt に対応）など。

Find： x ， 2

0xC ， 2

0xS

１）2

101 xz


H30.12.28 版

61

1

1

112

111

121

7!5!3

1

k

kk

k

zzzzS

！！

1

1

112

111

21

!642

1

k

kk

k

zzzzC

！！！

10001

3

11

2

1

00

01 1 xrrzSxzCxttxF

rr ・

01

2

100111100

1

1 rzCxrzSxzxdx

dF

rr ・

1

11

/ dxdF

xFxx

反復 xxxxIf 11

1xxIf ， 2

0xC ， 2

0xS の計算を実行。

注意）下記の Stumpff 関数の数値計算法を参照。

付録：Stumpff 関数

定義：

0 !21

k

kk

nnk

zzc ， ,3,2,1,0n

これより !

1,

!

10 2

nzzczc

nc nnn

また、

1,d

d2 1 nznczc

z

zcz nn

n

定義：2xz と変数をとり、無限級数を吟味して、上式の漸化式を用いることで

　　　　　　　　

　　

　　　

1 1

0cosh

0cos

00

z

z

zcc

01

0sinh

0sin

11

z

z

z

z

zcc

02

1

01cosh

0cos1

22

　　　　　　

　

　　

z

zz

z

zCzcc

06

1

01sinh

0sin

33

　　　　　　

　

　　

zz

z

zz

zz

zSzcc

などが回帰的に得られ、円錐曲線（楕円 0 、双曲線 0 、放物線 0 ）に必要な関数が含まれ

ている。

zCzc 2 、 zSzc 3でもあり、

1d

d1

1

nzcxzcxx

n

n

n

n 、 zxczc

x10

d

d 、

2xz （後述）


H30.12.28 版

62

Stumpff 関数の数値計算法：

定義や漸化式から、次式が得られる。

zzczc

zzczc

20

31

1

1 (1)

124

42

14

4

14

2

00

101

2

12

3023

zczc

zczczc

zczc

zczczczc

(2)

式(1)は、 zCzc 2 、 zSzc 3から、 zczc 10 , が求まることを示す。また、式(2)の 4 倍角公式

は、z の大きさが小さいときの zcn から、値を計算できることを示す。

すなわち、微小数を εとし、 εz のとき、例えば、6 次のべき乗までを考慮して、次式のように近似

計算すると、精度が 6ε のオーダーで値が求まる：

15141

13121

11101

981

761

541

32

1

!15!13!11!9!7!5!3

1

!321 7

65432

0

3

zzzzzz

Ozzzzzz

k

zzSzc

k

kk

(3)

14131

12111

1091

871

651

431

2

1

!14!12!10!8!6!4!2

1

!221 7

65432

0

2

zzzzzz

Ozzzzzz

k

zzCzc

k

kk

(4)

εz のとき、 ε4

k

zとなる最小の自然数を k とすると、

k

zz

41 と置換して、式(2)を用いて、 1zcn

を計算する。次に、 12 4zz と置換して 2zcn を計算することを k - 1 回繰り返す。

備考１）基本微分方程式系

Sundman 変換

r

dx

dt を利用して、 rr 2r を微分すると、

rr

tdx

dt

xx

rr rr

rr

rr

d

d

d

d

d

d すなわち、

x

r

d

d

ここで、

rr

rr

さらに、

ra

r

rar

rr

t

r

xx

r02

2

112

d

d

d

d

d

d

rrrrrr

ここで、エネルギー保存則：ar 22

rr

2 体問題の基礎微分方程式： rr3r

＝＞

rr

rr

2

33rrrr

a

10


H30.12.28 版

63

を用いた。以上を利用して、

2

2

0004

4

2

2

3

3

03

3

2

2

2

2

d

d

d

d

d

d

1d

d

d

d

d

d

dx

td

x

r

dx

td

xx

r

rdx

td

xx

r

dx

td

x

r

したがって、 tr,, は次の微分方程式の解である：

0,0d

d

d

d,0

d

d2

2

04

4

03

3

02

2

dx

td

dx

td

x

r

x

r

x

位置ベクトルr の微分についても、同様にして

rr

rrr

rrrr

rr

rr

2

3

22

2

2

d

d

1

d

d

d

d1

d

d

d

d

rx

rr

rr

x

r

x

r

x

r

x

x

rr

rrr

r

xrrxxxrxx

d

d111

d

d11

d

d

d

d

d

d1

d

d

d

d

0022

0

3

3

rrrrrr

rr

rrrr

r

ここで、2 体問題の基礎微分方程式： rr3r

を用いた。これより、次式が得られる。

0rr

xx d

d

d

d03

3

備考２） 0d

d02

2

x などの基本解

備考１）の微分方程式の解を求めよう。まず、

rr

の 0d

d02

2

x について、冪級数解を

仮定し、

0k

k

k xa

と設定して、微分方程式に代入すると、係数 ka に関する漸化式が得られる。

,...2,1,0,21

02

ka

kka kk

これより、

zxcazca

zUazUa

xxxxa

xxxa

1100

1100

32

0

22

0

2

01

32

0

22

0

2

00

!7!5!31

!6!4!21


H30.12.28 版

64

ここで、 2

0 xz である。また、 10 , aa は任意の定数であり、初期値から決まる（後述）。

zUzU 10 , は Battin の Universal 変数である。この Universal 変数は、Stumpff 関数 zczc 10 , でも表さ

れ、

zxck

zxzU

zck

zzU

k

kk

k

kk

1

0

1

0

0

0

!121

!21

、 2

0 xz

さらに、 2

011 xxczU は 2

000 xczU を x で積分したものであり、

U 表示： xzUzUx

d0

01 または zUzUx

01d

d 、 2

0 xz

c 表示： xzczxcx

d0

01 または zczxcx

01d

d 、 2

0 xz

一般に、 ,...3,2,1n として

U 表示： xzUzUx

nn d0

1 または zUzUx

nn 1d

d 、 2

0 xz

c 表示： xzcxzcxx

n

n

n

n d0

1

1

または zcxzcxx

n

n

n

n

1

1

d

d

、2

0 xz

ここで、

zcxnk

zxzU n

n

k

kk

n

0 !21 、

2

0 xz

2

000 xczU の定義式を x で微分することで、

U 表示： zUzUx

100d

d 、 2

0 xz

c 表示： zxczcx

100d

d 、

2

0 xz

また、定義式より

U 表示： !

,00,10 2000n

xzUzUUU

n

nnn 、2

0 xz

c 表示： !

1,

!

10 2

nzzczc

nc nnn 、

2

0 xz

これらから、 1m 、 mn 0 として

U 表示： mnzUx

zUx

nn ,...,2,1,0,0d

d

d

d1m

1m

01m

1m

c 表示： mnzcxx

zcxx

n

n

n

n ,...,2,1,0,0d

d

d

d1m

1m

01m

1m

証明）数学的帰納法を用いる。m = 1 のとき

zUzUx

100d

d 、 zUzU

x01

d

d

を x で微分して、

0d

d

d

d

d

d0002

2

001002

2

zUzUx

zUzUx

zUx

0d

d

d

d

d

d1012

2

10012

2

zUzUx

zUzUx

zUx

したがって、m = 1 のとき、成立している。m -1 のとき成立していると仮定すると、 10 mn のと


H30.12.28 版

65

き

1,...,2,1,0,0d

d

d

d2m

2m

0m

m

mnzUx

zUx

nn

が成立している。上記を x で微分して、 10 mn のとき

1,...,2,1,0,0d

d

d

d1m

1m

01m

1m

mnzUx

zUx

nn

n = m については

zUx

zUxx

zUx

zUx

zUxx

zUx

mmm

m

mm

m

mmm

1m

1m

02

2

0

12

2

01m

m

m

m

1m

1m

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

以上から、m -1 で成立するとき、m でも成立することが示された。

証明終）

以上から、U 表示：

:1m について、基本解： zUzU 10 ,

r,:2m r について、基本解： zCxzUzUzU 2

210 ,,

t:3m について、基本解： zSxzUzCxzUzUzU 3

3

2

210 ,,,

または、c 表示：

:1m について、基本解： zxczc 10 ,

r,:2m r について、基本解： zCxzcxzxczc 2

2

2

10 ,,

t:3m について、基本解： zSxzcxzCxzcxzxczc 3

3

32

2

2

10 ,,,

注意１） 2

000 xczU 、 2

011 xxczU は、 zSxzcxzUzCxzcxzU 3

3

3

3

2

2

2

2 ,

で次のように表される。

!

20n

xzUzU

n

nn または !

12

nzzczc nn の n=1,2、すなわち、

,,1 301200 xzUzUzUzU または 1,1 3120 zzczczzczc 、2

0 xz より

U 表示：

zSxxzUxzU

zCxzUzU

3

0301

2

0200 11

c 表示：

zSxxzcxxzxc

zCxzcxxc

3

03

3

01

2

02

2

0

2

00 11

注意２）基本解 zUzUzUzU 3210 ,,, 、または、 zcxzcxzxczc 3

3

2

2

10 ,,, の独立性は、線形

性を持たないこと、即ち、ロンスキーアンが 0 でないことから証明できる。

備考３）基本解を用いた一般解の構成

備考２）の t についての基本解から、一般解（ケプラー方程式）は次のように書ける。

U 表示： zUazUazUazUatt 332211000 、2

0 xz

または

c 表示： zcxazcxazxcazcatt 3

3

32

2

211000 、2

0 xz

ここで、 3210 ,,, aaaa は未定数で、次のように初期条件より決定する。

0tt のとき、x=0 として、 00 a


H30.12.28 版

66

上式を x で微分すると、 rdx

dt 、 zUzU

xnn 1

d

d 、 zcxzcx

xn

n

n

n

1

1

d

d

なので

U 表示： zUazUazUar 231201

c 表示： zcxazxcazcar 2

2

31201

x=0 のとき 0tt なので、0rr より、 01 ra

上式を x で微分すると、 x

r

d

d、 zUzU

x100

d

d 、 zxczc

x100

d

d なので

U 表示： zUazUazUr 1302100

c 表示： zxcazcazxcr 1302100

x=0 のとき 0tt なので、0 より、

02 a

上式を x で微分すると、 rx

01d

d

なので

U 表示： zUazUzUrr 0310000001

c 表示： zcazxczcrr 0310000001

x=0 のとき 0tt なので、0rr より、 13 a

以上から、2

0 xz として

U 表示：

zUrzU

zCxzxczUrzUzUzUrr

zSxzCxzUrzUzUzUrtt

10000

2

100021000

32

010320100

1

)(

)(

または

c 表示：

zxcrzc

zCxzxczcrzcxzxczcrr

zSxzCxzxcrzcxzcxzxcrtt

10000

2

10002

2

1000

32

0103

3

2

2

0100

1

)(

)(

ここで、

rr

、

0000

0

rr

rr

同様にして、下記のように、設定する。

U 表示：

20110000

2110010

221100

1aaarr

aaar

aaar

zUzUzUr

zUzUzUr

zUzUzU

または

c 表示：

20110000

2110010

22

2

1100

1aaarr

aaar

aaar

zczxczcr

zxczczxcr

zcxzxczc

ここで、2 体問題の基本微分方程式： rr3r

を用いていることに注意。

このとき、x=0 のとき 0tt より、上記の未定ベクトル 210 ,, aaa を決定する。


H30.12.28 版

67

順に、 2000

0

00

100

00

1,, aarrarar

r

r より、

0

0

0

0

020

0

100

1,, rrarara

r

r

したがって、U 表示：

00

0201

0

0201

0

0100001

0

010

00

0

0

0100

0010

00

03002

0

0201002

0

00

00

0

0

0200

100

11

11

11

1

111

11

1

rr

rrr

rr

rr

rrrrr

rr

rr

rr

rrrrr

gf

zUr

zUrr

zUrzUr

zUzUrzUr

zU

rzU

rzUzU

r

gf

zUttzUr

zUzUrzUr

zU

rzU

rzUzU

ここで、

zUzUzUrrzUzUzUrtt 21000320100 , 、 zUxzU 301

を用いた。

または、c 表示：

00

03

3

002

2

0

02

2

01002

2

0

00

00

0

0

02

2

00

100

111

11

1

rr

rr

rr

rrrrr

gf

zcxttzcxr

zcxzxcrzcxr

zc

rzcx

rzxczc


H30.12.28 版

68

00

02

2

01

0

02

2

01

0

0100001

0

010

00

0

0

0100

0010

11

11

11

1

rr

rrr

rr

rr

rrrrr

gf

zcxr

zxcrr

zcxrzxcr

zxczcrzxcr

zxc

rzxc

rzczxc

r

ここで、 zcxzxczcrrzcxzcxzxcrtt 2

2

10003

3

2

2

0100 , 、

12

2

00 zcxzc を用いた。

注意）U 表示、c 表示ともに、ケプラー方程式等を用いて変形したのは見た目がすっきりするためだが、

そうしないで元のままでも微積分変換の形式がわかりやすい。

備考４）変数 x は次のように対応している：

02

tan2

tan

0

0

000

0

00

00

pDpDDp

HaHHa

EaEEa

x

ケプラー方程式などより

zUrzU

zUzUzUrtt

10000

3020010000

1

または

zxcrzc

zcxzcxzxcrtt

10000

3

3

02

2

0010000

1

を加えると

0200030100 xzUzczUzUtt

02

2

0003

3

0100 xzcxzczcxzxctt

ここで、 xzUzUzUzU 301200 ,1

または、 1,1 3

2

012

2

00 zcxzczcxzc

即ち、

000 ttx

ここで、

00

0,rrrr ・・

特に、放物線軌道の場合、 00 だから 0 x

また、 EH 1 だから、 00 のとき、 0EEax ならば、

00 のとき、 0011 HHaEEax


H30.12.28 版

69

備考５）Sundman 変換の別形式

rx

t

d

d

を用いる。このとき、 rr ・、 2

0xz と再定義することで、

zUrzU

zUzUzUrr

zUzUzUrtt

10000

21000

320100

1

また

00

00

rrr

rrr

gf

gf

において、

zUr

gzUrr

f

zUzUrgzUr

f

21

0

20102

0

1,

,1

、

2

0xz

注意）この解形式は、重力定数が負 0 でも使用できる。すなわち、反発しあう中心力の解を表

している。


H30.12.28 版

70

6 章 2 点境界値問題

6.1 Lambert の問題

質量 1m に対する 2m の時刻0t ， t における位置を 0r ，r としたとき、2 点を結ぶ軌道を求めよ。

初期速度 0r を求めれば十分。 ),,,,( 000 tt rrrr 　

ミッション計画、ターゲッティング、ガイダンス、ランデブーの基礎

Lambert 問題の解法（楕円軌道のみ）

Given: 00 ,, ttt rr

Find: rr ,0

１） E の推定値，例えば E

0

01

0

01 cos2orcosrrrr

rrrr

：軌道の順行、逆行などで決まる。

２）数値反復で E を調整（何等かの shooting）

３） pa, を解く：

00, rr rr

00 rrr gf ， 00 rrr gf の E, 表現より

cos1cos1 0rrEapf

Err

a

rrppf

sin

11cos1

1

sin

cos1

00

を同時に解く。すなわち、

cos1cos1

sinsin11cos1

00 Err

E

rrpq

より、 q

p

cos1

そして

qE

rr

pE

rra

cos1

cos1

cos1

00

４） 0ttt の試算値~

t を解く：g の E, 表現より

sinsint 0

3~

p

rrEE

a

５）もし t~

t ステップ２

６） 0,, rgf の計算

cos11p

rf ，

sin0

p

rrg ， 00

1rrr f

g

７） r,g の計算

,cos11 0 p

rg 0

1rrr g

g


H30.12.28 版

71

6.2 ユニバーサル変数(Universal Variable)を用いた定式化

S,C 関数で f, g 関数を表示する。もっと統合的かつ見通しのよい U 関数による表示もある（前章）。

2

0

0

2

1cos11 xCr

x

p

rf (1)

2

0

3

00 sin xS

xtt

p

rrg

(2)

xxSxrrrrpp

f

2

0

3

0

00

11cos1

1

sin

cos1

(3)

2

0

2

0 1cos11 xCr

x

p

rg (4)

ここに、式(1),(4)は同じもの：

2

0

0

2

cos1 xCr

x

p

r (5)

以上から、未知数は、 xpa

,,1

0 の３つである。そこで、

2

0xz (6)

を導入して、式(5)から、次のように変形する。

cos10

pC

rrx (7)

ここで、

zCC (8)

式(3)から、

zS

pCrrxSxx

rrrrpp

1

cos11

11cos1

1

sin

cos1

0

2

0

2

0

00

zSCrr

rrp

rr

1

cos1cos1

sin

cos1

0

00

変数 y を導入：

cos10

p

rry (9)

このとき、式(3)を用いて、次式が得られる：

C

zSArry

10

ここで、

cos1

sin 0rrA (10)

zSS (11)

このとき、

C

yx (12)

式(2)より

SxyAtt 3

0 (13)

したがって、式(1),(2),(4)より


H30.12.28 版

72

r

yg

yAg

r

yf 1,,1

0

(14)

初期速度は、00 rrr gf より

00

1rrr f

g (15)

最終速度は、 00 rrr gf と拘束条件 1 fggf を用いて

0

1rrr g

g (16)

Lambert 問題の解法（ユニバーサル変数表示）

Given: 00 ,, ttt rr

Find: rr ,0

１） 00, rr rr

0

01

0

01 cos2orcosrrrr

rrrr

：軌道の順行、逆行などで決まる。

cos1

sin 0rrA

２）z の値を推測、または式(13)などを用いた数値反復で調整

３） )(, zSzC の計算：

1

11

2

121

7!5!3

1

k

kk

k

zzzzS

！！

1

11

2

21

!642

1

k

kk

k

zzzzC

！！！

注意）前章の Stumpff 関数の数値計算法を参照。

４）y, x の計算：

C

zSArry

10 、

C

yx

５） 0ttt の試算値 t~

の計算：

SxyAt 31~

６）もし t~

t ステップ２

７） rr ,,,, 0ggf の計算

r

yg

yAg

r

yf 1,,1

0

00

1rrr f

g , 0

1rrr g

g

備考：最近は、ニュートンの運動方程式の解を利用した解法（前述）から、ハミルトンの正準運動方

程式から導かれる母関数を利用した解法が編み出され、最適軌道を求める問題に効果を発揮している。


H30.12.28 版

73

6.3 線形終端速度拘束条件(LTVCON)のもとでの２点境界値問題

前節の Lambert 問題とは異なり、時間の拘束条件の代わりに、次の線形終端速度拘束(Linear Terminal

Velocity CONstraint, LTVCON)を考慮した２点境界値問題を検討する：

Given: rr ,0

LTVCON: Hvccr 21 (1)

Find: 00 rv

ここで、 θrrv ˆˆHvr 、すなわち、 Hvr, はそれぞれ動径速度、接線速度である。このとき、LTVCON

は、飛行経路角について、

HH v

cc

v

r 12tan

(2)

の関係があり、終端の飛行経路角を拘束することを示す。

例えば、宇宙機が地球大気に再突入する際（高度 100km 付近）、

飛行経路角を適正な角度範囲内で維持することが必要である。

経路角が深すぎると飛行速さが大きくなり、応力や空力加熱が

過剰に大きくなる（断熱圧縮に加え、衝撃波を伴うとその背後の

温度は急上昇する）し、経路角が浅すぎると大気上をスキップ

する可能性がある。

上記の問題は、この拘束を実現するための初期速度0v を求める問題である。

初期速度0v は、楕円軌道に投入するとすれば、

0

0

000 cos11sin

1rrrrrv

p

r

rr

pf

g (3)

で表わされる。ここで、

0

01

0

01 cos2orcosrrrr

rrrr

：軌道の順行、逆行などで決まる（後述）。 (4)

であり、未知数は、半直弦 p のみである。一方、接線速度 Hv は

r

p

r

c

r

rrvH

2

(5)

と p で表され、逆に、

22

Hvrp (6)

とできる。これから、接線速度 Hv が決定できれば、問題が解ける。

Hv の表式を求めよう。まず、動径速度 rは次式となる。

cos1

ˆˆ11

ˆˆˆ000 rrg

gg

gg

gr rrrrrrrrrvr (7)

式(7)の左辺に、LTVCON: Hvccr 21 を代入し、右辺の gg , に、真近点離角の表示式、および

式(6)を代入することで、次の Hv に関する２次方程式が求められる。

022

CBvAv HH (8)

ここで、各係数は


H30.12.28 版

74

cos1

sin,,

2,,212

0

012 W

r

rrK

rCWcBKWcA (9)

したがって、 0Hv に注意して、 02 ACB のとき

ACBB

CACBB

AvH

2

21 (10)

特に、 01 c のときは A

CvH (11)

これらより、00 rv が決定される。

なお、終端の動径速度 rと終端速度の大きさ v は

22

21

22

21 , HHHH vvccvrvvccr v (12)

また、4 章より、全エネルギーh と半長径 a、そして、離心近点離角 ,0E E を次のように計算する：

0

002

1

rh

rr ・、

ha

2

(13)

1

21

21

01

021

000

0020

01

tan ,sin1

tan ,

sin1

C

C E

a

rrEe, C

a

rC

C

C E

aEe, C

a

rC

-

-

rr

(14)

こうして、ロケット噴射から再突入までの時間 0ttt は、

0220

3

CCEEa

t

(15)

と求められる。

6.4 円軌道から突入楕円軌道への増分速度

前節では、線形終端速度拘束 LTVCON: Hr vccvr 21 を課して、指定した２点間を通る楕円軌道

に投入するための初期速度を求めた。ここでは、特に、離心率が 0 に近く、ほとんど円軌道で近似でき

る軌道から離脱して、指定された高度にて指定された飛行経路角を取る楕円軌道へ移行するために必要

な速度増分 V を求める問題を検討する。速度増分は、ロケット噴射（点火、burn）を用いて瞬間的に

行うインパルス増分を仮定する。

ここでは、元の軌道の近点にて減速して軌道離脱し、楕円軌道に

移行することを考える。このとき、楕円軌道の遠点が噴射点

になる。このときの飛行経路角はほとんど 0deg（大きくて 2deg）。

以下の記号を用いる。

距離噴射後の軌道の突入時

道）の近点距離噴射後の軌道（楕円軌

道）の遠点距離噴射後の軌道（楕円軌

ど円軌道）の近点距離噴射前の軌道（ほとん

ど円軌道）の遠点距離噴射前の軌道（ほとん

係数；

interface)entry(:

;:

;:

:

:

LTVCOM:, 2121

ei

app

pcaa

acpc

pcac

Hr

r

rrr

rrr

rr

rr

vccvcc

（注意：地球の場合、突入高度は約 100km 近辺である： Rkmrei 100 ）

前節で述べたように、突入時の飛行経路角を適切に制御する必要があるために、LTVCON を適用する。

即ち、飛行経路角について、


H30.12.28 版

75

HH

r

v

cc

v

v 12tan

の関係があり、再突入時の飛行経路角を拘束する。

Given: eia rr ,

LTVCON: Hr vccv 21 (1)

Find: pca vvV

突入時の速度とエネルギー保存則は、その地点での動径横断座標系 }ˆ,ˆ,ˆ{ cθr を用いて

θrθrv ˆˆˆˆ21 HHHrei vvccvv (2)

ar

hei

eiei22

1 vv (3)

突入軌道では、 pa rra 2 なので、

paei

HHrrr

vvcc11

222

21 (4)

投入軌道の近地点距離 pr 、半直弦 p は、離心率 e は

pa

pa

prr

rre

cp

e

pr

,,

1

2

(5)

角運動量c とその大きさ c は、

Hei

HeiHreieiei

vrc

vrvvr

cθrrvrc ˆˆˆˆ (6)

式(5),(6)から、 pr について解くと

22

22

2 Heia

aHeip

vrr

rvrr

(7)

式(7)を式(5)に代入して、接線速度 Hv で整理すると

02

CBvAv HH (8)

ここで、

2

2

12

2

2

2

21

2

22

22

,2,11ei

a

eiei

a

ei

a

ei

a

r

r

rc

r

rC

r

rccBc

r

rA

(9)

したがって、 0Hv に注意して、 042 ACB のとき、

A

ACBBvH

2

42 (10)

特に、 01 c のとき、

A

CvH (11)

突入時の速度の大きさは

22

Hrei vvv (12)

エネルギー保存則から、噴射直後と突入時において

a

a

ei

eir

vr

v

22

2

1

2

1 (13)


H30.12.28 版

76

これより、遠点速さ av は、eia rr に注意して

eia

eiaeia

rr

rrvv

2

2 (14)

噴射前の元の軌道におけるエネルギー保存則は

pcacpc

pcrrr

v

2

2

1 (15)

であるから、元の軌道の近点速さは

pcacpc

acpc

rrr

rv

2 (16)

同じ方向の速度であることから、 apc vv に注意して、速度増分は減速量として

apcpca vvvvV (17)

また、突入時eirr の離心近点離角 eiE を、 pa rra 2 に注意して

1

21

21 tan ,sin1C

C E

a

vrEe, C

a

rC -

eirei

eiei

(18)

とすることで、ロケット噴射から再突入までの時間aei ttt は、遠近点で aE より

2

3

CEa

t ei (19)

と求められる。なお、突入時の飛行経路角は

HH

r

v

cc

v

v 12tan (20)

付録：の曖昧性の決定方法

Lambert 問題や LTVCON 問題にて、真近点離角の変化量0 が必要であるが、関係式：

0

0cosrr

rr

を解く際に、次のように 2 つの場合が存在する。

0

01

0

01 cos2orcosrrrr

rrrr

この曖昧性(ambiguity)を解決しよう。軌道上の位置ベクトルを基準面座標(ECI)系 kji ˆˆˆ で記述する。

まず、 rr 0 の z 成分を計算：

rrk 0ˆq (1)

成分は次のようになり、

sincossinˆˆ00 rrirrq ck (2)

ここで、i は軌道傾斜角である。

q の符号をもとに判別する。

１）q の符号が正の場合：


H30.12.28 版

77

2,2

)b(or,0,2

0)a(

0sin,0cos)b(or,0sin,0cos)a(

0sincos

0

ii

ii

i

q

(a) 2

0

i ：順行軌道(direct orbit)の場合、 0 なので

0

01cosrr

rr

(b)

i2

：逆行軌道(retrograde orbit)の場合、 2 なので

0

01cos2rr

rr

２）q の符号が負の場合：

0,2

)b(or,2,2

0)a(

0sin,0cos)b(or,0sin,0cos)a(

0sincos

0

ii

ii

i

q

(a) 2

0

i ：順行軌道(direct orbit)の場合、 2 なので

0

01cos2rr

rr

(b)

i2

：逆行軌道(retrograde orbit)の場合、 0 なので

0

01cosrr

rr


H30.12.28 版

78

７章軌道の摂動（Perturbation of Orbit）

7.1 摂動加速度

理想的な 2 体問題：外力は球対称な中心天体力（天体を質点としたニュートン力）のみ

rr3r

（１）

実際の衛星の軌道運動は、ニュートン力以外の様々な外力を受ける。

ar 3r

（２）

a を接動力（摂動加速度）と呼ぶ。具体例

BFMBADGRSRPOBL 3aaaaaaa

モーター噴射　　〃

大気抵抗　　〃

（特に惑星間航行）一般相対論の効果　〃

太陽輻射圧　　〃

３体問題による加速度

による加速度中心天体の非球体成分

　：

　：

　：

　：

　：

　：

　

FMB

AD

GR

SRP

B

OBL

a

a

a

a

a

a

3

7.2 実際の軌道を求める手法

１）数値的方法―Encke の定式化、Cowell の定式化

数値積分法―多段式刻み幅可変

・ある特定な問題の解析 Runge-Kutta

・厳密、容易 Adams-Bashforth-Moulton

・数値誤差への対応 Gauss-Jackson

など

２）解析的方法摂動法変数変化法（Variation of Parameter’s,VOP）

・問題一般の解析 Newton,Euler,Lagrange,Poisson

・近似、精度、難しい非摂動法解析力学（ハミルトニアンなど）の手法

Brouwer,古在、堀

３）半解析的方法―数値法と解析法の混合、Draper Semianalytical Satellite theory(DSST)

・効率的、精度良

7.3 変数変化法（Variation of Parameters,VOP 法）

１） 0a ：接動力のない場合は理想的な 2 体問題。式(1)： 3 次の 2 階常微分方程式⇒6 個の積分定数

例：ケプラー軌道要素： ptiea ,,,,, （あるいは M, ）⇒ 一括して α (一定) とおく

時間に無関係に一定軌道パラメーターと呼ぶ

ケプラー軌道定数

・エネルギーar

E22

1 vv・（一定）

・角運動量 vrC （一定）

・離心率（ラプラス）ベクトル rcvfr

(一定)

２） 0a 接動力のある場合：軌道パラメーターは時間に依存すると仮定する。

tαα

即ち、実際の軌道上の点（規準点）において、位置r ，速度 rv の一致したケプラー軌道を用いて、

実際の軌道を記述（近似）する。このケプラー軌道を接触軌道（Osculating Orbit）と呼ぶ (osculate：ラ

テン語の to kiss より派生）。時間が経って、実際の軌道上の基準点が変わると、別のケプラー軌道（接


H30.12.28 版

79

触軌道）で近似する。生成された各々の接触軌道上では、軌道定数αは時間に無依存で一定だが、その

値は接触軌道ごとに異なり、時間変化することになる。そこで、軌道パラメーターαの時間変化率を求

め、軌道運動を把握することを、変数変化法という。

7.4 ポワソン法(Poisson Method)

軌道パラメーター t,, vrαα

１） 0a のとき (1)式

rv

rv

3r

ケプラー運動 ⇒ constα t に無関係

0α

rv

αv

r

ααv

v

αr

r

αα

α

trtdt

d3

（３）

0α

rv

3r

注意：

z

y

x

r ，

zyx

r

α，

6

2

1

α ，

zyx

zyx

666

111

r

α

r

rααα

6

1

zyx

２） 0a のとき (2)式

arv

rv

3r

⇒ )(tαα

av

ααar

v

αv

r

ααv

v

αr

r

αα

α

trtdt

d3

（４）

0α

arv

3r

即ち、Poisson の摂動方程式

av

αα

（５）

計算法以上をまとまとめると 0 α 0

①軌道関係式（要素など）αを t で微分： av

ααv

v

αr

r

αα

tdt

d

dt

d

dt

d

②上記は、αは t を陽に含まない、r は一定、 v の時間変化 v をa に置き換える、ことに相当している。

具体的には、①v

を施し、②a を掛ける、ことで時間変化分を求めることができる。下記を参照せよ。

7.5 軌道要素の変化

１）長半径 a の変化

エネルギー積分

arv

12 vv・ (7.63)テキスト p.138


H30.12.28 版

80

：定数， rr・2

1r （＝定数とみなす）に注意して両辺を

v

を施すと

vv

a

a

T

22

， Taa

vv

22

（６）

注意 vvvvT・，

3

2

1

v

v

v

v ， 321 vvvT v

vvv

vv22

TT

・（混乱の恐れがない限り）→問１

∴ avav

Taa

dt

da

22

∴ av・

22aa （７）

２）角運動量 c の変化 vrc

vrvr ・2c

v

をすると

v

vrvr

v・22

cc

xc

crvr

v・

1 （８）

注意： rrv

vr ~

x 但し、

3

2

1

r

r

r

r ，

0

0

0~

12

13

23

rr

rr

rr

x rr

明らかに xx TTrrrr ~~ ：反対称行列 →以上問２

∴ arvrav

・

c

c

dt

dc 1

arvravrr ・・・・ c

1

∴ arvrav ・・・ 21r

cc （９）

注意ベクトル恒等式

dcbacdbadcba

dacbdbcadcba

cbabcacba

acbbcacba

・・

・・・・・

・・

・・

問３

cbacba

baba

abba

・・

・・


H30.12.28 版

81

備考 cc・2c ， xcc

rc

v

cc

v

c・・

1 vrc 　

∴ aiariarc

av

・・・ rc

c

dt

dcc

（１０）

ここで、動径・横断座標系 cr iii ,, を用いた。

rc iii

rrir

３）離心率 e の変化

2cp (7,21)，p.128 )1( 2eap (7,48)，p.136 より

22 1 eac

v

⇒

vvv

eae

ae

cc 212 2

vvv

cc

apa

ae

e

1 （１１）

∴ arvravav

・・・

21

rpaae

e

dt

de

（１２）

(6),(8)

４）昇交点赤経と軌道傾斜角 i の変化

ccic ， kjii iiic cossincossinsin （１３）

ここで慣性座標系 kji ,, と昇交点方向軌道面座標系 cba iii ,, の関係

k

j

i

i

i

i3cic

c

b

a

100

0cossin

0sincos

cossin0

sincos0

0013

ii

iicic

iii

iii

cossincossinsin

sincoscoscossin

0sincos

（１４）→問４(1)

cc

dt

dc

dt

dc

dt

di

ic

（１３）より 0dt

d

dt

d

dt

d kji（ kji ,, は慣性系）に注意して

bac

dt

di

dt

di

dt

dii

i

sin （１５）→問４(2)

cbadt

dc

dt

dic

dt

dic

dt

diii

c

sin （１６）

一方、 vrc より

arav

cc

dt

d （１７）


H30.12.28 版

82

式（１６），（１７）の両辺に ai を内積すると、 1aa ii・， 0 caba iiii ・・より

aiaiiari ・・・ craa urrdt

dic sinsin

ai・cic

ur

dt

d

sin

sin

（但し、 0i ）（１８）

同様にして

aiaiiari ・・・ crbb urrdt

dic cos 問５

ai・cc

ur

dt

di cos （１９）

ここで u ：緯度引数

実は同様に

aiariaric

i ・・・・ rdt

d

dt

dcccc

５）真近点離角の変化

2

cos1c

er (7,23)，(7,21)より p.128

v vvv

ccerre

2cossin （２０）

一方，

sinc

rerr vr・ (7,40),p.134 より

v

vvrr

vv

c

c

cerre

1sincos ・

（２１）

sin21cos20

v

vrrv

cc

c

pre T

sin

2cos

1cos ・

vr

v

crpp

rec

T

sincos1

（２２）問６

さて、自身は 0a 即ち、ケプラー運動時、一定の速さで変化（ケプラーの第 2 法則）

面積一定

2r

c

t

(7,14),p.125

よって、全変化量は

dt

d~

：摂動a のみの変化

dt

dcrpp

recr

c

tdt

d

sincos

12

arav

・（２３）

６）近点引数の変化

昇交点方向 ai と動径方向 ri のなす角が緯度引数u

rau ii・cos

rr ijii ・・ sincos （（１４）より）

v


H30.12.28 版

83

v

ijiiv

rr

uu ・・ cossinsin

0

v

i r

rr

ri

v

iu cossin

vv

i

ucos （２４）

ここで uiur sincossincoscos ii・

uiur sincoscoscossin ij・

を用いた。これは、慣性座標系 kji ,, と動径横座標系 cr iii の関係

c

b

a

c

r

uccicuc

i

i

i

k

j

i

i

i

i3313

問７

iii

uiuiuuiu

uiuiuuiu

cossincossinsin

cossincoscoscossinsincoscossinsincos

sinsinsincoscoscoscossincossincoscos

kijiii

kijiii

kijiii

・・・

・・・

・・・

ccc

rrr

（２５）

dt

di

r

cu

t

u

dt

du

cos

2a

v （２６）

接触軌道上（Kepler）での時間変化

u だから

vvvvv

i

ucos

av

dt

di

dt

dcos

~

cos i （２７）

ここで av

dt

d~

~ （２８）

以上をまとめると

◎軌道要素の摂動方程式

av・

22aa

arvrav ・・・ 21rpa

aee

arvrav ・・・ 21r

cc

crpprec

sincos

1~ ar・，

~2

r

c （２９）


H30.12.28 版

84

ai・cic

ur

sin

sin

ai・cc

uri

cos

~

cos i

物理的考察

a ： v 方向の摂動加速度に影響

上記はベクトル形式で表現されている。具体的に計算するための最終形は、a などのベクトルを座標

成分で表現する必要があり、それは選択する基底座標系に依存する。

代表的な基底座標系を２つ紹介する：

１）動径横断座標系（LVLH） cr iii

rrir ，

0

cos1

cos

0

e

e

pr

r

crcr iiiiiiv

(7,40)，(7,41)p.134

c

r

cr

a

a

a

iiia

⇒

ar

ca

c

e

c

ree

pr

ra

r

r

sin

sinsin

av

vr

ar

・

・

・

te ii cos (7,32)，p.132

２）接線垂直座標系 cnt iii

cos1cos

cossin

cos21 (7,42)2

ep

vv

ep

vv

eep

v

r

　　

sinsin

sin

c

rerv

va

av

ca

vc

re

t

nt

vr

av

ar

・

・

・・

0

cos

sin

r

r

cnt iiir ， tviv ，

c

n

t

cnt

a

a

a

iiia

上記のように定義された２つの座標系にて表したガウスの変分方程式(Gauss’s variational equations)

は次のように書ける。


H30.12.28 版

85

cr iii 　　　系

a

r

pae

c

aa rsin

2 2

arerpapc

e r cossin1

rac

arpapec

r sincos1~

， ~

2

r

c （２９）

caic

ur

sin

sin

cac

uri

cos

~

cos i

cnt iii 系

tava

a

22

nt a

a

rae

ve sincos2

1

nt aea

r

p

pv

rcc sin

nt a

a

rea

ev cos2sin2

1~ （３０）

caic

ur

sin

sin

cac

uri

cos

~

cos i

但し、 0,0 ei

0,0 ei のときは座標変換や変数変換により取り扱われる。

u

r

ri

ti

i

ni

ai

f

cs /

軌道面


H30.12.28 版

86

注意：ケプラー要素，，，，， iea は、円軌道、または、無傾斜軌道の時に生じる特異性

がある。実用には、これを回避した軌道要素の組、例えば、Nonsingular equinoctial elements などを用い

て解析することがある（4.6 節参照）。

例えば、次の Nonsingular equinoctial elements：，，，，， yx iia

，，，， sin2

tancos2

tansincosi

ii

iee yx

逆変換

,tan,tan,tan2, 1122122

x

y

yxi

iiiie

を用いると、ガウスの変分方程式(Gauss’s variational equations)は次のように書ける。

ここでは、ケプラーの軌道要素をベースにしている。


H30.12.28 版

87

参考文献

１）狼、冨田、中須賀、松永、宇宙ステーション入門第 2版補訂版、東京大学出版、2014 ：教科書

２）冨田、宇宙システム入門、東京大学出版、1993

３）冨田、鬼頭、幸節、長谷川、前田、ロケット工学基礎講義、コロナ社、2001

４）岩崎、的川、図説宇宙工学、日経印刷、2010

５）小林、宇宙工学概論、丸善、2000

６）木下、天体と軌道の力学、東京大学出版、1998

７）木田、小松、川口、人工衛星と宇宙探査機、コロナ社、2001

８）柴藤、渡辺、ロケット工学、コロナ社、2001

９）茂原、宇宙工学入門、培風館、1994

１０）茂原、宇宙工学入門 II、培風館、1998

１１）茂原、宇宙システム概論、培風館、1995

１２）姿勢制御研究委員会編，人工衛星の力学と制御ハンドブック，培風館，2007

１３）半揚稔雄、惑星探査機の軌道計算入門、日本評論社、2017

１４）半揚稔雄、ミッション解析と軌道設計の基礎、現代数学社、2014

１５）R.Bate, D.Mueller and J.White, Fundamentals of Astrodynamics, Dover, 1971

１６）W.T.Thomson, Introduction to Space Dynamics, Dover, 1986.

１７）Kaplan, Modern Spacecraft Dynamics & Control, Wiley, 1976.

１８）Chobotov (ed.), Orbital Mechanics, 2nd Ed., AIAA, 1996.

１９）V.R.Bond and M.C.Allman, Modern Astrodynamics, Princeton Univ Press, 1996.

２０）D.A.Valldo, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 4th ed. (Space Technology Library), 2013.

２１）Dava Newman, Interactive Aerospace Engineering and Design, McGraw-Hill, 2002.

その他、多数

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